• apotema- višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha (poleg tega je apotem dolžina navpičnice, ki je spuščena iz sredine pravilnega mnogokotnika na eno od njegovih stranic);
• stranski obrazi (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikotniki, ki se stikajo na vrhu;
• stranska rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — skupne stranice stranskih ploskev;
• vrh piramide (t. S) - točka, ki povezuje stranska rebra in ki ne leži v ravnini baze;
• višina ( SO ) - pravokotni odsek, narisan skozi vrh piramide do ravnine njene osnove (konca takega odseka bosta vrh piramide in osnova pravokotnice);
• diagonalni prerez piramide- del piramide, ki poteka skozi vrh in diagonalo baze;
• osnova (ABCD) - mnogokotnik, ki ne pripada vrhu piramide.

Lastnosti piramide.

1. Ko so vsi stranski robovi enake velikosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze;
• Poleg tega velja tudi obratno, tj. ko stranska rebra tvorijo enake kote z ravnino baze ali ko je mogoče opisati krog okoli baze piramide in bo vrh piramide projiciran v središče tega kroga, to pomeni, da so vsi stranski robovi piramide so enake velikosti.

2. Ko imajo stranske ploskve kot naklona na ravnino osnove enake vrednosti, potem:

• enostavno je opisati krog blizu vznožja piramide, vrh piramide pa bo projiciran v središče tega kroga;
• višine stranskih ploskev so enake dolžine;
• površina stranske površine je enaka ½ zmnožka oboda osnove in višine stranske ploskve.

3. Okoli piramide lahko opišemo kroglo, če je na dnu piramide mnogokotnik, okoli katerega lahko opišemo krog (nujen in zadosten pogoj). Središče krogle bo točka presečišča ravnin, ki potekajo skozi sredine robov piramide pravokotno nanje. Iz tega izreka sklepamo, da lahko kroglo opišemo tako okrog katere koli trikotne kot okoli vsake pravilne piramide.

4. Krogla je lahko včrtana v piramido, če se simetrali notranjih diedrskih kotov piramide sekata v 1. točki (nujen in zadosten pogoj). Ta točka bo postala središče krogle.

Najenostavnejša piramida.

Glede na število kotov delimo osnovo piramide na trikotne, štirikotne itd.

Tam bo piramida trikotne, štirikotne, in tako naprej, ko je osnova piramide trikotnik, štirikotnik itd. Trikotna piramida je tetraeder - tetraeder. Štirikotni - peterokotni in tako naprej.

Učenci se s konceptom piramide srečajo že dolgo pred študijem geometrije. Za to so kriva znana velika egipčanska čudesa sveta. Zato si večina študentov ob začetku preučevanja tega čudovitega poliedra že jasno predstavlja. Vse zgoraj omenjene atrakcije so pravilne oblike. Kaj se je zgodilo redna piramida, in kakšne lastnosti ima, bomo še razpravljali.

Opredelitev

Definicij piramide je kar nekaj. Že od antičnih časov je bil zelo priljubljen.

Na primer, Evklid ga je definiral kot telesno figuro, sestavljeno iz ravnin, ki se, začenši od ene, zbližajo na določeni točki.

Heron je ponudil natančnejšo formulacijo. Je vztrajal, da je to številka, ki ima osnovo in ravnine v obliki trikotnikov, zbliževanje v eni točki.

Na podlagi sodobne interpretacije je piramida predstavljena kot prostorski polieder, sestavljen iz določenega k-kotnika in k ravnih trikotnih likov, ki imajo eno skupno točko.

Oglejmo si ga podrobneje, iz katerih elementov je sestavljen:

• K-gon velja za osnovo figure;
• 3-kotne oblike štrlijo kot robovi stranskega dela;
• zgornji del, iz katerega izvirajo stranski elementi, se imenuje vrh;
• vsi segmenti, ki povezujejo vrh, se imenujejo robovi;
• če je ravna črta spuščena od vrha do ravnine figure pod kotom 90 stopinj, potem je njen del v notranjem prostoru višina piramide;
• v kateremkoli stranskem elementu lahko na stranico našega poliedra potegnemo pravokotnico, imenovano apotem.

Število robov se izračuna s formulo 2*k, kjer je k število strani k-kotnika. Koliko ploskev ima polieder, kot je piramida, lahko določimo z izrazom k+1.

Pomembno! Piramida pravilne oblike je stereometrični lik, katerega osnovna ravnina je k-kotnik z enakimi stranicami.

Osnovne lastnosti

Pravilna piramida ima veliko lastnosti, ki so edinstveni zanjo. Naj jih naštejemo:

1. Osnova je figura pravilne oblike.
2. Robovi piramide, ki omejujejo stranske elemente, imajo enake številčne vrednosti.
3. Stranski elementi so enakokraki trikotniki.
4. Osnovica višine lika pade v središče mnogokotnika, hkrati pa je središčna točka včrtanega in opisanega.
5. Vsa stranska rebra so nagnjena na ravnino baze pod enakim kotom.
6. Vse stranske površine imajo enak kot naklona glede na podlago.

Zaradi vseh naštetih lastnosti je izračun elementov veliko enostavnejši. Na podlagi zgornjih lastnosti smo pozorni na dva znaka:

1. V primeru, da se mnogokotnik prilega krogu, bodo stranske ploskve imele enake kote z osnovo.
2. Pri opisovanju kroga okoli mnogokotnika bodo imeli vsi robovi piramide, ki izhajajo iz vrha, enake dolžine in enake kote z osnovo.

Osnova je kvadrat

Pravilna štirikotna piramida - polieder, katerega osnova je kvadrat.

Ima štiri stranske ploskve, ki so po videzu enakokrake.

Kvadrat je upodobljen na ravnini, vendar temelji na vseh lastnostih pravilnega štirikotnika.

Na primer, če je treba povezati stran kvadrata z njegovo diagonalo, uporabite naslednjo formulo: diagonala je enaka zmnožku stranice kvadrata in kvadratnega korena iz dveh.

Temelji na pravilnem trikotniku

Pravilna trikotna piramida je polieder, katerega osnova je pravilen trikotnik.

Če je osnova pravilen trikotnik in so stranski robovi enaki robom osnove, potem je taka figura imenujemo tetraeder.

Vse ploskve tetraedra so enakostranični trikotnik. V tem primeru morate vedeti nekaj točk in ne izgubljati časa z njimi pri izračunu:

• kot naklona reber na katero koli podlago je 60 stopinj;
• velikost vseh notranjih ploskev je tudi 60 stopinj;
• vsak obraz lahko deluje kot osnova;
• , narisane znotraj figure, so to enaki elementi.

Odseki poliedra

V katerem koli poliedru obstajajo več vrst odsekov ravno. Pogosto v šolskem tečaju geometrije delajo z dvema:

• aksialni;
• vzporedno z osnovo.

Osni prerez dobimo tako, da polieder presekamo z ravnino, ki poteka skozi oglišče, stranske robove in os. V tem primeru je os višina, narisana iz vrha. Rezalna ravnina je omejena s črtami presečišča z vsemi ploskvami, kar povzroči trikotnik.

Pozor! V pravilni piramidi je osni prerez enakokraki trikotnik.

Če rezalna ravnina poteka vzporedno z osnovo, potem je rezultat druga možnost. V tem primeru imamo prerez, podoben osnovi.

Na primer, če je na dnu kvadrat, bo tudi odsek, vzporeden z osnovo, kvadrat, le manjših dimenzij.

Pri reševanju problemov pod tem pogojem uporabljajo znake in lastnosti podobnosti figur, temelji na Thalesovem izreku. Najprej je treba določiti koeficient podobnosti.

Če ravnino narišemo vzporedno z osnovo in odrežemo zgornji del poliedra, dobimo v spodnjem delu pravilno prisekano piramido. Potem pravimo, da so osnove prisekanega poliedra podobni mnogokotniki. V tem primeru so stranske ploskve enakokraki trapezi. Tudi osni prerez je enakokrak.

Za določitev višine prisekanega poliedra je potrebno narisati višino v osnem prerezu, to je v trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi, ki jih je treba rešiti v šolskem tečaju geometrije, so ugotoviti površino in prostornino piramide.

Obstajata dve vrsti površinskih vrednosti:

• območje stranskih elementov;
• območje celotne površine.

Že iz samega imena je jasno o čem govorimo. Stranska površina vključuje samo stranske elemente. Iz tega sledi, da ga želite najti, preprosto seštejte območja stranskih ravnin, to je območja enakokrakih 3-kotnikov. Poskusimo izpeljati formulo za območje stranskih elementov:

1. Ploščina enakokrakega 3-kotnika je enaka Str=1/2(aL), kjer je a stranica osnove, L je apotem.
2. Število stranskih ravnin je odvisno od vrste k-kotnika na dnu. Na primer, pravilna štirikotna piramida ima štiri stranske ravnine. Zato je treba sešteti ploščine štirih likov Sstran=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je na ta način poenostavljen, ker je vrednost 4a = Rosn, kjer je Rosn obseg baze. In izraz 1/2*Rosn je njegov polobod.
3. Torej sklepamo, da je površina stranskih elementov pravilne piramide enaka zmnožku pol oboda osnove in apoteme: Sside = Rosn * L.

Površina celotne površine piramide je sestavljena iz vsote površin stranskih ravnin in osnove: Sp.p = Sside + Sbas.

Kar zadeva površino baze, se tukaj formula uporablja glede na vrsto poligona.

Prostornina pravilne piramide enak zmnožku ploščine osnovne ravnine in višine, deljene s tri: V=1/3*Sbas*H, kjer je H višina poliedra.

Kaj je pravilna piramida v geometriji

Lastnosti pravilne štirikotne piramide

Začetna raven

Piramida. Vizualni vodnik (2019)

Kaj je piramida?

Kako izgleda?

Vidite: na dnu piramide (pravijo " na dnu") nek mnogokotnik in vsa oglišča tega mnogokotnika so povezana z neko točko v prostoru (ta točka se imenuje " vertex»).

Celotna struktura še vedno obstaja stranski obrazi, stranska rebra in osnovna rebra. Še enkrat, narišimo piramido skupaj z vsemi temi imeni:

Nekatere piramide so morda videti zelo nenavadne, vendar so še vedno piramide.

Tukaj je na primer popolnoma "poševno" piramida.

Pa še malo o imenih: če je na dnu piramide trikotnik, potem se piramida imenuje trikotna, če je štirikotna, pa štirikotna, če pa je stokotnik, potem ... uganite sami .

Hkrati tudi točka, kjer je padlo višina, poklical višinska osnova. Upoštevajte, da v "krivih" piramidah višina lahko celo konča zunaj piramide. takole:

In s tem ni nič narobe. Videti je kot tup trikotnik.

Pravilna piramida.

Veliko zapletenih besed? Dešifriramo: "V osnovi - pravilno" - to je razumljivo. Zdaj pa si zapomnimo, da ima pravilni mnogokotnik središče - točko, ki je središče in , in .

No, besede "vrh je projiciran v sredino baze" pomenijo, da osnova višine pade točno v sredino baze. Poglejte, kako gladko in ljubko izgleda redna piramida.

Šesterokotna: na dnu je pravilni šesterokotnik, vrh je projiciran v središče baze.

Štirikotni: osnova je kvadrat, vrh je projiciran na presečišče diagonal tega kvadrata.

Trikotna: na dnu je pravilen trikotnik, vrh je projiciran na presečišče višin (so tudi mediane in simetrale) tega trikotnika.

Zelo pomembne lastnosti pravilne piramide:

V desni piramidi

• vsi stranski robovi so enaki.
• vse stranske ploskve so enakokraki trikotniki in vsi ti trikotniki so enaki.

Prostornina piramide

Glavna formula za prostornino piramide:

Od kod točno je prišel? To ni tako preprosto in najprej se morate spomniti, da imata piramida in stožec prostornino v formuli, valj pa ne.

Zdaj pa izračunajmo prostornino najbolj priljubljenih piramid.

Naj bo stranica podstavka enaka in stranski rob enak. Moramo najti in.

To je območje pravilnega trikotnika.

Spomnimo se, kako iskati to območje. Uporabljamo formulo površine:

Za nas je “ ” to in “ ” je tudi to, eh.

Zdaj pa ga poiščimo.

Po Pitagorovem izreku za

Kakšna je razlika? To je circumradius v ker piramidapravilno in torej središče.

Ker - tudi presečišče median.

(Pitagorov izrek za)

Nadomestimo ga v formulo za.

In nadomestimo vse v formulo volumna:

Pozor:če imate navaden tetraeder (tj.), se formula izkaže takole:

Naj bo stranica podstavka enaka in stranski rob enak.

Tukaj ni treba iskati; Navsezadnje je osnova kvadrat in zato.

Našli ga bomo. Po Pitagorovem izreku za

Ali vemo? No, skoraj. poglej:

(to smo videli, ko smo ga pogledali).

Nadomestite v formulo za:

In zdaj nadomestimo in v formulo volumna.

Naj bo stran podlage enaka in stranski rob.

Kako najti? Poglejte, šestkotnik je sestavljen iz natanko šestih enakih pravilnih trikotnikov. Pri izračunu prostornine pravilne trikotne piramide smo že iskali površino pravilnega trikotnika; tukaj uporabljamo formulo, ki smo jo našli.

Zdaj pa poiščimo (to).

Po Pitagorovem izreku za

Toda kaj je to pomembno? Preprosto je, ker (in tudi vsi drugi) ima prav.

Zamenjajmo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. NA KRATKO O GLAVNEM

Piramida je polieder, ki je sestavljen iz katerega koli ravnega mnogokotnika (), točke, ki ne leži v ravnini baze (vrh piramide) in vseh segmentov, ki povezujejo vrh piramide s točkami baze (stranski robovi).

Z vrha piramide na ravnino osnove je padla navpičnica.

Pravilna piramida- piramida, pri kateri na dnu leži pravilen mnogokotnik, vrh piramide pa je projiciran v središče baze.

Lastnost pravilne piramide:

• V pravilni piramidi so vsi stranski robovi enaki.
• Vse stranske ploskve so enakokraki trikotniki in vsi ti trikotniki so enaki.

Piramida. Prisekana piramida

Piramida je polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik ( osnova ), vse ostale ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom ( stranski obrazi ) (slika 15). Piramida se imenuje pravilno , če je njena osnova pravilen mnogokotnik in je vrh piramide projiciran v središče baze (slika 16). Imenuje se trikotna piramida, pri kateri so vsi robovi enaki tetraeder .

Bočno rebro piramide je stran stranske ploskve, ki ne pripada osnovi Višina Piramida je razdalja od njenega vrha do osnovne ravnine. Vsi stranski robovi pravilne piramide so med seboj enaki, vse stranske ploskve so enaki enakokraki trikotniki. Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je narisana iz vrha, se imenuje apotema . Diagonalni odsek imenujemo odsek piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Bočna površina piramida je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina se imenuje vsota površin vseh stranskih ploskev in podnožja.

Izreki

1. Če so v piramidi vsi stranski robovi enako nagnjeni na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

2. Če so v piramidi vsi stranski robovi enake dolžine, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, ki je opisan blizu baze.

3. Če so vse ploskve v piramidi enako nagnjene na ravnino baze, potem je vrh piramide projiciran v središče kroga, včrtanega v osnovi.

Za izračun prostornine poljubne piramide je pravilna formula:

kje V- volumen;

S osnova– osnovna površina;

H– višina piramide.

Za pravilno piramido so pravilne naslednje formule:

kje str– osnovni obod;

h a– apotem;

H- višina;

S poln

S stran

S osnova– osnovna površina;

V– prostornina pravilne piramide.

Prisekana piramida imenujemo del piramide, ki je obdan med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide (slika 17). Pravilna prisekana piramida imenujemo del pravilne piramide, ki je zaprt med osnovo in sečno ravnino, ki je vzporedna z osnovo piramide.

Razlogi prisekana piramida – podobni poligoni. Stranski obrazi – trapezi. Višina prisekane piramide je razdalja med njenimi osnovami. Diagonala prisekana piramida je segment, ki povezuje njena oglišča, ki ne ležijo na isti ploskvi. Diagonalni odsek je odsek prisekane piramide z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.

Za prisekano piramido veljajo naslednje formule:

(4)

kje S 1 , S 2 – območja zgornje in spodnje baze;

S poln– skupna površina;

S stran– bočna površina;

H- višina;

V– prostornina prisekane piramide.

Za pravilno prisekano piramido je pravilna formula:

kje str 1 , str 2 – obodi baz;

h a– apotem pravilne prisekane piramide.

Primer 1. V pravilni trikotni piramidi je diedrski kot pri dnu 60º. Poiščite tangens kota naklona stranskega roba na ravnino osnove.

rešitev. Naredimo risbo (slika 18).

Piramida je pravilna, kar pomeni, da je na dnu enakostranični trikotnik, vse stranske ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki. Diedrski kot pri dnu je kot naklona stranske ploskve piramide na ravnino baze. Linearni kot je kot a med dvema navpičnicama: itd. Vrh piramide je projiciran v središče trikotnika (središče opisanega kroga in včrtanega kroga trikotnika ABC). Kot naklona stranskega roba (npr S.B.) je kot med samim robom in njegovo projekcijo na ravnino osnove. Za rebro S.B. ta kot bo kot SBD. Če želite najti tangento, morate poznati noge SO in O.B.. Naj dolžina segmenta BD enako 3 A. Pika O segment BD je razdeljen na dele: in Od najdemo SO: Od najdemo:

odgovor:

Primer 2. Poiščite prostornino pravilne prisekane štirikotne piramide, če sta diagonali njenih osnov enaki cm in cm, njena višina pa je 4 cm.

rešitev. Za iskanje prostornine prisekane piramide uporabimo formulo (4). Če želite najti površino baz, morate najti stranice osnovnih kvadratov, pri čemer poznate njihove diagonale. Stranice osnov so enake 2 cm oziroma 8 cm. To pomeni, da so površine osnov in Če vse podatke nadomestimo v formulo, izračunamo prostornino prirezane piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primer 3. Poiščite površino stranske ploskve pravilne trikotne prisekane piramide, katere stranice osnove so 10 cm in 4 cm, višina piramide pa 2 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 19).

Stranska stran te piramide je enakokraki trapez. Če želite izračunati površino trapeza, morate poznati osnovo in višino. Osnove so podane glede na stanje, le višina ostaja neznanka. Kje jo bomo našli A 1 E pravokotno od točke A 1 na ravnini spodnje baze, A 1 D– pravokotno od A 1 na AC. A 1 E= 2 cm, saj je to višina piramide. Najti DE Naredimo dodatno risbo, ki prikazuje pogled od zgoraj (slika 20). Pika O– projekcija središč zgornje in spodnje baze. ker (glej sliko 20) in Po drugi strani OK– krogu včrtan polmer in OM– polmer vpisan v krog:

MK = DE.

Po Pitagorovem izreku iz

Območje stranskega obraza:

odgovor:

Primer 4. Na dnu piramide leži enakokraki trapez, katerega osnove A in b (a> b). Vsaka stranska ploskev tvori kot, ki je enak ravnini osnove piramide j. Poiščite celotno površino piramide.

rešitev. Naredimo risbo (slika 21). Skupna površina piramide SABCD enaka vsoti ploščin in ploščine trapeza ABCD.

Uporabimo izjavo, da če so vse ploskve piramide enako nagnjene na ravnino osnove, potem je oglišče projicirano v središče kroga, včrtanega v osnovi. Pika O– verteksna projekcija S na dnu piramide. Trikotnik SOD je pravokotna projekcija trikotnika CSD na ravnino baze. Z uporabo izreka o območju pravokotne projekcije ravninske figure dobimo:

Enako pomeni Tako se je problem zmanjšal na iskanje območja trapeza ABCD. Narišimo trapez ABCD ločeno (slika 22). Pika O– središče kroga, včrtanega v trapez.

Ker je krog lahko včrtan v trapez, potem ali Iz Pitagorovega izreka imamo