Përcaktoni strategjinë optimale për përdorimin e pajisjeve për një periudhë kohore që zgjat T vjet, dhe fitim për çdo i vite, i= nga mosha e përdorimit të pajisjeve t vitet duhet të jenë maksimale.

I njohur

r(t) – të ardhurat nga shitja e produkteve të prodhuara në vit duke përdorur pajisje të vjetra t vjet;

l(t) – kosto vjetore në varësi të moshës së pajisjes t;

Me(t) – vlera e mbetur e pajisjeve të vjetra t vjet;

R - kostoja e pajisjeve të reja.

Mosha e pajisjeve i referohet periudhës së funksionimit të pajisjes pas zëvendësimit të fundit, e shprehur në vite.

Le të përdorim fazat e mësipërme të përpilimit të një modeli matematikor të problemit.

1. Përcaktimi i numrit të hapave. Numri i hapave është i barabartë me numrin e viteve të përdorimit të pajisjes.

2. Përcaktimi i gjendjeve të sistemit. Gjendja e sistemit karakterizohet nga mosha e pajisjes t, t= .

3. Përkufizimi i ekuacioneve. Ne fillim i-hapi i th i= mund të zgjidhet një nga dy kontrollet: zëvendësoni ose mos zëvendësoni pajisjet. Secilit opsion kontrolli i caktohet një numër

4. Përcaktimi i funksionit të pagesës në i-hapi i th. Funksioni fitues është aktiv i Hapi i th është fitimi nga përdorimi i pajisjeve në fund i- viti i funksionimit, t= , i= . Kështu, nëse pajisja nuk shitet, atëherë fitimi nga përdorimi i saj është diferenca midis kostos së prodhimit dhe kostove operative. Gjatë zëvendësimit të pajisjeve, fitimi është diferenca midis vlerës së mbetur të pajisjes dhe kostos së pajisjeve të reja, së cilës i shtohet diferenca midis kostos së prodhimit dhe kostove të funksionimit për pajisjet e reja, vjetërsia e të cilave në fillim. i Hapi i 0 është 0 vjet.

5. Përkufizimi i funksionit të ndryshimit të shtetit

(9.7)

Kështu, nëse pajisja nuk ndryshon x i=0, atëherë mosha e pajisjeve rritet me një vit t+1 nëse pajisja ndryshon x i=1, atëherë pajisja do të jetë një vjeç.

6. Hartimi i një ekuacioni funksional për i=T

Vija e sipërme e ekuacionit funksional korrespondon me situatën në të cilën Vitin e kaluar pajisjet nuk ndryshojnë dhe kompania merr një fitim në shumën e diferencës midis të ardhurave r(t) dhe kostot vjetore l(t).

7. Hartimi i ekuacionit funksional bazë

Ku W i(t t vite që nga ajo kohë i-hapi i saj (nga fundi i vit) deri në fund të periudhës operative;

W i + 1 (t) – fitimi nga përdorimi i pajisjeve të moshës t+ 1 vit nga ( i+1) hapi deri në fund të periudhës së funksionimit.

Është ndërtuar një model matematikor i problemit.

Shembull

T=12, p= 10, Me(t)=0, r(t) – l(t)=φ (t).

vlerat φ (t) janë dhënë në tabelën 9.1.

Tabela 9.1.

t

φ (t)

Për këtë shembull, ekuacionet funksionale do të duken si

Le të shohim plotësimin e tabelës për disa hapa.

Optimizimi i kushtëzuar fillon nga hapi i fundit i 12-të. Për i=12 gjendje të mundshme të sistemit merren parasysh t= 0, 1, 2, …, 12. Ekuacioni funksional në hapin e 12-të ka formën

1) t= 0 X 12 (0)=0.

2) t= 1 X 12 (1)=0.

10) t= 9 X 12 (9)=0.

11) t= 10 X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.

13) t= 12 X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.

Kështu, në hapin e 12-të, pajisjet e moshës 0 – 9 vjeç nuk kanë nevojë të ndërrohen. Pajisjet e moshës 10 - 12 vjeç mund të zëvendësohen ose të vazhdojnë të përdoren, pasi për t= 10, 11, 12 ka dy kontrolle të optimizimit të kushtëzuar 1 dhe 0.

Bazuar në rezultatet e llogaritjes, plotësohen dy kolona të tabelës 9.2, përkatëse i= 12.

Optimizimi i kushtëzuar i hapit të 11-të.

Për i=11 merren parasysh të gjitha gjendjet e mundshme të sistemit t=0, 1, 2, …, 12. Ekuacioni funksional në hapin e 11-të ka formën

1) t= 0 X 11 (0)=0.

2) t= 1 X 11 (1)=0.

6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.

7) t= 6 X 11 (6)=1.

13) t= 12 X 11 (12)=1.

Prandaj, në hapin 11, nuk duhet të zëvendësoni pajisjet që janë 0 – 4 vjeç. Për pajisjet që janë 5 vjeç, dy strategji përdorimi janë të mundshme: zëvendësoni ose vazhdoni të punoni.

Nga viti i 6-të e tutje pajisjet duhet të ndërrohen. Bazuar në rezultatet e llogaritjes, plotësohen dy kolona të tabelës 9.2, përkatëse i=11.

1) t= 0 X 10 (0)=0.

2) t= 1 X 10 (1)=0.

3) t= 2 X 10 (2)=0.

4) t= 3 X 10 (3)=0.

5) t= 4 X 10 (4)=1.

13) t= 12 X 10 (12)=1.

Në hapin 10, nuk duhet të zëvendësoni pajisjet që janë 0 – 3 vjeç. Nga viti 4 e tutje, pajisjet duhet të zëvendësohen pasi pajisjet e reja gjenerojnë fitime më të mëdha.

Bazuar në rezultatet e llogaritjes, plotësohen dy kolona në 9.2, përkatëse i=10.

Nëntë kolonat e mbetura të tabelës 9.2 plotësohen në të njëjtën mënyrë. Gjatë llogaritjes W i + 1 (t) në çdo hap të vlerës φ (t) per secilin t=0, 1, 2, ..., 12 janë marrë nga tabela 9.1 e të dhënave fillestare të dhëna në deklaratën e problemit dhe vlerat W i(t) – nga kolona e fundit e plotësuar në hapin e mëparshëm në 9.2.

Faza e optimizimit të kushtëzuar përfundon pas plotësimit të tabelës 9.2.

Optimizimi i pakushtëzuar fillon me hapin e parë.

Le të supozojmë se në hapin e parë i=1 ka pajisje të reja, mosha e të cilave është 0 vjeç.

Për t=t 1 =0 fitimi optimal është W 1 (0)=82. Kjo vlerë korrespondon me fitimin maksimal nga përdorimi i pajisjeve të reja për 12 vjet.

W*=W 1 (0)=82.

Unë do të fitoj W 1 (0)=82 korrespondon X 1 (0)=0.

Për i=2 sipas formulës (9.7) t 2 =t 1 +1=1.

Kontrolli optimal i pakushtëzuar X 2 (1)=0.

Për i=3 sipas formulës (9.7) t 3 =t 2 +1=2.

Kontrolli optimal i pakushtëzuar X 3 (2)=0.

i=4	t 4 =t 3 +1=3	X 4 (3)=0
i=5	t 5 =t 4 +1=4	X 5 (4)=1
i=6	t 6 = 1	X 6 (1)=0
i=7	t 7 =t 6 +1=2	X 7 (2)=0
i=8	t 8 =t 7 +1=3	X 8 (3)=0
i=9	t 9 =t 8 +1=4	x 9 (4)=1
i=10	t 10 = 1	X 10 (1)=0
i=11	t 11 =t 10 +1=2	X 11 (2)=0
i=12	t 12 =t 11 +1=3	X 12 (3)=0

Për këtë qëllim, strategjia optimale është zëvendësimi i pajisjeve kur ato të mbushin 4 vjeç. Në mënyrë të ngjashme, mund të përcaktohet strategjia optimale për përdorimin e pajisjeve të çdo moshe.

Kolona e majtë e tabelës 9.2 regjistron rastet e mundshme të sistemit t= , në rreshtin e sipërm – numrat e hapave i= . Për çdo hap, përcaktohen kontrollet optimale të kushtëzuara x i(t) dhe fitim optimal i kushtëzuar W i(t) c i-hapi i th dhe deri ne fund per moshen e pajisjes t vjet.

Kontrollet që përbëjnë strategjinë optimale për përdorimin e pajisjeve janë theksuar me shkronja të zeza në tabelën 9.2.

Tabela 9.2.

t

i=12

i=11

i=10

i=9

i=8

i=7

i=6

i=5

i=4

i=3

i=2

i=1

x 12

W 12

x 11

W 11

x 10

W 10

x 9

W 9

x 8

W 8

x 7

W 7

x 6

W 6

x 5

W 5

x 4

W 4

x 3

W 3

x 2

W 2

x 1

W 1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

Strategjia optimale e zëvendësimit të pajisjeve

Një nga problemet e rëndësishme ekonomike është vendosmëria strategji optimale në zëvendësimin e makinerive, njësive, makinerive të vjetra me të reja.

Plakja e pajisjeve përfshin konsumimin e saj fizik dhe moral, si rezultat i të cilit rriten kostot e prodhimit për prodhimin e produkteve në pajisjet e vjetra, rriten kostot për riparimin dhe mirëmbajtjen e tyre, zvogëlohen produktiviteti dhe vlera e lëngshme.

Vjen një moment kur është më fitimprurëse të shesësh pajisje të vjetra dhe t'i zëvendësosh me të reja sesa t'i përdorësh ato me kosto kosto të larta; Për më tepër, ai mund të zëvendësohet me pajisje të reja të të njëjtit lloj ose të reja, më të avancuara.

Strategjia optimale për zëvendësimin e pajisjeve është përcaktimi i kohës optimale të zëvendësimit. Kriteri i optimalitetit në këtë rast mund të jetë fitimi nga funksionimi i pajisjeve, i cili duhet të optimizohet, ose kostot totale të funksionimit gjatë periudhës kohore në shqyrtim, të cilat duhet të minimizohen.

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: r(t) është kostoja e produkteve të prodhuara në një vit në një njësi pajisjeje të vjetëruar t vjet;

u(t) - kostot vjetore të mirëmbajtjes për pajisjet e vjetra t vjet;

s(t) - vlera e mbetur e pajisjeve të vjetra t vjet;

P është çmimi i blerjes së pajisjes.

Le të shqyrtojmë një periudhë prej N vitesh brenda së cilës është e nevojshme të përcaktohet cikli optimal i zëvendësimit të pajisjeve.

Le të shënojmë me fN(t) të ardhurat maksimale të marra nga pajisjet e vjetra t vjet për N vitet e mbetura të ciklit të përdorimit të pajisjeve, duke iu nënshtruar një strategjie optimale.

Mosha e pajisjes llogaritet në drejtim të rrjedhës së procesit. Kështu, t = 0 korrespondon me rastin e përdorimit të pajisjeve të reja. Fazat kohore të procesit numërohen në drejtim të kundërt në raport me ecurinë e procesit. Kështu, N = 1 i referohet një faze kohore të mbetur deri në përfundimin e procesit, dhe N = N - deri në fillimin e procesit.

Në çdo fazë të procesit të fazës N, duhet të merret një vendim për të mbajtur ose zëvendësuar pajisjet. Opsioni i zgjedhur duhet të sigurojë fitim maksimal.

Ekuacionet funksionale të bazuara në parimin e optimalitetit kanë formën:

Ekuacioni i parë përshkruan një proces N-fazor, dhe i dyti përshkruan një proces me një fazë. Të dy ekuacionet kanë dy pjesë: vija e sipërme përcakton të ardhurat e marra nga mirëmbajtja e pajisjeve; më të ulëta - të ardhurat e marra gjatë zëvendësimit të pajisjeve dhe vazhdimit të procesit të punës në pajisje të reja.

Në ekuacionin e parë, funksioni r(t) - u(t) është diferenca midis kostos së produkteve të prodhuara dhe kostove operative në fazën e N-të të procesit.

Funksioni fN–1 (t + 1) karakterizon fitimin total nga (N - 1) fazat e mbetura për pajisjet, mosha e të cilave në fillim të këtyre fazave është (t + 1) vjet.

Përfundimi në ekuacionin e parë karakterizohet si më poshtë: funksioni s(t) - P paraqet koston neto të zëvendësimit të pajisjeve që janë t vjet të vjetra.

Funksioni r(0) shpreh të ardhurat e marra nga pajisjet e reja të moshës 0 vjeç. Supozohet se kalimi nga puna në pajisje të vjetra t vjetra në punën në pajisje të reja ndodh menjëherë, d.m.th. periudha e zëvendësimit të pajisjeve të vjetra dhe kalimi në punën në pajisje të reja përshtaten në të njëjtën fazë.

Funksioni i fundit fN–1 përfaqëson të ardhurat nga fazat e mbetura N - 1, para fillimit të të cilave pajisja është një vjeç.

Një interpretim i ngjashëm mund t'i jepet ekuacionit për një proces njëfazor. Nuk ka term të formës f0(t + 1), pasi N merr vlerën 1, 2,..., N. Barazia f0(t) = 0 rrjedh nga përkufizimi i funksionit fN(t).

Ekuacionet janë marrëdhënie periodike që na lejojnë të përcaktojmë vlerën e fN(t) në varësi të fN–1(t + 1). Struktura e këtyre ekuacioneve tregon se kur kaloni nga një fazë e procesit në tjetrën, mosha e pajisjes rritet nga t në (t + 1) vjet, dhe numri i fazave të mbetura zvogëlohet nga N në (N - 1) .

Llogaritja fillon duke përdorur ekuacionin e parë. Ekuacionet ju lejojnë të vlerësoni opsionet për zëvendësimin dhe mirëmbajtjen e pajisjeve në mënyrë që të pranoni atë që ofron më shumë të ardhura. Këto raporte bëjnë të mundur jo vetëm zgjedhjen e një kursi veprimi kur vendoset nëse do të mirëmbahen ose zëvendësohen pajisjet, por edhe për të përcaktuar fitimin e marrë gjatë marrjes së secilit prej këtyre vendimeve.

Shembull. Përcaktoni ciklin optimal të zëvendësimit të pajisjeve me të dhënat fillestare të mëposhtme: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), të paraqitura në tabelë.

Zgjidhje. Ekuacionet i shkruajmë në formën e mëposhtme:

Vazhdojmë llogaritjet derisa të plotësohet kushti f1(1) > f2(2), d.m.th. V ky moment pajisja duhet të zëvendësohet, pasi shuma e fitimit të marrë si rezultat i zëvendësimit të pajisjes është më e madhe se në rastin e përdorimit të asaj të vjetër. Ne vendosim rezultatet e llogaritjes në tabelë, shënojmë momentin e zëvendësimit me një yll, pas së cilës ndalojmë llogaritjet e mëtejshme përgjatë vijës.

Nuk duhet ta zgjidhni ekuacionin çdo herë, por bëni llogaritjet në një tabelë. Për shembull, le të llogarisim f4(t):

Ne ndalojmë llogaritjet e mëtejshme për f4(t), pasi f4(4) = 23 Bazuar në rezultatet e llogaritjes dhe përgjatë vijës që kufizon zonat e vendimit për mirëmbajtjen dhe zëvendësimin e pajisjeve, gjejmë ciklin optimal të zëvendësimit të pajisjeve. Për këtë detyrë është 4 vjet.

Përgjigju. Për të marrë përfitimin maksimal nga përdorimi i pajisjeve në një proces me dymbëdhjetë hapa, cikli optimal është zëvendësimi i pajisjeve çdo 4 vjet.

Shpërndarja optimale e burimeve

Le të ketë një sasi të caktuar burimesh x që duhet të shpërndahen midis n ndërmarrjeve, objekteve, vendeve të punës, etj. në mënyrë që të merret efikasiteti maksimal i përgjithshëm nga metoda e përzgjedhur e shpërndarjes.

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: xi - sasia e burimeve të alokuara për ndërmarrjen e i-të (i = );

gi(xi) është funksioni i dobisë, në në këtë rast kjo është shuma e të ardhurave nga përdorimi i burimit xi të marra nga ndërmarrja e i-të;

fk(x) është e ardhura më e madhe që mund të merret duke përdorur burimet x nga k ndërmarrjet e para të ndryshme.

Problemi i formuluar mund të shkruhet në formë matematikore:

me kufizime:

Për të zgjidhur problemin, është e nevojshme të merret një relacion i përsëritjes që lidh fk(x) dhe fk–1(x).

Le të shënojmë me xk sasinë e burimit të përdorur nga metoda kth (0 ≤ xk ≤ x), pastaj për metodat (k - 1) sasia e burimeve të mbetura është e barabartë me (x - xk). Të ardhurat më të mëdha që fitohen kur përdorni një burim (x - xk) nga metodat e para (k - 1) do të jenë fk–1 (x - xk).

Për të maksimizuar të ardhurat totale nga metodat k–të dhe të para (k - 1), është e nevojshme të zgjidhni xk në atë mënyrë që të plotësohen marrëdhëniet e mëposhtme:

Le të shqyrtojmë detyrë specifike mbi shpërndarjen e investimeve kapitale ndërmjet ndërmarrjeve.

Shpërndarja e investimeve për përdorim efektiv potencialin e ndërmarrjes

Bordi i drejtorëve të kompanisë po shqyrton propozimet për të rritur kapacitetin prodhues për të rritur prodhimin e produkteve homogjene në katër ndërmarrje në pronësi të kompanisë.

Për të zgjeruar prodhimin, bordi i drejtorëve ndan fonde në shumën prej 120 milion rubla. me diskrete prej 20 milion rubla. Rritja e prodhimit në ndërmarrje varet nga shuma e alokuar, vlerat e saj janë paraqitur nga ndërmarrjet dhe përmbahen në tabelë.

Gjeni shpërndarjen e fondeve ndërmjet ndërmarrjeve që siguron rritjen maksimale të prodhimit dhe nuk mund të bëhet më shumë se një investim për ndërmarrje.

Zgjidhje. Zgjidhjen e problemit ta ndajmë në katër faza sipas numrit të ndërmarrjeve në të cilat pritet të bëhen investime.

Marrëdhëniet e përsëritjes do të duken si më poshtë:

për ndërmarrjen nr.1

për të gjitha ndërmarrjet e tjera

Zgjidhjen sipas raporteve të përsëritjes do ta kryejmë në katër faza.

Faza e 1. Ne bëjmë investime vetëm për ndërmarrjen e parë. Pastaj

Faza e 2-të. Ne alokojmë investime për ndërmarrjet e para dhe të dyta. Lidhja e përsëritjes për fazën e dytë ka formën

në x = 20 f2(20) = max (8 + 0.0 + 10) = max (8, 10) = 10,

në x = 40 f2(40) = max (16.8 + 10.20) = max (16, 18, 20) =20,

në x = 60 f2(60) = max (25.16 + 10, 8 + 20.28) = max (25.26, 28.28) = 28,

në x = 80 f2(80) = max (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = max (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

në x = 100 f2 (100) = max (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = max (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

në x = 120 f2(120) = max (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) ​​= max (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

Faza e 3-të. Po financojmë fazën e dytë dhe ndërmarrjen e tretë. Ne kryejmë llogaritjet duke përdorur formulën

në x = 20 f3 (20) = max (10, 12) = 12,

në x = 40 f3(40) = max (20.10 + 12.21) = max (20, 22, 21) = 22,

në x = 60 f3(60) = max (28,20 + 12,10 + 21,27) = max (28, 32, 31, 27) = 32,

në x = 80 f3(80) = max (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = max (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

në x = 100 f3(100) = max (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = max (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

në x = 120 f3(120) = max (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = max (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

Faza e 4-të. Investime në shumën prej 120 milion rubla. shpërndahet ndërmjet fazës së 3-të dhe ndërmarrjes së katërt.

Në x = 120 f4 (120) = max (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = max (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Përfitohen kushtet e kontrollit nga faza 1 deri në 4. Të kthehemi nga faza e 4-të në 1-rë. Rritja maksimale e prodhimit të produktit është 64 milion rubla. marrë në fazën e 4-të si 41 + 23, d.m.th. 23 milionë rubla. korrespondojnë me ndarjen prej 40 milion rubla. sipërmarrja e katërt (shih Tabelën 29.3). Sipas fazës së tretë, 41 milion rubla. marrë si 20 + 21, d.m.th. 21 milion rubla. korrespondon me një ndarje të dedikuar prej 40 milion rubla. në një kompani të tretë. Sipas fazës 2, 20 milion rubla. marrë me ndarjen e 40 milion rubla. në ndërmarrjen e dytë.

Kështu, investimet në shumën prej 120 milion rubla. Këshillohet që të ndani 40 milion rubla secila për ndërmarrjet e dytë, të tretë dhe të katërt. secili, ndërsa rritja e prodhimit do të jetë maksimale dhe do të arrijë në 64 milionë rubla.

Minimizimi i kostove për ndërtimin dhe funksionimin e ndërmarrjeve

Problemi i vendosjes optimale ndërmarrjet prodhuese mund të reduktohet në problemin e alokimit të burimeve sipas kriterit të minimizimit, duke marrë parasysh kushtet e plota të vendosura mbi variablat.

Le të ketë një nevojë të caktuar për një produkt të kërkuar në një territor të caktuar. Janë të njohura pikat ku është e mundur të ndërtohen ndërmarrje që prodhojnë këtë produkt. Janë llogaritur kostot e ndërtimit dhe funksionimit të ndërmarrjeve të tilla.

Është e nevojshme që ndërmarrjet të vendosen në mënyrë të tillë që kostot e ndërtimit dhe funksionimit të tyre të jenë minimale.

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

x është sasia e burimit të shpërndarë që mund të përdoret në n mënyra të ndryshme,

xi - sasia e burimit të përdorur sipas metodës i (i = );

gi(xi) është një funksion i kostos i barabartë, për shembull, me vlerën e kostove të prodhimit kur përdoret burimi xi duke përdorur metodën i;

φk(x) - koston më të ulët, të cilat duhet të prodhohen kur përdoret burimi x në k mënyrat e para.

Është e nevojshme të minimizohet kostoja totale e zhvillimit të burimit x në të gjitha mënyrat:

nën kufizime

Kuptimi ekonomik i variablave xi është gjetja e numrit të ndërmarrjeve të rekomanduara për ndërtim në pikën i-të. Për lehtësinë e llogaritjeve, do të supozojmë se është planifikuar ndërtimi i ndërmarrjeve me të njëjtin kapacitet.

Le të shqyrtojmë problemin specifik të vendndodhjes së ndërmarrjeve.

Shembull. Në tre rrethe të qytetit, sipërmarrësi planifikon të ndërtojë pesë ndërmarrje me kapacitet të barabartë për të prodhuar produkte buke të kërkuara.

Është e nevojshme që ndërmarrjet të vendosen në mënyrë të tillë që të sigurohet kostot totale minimale për ndërtimin dhe funksionimin e tyre. Vlerat e funksionit të kostos gi(x) janë dhënë në tabelë.

NË në këtë shembull gi(x) është një funksion i shpenzimeve në milion rubla, duke karakterizuar sasinë e kostove të ndërtimit dhe funksionimit në varësi të numrit të ndërmarrjeve të vendosura në rajonin e i-të;

φk(x) është shuma më e vogël e kostove në milion rubla që duhet të kryhen gjatë ndërtimit dhe funksionimit të ndërmarrjeve në rajonet e para k.

Zgjidhje. Ne e zgjidhim problemin duke përdorur marrëdhëniet e përsëritjes: për rajonin e parë

për zona të tjera

Ne do ta zgjidhim problemin në tre faza.

Faza e 1. Nëse të gjitha ndërmarrjet ndërtohen vetëm në rrethin e parë, atëherë

kostot minimale të mundshme në x = 5 janë 76 milion rubla.

Faza e 2-të. Le të përcaktojmë strategjinë optimale për vendndodhjen e ndërmarrjeve vetëm në dy rajonet e para duke përdorur formulën

Le të gjejmë φ2(l):

g2 (1) + φ1 (0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Le të llogarisim φ2(2):

g2 (2) + φ1 (0) = 19 + 0 = 19,

g2 (l) + φ1 (l) = 10 + 11 = 21,

g2 (0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

Le të gjejmë φ2 (3):

g2 (3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2 (2) + φ1 (l) = 19 + 11 = 30,

g2 (1) + φ1 (2) = 10 + 18 = 28,

g2 (0) + φ1 (3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

Le të përcaktojmë φ2 (4):

g2 (4) + φ1 (0) = 53 + 0 = 53,

g2 (3) + φ1 (l) = 34 + 11 = 45,

g2 (2) + φ1 (2) = 19 + 18 = 37,

g2 (l) + φ1 (3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Le të llogarisim φ2(5):

g2 (5) + φ1 (0) = 75 + 0 = 75,

g2 (4) + φ1 (l) = 53 + 11 = 64,

g2 (3) + φ1 (2) = 34 + 18 = 52,

g2 (2) + φ1 (3) = 19 + 35 = 54,

g2 (1) + φ1 (4) = 10 + 51 = 61,

g2 (0) + φ1 (5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

Faza e 3-të. Le të përcaktojmë strategjinë optimale për vendosjen e pesë ndërmarrjeve në tre rrethe duke përdorur formulën

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Le të gjejmë φ3 (5):

g3 (5) + φ2 (0) = 74 + 0 = 74,

g3 (4) + φ2 (1) = 54 + 10 = 64,

g3 (3) + φ2 (2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3 (1) + φ2 (4) = 9 + 37 = 46,

g3 (0) + φ2 (5) = 0 + 52 = 52,

φ3 (5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Kostot minimale të mundshme në x = 5 janë 46 milion rubla.

Janë përcaktuar kostot për ndërtimin e ndërmarrjeve nga faza e 1 deri në atë të tretë. Le të kthehemi në fazën 1 në datën 3. Kostot minimale në 46 milionë rubla. në fazën e 3-të fitohen si 9 + 37, d.m.th. 9 milionë rubla. korrespondojnë me ndërtimin e një ndërmarrje në rajonin e tretë (shih Tabelën 29.4). Sipas fazës së dytë, 37 milion rubla. marrë si 19 + 18, d.m.th. 19 milionë rubla. korrespondojnë me ndërtimin e dy ndërmarrjeve në rajonin e dytë. Sipas fazës së parë, 18 milion rubla. korrespondojnë me ndërtimin e dy ndërmarrjeve në rajonin e parë.

Përgjigju. Strategjia optimale është të ndërtohet një ndërmarrje në rajonin e tretë, dy ndërmarrje në rajonin e dytë dhe të parë, ndërsa kostoja minimale e ndërtimit dhe funksionimit do të jetë 46 den. njësi

Gjetja e kostove racionale në ndërtimin e tubacioneve dhe arterieve të transportit

Kërkohet vendosja e një shteg (tubacioni, autostrada) ndërmjet dy pikave A dhe B në mënyrë të tillë që kostot totale të ndërtimit të saj të jenë minimale.

Zgjidhje. Le ta ndajmë distancën midis pikave A dhe B në hapa (segmente). Në çdo hap ne mund të lëvizim ose drejt lindjes (përgjatë boshtit X) ose drejt veriut (përgjatë boshtit Y). Atëherë rruga nga A në B paraqet një vijë të thyer me shkallë, segmentet e së cilës janë paralele me një nga boshtet koordinative. Shpenzimet për ndërtimin e secilit seksion janë të njohura (Fig. 29.2) në milion rubla.

Le ta ndajmë distancën nga A në B në drejtim të lindjes në 4 pjesë, në veri - në 3 pjesë. Rruga mund të konsiderohet si një sistem i kontrolluar, duke lëvizur nën ndikimin e kontrollit nga gjendja fillestare A në gjendjen përfundimtare B. Gjendja e këtij sistemi para fillimit të çdo hapi do të karakterizohet nga dy koordinata me numra të plotë x dhe y. Për çdo gjendje të sistemit (pika nodale), gjejmë kontrollin optimal të kushtëzuar. Është zgjedhur në mënyrë që kostoja e të gjithë hapave të mbetur deri në fund të procesit të jetë minimale. Procedurën e optimizimit të kushtëzuar e kryejmë në drejtim të kundërt, d.m.th. nga pika B në pikën A.

Le të gjejmë optimizimin e kushtëzuar të hapit të fundit.

Programimi dinamik. Problemi i zëvendësimit të pajisjeve

Gjeni kohën optimale për zëvendësimin e pajisjeve. Kostoja fillestare e pajisjes q 0 =6000 konvencionale. njësi, vlera e likuidimit L(t)=q 0 2 -i, kostoja e mirëmbajtjes së pajisjeve të vjetra për 1 vit S(t)=0.1q 0 (t+1), jeta e shërbimit të pajisjes është 5 vjet. Në fund të jetës së tij të shërbimit, pajisja shitet. Zgjidheni problemin në mënyrë grafike.

Për të ndërtuar një grafik në softuerin Wolfram Mathematica 6.0, futni

g = Plot[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Si rezultat, marrim një grafik:

Nga grafiku shohim se koha optimale ndërrimi i pajisjeve është viti i dytë i funksionimit të tij.

Programimi dinamik. Shpërndarja optimale e fondeve ndërmjet ndërmarrjeve

Gjeni shpërndarjen optimale të fondeve në shumën prej 9 njësive konvencionale. njësi mes katër kompanive. Fitimi nga çdo ndërmarrje është në funksion të fondeve të investuara në të dhe është paraqitur në tabelë:

Investimet
Unë sipërmarrje
II ndërmarrje
III ndërmarrje
Ndërmarrja IV

Investimet në çdo ndërmarrje janë shumëfish të 1 njësie konvencionale. njësi

Le ta ndajmë procesin e alokimit të fondeve për ndërmarrjet në 4 faza: në fazën e parë, y 1 fonde ndahen për ndërmarrjen P 1, në të dytën - y 2 fonde për ndërmarrjen P 2, në të tretën - y 3 fonde për ndërmarrjen. P 3, në të tretën e katërt - y 4 fonde për ndërmarrjen P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Vini re se në fazën e katërt të alokimit të fondeve, i gjithë bilanci x 3 investohet në ndërmarrjen P 4, pra y 3 = x 4.

Le të përdorim ekuacionet e Bellman për N = 4.

Si rezultat, marrim tabelat e mëposhtme:

Tabela 1

tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Nga tabela 4 rezulton se kontrolli optimal do të jetë y 1 * = 3, ndërsa fitimi optimal është 42. Më pas marrim

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Kështu, investimi më optimal është në ndërmarrjet P1, P2, P3 dhe P4 Paratë në masën përkatësisht 4, 1.1 dhe 3 njësi konvencionale. Në këtë rast, fitimi do të jetë maksimal dhe do të arrijë në 42 njësi konvencionale. njësi

Gjatë funksionimit, pajisjet i nënshtrohen konsumit fizik dhe moral. Ekzistojnë dy mënyra për të rivendosur pajisjet - të plota dhe të pjesshme. Në rast restaurimi të plotë, pajisja ndërrohet me të re në rast restaurimi të pjesshëm, pajisja riparohet. Për përdorimin optimal të pajisjeve, duhet të gjeni moshën në të cilën duhet të zëvendësohet në mënyrë që të ardhurat nga makina të jenë maksimale ose, nëse të ardhurat nuk mund të llogariten, kostot për nevojat e riparimit dhe mirëmbajtjes të jenë minimale. Kjo qasje konsiderohet nga këndvështrimi i interesave ekonomike të konsumatorit.

Për të optimizuar riparimin dhe zëvendësimin e pajisjeve, është e nevojshme të zhvillohet një strategji e zëvendësimit të makinerive për periudhën e planifikimit. Si interesa ekonomike, mund të përdoret një nga dy qasjet:

1. Të ardhura maksimale nga një makinë për një periudhë të caktuar kohore.

2. Kostot minimale për nevojat e riparimit dhe mirëmbajtjes nëse të ardhurat nuk mund të llogariten.

Ky problem zgjidhet me metodën programim dinamik. Ideja kryesore e kësaj metode është zëvendësimi i përzgjedhjes së njëkohshme më shumë parametrat duke i përzgjedhur një nga një. Kjo metodë mund të zgjidhë një sërë problemesh optimizimi. Përgjithësia e qasjes për zgjidhjen e një sërë problemesh është një nga avantazhet e kësaj metode.

Le të shqyrtojmë një mekanizëm për optimizimin e riparimit dhe zëvendësimit të pajisjeve. Për të zgjidhur problemin, ne prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

t është mosha e pajisjes;

d(t) - të ardhurat vjetore neto nga pajisjet e moshës t;

U(t) - kostot për nevojat e riparimit dhe mirëmbajtjes së një makinerie të moshës t;

C është çmimi i pajisjeve të reja.

Për të zgjidhur këtë problem, ne prezantojmë një funksion fn(t), i cili tregon vlerën e të ardhurave maksimale gjatë n - viteve të fundit, me kusht që në fillim të periudhës n - vjet të kishim një moshë të makinës t - vjet.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit është si më poshtë:

1) f1 (t) = max d (0) - C

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1 (1) + d (0) - C

Një rritje e kostove do të çojë në një ulje të të ardhurave neto, e cila llogaritet si më poshtë:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - të ardhura vjetore nga pajisjet e moshës t;

u(t) - kosto vjetore për nevojat e riparimit dhe mirëmbajtjes

mosha e pajisjeve t.

Qasja e maksimizimit të të ardhurave

Për të zgjidhur këtë problem, prezantojmë funksionin fn(t), i cili tregon vlerën e të ardhurave maksimale gjatë n-viteve të fundit, me kusht që në fillim të periudhës n-vjeçare të kishim pajisje të vjetra t-vjet.

Nëse deri në fund të periudhës ka mbetur edhe 1 vit

Nëse deri në fund të periudhës kanë mbetur edhe n vite

(t) = maksimumi

ku t është mosha e pajisjes;

d (t) - të ardhurat vjetore neto nga pajisjet e moshës t;

C është çmimi i pajisjeve të reja.

Një rritje e kostove do të çojë në një ulje të të ardhurave neto, e cila llogaritet si më poshtë:

(t) = r(t) - u(t)

ku r (t) është të ardhurat vjetore nga pajisjet e moshës t;

u(t) - kosto vjetore për nevojat e riparimit dhe funksionimit të pajisjeve të moshës t.

Le të llogarisim të ardhurat neto duke përdorur formulën, duke ditur dinamikën e arkëtimeve të të ardhurave dhe rritjen e kostove të riparimit.

Tabela 2. Të ardhurat neto nga pajisjet sipas vitit

Ky shërbim është menduar për online zgjidhjen e problemit të strategjisë optimale të përmirësimit të pajisjeve. Në mënyrë tipike, parametrat e mëposhtëm specifikohen në të dhënat e burimit:

• r(t) është kostoja e produkteve të prodhuara gjatë çdo viti të periudhës së planifikimit duke përdorur këtë pajisje;
• u(t) - kostot vjetore të lidhura me funksionimin e pajisjeve;
• s(t) - vlera e mbetur e pajisjes;
• p është kostoja e pajisjeve të reja, e cila përfshin kostot e lidhura me instalimin, vënien në punë dhe fillimin e pajisjeve dhe nuk ndryshon në një periudhë të caktuar planifikimi.

Nëse kostoja e pajisjeve nuk specifikohet, do të zgjidhet një problem me funksionet e kostos dhe zëvendësimit (problemi i planifikimit të investimeve kapitale).

Planifikimi i investimeve kapitale.

Shembulli nr. 1. Gjeni strategjinë optimale për funksionimin e pajisjeve për një periudhë 6-vjeçare, nëse të ardhurat vjetore r(t) dhe vlera e mbetur S(t) në varësi të moshës janë dhënë në tabelë, kostoja e pajisjeve të reja është P = 13, dhe mosha e pajisjeve në fillim të periudhës operative ishte 1 vit.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Zgjidhje.
Faza I. Optimizimi i kushtëzuar(k = 6,5,4,3,2,1).
Ndryshorja e kontrollit aktiv hapi kthështë një variabël logjik që mund të marrë një nga dy vlerat: të mbajë (C) ose të zëvendësojë (R) pajisjet në fillim të vitit k-të.
Hapi i parë: k = 6. Për hapin e parë, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1,2,3,4,5,6, dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max (7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max (7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max (6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max (6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max (5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max (5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
Hapi i dytë: k = 5. Për hapin e dytë, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1,2,3,4,5 dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max (7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max (6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max (6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max (5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
Hapi 3: k = 4. Për hapin e tretë, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1,2,3,4 dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max (7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max (7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = maksimumi (6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/P)
F 4 (4) = maksimumi (6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/P)
F 4 (5) = max (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
Hapi 4: k = 3. Për hapin e 4-të, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1,2,3 dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max (7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max (7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = maksimumi (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = max (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
Hapi i 5-të: k = 2. Për hapin e 5-të, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1.2, dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = maksimumi (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/P)
F 2 (2) = max (7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = maksimumi (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = maksimumi (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
Hapi i 6-të: k = 1. Për hapin e 6-të, gjendjet e mundshme të sistemit janë t = 1, dhe ekuacionet funksionale kanë formën:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = maksimumi (7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max (7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = maksimumi (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/P)
F 1 (4) = maksimumi (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/P)
F 1 (5) = maksimumi (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Rezultatet e llogaritjeve duke përdorur ekuacionet Bellman F k (t) janë dhënë në tabelë, në të cilën k është viti i funksionimit dhe t është mosha e pajisjes.
Tabela – Matrica e fitimit maksimal

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

Tabela nxjerr në pah vlerën e funksionit që korrespondon me gjendjen (3) - zëvendësimi i pajisjeve.
Gjatë zgjidhjes së këtij problemi në disa tabela gjatë vlerësimit të zgjedhjes kontrolli i kërkuar kemi marrë të njëjtat vlera F për të dy opsionet e kontrollit. Në këtë rast, në përputhje me algoritmin për zgjidhjen e problemeve të tilla, është e nevojshme të zgjidhni një kontroll të ruajtjes së pajisjeve.
Faza II. Optimizimi i pakushtëzuar(k = 6,5,4,3,2,1).
Sipas kushteve të problemit, mosha e pajisjes është t 1 =1 vjet. Periudha e planifikuar N=6 vjet.
Me fillimin e vitit të parë të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Fitimi do të jetë F 1 (1) = 37.
Kontrolli optimal për k = 1, x 1 (1) = (C), d.m.th. të ardhurat maksimale për vitet 1 deri në 6 arrihen nëse ruhen pajisjet, d.m.th. nuk zëvendësohet.
Me fillimin e vitit të dytë të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Fitimi do të jetë F 2 (2) = 30.
Kontrolli optimal për k = 2, x 2 (2) = (C), d.m.th. të ardhurat maksimale për vitet 2 deri në 6 arrihen nëse pajisjet mirëmbahen, d.m.th. nuk zëvendësohet.
Me fillimin e vitit të 3-të të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Fitimi do të jetë F 3 (3) = 23.
Kontrolli optimal i pakushtëzuar për k = 3, x 3 (3)=(3), d.m.th. Për të marrë fitim maksimal për vitet e mbetura, është e nevojshme të zëvendësohen pajisjet këtë vit.
Me fillimin e vitit të 4-të të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Fitimi do të jetë F 4 (1) = 20.
Kontrolli optimal për k = 4, x 4 (1) = (C), d.m.th. të ardhurat maksimale për vitet 1 deri në 6 arrihen nëse ruhen pajisjet, d.m.th. nuk zëvendësohet.
Me fillimin e vitit të 5-të të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Fitimi do të jetë F 5 (2) = 13.
Kontrolli optimal për k = 5, x 5 (2) = (C), d.m.th. të ardhurat maksimale për vitet 2 deri në 6 arrihen nëse pajisjet mirëmbahen, d.m.th. nuk zëvendësohet.
Me fillimin e vitit të 6-të të funksionimit, mosha e pajisjeve do të rritet me një dhe do të jetë: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Fitimi do të jetë F 6 (3) = 6.
Kontrolli optimal për k = 6, x 6 (3) = (C), d.m.th. të ardhurat maksimale për vitet 3 deri në 6 arrihen nëse ruhen pajisjet, d.m.th. nuk zëvendësohet.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Kështu, pas 6 viteve të funksionimit të pajisjes, zëvendësimi duhet të bëhet në fillim të vitit të 3-të të funksionimit.

Shembulli nr. 2. Problemi i planifikimit të investimeve kapitale. Intervali i planifikimit T=5 vjet. Funksioni i kostos për riparime dhe funksionim të mëtejshëm K(t)=t+2t 2 (r.); funksioni zëvendësues P(t)=10+0.05t 2 (p.). Përcaktoni strategjinë optimale të zëvendësimit dhe riparimit për pajisjet e reja (t=0) dhe pajisjet e vjetra t=1, t=2, t=3.
Përcaktoni kostot optimale të planifikuara për vitet e planit pesëvjeçar, nëse sasia e pajisjeve sipas grupmoshave është si më poshtë: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5