Naključne spremenljivke. Diskretna naključna spremenljivka, zakon porazdelitve verjetnosti

Podana je vrsta porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Poiščite manjkajočo verjetnost in narišite porazdelitveno funkcijo. Izračunajte matematično pričakovanje in varianco te količine.

Naključna spremenljivka X ima samo štiri vrednosti: -4, -3, 1 in 2. Vsako od teh vrednosti zavzame z določeno verjetnostjo. Ker mora biti vsota vseh verjetnosti enaka 1, je manjkajoča verjetnost enaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sestavimo porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Znano je, da porazdelitvena funkcija , potem:

torej

Narišimo funkcijo F(x) .

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je enako vsoti produktov vrednosti naključne spremenljivke in ustrezne verjetnosti, tj.

Varianco diskretne naključne spremenljivke najdemo po formuli:

UPORABA

Elementi kombinatorike Tukaj: - faktoriel števila

Ukrepi na dogodkih Dogodek je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot posledica izkušnje. Združevanje dogodkov A in IN- to je dogodek Z ki je sestavljen iz pojava ali dogodka A, ali dogodki IN, ali oba dogodka hkrati. Oznaka: ; Crossing Dogodki A in IN- to je dogodek Z, ki je sestavljen iz hkratnega pojava obeh dogodkov. Oznaka: ;

Klasična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A je razmerje med številom poskusov , ugodno za nastanek dogodka A, na skupno število poskusov :

Formula za množenje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: - verjetnost dogodka A, - verjetnost dogodka IN, - verjetnost dogodka IN pod pogojem, da dogodek A se je že zgodilo. Če sta dogodka A in B neodvisna (pojav enega ne vpliva na nastop drugega), je verjetnost dogodka enaka:

Formula za seštevanje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: Verjetnost dogodka A, Verjetnost dogodka IN, - verjetnost sopojavitve dogodkov A in IN. Če sta dogodka A in B nekompatibilna (se ne moreta zgoditi hkrati), je verjetnost dogodka enaka:

Formula skupne verjetnosti Naj dogodek A se lahko zgodi hkrati z enim od dogodkov , , …, - recimo jim hipoteze. Znano tudi - verjetnost izvedbe i-ta hipoteza in - verjetnost pojava dogodka A pri izvedbi i-ta hipoteza. Nato verjetnost dogodka A lahko najdete po formuli:

Bernoullijeva shema Naj bo n neodvisnih testov. Verjetnost pojava (uspeha) dogodka A v vsakem od njih stalna in enaka str, verjetnost okvare (tj. dogodka, ki se ne zgodi A) q = 1 - str. Nato verjetnost pojava k uspeh v n teste je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule: Najverjetneje število uspehov v Bernoullijevi shemi je to število pojavov določenega dogodka, ki ima največjo verjetnost.

Najdete ga lahko po formuli: Naključne spremenljivke diskretno zvezno (na primer število deklet v družini s 5 otroki) (na primer čas, ko kotliček pravilno deluje) Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bo diskretna količina podana z nizom porazdelitve: X R , , …, - vrednosti naključne spremenljivke; X , , …, so ustrezne vrednosti verjetnosti. Distribucijska funkcija , , …, - vrednosti naključne spremenljivke Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke , , …, - vrednosti naključne spremenljivke je funkcija, definirana na celotni številski premici in enaka verjetnosti, da bo manj:

X

Vprašanja za izpit

Dogodek. Operacije na naključnih dogodkih.

Koncept verjetnosti dogodka.

Pravila za seštevanje in množenje verjetnosti.

Pogojne verjetnosti.

Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula.

Bernoullijeva shema.

Naključna spremenljivka, njena porazdelitvena funkcija in porazdelitvena vrsta.

Osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.

Matematično pričakovanje. Lastnosti matematičnega pričakovanja.

Razpršenost. Lastnosti disperzije.

Porazdelitev gostote verjetnosti enodimenzionalne naključne spremenljivke.

Vrste porazdelitev: enakomerna, eksponentna, normalna, binomska in Poissonova porazdelitev.

Lokalni in integralni Moivre-Laplaceov izrek.

Zakon in porazdelitvena funkcija sistema dveh naključnih spremenljivk.

Gostota porazdelitve sistema dveh slučajnih spremenljivk.

Pogojni zakoni porazdelitve, pogojno matematično pričakovanje.

Odvisne in neodvisne naključne spremenljivke.

Korelacijski koeficient.

Vzorec. Obdelava vzorcev. Poligon in frekvenčni histogram. Empirična porazdelitvena funkcija.

• Koncept ocenjevanja porazdelitvenih parametrov.
• Zahteve za ocenjevanje. Interval zaupanja. Konstrukcija intervalov za ocenjevanje matematičnega pričakovanja in standardnega odklona.
• Statistične hipoteze. Merila privolitve.
• Izpostavimo lahko najpogostejše zakone porazdelitve diskretnih naključnih spremenljivk:

Za dane porazdelitve diskretnih naključnih spremenljivk se izračun verjetnosti njihovih vrednosti, pa tudi numeričnih značilnosti (matematično pričakovanje, varianca itd.) Izvede z uporabo določenih "formul". Zato je zelo pomembno poznati te vrste porazdelitev in njihove osnovne lastnosti.

1. Binomski zakon porazdelitve.

Za diskretno naključno spremenljivko $X$ velja zakon binomske porazdelitve verjetnosti, če ima vrednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\levo(1-p\desno))^(n-k)$. Pravzaprav je naključna spremenljivka $X$ število pojavitev dogodka $A$ v $n$ neodvisnih poskusih. Zakon verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pike & n \\
\hline
p_i & P_n\levo(0\desno) & P_n\levo(1\desno) & \pike & P_n\levo(n\desno) \\
\hline
\konec(matrika)$

Za takšno naključno spremenljivko je matematično pričakovanje $M\left(X\right)=np$, varianca je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Primer . Družina ima dva otroka. Ob predpostavki, da je verjetnost, da bosta imela fantka in deklico, enaka $0,5$, poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke $\xi$ - števila fantov v družini.

Naj bo naključna spremenljivka $\xi $ število fantov v družini. Vrednosti, ki jih $\xi lahko sprejme:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Verjetnosti teh vrednosti je mogoče najti s formulo $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kjer je $n =2$ število neodvisnih poskusov, $p=0,5$ je verjetnost, da se dogodek zgodi v nizu $n$ poskusov. Dobimo:

$P\levo(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\levo(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\levo(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\levo(1-0,5\desno))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25 $

Potem je porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $\xi $ ujemanje med vrednostmi $0,\ 1,\ 2$ in njihovimi verjetnostmi, to je:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\konec(matrika)$

Vsota verjetnosti v zakonu porazdelitve mora biti enaka $1$, to je $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 dolar.

Pričakovanje $M\levo(\xi \desno)=np=2\cdot 0,5=1$, varianca $D\levo(\xi \desno)=np\levo(1-p\desno)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardna deviacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \desno))=\sqrt(0,5 )\približno 0,707 $.

2. Poissonov zakon porazdelitve.

Če lahko diskretna naključna spremenljivka $X$ sprejme samo nenegativne cele vrednosti $0,\ 1,\ 2,\ \pike ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\nad (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentiraj. Posebnost te porazdelitve je, da na podlagi eksperimentalnih podatkov najdemo ocene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, če so dobljene ocene blizu druga drugi, potem imamo razlog za trditev, da je naključna spremenljivka podvržena Poissonovemu zakonu porazdelitve.

Primer . Primeri naključnih spremenljivk, za katere velja Poissonov zakon porazdelitve, so lahko: število avtomobilov, ki jih bo jutri oskrbovala bencinska črpalka; število pokvarjenih artiklov v proizvedenih izdelkih.

Primer . Tovarna je v bazo poslala izdelkov za 500 $. Verjetnost poškodbe izdelka med prevozom je 0,002 $. Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke $X$, ki je enaka številu poškodovanih izdelkov; kaj je $M\levo(X\desno),\ D\levo(X\desno)$.

Naj bo diskretna naključna spremenljivka $X$ število poškodovanih izdelkov. Za takšno naključno spremenljivko velja Poissonov zakon porazdelitve s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Verjetnosti vrednosti so enake $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\levo(X=0\desno)=((1^0)\nad (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\levo(X=1\desno)=((1^1)\nad (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\levo(X=2\desno)=((1^2)\čez (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\levo(X=3\desno)=((1^3)\čez (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\levo(X=4\desno)=((1^4)\nad (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\levo(X=5\desno)=((1^5)\nad (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\levo(X=6\desno)=((1^6)\nad (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\nad (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\nad (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\konec(matrika)$

Za takšno naključno spremenljivko sta matematično pričakovanje in varianca enaka drug drugemu in enaka parametru $\lambda $, to je $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Geometrični porazdelitveni zakon.

Če lahko diskretna naključna spremenljivka $X$ zavzame le naravne vrednosti $1,\ 2,\ \pike ,\ n$ z verjetnostmi $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \pike $, potem pravijo, da je taka naključna spremenljivka $X$ predmet geometrijskega zakona porazdelitve verjetnosti. Pravzaprav je geometrijska porazdelitev Bernoullijev test do prvega uspeha.

Primer . Primeri naključnih spremenljivk, ki imajo geometrijsko porazdelitev, so lahko: število strelov pred prvim zadetkom v tarčo; število preizkusov naprave do prve okvare; število metov kovancev, dokler se ne pojavi prva glava itd.

Matematično pričakovanje in varianca naključne spremenljivke, ki je predmet geometrijske porazdelitve, sta enako $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Primer . Na poti premikanja rib do mesta drstitve je ključavnica $4$. Verjetnost, da gre riba skozi vsako zaporo, je $p=3/5$. Konstruirajte niz porazdelitev naključne spremenljivke $X$ - število zapornic, ki jih ribe prečkajo pred prvim zadržanjem na zapornici. Poiščite $M\levo(X\desno),\ D\levo(X\desno),\ \sigma \levo(X\desno)$.

Naj bo naključna spremenljivka $X$ število zapornic, ki jih riba preleti pred prvo zaustavitvijo na zapornici. Za takšno naključno spremenljivko velja geometrijski zakon porazdelitve verjetnosti. Vrednosti, ki jih lahko zavzame naključna spremenljivka $X: $ 1, 2, 3, 4. Verjetnosti teh vrednosti se izračunajo po formuli: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kjer je: $ p=2/5$ - verjetnost, da bo riba zadržana skozi zapornico, $q=1-p=3/5$ - verjetnost, da bo riba šla skozi zapornico, $k=1,\ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\levo(X=1\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^0=((2)\ nad (5))=0,4;$

$P\levo(X=2\desno)=((2)\nad (5))\cdot ((3)\nad (5))=((6)\nad (25))=0,24 $

$P\levo(X=3\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^2=((2)\ nad (5))\cdot ((9)\nad (25))=((18)\nad (125))=0,144;$

$P\levo(X=4\desno)=((2)\nad (5))\cdot (\levo(((3)\nad (5))\desno))^3+(\levo(( (3)\nad (5))\desno))^4=((27)\nad (125))=0,216.$

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\levo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\konec(matrika)$

Matematično pričakovanje:

$M\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Razpršenost:

$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2=)0,4\cdot (\ levo( 1-2176\desno))^2+0,24\cdot (\levo(2-2176\desno))^2+0,144\cdot (\levo(3-2176\desno))^2+$

$+\0,216\cdot (\levo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$

Standardni odklon:

$\sigma \levo(X\desno)=\sqrt(D\levo(X\desno))=\sqrt(1377)\približno 1173.$

4. Hipergeometrični zakon porazdelitve.

Če $N$ objektov, med katerimi ima $m$ objektov dano lastnost. $n$ objektov je naključno pridobljenih brez vrnitve, med katerimi je bilo $k$ objektov, ki imajo dano lastnost. Hipergeometrična porazdelitev omogoča oceno verjetnosti, da ima točno $k$ predmetov v vzorcu določeno lastnost. Naj bo naključna spremenljivka $X$ število predmetov v vzorcu, ki imajo določeno lastnost. Potem so verjetnosti vrednosti naključne spremenljivke $X$:

$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\nad (C^n_N))$

Komentiraj. Statistična funkcija HYPERGEOMET čarovnika za funkcije Excel $f_x$ omogoča določitev verjetnosti, da bo določeno število testov uspešno.

$f_x\to$ statistični$\do$ HIPERGEOMET$\do$ OK. Prikaže se pogovorno okno, ki ga morate izpolniti. V kolumni Število_uspehov_v_vzorcu navedite vrednost $k$. velikost_vzorca je enako $n$. V kolumni Število_uspehov_skupaj navedite vrednost $m$. velikost_populacije je enako $N$.

Matematično pričakovanje in varianca diskretne naključne spremenljivke $X$, za katero velja zakon geometrijske porazdelitve, sta enako $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\levo(1 -((m)\nad (N))\desno)\levo(1-((n)\nad (N))\desno))\nad (N-1))$.

Primer . V kreditnem oddelku banke je zaposlenih 5 strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo in 3 strokovnjaki z višjo pravno izobrazbo. Vodstvo banke se je odločilo poslati 3 strokovnjake, da izboljšajo svoje kvalifikacije, in jih izbralo v naključnem vrstnem redu.

a) Naredite razdelitveno serijo za število strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo, ki jih je mogoče poslati, da izboljšajo svoje znanje;

b) Poiščite numerične značilnosti te porazdelitve.

Naj bo slučajna spremenljivka $X$ število strokovnjakov z višjo finančno izobrazbo med tremi izbranimi. Vrednosti, ki jih lahko sprejme $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ta naključna spremenljivka $X$ je porazdeljena v skladu s hipergeometrično porazdelitvijo z naslednjimi parametri: $N=8$ - velikost populacije, $m=5$ - število uspehov v populaciji, $n=3$ - velikost vzorca, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - število uspehov v vzorcu. Potem lahko verjetnosti $P\left(X=k\right)$ izračunate z uporabo formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ nad C_( N)^(n) ) $. Imamo:

$P\levo(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\nad (C^3_8))=((1)\nad (56))\približno 0,018;$

$P\levo(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (56))\približno 0,268;$

$P\levo(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (28))\približno 0,536;$

$P\levo(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\nad (C^3_8))=((5)\nad (28))\približno 0,179.$

Nato porazdelitveni niz naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\konec(matrika)$

Izračunajmo numerične značilnosti naključne spremenljivke $X$ z uporabo splošnih formul hipergeometrične porazdelitve.

$M\levo(X\desno)=((nm)\nad (N))=((3\cdot 5)\nad (8))=((15)\nad (8))=1875.$

$D\levo(X\desno)=((nm\levo(1-((m)\nad (N))\desno)\levo(1-((n)\nad (N))\desno)) \nad (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\nad (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\nad (8) ))\desno))\nad (8-1))=((225)\nad (448))\približno 0,502.$

$\sigma \levo(X\desno)=\sqrt(D\levo(X\desno))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$

Izobraževalna ustanova "Beloruska država

kmetijska akademija"

Oddelek za višjo matematiko

Smernice

za študij teme “Naključne spremenljivke” s strani študentov Fakultete za računovodstvo za dopisno izobraževanje (NISPO)

Gorki, 2013

Naključne spremenljivke

Diskretne in zvezne naključne spremenljivke

Eden glavnih pojmov v teoriji verjetnosti je koncept naključna spremenljivka . Naključna spremenljivka je količina, ki zaradi testiranja zavzame samo eno izmed svojih številnih možnih vrednosti, pri čemer ni vnaprej znano, katero.

Obstajajo naključne spremenljivke diskretno in kontinuirano . Diskretna naključna spremenljivka (DRV) je naključna spremenljivka, ki lahko prevzame končno število medsebojno izoliranih vrednosti, tj. če je možne vrednosti te količine mogoče preračunati. Zvezna naključna spremenljivka (CNV) je naključna spremenljivka, katere vse možne vrednosti v celoti zapolnijo določen interval številske premice.

Naključne spremenljivke označujemo z velikimi črkami latinice X, Y, Z itd. Možne vrednosti naključnih spremenljivk so označene z ustreznimi malimi črkami.

Zapis
pomeni "verjetnost, da naključna spremenljivka , , …, - vrednosti naključne spremenljivke bo imel vrednost 5, kar je enako 0,28."

Primer 1 . , , …, - vrednosti naključne spremenljivke Kocka se vrže enkrat. V tem primeru se lahko pojavijo številke od 1 do 6, ki označujejo število točk. Označimo naključno spremenljivko , , …, - vrednosti naključne spremenljivke=(število vrženih točk). Ta naključna spremenljivka kot rezultat testa lahko zavzame samo eno od šestih vrednosti: 1, 2, 3, 4, 5 ali 6. Zato je naključna spremenljivka

obstaja DSV. Primer 2 . Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko X , , …, - vrednosti naključne spremenljivke=(razdalja leta kamna). Ta naključna spremenljivka lahko sprejme katero koli, vendar samo eno vrednost iz določenega intervala. Zato je naključna spremenljivka

tam je NSV.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke .

Če so znane vse možne vrednosti
naključna spremenljivka , , …, - vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti
videz teh vrednosti, potem se verjame, da zakon porazdelitve DSV , , …, - vrednosti naključne spremenljivke je znan in ga lahko zapišemo v obliki tabele:

Porazdelitveni zakon DSV je mogoče grafično prikazati, če so točke upodobljene v pravokotnem koordinatnem sistemu
,
, …,
in jih povežite z ravnimi črtami. Nastali lik se imenuje porazdelitveni poligon.

Primer 3 . Zrnje, namenjeno čiščenju, vsebuje 10 % plevela. Naključno so bila izbrana 4 zrna. Označimo naključno spremenljivko . Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko=(število plevelov med štirimi izbranimi). Konstruirajte distribucijski zakon DSV , , …, - vrednosti naključne spremenljivke in distribucijski poligon.

rešitev . Glede na pogoje primera. Nato:

Zapišimo porazdelitveni zakon DSV X v obliki tabele in zgradimo porazdelitveni poligon:

Pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Najpomembnejše lastnosti diskretne naključne spremenljivke opisujejo njene značilnosti. Ena od teh značilnosti je matematično pričakovanje naključna spremenljivka.

Naj bo poznan distribucijski zakon DSV , , …, - vrednosti naključne spremenljivke:

Matematično pričakovanje DSV , , …, - vrednosti naključne spremenljivke je vsota produktov vsake vrednosti te količine in ustrezne verjetnosti:
.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je približno enako aritmetični sredini vseh njenih vrednosti. Zato se v praktičnih problemih povprečna vrednost te naključne spremenljivke pogosto vzame kot matematično pričakovanje.

Primer 8 . Strelec doseže 4, 8, 9 in 10 točk z verjetnostmi 0,1, 0,45, 0,3 in 0,15. Poiščite matematično pričakovanje števila točk z enim strelom.

rešitev . Označimo naključno spremenljivko . Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko=(število doseženih točk). Potem. Tako je pričakovano povprečno število točk, doseženih z enim strelom, 8,2, z 10 udarci pa 82.

Glavne lastnosti matematično pričakovanje je:

.

.

, Kje
,
.

.

, Kje , , …, - vrednosti naključne spremenljivke in Y so neodvisne naključne spremenljivke.

Razlika
klical odstopanje naključna spremenljivka , , …, - vrednosti naključne spremenljivke od svojega matematičnega pričakovanja. Ta razlika je naključna spremenljivka in njeno matematično pričakovanje je nič, tj.
.

Varianca diskretne naključne spremenljivke

Za karakterizacijo naključne spremenljivke poleg matematičnega pričakovanja uporabljamo tudi disperzija , ki omogoča oceno disperzije (širjenja) vrednosti naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja. Pri primerjavi dveh homogenih naključnih spremenljivk z enakimi matematičnimi pričakovanji se šteje za »najboljšo« vrednost tista, ki ima manjši razpon, tj. manjša disperzija.

Varianca naključna spremenljivka , , …, - vrednosti naključne spremenljivke se imenuje matematično pričakovanje kvadrata odklona naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja: .

V praktičnih nalogah se za izračun variance uporablja enakovredna formula.

Glavne lastnosti disperzije so:

.

Namen storitve. Spletni kalkulator se uporablja za sestavo tabele porazdelitve naključne spremenljivke X - števila izvedenih poskusov in za izračun vseh karakteristik serije: matematično pričakovanje, disperzija in standardni odklon. Poročilo z odločbo se sestavi v Word formatu.

Primer 1. V žari belo in črna žoga. Žoge se naključno izvlečejo iz žare, ne da bi se vrnile, dokler se ne pojavi bela krogla. Takoj ko se to zgodi, se postopek ustavi.
Ta vrsta nalog se nanaša na problem konstruiranja geometrijske porazdelitve.

Primer 2. Dva Trije strelci, vsak izstreli en strel v tarčo. Verjetnost, da ga prvi strelec zadene, je , drugič –

. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število zadetkov na tarči. , Primer 2a. Strelec izstreli dva tri štiri strele. Verjetnost zadetka z ustreznim strelom je enaka

. Če pride do prvega zgrešenega strelca, se ne udeleži nadaljnjih tekmovanj. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število zadetkov na tarči. Primer 3. V stranki iz podrobnosti pokvarjenih standardnih. Kontrolor žreba naključno
podrobnosti. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X – število okvarjenih dobrih delov v vzorcu. Podobna naloga
: V košarici je m rdečih in n modrih žog. K kroglic je naključno izžrebanih. Sestavite zakon porazdelitve DSV X - pojav modrih kroglic.

glejte druge primere rešitev. Primer 4. Verjetnost, da se dogodek zgodi v enem poskusu, je enaka . Proizvedeno
testi. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X - števila pojavitev dogodka.:
Podobne naloge za to vrsto distribucije
1. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X število zadetkov s štirimi streli, če je verjetnost zadetka tarče z enim strelom 0,8.

js-skript
Primer št. 1. Vržejo se trije kovanci. Verjetnost, da dobite grb v enem metu, je 0,5. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število izpadlih grbov.
rešitev.
Verjetnost, da ni bil izrisan noben emblem: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(1) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) =

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X:

. Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko	0	1	2	3
p	0,125	0,375	0,375	0,125

Preverite: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Primer št. 2. Verjetnost, da en strelec zadene tarčo z enim strelom, je za prvega strelca 0,8, za drugega strelca pa 0,85. Strelci so streljali po en strel v tarčo. Glede na to, da je zadetek v tarčo neodvisen dogodek za posamezne strelce, poiščite verjetnost dogodka A – natanko en zadetek v tarčo.
Primer št. 1. Vržejo se trije kovanci. Verjetnost, da dobite grb v enem metu, je 0,5. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število izpadlih grbov.
Razmislite o dogodku A - en zadetek v tarčo. Možne možnosti za izvedbo tega dogodka so naslednje:

1. Prvi strelec je zadel, drugi strelec je zgrešil: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Prvi strelec je zgrešil, drugi strelec je zadel tarčo: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Prva in druga puščica zadeneta tarčo neodvisno druga od druge: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Potem bo verjetnost dogodka A – natanko en zadetek v tarčo – enaka: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke".

Naloga 1 . Za loterijo je izdanih 100 srečk. Izžreban je bil en dobitek v višini 50 USD. in deset zmag po 10 USD. Poiščite zakon porazdelitve vrednosti X - stroškov možnih dobitkov.

rešitev. Možne vrednosti za X: x 1 = 0; x 2 = 10 in x 3 = 50. Ker je "praznih" listkov 89, potem je str 1 = 0,89, verjetnost dobitka 10 $. (10 vstopnic) – str 2 = 0,10 in dobite 50 USD -str 3 = 0,01. Torej:

	0,89	0,10	0,01

Enostaven nadzor: .

Naloga 2. Verjetnost, da je kupec vnaprej prebral oglas izdelka, je 0,6 (p = 0,6). Selektivni nadzor kakovosti oglaševanja se izvaja z anketiranjem kupcev pred prvim, ki je oglaševanje vnaprej preučil. Sestavite niz distribucije za število anketiranih kupcev.

Primer št. 1. Vržejo se trije kovanci. Verjetnost, da dobite grb v enem metu, je 0,5. Sestavite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X - število izpadlih grbov. Glede na pogoje problema je p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Če zamenjamo te vrednosti, dobimo: in sestavite distribucijsko serijo:

p i		0,24

Naloga 3. Računalnik je sestavljen iz treh neodvisno delujočih elementov: sistemske enote, monitorja in tipkovnice. Pri enkratnem močnem povečanju napetosti je verjetnost okvare vsakega elementa 0,1. Na podlagi Bernoullijeve porazdelitve sestavite porazdelitveni zakon za število okvarjenih elementov med sunkom napetosti v omrežju.

rešitev. Razmislimo Bernoullijeva porazdelitev(ali binom): verjetnost, da n testov, se bo dogodek A pojavil točno k enkrat: , ali:

	q n					str n

IN Vrnimo se k nalogi.

Možne vrednosti za X (število napak):

x 0 =0 – nobeden od elementov ni odpovedal;

x 1 =1 – okvara enega elementa;

x 2 =2 – okvara dveh elementov;

x 3 =3 – okvara vseh elementov.

Ker je po pogoju p = 0,1, potem je q = 1 – p = 0,9. Z uporabo Bernoullijeve formule dobimo

, ,

, .

Nadzor: .

Zato zahtevani distribucijski zakon:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Problem 4. Proizvedeno 5000 nabojev. Verjetnost, da je ena kartuša okvarjena . Kakšna je verjetnost, da bodo v celotni seriji natanko 3 okvarjene kartuše?

rešitev. Uporabno Poissonova porazdelitev: Ta porazdelitev se uporablja za določanje verjetnosti, da je za zelo veliko

število testov (masovnih testov), ​​pri vsakem od katerih je verjetnost dogodka A zelo majhna, se bo dogodek A zgodil k-krat: , Kje .

Tukaj je n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Najdemo , nato želeno verjetnost: .

Problem 5. Pri streljanju do prvega zadetka z verjetnostjo zadetka p = 0,6 pri streljanju morate najti verjetnost, da bo do zadetka prišlo ob tretjem strelu.

rešitev. Uporabimo geometrijsko porazdelitev: naj bodo izvedeni neodvisni poskusi, pri vsakem od katerih ima dogodek A verjetnost pojava p (in ne-pojavitve q = 1 – p). Test se konča takoj, ko pride do dogodka A.

Pod takimi pogoji je verjetnost, da se bo dogodek A zgodil v k-tem poskusu, določena s formulo: . Tukaj je p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Zato je .

Problem 6. Naj bo podan zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Poiščite matematično pričakovanje.

rešitev. .

Upoštevajte, da je verjetnostni pomen matematičnega pričakovanja povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Problem 7. Poiščite varianco naključne spremenljivke X z naslednjim zakonom porazdelitve:

rešitev. Tukaj .

Porazdelitveni zakon za kvadrat vrednosti X 2 :

X 2

Zahtevana varianca: .

Disperzija označuje mero odstopanja (razpršenosti) naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

Problem 8. Naj bo naključna spremenljivka podana s porazdelitvijo:

			10m

Poiščite njegove numerične značilnosti.

Rešitev: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za naključno spremenljivko X lahko rečemo: njeno matematično pričakovanje je 6,4 m z varianco 13,04 m 2 , oziroma – njegovo matematično pričakovanje je 6,4 m z odstopanjem m je očitno bolj jasno.

Naloga 9. Naključna spremenljivka. Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko podana z distribucijsko funkcijo:
.

Poiščite verjetnost, da bo kot rezultat testa vrednost X prevzela vrednost v intervalu .

rešitev. Verjetnost, da bo X prevzel vrednost iz danega intervala, je enaka prirastku integralne funkcije v tem intervalu, tj. . V našem primeru in torej

.

Naloga 10. Diskretna naključna spremenljivka. Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko ki ga določa distribucijski zakon:

Poiščite distribucijsko funkcijo F(x ) in ga narišite.

rešitev. Ker je distribucijska funkcija

Za , To

ob ;

ob ;

ob ;

ob ;

Ustrezen grafikon:

Problem 11. Zvezna naključna spremenljivka. Ko je kamen vržen, prepotuje določeno razdaljo. Označimo naključno spremenljivko podana z diferencialno porazdelitveno funkcijo: .

Poiščite verjetnost zadetka X na interval

rešitev. Upoštevajte, da je to poseben primer zakona eksponentne porazdelitve.

Uporabimo formulo: .

Naloga 12. Poiščite numerične značilnosti diskretne naključne spremenljivke X, določene z distribucijskim zakonom:

	–5
	X2: X 2 . , kje – Laplaceova funkcija. Vrednosti te funkcije najdete s tabelo. V našem primeru:. Iz tabele najdemo: , torej: