Në këtë video ne do të analizojmë një grup të tërë ekuacionesh lineare që zgjidhen duke përdorur të njëjtin algoritëm - kjo është arsyeja pse ato quhen më të thjeshtat.
Së pari, le të përcaktojmë: çfarë është një ekuacion linear dhe cili quhet më i thjeshtë?
Një ekuacion linear është ai në të cilin ka vetëm një ndryshore dhe vetëm në shkallën e parë.
Ekuacioni më i thjeshtë nënkupton ndërtimin:
Të gjitha ekuacionet e tjera lineare reduktohen në më të thjeshtat duke përdorur algoritmin:
- Zgjeroni kllapat, nëse ka;
- Zhvendosni termat që përmbajnë një ndryshore në njërën anë të shenjës së barazimit dhe termat pa ndryshore në anën tjetër;
- Jepni terma të ngjashëm majtas dhe djathtas të shenjës së barabartë;
- Ndajeni ekuacionin që rezulton me koeficientin e ndryshores $x$.
Sigurisht, ky algoritëm nuk ndihmon gjithmonë. Fakti është se ndonjëherë pas gjithë këtyre makinacioneve koeficienti i ndryshores $x$ rezulton të jetë i barabartë me zero. Në këtë rast, dy opsione janë të mundshme:
- Ekuacioni nuk ka fare zgjidhje. Për shembull, kur del diçka si $0\cdot x=8$, d.m.th. në të majtë është zero, dhe në të djathtë është një numër i ndryshëm nga zero. Në videon e mëposhtme do të shohim disa arsye pse kjo situatë është e mundur.
- Zgjidhja janë të gjithë numrat. I vetmi rast kur kjo është e mundur është kur ekuacioni është reduktuar në konstruksionin $0\cdot x=0$. Është mjaft logjike që pavarësisht se çfarë $x$ zëvendësojmë, prapë do të rezultojë "zero është e barabartë me zero", d.m.th. barazia numerike e saktë.
Tani le të shohim se si funksionon e gjithë kjo duke përdorur shembuj të jetës reale.
Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve
Sot kemi të bëjmë me ekuacione lineare, dhe vetëm me ato më të thjeshtat. Në përgjithësi, një ekuacion linear nënkupton çdo barazi që përmban saktësisht një ndryshore dhe shkon vetëm në shkallën e parë.
Ndërtime të tilla zgjidhen afërsisht në të njëjtën mënyrë:
- Para së gjithash, ju duhet të zgjeroni kllapat, nëse ka (si në shembullin tonë të fundit);
- Pastaj kombinoni të ngjashme
- Së fundi, izoloni variablin, d.m.th. zhvendosni çdo gjë që lidhet me variablin - termat në të cilët përmbahet - në njërën anë dhe zhvendosni gjithçka që mbetet pa të në anën tjetër.
Pastaj, si rregull, duhet të sillni të ngjashme në secilën anë të barazisë që rezulton, dhe pas kësaj gjithçka që mbetet është të ndani me koeficientin "x" dhe do të marrim përgjigjen përfundimtare.
Në teori, kjo duket e bukur dhe e thjeshtë, por në praktikë, edhe nxënësit e shkollave të mesme me përvojë mund të bëjnë gabime fyese në ekuacione lineare mjaft të thjeshta. Në mënyrë tipike, gabimet bëhen ose kur hapen kllapat ose kur llogariten "pluset" dhe "minuset".
Përveç kësaj, ndodh që një ekuacion linear të mos ketë fare zgjidhje, ose që zgjidhja të jetë e gjithë boshti numerik, d.m.th. çdo numër. Ne do t'i shikojmë këto hollësi në mësimin e sotëm. Por ne do të fillojmë, siç e keni kuptuar tashmë, me detyrat më të thjeshta.
Skema për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta lineare
Së pari, më lejoni të shkruaj edhe një herë të gjithë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare:
- Zgjeroni kllapat, nëse ka.
- I izolojmë variablat, d.m.th. Ne zhvendosim gjithçka që përmban "X" në njërën anë dhe gjithçka pa "X" në anën tjetër.
- Ne paraqesim terma të ngjashëm.
- Ne pjesëtojmë gjithçka me koeficientin "x".
Natyrisht, kjo skemë nuk funksionon gjithmonë, ka disa hollësi dhe truket në të, dhe tani do t'i njohim ato.
Zgjidhja e shembujve realë të ekuacioneve të thjeshta lineare
Detyra nr. 1
Hapi i parë kërkon që ne të hapim kllapat. Por ata nuk janë në këtë shembull, kështu që ne e kalojmë këtë hap. Në hapin e dytë duhet të izolojmë variablat. Ju lutemi vini re: ne po flasim vetëm për kushte individuale. Le ta shkruajmë:
Ne paraqesim terma të ngjashëm majtas dhe djathtas, por kjo tashmë është bërë këtu. Prandaj, kalojmë në hapin e katërt: pjesëtojeni me koeficientin:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Kështu që e morëm përgjigjen.
Detyra nr. 2
Ne mund të shohim kllapat në këtë problem, kështu që le t'i zgjerojmë ato:
Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë shohim afërsisht të njëjtin dizajn, por le të veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. duke ndarë variablat:
Këtu janë disa të ngjashme:
Në cilat rrënjë funksionon kjo? Përgjigje: për çdo. Prandaj, mund të shkruajmë se $x$ është çdo numër.
Detyra nr. 3
Ekuacioni i tretë linear është më interesant:
\[\majtas(6-x \djathtas)+\majtas(12+x \djathtas)-\majtas(3-2x \djathtas)=15\]
Këtu ka disa kllapa, por ato nuk shumëzohen me asgjë, thjesht paraprihen nga shenja të ndryshme. Le t'i zbërthejmë ato:
Ne kryejmë hapin e dytë të njohur tashmë për ne:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Le të bëjmë matematikën:
Ne kryejmë hapin e fundit - ndajmë gjithçka me koeficientin "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Gjërat që duhen mbajtur mend gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare
Nëse i shpërfillim detyrat shumë të thjeshta, do të doja të them sa vijon:
- Siç thashë më lart, jo çdo ekuacion linear ka një zgjidhje - ndonjëherë thjesht nuk ka rrënjë;
- Edhe nëse ka rrënjë, mund të ketë zero mes tyre - nuk ka asgjë të keqe me këtë.
Zero është i njëjti numër si të tjerët, nuk duhet ta diskriminoni në asnjë mënyrë ose të supozoni se nëse merrni zero, atëherë keni bërë diçka të gabuar.
Një veçori tjetër lidhet me hapjen e kllapave. Ju lutemi vini re: kur ka një "minus" para tyre, ne e heqim atë, por në kllapa i ndryshojmë shenjat në përballë. Dhe pastaj mund ta hapim duke përdorur algoritme standarde: do të marrim atë që pamë në llogaritjet e mësipërme.
Kuptimi i këtij fakti të thjeshtë do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet e trashë dhe lënduese në shkollën e mesme, kur bërja e gjërave të tilla merret si e mirëqenë.
Zgjidhja e ekuacioneve komplekse lineare
Le të kalojmë në ekuacione më komplekse. Tani ndërtimet do të bëhen më komplekse dhe gjatë kryerjes së transformimeve të ndryshme do të shfaqet një funksion kuadratik. Sidoqoftë, nuk duhet të kemi frikë nga kjo, sepse nëse, sipas planit të autorit, po zgjidhim një ekuacion linear, atëherë gjatë procesit të transformimit të gjithë monomët që përmbajnë një funksion kuadratik me siguri do të anulohen.
Shembulli nr. 1
Natyrisht, hapi i parë është hapja e kllapave. Le ta bëjmë këtë me shumë kujdes:
Tani le t'i hedhim një sy privatësisë:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Këtu janë disa të ngjashme:
Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë këtë në përgjigje:
\[\varnogjë\]
ose nuk ka rrënjë.
Shembulli nr. 2
Ne kryejmë të njëjtat veprime. Hapi i parë:
Le të lëvizim gjithçka me një ndryshore në të majtë, dhe pa të - në të djathtë:
Këtu janë disa të ngjashme:
Natyrisht, ky ekuacion linear nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë në këtë mënyrë:
\[\varnogjë\],
ose nuk ka rrënjë.
Nuancat e zgjidhjes
Të dy ekuacionet janë zgjidhur plotësisht. Duke përdorur këto dy shprehje si shembull, ne u bindëm edhe një herë se edhe në ekuacionet më të thjeshta lineare, gjithçka mund të mos jetë aq e thjeshtë: mund të ketë ose një, ose asnjë, ose pafundësisht shumë rrënjë. Në rastin tonë, ne konsideruam dy ekuacione, të dyja thjesht nuk kanë rrënjë.
Por dua t'ju tërheq vëmendjen për një fakt tjetër: si të punoni me kllapa dhe si t'i hapni ato nëse ka një shenjë minus përpara tyre. Merrni parasysh këtë shprehje:
Para hapjes, duhet të shumëzoni gjithçka me "X". Ju lutemi vini re: shumëzohet çdo term individual. Brenda ka dy terma - respektivisht, dy terma dhe të shumëzuar.
Dhe vetëm pasi të kenë përfunduar këto transformime në dukje elementare, por shumë të rëndësishme dhe të rrezikshme, mund të hapni kllapa nga pikëpamja e faktit se pas saj ka një shenjë minus. Po, po: vetëm tani, kur përfundojnë transformimet, kujtojmë se ka një shenjë minus përpara kllapave, që do të thotë se gjithçka më poshtë thjesht ndryshon shenja. Në të njëjtën kohë, vetë kllapat zhduken dhe, më e rëndësishmja, "minus" i përparmë gjithashtu zhduket.
Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë:
Jo rastësisht u kushtoj vëmendje këtyre fakteve të vogla, në dukje të parëndësishme. Sepse zgjidhja e ekuacioneve është gjithmonë një sekuencë transformimesh elementare, ku pamundësia për të kryer qartë dhe me kompetencë veprime të thjeshta çon në faktin që nxënësit e shkollave të mesme vijnë tek unë dhe përsëri mësojnë të zgjidhin ekuacione të tilla të thjeshta.
Sigurisht, do të vijë dita kur do t'i përpunoni këto aftësi deri në automatik. Nuk do t'ju duhet më të kryeni kaq shumë transformime çdo herë, do të shkruani gjithçka në një rresht. Por ndërsa jeni vetëm duke mësuar, ju duhet të shkruani çdo veprim veç e veç.
Zgjidhja e ekuacioneve lineare edhe më komplekse
Ajo që do të zgjidhim tani vështirë se mund të quhet detyra më e thjeshtë, por kuptimi mbetet i njëjtë.
Detyra nr. 1
\[\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(3x-1 \djathtas)-21((x)^(2))=3\]
Le të shumëzojmë të gjithë elementët në pjesën e parë:
Le të bëjmë pak privatësi:
Këtu janë disa të ngjashme:
Le të përfundojmë hapin e fundit:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Këtu është përgjigja jonë përfundimtare. Dhe, pavarësisht se në procesin e zgjidhjes kishim koeficientë me funksion kuadratik, ata anulonin njëri-tjetrin, gjë që e bën ekuacionin linear dhe jo kuadratik.
Detyra nr. 2
\[\majtas(1-4x \djathtas)\majtas(1-3x \djathtas)=6x\majtas(2x-1 \djathtas)\]
Le të kryejmë me kujdes hapin e parë: shumëzojmë çdo element nga kllapa e parë me çdo element nga i dyti. Duhet të ketë gjithsej katër terma të rinj pas transformimeve:
Tani le të kryejmë me kujdes shumëzimin në secilin term:
Le t'i zhvendosim termat me "X" në të majtë, dhe ato pa - në të djathtë:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Këtu janë terma të ngjashëm:
Edhe një herë kemi marrë përgjigjen përfundimtare.
Nuancat e zgjidhjes
Shënimi më i rëndësishëm për këto dy ekuacione është si vijon: sapo fillojmë të shumëzojmë kllapat që përmbajnë më shumë se një term, kjo bëhet sipas rregullit të mëposhtëm: marrim termin e parë nga i pari dhe shumëzojmë me secilin element nga e dyta; atëherë marrim elementin e dytë nga i pari dhe në mënyrë të ngjashme shumëzojmë me secilin element nga i dyti. Si rezultat do të kemi katër mandate.
Rreth shumës algjebrike
Me këtë shembull të fundit, do të doja t'u kujtoja studentëve se çfarë është shuma algjebrike. Në matematikën klasike, me 1-7$ nënkuptojmë një ndërtim të thjeshtë: zbresim shtatë nga një. Në algjebër, nënkuptojmë si vijon me këtë: numrit "një" i shtojmë një numër tjetër, përkatësisht "minus shtatë". Kështu ndryshon një shumë algjebrike nga një shumë e zakonshme aritmetike.
Sapo, kur kryeni të gjitha transformimet, çdo mbledhje dhe shumëzim, filloni të shihni ndërtime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, thjesht nuk do të keni asnjë problem në algjebër kur punoni me polinome dhe ekuacione.
Së fundi, le të shohim disa shembuj të tjerë që do të jenë edhe më të ndërlikuar se ata që sapo pamë, dhe për t'i zgjidhur ata do të duhet të zgjerojmë pak algoritmin tonë standard.
Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa
Për të zgjidhur detyra të tilla, do të duhet të shtojmë një hap tjetër në algoritmin tonë. Por së pari, më lejoni t'ju kujtoj algoritmin tonë:
- Hapni kllapat.
- Variabla të ndara.
- Sillni të ngjashme.
- Pjestojeni me raportin.
Mjerisht, ky algoritëm i mrekullueshëm, me gjithë efektivitetin e tij, rezulton të jetë jo plotësisht i përshtatshëm kur kemi fraksione para nesh. Dhe në atë që do të shohim më poshtë, kemi një fraksion në të majtë dhe në të djathtë në të dy ekuacionet.
Si të punoni në këtë rast? Po, është shumë e thjeshtë! Për ta bërë këtë, ju duhet të shtoni një hap tjetër në algoritëm, i cili mund të bëhet si para ashtu edhe pas veprimit të parë, domethënë, duke hequr qafe fraksionet. Pra, algoritmi do të jetë si më poshtë:
- Hiqni qafe thyesat.
- Hapni kllapat.
- Variabla të ndara.
- Sillni të ngjashme.
- Pjestojeni me raportin.
Çfarë do të thotë "të heqësh qafe thyesat"? Dhe pse mund të bëhet kjo si pas dhe para hapit të parë standard? Në fakt, në rastin tonë, të gjitha thyesat janë numerike në emëruesin e tyre, d.m.th. Kudo emëruesi është vetëm një numër. Prandaj, nëse i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me këtë numër, do të shpëtojmë nga thyesat.
Shembulli nr. 1
\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas))(4)=((x)^(2))-1\]
Le të heqim qafe thyesat në këtë ekuacion:
\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)\cdot 4)(4)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]
Ju lutemi vini re: çdo gjë shumëzohet me "katër" një herë, d.m.th. vetëm për shkak se keni dy kllapa nuk do të thotë që ju duhet të shumëzoni secilën me "katër". Le të shkruajmë:
\[\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]
Tani le të zgjerojmë:
Ne veçojmë variablin:
Ne kryejmë reduktimin e termave të ngjashëm:
\[-4x=-1\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Ne kemi marrë zgjidhjen përfundimtare, le të kalojmë në ekuacionin e dytë.
Shembulli nr. 2
\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas))(5)+((x)^(2))=1\]
Këtu kryejmë të gjitha veprimet e njëjta:
\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problemi është zgjidhur.
Kjo, në fakt, është gjithçka që doja t'ju them sot.
Pikat kryesore
Gjetjet kryesore janë:
- Të njohë algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
- Aftësia për të hapur kllapa.
- Mos u shqetësoni nëse keni funksione kuadratike diku, ato do të reduktohen në procesin e transformimeve të mëtejshme.
- Ekzistojnë tre lloje rrënjësh në ekuacionet lineare, madje edhe ato më të thjeshtat: një rrënjë e vetme, e gjithë boshti numerik është një rrënjë dhe nuk ka rrënjë fare.
Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të zotëroni një temë të thjeshtë, por shumë të rëndësishme për të kuptuar më tej të gjithë matematikën. Nëse diçka nuk është e qartë, shkoni në sit dhe zgjidhni shembujt e paraqitur atje. Qëndroni të sintonizuar, shumë gjëra të tjera interesante ju presin!
Ekuacionet lineare. Zgjidhje, shembuj.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Ekuacionet lineare.
Ekuacionet lineare nuk janë tema më e vështirë në matematikën e shkollës. Por ka disa truke që mund të mashtrojnë edhe një student të trajnuar. Le ta kuptojmë?)
Zakonisht një ekuacion linear përkufizohet si një ekuacion i formës:
sëpatë + b = 0 Ku a dhe b- çdo numër.
2x + 7 = 0. Këtu a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Këtu a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Këtu a=12, b=1/2
Asgjë e komplikuar, apo jo? Sidomos nëse nuk i vëreni fjalët: "ku a dhe b janë çdo numër"... Dhe nëse e vëreni dhe mendoni pa kujdes për këtë?) Në fund të fundit, nëse a=0, b=0(a është e mundur ndonjë numër?), atëherë marrim një shprehje qesharake:
Por kjo nuk është e gjitha! Nëse, të themi, a=0, A b=5, Kjo rezulton të jetë diçka krejtësisht absurde:
E cila është e bezdisshme dhe minon besimin në matematikë, po...) Sidomos gjatë provimeve. Por nga këto shprehje të çuditshme ju duhet të gjeni edhe X! E cila nuk ekziston fare. Dhe, çuditërisht, ky X është shumë i lehtë për t'u gjetur. Ne do të mësojmë ta bëjmë këtë. Në këtë mësim.
Si të njohim një ekuacion linear nga pamja e tij? Varet nga pamja.) Truku është se ekuacionet lineare nuk janë vetëm ekuacione të formës sëpatë + b = 0 , por edhe çdo ekuacion që mund të reduktohet në këtë formë me transformime dhe thjeshtime. Dhe kush e di nëse zbret apo jo?)
Një ekuacion linear mund të njihet qartë në disa raste. Le të themi, nëse kemi një ekuacion në të cilin ka vetëm të panjohura të shkallës së parë dhe numra. Dhe në ekuacion nuk ka thyesat pjesëtuar me i panjohur , kjo është e rëndësishme! Dhe ndarja sipas numri, ose një thyesë numerike - kjo është e mirëseardhur! Për shembull:
Ky është një ekuacion linear. Këtu ka thyesa, por nuk ka x në katror, kub, etj., dhe nuk ka x në emërues, d.m.th. Nr pjesëtimi me x. Dhe këtu është ekuacioni
nuk mund të quhet linear. Këtu X-të janë të gjitha në shkallën e parë, por ka pjesëtimi me shprehje me x. Pas thjeshtimeve dhe transformimeve, ju mund të merrni një ekuacion linear, një kuadratik ose çdo gjë që dëshironi.
Rezulton se është e pamundur të njohësh ekuacionin linear në ndonjë shembull të ndërlikuar derisa pothuajse ta zgjidhësh atë. Kjo është shqetësuese. Por në detyra, si rregull, ata nuk pyesin për formën e ekuacionit, apo jo? Detyrat kërkojnë ekuacione vendosin. Kjo më bën të lumtur.)
Zgjidhja e ekuacioneve lineare. Shembuj.
E gjithë zgjidhja e ekuacioneve lineare përbëhet nga transformime identike të ekuacioneve. Meqë ra fjala, këto transformime (dy prej tyre!) janë baza e zgjidhjeve të gjitha ekuacionet e matematikës. Me fjalë të tjera, zgjidhja ndonjë ekuacioni fillon pikërisht me këto transformime. Në rastin e ekuacioneve lineare, ajo (zgjidhja) bazohet në këto shndërrime dhe përfundon me një përgjigje të plotë. Ka kuptim të ndiqni lidhjen, apo jo?) Për më tepër, ka edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare atje.
Së pari, le të shohim shembullin më të thjeshtë. Pa asnjë kurth. Supozoni se duhet ta zgjidhim këtë ekuacion.
x - 3 = 2 - 4x
Ky është një ekuacion linear. X-të janë të gjitha në fuqinë e parë, nuk ka ndarje me X-të. Por, në fakt, për ne nuk ka rëndësi se çfarë lloj ekuacioni është. Duhet ta zgjidhim. Skema këtu është e thjeshtë. Mblidhni gjithçka me X në anën e majtë të ekuacionit, gjithçka pa X (numra) në të djathtë.
Për ta bërë këtë ju duhet të transferoni - 4x në anën e majtë, me një ndryshim të shenjës, natyrisht, dhe - 3 - në të djathtë. Nga rruga, kjo është transformimi i parë identik i ekuacioneve. I befasuar? Kjo do të thotë që ju nuk e keni ndjekur lidhjen, por më kot...) Marrim:
x + 4x = 2 + 3
Këtu janë të ngjashme, ne konsiderojmë:
Çfarë na nevojitet për një lumturi të plotë? Po, në mënyrë që të ketë një X të pastër në të majtë! Pesë është në rrugë. Largimi i të pestëve me ndihmën transformimi i dytë identik i ekuacioneve. Domethënë, ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 5. Marrim një përgjigje të gatshme:
Një shembull elementar, sigurisht. Kjo është për ngrohje.) Nuk është shumë e qartë pse kujtova transformime identike këtu? OK. Le të marrim demin nga brirët.) Le të vendosim diçka më të fortë.
Për shembull, këtu është ekuacioni:
Ku të fillojmë? Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë? Është e mundur kështu. Hapat e vegjël përgjatë një rruge të gjatë. Ose mund ta bëni menjëherë, në një mënyrë universale dhe të fuqishme. Nëse, sigurisht, keni transformime identike të ekuacioneve në arsenalin tuaj.
Unë ju bëj një pyetje kyçe: Çfarë nuk ju pëlqen më shumë në këtë ekuacion?
95 nga 100 persona do të përgjigjen: thyesat ! Përgjigja është e saktë. Pra, le të shpëtoj prej tyre. Prandaj, ne fillojmë menjëherë me transformimi i dytë i identitetit. Me çfarë ju nevojitet për të shumëzuar thyesën në të majtë në mënyrë që emëruesi të zvogëlohet plotësisht? Ashtu është, në 3. Dhe në të djathtë? Me 4. Por matematika na lejon të shumëzojmë të dyja anët me të njëjtin numër. Si mund të dalim? Le të shumëzojmë të dyja anët me 12! ato. në një emërues të përbashkët. Atëherë do të zvogëlohen edhe tre edhe katër. Mos harroni se ju duhet të shumëzoni secilën pjesë tërësisht. Ja si duket hapi i parë:
Zgjerimi i kllapave:
Kushtojini vëmendje! Numëruesi (x+2) E vendosa në kllapa! Kjo sepse kur shumëzohen thyesat, shumëzohet i gjithë numëruesi! Tani mund të zvogëloni fraksionet:
Zgjeroni kllapat e mbetura:
Jo një shembull, por kënaqësi e pastër!) Tani le të kujtojmë një magji nga shkolla fillore: me një X - në të majtë, pa një X - në të djathtë! Dhe aplikoni këtë transformim:
Këtu janë disa të ngjashme:
Dhe ndani të dyja pjesët me 25, d.m.th. aplikoni përsëri transformimin e dytë:
Kjo është ajo. Përgjigje: X=0,16
Ju lutemi vini re: për të sjellë ekuacionin origjinal konfuz në një formë të bukur, ne përdorëm dy (vetëm dy!) transformimet e identitetit– përkthim majtas-djathtas me ndryshim të shenjës dhe shumëzim-pjestim të një ekuacioni me të njëjtin numër. Kjo është një metodë universale! Ne do të punojmë në këtë mënyrë me ndonjë ekuacionet! Absolutisht kushdo. Kjo është arsyeja pse unë vazhdoj të përsëris për këto transformime identike me lodhje.)
Siç mund ta shihni, parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare është i thjeshtë. Marrim ekuacionin dhe e thjeshtojmë duke përdorur transformime identike derisa të marrim përgjigjen. Problemet kryesore këtu janë në llogaritjet, jo në parimin e zgjidhjes.
Por... Ka surpriza të tilla në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve lineare më elementare që mund t'ju çojnë në një hutim të fortë...) Për fat të mirë, mund të ketë vetëm dy surpriza të tilla. Le t'i quajmë raste të veçanta.
Raste të veçanta në zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
Surpriza e parë.
Supozoni se hasni në një ekuacion shumë themelor, diçka si:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Pak e mërzitur, e lëvizim me një X në të majtë, pa X - në të djathtë... Me ndryshimin e shenjës, gjithçka është perfekte... Marrim:
2x-5x+3x=5-2-3
Ne numërojmë, dhe... oops!!! Ne marrim:
Kjo barazi në vetvete nuk është e kundërshtueshme. Zero është me të vërtetë zero. Por X mungon! Dhe ne duhet të shkruajmë në përgjigje, me çfarë është x e barabartë? Përndryshe, zgjidhja nuk llogaritet, apo jo...) Bllokim?
Qetë! Në raste të tilla të dyshimta, rregullat më të përgjithshme do t'ju shpëtojnë. Si të zgjidhen ekuacionet? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? Kjo do të thotë, gjeni të gjitha vlerat e x që, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të na japin barazinë e saktë.
Por ne kemi barazi të vërtetë tashmë funksionoi! 0=0, sa më saktë?! Mbetet për të kuptuar se në çfarë x ndodh kjo. Në cilat vlera të X mund të zëvendësohen origjinale ekuacioni nëse këto x a do të reduktohen akoma në zero? Hajde?)
po!!! X mund të zëvendësohen ndonjë! cilat dëshironi? Të paktën 5, të paktën 0.05, të paktën -220. Ata ende do të tkurren. Nëse nuk më besoni, mund ta kontrolloni.) Zëvendësoni çdo vlerë të X në origjinale ekuacion dhe njehso. Gjatë gjithë kohës do të merrni të vërtetën e pastër: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 e kështu me radhë.
Këtu është përgjigja juaj: x - çdo numër.
Përgjigja mund të shkruhet me simbole të ndryshme matematikore, thelbi nuk ndryshon. Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë dhe e plotë.
Surpriza e dytë.
Le të marrim të njëjtin ekuacion linear elementar dhe të ndryshojmë vetëm një numër në të. Kjo është ajo që ne do të vendosim:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Pas të njëjtave transformime identike, marrim diçka intriguese:
Si kjo. Ne zgjidhëm një ekuacion linear dhe morëm një barazi të çuditshme. Në aspektin matematikor, ne morëm barazi e rreme. Por në terma të thjeshtë, kjo nuk është e vërtetë. Rave. Por megjithatë, kjo marrëzi është një arsye shumë e mirë për zgjidhjen e saktë të ekuacionit.)
Përsëri ne mendojmë bazuar në rregulla të përgjithshme. Çfarë x, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal, do të na japë e vërtetë barazia? Po, asnjë! Nuk ka X të tilla. Pavarësisht se çfarë vendosni, gjithçka do të reduktohet, do të mbeten vetëm marrëzi.)
Këtu është përgjigja juaj: nuk ka zgjidhje.
Kjo është gjithashtu një përgjigje plotësisht e plotë. Në matematikë, përgjigje të tilla gjenden shpesh.
Si kjo. Tani, shpresoj, zhdukja e X-ve në procesin e zgjidhjes së ndonjë ekuacioni (jo thjesht linear) nuk do t'ju ngatërrojë aspak. Kjo tashmë është një çështje e njohur.)
Tani që kemi trajtuar të gjitha kurthet në ekuacionet lineare, ka kuptim t'i zgjidhim ato.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Jeni ulur në një restorant dhe po shfletoni menunë. Të gjitha pjatat duken aq të shijshme sa nuk dini çfarë të zgjidhni. Ndoshta i porosisni të gjitha?
Me siguri keni hasur në probleme të tilla. Nëse jo në ushqim, atëherë në diçka tjetër. Ne shpenzojmë sasi të mëdha kohe dhe energjie duke u përpjekur të zgjedhim midis opsioneve po aq tërheqëse. Por, nga ana tjetër, opsionet nuk mund të jenë të njëjta, sepse secila prej tyre është tërheqëse në mënyrën e vet.
Pasi të keni bërë një zgjedhje, ju përballeni me një zgjedhje të re. Kjo është një seri e pafund vendimesh të rëndësishme, e cila përfshin edhe frikën për të bërë zgjedhjen e gabuar. Këto tre metoda do t'ju ndihmojnë të merrni vendime më të mira në të gjitha nivelet e jetës suaj.
Krijoni zakone për të shmangur vendimet e përditshme
Ideja është që nëse e keni zakon të hani sallatë për drekë, nuk do t'ju duhet të vendosni se çfarë të porosisni në një kafene.
Duke zhvilluar zakone që adresojnë këto detyra të thjeshta të përditshme, ju kurseni energji për të marrë vendime më komplekse dhe më të rëndësishme. Përveç kësaj, nëse e keni zakon të hani një sallatë për mëngjes, nuk do të duhet të humbisni vullnetin tuaj duke u përpjekur të shmangni ngrënien e diçkaje të yndyrshme dhe të skuqur në vend të një sallate.
Por kjo vlen për çështje të parashikueshme. Po vendimet e papritura?
"Nëse-atëherë": një metodë për vendime të paparashikueshme
Për shembull, dikush ju ndërpret vazhdimisht fjalimin dhe ju nuk jeni të sigurt se si të reagoni ndaj kësaj apo nëse duhet të reagoni fare. Sipas metodës "nëse-atëherë", ju vendosni: nëse ai ju ndërpret edhe dy herë, atëherë do t'i bëni një qortim të sjellshëm, dhe nëse kjo nuk funksionon, atëherë në një formë më të vrazhdë.
Këto dy metoda ndihmojnë në marrjen e shumicës së vendimeve me të cilat përballemi çdo ditë. Por kur bëhet fjalë për çështjet e planifikimit strategjik, si për shembull si t'i përgjigjemi kërcënimit të konkurrentëve, në cilat produkte të investoni më shumë, ku të shkurtoni buxhetin, ata janë të pafuqishëm.
Këto janë vendime që mund të shtyhen për një javë, muaj apo edhe një vit, duke ngadalësuar zhvillimin e kompanisë. Ato nuk mund të trajtohen me zakon, dhe metoda "nëse-atëherë" nuk do të funksionojë as këtu. Si rregull, nuk ka përgjigje të qartë dhe të saktë për pyetje të tilla.
Menaxhmenti shpesh e vonon marrjen e vendimeve të tilla. Ai mbledh informacione, peshon të mirat dhe të këqijat, vazhdon të presë dhe të vëzhgojë situatën, duke shpresuar se do të shfaqet diçka që do të tregojë vendimin e duhur.
Dhe nëse supozojmë se nuk ka përgjigje të saktë, a do të na ndihmojë kjo të marrim një vendim shpejt?
Imagjinoni që duhet të merrni një vendim në 15 minutat e ardhshme. Jo nesër, jo javën tjetër, kur të kesh mbledhur mjaftueshëm informacion dhe jo në një muaj, kur të flasësh me të gjithë në lidhje me problemin.
Ju keni një çerek ore për të marrë një vendim. Merrni masa.
Kjo është metoda e tretë që ndihmon në marrjen e vendimeve të vështira në lidhje me planifikimin afatgjatë.
Përdorni kohën
Nëse keni hulumtuar një problem dhe keni kuptuar se opsionet për zgjidhjen e tij janë po aq tërheqëse, pranoni se nuk ka përgjigje të duhur, vendosni vetes një kufi kohor dhe thjesht zgjidhni çdo opsion. Nëse testimi i njërës prej zgjidhjeve kërkon investim minimal, zgjidhni atë dhe provojeni. Por nëse kjo nuk është e mundur, atëherë zgjidhni ndonjë dhe sa më shpejt të jetë e mundur: koha që shpenzoni për të menduarit e kotë mund të përdoret në një mënyrë më të mirë.
Sigurisht, ju mund të mos jeni dakord: "Nëse pres, mund të shfaqet përgjigja e duhur." Ndoshta, por së pari, po humbisni kohë të çmuar duke pritur që situata të sqarohet. Së dyti, pritja ju bën të zvarritni dhe shtyni vendimet e tjera që lidhen me të, ul produktivitetin dhe ngadalëson rritjen e kompanisë.
Provojeni tani. Nëse keni një pyetje që e keni shtyrë, jepini vetes tre minuta dhe bëjeni. Nëse keni shumë prej tyre, shkruani një listë dhe caktoni një kohë për secilën zgjidhje.
Do ta shihni, me çdo vendim që merrni, do të ndiheni pak më mirë, ankthi juaj do të ulet dhe do të ndiheni sikur po ecni përpara.
Pra, ju zgjidhni një sallatë të lehtë. A ishte kjo zgjedhja e duhur? Kush e di... Të paktën keni ngrënë, dhe nuk jeni ulur i uritur mbi menunë me pjata.
Si të mësoni të zgjidhni ekuacione të thjeshta dhe komplekse
Të dashur prindër!
Pa trajnim bazë matematikor, edukimi i një personi modern është i pamundur. Në shkollë, matematika shërben si lëndë mbështetëse për shumë disiplina të lidhura. Në jetën passhkollore, edukimi i vazhdueshëm bëhet një domosdoshmëri reale, e cila kërkon trajnim bazë në të gjithë shkollën, duke përfshirë edhe matematikën.
Në shkollën fillore, nuk shtrohen vetëm njohuri për temat themelore, por zhvillohen të menduarit logjik, imagjinata dhe konceptet hapësinore dhe formohet interesi për këtë temë.
Duke respektuar parimin e vazhdimësisë, ne do të përqendrohemi në temën më të rëndësishme, përkatësisht, "Marrëdhënia midis përbërësve të veprimeve gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të përbëra".
Me këtë mësim mund të mësoni lehtësisht se si të zgjidhni ekuacione komplekse. Gjatë mësimit do të mësoni në detaje udhëzime hap pas hapi për zgjidhjen e ekuacioneve komplekse.
Shumë prindër janë të hutuar nga pyetja se si t'i bëjnë fëmijët e tyre të mësojnë të zgjidhin ekuacione të thjeshta dhe komplekse. Nëse ekuacionet janë të thjeshta, kjo është gjysma e problemit, por ka edhe komplekse - për shembull, ato integrale. Meqë ra fjala, për informacion, ka edhe ekuacione që mendjet më të mira të planetit tonë po përpiqen t'i zgjidhin dhe për zgjidhjen e të cilave jepen shpërblime monetare shumë të rëndësishme. Për shembull, nëse ju kujtohetPerelmandhe një bonus parash të pakërkuar prej disa milionësh.
Megjithatë, le të kthehemi së pari te ekuacionet e thjeshta matematikore dhe të përsërisim llojet e ekuacioneve dhe emrat e përbërësve. Pak ngrohje:
_________________________________________________________________________
NGROHJA
Gjeni numrin shtesë në secilën kolonë:
2) Cila fjalë mungon në secilën kolonë?
3) Lidhni fjalët nga kolona e parë me fjalët nga kolona e dytë.
"Ekuacioni" "Barazia"
4) Si e shpjegoni se çfarë është "barazia"?
5) Po "ekuacioni"? A është kjo barazi? Çfarë të veçantë ka?
shuma afat
ndryshim minuend
produkt zbritës
faktorbarazisë
divident
ekuacioni
Përfundim: Një ekuacion është një barazi me një ndryshore, vlera e së cilës duhet gjetur.
_______________________________________________________________________
Ftoj secilin grup të shkruajë ekuacione në një copë letër me një stilolaps: (në tabelë)
| Grupi 1 - me një term të panjohur; grupi 2 - me një ulje të panjohur; Grupi 3 - me një nëntreg të panjohur; grupi 4 - me një pjesëtues të panjohur; grupi 5 - me një divident të panjohur; Grupi 6 - me një shumëzues të panjohur. | 1 grup x + 8 = 15 Grupi 2 x - 8 = 7 3 grup 48 - x = 36 4 grupi 540: x = 9 5 grup x: 15 = 9 6 grup x * 10 = 360 |
Njëri nga grupi duhet të lexojë ekuacionin e tyre në gjuhën matematikore dhe të komentojë zgjidhjen e tyre, d.m.th., të flasë veprimin që kryhet me komponentët e njohur të veprimeve (algoritmi).
Përfundim: Ne mund të zgjidhim ekuacione të thjeshta të të gjitha llojeve duke përdorur një algoritëm, të lexojmë dhe të shkruajmë shprehje fjalë për fjalë.
Unë propozoj të zgjidhet një problem në të cilin shfaqet një lloj i ri ekuacioni.
Përfundim: U njohëm me zgjidhjen e ekuacioneve, një nga pjesët e të cilave përmban një shprehje numerike, vlera e së cilës duhet gjetur dhe duhet të merret një ekuacion i thjeshtë.
________________________________________________________________________
Le të shqyrtojmë një version tjetër të ekuacionit, zgjidhja e të cilit reduktohet në zgjidhjen e një zinxhiri ekuacionesh të thjeshta. Këtu është një hyrje në ekuacionet e përbëra.
| a + b * c (x - y) : 3 2 * d + (m - n) A shkruhen ekuacionet? Pse? Si quhen veprime të tilla? Lexoni ato, duke emërtuar veprimin e fundit: | Nr. Këto nuk janë ekuacione sepse ekuacioni duhet të ketë një shenjë "=". Shprehjet a + b * c - shuma e numrit a dhe produktit të numrave b dhe c; (x - y): 3 - herësi i ndryshimit midis numrave x dhe y; 2 * d + (m - n) - shuma e dyfishit të numrit d dhe diferencës midis numrave m dhe n. |
I sugjeroj të gjithëve të shkruajnë një fjali në gjuhën matematikore:
Prodhimi i diferencës midis numrave x dhe 4 dhe numrit 3 është 15.
KONKLUZION: Situata problematike e krijuar motivon vendosjen e qëllimit të mësimit: të mësojmë të zgjidhim ekuacione në të cilat përbërësi i panjohur është një shprehje. Ekuacione të tilla janë ekuacione të përbëra.
__________________________________________________________________________
Apo ndoshta llojet e ekuacioneve që kemi studiuar tashmë do të na ndihmojnë? (algoritme)
Me cilin nga ekuacionet e famshme ekuacioni ynë është i ngjashëm? X * a = b
PYETJE SHUMË E RËNDËSISHME: Cila është shprehja në anën e majtë - shuma, ndryshimi, prodhimi apo herësi?
(x - 4) * 3 = 15 (Produkt)
Pse? (pasi veprimi i fundit është shumëzimi)
konkluzioni:Ekuacione të tilla nuk janë marrë ende në konsideratë. Por ne mund ta zgjidhim nëse shprehjax - 4vendosni një kartë (y - igrek), dhe ju merrni një ekuacion që mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur një algoritëm të thjeshtë për gjetjen e komponentit të panjohur.
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të përbëra, është e nevojshme në çdo hap të zgjidhni një veprim në një nivel të automatizuar, duke komentuar, emërtuar përbërësit e veprimit.
| Thjeshtoni pjesën |
| Nr ↓ po |
(v - 5) *
4
=
28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)
konkluzioni:Në klasa me prejardhje të ndryshme, kjo punë mund të organizohet ndryshe. Në klasat më të përgatitura, edhe për konsolidimin parësor, mund të përdoren shprehje në të cilat jo dy, por tre ose më shumë veprime, por zgjidhja e tyre kërkon një numër më të madh hapash, ku çdo hap thjeshton ekuacionin derisa të merret një ekuacion i thjeshtë. Dhe çdo herë mund të vëzhgoni se si ndryshon përbërësi i panjohur i veprimeve.
_____________________________________________________________________________
KONKLUZION:
Kur flasim për diçka shumë të thjeshtë dhe të kuptueshme, shpesh themi: "Çështja është aq e qartë sa dy dhe dy janë katër!"
Por përpara se të kuptonin se dy dhe dy janë të barabartë me katër, njerëzit duhej të studionin për shumë e shumë mijëra vjet.
Shumë rregulla nga librat shkollorë mbi aritmetikën dhe gjeometrinë ishin të njohura për grekët e lashtë më shumë se dy mijë vjet më parë.
Kudo që të duhet të numërosh, matësh, krahasosh diçka, nuk mund të bësh pa matematikë.
Është e vështirë të imagjinohet se si do të jetonin njerëzit nëse nuk do të dinin të numëronin, masin dhe krahasonin. Këtë e mëson matematika.
Sot ju u zhytët në jetën shkollore, luajtët rolin e nxënësve dhe ju ftoj, të dashur prindër, të vlerësoni aftësitë tuaja në një shkallë.
| aftësitë e mia | Data dhe vlerësimi |
| Komponentët e veprimit. | |
| Hartimi i një ekuacioni me një përbërës të panjohur. | |
| Leximi dhe shkrimi i shprehjeve. | |
| Gjeni rrënjën e një ekuacioni të thjeshtë. | |
| Gjeni rrënjën e një ekuacioni ku njëra nga pjesët përmban një shprehje numerike. | |
| Gjeni rrënjën e një ekuacioni në të cilin përbërësi i panjohur i veprimit është një shprehje. |
52. Shembuj më kompleks të ekuacioneve.
Shembulli 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Emëruesi i përbashkët është x 2 – 1, pasi x 2 – 1 = (x + 1) (x – 1). Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni me x 2 – 1. Marrim:
ose, pas reduktimit,
5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 15
5x + 5 - 3x + 3 = 15
2x = 7 dhe x = 3½
Le të shqyrtojmë një ekuacion tjetër:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Duke zgjidhur si më sipër, marrim:
5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ose 2x = 2 dhe x = 1.
Le të shohim nëse barazitë tona janë të justifikuara nëse x në secilin prej ekuacioneve të marra në shqyrtim e zëvendësojmë me numrin e gjetur.
Për shembullin e parë marrim:
Ne shohim se nuk ka vend për asnjë dyshim: ne kemi gjetur një numër për x të tillë që barazia e kërkuar është e justifikuar.
Për shembullin e dytë marrim:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ose 5/0 – 3/2 = 15/0
Këtu lindin dyshime: jemi përballë pjesëtimit me zero, gjë që është e pamundur. Nëse në të ardhmen arrijmë t'i japim një kuptim të caktuar, megjithëse indirekt, kësaj ndarjeje, atëherë mund të pajtohemi që zgjidhja e gjetur x – 1 plotëson ekuacionin tonë. Deri atëherë, duhet të pranojmë se ekuacioni ynë nuk ka një zgjidhje që ka një kuptim të drejtpërdrejtë.
Raste të ngjashme mund të ndodhin kur e panjohura përfshihet disi në emëruesit e thyesave të pranishme në ekuacion, dhe disa nga këta emërues, kur gjendet zgjidhja, kthehen në zero.
Shembulli 2.
Ju mund të shihni menjëherë se ky ekuacion ka formën e një proporcioni: raporti i numrit x + 3 me numrin x – 1 është i barabartë me raportin e numrit 2x + 3 me numrin 2x – 2. Le të dikujt, në duke parë këtë rrethanë, vendosni të aplikoni këtu për të çliruar ekuacionin nga thyesat, vetia kryesore e proporcionit (produkti i termave ekstremë është i barabartë me produktin e termave të mesëm). Atëherë ai do të marrë:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Këtu, frika se nuk do ta përballojmë këtë ekuacion mund të ngrihet nga fakti se ekuacioni përfshin termat me x 2. Megjithatë, ne mund të zbresim 2x 2 nga të dyja anët e ekuacionit - kjo nuk do ta prishë ekuacionin; atëherë termat me x 2 do të shkatërrohen dhe do të marrim:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Le t'i zhvendosim termat e panjohur në të majtë dhe ato të njohura në të djathtë - marrim:
3x = 3 ose x = 1
Duke kujtuar këtë ekuacion
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Do të vërejmë menjëherë se vlera e gjetur për x (x = 1) bën që emëruesit e çdo thyese të zhduken; Ne duhet të braktisim një zgjidhje të tillë derisa të kemi shqyrtuar çështjen e pjesëtimit me zero.
Nëse vërejmë gjithashtu se zbatimi i vetive të proporcionit e ka komplikuar çështjen dhe se një ekuacion më i thjeshtë mund të merret duke shumëzuar të dyja anët e dhënë me një emërues të përbashkët, përkatësisht 2(x – 1) - në fund të fundit, 2x – 2 = 2 (x – 1), atëherë marrim:
2(x + 3) = 2x – 3 ose 2x + 6 = 2x – 3 ose 6 = –3,
gjë që është e pamundur.
Kjo rrethanë tregon se ky ekuacion nuk ka zgjidhje që të kenë një kuptim të drejtpërdrejtë që nuk do t'i kthente emëruesit e këtij ekuacioni në zero.
Le të zgjidhim tani ekuacionin:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit 2(x – 1), pra me emëruesin e përbashkët, marrim:
6x + 10 = 2x + 18
Zgjidhja e gjetur nuk e zhduk emëruesin dhe ka një kuptim të drejtpërdrejtë:
ose 11 = 11
Nëse dikush, në vend që të shumëzonte të dyja pjesët me 2 (x – 1), do të përdorte vetinë e proporcionit, ai do të merrte:
(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) ose
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Këtu termat me x 2 nuk do të shkatërroheshin. Duke lëvizur të gjithë termat e panjohur në anën e majtë, dhe ato të njohura në të djathtë, do të merrnim
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Tani nuk do të jemi në gjendje ta zgjidhim këtë ekuacion. Në të ardhmen, ne do të mësojmë se si të zgjidhim ekuacione të tilla dhe të gjejmë dy zgjidhje për të: 1) mund të marrësh x = 2 dhe 2) mund të marrësh x = 1. Është e lehtë të kontrollosh të dyja zgjidhjet:
1) 2 2 – 3 2 = –2 dhe 2) 1 2 – 3 1 = –2
Nëse kujtojmë ekuacionin fillestar
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
atëherë do të shohim se tani marrim të dyja zgjidhjet e saj: 1) x = 2 është zgjidhja që ka kuptim të drejtpërdrejtë dhe nuk e kthen emëruesin në zero, 2) x = 1 është zgjidhja që e kthen emëruesin në zero dhe nuk ka kuptim të drejtpërdrejtë.
Shembulli 3.
Le të gjejmë emëruesin e përbashkët të thyesave të përfshira në këtë ekuacion duke faktorizuar secilin prej emërtuesve:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2 (x – 3) = (x – 3) (x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Emëruesi i përbashkët është (x – 3) (x – 2) (x + 1).
Le të shumëzojmë të dyja anët e këtij ekuacioni (dhe tani mund ta rishkruajmë atë si:
me një emërues të përbashkët (x – 3) (x – 2) (x + 1). Pastaj, pasi zvogëlojmë çdo thyesë, marrim:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ose
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.
Nga këtu marrim:
–x = –13 dhe x = 13.
Kjo zgjidhje ka një kuptim të drejtpërdrejtë: nuk zhduk asnjë nga emëruesit.
Nëse marrim ekuacionin:
atëherë, duke bërë saktësisht të njëjtën gjë si më sipër, do të merrnim
3 (x + 1) - 2 (x - 3) = x - 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
nga do ta merrnit?
gjë që është e pamundur. Kjo rrethanë tregon se është e pamundur të gjendet një zgjidhje për ekuacionin e fundit që ka një kuptim të drejtpërdrejtë.