Enačba premice na ravnini.
Smerni vektor je raven. Normalni vektor

Ravnica na ravnini je ena najpreprostejših geometrijskih likov, ki jo poznamo že iz osnovne šole, danes pa se bomo z metodami analitične geometrije naučili ravnati z njo. Če želite obvladati gradivo, morate biti sposobni zgraditi ravno črto; vedeti, katera enačba določa premico, zlasti premico, ki poteka skozi koordinatno izhodišče, in premice, vzporedne s koordinatnimi osemi. Te informacije najdete v priročniku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij, ustvaril sem ga za Matana, vendar se je razdelek o linearni funkciji izkazal za zelo uspešnega in podrobnega. Zato se, dragi čajniki, najprej ogrejte tam. Poleg tega morate imeti osnovno znanje o vektorji, sicer bo razumevanje gradiva nepopolno.

V tej lekciji si bomo ogledali načine, kako lahko sestavite enačbo premice na ravnini. Priporočam, da ne zanemarite praktičnih primerov (tudi če se zdijo zelo preprosti), saj jim bom zagotovil osnovna in pomembna dejstva in tehnike, ki bodo potrebne v prihodnosti, tudi v drugih oddelkih višje matematike.

• Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?
• Kako?
• Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?
• Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

in začnemo:

Enačba premice z naklonom

Dobro znana "šolska" oblika enačbe ravne črte se imenuje enačba premice z naklonom. Na primer, če je ravna črta podana z enačbo, potem je njen naklon: . Oglejmo si geometrijski pomen tega koeficienta in kako njegova vrednost vpliva na lokacijo črte:

Pri tečaju geometrije je to dokazano naklon premice je enak tangens kota med pozitivno smerjo osiin ta vrstica: , in kot se "odvije" v nasprotni smeri urinega kazalca.

Da ne bi risal v nered, sem kote narisal samo za dve ravni črti. Poglejmo "rdečo" črto in njen naklon. Glede na zgoraj: (kot "alfa" je označen z zelenim lokom). Za "modro" premico s kotnim koeficientom velja enakost ("beta" kot je označen z rjavim lokom). In če je tangens kota znan, ga je po potrebi enostavno najti in sam vogal z uporabo inverzne funkcije - arktangensa. Kot pravijo, trigonometrična tabela ali mikrokalkulator v vaših rokah. torej kotni koeficient označuje stopnjo naklona ravne črte na os abscise.

Možni so naslednji primeri:

1) Če je naklon negativen: potem črta, grobo rečeno, poteka od zgoraj navzdol. Primeri so "modre" in "maline" ravne črte na risbi.

2) Če je naklon pozitiven: črta poteka od spodaj navzgor. Primeri - "črne" in "rdeče" ravne črte na risbi.

3) Če je naklon enak nič: , ima enačba obliko , ustrezna premica pa je vzporedna z osjo. Primer je "rumena" ravna črta.

4) Za družino črt, vzporednih z osjo (na risbi ni primera, razen same osi), kotni koeficient ne obstaja (tangenta 90 stopinj ni definirana).

Večji kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj strm je graf ravne črte..

Na primer, razmislite o dveh ravnih črtah. Tu ima torej ravna črta večji naklon. Naj vas spomnim, da modul omogoča ignoriranje znaka, ki nas zanima samo absolutne vrednosti kotni koeficienti.

Po drugi strani pa je ravna črta bolj strma od ravnih črt .

Nasprotno: manjši kot je koeficient naklona v absolutni vrednosti, bolj položna je ravna črta.

Za ravne črte neenakost je resnična, zato je premica bolj položna. Otroški tobogan, da si ne naredite modric in udarcev.

Zakaj je to potrebno?

Podaljšajte svoje muke Poznavanje zgornjih dejstev vam omogoča, da takoj vidite svoje napake, zlasti napake pri gradnji grafov - če se izkaže, da je risba "očitno nekaj narobe." Priporočljivo je, da takoj jasno je bilo, da je na primer ravna črta zelo strma in gre od spodaj navzgor, ravna črta pa je zelo ravna, pritisnjena blizu osi in gre od zgoraj navzdol.

V geometrijskih problemih se pogosto pojavi več ravnih črt, zato jih je priročno nekako označiti.

Poimenovanja: ravne črte so označene z malimi latiničnimi črkami: . Priljubljena možnost je, da jih označite z isto črko z naravnimi indeksi. Na primer, pet vrstic, ki smo si jih pravkar ogledali, lahko označimo z .

Ker je vsaka ravna črta enolično določena z dvema točkama, jo lahko označimo s temi točkami: itd. Oznaka jasno nakazuje, da točke pripadajo premici.

Čas je, da se malo ogrejemo:

Kako zapisati enačbo ravne črte s kotnim koeficientom?

Če sta znana točka, ki pripada določeni premici, in kotni koeficient te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Primer 1

Napiši enačbo za premico z naklonom, če je znano, da točka pripada dani premici.

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli . V tem primeru:

Odgovori:

Pregled se naredi preprosto. Najprej pogledamo nastalo enačbo in se prepričamo, da je naš naklon pravilen. Drugič, koordinate točke morajo zadostiti tej enačbi. Vključimo jih v enačbo:

Dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da točka zadošča nastali enačbi.

Zaključek: Enačba je bila pravilno ugotovljena.

Bolj zapleten primer, ki ga lahko rešite sami:

Primer 2

Napiši enačbo za premico, če je znano, da je njen naklonski kot na pozitivno smer osi , točka pa pripada tej premici.

Če imate kakršne koli težave, ponovno preberite teoretično gradivo. Natančneje, bolj praktično, preskočim veliko dokazov.

Odzvonil je zadnji zvonec, podelitev diplom se je končala in pred vrati naše domače šole nas čaka sama analitična geometrija. šale je konec... Ali pa se šele začenjajo =)

Nostalgično pomahamo s peresom znanemu in se seznanimo s splošno enačbo premice. Ker se v analitični geometriji uporablja točno to:

Splošna enačba premice ima obliko: , kje so številke. Hkrati so koeficienti istočasno niso enake nič, saj enačba izgubi pomen.

Oblecimo se v obleko in povežimo enačbo s koeficientom naklona. Najprej premaknimo vse izraze na levo stran:

Izraz z "X" mora biti postavljen na prvo mesto:

Načeloma ima enačba že obliko , vendar mora biti po pravilih matematičnega bontona koeficient prvega člena (v tem primeru) pozitiven. Spreminjanje znakov:

Zapomnite si to tehnično lastnost! Prvi koeficient naredimo (najpogosteje) pozitiven!

V analitični geometriji bo enačba ravne črte skoraj vedno podana v splošni obliki. No, če je potrebno, ga je mogoče enostavno zmanjšati na "šolsko" obliko s kotnim koeficientom (z izjemo ravnih črt, vzporednih z ordinatno osjo).

Vprašajmo se kaj dovolj znate sestaviti premico? Dve točki. Toda več o tem dogodku iz otroštva kasneje, zdaj velja pravilo s puščicami. Vsaka ravna črta ima zelo specifičen naklon, ki se mu zlahka »prilagodi«. vektor.

Vektor, ki je vzporeden s premico, imenujemo smerni vektor te premice. Očitno je, da ima vsaka ravna črta neskončno število smernih vektorjev in vsi bodo kolinearni (sosmerni ali ne - ni pomembno).

Smerni vektor bom označil takole: .

Toda en vektor ni dovolj za konstrukcijo ravne črte; vektor je prost in ni vezan na nobeno točko na ravnini. Zato je dodatno potrebno poznati še kakšno točko, ki pripada premici.

Kako napisati enačbo ravne črte z uporabo točke in smernega vektorja?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in smerni vektor te premice, potem lahko enačbo te premice sestavimo s formulo:

Včasih se imenuje kanonična enačba premice .

Kaj storiti, ko eno od koordinat enaka nič, bomo razumeli v spodnjih praktičnih primerih. Mimogrede, upoštevajte - obe naenkrat koordinate ne morejo biti enake nič, saj ničelni vektor ne določa določene smeri.

Primer 3

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

rešitev: Sestavimo enačbo premice po formuli. V tem primeru:

Z uporabo lastnosti razmerja se znebimo ulomkov:

Enačbo pripeljemo v splošno obliko:

Odgovori:

Praviloma v takih primerih ni treba narediti risbe, ampak zaradi razumevanja:

Na risbi vidimo začetno točko, prvotni smerni vektor (lahko ga izrišemo iz katerekoli točke na ravnini) in zgrajeno premico. Mimogrede, v mnogih primerih je najbolj priročno zgraditi ravno črto z uporabo enačbe s kotnim koeficientom. Našo enačbo je enostavno preoblikovati v obliko in enostavno izbrati drugo točko za sestavo ravne črte.

Kot je bilo omenjeno na začetku odstavka, ima ravna črta neskončno število smernih vektorjev in vsi so kolinearni. Na primer, narisal sem tri takšne vektorje: . Ne glede na smerni vektor, ki ga izberemo, bo rezultat vedno enaka enačba ravne črte.

Ustvarimo enačbo ravne črte z uporabo točke in vektorja smeri:

Rešitev razmerja:

Obe strani delite z –2 in dobite znano enačbo:

Zainteresirani lahko na enak način testirajo vektorje ali kateri koli drug kolinearni vektor.

Zdaj pa rešimo obratni problem:

Kako najti smerni vektor z uporabo splošne enačbe ravne črte?

Zelo preprosto:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor smerni vektor te premice.

Primeri iskanja smernih vektorjev ravnih črt:

Stavek nam omogoča, da najdemo samo en smerni vektor od neskončnega števila, vendar jih ne potrebujemo več. Čeprav je v nekaterih primerih priporočljivo zmanjšati koordinate vektorjev smeri:

Tako enačba podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, koordinate dobljenega smernega vektorja pa so priročno deljene z –2, s čimer dobimo točno osnovni vektor kot smerni vektor. Logično.

Podobno enačba podaja ravno črto, vzporedno z osjo, in če koordinate vektorja delimo s 5, dobimo enotski vektor kot smerni vektor.

Zdaj pa naredimo to preverjanje primera 3. Primer se je povečal, zato vas spomnim, da smo v njem sestavili enačbo ravne črte s točko in smernim vektorjem

Prvič, z uporabo enačbe premice rekonstruiramo njen smerni vektor: – vse je v redu, prejeli smo izvirni vektor (v nekaterih primerih je lahko rezultat kolinearen vektor izvirnemu, kar je običajno enostavno opaziti po sorazmernosti ustreznih koordinat).

Drugič, morajo koordinate točke zadoščati enačbi. Zamenjamo jih v enačbo:

Dosežena je pravilna enakost, česar smo zelo veseli.

Zaključek: Naloga je bila pravilno opravljena.

Primer 4

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije. Zelo priporočljivo je, da preverite z algoritmom, o katerem smo pravkar razpravljali. Poskusite vedno (če je mogoče) preveriti osnutek. Neumno je delati napake, kjer se jim je mogoče 100% izogniti.

V primeru, da je ena od koordinat smernega vektorja enaka nič, postopajte zelo preprosto:

Primer 5

rešitev: Formula ni primerna, ker je imenovalec na desni strani nič. Obstaja izhod! Z uporabo lastnosti sorazmerja prepišemo formulo v obliki, ostalo pa valjamo po globoki ruti:

Odgovori:

Pregled:

1) Obnovite usmerjevalni vektor premice:
– dobljeni vektor je kolinearen prvotnemu smernemu vektorju.

2) Nadomestite koordinate točke v enačbo:

Dobljena je pravilna enakost

Zaključek: naloga opravljena pravilno

Postavlja se vprašanje, zakaj bi se mučili s formulo, če obstaja univerzalna različica, ki bo delovala v vsakem primeru? Razloga sta dva. Prvič, formula je v obliki ulomka veliko bolje zapomniti. In drugič, pomanjkljivost univerzalne formule je ta tveganje za zmedo se znatno poveča pri zamenjavi koordinat.

Primer 6

Napišite enačbo za ravno črto z uporabo točke in smernega vektorja.

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Vrnimo se k vseprisotnim dvema točkama:

Kako zapisati enačbo ravne črte z uporabo dveh točk?

Če sta znani dve točki, lahko enačbo ravne črte, ki poteka skozi ti točki, sestavimo s formulo:

Pravzaprav je to vrsta formule in tukaj je razlog: če sta znani dve točki, bo vektor smerni vektor dane črte. V razredu Vektorji za lutke obravnavali smo najpreprostejši problem - kako najti koordinate vektorja iz dveh točk. V skladu s tem problemom so koordinate vektorja smeri:

Opomba : točke lahko "zamenjamo" in uporabimo formulo . Takšna rešitev bo enakovredna.

Primer 7

Napišite enačbo premice z dvema točkama .

rešitev: Uporabljamo formulo:

Česanje imenovalcev:

In premešaj krov:

Zdaj je čas, da se znebite ulomkov. V tem primeru morate obe strani pomnožiti s 6:

Odprite oklepaje in si opomnite enačbo:

Odgovori:

Pregled je očitno - koordinate začetnih točk morajo izpolnjevati nastalo enačbo:

1) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

2) Zamenjajte koordinate točke:

Prava enakost.

Zaključek: Enačba premice je pravilno zapisana.

če vsaj enega točk ne zadošča enačbi, poiščite napako.

Omeniti velja, da je grafično preverjanje v tem primeru težko, saj zgradite ravno črto in preverite, ali ji točke pripadajo , ni tako preprosto.

Omenil bom še nekaj tehničnih vidikov rešitve. Morda je pri tej težavi bolj donosno uporabiti zrcalno formulo in na istih točkah naredi enačbo:

Manj frakcij. Če želite, lahko rešitev izvedete do konca, rezultat mora biti enaka enačba.

Druga točka je pogledati končni odgovor in ugotoviti, ali bi ga bilo mogoče še poenostaviti? Na primer, če dobite enačbo , je priporočljivo, da jo zmanjšate za dve: – enačba bo definirala isto ravno črto. Vendar je to že tema pogovora relativni položaj črt.

Po prejemu odgovora v primeru 7 sem za vsak slučaj preveril, ali so VSI koeficienti enačbe deljivi z 2, 3 ali 7. Čeprav se najpogosteje takšna zmanjšanja izvajajo med reševanjem.

Primer 8

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točke .

To je primer neodvisne rešitve, ki vam bo omogočila boljše razumevanje in vadbo računskih tehnik.

Podobno kot v prejšnjem odstavku: če je v formuli eden od imenovalcev (koordinata smernega vektorja) postane nič, potem ga prepišemo v obliki . Spet opazite, kako nerodno in zmedeno je videti. Ne vidim smisla v navajanju praktičnih primerov, saj smo to težavo že dejansko rešili (glej št. 5, 6).

Neposredni normalni vektor (normalni vektor)

Kaj je normalno? Preprosto povedano, normala je pravokotnik. To pomeni, da je normalni vektor premice pravokoten na dano premico. Očitno jih ima vsaka premica neskončno število (kot tudi smernih vektorjev) in vsi normalni vektorji premice bodo kolinearni (sosmerni ali ne, ni razlike).

Ukvarjanje z njimi bo še lažje kot z vodilnimi vektorji:

Če je premica podana s splošno enačbo v pravokotnem koordinatnem sistemu, potem je vektor normalni vektor te premice.

Če je treba koordinate smernega vektorja previdno "izvleči" iz enačbe, lahko koordinate normalnega vektorja preprosto "odstranimo".

Normalni vektor je vedno pravokoten na smerni vektor premice. Preverimo ortogonalnost teh vektorjev z uporabo pikasti izdelek:

Podal bom primere z enakimi enačbami kot za vektor smeri:

Ali je mogoče sestaviti enačbo premice z eno točko in normalnim vektorjem? Čutim v črevesju, možno je. Če je normalni vektor znan, je smer same ravne črte jasno določena - to je "toga struktura" s kotom 90 stopinj.

Kako napisati enačbo ravne črte glede na točko in normalni vektor?

Če sta znana določena točka, ki pripada premici, in normalni vektor te premice, potem je enačba te premice izražena s formulo:

Tu se je vse izšlo brez ulomkov in drugih presenečenj. To je naš normalni vektor. Ljubi ga. In spoštovanje =)

Primer 9

Napiši enačbo premice, dani točki in normalnemu vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

rešitev: Uporabljamo formulo:

Splošna enačba premice je pridobljena, preverimo:

1) "Odstranite" koordinate normalnega vektorja iz enačbe: – ja, res, originalni vektor je bil dobljen iz pogoja (oz. bi moral biti pridobljen kolinearni vektor).

2) Preverimo, ali točka ustreza enačbi:

Prava enakost.

Ko se prepričamo, da je enačba pravilno sestavljena, opravimo drugi, lažji del naloge. Izvzamemo usmerjevalni vektor premice:

Odgovori:

Na risbi je situacija videti takole:

Za namene usposabljanja podobna naloga za samostojno reševanje:

Primer 10

Napiši enačbo premice, dani točki in normalnemu vektorju. Poiščite smerni vektor premice.

Zadnji del lekcije bo posvečen manj pogostim, a tudi pomembnim vrstam enačb premice na ravnini

Enačba ravne črte v segmentih.
Enačba premice v parametrični obliki

Enačba premice v segmentih ima obliko , kjer so konstante, ki niso nič. Nekaterih vrst enačb ni mogoče predstaviti v tej obliki, na primer neposredne sorazmernosti (ker je prosti člen enak nič in ga ni mogoče dobiti na desni strani).

To je, figurativno rečeno, »tehnična« vrsta enačbe. Pogosta naloga je predstaviti splošno enačbo premice kot enačbo premice v segmentih. Kako je priročno? Enačba črte v segmentih vam omogoča hitro iskanje točk presečišča črte s koordinatnimi osmi, kar je lahko zelo pomembno pri nekaterih problemih višje matematike.

Poiščimo presečišče premice z osjo. Ponastavimo "y" in enačba ima obliko . Želena točka se pridobi samodejno: .

Enako z osjo – točka, v kateri premica seka ordinatno os.

Naj bosta podani dve točki M 1 (x 1,y 1) in M 2 (x 2, y 2). Zapišimo enačbo premice v obliki (5), kjer je kše neznan koeficient:

Od točke M 2 pripada dani premici, potem njene koordinate zadoščajo enačbi (5): . Če izrazimo od tod in jo nadomestimo v enačbo (5), dobimo zahtevano enačbo:

če to enačbo lahko prepišemo v obliki, ki je primernejša za pomnjenje:

(6)

Primer. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 (1,2) in M ​​2 (-2,3)

rešitev. . Z uporabo lastnosti sorazmernosti in izvedemo potrebne transformacije dobimo splošno enačbo ravne črte:

Kot med dvema ravnima črtama

Razmislite o dveh ravnih črtah l 1 in l 2:

l 1: , , In

l 2: , ,

φ je kot med njima (). Iz slike 4 je razvidno: .

Od tukaj , oz

S formulo (7) lahko določite enega od kotov med ravnimi črtami. Drugi kot je enak .

Primer. Dve ravni črti sta podani z enačbama y=2x+3 in y=-3x+2. poiščite kot med tema črtama.

rešitev. Iz enačb je razvidno, da je k 1 =2 in k 2 =-3. Če nadomestimo te vrednosti v formulo (7), najdemo

. Tako je kot med tema črtama enak .

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti dveh premic

Če naravnost l 1 in l 2 sta torej vzporedna φ=0 in tgφ=0. iz formule (7) sledi , od koder je k 2 =k 1. Tako je pogoj za vzporednost dveh premic enakost njunih kotnih koeficientov.

Če naravnost l 1 in l 2 so pravokotni, torej φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Tako je pogoj za pravokotnost dveh ravnih črt ta, da sta njuna kotna koeficienta inverzna po velikosti in nasprotna po predznaku.

Razdalja od točke do črte

Izrek. Če je podana točka M(x 0, y 0), potem je razdalja do premice Ax + Bу + C = 0 določena kot

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščene iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M ​​1:

Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo z rešitvijo sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno na dano premico.

Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določite kot med premicama: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Primer. Dokaži, da sta premici 3x – 5y + 7 = 0 in 10x + 6y – 3 = 0 pravokotni.

Ugotovimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, torej sta premici pravokotni.

Primer. Dana so oglišča trikotnika A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Poiščite enačbo višine, narisane iz oglišča C.

Poiščemo enačbo stranice AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Zahtevana višinska enačba ima obliko: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b.

k= . Potem je y = . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate zadoščajo tej enačbi: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Razdalja od točke do premice je določena z dolžino navpičnice, narisane iz točke na premico.

Če je premica vzporedna s projekcijsko ravnino (h | | P 1), nato pa za določitev razdalje od točke A na ravno črto h potrebno je spustiti navpičnico s točke A na vodoravno h.

Oglejmo si bolj zapleten primer, ko ravna črta zavzame splošen položaj. Naj bo treba določiti razdaljo od točke M na ravno črto A splošni položaj.

Ugotovitvena naloga razdalje med vzporednimi črtami se rešuje podobno kot prejšnji. Na eni premici vzamemo točko in z nje spustimo navpičnico na drugo premico. Dolžina navpičnice je enaka razdalji med vzporednicama.

Krivulja drugega reda je premica, določena z enačbo druge stopnje glede na trenutne kartezične koordinate. V splošnem primeru je Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kjer so A, B, C, D, E, F realna števila in vsaj eno od števil A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

krog

Središče kroga– to je geometrijsko mesto točk v ravnini, ki je enako oddaljena od točke v ravnini C(a,b).

Krog je podan z naslednjo enačbo:

Kjer sta x,y koordinati poljubne točke na krogu, je R polmer kroga.

Znak enačbe kroga

1. Manjka člen z x, y

2. Koeficienta za x 2 in y 2 sta enaka

Elipsa

Elipsa se imenuje geometrijsko mesto točk v ravnini, vsota razdalj vsake od dveh danih točk te ravnine pa se imenuje žarišča (konstantna vrednost).

Kanonična enačba elipse:

X in y pripadata elipsi.

a – velika polos elipse

b – mala pol os elipse

Elipsa ima 2 simetrijski osi OX in OU. Simetrijske osi elipse so njene osi, točka njihovega presečišča je središče elipse. Os, na kateri se nahajajo žarišča, se imenuje goriščna os. Točka presečišča elipse z osema je vrh elipse.

Kompresijsko (napetostno) razmerje: ε = s/a– ekscentričnost (označuje obliko elipse), manjša kot je, manj je elipsa raztegnjena vzdolž goriščne osi.

Če središča elipse niso v središču C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola se imenuje geometrijsko mesto točk v ravnini, absolutna vrednost razlike v razdaljah, od katerih je vsaka od dveh danih točk te ravnine, imenovanih žarišča, konstantna vrednost, različna od nič.

Kanonična enačba hiperbole

Hiperbola ima 2 simetrični osi:

a – realna simetrijska polos

b – namišljena simetrijska polos

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola je geometrijsko mesto točk v ravnini, ki je enako oddaljena od dane točke F, imenovane žarišče, in dane premice, imenovane direktrisa.

Kanonična enačba parabole:

У 2 =2рх, kjer je р razdalja od žarišča do direktrise (parabolični parameter)

Če je vrh parabole C (α, β), potem je enačba parabole (y-β) 2 = 2р(x-α)

Če vzamemo goriščno os kot ordinatno os, bo enačba parabole v obliki: x 2 =2qу

Naj premica poteka skozi točki M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2). Enačba premice, ki poteka skozi točko M 1, ima obliko y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

kje k - še neznan koeficient.

Ker premica poteka skozi točko M 2 (x 2 y 2), morajo koordinate te točke zadoščati enačbi (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Od tu najdemo Zamenjava najdene vrednosti k v enačbo (10.6), dobimo enačbo premice, ki poteka skozi točki M 1 in M ​​2:

Predpostavlja se, da je v tej enačbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Če je x 1 = x 2, potem je premica, ki poteka skozi točki M 1 (x 1,y I) in M ​​2 (x 2,y 2), vzporedna z ordinatno osjo. Njegova enačba je x = x 1 .

Če je y 2 = y I, potem lahko enačbo premice zapišemo kot y = y 1, premica M 1 M 2 je vzporedna z osjo abscise.

Enačba premice v segmentih

Naj premica seka os Ox v točki M 1 (a;0) in os Oy v točki M 2 (0;b). Enačba bo imela obliko:
tiste.
. Ta enačba se imenuje Enačba premice v segmentih, ker številki a in b označujeta, katere segmente premica odseka na koordinatnih oseh.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dani vektor

Poiščimo enačbo premice, ki poteka skozi dano točko Mo (x O; y o) pravokotno na dani neničelni vektor n = (A; B).

Vzemimo poljubno točko M(x; y) na premici in obravnavamo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (glej sliko 1). Ker sta vektorja n in M ​​o M pravokotna, je njun skalarni produkt enak nič: to je

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Enačba (10.8) se imenuje enačba premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dani vektor .

Vektor n= (A; B), pravokoten na premico, imenujemo normala normalni vektor te premice .

Enačbo (10.8) lahko prepišemo kot Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kjer sta A in B koordinati normalnega vektorja, C = -Ax o - Vu o je prosti člen. Enačba (10.9) je splošna enačba premice(glej sliko 2).

Slika 1 Slika 2

Kanonične enačbe premice

,

kje
- koordinate točke, skozi katero poteka črta, in
- vektor smeri.

Krivulje drugega reda Krog

Krožnica je množica vseh točk ravnine, ki so enako oddaljene od dane točke, ki ji pravimo središče.

Kanonična enačba kroga s polmerom R s središčem v točki
:

Zlasti, če središče vložka sovpada z izhodiščem koordinat, bo enačba videti takole:

Elipsa

Elipsa je množica točk na ravnini, vsota razdalj od vsake do dveh danih točk. in , ki jih imenujemo žarišča, stalna količina
, večji od razdalje med žarišči
.

Kanonična enačba elipse, katere žarišča ležijo na osi Ox, izhodišče koordinat na sredini med žarišči pa ima obliko
G de a dolžina velike pol osi; b – dolžina male pol osi (slika 2).

Ta članek nadaljuje temo enačbe premice na ravnini: to vrsto enačbe bomo obravnavali kot splošno enačbo premice. Definirajmo izrek in podajmo njegov dokaz; Ugotovimo, kaj je nepopolna splošna enačba premice in kako narediti prehode iz splošne enačbe v druge vrste enačb premice. Celotno teorijo bomo podkrepili z ilustracijami in rešitvami praktičnih nalog.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Naj bo na ravnini določen pravokotni koordinatni sistem O x y.

1. izrek

Vsaka enačba prve stopnje, ki ima obliko A x + B y + C = 0, kjer so A, B, C nekatera realna števila (A in B nista enaka nič hkrati), določa ravno črto v pravokotni koordinatni sistem na ravnini. Po drugi strani pa je vsaka ravna črta v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini določena z enačbo, ki ima obliko A x + B y + C = 0 za določen niz vrednosti A, B, C.

Dokaz

Ta izrek je sestavljen iz dveh točk; dokazali bomo vsako od njih.

1. Dokažimo, da enačba A x + B y + C = 0 določa premico na ravnini.

Naj obstaja neka točka M 0 (x 0 , y 0), katere koordinate ustrezajo enačbi A x + B y + C = 0. Torej: A x 0 + B y 0 + C = 0. Če od leve in desne strani enačb A x + B y + C = 0 odštejemo levo in desno stran enačbe A x 0 + B y 0 + C = 0, dobimo novo enačbo, ki izgleda kot A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Enakovredno je A x + B y + C = 0.

Nastala enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nujen in zadosten pogoj za pravokotnost vektorjev n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Tako določa množica točk M (x, y) premico v pravokotnem koordinatnem sistemu, pravokotno na smer vektorja n → = (A, B). Lahko domnevamo, da temu ni tako, vendar potem vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bila pravokotna in enakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo res.

Posledično enačba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 določa določeno premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini, zato ekvivalentna enačba A x + B y + C = 0 določa ista vrstica. Tako smo dokazali prvi del izreka.

1. Predstavimo dokaz, da lahko vsako premico v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini podamo z enačbo prve stopnje A x + B y + C = 0.

Določimo premico a v pravokotnem koordinatnem sistemu na ravnini; točka M 0 (x 0 , y 0), skozi katero gre ta premica, kot tudi normalni vektor te premice n → = (A, B) .

Naj obstaja tudi neka točka M (x, y) - plavajoča vejica na premici. V tem primeru sta vektorja n → = (A, B) in M ​​0 M → = (x - x 0, y - y 0) pravokotna drug na drugega, njihov skalarni produkt pa je enak nič:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišemo enačbo A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 in kot končni rezultat dobimo enačbo A x + B y + C = 0.

Tako smo dokazali drugi del izreka in dokazali celoten izrek v celoti.

Definicija 1

Enačba oblike A x + B y + C = 0 - To splošna enačba premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemuOxy.

Na podlagi dokazanega izreka lahko sklepamo, da sta premica in njena splošna enačba, definirana na ravnini v nepremičnem pravokotnem koordinatnem sistemu, neločljivo povezani. Z drugimi besedami, prvotna črta ustreza njeni splošni enačbi; splošna enačba premice ustreza dani premici.

Iz dokaza izreka tudi sledi, da sta koeficienta A in B pri spremenljivkah x in y koordinati normalnega vektorja premice, ki je podana s splošno enačbo premice A x + B y + C = 0.

Oglejmo si poseben primer splošne enačbe ravne črte.

Naj bo podana enačba 2 x + 3 y - 2 = 0, ki ustreza premici v danem pravokotnem koordinatnem sistemu. Normalni vektor te premice je vektor n → = (2 , 3)​. Na risbi narišimo dano premico.

Zatrdimo lahko tudi naslednje: premica, ki jo vidimo na risbi, je določena s splošno enačbo 2 x + 3 y - 2 = 0, saj tej enačbi ustrezajo koordinate vseh točk na dani premici.

Enačbo λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dobimo tako, da pomnožimo obe strani splošne enačbe premice s številom λ, ki ni enako nič. Nastala enačba je enakovredna prvotni splošni enačbi, zato bo opisovala isto premico na ravnini.

Definicija 2

Popolna splošna enačba premice– taka splošna enačba premice A x + B y + C = 0, v kateri so števila A, B, C različna od nič. Sicer je enačba nepopolna.

Analizirajmo vse različice nepopolne splošne enačbe premice.

1. Ko je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ima splošna enačba obliko B y + C = 0. Takšna nepopolna splošna enačba določa v pravokotnem koordinatnem sistemu O x y ravno črto, ki je vzporedna z osjo O x, saj bo za vsako realno vrednost x spremenljivka y prevzela vrednost - C B. Z drugimi besedami, splošna enačba premice A x + B y + C = 0, ko je A = 0, B ≠ 0, določa geometrijsko mesto točk (x, y), katerih koordinate so enake istemu številu - C B.
2. Če je A = 0, B ≠ 0, C = 0, ima splošna enačba obliko y = 0. Ta nepopolna enačba določa os x O x .
3. Ko je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobimo nepopolno splošno enačbo A x + C = 0, ki določa premico, vzporedno z ordinato.
4. Naj bo A ≠ 0, B = 0, C = 0, potem bo nepopolna splošna enačba imela obliko x = 0 in to je enačba koordinatne premice O y.
5. Končno ima nepopolna splošna enačba za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 obliko A x + B y = 0. In ta enačba opisuje ravno črto, ki poteka skozi izhodišče. Pravzaprav par števil (0, 0) ustreza enakosti A x + B y = 0, saj je A · 0 + B · 0 = 0.

Naj grafično ponazorimo vse zgornje vrste nepopolne splošne enačbe premice.

Primer 1

Vemo, da je dana premica vzporedna z ordinatno osjo in poteka skozi točko 2 7, - 11. Zapisati je treba splošno enačbo dane premice.

rešitev

Premica, vzporedna z ordinatno osjo, je podana z enačbo oblike A x + C = 0, v kateri je A ≠ 0. Pogoj podaja tudi koordinate točke, skozi katero poteka premica, koordinate te točke pa izpolnjujejo pogoje nepopolne splošne enačbe A x + C = 0, tj. enakost velja:

A 2 7 + C = 0

Iz njega je mogoče določiti C, če damo A neko vrednost, ki ni nič, na primer A = 7. V tem primeru dobimo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Poznamo oba koeficienta A in C, ju nadomestimo v enačbo A x + C = 0 in dobimo zahtevano enačbo premice: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primer 2

Na risbi je prikazana ravna črta, zapisati morate njeno enačbo.

rešitev

Podana risba nam omogoča, da enostavno vzamemo začetne podatke za rešitev problema. Na risbi vidimo, da je dana premica vzporedna z osjo O x in poteka skozi točko (0, 3).

Premica, ki je vzporedna z absciso, je določena z nepopolno splošno enačbo B y + C = 0. Poiščimo vrednosti B in C. Koordinate točke (0, 3), ker dana premica poteka skozi njo, bodo zadostile enačbi premice B y + C = 0, potem velja enakost: B · 3 + C = 0. Nastavimo B na neko vrednost, ki ni nič. Recimo B = 1, v tem primeru lahko iz enakosti B · 3 + C = 0 najdemo C: C = - 3. Z uporabo znanih vrednosti B in C dobimo zahtevano enačbo ravne črte: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Splošna enačba premice, ki poteka skozi dano točko v ravnini

Naj gre dana premica skozi točko M 0 (x 0 , y 0), potem njene koordinate ustrezajo splošni enačbi premice, tj. enakost velja: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odštejmo levo in desno stran te enačbe od leve in desne strani splošne popolne enačbe premice. Dobimo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ta enačba je enakovredna prvotni splošni, poteka skozi točko M 0 (x 0, y 0) in ima normalo vektor n → = (A, B) .

Rezultat, ki smo ga dobili, omogoča zapis splošne enačbe premice z znanimi koordinatami normalnega vektorja premice in koordinatami določene točke te premice.

Primer 3

Dana je točka M 0 (- 3, 4), skozi katero poteka premica, in normalni vektor te premice n → = (1 , - 2) . Zapisati je treba enačbo dane premice.

rešitev

Začetni pogoji nam omogočajo, da pridobimo potrebne podatke za sestavo enačbe: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Nato:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Težavo bi lahko rešili drugače. Splošna enačba ravne črte je A x + B y + C = 0. Dani normalni vektor nam omogoča, da dobimo vrednosti koeficientov A in B, nato pa:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Zdaj pa poiščimo vrednost C z uporabo točke M 0 (- 3, 4), ki jo določa problemski pogoj, skozi katero poteka premica. Koordinate te točke ustrezajo enačbi x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Zato je C = 11. Zahtevana enačba premice ima obliko: x - 2 · y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primer 4

Dana je premica 2 3 x - y - 1 2 = 0 in točka M 0, ki leži na tej premici. Znana je le abscisa te točke, ki je enaka -3. Določiti je treba ordinato dane točke.

rešitev

Koordinati točke M 0 označimo z x 0 in y 0 . Izvorni podatki kažejo, da je x 0 = - 3. Ker točka pripada dani premici, njene koordinate ustrezajo splošni enačbi te premice. Potem bo enakost resnična:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Določite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prehod s splošne enačbe premice na druge vrste enačb premice in obratno

Kot vemo, obstaja več vrst enačb za isto premico na ravnini. Izbira vrste enačbe je odvisna od pogojev problema; možno je izbrati tistega, ki je bolj primeren za reševanje. Veščina pretvarjanja enačbe ene vrste v enačbo druge vrste je tukaj zelo uporabna.

Najprej razmislimo o prehodu iz splošne enačbe oblike A x + B y + C = 0 v kanonično enačbo x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Če je A ≠ 0, potem člen B y premaknemo na desno stran splošne enačbe. Na levi strani vzamemo A iz oklepaja. Kot rezultat dobimo: A x + C A = - B y.

To enakost lahko zapišemo kot razmerje: x + C A - B = y A.

Če je B ≠ 0, pustimo le člen A x na levi strani splošne enačbe, ostale prenesemo na desno stran, dobimo: A x = - B y - C. Iz oklepaja vzamemo – B, potem: A x = - B y + C B .

Zapišimo enakost kot razmerje: x - B = y + C B A.

Dobljenih formul si seveda ni treba zapomniti. Dovolj je poznati algoritem dejanj pri prehodu s splošne enačbe na kanonično.

Primer 5

Podana je splošna enačba premice 3 y - 4 = 0. Treba ga je pretvoriti v kanonično enačbo.

rešitev

Zapišimo prvotno enačbo kot 3 y - 4 = 0. Nato nadaljujemo po algoritmu: izraz 0 x ostane na levi strani; in na desni strani postavimo - 3 iz oklepaja; dobimo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Dobljeno enakost zapišimo kot razmerje: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili enačbo kanonične oblike.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Za pretvorbo splošne enačbe premice v parametrične se najprej izvede prehod v kanonično obliko, nato pa prehod iz kanonične enačbe premice v parametrične enačbe.

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametrične enačbe za to premico.

rešitev

Naredimo prehod iz splošne enačbe v kanonično:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Zdaj vzamemo obe strani dobljene kanonične enačbe enake λ, potem:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Splošno enačbo lahko pretvorimo v enačbo premice z naklonom y = k · x + b, vendar le, če je B ≠ 0. Za prehod pustimo člen B y na levi strani, ostale prenesemo na desno. Dobimo: B y = - A x - C . Obe strani dobljene enakosti delimo z B, različnim od nič: y = - A B x - C B.

Primer 7

Splošna enačba premice je podana: 2 x + 7 y = 0. To enačbo morate pretvoriti v enačbo naklona.

rešitev

Izvedemo potrebna dejanja v skladu z algoritmom:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz splošne enačbe premice je dovolj, da preprosto dobimo enačbo v segmentih oblike x a + y b = 1. Za takšen prehod premaknemo število C na desno stran enačbe, obe strani dobljene enakosti delimo z – C in na koncu prenesemo koeficienta za spremenljivki x in y na imenovalca:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primer 8

Treba je transformirati splošno enačbo premice x - 7 y + 1 2 = 0 v enačbo premice v segmentih.

rešitev

Premaknimo 1 2 na desno stran: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podelimo obe strani enakosti z -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Na splošno je tudi obratni prehod enostaven: od drugih vrst enačb do splošne.

Enačbo premice v segmentih in enačbo s kotnim koeficientom lahko enostavno pretvorimo v splošno tako, da preprosto zberemo vse člene na levi strani enakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonična enačba se pretvori v splošno po naslednji shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Če želite preiti iz parametričnih, se najprej pomaknite na kanoničnega in nato na splošnega:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primer 9

Podane so parametrične enačbe premice x = - 1 + 2 · λ y = 4. Treba je zapisati splošno enačbo te premice.

rešitev

Naredimo prehod od parametričnih enačb do kanoničnih:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Preidimo od kanoničnega k splošnemu:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primer 10

Podana je enačba premice v odsekih x 3 + y 1 2 = 1. Treba je preiti na splošno obliko enačbe.

rešitev:

Enostavno prepišemo enačbo v zahtevani obliki:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sestavljanje splošne enačbe premice

Zgoraj smo povedali, da lahko splošno enačbo zapišemo z znanimi koordinatami normalnega vektorja in koordinatami točke, skozi katero gre premica. Takšna ravna črta je definirana z enačbo A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam smo tudi analizirali ustrezen primer.

Zdaj pa poglejmo bolj zapletene primere, v katerih moramo najprej določiti koordinate normalnega vektorja.

Primer 11

Dana je premica, ki je vzporedna s premico 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Znana je tudi točka M 0 (4, 1), skozi katero poteka dana premica. Zapisati je treba enačbo dane premice.

rešitev

Začetni pogoji nam povedo, da sta premici vzporedni, nato pa kot vektor normale premice, katere enačbo moramo zapisati, vzamemo smerni vektor premice n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Zdaj poznamo vse potrebne podatke za izdelavo splošne enačbe črte:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primer 12

Dana premica poteka skozi izhodišče pravokotno na premico x - 2 3 = y + 4 5. Treba je ustvariti splošno enačbo za dano premico.

rešitev

Normalni vektor dane premice bo smerni vektor premice x - 2 3 = y + 4 5.

Potem je n → = (3, 5) . Premica poteka skozi izhodišče, tj. skozi točko O (0, 0). Ustvarimo splošno enačbo za dano črto:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter