Vsota vseh kotov trikotnika je enaka. Izrek o vsoti kotov trikotnika

Izrek. Vsota notranjih kotov trikotnika je enaka dvema pravima kotoma.

Vzemimo trikotnik ABC (slika 208). Označimo njene notranje kote s številkami 1, 2 in 3. To dokažimo

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Skozi neko oglišče trikotnika, na primer B, narišimo premico MN, vzporedno z AC.

Pri oglišču B smo dobili tri kote: ∠4, ∠2 in ∠5. Njuna vsota je ravni kot, zato je enaka 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Toda ∠4 = ∠1 so notranji navzkrižni koti z vzporednima premicama MN in AC ter sekanto AB.

∠5 = ∠3 - to so notranji navzkrižni koti z vzporednicama MN in AC ter sekanto BC.

To pomeni, da lahko ∠4 in ∠5 nadomestimo z enakima ∠1 in ∠3.

Zato je ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Izrek je dokazan.

2. Lastnost zunanjega kota trikotnika.

Izrek. Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

Pravzaprav je v trikotniku ABC (slika 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, pa tudi ∠ВСD, zunanji kot tega trikotnika, ki ni sosednji na ∠1 in ∠2, prav tako enak 180° - ∠3 .

Torej:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Zato je ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izpeljana lastnost zunanjega kota trikotnika pojasnjuje vsebino predhodno dokazanega izreka o zunanjem kotu trikotnika, ki je trdil le, da je zunanji kot trikotnika večji od vsakega notranjega kota trikotnika, ki ni soseden z njim; zdaj je ugotovljeno, da je zunanji kot enak vsoti obeh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

3. Lastnost pravokotnega trikotnika s kotom 30°.

Izrek. Krak pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti kota 30°, je enak polovici hipotenuze.

Naj bo kot B v pravokotnem trikotniku ACB enak 30° (slika 210). Potem bo njegov drugi ostri kot enak 60°.

Dokažimo, da je krak AC enak polovici hipotenuze AB. Podaljšajmo krak AC čez oglišče pravega kota C in odstavimo odsek CM, ki je enak odseku AC. Povežimo točko M s točko B. Nastali trikotnik ВСМ je enak trikotniku ACB. Vidimo, da je vsak kot trikotnika ABM enak 60°, zato je ta trikotnik enakostranični trikotnik.

Krak AC je enak polovici AM, in ker je AM enak AB, bo krak AC enak polovici hipotenuze AB.

Cilji in cilji:

Izobraževalni:

• ponoviti in posplošiti znanje o trikotniku;
• dokaži izrek o vsoti kotov trikotnika;
• praktično preveri pravilnost formulacije izreka;
• naučijo se uporabljati pridobljeno znanje pri reševanju problemov.

Izobraževalni:

• razvijati geometrijsko mišljenje, zanimanje za predmet, kognitivno in ustvarjalno dejavnost učencev, matematični govor in sposobnost samostojnega pridobivanja znanja.

Izobraževalni:

• razvijati osebnostne lastnosti študentov, kot so odločnost, vztrajnost, natančnost in sposobnost timskega dela.

Oprema: multimedijski projektor, trikotniki iz barvnega papirja, izobraževalni kompleks "Živa matematika", računalnik, zaslon.

Pripravljalna faza: Učitelj da učencu nalogo, da pripravi zgodovinski zapis o izreku »Vsota kotov trikotnika«.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Napredek lekcije

I. Organizacijski trenutek

lep pozdrav Psihološki odnos študentov do dela.

II. Ogrevanje

Z geometrijsko figuro "trikotnik" smo se seznanili v prejšnjih lekcijah. Ponovimo, kar vemo o trikotniku?

Učenci delajo v skupinah. Dana jim je možnost medsebojnega komuniciranja, da vsak samostojno gradi proces spoznavanja.

Kaj se je zgodilo? Vsaka skupina poda svoje predloge, učitelj jih zapiše na tablo. O rezultatih se razpravlja:

Slika 1

III. Oblikovanje cilja lekcije

Torej, o trikotniku že vemo precej. Ampak ne vsi. Vsak od vas ima na mizi trikotnike in kotomerje. Kaj mislite, kakšen problem lahko oblikujemo?

Učenci oblikujejo nalogo lekcije - najti vsoto kotov trikotnika.

IV. Razlaga nove snovi

Praktični del(spodbuja obnavljanje znanja in spretnosti samospoznavanja). Izmerite kote s kotomerom in poiščite njihovo vsoto. Rezultate zapišite v zvezek (poslušajte prejete odgovore). Ugotovimo, da je vsota kotov pri vsakem drugačna (lahko se zgodi, ker ni bil pravilno nameščen kotomer, je bil malomaren izračun ipd.).

Prepogni vzdolž črtkanih črt in ugotovi, čemu je še enaka vsota kotov trikotnika:

A)
Slika 2

b)
Slika 3

V)
Slika 4

G)
Slika 5

d)
Slika 6

Po opravljenem praktičnem delu učenci oblikujejo odgovor: Vsota kotov trikotnika je enaka stopinjski meri razgrnjenega kota, to je 180°.

Učitelj: Pri matematiki praktično delo omogoča le kakšno trditev, ki pa jo je treba dokazati. Trditev, katere veljavnost je dokazana, se imenuje izrek. Kateri izrek lahko oblikujemo in dokažemo?

Študenti: Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj.

Zgodovinski podatki: Lastnost vsote kotov trikotnika je bila ugotovljena v starem Egiptu. Dokaz, naveden v sodobnih učbenikih, je vsebovan v Proklovem komentarju na Evklidove Elemente. Proklo trdi, da so ta dokaz (slika 8) odkrili Pitagorejci (5. stoletje pr. n. št.). V prvi knjigi Elementov Evklid poda še en dokaz izreka o vsoti kotov trikotnika, ki ga je enostavno razumeti s pomočjo risbe (slika 7):

Slika 7

Slika 8

Risbe so prikazane na platnu preko projektorja.

Učitelj ponudi dokazovanje izreka z uporabo risb.

Nato se dokaz izvede z uporabo kompleksa za poučevanje in učenje "Živa matematika". Učitelj projicira dokaz izreka na računalnik.

Izrek o vsoti kotov trikotnika: "Vsota kotov trikotnika je 180°"

Slika 9

Dokaz:

A)

Slika 10

b)

Slika 11

V)

Slika 12

Učenci si v zvezke na kratko zapišejo dokaz izreka:

Izrek: Vsota kotov trikotnika je 180°.

Slika 13

podano:Δ ABC

Dokaži: A + B + C = 180°.

Dokaz:

Kar je bilo treba dokazati.

V. Phys. samo minuto.

VI. Razlaga novega materiala (nadaljevanje)

Posledico iz izreka o vsoti kotov trikotnika učenci izpeljejo samostojno, kar prispeva k razvoju sposobnosti oblikovanja lastnega stališča, izražanja in argumentiranja zanj:

V katerem koli trikotniku so vsi koti ostri ali pa sta dva ostra in tretji je top ali pravi..

Če ima trikotnik vse ostre kote, se imenuje ostrokoten.

Če je eden od kotov trikotnika tup, se imenuje topokoten.

Če je eden od kotov trikotnika pravi, se imenuje pravokotne.

Izrek o vsoti kotov trikotnika nam omogoča, da trikotnike razvrstimo ne samo po stranicah, temveč tudi po kotih. (Ko učenci predstavijo vrste trikotnikov, učenci izpolnijo tabelo)

Tabela 1

Trikotni pogled	Enakokraki	Enakostranični	Vsestranski
Pravokoten
Topo
Ostrokotni

VII. Utrjevanje preučenega gradiva.

1. Ustno reši naloge:

(Risbe so prikazane na platnu preko projektorja)

Naloga 1. Poiščite kot C.

Slika 14

Naloga 2. Poiščite kot F.

Slika 15

Naloga 3. Poiščite kota K in N.

Slika 16

Naloga 4. Poiščite kota P in T.

Slika 17

1. Nalogo št. 223 (b, d) rešite sami.
2. Rešite nalogo na tabli in v zvezkih, učenec št. 224.
3. Vprašanja: Ali ima lahko trikotnik: a) dva prava kota; b) dva topega kota; c) en pravi in ​​en top kot.
4. (ustno) Karte na vsaki mizi prikazujejo različne trikotnike. Na oko določite vrsto vsakega trikotnika.

Slika 18

1. Poiščite vsoto kotov 1, 2 in 3.

Slika 19

VIII. Povzetek lekcije.

Učitelj: Kaj smo se naučili? Ali je izrek uporaben za kateri koli trikotnik?

IX. Odsev.

Povejte mi svoje razpoloženje, fantje! Na hrbtni strani trikotnika upodobite svoje obrazne izraze.

Slika 20

domača naloga: odstavek 30 (1. del), vprašanje 1 pog. IV stran 89 učbenika; št. 223 (a, c), št. 225.

>>Geometrija: Vsota kotov trikotnika. Popolne lekcije

TEMA LEKCIJE: Vsota kotov trikotnika.

Cilji lekcije:

• Utrjevanje in preverjanje znanja študentov na temo: "Vsota kotov trikotnika";
• Dokaz o lastnostih kotov trikotnika;
• Uporaba te lastnosti pri reševanju preprostih problemov;
• Uporaba zgodovinskega gradiva za razvoj kognitivne dejavnosti učencev;
• Vzgajanje spretnosti natančnosti pri konstruiranju risb.

Cilji lekcije:

• Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Načrt lekcije:

1. Trikotnik;
2. Izrek o vsoti kotov trikotnika;
3. Primeri nalog.

Trikotnik.

Datoteka: O.gif Trikotnik- najpreprostejši mnogokotnik, ki ima 3 oglišča (kote) in 3 stranice; del ravnine, ki ga omejujejo tri točke, in trije odseki, ki povezujejo te točke v parih.
Tri točke v prostoru, ki ne ležijo na isti premici, ustrezajo eni in samo eni ravnini.
Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike - ta postopek se imenuje triangulacija.
Obstaja del matematike, ki je v celoti posvečen preučevanju zakonov trikotnikov - Trigonometrija.

Izrek o vsoti kotov trikotnika.

File:T.gif Izrek o vsoti kotov trikotnika je klasičen izrek evklidske geometrije, ki pravi, da je vsota kotov trikotnika 180°.

dokaz" :

Naj bo podan Δ ABC. Skozi oglišče B narišimo premico, vzporedno z (AC), in na njej označimo točko D tako, da bosta točki A in D ležali na nasprotnih straneh premice BC. Tedaj sta kot (DBC) in kot (ACB) enaka kot notranji križno ležeči z vzporednima premicama BD in AC ter sekanto (BC). Potem je vsota kotov trikotnika pri ogliščih B in C enaka kotu (ABD). Toda kot (ABD) in kot (BAC) pri oglišču A trikotnika ABC sta notranji enostranici z vzporednima premicama BD in AC ter sekanto (AB), njuna vsota pa je 180°. Zato je vsota kotov trikotnika 180°. Izrek je dokazan.

Posledice.

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh kotov trikotnika, ki mu ne ležita.

Dokaz:

Naj bo podan Δ ABC. Točka D leži na premici AC tako, da A leži med C in D. Potem je BAD zunanja glede na kot trikotnika pri oglišču A in A + BAD = 180°. Toda A + B + C = 180°, zato je B + C = 180° – A. Zato je BAD = B + C. Posledica je dokazana.

Posledice.

Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli kota trikotnika, ki mu ni soseden.

Naloga.

Zunanji kot trikotnika je kot, ki meji na kateri koli kot trikotnika. Dokaži, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh kotov trikotnika, ki mu ne mejita.
(slika 1)

rešitev:

Naj bo v Δ ABC ∠DAС zunanji (slika 1). Potem je ∠DAC = 180°-∠BAC (po lastnosti sosednjih kotov), ​​po izreku o vsoti kotov trikotnika ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz teh enakosti dobimo ∠DAС=∠В+∠С

Zanimivost:

Vsota kotov trikotnika" :

V geometriji Lobačevskega je vsota kotov trikotnika vedno manjša od 180. V evklidski geometriji je vedno enaka 180. V Riemannovi geometriji je vsota kotov trikotnika vedno večja od 180.

Iz zgodovine matematike:

Evklid (3. stoletje pr. n. št.) v svojem delu "Elementi" daje naslednjo definicijo: "Vzporedne črte so črte, ki so v isti ravnini in se neskončno raztezajo v obe smeri in se ne srečajo na nobeni strani."
Posidonij (1. stoletje pr. n. št.) "Dve ravni črti, ki ležita v isti ravnini, enako oddaljeni druga od druge"
Starogrški znanstvenik Papus (III. stoletje pr. n. št.) je predstavil simbol vzporednih črt - znak =. Pozneje je angleški ekonomist Ricardo (1720-1823) ta simbol uporabil kot znak enačaja.
Šele v 18. stoletju so začeli uporabljati simbol za vzporedne črte - znak ||.
Živa povezava med generacijami se ne prekine niti za trenutek; vsak dan se učimo izkušenj, ki so jih nabrali naši predniki. Stari Grki so na podlagi opazovanj in praktičnih izkušenj sklepali, izražali hipoteze, nato pa so na srečanjih znanstvenikov - simpozijih (dobesedno "praznik") - poskušali te hipoteze utemeljiti in dokazati. Takrat se je pojavila izjava: "Resnica se rodi v sporu."

vprašanja:

1. Kaj je trikotnik?
2. Kaj pravi izrek o vsoti kotov trikotnika?
3. Kolikšen je zunanji kot trikotnika?

Ta izrek je formuliran tudi v učbeniku L.S. , in v učbeniku Pogorelova A.V. . Dokazi tega izreka v teh učbenikih se bistveno ne razlikujejo, zato predstavljamo njegov dokaz na primer iz učbenika A. V. Pogorelova.

Izrek: Vsota kotov trikotnika je 180°

Dokaz. Naj bo ABC dani trikotnik. Narišimo premico skozi oglišče B vzporedno s premico AC. Na njej označimo točko D tako, da bosta točki A in D ležali na nasprotnih straneh premice BC (slika 6).

Kota DBC in ACB sta enaka kot notranja navzkrižno ležeča, tvorita sekanta BC z vzporednima premicama AC in BD. Zato je vsota kotov trikotnika pri ogliščih B in C enaka kotu ABD. In vsota vseh treh kotov trikotnika je enaka vsoti kotov ABD in BAC. Ker sta to enostraniška notranja kota za vzporednika AC in BD ter sekanto AB, je njuna vsota 180°. Izrek je dokazan.

Ideja tega dokaza je narisati vzporedno črto in pokazati, da so zahtevani koti enaki. Rekonstruirajmo idejo takšne dodatne konstrukcije z dokazovanjem tega izreka s konceptom miselnega eksperimenta. Dokaz izreka z miselnim eksperimentom. Predmet našega miselnega poskusa so torej koti trikotnika. Miselno ga postavimo v pogoje, v katerih se njegovo bistvo lahko razkrije s posebno gotovostjo (1. stopnja).

Takšni pogoji bodo takšna razporeditev vogalov trikotnika, v kateri bodo vsa tri njihova oglišča združena na eni točki. Takšna kombinacija je mogoča, če dovolimo možnost »premikanja« vogalov s premikanjem stranic trikotnika brez spreminjanja naklonskega kota (slika 1). Takšni gibi so v bistvu naknadne duševne transformacije (2. stopnja).

Z označevanjem kotov in stranic trikotnika (sl. 2), kotov, ki jih dobimo s »premikanjem«, s tem miselno oblikujemo okolje, sistem povezav, v katerega postavljamo predmet razmišljanja (3. stopnja).

Premica AB, ki se "premika" vzdolž črte BC in ne da bi spremenila kot naklona nanjo, prenese kot 1 na kot 5 in "premikne" vzdolž črte AC, prenese kot 2 na kot 4. Ker s takšnim "gibanjem" črta AB ne spremeni naklonskega kota na premici AC in BC, potem je sklep očiten: žarka a in a1 sta vzporedna z AB in se spreminjata drug v drugega, žarka b in b1 pa sta nadaljevanje stranic BC oziroma AC. Ker sta kot 3 in kot med žarkoma b in b1 navpična, sta enaka. Vsota teh kotov je enaka zasukanemu kotu aa1 – kar pomeni 180°.

ZAKLJUČEK

V nalogi so bili s strukturo miselnega eksperimenta izvedeni »konstruirani« dokazi nekaterih šolskih geometrijskih izrekov, ki so potrdili postavljeno hipotezo.

Predstavljeni dokazi so temeljili na takšnih vizualnih in čutnih idealizacijah: »stiskanje«, »raztezanje«, »drsenje«, ki so omogočile preoblikovanje izvirnega geometrijskega objekta na poseben način in poudarjanje njegovih bistvenih lastnosti, kar je značilno za misel. poskus. V tem primeru miselni eksperiment deluje kot določeno "ustvarjalno orodje", ki prispeva k nastanku geometrijskega znanja (na primer o srednji črti trapeza ali kotih trikotnika). Takšne idealizacije omogočajo razumevanje celotne ideje dokaza, ideje o izvedbi "dodatne konstrukcije", kar nam omogoča, da govorimo o možnosti bolj zavestnega razumevanja procesa formalnega deduktivnega dokaza s strani šolarjev. geometrijski izreki.

Miselni eksperiment je ena od osnovnih metod za pridobivanje in odkrivanje geometrijskih izrekov. Treba je razviti metodologijo za prenos metode na študenta. Odprto ostaja vprašanje o starosti študenta, ki je sprejemljiva za »sprejemanje« metode, o »stranskih učinkih« tako predstavljenih dokazov.

Ta vprašanja zahtevajo nadaljnje študije. Vsekakor pa je nekaj gotovo: miselni eksperiment pri šolarjih razvija teoretično mišljenje, je njegova osnova, zato je treba sposobnost miselnega eksperimentiranja razvijati.

"Povej mi in pozabil bom,
Pokaži mi in zapomnil si bom
Vključi me in naučil se bom«
Vzhodni pregovor

Namen: Dokažite izrek o vsoti kotov trikotnika, vadite reševanje nalog z uporabo tega izreka, razvijajte kognitivno dejavnost učencev z uporabo dodatnega gradiva iz različnih virov in razvijajte sposobnost poslušanja drugih.

Oprema: Kotomer, ravnilo, modeli trikotnikov, razpoloženjski trak.

NAPREDEK POUKA

1. Organizacijski trenutek.

Označite svoje razpoloženje na začetku lekcije na traku razpoloženja.

2. Ponavljanje.

Ponovite pojme, ki jih bomo uporabili pri dokazovanju izreka: lastnosti kotov z vzporednimi premicami, definicija razvitega kota, stopinjska mera razvitega kota.

3. Novo gradivo.

3.1. Praktično delo.

Vsak učenec ima tri modele trikotnika: ostrokotnega, pravokotnega in topokotnega. Predlaga se merjenje kotov trikotnika in iskanje njihove vsote. Analizirajte rezultat. Dobite lahko vrednosti 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 stopinj. Izračunajte aritmetično sredino (=180°). Priporočljivo je, da si zapomnite, kdaj imajo koti stopnjo 180 stopinj. Učenci si zapomnijo, da je to ravni kot in vsota enostranskih kotov.

Poskusimo z origamijem izračunati vsoto kotov trikotnika.

Zgodovinsko ozadje

Origami (japonsko, dobesedno: "zložen papir") je starodavna umetnost zgibanja papirnatih figur. Umetnost origamija ima svoje korenine v starodavni Kitajski, kjer so odkrili papir.

3.2. Dokaz izreka iz učbenika Atanasyana L.S.

Izrek o vsoti kotov trikotnika.

Dokažimo enega najpomembnejših izrekov geometrije - izrek o vsoti kotov trikotnika.

Izrek. Vsota kotov trikotnika je 180°.

Dokaz. Vzemimo poljuben trikotnik ABC in dokažimo, da je A + B + C = 180°.

Skozi oglišče B narišimo premico a, vzporedno s stranico AC. Kota 1 in 4 sta navzkrižno ležeča kota, kadar vzporednici a in AC seka sekanta AB, kota 3 in 5 pa sta navzkrižno ležeča kota, kadar isti vzporednici sekata sekanta BC. Zato je kot 4 enak kotu 1, kot 5 je enak kotu 3.

Očitno je, da je vsota kotov 4, 2 in 5 enaka razgrnjenemu kotu z ogliščem B, to je kot 4 + kot 2 + kot 5 = 180°. Od tod ob upoštevanju prejšnjih enakosti dobimo: kot 1 + kot 2+ kot 3 = 180° ali A + B+ C = 180°. Izrek je dokazan.

3.3. Dokaz izreka iz učbenika A. V. Pogorelova.

Dokaži: A + B + C = 180°

Dokaz:

1. Skozi oglišče B nariši premico BD // AC

2. DBC=ACB, ki leži navzkrižno na AC//BD in sekanti BC.

3. ABD =ACB +CBD

Zato je A + B + C = ABD + BAC

4. ABD in BAC sta enostrani z BD // AC in sekanto AB, kar pomeni, da je njuna vsota enaka 180 °, tj. A+B + C=180°, kar je bilo treba dokazati.

3. 4. Dokaz izreka iz učbenika Kiselev A.N., Rybkina N.A.

podano: ABC

Dokaži: A+B +C=180°

Dokaz:

1. Nadaljujmo stran AC. Izvedli bomo SE//AV

2. A=ESD, kar ustreza AB//CE in AD - sekanta

3. B = ALL, ki leži navzkrižno na AB//CE in BC - sekanta.

4. ESD + ALL + C = 180 °, kar pomeni A + B + C = 180 °, kar je bilo treba dokazati.

3.5. Posledice 1. V katerem koli trikotniku so vsi koti ostri ali pa sta dva kota ostra, tretji pa topi ali ravni.

Posledica 2.

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti drugih dveh kotov trikotnika, ki mu ne mejita.

3.6. Izrek nam omogoča, da trikotnike razvrstimo ne samo po stranicah, ampak tudi po kotih.

Trikotni pogled	Enakokraki	Enakostranični	Vsestranski
pravokotne
obtusen
ostrokoten

4. Utrjevanje.

4.1. Reševanje problemov z uporabo že pripravljenih risb.

Poiščite neznane kote trikotnika.

4.2. Preizkus znanja.

1. Na koncu naše lekcije odgovorite na vprašanja:

Ali obstajajo trikotniki s koti:

a) 30, 60, 90 stopinj,

b) 46, 4, 140 stopinj,

c) 56, 46, 72 stopinj?

2. Ali ima lahko trikotnik:

a) dva topa kota,

b) top in pravi kot,

c) dva prava kota?

3. Določi vrsto trikotnika, če ima en kot 45 stopinj, drugi pa 90 stopinj.

4. V katerem trikotniku je vsota kotov večja: ostrem, topem ali pravokotnem?

5. Ali je možno izmeriti kote katerega koli trikotnika?

To je šaljivo vprašanje, ker... V Atlantskem oceanu med Bermudi, zvezno državo Portoriko in polotokom Florida se nahaja Bermudski trikotnik, katerega kotov ni mogoče izmeriti. (Priloga 1)

5. Povzetek lekcije.

Označite svoje razpoloženje ob koncu lekcije na traku razpoloženja.

domača naloga.

Str. 30–31; št. 223 a, b; št. 227 a; delovni zvezek 116, 118.