Trikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu trikotnik. Višina te piramide je navpičnica, ki je spuščena od vrha piramide do njenega vznožja.

Iskanje višine piramide

Kako najti višino piramide? Zelo preprosto! Če želite najti višino katere koli trikotne piramide, lahko uporabite formulo prostornine: V = (1/3)Sh, kjer je S površina baze, V je prostornina piramide, h je njena višina. Iz te formule izpeljite formulo višine: če želite najti višino trikotne piramide, morate prostornino piramide pomnožiti s 3 in nato dobljeno vrednost razdeliti na površino baze, bo: h = (3V)/S. Ker je osnova trikotne piramide trikotnik, lahko uporabite formulo za izračun površine trikotnika. Če poznamo: ploščino trikotnika S in njegovo stranico z, potem glede na formulo ploščine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kjer je h višina piramide, γ je rob trikotnika; kot med stranicami trikotnika in obema stranicama samima, nato z uporabo naslednje formule: S = (1/2)γφsinQ, kjer sta γ, φ strani trikotnika, najdemo površino trikotnika. Vrednost sinusa kota Q je treba pogledati v tabeli sinusov, ki je dostopna na internetu. Nato nadomestimo vrednost površine v formulo za višino: h = (2S)/γ. Če naloga zahteva izračun višine trikotne piramide, potem je prostornina piramide že znana.

Pravilna trikotna piramida

Poiščite višino pravilne trikotne piramide, to je piramide, v kateri so vse ploskve enakostranični trikotniki, pri čemer poznate velikost roba γ. V tem primeru so robovi piramide stranice enakostraničnega trikotnika. Višina pravilne trikotne piramide bo: h = γ√(2/3), kjer je γ rob enakostraničnega trikotnika, h je višina piramide. Če površina osnove (S) ni znana in sta podana samo dolžina roba (γ) in prostornina (V) poliedra, je treba zamenjati potrebno spremenljivko v formuli iz prejšnjega koraka z njegovim ekvivalentom, ki je izražen z dolžino roba. Površina trikotnika (navadnega) je enaka 1/4 zmnožka dolžine stranice tega trikotnika na kvadrat s kvadratnim korenom iz 3. To formulo zamenjamo namesto površine osnove v prejšnjem formulo in dobimo naslednjo formulo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Prostornino tetraedra lahko izrazimo z dolžino njegovega roba, nato pa lahko iz formule za izračun višine figure odstranimo vse spremenljivke in pustimo le stranico trikotne ploskve figure. Prostornino takšne piramide lahko izračunate tako, da zmnožek kubne dolžine njene ploskve delite z 12 na kvadratni koren iz 2.

Če ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo, dobimo naslednjo formulo za izračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Tudi navadno trikotno prizmo lahko vpišemo v kroglo in če poznamo le polmer krogle (R), lahko ugotovimo višino samega tetraedra. Dolžina roba tetraedra je: γ = 4R/√6. S tem izrazom v prejšnji formuli zamenjamo spremenljivko γ in dobimo formulo: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Isto formulo lahko dobimo, če poznamo polmer (R) kroga, včrtanega v tetraeder. V tem primeru bo dolžina roba trikotnika enaka 12 razmerjem med kvadratnim korenom iz 6 in polmerom. Ta izraz nadomestimo s prejšnjo formulo in imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako najti višino pravilne štirikotne piramide

Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti dolžino višine piramide, morate vedeti, kaj je navadna piramida. Štirikotna piramida je piramida, ki ima na svojem dnu štirikotnik. Če imamo v pogojih problema: prostornino (V) in površino osnove (S) piramide, potem bo formula za izračun višine poliedra (h) naslednja - razdelite prostornina pomnožena s 3 s površino S: h = (3V)/S. Za kvadratno osnovo piramide z dano prostornino (V) in stransko dolžino γ zamenjajte ploščino (S) v prejšnji formuli s kvadratom stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Višina pravilne piramide h = SO gre natančno skozi središče kroga, ki je opisan blizu vznožja. Ker je osnova te piramide kvadrat, je točka O presečišče diagonal AD in BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Nato v pravokotnem trikotniku SOC najdemo (z uporabo Pitagorovega izreka): SO = √(SC 2 -OC 2). Zdaj veste, kako najti višino pravilne piramide.

Piramida. Prisekana piramida

Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina Piramida je razdalja od njenega vrha do osnovne ravnine. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek imenujemo odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

2. Če so v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

kje V- volumen;

S osnova– osnovna površina;

H– višina piramide.

Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

h a– apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S osnova– osnovna površina;

V– prostornina pravilne piramide.

Prisekana piramida imenujemo del piramide, ki je obdan med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.

Razlogi prisekana piramida – podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:

(4)

kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;

S poln– skupna površina;

S stran– bočna površina;

H- višina;

V– prostornina prisekane piramide.

Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:

kje str 1 , str 2 – obodi baz;

h a– apotem pravilne prisekane piramide.

Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je diedrski kot pri dnu 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O segment BD je razdeljen na dele: in Od najdemo SO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.

rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice osnov so enake 2 cm oziroma 8 cm. To pomeni, da so površine osnov in Če vse podatke nadomestimo v formulo, izračunamo prostornino prirezane piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. ker (glej sliko 20) in Po drugi strani OK– krogu včrtan polmer in OM– polmer vpisan v krog:

MK = DE.

Po Pitagorovem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti ploščin in ploščine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Z uporabo izreka o območju pravokotne projekcije ravninske figure dobimo:

Enako pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.

Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo

• apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha (poleg tega je apotem dolžina navpičnice, ki je spuščena iz sredine pravilnega mnogokotnika na eno od njegovih stranic);
• stranski obrazi (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikotniki, ki se stikajo na vrhu;
• stranska rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — skupne stranice stranskih ploskev;
• vrh piramide (t. S) - točka, ki povezuje stranska rebra in ki ne leži v ravnini baze;
• višina ( SO ) - pravokotni odsek, narisan skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca takega odseka bosta vrh piramide in osnova pravokotnice);
• diagonalni prerez piramide- del piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
• osnova (ABCD) - mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.

Lastnosti piramide.

1. Ko so vsi stranski robovi enake velikosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze;
• Poleg tega velja tudi obratno, tj. ko stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze ali ko je mogoče opisati krog okoli baze piramide in bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga, to pomeni, da so vsi stranski robovi piramide so enake velikosti.

2. Ko imajo stranske ploskve kot naklona na ravnino osnove enake vrednosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• višine stranskih ploskev so enake dolžine;
• površina stranske površine je enaka ½ zmnožka oboda osnove in višine stranske ploskve.

3. Okoli piramide lahko opišemo kroglo, če je na dnu piramide mnogokotnik, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo točka presečišča ravnin, ki potekajo skozi sredine robov piramide pravokotno nanje. Iz tega izreka sklepamo, da lahko kroglo opišemo tako okrog katere koli trikotne kot okoli vsake pravilne piramide.

4. Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v 1. točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo postala središče krogle.

Najenostavnejša piramida.

Glede na število kotov delimo osnovo piramide na trikotne, štirikotne itd.

Tam bo piramida trikotne, štirikotne, in tako naprej, ko je osnova piramide trikotnik, štirikotnik itd. Trikotna piramida je tetraeder - tetraeder. Štirikotni - peterokotni in tako naprej.

Tukaj lahko najdete osnovne informacije o piramidah ter povezanih formulah in konceptih. Vsi se preučujejo z inštruktorjem matematike kot pripravo na enotni državni izpit.

Razmislite o ravnini, poligonu , ki leži v njej in točka S, ki ne leži v njej. Povežimo S z vsemi oglišči mnogokotnika. Nastali polieder imenujemo piramida. Segmenti se imenujejo stranska rebra. Poligon imenujemo osnova, točka S pa vrh piramide. Glede na število n se piramida imenuje trikotna (n=3), štirikotna (n=4), peterokotna (n=5) itd. Alternativno ime za trikotno piramido je tetraeder. Višina piramide je navpičnica, ki se spušča z njenega vrha na ravnino osnove.

Piramida se imenuje pravilna, če pravilni mnogokotnik, osnova nadmorske višine piramide (osnova navpičnice) pa je njeno središče.

Komentar mentorja:
Ne mešajte pojmov "pravilna piramida" in "pravilni tetraeder". Pri pravilni piramidi stranski robovi niso nujno enaki robom osnove, pri pravilnem tetraedru pa je vseh 6 robov enakih. To je njegova definicija. Enostavno je dokazati, da enakost implicira sovpadanje središča P mnogokotnika z osnovno višino, torej je pravilni tetraeder pravilna piramida.

Kaj je apotem?
Apotem piramide je višina njene stranske ploskve. Če je piramida pravilna, so vsi njeni apotemi enaki. Obratno ne drži.

Mentor matematike o svoji terminologiji: 80 % dela s piramidami je zgrajenega prek dveh vrst trikotnikov:
1) Vsebuje apotem SK in višino SP
2) Vsebuje stranski rob SA in njegovo projekcijo PA

Za poenostavitev sklicevanja na te trikotnike je bolj priročno, da učitelj matematike pokliče prvega od njih apothemal, in drugo obalni. Te terminologije žal ne boste našli v nobenem učbeniku in jo mora učitelj uvesti enostransko.

Formula za prostornino piramide:
1) , kjer je ploščina osnove piramide, in je višina piramide
2) , kjer je polmer včrtane krogle in je površina celotne površine piramide.
3) , kjer je MN razdalja med katerima koli križajočima se robovoma in je površina paralelograma, ki ga tvorijo razpolovišča štirih preostalih robov.

Lastnost osnove višine piramide:

Točka P (glej sliko) sovpada s središčem včrtanega kroga na dnu piramide, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:
1) Vsi apotemi so enaki
2) Vse stranske ploskve so enako nagnjene na podlago
3) Vsi apotemi so enako nagnjeni na višino piramide
4) Višina piramide je enako nagnjena na vse stranske ploskve

Komentar učitelja matematike: Upoštevajte, da vse točke združuje ena skupna lastnost: tako ali drugače so stranske ploskve vključene povsod (apoteme so njihovi elementi). Zato lahko učitelj ponudi manj natančno, a bolj priročno za učenje formulacijo: točka P sovpada s središčem včrtanega kroga, osnovo piramide, če obstajajo enaki podatki o njenih stranskih ploskvah. Da bi to dokazali, je dovolj pokazati, da so vsi trikotniki apotem enaki.

Točka P sovpada s središčem kroga, opisanega blizu vznožja piramide, če je izpolnjen eden od treh pogojev:
1) Vsi stranski robovi so enaki
2) Vsa stranska rebra so enako nagnjena na podlago
3) Vsa stranska rebra so enako nagnjena v višino

Še naprej obravnavamo naloge, vključene v enotni državni izpit iz matematike. Preučevali smo že naloge, kjer je podan pogoj in je treba najti razdaljo med dvema danima točkama ali kot.

Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve so trikotniki in imajo skupno oglišče.

Pravilna piramida je piramida, v osnovi katere leži pravilen mnogokotnik, njeno vrh pa je projiciran v središče baze.

Pravilna štirikotna piramida - osnova je kvadrat, ki je projiciran na presečišču diagonal baze.

ML - apotem
∠MLO - diedrski kot na dnu piramide
∠MCO - kot med stranskim robom in ravnino osnove piramide

V tem članku si bomo ogledali težave pri reševanju pravilne piramide. Najti morate nek element, stransko površino, prostornino, višino. Seveda morate poznati Pitagorov izrek, formulo za površino stranske površine piramide in formulo za iskanje volumna piramide.

V članku "" predstavlja formule, ki so potrebne za reševanje problemov v stereometriji. Torej, naloge:

SABCD pika O- središče baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Poišči stranski robS.C..

V tem primeru je osnova kvadrat. To pomeni, da sta diagonali AC in BD enaki, se sekata in ju razpolovi presečišče. Upoštevajte, da v pravilni piramidi višina, spuščena z njenega vrha, poteka skozi središče baze piramide. Torej je SO višina in trikotnikSOCpravokotne. Potem po pitagorejskem izreku:

Kako izluščiti koren velikega števila.

Odgovor: 85

Odločite se sami:

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Poiščite stranski rob S.C..

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Poiščite dolžino odseka SO.

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Poišči dolžino odseka A.C..

SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 7, a S.R.= 16. Poiščite stransko površino.

Ploščina stranske ploskve pravilne trikotne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme (apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha):

Lahko pa rečemo takole: površina stranske površine piramide je enaka vsoti ploščin treh stranskih ploskev. Stranske ploskve v pravilni trikotni piramidi so trikotniki enake ploščine. V tem primeru:

Odgovor: 168

Odločite se sami:

V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1, a S.R.= 2. Poiščite stransko površino.

V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1 in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta S.R..

V pravilni trikotni piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da SL= 2, in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta AB.

V pravilni trikotni piramidi SABC M. Območje trikotnika ABC je 25, prostornina piramide je 100. Poiščite dolžino segmenta MS.

Osnova piramide je enakostranični trikotnik. zato Mje središče baze inMS- višina pravilne piramideSABC. Prostornina piramide SABC je enako: ogled rešitve

V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Območje trikotnika ABC enako 3, MS= 1. Poiščite prostornino piramide.

V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Prostornina piramide je 1, MS= 1. Poiščite površino trikotnika ABC.

Končajmo tukaj. Kot lahko vidite, se težave rešujejo v enem ali dveh korakih. V prihodnje bomo obravnavali še druge probleme iz tega dela, kjer so podana telesa revolucije, ne spreglejte!

Vso srečo!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.