Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.
Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet pa to. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.
Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve
Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:
- log a x+log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!
Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:
Regjistri 6 4 + regjistri 6 9.
Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.
Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.
Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.
Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi
Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:
Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.
Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .
Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]
Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ne kemi:
[Diçitura për foton] Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".
Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.
Kalimi në një themel të ri
Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?
Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:
Le të jepet regjistri i logaritmit a x. Pastaj për çdo numër c të tilla që c> 0 dhe c≠ 1, barazia është e vërtetë:
[Diçitura për foton]
Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:
[Diçitura për foton]
Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.
Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.
Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.
Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:
[Diçitura për foton]Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.
Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:
[Diçitura për foton]Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:
[Diçitura për foton]Identiteti bazë logaritmik
Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:
Në rastin e parë, numri n bëhet tregues i shkallës që qëndron në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.
Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kjo është ajo që quhet: identiteti bazë logaritmik.
Në fakt, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrenë në një fuqi të tillë që numri b kësaj fuqie i jep numri a? Kjo është e drejtë: ju merrni të njëjtin numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.
Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]
Vini re se log 25 64 = log 5 8 - thjesht morëm katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:
[Diçitura për foton]Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)
Njësia logaritmike dhe zero logaritmike
Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Vazhdimisht shfaqen në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”.
- log a a= 1 është një njësi logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin në çdo bazë a nga kjo bazë është e barabartë me një.
- log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.
Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.
Ndërsa shoqëria u zhvillua dhe prodhimi u bë më kompleks, u zhvillua edhe matematika. Lëvizja nga e thjeshta në komplekse. Nga kontabiliteti i zakonshëm duke përdorur metodën e mbledhjes dhe zbritjes, me përsëritjen e tyre të përsëritur, arritëm në konceptin e shumëzimit dhe pjesëtimit. Zvogëlimi i operacionit të përsëritur të shumëzimit u bë koncepti i fuqizimit. Tabelat e para të varësisë së numrave nga baza dhe numri i fuqisë u përpiluan në shekullin e 8-të nga matematikani indian Varasena. Prej tyre mund të numëroni kohën e shfaqjes së logaritmeve.
Skicë historike
Ringjallja e Evropës në shekullin e 16-të stimuloi gjithashtu zhvillimin e mekanikës. T kërkonte një sasi të madhe llogaritjeje lidhur me shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave shumëshifrorë. Tavolinat e lashta ishin me shërbim të madh. Ata bënë të mundur zëvendësimin e operacioneve komplekse me ato më të thjeshta - mbledhje dhe zbritje. Një hap i madh përpara ishte puna e matematikanit Michael Stiefel, e botuar në 1544, në të cilën ai realizoi idenë e shumë matematikanëve. Kjo bëri të mundur përdorimin e tabelave jo vetëm për fuqitë në formën e numrave të thjeshtë, por edhe për ato racionale arbitrare.
Në vitin 1614, skocezi John Napier, duke zhvilluar këto ide, prezantoi për herë të parë termin e ri "logaritmi i një numri". U përpiluan tabela të reja komplekse për llogaritjen e logaritmeve të sinuseve dhe kosinuseve, si dhe tangjentet. Kjo reduktoi shumë punën e astronomëve.
Filluan të shfaqen tabela të reja, të cilat u përdorën me sukses nga shkencëtarët për tre shekuj. Kaloi shumë kohë përpara se operacioni i ri në algjebër të merrte formën e tij të përfunduar. Është dhënë përkufizimi i logaritmit dhe janë studiuar vetitë e tij.
Vetëm në shekullin e 20-të, me ardhjen e makinës llogaritëse dhe kompjuterit, njerëzimi braktisi tabelat e lashta që kishin funksionuar me sukses gjatë shekujve të 13-të.
Sot ne e quajmë logaritmin e b për të bazuar a numrin x që është fuqia e a për të bërë b. Kjo shkruhet si formulë: x = log a(b).
Për shembull, log 3(9) do të jetë i barabartë me 2. Kjo është e qartë nëse ndiqni përkufizimin. Nëse ngremë 3 në fuqinë e 2, marrim 9.
Kështu, përkufizimi i formuluar vendos vetëm një kufizim: numrat a dhe b duhet të jenë real.
Llojet e logaritmeve
Përkufizimi klasik quhet logaritmi real dhe në fakt është zgjidhja e ekuacionit a x = b. Opsioni a = 1 është kufitar dhe nuk është me interes. Kujdes: 1 për çdo fuqi është e barabartë me 1.
Vlera reale e logaritmit definohet vetëm kur baza dhe argumenti janë më të mëdhenj se 0 dhe baza nuk duhet të jetë e barabartë me 1.
Vend të veçantë në fushën e matematikës luani logaritme, të cilat do të emërtohen në varësi të madhësisë së bazës së tyre:
Rregullat dhe kufizimet
Vetia themelore e logaritmeve është rregulli: logaritmi i një produkti është i barabartë me shumën logaritmike. log abp = log a(b) + log a(p).
Si variant i këtij pohimi do të ketë: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funksioni koeficient është i barabartë me diferencën e funksioneve.
Nga dy rregullat e mëparshme është e lehtë të shihet se: log a(b p) = p * log a(b).
Prona të tjera përfshijnë:
Komentoni. Nuk ka nevojë të bëni një gabim të zakonshëm - logaritmi i një shume nuk është i barabartë me shumën e logaritmeve.
Për shumë shekuj, operacioni i gjetjes së një logaritmi ishte një detyrë mjaft e gjatë. Matematikanët përdorën formulën e njohur të teorisë logaritmike të zgjerimit polinomial:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ku n është një numër natyror më i madh se 1, i cili përcakton saktësinë e llogaritjes.
Logaritmet me baza të tjera janë llogaritur duke përdorur teoremën për kalimin nga një bazë në tjetrën dhe vetinë e logaritmit të produktit.
Meqenëse kjo metodë është shumë punë intensive dhe gjatë zgjidhjes së problemeve praktike vështirë për t'u zbatuar, ne përdorëm tabela të përpiluara paraprakisht të logaritmeve, të cilat shpejtuan ndjeshëm të gjithë punën.
Në disa raste, u përdorën grafikë të përpiluar posaçërisht të logaritmeve, të cilat dhanë më pak saktësi, por shpejtuan ndjeshëm kërkimin për vlerën e dëshiruar. Kurba e funksionit y = log a(x), e ndërtuar mbi disa pika, ju lejon të përdorni një vizore të rregullt për të gjetur vlerën e funksionit në çdo pikë tjetër. Për një kohë të gjatë, inxhinierët përdorën të ashtuquajturën letër grafik për këto qëllime.
Në shekullin e 17-të, u shfaqën kushtet e para ndihmëse të llogaritjes analoge, të cilat deri në shekullin e 19-të morën një formë të plotë. Pajisja më e suksesshme u quajt rregulli i rrëshqitjes. Megjithë thjeshtësinë e pajisjes, pamja e saj përshpejtoi ndjeshëm procesin e të gjitha llogaritjeve inxhinierike, dhe kjo është e vështirë të mbivlerësohet. Aktualisht, pak njerëz janë të njohur me këtë pajisje.
Ardhja e kalkulatorëve dhe kompjuterëve e bëri të pakuptimtë përdorimin e çdo pajisjeje tjetër.
Ekuacionet dhe pabarazitë
Për të zgjidhur ekuacione dhe pabarazi të ndryshme duke përdorur logaritme, përdoren formulat e mëposhtme:
- Kalimi nga një bazë në tjetrën: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Si pasojë e opsionit të mëparshëm: log a(b) = 1 / log b(a).
Për të zgjidhur pabarazitë është e dobishme të dini:
- Vlera e logaritmit do të jetë pozitive vetëm nëse baza dhe argumenti janë të dyja më të mëdha ose më të vogla se një; nëse shkelet të paktën një kusht, vlera e logaritmit do të jetë negative.
- Nëse funksioni i logaritmit zbatohet në anën e djathtë dhe të majtë të një mosbarazimi, dhe baza e logaritmit është më e madhe se një, atëherë shenja e mosbarazimit ruhet; përndryshe ndryshon.
Shembuj të problemeve
Le të shqyrtojmë disa opsione për përdorimin e logaritmeve dhe vetive të tyre. Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve:
Merrni parasysh opsionin e vendosjes së logaritmit në një fuqi:
- Problemi 3. Llogarit 25^log 5(3). Zgjidhja: në kushtet e problemit, hyrja është e ngjashme me sa vijon (5^2)^log5(3) ose 5^(2 * log 5(3)). Le ta shkruajmë ndryshe: 5^log 5(3*2), ose katrori i një numri si argument funksioni mund të shkruhet si katrori i vetë funksionit (5^log 5(3))^2. Duke përdorur vetitë e logaritmeve, kjo shprehje është e barabartë me 3^2. Përgjigje: si rezultat i llogaritjes marrim 9.
Aplikim praktik
Duke qenë një mjet thjesht matematikor, duket larg jetës reale që logaritmi papritmas fitoi një rëndësi të madhe për përshkrimin e objekteve në botën reale. Është e vështirë të gjesh një shkencë ku nuk përdoret. Kjo vlen plotësisht jo vetëm për fushat e njohurive natyrore, por edhe humanitare.
Varësitë logaritmike
Këtu janë disa shembuj të varësive numerike:
Mekanika dhe fizika
Historikisht, mekanika dhe fizika janë zhvilluar gjithmonë duke përdorur metoda kërkimore matematikore dhe në të njëjtën kohë kanë shërbyer si një nxitje për zhvillimin e matematikës, duke përfshirë logaritmet. Teoria e shumicës së ligjeve të fizikës është shkruar në gjuhën e matematikës. Le të japim vetëm dy shembuj të përshkrimit të ligjeve fizike duke përdorur logaritmin.
Problemi i llogaritjes së një sasie kaq komplekse si shpejtësia e një rakete mund të zgjidhet duke përdorur formulën Tsiolkovsky, e cila hodhi themelet për teorinë e eksplorimit të hapësirës:
V = I * ln (M1/M2), ku
- V është shpejtësia përfundimtare e avionit.
- I - impuls specifik i motorit.
- M 1 - masa fillestare e raketës.
- M 2 - masa përfundimtare.
Një shembull tjetër i rëndësishëm- kjo përdoret në formulën e një tjetër shkencëtari të madh Max Planck, që shërben për të vlerësuar gjendjen e ekuilibrit në termodinamikë.
S = k * ln (Ω), ku
- S – veti termodinamike.
- k – konstante Boltzmann.
- Ω është pesha statistikore e gjendjeve të ndryshme.
Kimia
Më pak e dukshme është përdorimi i formulave në kimi që përmbajnë raportin e logaritmeve. Le të japim vetëm dy shembuj:
- Ekuacioni Nernst, gjendja e potencialit redoks të mediumit në lidhje me aktivitetin e substancave dhe konstanten e ekuilibrit.
- Llogaritja e konstantave të tilla si indeksi i autolizës dhe aciditeti i tretësirës gjithashtu nuk mund të bëhet pa funksionin tonë.
Psikologjia dhe biologjia
Dhe nuk është aspak e qartë se çfarë ka të bëjë psikologjia me të. Rezulton se forca e ndjeshmërisë përshkruhet mirë nga ky funksion si raport i kundërt i vlerës së intensitetit të stimulit me vlerën e intensitetit më të ulët.
Pas shembujve të mësipërm, nuk është më për t'u habitur që tema e logaritmeve përdoret gjerësisht në biologji. Vëllime të tëra mund të shkruheshin për forma biologjike që korrespondojnë me spirale logaritmike.
Zona të tjera
Duket se ekzistenca e botës është e pamundur pa lidhje me këtë funksion, dhe ajo sundon të gjitha ligjet. Sidomos kur ligjet e natyrës shoqërohen me progresion gjeometrik. Ia vlen t'i drejtoheni faqes së internetit MatProfi dhe ka shumë shembuj të tillë në fushat e mëposhtme të aktivitetit:
Lista mund të jetë e pafund. Pasi të keni zotëruar parimet themelore të këtij funksioni, mund të zhyteni në botën e mençurisë së pafund.
Me këtë video unë filloj një seri të gjatë mësimesh rreth ekuacioneve logaritmike. Tani keni tre shembuj në bazë të të cilëve do të mësojmë të zgjidhim problemet më të thjeshta, të cilat quhen - protozoarët.
log 0,5 (3x − 1) = −3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Më lejoni t'ju kujtoj se ekuacioni logaritmik më i thjeshtë është ky:
log a f (x) = b
Në këtë rast, është e rëndësishme që ndryshorja x të jetë e pranishme vetëm brenda argumentit, pra vetëm në funksionin f (x). Dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast nuk janë funksione që përmbajnë ndryshoren x.
Metodat bazë të zgjidhjes
Ka shumë mënyra për të zgjidhur struktura të tilla. Për shembull, shumica e mësuesve në shkollë ofrojnë këtë metodë: Shprehni menjëherë funksionin f (x) duke përdorur formulën f ( x) = a b. Kjo do të thotë, kur hasni në ndërtimin më të thjeshtë, mund të kaloni menjëherë në zgjidhje pa veprime dhe ndërtime shtesë.
Po, sigurisht, vendimi do të jetë i saktë. Megjithatë, problemi me këtë formulë është se shumica e studentëve nuk e kuptoj, nga vjen dhe pse e ngremë shkronjën a në shkronjën b.
Si rezultat, unë shpesh shoh gabime shumë të bezdisshme kur, për shembull, këto shkronja shkëmbehen. Kjo formulë ose duhet kuptuar ose e mbushur, dhe metoda e dytë çon në gabime në momentet më të papërshtatshme dhe më vendimtare: gjatë provimeve, testeve, etj.
Kjo është arsyeja pse unë u sugjeroj të gjithë nxënësve të mi të braktisin formulën standarde të shkollës dhe të përdorin qasjen e dytë për zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike, e cila, siç me siguri e keni marrë me mend nga emri, quhet formë kanonike.
Ideja e formës kanonike është e thjeshtë. Le të shohim problemin tonë përsëri: në të majtë kemi log a, dhe me shkronjën a nënkuptojmë një numër dhe në asnjë rast një funksion që përmban ndryshoren x. Për rrjedhojë, kjo letër i nënshtrohet të gjitha kufizimeve që vlejnë për bazën e logaritmit. gjegjësisht:
1 ≠ a > 0
Nga ana tjetër, nga i njëjti ekuacion shohim se logaritmi duhet të jetë i barabartë me numrin b, dhe nuk vendosen kufizime për këtë shkronjë, sepse mund të marrë çdo vlerë - pozitive dhe negative. E gjitha varet nga vlerat që merr funksioni f(x).
Dhe këtu kujtojmë rregullin tonë të mrekullueshëm që çdo numër b mund të përfaqësohet si një logaritëm në bazën a të a me fuqinë e b:
b = log a a b
Si ta mbani mend këtë formulë? Po, shumë e thjeshtë. Le të shkruajmë ndërtimin e mëposhtëm:
b = b 1 = b log a a
Sigurisht, në këtë rast lindin të gjitha kufizimet që shënuam në fillim. Tani le të përdorim vetinë bazë të logaritmit dhe të prezantojmë shumëzuesin b si fuqinë e a. Ne marrim:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Si rezultat, ekuacioni origjinal do të rishkruhet si më poshtë:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Kjo është ajo. Funksioni i ri nuk përmban më një logaritëm dhe mund të zgjidhet duke përdorur teknika standarde algjebrike.
Sigurisht, dikush tani do të kundërshtojë: pse ishte e nevojshme të dilte fare me një lloj formule kanonike, pse të kryheshin dy hapa shtesë të panevojshëm nëse do të ishte e mundur të kalonte menjëherë nga modeli origjinal në formulën përfundimtare? Po, vetëm sepse shumica e studentëve nuk e kuptojnë se nga vjen kjo formulë dhe, si rezultat, rregullisht bëjnë gabime kur e zbatojnë atë.
Por kjo sekuencë veprimesh, e përbërë nga tre hapa, ju lejon të zgjidhni ekuacionin logaritmik origjinal, edhe nëse nuk e kuptoni se nga vjen formula përfundimtare. Nga rruga, kjo hyrje quhet formula kanonike:
log a f (x) = log a a b
Komoditeti i formës kanonike qëndron gjithashtu në faktin se ajo mund të përdoret për të zgjidhur një klasë shumë të gjerë ekuacionesh logaritmike, dhe jo vetëm ato më të thjeshtat që po shqyrtojmë sot.
Shembuj zgjidhjesh
Tani le të shohim shembuj realë. Pra, le të vendosim:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Le ta rishkruajmë kështu:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Shumë studentë janë me nxitim dhe përpiqen të ngrenë menjëherë numrin 0.5 në fuqinë që na erdhi nga problemi origjinal. Në të vërtetë, kur tashmë jeni të trajnuar mirë në zgjidhjen e problemeve të tilla, mund ta kryeni menjëherë këtë hap.
Sidoqoftë, nëse tani sapo keni filluar të studioni këtë temë, është më mirë të mos nxitoni askund në mënyrë që të shmangni gabimet fyese. Pra, kemi formën kanonike. Ne kemi:
3x − 1 = 0,5 −3
Ky nuk është më një ekuacion logaritmik, por linear në lidhje me ndryshoren x. Për ta zgjidhur atë, le të shohim së pari numrin 0.5 në fuqinë −3. Vini re se 0.5 është 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Shndërroni të gjitha thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme kur zgjidhni një ekuacion logaritmik.
Ne rishkruajmë dhe marrim:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Kaq, e morëm përgjigjen. Problemi i parë është zgjidhur.
Detyra e dytë
Le të kalojmë në detyrën e dytë:
Siç e shohim, ky ekuacion nuk është më më i thjeshti. Nëse vetëm sepse ka një ndryshim në të majtë, dhe jo një logaritëm të vetëm në një bazë.
Prandaj, ne duhet të heqim qafe disi këtë ndryshim. Në këtë rast, gjithçka është shumë e thjeshtë. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt bazave: në të majtë është numri nën rrënjë:
Rekomandim i përgjithshëm: në të gjitha ekuacionet logaritmike, përpiquni të hiqni qafe radikalët, d.m.th., nga hyrjet me rrënjë dhe të kaloni te funksionet e fuqisë, thjesht sepse eksponentët e këtyre fuqive hiqen lehtësisht nga shenja e logaritmit dhe, në fund, të tilla një hyrje thjeshton dhe shpejton ndjeshëm llogaritjet. Le ta shkruajmë kështu:
Tani le të kujtojmë vetinë e jashtëzakonshme të logaritmit: fuqitë mund të nxirren nga argumenti, si dhe nga baza. Në rastin e bazave, ndodh si më poshtë:
log a k b = 1/k loga b
Me fjalë të tjera, numri që ishte në fuqinë bazë sillet përpara dhe në të njëjtën kohë përmbyset, domethënë bëhet një numër reciprok. Në rastin tonë, shkalla bazë ishte 1/2. Prandaj, ne mund ta nxjerrim atë si 2/1. Ne marrim:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Ju lutemi vini re: në asnjë rrethanë nuk duhet të hiqni qafe logaritmet në këtë hap. Mbani mend matematikën e klasës 4-5 dhe renditjen e veprimeve: fillimisht kryhet shumëzimi dhe vetëm më pas mbledhja dhe zbritja. Në këtë rast, ne zbresim një nga të njëjtët elementë nga 10 elementë:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Tani ekuacioni ynë duket ashtu siç duhet. Ky është ndërtimi më i thjeshtë, dhe ne e zgjidhim atë duke përdorur formën kanonike:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Kjo është ajo. Problemi i dytë është zgjidhur.
Shembulli i tretë
Le të kalojmë në detyrën e tretë:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Më lejoni t'ju kujtoj formulën e mëposhtme:
log b = log 10 b
Nëse për ndonjë arsye jeni të hutuar nga shënimi log b, atëherë kur kryeni të gjitha llogaritjet thjesht mund të shkruani log 10 b. Ju mund të punoni me logaritme dhjetore në të njëjtën mënyrë si me të tjerët: merrni fuqi, shtoni dhe përfaqësoni çdo numër në formën lg 10.
Janë këto veti që tani do t'i përdorim për të zgjidhur problemin, pasi nuk është më e thjeshta që kemi shkruar në fillim të mësimit tonë.
Së pari, vini re se faktori 2 përballë lg 5 mund të futet dhe bëhet një fuqi e bazës 5. Përveç kësaj, termi i lirë 3 është gjithashtu i përfaqësuar si një logaritëm - kjo është shumë e lehtë për t'u vëzhguar nga shënimi ynë.
Gjykoni vetë: çdo numër mund të përfaqësohet si regjistër në bazën 10:
3 = regjistri 10 10 3 = regjistri 10 3
Le të rishkruajmë problemin origjinal duke marrë parasysh ndryshimet e marra:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000
Para nesh është përsëri forma kanonike dhe e kemi marrë pa kaluar në fazën e transformimit, d.m.th., ekuacioni më i thjeshtë logaritmik nuk u shfaq askund.
Pikërisht për këtë fola në fillim të mësimit. Forma kanonike ju lejon të zgjidhni një klasë më të gjerë problemesh sesa formula standarde e shkollës që japin shumica e mësuesve të shkollës.
Epo, kjo është ajo, ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhjetor dhe marrim një ndërtim të thjeshtë linear:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Të gjitha! Problemi është zgjidhur.
Një shënim për qëllimin
Këtu do të doja të bëja një vërejtje të rëndësishme në lidhje me shtrirjen e përkufizimit. Me siguri tani do të ketë nxënës dhe mësues që do të thonë: "Kur zgjidhim shprehjet me logaritme, duhet të kujtojmë se argumenti f (x) duhet të jetë më i madh se zero!" Në këtë drejtim, lind një pyetje logjike: pse nuk kërkuam që kjo pabarazi të plotësohej në asnjë nga problemet e konsideruara?
Mos u shqetësoni. Në këto raste, nuk do të shfaqen rrënjë shtesë. Dhe ky është një tjetër truk i shkëlqyeshëm që ju lejon të shpejtoni zgjidhjen. Vetëm dijeni se nëse në problem ndryshorja x shfaqet vetëm në një vend (ose më mirë, në një argument të vetëm të një logaritmi të vetëm), dhe askund tjetër në rastin tonë nuk shfaqet ndryshorja x, atëherë shkruani domenin e përkufizimit nuk ka nevojë, sepse do të ekzekutohet automatikisht.
Gjykoni vetë: në ekuacionin e parë kemi marrë se 3x − 1, pra argumenti duhet të jetë i barabartë me 8. Kjo automatikisht do të thotë se 3x − 1 do të jetë më i madh se zero.
Me të njëjtin sukses, mund të shkruajmë se në rastin e dytë x duhet të jetë i barabartë me 5 2, d.m.th. është sigurisht më i madh se zero. Dhe në rastin e tretë, ku x + 3 = 25,000, pra, përsëri, padyshim më i madh se zero. Me fjalë të tjera, shtrirja plotësohet automatikisht, por vetëm nëse x ndodh vetëm në argumentin e vetëm një logaritmi.
Kjo është gjithçka që duhet të dini për të zgjidhur problemet më të thjeshta. Vetëm ky rregull, së bashku me rregullat e transformimit, do t'ju lejojë të zgjidhni një klasë shumë të gjerë problemesh.
Por le të jemi të sinqertë: për të kuptuar përfundimisht këtë teknikë, për të mësuar se si të aplikoni formën kanonike të ekuacionit logaritmik, nuk mjafton vetëm të shikoni një mësim video. Prandaj, tani shkarkoni opsionet për zgjidhje të pavarura që i janë bashkangjitur këtij mësimi video dhe filloni të zgjidhni të paktën një nga këto dy vepra të pavarura.
Do t'ju marrë fjalë për fjalë disa minuta. Por efekti i një trajnimi të tillë do të jetë shumë më i lartë sesa nëse thjesht e shikoni këtë mësim video.
Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të kuptoni ekuacionet logaritmike. Përdorni formën kanonike, thjeshtoni shprehjet duke përdorur rregullat për të punuar me logaritme - dhe nuk do të keni frikë nga asnjë problem. Kjo është gjithçka që kam për sot.
Duke marrë parasysh fushën e përkufizimit
Tani le të flasim për domenin e përcaktimit të funksionit logaritmik dhe se si kjo ndikon në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike. Konsideroni një ndërtim të formës
log a f (x) = b
Një shprehje e tillë quhet më e thjeshta - përmban vetëm një funksion, dhe numrat a dhe b janë vetëm numra, dhe në asnjë rast funksion që varet nga ndryshorja x. Mund të zgjidhet shumë thjesht. Thjesht duhet të përdorni formulën:
b = log a a b
Kjo formulë është një nga vetitë kryesore të logaritmit, dhe kur zëvendësojmë në shprehjen tonë origjinale marrim sa vijon:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Kjo është një formulë e njohur nga tekstet shkollore. Shumë studentë ndoshta do të kenë një pyetje: meqenëse në shprehjen origjinale funksioni f (x) është nën shenjën e regjistrit, kufizimet e mëposhtme vendosen mbi të:
f(x) > 0
Ky kufizim vlen sepse logaritmi i numrave negativë nuk ekziston. Pra, ndoshta, si rezultat i këtij kufizimi, duhet të futet një kontroll mbi përgjigjet? Ndoshta ato duhet të futen në burim?
Jo, në ekuacionet më të thjeshta logaritmike kontrolli shtesë është i panevojshëm. Dhe ja pse. Hidhini një sy formulës sonë përfundimtare:
f (x) = a b
Fakti është se numri a është në çdo rast më i madh se 0 - kjo kërkesë imponohet gjithashtu nga logaritmi. Numri a është baza. Në këtë rast nuk vendosen kufizime për numrin b. Por kjo nuk ka rëndësi, sepse pa marrë parasysh se në cilën fuqi e ngremë një numër pozitiv, ne do të marrim përsëri një numër pozitiv në dalje. Kështu, kërkesa f (x) > 0 plotësohet automatikisht.
Ajo që vërtet ia vlen të kontrollohet është domeni i funksionit nën shenjën e regjistrit. Mund të ketë struktura mjaft komplekse, dhe ju patjetër duhet t'i mbani një sy mbi to gjatë procesit të zgjidhjes. Le të shohim.
Detyra e parë:
Hapi i parë: konvertoni thyesën në të djathtë. Ne marrim:
Ne heqim qafe shenjën e logaritmit dhe marrim ekuacionin e zakonshëm irracional:
Nga rrënjët e marra na përshtatet vetëm e para, pasi rrënja e dytë është më e vogël se zero. Përgjigja e vetme do të jetë numri 9. Kjo është ajo, problemi është zgjidhur. Nuk kërkohen kontrolle shtesë për të siguruar që shprehja nën shenjën e logaritmit është më e madhe se 0, sepse ajo nuk është thjesht më e madhe se 0, por sipas kushtit të ekuacionit është e barabartë me 2. Prandaj, kërkesa “më e madhe se zero ” kënaqet automatikisht.
Le të kalojmë në detyrën e dytë:
Gjithçka është e njëjtë këtu. Ne rishkruajmë ndërtimin, duke zëvendësuar trefishin:
Ne heqim qafe shenjat e logaritmit dhe marrim një ekuacion irracional:
Ne sheshojmë të dy anët duke marrë parasysh kufizimet dhe marrim:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
E zgjidhim ekuacionin që rezulton përmes diskriminuesit:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Por x = -6 nuk na përshtatet, sepse nëse e zëvendësojmë këtë numër në pabarazinë tonë, marrim:
−6 + 4 = −2 < 0
Në rastin tonë, kërkohet që ajo të jetë më e madhe se 0 ose, në raste ekstreme, e barabartë. Por x = −1 na përshtatet:
−1 + 4 = 3 > 0
Përgjigja e vetme në rastin tonë do të jetë x = -1. Kjo është zgjidhja. Le të kthehemi në fillimin e llogaritjeve tona.
Çështja kryesore nga ky mësim është se nuk keni nevojë të kontrolloni kufizimet në një funksion në ekuacione të thjeshta logaritmike. Sepse gjatë procesit të zgjidhjes të gjitha kufizimet plotësohen automatikisht.
Sidoqoftë, kjo në asnjë mënyrë nuk do të thotë që ju mund të harroni fare kontrollin. Në procesin e punës për një ekuacion logaritmik, ai mund të kthehet fare mirë në një ekuacion irracional, i cili do të ketë kufizimet dhe kërkesat e veta për anën e djathtë, gjë që e kemi parë sot në dy shembuj të ndryshëm.
Ndjehuni të lirë për të zgjidhur probleme të tilla dhe jini veçanërisht të kujdesshëm nëse ka një rrënjë në argument.
Ekuacione logaritmike me baza të ndryshme
Ne vazhdojmë të studiojmë ekuacionet logaritmike dhe të shikojmë dy teknika të tjera mjaft interesante me të cilat është në modë të zgjidhen ndërtime më komplekse. Por së pari, le të kujtojmë se si zgjidhen problemet më të thjeshta:
log a f (x) = b
Në këtë shënim, a dhe b janë numra, dhe në funksionin f (x) ndryshorja x duhet të jetë e pranishme dhe vetëm aty, domethënë x duhet të jetë vetëm në argument. Ne do të transformojmë ekuacione të tilla logaritmike duke përdorur formën kanonike. Për ta bërë këtë, vini re se
b = log a a b
Për më tepër, a b është pikërisht një argument. Le ta rishkruajmë këtë shprehje si më poshtë:
log a f (x) = log a a b
Kjo është pikërisht ajo që ne po përpiqemi të arrijmë, në mënyrë që të ketë një logaritëm për të bazuar a në të majtë dhe në të djathtë. Në këtë rast, në mënyrë figurative, mund të kryqëzojmë shenjat e regjistrit dhe nga pikëpamja matematikore mund të themi se thjesht po barazojmë argumentet:
f (x) = a b
Si rezultat, do të marrim një shprehje të re që do të jetë shumë më e lehtë për t'u zgjidhur. Le ta zbatojmë këtë rregull për problemet tona sot.
Pra, dizajni i parë:
Para së gjithash, vërej se në të djathtë është një thyesë, emëruesi i së cilës është log. Kur shihni një shprehje si kjo, është mirë të mbani mend një veti të mrekullueshme të logaritmeve:
E përkthyer në Rusisht, kjo do të thotë se çdo logaritëm mund të përfaqësohet si herësi i dy logaritmeve me çdo bazë c. Sigurisht 0< с ≠ 1.
Pra: kjo formulë ka një rast të mrekullueshëm të veçantë, kur ndryshorja c është e barabartë me variablin b. Në këtë rast marrim një ndërtim si:
Ky është pikërisht ndërtimi që shohim nga shenja në të djathtë në ekuacionin tonë. Le ta zëvendësojmë këtë ndërtim me log a b, marrim:
Me fjalë të tjera, në krahasim me detyrën origjinale, ne këmbyem argumentin dhe bazën e logaritmit. Në vend të kësaj, ne duhej të kthenim thyesën.
Le të kujtojmë se çdo shkallë mund të nxirret nga baza sipas rregullit të mëposhtëm:
Me fjalë të tjera, koeficienti k, i cili është fuqia e bazës, shprehet si një fraksion i përmbysur. Le ta përshkruajmë atë si një thyesë e përmbysur:
Faktori thyesor nuk mund të lihet përpara, sepse në këtë rast nuk do të mund ta paraqesim këtë shënim si një formë kanonik (në fund të fundit, në formën kanonik nuk ka faktor shtesë para logaritmit të dytë). Prandaj, le të shtojmë thyesën 1/4 në argument si fuqi:
Tani ne barazojmë argumentet, bazat e të cilave janë të njëjta (dhe bazat tona janë vërtet të njëjta), dhe shkruajmë:
x + 5 = 1
x = −4
Kjo është ajo. Ne morëm përgjigjen e ekuacionit të parë logaritmik. Ju lutemi vini re: në problemin origjinal, ndryshorja x shfaqet vetëm në një regjistër dhe shfaqet në argumentin e saj. Prandaj, nuk ka nevojë të kontrolloni domenin, dhe numri ynë x = -4 është me të vërtetë përgjigja.
Tani le të kalojmë te shprehja e dytë:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Këtu, përveç logaritmeve të zakonshme, do të duhet të punojmë me log f (x). Si të zgjidhet një ekuacion i tillë? Për një student të papërgatitur mund të duket sikur kjo është një lloj detyre e vështirë, por në fakt gjithçka mund të zgjidhet në një mënyrë elementare.
Hidhini një sy nga afër termit lg 2 log 2 7. Çfarë mund të themi për të? Bazat dhe argumentet e log dhe lg janë të njëjta, dhe kjo duhet të japë disa ide. Le të kujtojmë edhe një herë se si hiqen fuqitë nga nën shenjën e logaritmit:
log a b n = nlog a b
Me fjalë të tjera, ajo që ishte një fuqi e b në argument bëhet një faktor përballë vetë log-it. Le ta zbatojmë këtë formulë për shprehjen lg 2 log 2 7. Mos u trembni nga lg 2 - kjo është shprehja më e zakonshme. Mund ta rishkruani si më poshtë:
Të gjitha rregullat që zbatohen për çdo logaritëm tjetër janë të vlefshme për të. Në veçanti, faktori përpara mund t'i shtohet shkallës së argumentit. Le ta shkruajmë:
Shumë shpesh nxënësit nuk e shohin drejtpërdrejt këtë veprim, sepse nuk është mirë të futet një regjistër nën shenjën e një tjetri. Në fakt, nuk ka asgjë kriminale në këtë. Për më tepër, marrim një formulë që është e lehtë për t'u llogaritur nëse mbani mend një rregull të rëndësishëm:
Kjo formulë mund të konsiderohet edhe si përkufizim edhe si një nga vetitë e saj. Në çdo rast, nëse po konvertoni një ekuacion logaritmik, duhet ta dini këtë formulë ashtu si do të njihni paraqitjen e regjistrit të çdo numri.
Le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e rishkruajmë atë duke marrë parasysh faktin se termi i parë në të djathtë të shenjës së barabartë do të jetë thjesht i barabartë me lg 7. Kemi:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Le të lëvizim lg 7 në të majtë, marrim:
lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)
Ne zbresim shprehjet në të majtë sepse ato kanë të njëjtën bazë:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Tani le të hedhim një vështrim më të afërt në ekuacionin që morëm. Është praktikisht forma kanonike, por ka një faktor −3 në të djathtë. Le ta shtojmë atë në argumentin e duhur të lg:
log 8 = log (x + 4) −3
Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që kalojmë shenjat lg dhe barazojmë argumentet:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
Kjo është ajo! Ne zgjidhëm ekuacionin e dytë logaritmik. Në këtë rast, nuk kërkohen kontrolle shtesë, sepse në problemin fillestar x ishte i pranishëm vetëm në një argument.
Më lejoni të rendis përsëri pikat kryesore të këtij mësimi.
Formula kryesore që mësohet në të gjitha mësimet në këtë faqe kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike është forma kanonike. Dhe mos u trembni nga fakti se shumica e teksteve shkollore ju mësojnë t'i zgjidhni problemet e tilla ndryshe. Ky mjet funksionon në mënyrë shumë efektive dhe ju lejon të zgjidhni një klasë shumë më të gjerë problemesh sesa ato më të thjeshtat që kemi studiuar në fillim të mësimit tonë.
Përveç kësaj, për të zgjidhur ekuacionet logaritmike do të jetë e dobishme të njihen vetitë themelore. Gjegjësisht:
- Formula për kalimin në një bazë dhe rasti i veçantë kur ne reverse log (kjo ishte shumë e dobishme për ne në problemin e parë);
- Formula për mbledhjen dhe zbritjen e fuqive nga shenja e logaritmit. Këtu, shumë studentë ngecin dhe nuk shohin që diploma e nxjerrë dhe e futur mund të përmbajë vetë log f (x). Nuk ka asgjë të keqe me këtë. Mund të prezantojmë një regjistër sipas shenjës së tjetrit dhe në të njëjtën kohë të thjeshtojmë ndjeshëm zgjidhjen e problemit, gjë që vërejmë në rastin e dytë.
Si përfundim, do të doja të shtoja se nuk është e nevojshme të kontrolloni domenin e përkufizimit në secilën prej këtyre rasteve, sepse kudo ndryshorja x është e pranishme vetëm në një shenjë log dhe në të njëjtën kohë është në argumentimin e saj. Si pasojë, të gjitha kërkesat e fushëveprimit përmbushen automatikisht.
Probleme me bazën e ndryshueshme
Sot do të shikojmë ekuacionet logaritmike, të cilat për shumë studentë duken jo standarde, nëse jo plotësisht të pazgjidhshme. Po flasim për shprehje që bazohen jo në numra, por në variabla dhe madje funksione. Ne do t'i zgjidhim ndërtime të tilla duke përdorur teknikën tonë standarde, përkatësisht përmes formës kanonike.
Së pari, le të kujtojmë se si zgjidhen problemet më të thjeshta, bazuar në numrat e zakonshëm. Pra, quhet ndërtimi më i thjeshtë
log a f (x) = b
Për të zgjidhur probleme të tilla mund të përdorim formulën e mëposhtme:
b = log a a b
Ne rishkruajmë shprehjen tonë origjinale dhe marrim:
log a f (x) = log a a b
Pastaj i barazojmë argumentet, pra shkruajmë:
f (x) = a b
Kështu, ne heqim qafe shenjën e regjistrit dhe zgjidhim problemin e zakonshëm. Në këtë rast, rrënjët e marra nga zgjidhja do të jenë rrënjët e ekuacionit logaritmik origjinal. Për më tepër, një rekord kur e majta dhe e djathta janë në të njëjtin logaritëm me të njëjtën bazë quhet forma kanonike. Është një rekord i tillë që ne do të përpiqemi të reduktojmë dizajnet e sotme. Pra, le të shkojmë.
Detyra e parë:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zëvendësoni 1 me log x − 2 (x − 2) 1 . Shkalla që vërejmë në argument është në të vërtetë numri b që qëndronte në të djathtë të shenjës së barabartë. Kështu, le të rishkruajmë shprehjen tonë. Ne marrim:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Çfarë shohim? Para nesh është forma kanonike e ekuacionit logaritmik, kështu që ne mund të barazojmë me siguri argumentet. Ne marrim:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Por zgjidhja nuk mbaron me kaq, sepse ky ekuacion nuk është i barabartë me atë origjinal. Në fund të fundit, ndërtimi që rezulton përbëhet nga funksione që përcaktohen në të gjithë vijën numerike, dhe logaritmet tona origjinale nuk janë të përcaktuara kudo dhe jo gjithmonë.
Prandaj, ne duhet të shkruajmë veçmas domenin e përkufizimit. Le të mos ndajmë qimet dhe fillimisht të shkruajmë të gjitha kërkesat:
Së pari, argumenti i secilit prej logaritmeve duhet të jetë më i madh se 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Së dyti, baza jo vetëm që duhet të jetë më e madhe se 0, por edhe e ndryshme nga 1:
x − 2 ≠ 1
Si rezultat, marrim sistemin:
Por mos u shqetësoni: kur përpunoni ekuacione logaritmike, një sistem i tillë mund të thjeshtohet ndjeshëm.
Gjykoni vetë: nga njëra anë kërkohet që funksioni kuadratik të jetë më i madh se zero dhe nga ana tjetër ky funksion kuadratik barazohet me një shprehje të caktuar lineare, e cila gjithashtu kërkohet që të jetë më i madh se zero.
Në këtë rast, nëse kërkojmë që x − 2 > 0, atëherë kërkesa 2x 2 − 13x + 18 > 0 do të plotësohet automatikisht. Prandaj, ne mund të kalojmë me siguri pabarazinë që përmban funksionin kuadratik. Kështu, numri i shprehjeve të përfshira në sistemin tonë do të reduktohet në tre.
Natyrisht, me të njëjtin sukses mund të kapërcejmë pabarazinë lineare, d.m.th., të kalojmë x − 2 > 0 dhe të kërkojmë që 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por do të pajtoheni që zgjidhja e pabarazisë më të thjeshtë lineare është shumë më e shpejtë dhe më e thjeshtë, se kuadratike, edhe me kusht që si rezultat i zgjidhjes së gjithë këtij sistemi të marrim të njëjtat rrënjë.
Në përgjithësi, përpiquni të optimizoni llogaritjet sa herë që është e mundur. Dhe në rastin e ekuacioneve logaritmike, kaloni pabarazitë më të vështira.
Le të rishkruajmë sistemin tonë:
Këtu është një sistem me tre shprehje, dy prej të cilave ne, në fakt, i kemi trajtuar tashmë. Le të shkruajmë veçmas ekuacionin kuadratik dhe ta zgjidhim atë:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Para nesh është një trinom kuadratik i reduktuar dhe, për rrjedhojë, ne mund të përdorim formulat e Vieta-s. Ne marrim:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Tani kthehemi në sistemin tonë dhe zbulojmë se x = 2 nuk na përshtatet, sepse na kërkohet që x të jetë rreptësisht më i madh se 2.
Por x = 5 na përshtatet në mënyrë të përkryer: numri 5 është më i madh se 2, dhe në të njëjtën kohë 5 nuk është i barabartë me 3. Prandaj, zgjidhja e vetme për këtë sistem do të jetë x = 5.
Kjo është e gjitha, problemi është zgjidhur, duke përfshirë marrjen parasysh të ODZ. Le të kalojmë në ekuacionin e dytë. Llogaritjet më interesante dhe informuese na presin këtu:
Hapi i parë: si herën e kaluar, ne e sjellim të gjithë këtë çështje në formë kanonike. Për ta bërë këtë, ne mund të shkruajmë numrin 9 si më poshtë:
Nuk duhet të prekni bazën me rrënjë, por është më mirë të transformoni argumentin. Le të kalojmë nga rrënja në fuqi me një eksponent racional. Le të shkruajmë:
Më lejoni të mos e rishkruaj të gjithë ekuacionin tonë të madh logaritmik, por thjesht të barazoj menjëherë argumentet:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Para nesh është një trinom kuadratik i reduktuar rishtazi, le të përdorim formulat e Vieta-s dhe të shkruajmë:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Pra, ne i morëm rrënjët, por askush nuk na garantoi se ato do të përshtateshin me ekuacionin logaritmik origjinal. Në fund të fundit, shenjat e regjistrit vendosin kufizime shtesë (këtu duhet të kishim shkruar sistemin, por për shkak të natyrës së rëndë të të gjithë strukturës, vendosa të llogaris domenin e përkufizimit veçmas).
Para së gjithash, mbani mend se argumentet duhet të jenë më të mëdha se 0, domethënë:
Këto janë kërkesat e vendosura nga qëllimi i përkufizimit.
Le të vërejmë menjëherë se duke qenë se dy shprehjet e para të sistemit i barazojmë me njëra-tjetrën, mund të kalojmë secilën prej tyre. Të kalojmë të parën sepse duket më kërcënues se i dyti.
Për më tepër, vini re se zgjidhja për pabarazitë e dytë dhe të tretë do të jenë të njëjtat grupe (kubi i një numri është më i madh se zero nëse vetë ky numër është më i madh se zero; në mënyrë të ngjashme, me një rrënjë të shkallës së tretë - këto pabarazi janë krejtësisht analoge, kështu që mund të kalojmë).
Por me pabarazinë e tretë kjo nuk do të funksionojë. Le të heqim qafe shenjën radikale në të majtë duke i ngritur të dyja pjesët në një kub. Ne marrim:
Pra, marrim kërkesat e mëposhtme:
− 2 ≠ x > −3
Cila nga rrënjët tona: x 1 = −3 ose x 2 = −1 i plotëson këto kërkesa? Natyrisht, vetëm x = −1, sepse x = −3 nuk e plotëson pabarazinë e parë (pasi pabarazia jonë është e rreptë). Pra, duke u kthyer te problemi ynë, marrim një rrënjë: x = −1. Kjo është ajo, problemi u zgjidh.
Edhe një herë, pikat kryesore të kësaj detyre:
- Mos ngurroni të aplikoni dhe zgjidhni ekuacionet logaritmike duke përdorur formën kanonike. Nxënësit që bëjnë një shënim të tillë, në vend që të kalojnë drejtpërdrejt nga problemi origjinal në një ndërtim si log a f (x) = b, bëjnë shumë më pak gabime sesa ata që nxitojnë diku, duke anashkaluar hapat e ndërmjetëm të llogaritjeve;
- Sapo një bazë e ndryshueshme shfaqet në një logaritëm, problemi pushon së qeni më i thjeshti. Prandaj, gjatë zgjidhjes së tij, është e nevojshme të merret parasysh fusha e përkufizimit: argumentet duhet të jenë më të mëdha se zero, dhe bazat duhet të jenë jo vetëm më të mëdha se 0, por ato gjithashtu nuk duhet të jenë të barabarta me 1.
Kërkesat përfundimtare mund të zbatohen për përgjigjet përfundimtare në mënyra të ndryshme. Për shembull, ju mund të zgjidhni një sistem të tërë që përmban të gjitha kërkesat për domenin e përkufizimit. Nga ana tjetër, së pari mund ta zgjidhni vetë problemin, dhe më pas të mbani mend domenin e përkufizimit, ta përpunoni veçmas në formën e një sistemi dhe ta aplikoni në rrënjët e marra.
Cila metodë të zgjidhni kur zgjidhni një ekuacion logaritmik të veçantë varet nga ju që të vendosni. Në çdo rast, përgjigja do të jetë e njëjtë.
Janë dhënë vetitë themelore të logaritmit natyror, grafiku, fusha e përkufizimit, bashkësia e vlerave, formulat bazë, derivati, integrali, zgjerimi i serisë së fuqisë dhe paraqitja e funksionit ln x duke përdorur numra kompleks.
Përkufizimi
Logaritmi natyrorështë funksioni y = në x, inversi i eksponencialit, x = e y, dhe është logaritmi me bazën e numrit e: ln x = log e x.
Logaritmi natyror përdoret gjerësisht në matematikë sepse derivati i tij ka formën më të thjeshtë: (ln x)′ = 1/ x.
Bazuar në përkufizimet, baza e logaritmit natyror është numri e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Grafiku i funksionit y = në x.
Grafiku i logaritmit natyror (funksionet y = në x) përftohet nga grafiku eksponencial me reflektim pasqyre në raport me drejtëzën y = x.
Logaritmi natyror përcaktohet për vlerat pozitive të ndryshores x.
Ajo rritet në mënyrë monotonike në fushën e saj të përkufizimit. 0 Në x →
kufiri i logaritmit natyror është minus pafundësia (-∞).
Si x → + ∞, kufiri i logaritmit natyror është plus pafundësi (+ ∞). Për x të madh, logaritmi rritet mjaft ngadalë. Çdo funksion i fuqisë x a me një eksponent pozitiv a rritet më shpejt se logaritmi.
Vetitë e logaritmit natyror
Logaritmi natyror është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat kryesore të logaritmit natyror janë paraqitur në tabelë.
ln x vlera
ln 1 = 0
Formulat bazë për logaritmet natyrore
Formulat që vijnë nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë:
Vetia kryesore e logaritmeve dhe pasojat e saj
Formula e zëvendësimit të bazës
Çdo logaritëm mund të shprehet në terma të logaritmeve natyrore duke përdorur formulën e zëvendësimit të bazës:
Vërtetimet e këtyre formulave janë paraqitur në seksionin "Logaritmi".
Funksioni i anasjelltë
Anasjellta e logaritmit natyror është eksponenti.
Nëse, atëherë
Nëse, atëherë.
Derivati ln x
Derivati i logaritmit natyror:
.
Derivati i logaritmit natyror të modulit x:
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >
Integrale
Integrali llogaritet me integrim sipas pjesëve:
.
Pra,
Shprehje duke përdorur numra kompleks
Merrni parasysh funksionin e ndryshores komplekse z:
.
Le të shprehim ndryshoren komplekse z nëpërmjet modulit r dhe argumenti φ
:
.
Duke përdorur vetitë e logaritmit, kemi:
.
Ose
.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Nëse vendosni
, ku n është një numër i plotë,
do të jetë i njëjti numër për n të ndryshëm.
Prandaj, logaritmi natyror, si funksion i një ndryshoreje komplekse, nuk është një funksion me një vlerë të vetme.
Zgjerimi i serisë së energjisë
Kur bëhet zgjerimi:
Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.
Logaritmi i një numri pozitiv b për bazën a (a>0, a nuk është i barabartë me 1) është një numër c i tillë që a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Vini re se logaritmi i një numri jo pozitiv është i papërcaktuar. Për më tepër, baza e logaritmit duhet të jetë një numër pozitiv që nuk është i barabartë me 1. Për shembull, nëse vendosim në katror -2, marrim numrin 4, por kjo nuk do të thotë se logaritmi në bazën -2 nga 4 është e barabartë me 2.
Identiteti bazë logaritmik
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Është e rëndësishme që shtrirja e përcaktimit të anës së djathtë dhe të majtë të kësaj formule të jetë e ndryshme. Ana e majtë përcaktohet vetëm për b>0, a>0 dhe a ≠ 1. Ana e djathtë përcaktohet për çdo b dhe nuk varet fare nga a. Kështu, aplikimi i "identitetit" bazë logaritmik gjatë zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive mund të çojë në një ndryshim në OD.
Dy pasoja të dukshme të përkufizimit të logaritmit
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Në të vërtetë, kur e ngremë numrin a në fuqinë e parë, marrim të njëjtin numër, dhe kur e ngremë atë në fuqinë zero, marrim një.
Logaritmi i prodhimit dhe logaritmi i herësit
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Unë do të doja të paralajmëroja nxënësit e shkollave që të mos përdorin pa menduar këto formula kur zgjidhin ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Kur i përdorni ato "nga e majta në të djathtë", ODZ ngushtohet dhe kur lëviz nga shuma ose diferenca e logaritmeve në logaritmin e produktit ose koeficientit, ODZ zgjerohet.
Në të vërtetë, shprehja log a (f (x) g (x)) përcaktohet në dy raste: kur të dy funksionet janë rreptësisht pozitive ose kur f(x) dhe g(x) janë të dy më pak se zero.
Duke e shndërruar këtë shprehje në shumën log a f (x) + log a g (x), jemi të detyruar të kufizohemi vetëm në rastin kur f(x)>0 dhe g(x)>0. Ka një ngushtim të gamës së vlerave të pranueshme, dhe kjo është kategorikisht e papranueshme, pasi mund të çojë në humbjen e zgjidhjeve. Një problem i ngjashëm ekziston për formulën (6).
Shkalla mund të hiqet nga shenja e logaritmit
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Dhe përsëri do të doja të bëja thirrje për saktësi. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ana e majtë e barazisë është e përcaktuar qartë për të gjitha vlerat e f(x) përveç zeros. Ana e djathtë është vetëm për f(x)>0! Duke hequr shkallën nga logaritmi, përsëri ngushtojmë ODZ-në. Procedura e kundërt çon në një zgjerim të gamës së vlerave të pranueshme. Të gjitha këto vërejtje vlejnë jo vetëm për fuqinë 2, por edhe për çdo pushtet të barabartë.
Formula për të kaluar në një themel të ri
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ai rast i rrallë kur ODZ nuk ndryshon gjatë transformimit. Nëse e keni zgjedhur me mençuri bazën c (pozitive dhe jo e barabartë me 1), formula për të kaluar në një bazë të re është plotësisht e sigurt.
Nëse zgjedhim numrin b si bazën e re c, marrim një rast të veçantë të rëndësishëm të formulës (8):
Regjistri a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Disa shembuj të thjeshtë me logaritme
Shembulli 1. Llogaritni: log2 + log50.
Zgjidhje. log2 + log50 = log100 = 2. Ne kemi përdorur formulën e shumës së logaritmeve (5) dhe përkufizimin e logaritmit dhjetor.
Shembulli 2. Llogaritni: lg125/lg5.
Zgjidhje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Ne përdorëm formulën për kalimin në një bazë të re (8).
Tabela e formulave që lidhen me logaritmet
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |