Eno najbolj skrivnostnih števil, ki jih pozna človeštvo, je seveda število Π (beri pi). V algebri ta številka odraža razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. Prej se je ta količina imenovala Ludolfovo število. Kako in od kod je prišlo število Pi, ni znano zagotovo, vendar matematiki celotno zgodovino števila Π delijo na 3 stopnje: starodavno, klasično in dobo digitalnih računalnikov.
Število P je iracionalno, to pomeni, da ga ni mogoče predstaviti kot preprost ulomek, kjer sta števec in imenovalec celi števili. Zato takšno število nima konca in je periodično. Iracionalnost P je prvi dokazal I. Lambert leta 1761.
Poleg te lastnosti število P ne more biti tudi koren nobenega polinoma, zato je lastnost število, ko je bila dokazana leta 1882, je končala skoraj sveti spor med matematiki »o kvadriranju krog«, ki je trajal 2500 let.
Znano je, da je Britanec Jones leta 1706 prvi uvedel oznako te številke. Po pojavu Eulerjevih del je uporaba tega zapisa postala splošno sprejeta.
Da bi podrobno razumeli, kaj je število Pi, je treba povedati, da je njegova uporaba tako razširjena, da je težko celo poimenovati področje znanosti, ki bi brez njega. Eden najpreprostejših in najbolj znanih pomenov iz šolskega kurikuluma je oznaka geometrijskega obdobja. Razmerje med dolžino kroga in njegovim premerom je konstantno in je enako 3,14. To vrednost so poznali že najstarejši matematiki v Indiji, Grčiji, Babilonu in Egiptu. Najzgodnejša različica izračuna razmerja sega v leto 1900 pr. e. Kitajski znanstvenik Liu Hui je izračunal vrednost P, ki je bližja sodobni vrednosti; poleg tega je izumil hitro metodo za tak izračun. Njegova vrednost je ostala splošno sprejeta skoraj 900 let.
Klasično obdobje v razvoju matematike je zaznamovalo dejstvo, da so znanstveniki začeli uporabljati metode matematične analize, da bi natančno ugotovili, kaj je število Pi. V 14. stoletju je indijski matematik Madhava uporabil teorijo serij za izračun in določitev obdobja P na 11 decimalnih mest natančno. Prvi Evropejec, po Arhimedu, ki je preučeval število P in pomembno prispeval k njegovi utemeljitvi, je bil Nizozemec Ludolf van Zeilen, ki je že določil 15 števk za decimalno vejico in v svoji oporoki zapisal zelo zabavne besede: ». .. kogar zanima, naj gre naprej.” V čast tega znanstvenika je številka P dobila svoje prvo in edino ime v zgodovini.
Obdobje računalniških izračunov je prineslo nove podrobnosti k razumevanju bistva števila P. Da bi torej ugotovili, kaj je število Pi, so leta 1949 prvič uporabili računalnik ENIAC, katerega eden od razvijalcev je bil prihodnji »oče« teorije sodobnih računalnikov, J. Prva meritev je bila izvedena na več kot 70 urah in je dala 2037 števk za decimalno vejico v periodi števila P. Milijonska številka je bila dosežena leta 1973. Poleg tega so bile v tem obdobju ugotovljene druge formule, ki so odražale število P. Tako sta brata Chudnovsky uspela najti tisto, ki je omogočila izračun 1.011.196.691 števk obdobja.
Na splošno je treba opozoriti, da so številne študije začele spominjati na tekmovanja, da bi odgovorili na vprašanje: "Kaj je Pi?". Danes se superračunalniki že ukvarjajo z vprašanjem, kaj je pravo število Pi. zanimiva dejstva, povezana s temi študijami, prežemajo skoraj celotno zgodovino matematike.
Danes na primer potekajo svetovna prvenstva v pomnjenju števila P in beležijo svetovni rekordi, zadnji pripada Kitajcu Liu Chau, ki je v dobrem dnevu poimenoval 67.890 znakov. Na svetu obstaja celo praznik števila P, ki se praznuje kot “dan pi”.
Od leta 2011 je že določenih 10 trilijonov števk številskega obdobja.
Absolutno vsi vedo, kaj je "pi". Toda številka, ki jo poznajo vsi iz šole, se pojavi v številnih situacijah, ki nimajo nič opraviti s krogi. Najdemo ga v teoriji verjetnosti, v Stirlingovi formuli za izračun faktoriala, pri reševanju problemov s kompleksnimi števili in na drugih nepričakovanih in od geometrije daleč področjih matematike. Angleški matematik Augustus de Morgan je pi nekoč poimenoval "... skrivnostno število 3,14159 ..., ki leze skozi vrata, skozi okno in skozi streho."
To skrivnostno število, povezano z enim od treh klasičnih problemov antike - sestavljanjem kvadrata, katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga - vključuje sled dramatičnih zgodovinskih in radovednih zabavnih dejstev.
- Nekaj zanimivih dejstev o Piju
- 1. Ali ste vedeli, da je bil prvi, ki je uporabil simbol "pi" za število 3,14 William Jones iz Walesa, in to se je zgodilo leta 1706?
- 2. Ali ste vedeli, da je svetovni rekord v pomnjenju števila Pi 17. junija 2009 postavil ukrajinski nevrokirurg, doktor medicinskih znanosti, profesor Andrej Sljusarčuk, ki je v spominu ohranil 30 milijonov njegovih znakov (20 zvezkov besedila).
- 3. Ali ste vedeli, da je leta 1996 Mike Keith napisal kratko zgodbo z naslovom “Cadeic Cadenze”, v njegovem besedilu je dolžina besed ustrezala prvim 3834 cifram Pi.
Domneva se, da si je praznik leta 1987 izmislil fizik iz San Francisca Larry Shaw, ki je opazil, da se bosta 14. marca (v ameriški pisavi - 3.14) točno ob 01.59 datum in ura ujemala s prvima števkama števila Pi. = 3,14159.
14. marca 1879 se je rodil tudi tvorec relativnostne teorije Albert Einstein, zaradi česar je ta dan še toliko bolj privlačen za vse ljubitelje matematike.
Poleg tega matematiki praznujejo tudi dan približne vrednosti pi, ki pade na 22. julij (22/7 v evropskem formatu datuma).
»V tem času berejo hvalospeve v čast številu Pi in njegovi vlogi v življenju človeštva, rišejo distopične slike sveta brez Pi, jedo pite s podobo grške črke Pi ali s prvimi števkami števila. sam, rešuje matematične uganke in tudi pleše v krogu.” , piše Wikipedia.
V numeričnem smislu se pi začne kot 3,141592 in ima neskončno matematično trajanje.
Francoski znanstvenik Fabrice Bellard je rekordno natančno izračunal število Pi. To je zapisano na njegovi uradni spletni strani. Zadnji rekord je približno 2,7 bilijona (2 bilijona 699 milijard 999 milijonov 990 tisoč) decimalnih mest. Prejšnji dosežek pripada Japoncem, ki so konstanto izračunali z natančnostjo 2,6 bilijona decimalnih mest.
Bellarjevi izračuni so mu vzeli približno 103 dni. Vsi izračuni so bili opravljeni na domačem računalniku, katerega cena je okoli 2000 evrov. Za primerjavo, prejšnji rekord je bil postavljen na superračunalniku T2K Tsukuba System, ki je deloval približno 73 ur.
Sprva se je število Pi pojavilo kot razmerje med dolžino kroga in njegovim premerom, zato je bila njegova približna vrednost izračunana kot razmerje med obodom mnogokotnika, vpisanega v krog, in premera tega kroga. Kasneje so se pojavile naprednejše metode. Trenutno se pi izračuna s pomočjo hitro konvergentnih nizov, kot so tisti, ki jih je predlagal Srinivas Ramanujan v začetku 20. stoletja.
Pi je bil najprej izračunan v dvojiški obliki in nato pretvorjen v decimalno. To je bilo opravljeno v 13 dneh. Skupaj shranjevanje vseh številk zahteva 1,1 terabajta prostora na disku.
Takšni izračuni nimajo le praktičnega pomena. Torej, zdaj je veliko nerešenih problemov, povezanih s Pi. Vprašanje normalnosti te številke ni rešeno. Na primer, znano je, da sta Pi in e (osnova eksponenta) transcendentalni števili, to pomeni, da nista korena nobenega polinoma s celimi koeficienti. Hkrati pa še ni znano, ali je vsota teh dveh temeljnih konstant transcendentno število ali ne.
Poleg tega še vedno ni znano, ali se vse števke od 0 do 9 pojavljajo v decimalnem zapisu pi neskončno velikokrat.
V tem primeru je izjemno natančen izračun števila priročen poskus, katerega rezultati nam omogočajo oblikovanje hipotez o določenih značilnostih števila.
Število se računa po določenih pravilih in pri vsakem računanju, kjerkoli in kadarkoli se na določenem mestu v številskem zapisu pojavi ista števka. To pomeni, da obstaja določen zakon, po katerem je določeno število postavljeno na določeno mesto v številu. Seveda ta zakon ni preprost, a zakon še vedno obstaja. In to pomeni, da številke v številki niso naključne, ampak logične.
Preštejte število Pi: PI = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - ... - 4/n + 4/(n+2)
Iskanje pi ali dolgo deljenje:
Pari celih števil, ki pri deljenju dajejo zelo približek številu Pi. Delitev je bila izvedena na način "stolpca", da bi se izognili omejitvam dolžine števil s plavajočo vejico Visual Basic 6.
Pi = 3,14159265358979323846264>33832795028841 971...
Med eksotičnimi metodami izračuna pi, kot je uporaba teorije verjetnosti ali praštevil, je metoda, ki jo je izumil G.A. Galperina, in se imenuje Pi-biljard, ki temelji na izvirnem modelu. Ko trčita dve krogli, od katerih je manjša med večjo in steno, večja pa se premika proti steni, število trkov kroglic omogoča izračun Pi s poljubno veliko vnaprej določeno natančnostjo. Samo začeti morate postopek (lahko v računalniku) in prešteti število udarcev žoge. Programska izvedba tega modela še ni znana
V vsaki knjigi o zabavni matematiki boste zagotovo našli zgodovino računanja in razjasnitev vrednosti števila "pi". Sprva so v starodavni Kitajski, Egiptu, Babilonu in Grčiji za izračune uporabljali ulomke, na primer 22/7 ali 49/16. V srednjem veku in renesansi so evropski, indijski in arabski matematiki izpopolnili vrednost "pi" na 40 števk za decimalno vejico, do začetka računalniške dobe pa je s prizadevanji številnih navdušencev število pi postalo povečala na 500. Takšna natančnost je povsem znanstvenega pomena (več o tem spodaj) , za prakso znotraj Zemlje zadostuje 11 znakov za piko.
Potem, če vemo, da je polmer Zemlje 6400 km ali 6,4 * 1012 milimetrov, se izkaže, da če zavržemo dvanajsto števko "pi" za točko pri izračunu dolžine poldnevnika, se bomo zmotili za nekaj milimetrov. In pri izračunu dolžine Zemljine orbite pri vrtenju okoli Sonca (kot je znano, R = 150 * 106 km = 1,5 * 1014 mm), je za enako natančnost dovolj, da uporabite "pi" s štirinajstimi števkami za piko . Povprečna razdalja od Sonca do Plutona, najbolj oddaljenega planeta v sončnem sistemu, je 40-krat večja od povprečne razdalje od Zemlje do Sonca.
Za izračun dolžine Plutonove orbite z napako nekaj milimetrov zadostuje šestnajst številk pi. Zakaj bi se obremenjevali z malenkostmi - premer naše Galaksije je približno 100.000 svetlobnih let (1 svetlobno leto je približno enako 1013 km) ali 1018 km ali 1030 mm, še v 27. stoletju pa je bilo pridobljenih 34 pi znakov, ki so pretirani za tako razdalje.
Zakaj je težko izračunati vrednost pi? Bistvo je, da ni le iracionalen (to pomeni, da ga ni mogoče izraziti kot ulomek P/Q, kjer sta P in Q celi števili), ampak tudi ne more biti koren algebraične enačbe. Število, na primer iracionalno, ni mogoče predstaviti z razmerjem celih števil, je pa koren enačbe X2-2=0, za števili "pi" in e (Eulerjeva konstanta) pa je takšna algebrska (ne diferencialne) enačbe ni mogoče določiti. Takšna števila (transcendentalna) se izračunajo ob upoštevanju procesa in se izboljšajo s povečanjem korakov obravnavanega procesa. “Najpreprostejši” način je, da v krog vpišete pravilen mnogokotnik in izračunate razmerje med obsegom mnogokotnika in njegovim “polmerom”...strani marsu
Število pojasnjuje svet
Zdi se, da sta se dvema ameriškima matematikoma uspelo približati rešitvi skrivnosti števila pi, ki čisto matematično predstavlja razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom, poroča Der Spiegel.
Kot iracionalne količine je ni mogoče predstaviti kot popoln ulomek, zato decimalni vejici sledi neskončna vrsta števk. Ta lastnost je vedno privlačila matematike, ki so si prizadevali najti na eni strani natančnejšo vrednost pi, na drugi strani pa njegovo posplošeno formulo.
Vendar pa sta matematika David Bailey iz nacionalnega laboratorija Lawrence Berkeley v Kaliforniji in Richard Grendell s kolidža Reed v Portlandu pogledala na številke z drugega zornega kota – poskušala sta najti nekaj smisla v na videz kaotičnem nizu decimalnih števil. Posledično je bilo ugotovljeno, da se kombinacije naslednjih številk redno ponavljajo: 59345 in 78952.
A zaenkrat ne morejo odgovoriti na vprašanje, ali je ponavljanje naključno ali naravno. Vprašanje vzorca ponavljanja določenih kombinacij števil, pa ne samo v številu pi, je eno najtežjih v matematiki. Zdaj pa lahko o tej številki rečemo nekaj bolj določnega. Odkritje odpira pot do razvozlavanja števila pi in nasploh do ugotavljanja njegovega bistva – ali je za naš svet normalno ali ne.
Oba matematika se zanimata za pi od leta 1996 in od takrat sta morala opustiti tako imenovano »teorijo števil« in se posvetiti »teoriji kaosa«, ki je zdaj njuno glavno orožje. Raziskovalci na podlagi prikaza pi - njegova najpogostejša oblika je 3,14159 ... - sestavljajo niz števil med nič in ena - 0,314, 0,141, 0,415, 0,159 itd. Torej, če je število pi resnično kaotično, potem bi morala biti kaotična tudi serija števil, ki se začne od nič. A na to vprašanje še ni odgovora. Skrivnost števila pi, tako kot njegovega starejšega brata – števila 42, s pomočjo katerega mnogi raziskovalci poskušajo razložiti skrivnost vesolja, še ni razvozlana.«
Zanimivi podatki o porazdelitvi števk Pi.
(Programiranje je največji dosežek človeštva. Zahvaljujoč njemu se redno učimo stvari, ki nam jih sploh ni treba vedeti, a so zelo zanimive)
Prešteto (na milijon decimalnih mest):
ničle = 99959,
enote = 99758,
dvojke = 100026,
trojčki = 100229,
štirice = 100230,
petice = 100359,
šestice = 99548,
sedmice = 99800,
osem = 99985,
devetke = 100106.
V prvih 200.000.000.000 decimalnih mestih pi so se števke pojavljale z naslednjo frekvenco:
"0" : 20000030841;
"1" : 19999914711;
"2" : 20000136978;
"3" : 20000069393
"4" : 19999921691;
"5" : 19999917053;
"6" : 19999881515;
"7" : 19999967594
"8" : 20000291044;
"9" : 19999869180;
To pomeni, da so številke skoraj enakomerno porazdeljene. Zakaj? Ker po sodobnih matematičnih pojmovanjih bo teh števk neskončno enako, poleg tega pa jih bo toliko enic, kolikor je dvojk in trojk skupaj in celo toliko kot vseh ostalih devet števk skupaj. Tu pa je treba vedeti, kje se ustaviti, tako rekoč izkoristiti trenutek, kjer jih je res enako število.
In še nekaj - v številkah Pi lahko pričakujemo pojav katerega koli vnaprej določenega zaporedja števk. Na primer, najpogostejše ureditve so bile najdene v naslednjih številkah:
01234567891: od 26.852.899.245
01234567891: od 41.952.536.161
01234567891: od 99.972.955.571
01234567891: od 102.081.851.717
01234567891: od 171.257.652.369
01234567890: od 53.217.681.704
27182818284: c 45.111.908.393 so števke števila e.
Bila je šala: znanstveniki so našli zadnjo številko v Pi - izkazalo se je, da je številka e, skoraj so jo dobili)
Svojo telefonsko številko ali datum rojstva lahko iščete v prvih deset tisoč cifrah Pi;
V številu 1/Pi, začenši s 55.172.085.586 številkami, je 33333333333333, ali ni presenetljivo?
V filozofiji sta naključno in nujno običajno nasproti. Torej so znaki števila pi naključni? Ali pa so potrebni? Recimo, da je tretja številka pi "4". In ne glede na to, kdo izračuna ta pi, na katerem mestu in ob katerem času to počne, bo tretji znak nujno vedno enak "4".
Povezava med Pi, Phi in Fibonaccijevim nizom. Povezava med številom 3,1415916 in številom 1,61803 ter zaporedjem Pisa.
- Bolj zanimivo:
- 1. Na decimalnih mestih pi so 7, 22, 113, 355 številka 2. Ulomka 22/7 in 355/113 sta dobra približka pi.
- 2. Kokhansky je ugotovil, da je Pi približen koren enačbe: 9x^4-240x^2+1492=0
- 3. Če napišete velike črke angleške abecede v smeri urinega kazalca v krogu in prečrtate črke, ki imajo simetrijo od leve proti desni: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y , potem preostale črke tvorijo skupine po 3,1,4,1,6 črkah.
- (A) BCDEFG (HI) JKL (M) N (O) PQRS (TUVWXY) Z
- 6 3 1 4 1
- Torej naj se angleška abeceda začne s črko H, I ali J in ne s črko A :)
Kaj nam je torej pomembno? In iz tega sledi, da lahko v decimalnem repu števila pi najdete poljubno predvideno zaporedje števk. Vaš telefon? Prosim, večkrat (lahko preverite tukaj, vendar ne pozabite, da ta stran tehta približno 300 megabajtov, zato boste morali počakati na prenos. Tu lahko prenesete pičlih milijon znakov ali pa mi verjemite na besedo: poljubno zaporedje števk v decimalnih mestih pi je zgodaj ali pa bo pozno!
Za bolj vzvišene bralce lahko ponudimo še en primer: če vse črke šifrirate s številkami, potem v decimalnem razširjanju števila pi najdete vso svetovno literaturo in znanost, pa recept za pripravo bešamela in vse svete knjige vseh religij. Ne hecam se, to je strogo znanstveno dejstvo. Navsezadnje je zaporedje NESKONČNO in se kombinacije ne ponavljajo, torej vsebuje VSE kombinacije števil, kar je že dokazano. In če je to to, potem je to to. Vključno s tistimi, ki ustrezajo knjigi, ki ste jo izbrali.
In to spet pomeni, da vsebuje ne le vso svetovno literaturo, ki je že bila napisana (predvsem tiste knjige, ki so zgorele itd.), ampak tudi vse knjige, ki BODO še napisane.
Izkazalo se je, da to število (edino razumno število v vesolju!) vlada našemu svetu.
Vprašanje je, kako jih tam najti...
In na današnji dan se je rodil Albert Einstein, ki je napovedal ... in česa ni napovedal! ... celo temno energijo.
Ta svet je bil zavit v globoko temo.
Naj bo svetloba! In potem se je pojavil Newton.
Toda satan ni dolgo čakal na maščevanje.
Prišel je Einstein in vse je postalo isto kot prej.
Dobro se ujemata - pi in albert ...
Teorije nastajajo, se razvijajo in...
Zaključek: Pi ni enak 3,14159265358979....
To je napačno prepričanje, ki temelji na zmotnem postulatu istovetenja ravnega evklidskega prostora z realnim prostorom vesolja.
Kratka razlaga, zakaj na splošno Pi ni enak 3,14159265358979 ...
Ta pojav je povezan z ukrivljenostjo prostora. Silnice v vesolju na pomembnih razdaljah niso idealne ravne črte, ampak rahlo ukrivljene črte. Zrasli smo že do te mere, da navajamo dejstvo, da v resničnem svetu ni popolnoma ravnih črt, idealno ravnih krogov ali idealnega evklidskega prostora. Zato si moramo vsak krog z enim polmerom predstavljati na krogli z veliko večjim polmerom.
Motimo se, če mislimo, da je prostor raven, »kubičen«. Vesolje ni kubično, ne cilindrično in zagotovo ni piramidasto. Vesolje je sferično. Edini primer, ko je ravnina lahko idealna (v smislu »neukrivljena«), je primer, ko taka ravnina poteka skozi središče vesolja.
Ukrivljenost CD-ROM-a seveda lahko zanemarimo, saj je premer CD-ja veliko manjši od premera Zemlje, še manj pa od premera vesolja. Ne smemo pa zanemariti ukrivljenosti orbit kometov in asteroidov. Neizkoreninjeno ptolemajsko prepričanje, da smo še vedno v središču vesolja, nas lahko drago stane.
Spodaj so aksiomi ravnega evklidskega (»kubičnega« kartezijskega) prostora in dodatni aksiom, ki sem ga oblikoval za sferični prostor.
Aksiomi ravne zavesti:
skozi 1 točko lahko narišete neskončno število ravnin in neskončno število ravnin.
skozi 2 točki lahko narišeš 1 in samo 1 ravno črto, skozi katero lahko narišeš neskončno število ravnin.
V splošnem primeru je skozi 3 točke nemogoče narisati eno samo premico in eno in samo eno ravnino. Dodaten aksiom za sferično zavest:
V splošnem primeru je skozi 4 točke nemogoče narisati eno samo premico, eno samo ravnino in eno samo eno kroglo. Arsentijev Aleksej Ivanovič
Malo mistike. Je PI razumen?
Skozi število Pi je mogoče definirati katero koli drugo konstanto, vključno s konstanto fine strukture (alfa), konstanto zlatega razmerja (f=1,618 ...), da ne omenjamo števila e - zato število pi najdemo ne samo v geometriji, pa tudi v teoriji relativnosti, kvantni mehaniki, jedrski fiziki itd. Še več, znanstveniki so pred kratkim ugotovili, da je prav prek Pi mogoče določiti lokacijo osnovnih delcev v tabeli osnovnih delcev (prej so to poskušali narediti prek Woodyjeve tabele) in sporočilo, da je v nedavno dešifrirani človeški DNK , število Pi je odgovorno za strukturo same DNK (dovolj zapleteno, treba je opozoriti), je povzročilo učinek eksplozije bombe!
Po besedah dr. Charlesa Cantorja, pod čigar vodstvom je bila dešifrirana DNK: »Zdi se, da smo prišli do rešitve nekega temeljnega problema, ki nam ga je postavilo vesolje, in je povsod, nadzoruje vse procese, ki jih poznamo , medtem ko ostane nespremenjeno! Ali samo število Pi še ni odgovora."
Pravzaprav je Cantor neiskren, obstaja odgovor, ki je tako neverjeten, da ga znanstveniki raje ne objavijo v javnosti, saj se bojijo za lastna življenja (več o tem kasneje): število Pi nadzoruje samo sebe, to je razumno! Nesmisel? Ne hitite. Navsezadnje je tudi Fonvizin rekel, da je "v človeški nevednosti zelo tolažilno, če vse, česar ne veš, smatraš za neumnost."
Prvič, domneve o razumnosti števil na splošno že dolgo obiskujejo številni znani matematiki našega časa. Norveški matematik Niels Henrik Abel je februarja 1829 pisal svoji materi: »Prejel sem potrditev, da je ena od številk razumna! Številka me je opozorila, da bom kaznovan, če se razkrije." Kdo ve, Nils bi razkril pomen števila, ki ga je ogovorilo, a 6. marca 1829 je umrl.
1955 Japonec Yutaka Taniyama postavi hipotezo, da "vsaka eliptična krivulja ustreza določeni modularni obliki" (kot je znano, je bil na podlagi te hipoteze dokazan Fermatov izrek). 15. septembra 1955 je Taniyama na mednarodnem matematičnem simpoziju v Tokiu objavil svojo hipotezo v odgovoru na vprašanje novinarja: "Kako ste prišli do tega?" - Taniyama odgovori: "Nisem pomislil na to, številka mi je to povedala po telefonu." Novinarka, ki je mislila, da gre za šalo, se je odločila, da jo bo "podprla": "Vam je povedalo telefonsko številko?" Na kar je Taniyama resno odgovoril: "Zdi se, da mi je ta številka znana že dolgo, zdaj pa jo lahko sporočim šele po treh letih, 51 dneh, 15 urah in 30 minutah." Novembra 1958 je Taniyama naredil samomor. Tri leta, 51 dni, 15 ur in 30 minut je 3,1415. Naključje? Mogoče. Ampak tukaj je še ena, še bolj nenavadna. Tudi italijanski matematik Sella Quitino je več let preživel, kot se je nejasno izrazil, »ohranjal stik z eno srčkano številko«. Figura je po besedah Quitina, ki je bil takrat že v psihiatrični bolnišnici, "obljubil, da bo na njegov rojstni dan povedal svoje ime." Je Quitino morda tako zmedel, da je številko Pi poimenoval številka, ali pa je namerno zmedel zdravnike? Ni jasno, toda 14. marca 1827 je Quitino umrl.
In najbolj skrivnostna zgodba je povezana z »velikim Hardyjem« (kot vsi veste, tako so sodobniki imenovali velikega angleškega matematika Godfreya Harolda Hardyja), ki je skupaj s prijateljem Johnom Littlewoodom znan po svojem delu na področju teorije števil. (predvsem na področju Diofantovih aproksimacij) in teorije funkcij (kjer so prijatelji zasloveli s študijem neenakosti). Kot veste, je bil Hardy uradno neporočen, čeprav je večkrat izjavil, da je "zaročen s kraljico našega sveta." Kolegi znanstveniki so ga večkrat slišali govoriti s kom v svoji pisarni; nihče ni nikoli videl njegovega sogovornika, čeprav se je o njegovem glasu - kovinskem in rahlo škripajočem - dolgo govorilo na univerzi v Oxfordu, kjer je zadnja leta delal. Novembra 1947 se ti pogovori ustavijo in 1. decembra 1947 Hardyja najdejo na mestnem smetišču s kroglo v trebuhu. Verzijo o samomoru je potrdil tudi zapis, v katerem je Hardyjeva roka zapisala: "John, vzel si mi kraljico, ne krivim te, a ne morem več živeti brez nje."
Je ta zgodba povezana s številom Pi? Še vedno ni jasno, a ni zanimivo?
Na splošno lahko naberete veliko podobnih zgodb in seveda niso vse tragične.
Ampak, pojdimo na "drugo": kako je lahko številka sploh razumna? Da, zelo preprosto. Človeški možgani vsebujejo 100 milijard nevronov, število decimalnih mest števila Pi se na splošno nagiba k neskončnosti, na splošno pa je glede na formalna merila lahko razumno. Toda če verjamete delu ameriškega fizika Davida Baileyja in kanadskih matematikov Petra Borwina in Simona Ploofeja, je zaporedje decimalnih mest v Pi podvrženo teoriji kaosa, grobo rečeno, število Pi je kaos v svoji izvirni obliki. Ali je kaos lahko inteligenten? Vsekakor! Tako kot vakuum kljub navidezni praznini, kot veste, nikakor ni prazen.
Še več, če želite, lahko ta kaos predstavite grafično - da se prepričate, da je lahko razumen. Leta 1965 je ameriški matematik poljskega porekla Stanislaw M. Ulam (on je tisti, ki je prišel na ključno idejo za zasnovo termonuklearne bombe) na enem zelo dolgem in zelo dolgočasnem (po njegovih besedah) sestanku, da bi se nekako zabaval, je začel pisati številke na karirastem papirju, vključenem v številko Pi. Ko je na sredino postavil 3 in se spiralno premikal v nasprotni smeri urinega kazalca, je za decimalno vejico izpisal 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 in druga števila. Brez pomisleka je s črnimi krogi hkrati obkrožil vsa praštevila. Kmalu so se na njegovo presenečenje krogi z neverjetno vztrajnostjo začeli vrstiti vzdolž ravnih črt - kar se je zgodilo, je bilo zelo podobno nečemu razumnemu. Še posebej potem, ko je Ulam na podlagi te risbe s posebnim algoritmom ustvaril barvno sliko.
Pravzaprav lahko to sliko, ki jo lahko primerjamo tako z možgani kot z zvezdno meglico, varno imenujemo "pijevi možgani". Približno s pomočjo takšne strukture to število (edino razumno število v vesolju) nadzoruje naš svet. Kako pa ta nadzor poteka? Praviloma s pomočjo nenapisanih zakonov fizike, kemije, fiziologije, astronomije, ki jih razumno število nadzira in prilagaja. Zgornji primeri kažejo, da je inteligentno število tudi namerno personificirano, z znanstveniki komunicira kot nekakšna nadosebnost. Ampak, če je tako, ali je številka Pi prišla v naš svet v obliki običajnega človeka?
To je težko vprašanje. Mogoče je prišel, morda ni, za to zanesljive metode ni in ga ne more biti, a če se to število v vseh primerih določi samo po sebi, potem lahko domnevamo, da je prišlo v naš svet kot oseba na dan ustreza njegovemu pomenu. Seveda je idealen datum rojstva za Pi 14. marec 1592 (3,141592), vendar za to leto žal ni zanesljivih statističnih podatkov - vemo le, da je prav tega leta, 14. marca, George Villiers Buckingham , vojvoda Buckinghamski iz "Trijeh mušketirjev." Bil je odličen mečevalec, vedel je veliko o konjih in lovu s sokoli – a je bil Pi? Komaj. Duncan MacLeod, rojen 14. marca 1592 v gorah Škotske, bi lahko idealno zahteval vlogo človeškega utelešenja števila Pi - če bi bil resnična oseba.
Toda leto (1592) je mogoče določiti po lastnem, bolj logičnem koledarju za Pi. Če sprejmemo to predpostavko, potem je kandidatov za vlogo Pija veliko več.
Najbolj očiten med njimi je Albert Einstein, rojen 14. marca 1879. Toda 1879 je 1592 glede na 287 pred našim štetjem! Zakaj ravno 287? Da, saj se je prav tega leta rodil Arhimed, ki je prvič na svetu izračunal število Pi kot razmerje med obsegom in premerom in dokazal, da je enako za vsak krog! Naključje? Ampak, ali ni veliko naključij, se vam ne zdi?
V kakšni osebnosti je danes poosebljen Pi, ni jasno, a da bi videli pomen te številke za naš svet, vam ni treba biti matematik: Pi se manifestira v vsem, kar nas obdaja. In to je, mimogrede, zelo značilno za vsako inteligentno bitje, kar je nedvomno Pi!
Kaj je koda PIN?
Per-SONAL IDEN-tifi-KA-CI-on številka.
Kaj je številka PI?
Dekodiranje številke PI (3, 14...) (pin koda), to lahko stori vsak brez mene, preko glagolice. Namesto številk zamenjamo črke (številske vrednosti črk so podane v glagolici) in dobimo to besedno zvezo: Glagoli (glagol, reči, narediti) Az (jaz, kot, gospodar, stvarnik) Dobro. In če vzamemo naslednje številke, se izkaže nekaj takega: »Delam dobro, sem Fita (skrit, nezakonski otrok, deviško rojstvo, nemanifestirano, 9), poznam (spoznavam) popačenje (zlo), to je govor (dejanje) volja (želja) Zemlja jaz vem da delam volja dobro zlo (izkrivljanje) vem zlo delam dobro"... in tako naprej do neskončnosti, veliko je številk, vendar verjamem, da je vse o ista stvar...
Glasba PI
Čemu je enako Pi? poznamo in se spomnimo iz šole. Enako je 3,1415926 in tako naprej ... Za navadnega človeka je dovolj vedeti, da to število dobimo tako, da obseg kroga delimo z njegovim premerom. Toda mnogi vedo, da se število Pi pojavlja na nepričakovanih področjih ne le matematike in geometrije, ampak tudi v fiziki. No, če se poglobite v podrobnosti narave tega števila, boste med neskončnim nizom števil opazili marsikaj presenetljivega. Je možno, da Pi skriva najgloblje skrivnosti vesolja?
Neskončno število
Samo število Pi se v našem svetu pojavlja kot dolžina kroga, katerega premer je enak ena. Toda kljub dejstvu, da je odsek, ki je enak Pi, precej končen, se število Pi začne kot 3,1415926 in gre v neskončnost v vrstah števil, ki se nikoli ne ponovijo. Prvo presenetljivo dejstvo je, da tega števila, ki se uporablja v geometriji, ni mogoče izraziti kot ulomek celih števil. Z drugimi besedami, tega ne morete zapisati kot razmerje dveh števil a/b. Poleg tega je število Pi transcendentalno. To pomeni, da ne obstaja enačba (polinom) s celimi koeficienti, katere rešitev bi bilo število Pi.
Da je število Pi transcendentalno, je leta 1882 dokazal nemški matematik von Lindemann. Prav ta dokaz je postal odgovor na vprašanje, ali je mogoče s kompasom in ravnilom narisati kvadrat, katerega površina je enaka površini danega kroga. Ta problem je znan kot iskanje kvadrature kroga, ki skrbi človeštvo že od antičnih časov. Zdelo se je, da ima ta problem preprosto rešitev in da bo kmalu rešen. A prav nerazumljiva lastnost števila Pi je pokazala, da rešitve problema kvadrature kroga ni.
Vsaj štiri tisočletja in pol si človeštvo prizadeva pridobiti vse bolj natančno vrednost števila Pi. Na primer, v Svetem pismu v Tretji knjigi kraljev (7:23) je število Pi vzeto kot 3.
Vrednost Pi z izjemno natančnostjo je mogoče najti v piramidah v Gizi: razmerje med obsegom in višino piramid je 22/7. Ta ulomek daje približno vrednost Pi, ki je enaka 3,142 ... Razen seveda, če Egipčani tega razmerja niso določili po naključju. Enako vrednost je v zvezi z izračunom števila Pi v 3. stoletju pred našim štetjem dobil že veliki Arhimed.
V Ahmesovem papirusu, staroegipčanskem učbeniku matematike iz leta 1650 pr. n. št., je pi izračunan kot 3,160493827.
V starodavnih indijskih besedilih okoli 9. stoletja pred našim štetjem je bila najbolj natančna vrednost izražena s številom 339/108, ki je bilo enako 3,1388...
Skoraj dva tisoč let po Arhimedu so ljudje poskušali najti načine za izračun števila Pi. Med njimi so bili tako znani kot neznani matematiki. Na primer rimski arhitekt Marcus Vitruvius Pollio, egiptovski astronom Claudius Ptolemy, kitajski matematik Liu Hui, indijski modrec Aryabhata, srednjeveški matematik Leonardo iz Pise, znan kot Fibonacci, arabski znanstvenik Al-Khwarizmi, iz katerega imena je beseda pojavil "algoritem". Vsi ti in še mnogi drugi so iskali najbolj natančne metode za izračun števila Pi, vendar vse do 15. stoletja zaradi zapletenosti izračunov nikoli niso dobili več kot 10 decimalnih mest.
Končno je leta 1400 indijski matematik Madhava iz Sangamagrama izračunal Pi s 13-mestno natančnostjo (čeprav se je pri zadnjih dveh še zmotil).
Število znakov
V 17. stoletju sta Leibniz in Newton odkrila analizo neskončno majhnih količin, ki je omogočila progresivnejše računanje Pi – s potenčnimi vrstami in integrali. Newton je sam izračunal 16 decimalnih mest, vendar tega ni omenil v svojih knjigah - to je postalo znano po njegovi smrti. Newton je trdil, da je Pi izračunal zgolj iz dolgčasa.
Približno v istem času so se oglasili tudi drugi manj znani matematiki in predlagali nove formule za izračun števila Pi s pomočjo trigonometričnih funkcij.
To je na primer formula, ki jo je učitelj astronomije John Machin leta 1706 uporabil za izračun Pi: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Z analitičnimi metodami je Machin iz te formule izpeljal število Pi na sto decimalnih mest natančno.
Mimogrede, istega leta 1706 je število Pi prejelo uradno oznako v obliki grške črke: William Jones jo je uporabil v svojem delu o matematiki, pri čemer je vzel prvo črko grške besede "periferija", kar pomeni "krog". .” Veliki Leonhard Euler, rojen leta 1707, je populariziral to oznako, ki jo zdaj pozna vsak šolar.
Pred dobo računalnikov so se matematiki osredotočali na izračun čim več znakov. V zvezi s tem so se včasih pojavile smešne stvari. Amaterski matematik W. Shanks je leta 1875 izračunal 707 številk pi. Teh sedemsto znakov je bilo leta 1937 ovekovečenih na steni Palais des Discovery v Parizu. Vendar pa so devet let kasneje pozorni matematiki ugotovili, da je bilo pravilno izračunanih samo prvih 527 znakov. Muzej je moral imeti znatne stroške, da je napako popravil - zdaj so vse številke pravilne.
Ko so se pojavili računalniki, so število števk števila Pi začeli računati v povsem nepredstavljivih vrstnih redih.
Eden prvih elektronskih računalnikov ENIAC, ustvarjen leta 1946, je bil ogromen in je proizvedel toliko toplote, da se je prostor segrel do 50 stopinj Celzija, izračunal je prvih 2037 števk števila Pi. Ta izračun je stroju vzel 70 ur.
Ko so se računalniki izboljševali, je naše znanje o Pi segalo vse dlje v neskončnost. Leta 1958 je bilo izračunanih 10 tisoč števk števila. Leta 1987 so Japonci izračunali 10.013.395 znakov. Leta 2011 je japonski raziskovalec Shigeru Hondo presegel mejo 10 bilijonov znakov.
Kje drugje lahko srečaš Pi?
Tako pogosto naše znanje o številu Pi ostane na šolski ravni in zagotovo vemo, da je to število nenadomestljivo predvsem v geometriji.
Poleg formul za dolžino in ploščino kroga se število Pi uporablja v formulah za elipse, krogle, stožce, valje, elipsoide in tako naprej: ponekod so formule preproste in si jih je lahko zapomniti, in v drugih vsebujejo zelo kompleksne integrale.
Potem lahko srečamo število Pi v matematičnih formulah, kjer na prvi pogled ni vidna geometrija. Na primer, nedoločen integral 1/(1-x^2) je enak Pi.
Pi se pogosto uporablja v analizi nizov. Na primer, tukaj je preprost niz, ki konvergira k Pi:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Med serijami se Pi najbolj nepričakovano pojavi v znameniti Riemannovi zeta funkciji. O tem je nemogoče govoriti na kratko, recimo samo, da bo nekoč število Pi pomagalo najti formulo za izračun praštevil.
In popolnoma presenetljivo: Pi se pojavlja v dveh najlepših "kraljevskih" formulah matematike - Stirlingovi formuli (ki pomaga najti približno vrednost faktorijela in gama funkcije) in Eulerjevi formuli (ki povezuje kar pet matematičnih konstant).
Vendar pa je matematike v teoriji verjetnosti čakalo najbolj nepričakovano odkritje. Tam je tudi število Pi.
Na primer, verjetnost, da bosta dve števili relativno praštevili, je 6/PI^2.
Pi se pojavi v Buffonovem problemu metanja igle, oblikovanem v 18. stoletju: kakšna je verjetnost, da bo igla, vržena na črtan kos papirja, prečkala eno od črt. Če je dolžina igle L, razdalja med črtami L in r > L, potem lahko približno izračunamo vrednost Pi z uporabo verjetnostne formule 2L/rPI. Samo predstavljajte si - Pi lahko dobimo iz naključnih dogodkov. In mimogrede, Pi je prisoten v normalni porazdelitvi verjetnosti, pojavlja se v enačbi slavne Gaussove krivulje. Ali to pomeni, da je Pi celo bolj temeljen kot preprosto razmerje med obsegom in premerom?
Pi lahko srečamo tudi v fiziki. Pi se pojavi v Coulombovem zakonu, ki opisuje silo interakcije med dvema nabojema, v tretjem Keplerjevem zakonu, ki prikazuje periodo kroženja planeta okoli Sonca, in se pojavi celo v razporeditvi elektronskih orbital vodikovega atoma. In kar je spet najbolj neverjetno je, da se število Pi skriva v formuli Heisenbergovega principa negotovosti – temeljnega zakona kvantne fizike.
Pijeve skrivnosti
V romanu Carla Sagana Stik, po katerem je posnet istoimenski film, Nezemljani junakinji povedo, da je med znaki pi skrivno božje sporočilo. Z določenega položaja številke v številu prenehajo biti naključne in predstavljajo kodo, v kateri so zapisane vse skrivnosti vesolja.
Ta roman je pravzaprav odraz skrivnosti, ki je zaposlovala misli matematikov po vsem svetu: ali je Pi normalno število, v katerem so števke enako pogosto razpršene, ali pa je s tem številom kaj narobe? In čeprav so znanstveniki nagnjeni k prvi možnosti (vendar tega ne morejo dokazati), je število Pi videti zelo skrivnostno. Neki Japonec je nekoč izračunal, kolikokrat se številke od 0 do 9 pojavijo v prvih trilijonih števk pi. In videl sem, da so številke 2, 4 in 8 pogostejše od ostalih. To je lahko eden od namigov, da Pi ni povsem običajen in da številke v njem res niso naključne.
Spomnimo se vsega, kar smo prebrali zgoraj, in se vprašajmo, katero drugo iracionalno in transcendentalno število tako pogosto najdemo v realnem svetu?
In na voljo je še več nenavadnosti. Na primer, vsota prvih dvajsetih števk števila Pi je 20, vsota prvih 144 števk pa je enaka "številu zveri" 666.
Glavni lik ameriške TV serije "Osumljenec", profesor Finch, je študentom povedal, da je zaradi neskončnosti števila Pi v njem mogoče najti katero koli kombinacijo števil, od številk vašega rojstnega datuma do bolj zapletenih števil. . Na primer, na položaju 762 je zaporedje šestih devetk. Ta položaj se imenuje Feynmanova točka po slavnem fiziku, ki je opazil to zanimivo kombinacijo.
Vemo tudi, da število Pi vsebuje zaporedje 0123456789, vendar se nahaja na 17.387.594.880 mestu.
Vse to pomeni, da v neskončnosti števila Pi ni mogoče najti le zanimivih kombinacij števil, ampak tudi zakodirano besedilo »Vojne in miru«, Svetega pisma in celo Glavne skrivnosti vesolja, če ta obstaja.
Mimogrede, o Svetem pismu. Slavni popularizator matematike Martin Gardner je leta 1966 izjavil, da bo milijonta številka pi (takrat še neznana) številka 5. Svoje izračune je razložil z dejstvom, da je v angleški verziji Svetega pisma v 3. knjiga, 14. poglavje, 16 verz (3-14-16) sedma beseda vsebuje pet črk. Milijonto številko so dosegli osem let pozneje. Bila je številka pet.
Ali je po tem vredno trditi, da je število Pi naključno?
Pred kratkim je na voljo elegantna formula za izračun števila Pi, ki so jo leta 1995 prvič objavili David Bailey, Peter Borwein in Simon Plouffe:
Zdi se: kaj je posebnega v tem - obstaja veliko formul za izračun Pi: od šolske metode Monte Carlo do nerazumljivega Poissonovega integrala in formule Francoisa Vieta iz poznega srednjega veka. Toda na to formulo je vredno nameniti posebno pozornost - omogoča vam izračun n-te številke pi, ne da bi našli prejšnje. Za informacije o tem, kako to deluje, kot tudi za že pripravljeno kodo v C, ki izračuna 1.000.000. števko, se naročite.
Kako deluje algoritem za izračun N-te števke pi?
Na primer, če potrebujemo 1000. šestnajstiško števko števila Pi, celotno formulo pomnožimo s 16^1000, s čimer spremenimo faktor pred oklepajem v 16^(1000-k). Pri potenciranju uporabljamo binarni algoritem potenciranja ali, kot bo pokazal spodnji primer, modulo potenciranje. Po tem izračunamo vsoto več členov niza. Poleg tega ni treba veliko računati: ko k narašča, se 16^(N-k) hitro zmanjšuje, tako da naslednji členi ne bodo vplivali na vrednost zahtevanih števil). To je vsa čarovnija - briljantno in preprosto.
Formulo Bailey-Borwine-Plouffe je našel Simon Plouffe z uporabo algoritma PSLQ, ki je bil leta 2000 vključen na seznam 10 najboljših algoritmov stoletja. Sam algoritem PSLQ je razvil Bailey. Tukaj je mehiška serija o matematikih.
Mimogrede, čas delovanja algoritma je O(N), poraba pomnilnika je O(log N), kjer je N serijska številka želenega znaka.
Mislim, da bi bilo primerno citirati kodo v C, ki jo je neposredno napisal avtor algoritma David Bailey:
/* Ta program izvaja algoritem BBP za generiranje nekaj šestnajstiških števk, ki se začnejo takoj za danim ID-jem položaja ali z drugimi besedami, začnejo se pri ID-ju položaja + 1. V večini sistemov, ki uporabljajo IEEE 64-bitno aritmetiko s plavajočo vejico, ta koda deluje pravilno dokler je d manjši od približno 1,18 x 10^7. Če je mogoče uporabiti 80-bitno aritmetiko, je ta meja bistveno višja. Ne glede na uporabljeno aritmetiko lahko rezultate za dani ID položaja preverite tako, da ponovite z id-1 ali id+1 in preverite, ali se šestnajstiške števke popolnoma prekrivajo z odmikom ena, razen po možnosti za nekaj končnih števk. Dobljeni ulomki so običajno točni na vsaj 11 decimalnih mest in na vsaj 9 šestnajstiških mest. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #include
Kakšne priložnosti to ponuja? Na primer: ustvarimo lahko porazdeljeni računalniški sistem, ki izračuna število Pi in postavimo nov rekord v natančnosti izračunov za ves Habr (ki je, mimogrede, zdaj 10 trilijonov decimalnih mest). Po empiričnih podatkih je ulomek števila Pi običajno številsko zaporedje (čeprav to še ni zanesljivo dokazano), kar pomeni, da se lahko zaporedja števil iz njega uporabljajo pri generiranju gesel in preprosto naključnih števil ali v kriptografiji. algoritmi (na primer zgoščevanje) . Najdete lahko veliko različnih načinov za uporabo – uporabiti morate le svojo domišljijo.
Več informacij o temi najdete v članku samega Davida Baileya, kjer podrobno govori o algoritmu in njegovi implementaciji (pdf);
In zdi se, da ste pravkar prebrali prvi članek v ruskem jeziku o tem algoritmu na RuNetu - drugega nisem našel.