Stopnja aritmetične sredine. Razpršenost. Standardni odklon

Vrednosti, pridobljene iz izkušenj, neizogibno vsebujejo napake zaradi najrazličnejših razlogov. Med njimi je treba razlikovati med sistematičnimi in naključnimi napakami. Sistematske napake nastanejo zaradi razlogov, ki delujejo na zelo specifičen način in jih je vedno mogoče odpraviti ali dokaj natančno upoštevati. Naključne napake povzroča zelo veliko število posameznih vzrokov, ki jih ni mogoče natančno upoštevati in delujejo na različne načine pri vsaki posamezni meritvi. Teh napak ni mogoče popolnoma izključiti; upoštevamo jih lahko le povprečno, za kar je treba poznati zakonitosti, ki vladajo naključnim napakam.

Izmerjeno količino bomo označili z A, naključno napako pri merjenju pa z x. Ker lahko napaka x zavzame poljubno vrednost, je zvezna naključna spremenljivka, ki jo v celoti karakterizira njen porazdelitveni zakon.

Najenostavnejši in najbolj natančno odraža resničnost (v veliki večini primerov) je tako imenovana zakon normalne porazdelitve napak:

Ta porazdelitveni zakon je mogoče pridobiti iz različnih teoretičnih predpostavk, zlasti iz zahteve, da je najverjetnejša vrednost neznane količine, za katero se niz vrednosti z enako stopnjo natančnosti pridobi z neposrednim merjenjem, aritmetična sredina te vrednote. Pokliče se količina 2 disperzija tega običajnega zakona.

Aritmetična sredina

Določanje disperzije iz eksperimentalnih podatkov. Če za katero koli vrednost A dobimo n vrednosti a i z neposrednim merjenjem z enako natančnostjo in če so napake vrednosti A podvržene normalnemu zakonu porazdelitve, potem bo najverjetnejša vrednost A aritmetična sredina:

a - aritmetična sredina,

a i - izmerjena vrednost na i-tem koraku.

Odstopanje opazovane vrednosti (za vsako opazovanje) a i vrednosti A od aritmetična sredina: a i - a.

Za določitev variance normalnega zakona porazdelitve napak v tem primeru uporabite formulo:

2 - disperzija,
a - aritmetična sredina,
n - število meritev parametrov,

Standardni odklon

Standardni odklon prikazuje absolutno odstopanje izmerjenih vrednosti od aritmetična sredina. V skladu s formulo za mero točnosti linearne kombinacije povprečna kvadratna napaka Aritmetična sredina je določena s formulo:

, Kje

a - aritmetična sredina,
n - število meritev parametrov,
a i - izmerjena vrednost na i-tem koraku.

Koeficient variacije

Koeficient variacije označuje relativno mero odstopanja izmerjenih vrednosti od aritmetična sredina:

, Kje

V - koeficient variacije,
- standardni odklon,
a - aritmetična sredina.

Višja kot je vrednost koeficient variacije, relativno večja je razpršitev in manjša enakomernost proučevanih vrednosti. če koeficient variacije manj kot 10 %, potem se variabilnost serije variacij šteje za nepomembno, od 10 % do 20 % se šteje za povprečno, več kot 20 % in manj kot 33 % se šteje za pomembno in če koeficient variacije presega 33%, kar kaže na heterogenost informacij in potrebo po izločitvi največjih in najmanjših vrednosti.

Povprečno linearno odstopanje

Eden od kazalcev obsega in intenzivnosti variacije je povprečno linearno odstopanje(modul povprečnega odstopanja) od aritmetične sredine. Povprečno linearno odstopanje izračunano po formuli:

, Kje

_
a - povprečno linearno odstopanje,
a - aritmetična sredina,
n - število meritev parametrov,
a i - izmerjena vrednost na i-tem koraku.

Za preverjanje skladnosti proučevanih vrednosti z zakonom normalne porazdelitve se uporablja razmerje indikator asimetrije na svojo napako in odnos indikator kurtoze na svojo napako.

Indikator asimetrije

Indikator asimetrije(A) in njegova napaka (m a) se izračuna po naslednjih formulah:

, Kje

A - indikator asimetrije,
- standardni odklon,
a - aritmetična sredina,
n - število meritev parametrov,
a i - izmerjena vrednost na i-tem koraku.

Indikator kurtoze

Indikator kurtoze(E) in njegova napaka (m e) se izračuna po naslednjih formulah:

, Kje

Koren povprečja kvadratov ali standardni odklon je statistični indikator, ki ocenjuje obseg nihanja numeričnega vzorca okoli njegove povprečne vrednosti. Skoraj vedno je večina vrednosti porazdeljenih znotraj plus ali minus enega standardnega odklona od povprečja.

Opredelitev

Standardni odklon je kvadratni koren aritmetičnega povprečja vsote kvadratnih odklonov od povprečja. Strogo in matematično, a popolnoma nerazumljivo. To je besedni opis formule za izračun standardnega odklona, ​​a da bi razumeli pomen tega statističnega izraza, razumejmo vse po vrsti.

Predstavljajte si strelišče, tarčo in puščico. Ostrostrelec strelja na standardno tarčo, kjer zadetek v središče daje 10 točk, odvisno od oddaljenosti od centra se število točk zmanjšuje, zadetek v skrajna področja pa daje le 1 točko. Vsak strelčev strel je naključna celoštevilska vrednost med 1 in 10. Tarča, prerešetana s kroglami, je popolna ilustracija porazdelitve naključne spremenljivke.

Pričakovanje

Naš strelec začetnik je dolgo vadil streljanje in opazil, da je z določeno verjetnostjo zadel različne vrednosti. Recimo na podlagi velikega števila strelov je ugotovil, da zadene 10 s 15-odstotno verjetnostjo. Preostale vrednosti so prejele svoje verjetnosti:

• 9 - 25 %;
• 8 - 20 %;
• 7 - 15 %;
• 6 - 15 %;
• 5 - 5 %;
• 4 - 5 %.

Zdaj se pripravlja na nov strel. Kakšno vrednost bo najverjetneje dosegel? Na to vprašanje nam bo pomagalo odgovoriti matematično pričakovanje. Če poznamo vse te verjetnosti, lahko določimo najverjetnejši izid strela. Formula za izračun matematičnega pričakovanja je precej preprosta. Označimo vrednost strela s C in verjetnost s p. Matematično pričakovanje bo enako vsoti produkta ustreznih vrednosti in njihovih verjetnosti:

Določimo pričakovanje za naš primer:

• M = 10 × 0,15 + 9 × 0,25 + 8 × 0,2 + 7 × 0,15 + 6 × 0,15 + 5 × 0,05 + 4 × 0,05
• M = 7,75

Torej je najverjetneje, da bo strelec zadel območje 7 točk. To območje bo najbolj streljano, kar je odličen rezultat najpogostejših zadetkov. Za vsako naključno spremenljivko pričakovana vrednost pomeni najpogostejšo vrednost ali središče vseh vrednosti.

Razpršenost

Razpršenost je še en statistični indikator, ki ponazarja širjenje vrednosti. Naša tarča je gosto posejana s kroglami, razpršenost pa nam omogoča, da ta parameter izrazimo numerično. Če matematično pričakovanje kaže središče udarcev, potem je disperzija njihov širjenje. V bistvu disperzija pomeni matematično pričakovanje odstopanj vrednosti od pričakovane vrednosti, to je povprečni kvadrat odstopanj. Vsaka vrednost je kvadrirana tako, da so odstopanja samo pozitivna in se med seboj ne izničijo v primeru enakih števil z nasprotnimi predznaki.

D[X] = M − (M[X]) 2

Izračunajmo širjenje strel za naš primer:

• M = 10 2 × 0,15 + 9 2 × 0,25 + 8 2 × 0,2 + 7 2 × 0,15 + 6 2 × 0,15 + 5 2 × 0,05 + 4 2 × 0,05
• M = 62,85
• D[X] = M − (M[X]) 2 = 62,85 − (7,75) 2 = 2,78

Torej je naše odstopanje 2,78. To pomeni, da se od površine na tarči z vrednostjo 7,75 strelne luknje razmaknejo za 2,78 točke. Vendar se v svoji čisti obliki vrednost variance ne uporablja – rezultat je kvadrat vrednosti, v našem primeru je to kvadratna točka, v drugih primerih pa so lahko kvadratni kilogrami ali kvadratni dolarji. Disperzija kot kvadratna vrednost ni informativna, zato predstavlja vmesni indikator za določitev standardnega odklona - junaka našega članka.

Standardni odklon

Za pretvorbo variance v pomembne točke, kilograme ali dolarje uporabljamo standardni odklon, ki je kvadratni koren variance. Izračunajmo ga za naš primer:

S = sqrt(D) = sqrt(2,78) = 1,667

Točke smo prejeli in jih sedaj lahko uporabimo za povezavo z matematičnim pričakovanjem. Najverjetnejši izid strela v tem primeru bi bil izražen kot 7,75 plus ali minus 1,667. To je dovolj za odgovor, lahko pa tudi trdimo, da je skoraj gotovo, da bo strelec zadel tarčo med 6,08 in 9,41.

Standardni odklon ali sigma je informativni indikator, ki ponazarja širjenje vrednosti glede na njeno središče. Večja kot je sigma, večji razpon prikazuje vzorec. To je dobro raziskan koeficient in zanimivo pravilo treh sigm je znano za normalno porazdelitev. Ugotovljeno je bilo, da je 99,7% vrednosti normalno porazdeljene količine v območju plus ali minus tri sigme od aritmetične sredine.

Poglejmo si primer

Volatilnost valutnega para

Znano je, da se metode matematične statistike pogosto uporabljajo na deviznem trgu. Številni trgovalni terminali imajo vgrajena orodja za izračun nestanovitnosti sredstva, ki prikazuje merilo nestanovitnosti cene valutnega para. Finančni trgi imajo seveda svoje specifike za izračun volatilnosti, kot so otvoritveni in zaključni tečaji borz, a kot primer lahko izračunamo sigmo za zadnjih sedem dnevnih sveč in približno ocenimo tedensko volatilnost.

Valutni par funt/jen upravičeno velja za najbolj nestanovitno sredstvo na Forex trgu. Recimo, da je teoretično med tednom zaključni tečaj tokijske borze dosegel naslednje vrednosti:

145, 147, 146, 150, 152, 149, 148.

Vnesimo te podatke v kalkulator in izračunajmo sigmo, ki je enaka 2,23. To pomeni, da se je japonski jen vsak dan v povprečju spremenil za 2,23 jena. Če bi bilo vse tako super, bi trgovci s takšnimi gibanji zaslužili milijone.

Zaključek

Standardni odklon se uporablja pri statistični analizi numeričnih vzorcev. To je koristen koeficient za ocenjevanje razpršenosti podatkov, saj sta lahko dva niza z navidezno enako srednjo vrednostjo v razponu vrednosti popolnoma različna. Uporabite naš kalkulator, da poiščete majhne vzorčne sigme.

Standardni odklon

Najbolj popolna značilnost variacije je srednji kvadratni odklon, ki se imenuje standard (ali standardni odklon). Standardni odklon() je enaka kvadratnemu korenu povprečnega kvadratnega odstopanja posameznih vrednosti atributa od aritmetične sredine:

Standardni odklon je preprost:

Uteženi standardni odklon se uporabi za združene podatke:

Med povprečnim kvadratnim in povprečnim linearnim odstopanjem pri normalnih porazdelitvenih pogojih velja naslednje razmerje: ~ 1,25.

Standardni odklon, ki je glavno absolutno merilo variacije, se uporablja pri določanju ordinatnih vrednosti krivulje normalne porazdelitve, pri izračunih, povezanih z organizacijo opazovanja vzorca in ugotavljanjem točnosti značilnosti vzorca, pa tudi pri ocenjevanju meje variacije lastnosti v homogeni populaciji.

18. Varianca, njene vrste, standardni odklon.

Varianca naključne spremenljivke- merilo razpršenosti dane naključne spremenljivke, to je njen odklon od matematičnega pričakovanja. V statistiki se pogosto uporablja oznaka ali . Običajno se imenuje kvadratni koren variance standardni odklon, standardni odklon ali standardni namaz.

Skupna varianca (σ 2) meri variacijo lastnosti v celoti pod vplivom vseh dejavnikov, ki so to variacijo povzročili. Hkrati je zahvaljujoč metodi združevanja mogoče identificirati in izmeriti variacijo zaradi značilnosti združevanja in variacijo, ki nastane pod vplivom neupoštevanih dejavnikov.

Medskupinska varianca (σ 2 m.gr) označuje sistematično variacijo, to je razlike v vrednosti preučevane lastnosti, ki nastanejo pod vplivom lastnosti - dejavnika, ki je osnova skupine.

Standardni odklon(sinonimi: standardni odklon, standardni odklon, kvadratno odstopanje; povezani izrazi: standardni odklon, standardni namaz) - v teoriji verjetnosti in statistiki najpogostejši indikator razpršenosti vrednosti naključne spremenljivke glede na njeno matematično pričakovanje. Pri omejenih nizih vzorčnih vrednosti se namesto matematičnega pričakovanja uporabi aritmetična sredina niza vzorcev.

Standardni odklon se meri v merskih enotah same naključne spremenljivke in se uporablja pri izračunu standardne napake aritmetične sredine, pri konstruiranju intervalov zaupanja, pri statističnem testiranju hipotez, pri merjenju linearne povezave med naključnimi spremenljivkami. Definirano kot kvadratni koren variance naključne spremenljivke.

Standardni odklon:

Standardni odklon(ocena standardnega odklona naključne spremenljivke x glede na njegovo matematično pričakovanje, ki temelji na nepristranski oceni njegove variance):

kje je disperzija; - i element izbora; - velikost vzorca; - aritmetična sredina vzorca:

Opozoriti je treba, da sta obe oceni pristranski. V splošnem primeru je nemogoče sestaviti nepristransko oceno. V tem primeru je ocena, ki temelji na nepristranski oceni variance, konsistentna.

19. Bistvo, obseg in postopek določanja modusa in mediane.

Poleg potenčnih povprečij v statistiki se za relativno karakterizacijo vrednosti spremenljive značilnosti in notranje strukture porazdelitvenih nizov uporabljajo strukturna povprečja, ki jih predstavljajo predvsem moda in mediana.

Moda- To je najpogostejša različica serije. Moda se uporablja na primer pri določanju velikosti oblačil in obutve, po katerih je med kupci največ povpraševanja. Način za diskretno serijo je različica z najvišjo frekvenco. Pri izračunu načina za niz intervalnih variacij je izjemno pomembno, da najprej določite modalni interval (z največjo frekvenco) in nato - vrednost modalne vrednosti atributa z uporabo formule:

§ - pomen mode

§ - spodnja meja modalnega intervala

§ - vrednost intervala

§ - modalna intervalna frekvenca

§ - frekvenca intervala pred modalnim

§ - frekvenca intervala, ki sledi modalnemu

Mediana - ta vrednost atributa, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, leži na osnovi rangirane serije in deli to serijo na dva enaka po številu dela.

Za določitev mediane v diskretni serijiče so frekvence na voljo, najprej izračunajte polovično vsoto frekvenc, nato pa določite, katera vrednost variante spada nanjo. (Če razvrščena serija vsebuje liho število značilnosti, se mediana izračuna po formuli:

M e = (n (skupno število funkcij) + 1)/2,

pri sodem številu značilnosti bo mediana enaka povprečju dveh značilnosti v sredini vrstice).

Pri izračunu mediane za intervalne variacijske serije Najprej določite mediani interval, znotraj katerega se mediana nahaja, nato pa določite vrednost mediane s formulo:

§ - zahtevana mediana

§ - spodnja meja intervala, ki vsebuje mediano

§ - vrednost intervala

§ - vsota frekvenc ali število členov serije

§ - vsota akumuliranih frekvenc intervalov pred mediano

§ - frekvenca medianega intervala

Primer. Poiščite modus in mediano.

rešitev: V tem primeru je modalni interval znotraj starostne skupine 25-30 let, saj ima ta interval največjo frekvenco (1054).

Izračunajmo velikost moda:

To pomeni, da je modalna starost študentov 27 let.

Izračunajmo mediano. Mediani interval je v starostni skupini 25-30 let, saj znotraj tega intervala obstaja opcija͵, ki populacijo razdeli na dva enaka dela (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Nato v formulo nadomestimo potrebne številske podatke in dobimo srednjo vrednost:

To pomeni, da je polovica študentov mlajših od 27,4 leta, druga polovica pa starejših od 27,4 leta.

Poleg načina in mediane se uporabljajo indikatorji, kot so kvartili, ki razdelijo razvrščeno serijo na 4 enake dele, decili - 10 delov in percentili - na 100 delov.

20. Pojem vzorčnega opazovanja in njegov obseg.

Selektivno opazovanje velja pri uporabi stalnega nadzora fizično nemogoče zaradi velike količine podatkov oz ni ekonomsko izvedljivo. Fizična nezmožnost se pojavi na primer pri proučevanju tokov potnikov, tržnih cen in družinskih proračunov. Ekonomska neprimernost se pojavi pri ocenjevanju kakovosti blaga, povezanega z njihovim uničenjem, na primer pri degustaciji, testiranju opeke na trdnost itd.

Statistične enote, izbrane za opazovanje, so vzorčna populacija oz vzorec in njihov celoten niz - splošna populacija(GS). Ob istem času število enot v vzorcu označujejo n in po celotnem HS - n. Odnos n/N navadno kličejo relativna velikost oz vzorčni delež.

Kakovost rezultatov opazovanja vzorcev je odvisna od reprezentativnost vzorca, torej o tem, kako reprezentativna je v GS. Za zagotovitev reprezentativnosti vzorca je izjemnega pomena skladnost princip naključnega izbora enot, ki predpostavlja, da na vključitev enote HS v vzorec ne more vplivati ​​noben dejavnik razen naključja.

obstaja 4 načini naključne izbire za vzorec:

1. Pravzaprav naključno izbor ali "loto metoda", ko se statističnim vrednostim dodelijo serijske številke, zabeležene na določenih predmetih (na primer sodih), ki se nato zmešajo v posodi (na primer v vrečki) in naključno izberejo. V praksi se ta metoda izvaja z uporabo generatorja naključnih števil ali matematičnih tabel naključnih števil.
2. Mehanski izbor, po katerem vsak ( N/n)-ta vrednost splošne populacije. Če na primer vsebuje 100.000 vrednosti in morate izbrati 1000, bo v vzorec vključenih vsakih 100.000 / 1000 = 100. vrednost. Poleg tega, če niso razvrščeni, je prvi izbran naključno izmed prvih sto, številke ostalih pa bodo sto višje. Na primer, če je bila prva enota št. 19, bi morala biti naslednja št. 119, nato št. 219, nato št. 319 itd. Če so populacijske enote razvrščene, se najprej izbere št. 50, nato št. 150, nato št. 250 in tako naprej.
3. Izvede se izbira vrednosti iz heterogenega podatkovnega niza stratificiran(stratificirana) metoda, ko populacijo najprej razdelimo na homogene skupine, na katere se uporabi naključna ali mehanska selekcija.
4. Posebna metoda vzorčenja je serijski selekcija, pri kateri naključno ali mehansko izbirajo ne posamezne vrednosti, temveč njihove nize (zaporedja od nekega števila do nekega števila v vrsti), znotraj katerih se izvaja kontinuirano opazovanje.

Kakovost vzorčnih opazovanj je odvisna tudi od vrsta vzorca: ponovljeno oz neponovljivo. pri ponovni izbor Statistične vrednosti ali njihove serije, vključene v vzorec, se po uporabi vrnejo splošni populaciji in imajo možnost vključitve v nov vzorec. Poleg tega imajo vse vrednosti v splošni populaciji enako verjetnost vključitve v vzorec. Nenehna izbira pomeni, da se statistične vrednosti ali njihove serije, vključene v vzorec, po uporabi ne vrnejo v splošno populacijo, zato se za preostale vrednosti slednje poveča verjetnost, da bodo vključene v naslednji vzorec.

Neponavljajoče se vzorčenje daje natančnejše rezultate in se zato uporablja pogosteje. Obstajajo pa situacije, ko je ni mogoče uporabiti (preučevanje tokov potnikov, povpraševanja potrošnikov itd.), nato pa se izvede ponovna selekcija.

21. Največja vzorčna napaka opazovanja, povprečna vzorčna napaka, postopek za njun izračun.

Oglejmo si podrobneje zgoraj naštete metode za oblikovanje vzorčne populacije in napake reprezentativnosti, ki nastanejo. Pravilno naključno vzorčenje temelji na naključnem izbiranju enot iz populacije brez kakršnih koli sistematičnih elementov. Tehnično se dejanski naključni izbor izvede z žrebanjem (na primer loterije) ali z uporabo tabele naključnih števil.

Pravilen naključni izbor »v svoji čisti obliki« se v praksi selektivnega opazovanja redko uporablja, vendar je med drugimi vrstami selekcije izvirnik, udejanja osnovna načela selektivnega opazovanja. Razmislimo o nekaterih vprašanjih teorije metode vzorčenja in formule napake za preprost naključni vzorec.

Pristranskost vzorčenja- ϶ᴛᴏ razlika med vrednostjo parametra v splošni populaciji in njegovo vrednostjo, izračunano iz rezultatov vzorčnega opazovanja. Pomembno je omeniti, da je za povprečno kvantitativno značilnost vzorčna napaka določena z

Indikator se običajno imenuje največja napaka vzorčenja. Vzorčno povprečje je naključna spremenljivka, ki lahko zavzame različne vrednosti glede na to, katere enote so vključene v vzorec. Zato so tudi vzorčne napake naključne spremenljivke in lahko zavzamejo različne vrednosti. Zaradi tega se določi povprečje možnih napak - povprečna napaka vzorčenja, kar je odvisno od:

· velikost vzorca: večje kot je število, manjša je povprečna napaka;

· stopnja spremembe proučevane značilnosti: manjša kot je variacija značilnosti in posledično razpršenost, manjša je povprečna napaka vzorčenja.

pri naključna ponovna izbira izračuna se povprečna napaka. V praksi splošne variance ne poznamo natančno, v teoriji verjetnosti pa je dokazano, da . Ker je vrednost za dovolj velik n blizu 1, lahko domnevamo, da . Nato je treba izračunati povprečno napako vzorčenja: . Toda v primerih majhnega vzorca (z n<30) коэффициент крайне важно учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле .

pri naključno neponovljivo vzorčenje dane formule so prilagojene za vrednost . Potem je povprečna napaka neponavljajočega se vzorčenja: in . Ker je vedno manjši od , potem je množitelj () vedno manjši od 1. To pomeni, da je povprečna napaka pri ponovljeni izbiri vedno manjša kot pri ponovljeni izbiri. Mehansko vzorčenje se uporablja, ko je splošna populacija na nek način urejena (na primer seznami volivcev po abecednem vrstnem redu, telefonske številke, hišne številke, številke stanovanj). Izbor enot poteka v določenem intervalu, ki je enak inverzni vrednosti vzorčnega odstotka. Torej, pri 2% vzorcu je izbranih vsakih 50 enot = 1/0,02, pri 5% vzorcu pa vsakih 1/0,05 = 20 enot splošne populacije.

Referenčna točka je izbrana na različne načine: naključno, od sredine intervala, s spremembo referenčne točke. Glavna stvar je, da se izognete sistematičnim napakam. Na primer, pri 5-odstotnem vzorcu, če je prva enota 13., potem so naslednje 33, 53, 73 itd.

Z vidika natančnosti je mehanska selekcija blizu dejanskemu naključnemu vzorčenju. Iz tega razloga se za določitev povprečne napake mehanskega vzorčenja uporabljajo ustrezne formule za naključni izbor.

pri tipičen izbor anketirana populacija je predhodno razdeljena na homogene, podobne skupine. Na primer, pri raziskovanju podjetij so to panoge, podsektorji; pri preučevanju prebivalstva so to regije, družbene ali starostne skupine. Nato se mehansko ali povsem naključno izvede neodvisen izbor iz vsake skupine.

Običajno vzorčenje daje natančnejše rezultate kot druge metode. Tipizacija generalne populacije zagotavlja zastopanost vsake tipološke skupine v vzorcu, s čimer je mogoče izničiti vpliv medskupinske variance na povprečno vzorčno napako. Zato je pri ugotavljanju napake tipičnega vzorca po pravilu dodajanja varianc () izjemno pomembno upoštevati le povprečje skupinskih varianc. Nato povprečna napaka vzorčenja: pri ponovljenem vzorčenju, pri neponovljivem vzorčenju , Kje – povprečje varianc znotraj skupine v vzorcu.

Serijski (ali gnezdni) izbor uporablja se, ko je populacija razdeljena v serije ali skupine pred začetkom vzorčnega raziskovanja. Te serije vključujejo embalažo končnih izdelkov, študentske skupine in brigade. Serije za pregled se izberejo mehansko ali povsem naključno, znotraj serije pa se izvaja kontinuiran pregled enot. Zaradi tega je povprečna vzorčna napaka odvisna le od medskupinske (med serijami) variance, ki se izračuna po formuli: kjer je r število izbranih serij; – povprečje i-te serije. Izračuna se povprečna napaka serijskega vzorčenja: s ponovnim vzorčenjem, z neponovljivim vzorčenjem. , kjer je R skupno število serij. Kombinirano selekcija je kombinacija obravnavanih selekcijskih metod.

Povprečna vzorčna napaka pri kateri koli metodi vzorčenja je odvisna predvsem od absolutne velikosti vzorca in v manjši meri od odstotka vzorca. Predpostavimo, da je v prvem primeru opravljenih 225 opazovanj iz populacije 4.500 enot, v drugem pa iz populacije 225.000 enot. Variance v obeh primerih so enake 25. Potem bo v prvem primeru s 5-odstotnim izborom vzorčna napaka: V drugem primeru, z izbiro 0,1 %, bo enako:

Ko pa se je odstotek vzorčenja zmanjšal za 50-krat, se je vzorčna napaka nekoliko povečala, saj se velikost vzorca ni spremenila. Predpostavimo, da se velikost vzorca poveča na 625 opazovanj. V tem primeru je napaka vzorčenja: Povečanje vzorca za 2,8-krat pri enaki velikosti populacije zmanjša velikost vzorčne napake za več kot 1,6-krat.

22. Metode in metode za oblikovanje vzorčne populacije.

V statistiki se uporabljajo različne metode oblikovanja vzorčnih populacij, ki je določena s cilji študije in je odvisna od posebnosti predmeta študije.

Glavni pogoj za izvedbo vzorčnega raziskovanja je preprečitev pojava sistemskih napak, ki izhajajo iz kršitve načela enakih možnosti za vsako enoto generalne populacije, ki je vključena v vzorec. Preprečevanje sistematičnih napak dosežemo z uporabo znanstveno utemeljenih metod oblikovanja vzorčne populacije.

Poznamo naslednje metode izbire enot iz splošne populacije: 1) individualna selekcija - v vzorec se izberejo posamezne enote; 2) skupinska selekcija - vzorec vključuje kvalitativno homogene skupine ali nize proučevanih enot; 3) kombinirana selekcija je kombinacija individualne in skupinske selekcije. Metode selekcije določajo pravila za oblikovanje vzorčne populacije.

Vzorec mora biti:

• pravzaprav naključno je v tem, da vzorčna populacija nastane kot rezultat naključnega (nenamernega) izbora posameznih enot iz splošne populacije. V tem primeru se število izbranih enot v vzorčni populaciji običajno določi na podlagi sprejetega vzorčnega deleža. Vzorčni delež je razmerje med številom enot v vzorčni populaciji n in številom enot v splošni populaciji N, ᴛ.ᴇ.

• mehanski je v tem, da se izbor enot v vzorčni populaciji izvede iz splošne populacije, razdeljene na enake intervale (skupine). V tem primeru je velikost intervala v populaciji enaka recipročni vrednosti vzorčnega deleža. Tako je pri 2% vzorcu izbrana vsaka 50. enota (1:0,02), pri 5% vzorcu vsaka 20. enota (1:0,05) itd. Vendar pa je v skladu s sprejetim deležem selekcije splošna populacija tako rekoč mehanično razdeljena na enake skupine. Iz vsake skupine se za vzorec izbere samo ena enota.
• tipično – pri kateri se splošna populacija najprej razdeli na homogene tipične skupine. Nato se iz vsake tipične skupine uporabi povsem naključni ali mehanski vzorec za individualno izbiro enot v vzorčno populacijo. Pomembna značilnost tipičnega vzorca je, da daje natančnejše rezultate v primerjavi z drugimi metodami izbire enot v vzorčni populaciji;
• serijski- pri kateri je generalna populacija razdeljena na enako velike skupine - serije. Serije so izbrane v vzorčno populacijo. Znotraj niza se izvaja kontinuirano opazovanje enot, vključenih v niz;
• kombinirano- vzorčenje naj bo dvostopenjsko. V tem primeru se populacija najprej razdeli na skupine. Nato se izberejo skupine, znotraj slednjih pa posamezne enote.

V statistiki se za izbor enot v vzorčni populaciji razlikujejo naslednje metode:

• enostopenjski vzorčenje - vsaka izbrana enota je takoj predmet proučevanja po podanem kriteriju (pravilno naključno in serijsko vzorčenje);
• večstopenjski vzorčenje - izbor se opravi iz generalne populacije posameznih skupin, iz skupin pa se izberejo posamezne enote (tipično vzorčenje z mehanskim načinom izbora enot v vzorčno populacijo).

Poleg tega obstajajo:

• ponovni izbor- po shemi vrnjene žoge. V tem primeru se vsaka enota ali serija, vključena v vzorec, vrne splošni populaciji in ima torej možnost, da se ponovno vključi v vzorec;
• izbor brez ponavljanja- po shemi nevrnjene žogice. Ima natančnejše rezultate z enako velikostjo vzorca.

23. Določitev izjemno pomembne velikosti vzorca (z uporabo Studentove t-tabele).

Eno od znanstvenih načel teorije vzorčenja je zagotoviti, da je izbrano zadostno število enot. Teoretično je izjemna pomembnost upoštevanja tega načela predstavljena v dokazih mejnih izrekov v teoriji verjetnosti, ki omogočajo ugotavljanje, kakšen obseg enot je treba izbrati iz populacije, da bo zadosten in bo zagotavljal reprezentativnost vzorca.

Zmanjšanje standardne vzorčne napake in s tem povečanje natančnosti ocene je vedno povezano s povečanjem velikosti vzorca, zato se je treba že v fazi organiziranja vzorčnega opazovanja odločiti, kakšna bo vzorčne populacije mora biti, da se zagotovi zahtevana točnost rezultatov opazovanja. Izračun izjemno pomembne količine vzorca je sestavljen s formulami, ki izhajajo iz formul za največje vzorčne napake (A), ki ustrezajo določeni vrsti in metodi izbire. Torej, za naključno ponovljeno velikost vzorca (n) imamo:

Bistvo te formule je, da je pri naključnem ponovnem vzorčenju izjemno pomembnih števil velikost vzorca neposredno sorazmerna s kvadratom koeficienta zaupanja. (t2) in varianco variacijske karakteristike (?2) in je obratno sorazmerna s kvadratom največje napake vzorčenja (?2). Zlasti pri povečanju največje napake za faktor dva je treba zahtevano velikost vzorca zmanjšati za faktor štiri. Od treh parametrov dva (t in?) določi raziskovalec. Hkrati pa raziskovalec na podlagi cilj

in problemi vzorčne raziskave morajo rešiti vprašanje: v kakšno kvantitativno kombinacijo je bolje vključiti te parametre, da zagotovimo optimalno možnost? V enem primeru je lahko bolj zadovoljen z zanesljivostjo dobljenih rezultatov (t) kot z merilom natančnosti (?), v drugem - obratno. Težje je rešiti vprašanje glede vrednosti največje vzorčne napake, saj raziskovalec tega indikatorja nima na voljo v fazi načrtovanja vzorčnega opazovanja, zato je v praksi običajno določiti vrednost največje vzorčne napake , običajno znotraj 10 % pričakovane povprečne ravni atributa . Določitve ocenjenega povprečja se lahko lotimo na različne načine: z uporabo podatkov iz podobnih predhodno izvedenih raziskav ali z uporabo podatkov iz vzorčnega okvira in izvedbo majhnega pilotnega vzorca.

Pri načrtovanju vzorčnega opazovanja je najtežje ugotoviti tretji parameter v formuli (5.2) - varianco vzorčne populacije. Pri tem je izrednega pomena uporaba vseh informacij, ki jih ima raziskovalec na voljo in pridobljenih v prejšnjih podobnih in pilotnih raziskavah.

Vprašanje določanja izjemno pomembne velikosti vzorca se zaplete, če vzorčno raziskovanje vključuje preučevanje več značilnosti vzorčnih enot. V tem primeru so povprečne ravni vsake značilnosti in njihove variacije praviloma različne, zato je odločitev, kateri varianci katere od značilnosti dati prednost, možna le ob upoštevanju namena in ciljev. ankete.

Pri načrtovanju vzorčnega opazovanja se predpostavi vnaprej določena vrednost dopustne vzorčne napake v skladu s cilji posamezne študije in verjetnostjo sklepov na podlagi rezultatov opazovanja.

Na splošno nam formula za največjo napako vzorčnega povprečja omogoča določitev:

‣‣‣ velikost možnih odstopanj kazalnikov generalne populacije od kazalnikov vzorčne populacije;

‣‣‣ zahtevana velikost vzorca za zagotovitev zahtevane natančnosti, pri kateri meje možne napake ne presegajo določene določene vrednosti;

‣‣‣ verjetnost, da bo napaka v vzorcu imela določeno mejo.

Distribucija študentov v teoriji verjetnosti gre za enoparametrsko družino absolutno zveznih porazdelitev.

24. Dinamična serija (interval, moment), zaključna dinamična serija.

Serija Dynamics- to so vrednosti statističnih kazalnikov, ki so predstavljene v določenem kronološkem zaporedju.

Vsaka časovna vrsta vsebuje dve komponenti:

1) kazalniki časovnih obdobij(leta, četrtletja, meseci, dnevi ali datumi);

2) kazalniki, ki označujejo preučevani predmet za časovna obdobja ali na ustrezne datume, ki se imenujejo ravni serije.

Ravni serije so izražene v absolutnih in povprečnih ali relativnih vrednostih. Ob upoštevanju odvisnosti od narave kazalnikov so zgrajene dinamične serije absolutnih, relativnih in povprečnih vrednosti. Dinamični nizi relativnih in povprečnih vrednosti so zgrajeni na podlagi izpeljanih nizov absolutnih vrednosti. Obstajajo intervalne in trenutne serije dinamike.

Dinamične intervalne serije vsebuje vrednosti kazalnikov za določena časovna obdobja. V intervalnem nizu lahko ravni seštejemo in tako dobimo obseg pojava v daljšem obdobju ali tako imenovane akumulirane vsote.

Serija dinamičnih trenutkov odraža vrednosti kazalnikov v določenem trenutku (datum). Pri trenutnih serijah lahko raziskovalca zanima le razlika v pojavih, ki odraža spremembo nivoja niza med določenimi datumi, saj vsota nivojev tu nima prave vsebine. Kumulativne vsote tukaj niso izračunane.

Najpomembnejši pogoj za pravilno konstrukcijo časovnih vrst je primerljivost ravni serije ki pripadajo različnim obdobjem. Ravni morajo biti predstavljene v homogenih količinah in mora biti enaka popolnost zajetja različnih delov pojava.

Da bi se izognili izkrivljanju realne dinamike, se v statističnem raziskovanju izvajajo predhodni izračuni (zapiranje dinamičnega niza), ki so pred statistično analizo časovnega niza. Pod zapiranje niza dinamike Splošno sprejeto je razumevanje kombinacije v eno serijo dveh ali več serij, katerih ravni so izračunane z drugačno metodologijo ali ne ustrezajo teritorialnim mejam itd. Zapiranje dinamičnega niza lahko pomeni tudi postavitev absolutnih ravni dinamičnega niza na skupno osnovo, kar nevtralizira neprimerljivost nivojev dinamičnega niza.

25. Koncept primerljivosti dinamičnih vrst, koeficientov, rasti in stopenj rasti.

Serija Dynamics- to je niz statističnih kazalcev, ki označujejo razvoj naravnih in družbenih pojavov skozi čas. Statistične zbirke, ki jih objavlja Državni statistični odbor Rusije, vsebujejo veliko število dinamičnih serij v obliki tabele. Dinamične serije omogočajo prepoznavanje vzorcev razvoja preučevanih pojavov.

Dinamične serije vsebujejo dve vrsti indikatorjev. Indikatorji časa(leta, četrtletja, meseci itd.) ali časovne točke (na začetku leta, na začetku vsakega meseca itd.). Indikatorji ravni vrstic. Kazalniki ravni dinamičnega niza se lahko izrazijo v absolutnih vrednostih (proizvodnja izdelkov v tonah ali rubljih), relativnih vrednostih (delež mestnega prebivalstva v %) in povprečnih vrednostih (povprečna plača delavcev v industriji po letih). itd.). V obliki tabele časovna vrsta vsebuje dva stolpca ali dve vrstici.

Pravilna konstrukcija časovnih vrst zahteva izpolnjevanje številnih zahtev:

1. vsi kazalniki določene dinamike morajo biti znanstveno utemeljeni in zanesljivi;
2. indikatorji serije dinamike morajo biti primerljivi skozi čas, ᴛ.ᴇ. morajo biti izračunani za ista časovna obdobja ali na iste datume;
3. kazalniki številnih dinamik morajo biti primerljivi po ozemlju;
4. kazalniki niza dinamike morajo biti vsebinsko primerljivi, ᴛ.ᴇ. izračunano po enotni metodologiji, na enak način;
5. kazalniki številnih dinamik bi morali biti primerljivi med različnimi upoštevanimi kmetijami. Vsi kazalniki serije dinamike morajo biti podani v istih merskih enotah.

Statistični indikatorji lahko označujejo bodisi rezultate procesa, ki se preučuje v določenem časovnem obdobju, bodisi stanje pojava, ki se preučuje v določenem trenutku, ᴛ.ᴇ. kazalniki so lahko intervalni (periodični) in trenutni. V skladu s tem so na začetku dinamične serije intervalne ali trenutne. Serije trenutne dinamike pa prihajajo z enakimi in neenakimi časovnimi intervali.

Prvotno dinamično serijo je mogoče pretvoriti v serijo povprečnih vrednosti in serijo relativnih vrednosti (verižne in osnovne). Takšne časovne vrste imenujemo izpeljane časovne vrste.

Metodologija za izračun povprečne ravni v dinamičnih serijah je različna, odvisno od vrste dinamičnih nizov. Na primerih bomo preučili vrste dinamičnih serij in formule za izračun povprečne ravni.

Absolutna povečanja (Δy) kažejo, za koliko enot se je naslednja stopnja serije spremenila v primerjavi s prejšnjo (gr. 3. - verižna absolutna povečanja) ali v primerjavi z začetno stopnjo (gr. 4. - osnovna absolutna povečanja). Formule za izračun lahko zapišemo na naslednji način:

Ko se absolutne vrednosti serije zmanjšajo, bo prišlo do "zmanjšanja" oziroma "zmanjšanja".

Absolutni kazalniki rasti kažejo, da je npr. proizvodnja proizvoda "A" se je v primerjavi z letom 1997 povečala. za 4 tisoč ton, v primerjavi z letom 1994 ᴦ. - za 34 tisoč ton; za druga leta glej tabelo. 11,5 gr.
Objavljeno na ref.rf
3 in 4.

Stopnja rasti prikazuje, kolikokrat se je stopnja serije spremenila glede na prejšnjo (gr. 5 - verižni koeficienti rasti ali upadanja) ali glede na začetno raven (gr. 6 - osnovni koeficienti rasti ali upadanja). Formule za izračun lahko zapišemo na naslednji način:

Stopnja rasti kažejo, v kolikšnem odstotku je naslednja stopnja niza v primerjavi s prejšnjo (gr. 7 - verižne stopnje rasti) ali v primerjavi z začetno stopnjo (gr. 8 - osnovne stopnje rasti). Formule za izračun lahko zapišemo na naslednji način:

Tako je na primer leta 1997. obseg proizvodnje proizvoda »A« glede na leto 1996 ᴦ. znašala 105,5 % (

Stopnja rasti prikazuje, za koliko odstotkov se je raven poročevalskega obdobja povečala glede na prejšnje (stolpec 9 - verižne stopnje rasti) oziroma glede na začetno raven (stolpec 10 - osnovne stopnje rasti). Formule za izračun lahko zapišemo na naslednji način:

T pr = T r - 100 % ali T pr = absolutna rast / raven prejšnjega obdobja * 100 %

Tako je na primer leta 1996. v primerjavi z letom 1995 ᴦ. Izdelka »A« smo proizvedli več za 3,8 % (103,8 % - 100 %) oziroma (8:210)x100 %, v primerjavi z letom 1994 ᴦ. - za 9 % (109 % - 100 %).

Če se absolutne ravni v nizu zmanjšajo, bo stopnja manjša od 100 % in v skladu s tem bo stopnja zmanjšanja (stopnja povečanja s predznakom minus).

Absolutna vrednost 1 % povečanja(gr.
Objavljeno na ref.rf
11) prikazuje, koliko enot je treba proizvesti v določenem obdobju, da se raven prejšnjega obdobja poveča za 1 %. V našem primeru je leta 1995 ᴦ. je bilo treba proizvesti 2,0 tisoč ton, leta 1998 pa ᴦ. - 2,3 tisoč ton, ᴛ.ᴇ. veliko več.

Absolutno vrednost 1 % rasti lahko določimo na dva načina:

§ raven prejšnjega obdobja deljeno s 100;

§ verižna absolutna povečanja se delijo z ustreznimi verižnimi stopnjami rasti.

Absolutna vrednost 1 % povečanja =

V dinamiki, predvsem v daljšem obdobju, je pomembna skupna analiza stopnje rasti z vsebino posameznega odstotka povečanja ali zmanjšanja.

Upoštevajte, da je obravnavana metodologija za analizo časovnih vrst uporabna tako za časovne vrste, katerih ravni so izražene v absolutnih vrednostih (t, tisoč rubljev, število zaposlenih itd.), In za časovne serije, katerih ravni so izraženi v relativnih kazalcih (% napak, % vsebnosti pepela v premogu itd.) ali povprečnih vrednostih (povprečni pridelek v c/ha, povprečna plača itd.).

Poleg obravnavanih analitičnih kazalnikov, izračunanih za posamezno leto v primerjavi s prejšnjo ali začetno ravnjo, je pri analizi dinamičnih serij izjemno pomembno izračunati povprečne analitične kazalnike za obdobje: povprečno raven serije, povprečno letno absolutno povečanje (zmanjšanje) ter povprečna letna stopnja rasti in stopnja rasti .

Metode za izračun povprečne ravni niza dinamike so bile obravnavane zgoraj. V seriji intervalne dinamike, ki jo obravnavamo, se povprečna raven serije izračuna z uporabo preproste formule aritmetične sredine:

Povprečni letni obseg proizvodnje proizvoda za 1994-1998. znašala 218,4 tisoč ton.

Tudi povprečna letna absolutna rast se izračuna po formuli aritmetične sredine

Standardni odklon – pojem in vrste. Klasifikacija in značilnosti kategorije "Povprečni kvadratni odklon" 2017, 2018.

Gradivo iz Wikipedije - proste enciklopedije

Standardni odklon(sinonimi: standardni odklon, standardni odklon, kvadratno odstopanje; povezani izrazi: standardni odklon, standardni namaz) - v teoriji verjetnosti in statistiki najpogostejši indikator disperzije vrednosti naključne spremenljivke glede na njeno matematično pričakovanje. Pri omejenih nizih vzorcev vrednosti se namesto matematičnega pričakovanja uporablja aritmetična sredina množice vzorcev.

Osnove

Standardni odklon se meri v enotah same naključne spremenljivke in se uporablja pri izračunu standardne napake aritmetične sredine, pri konstruiranju intervalov zaupanja, pri statističnem testiranju hipotez, pri merjenju linearne povezave med naključnimi spremenljivkami. Definirano kot kvadratni koren variance naključne spremenljivke.

Standardni odklon:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash levo(x\_i-\backslash bar(x)\backslash desno)^2).$

Standardni odklon(ocena standardnega odklona naključne spremenljivke x glede na njegovo matematično pričakovanje, ki temelji na nepristranski oceni njegove variance) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash levo(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash desno)^2);$

Pravilo treh sigm

Pravilo treh sigm ($3\backslash sigma$) - skoraj vse vrednosti normalno porazdeljene naključne spremenljivke ležijo v intervalu $\backslash levo(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash desno)$. Strožje - s približno verjetnostjo 0,9973 je vrednost normalno porazdeljene naključne spremenljivke v določenem intervalu (pod pogojem, da vrednost $\backslash bar(x)$ res in ni pridobljeno kot rezultat obdelave vzorca).

Če je prava vrednost $\backslash bar(x)$ je neznano, potem ne smete uporabljati $\backslash sigma$, A s. Tako se pravilo treh sigm spremeni v pravilo treh s .

Razlaga vrednosti standardnega odklona

Večja vrednost standardnega odklona kaže večji razpon vrednosti v predstavljenem nizu s povprečno vrednostjo niza; manjša vrednost torej kaže, da so vrednosti v nizu združene okoli povprečne vrednosti.

Na primer, imamo tri nize številk: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) in (6, 6, 8, 8). Vsi trije nizi imajo srednje vrednosti enake 7, standardne deviacije pa enake 7, 5 in 1. Zadnji niz ima majhen standardni odklon, saj so vrednosti v nizu združene okoli srednje vrednosti; prvi niz ima največjo vrednost standardnega odklona - vrednosti znotraj niza se močno razlikujejo od povprečne vrednosti.

V splošnem se standardni odklon lahko šteje za merilo negotovosti. Na primer, v fiziki se standardna deviacija uporablja za določitev napake niza zaporednih meritev neke količine. Ta vrednost je zelo pomembna za določitev verjetnosti preučevanega pojava v primerjavi z vrednostjo, ki jo predvideva teorija: če se povprečna vrednost meritev močno razlikuje od vrednosti, ki jih predvideva teorija (velik standardni odklon), potem je treba dobljene vrednosti ali metodo za njihovo pridobitev ponovno preveriti.

Praktična uporaba

Standardni odklon vam v praksi omogoča, da ocenite, koliko se lahko vrednosti iz niza razlikujejo od povprečne vrednosti.

Ekonomija in finance

Standardni odklon donosa portfelja $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ identificirati s tveganjem portfelja.

Podnebje

Recimo, da obstajata dve mesti z enako povprečno najvišjo dnevno temperaturo, vendar se eno nahaja na obali, drugo pa na ravnini. Znano je, da imajo mesta na obali veliko različnih najvišjih dnevnih temperatur, ki so nižje od mest v notranjosti. Zato bo standardni odklon najvišjih dnevnih temperatur za obalno mesto manjši kot za drugo mesto, kljub temu da je povprečna vrednost te vrednosti enaka, kar v praksi pomeni, da je verjetnost, da bo najvišja temperatura zraka na kateri koli dan v letu bo višja razlika od povprečne vrednosti, višja za mesto v notranjosti.

Šport

Predpostavimo, da obstaja več nogometnih ekip, ki so ocenjene na podlagi določenega niza parametrov, na primer število doseženih in prejetih golov, priložnosti za zadetek itd. Najbolj verjetno je, da bo najboljša ekipa v tej skupini imela boljše vrednosti na več parametrih. Manjši kot je standardni odklon ekipe za vsakega od predstavljenih parametrov, bolj predvidljiv je rezultat ekipe; takšne ekipe so uravnotežene. Po drugi strani pa ekipa z velikim standardnim odklonom težko predvidi rezultat, kar je posledično posledica neravnovesja, na primer močna obramba, a šibek napad.

Uporaba standardnega odklona moštvenih parametrov omogoča v eni ali drugi meri napovedovanje rezultata tekme med dvema ekipama, oceno prednosti in slabosti ekip in s tem izbranih načinov boja.

Glej tudi

Napišite oceno o članku "Koren srednjega kvadratnega odstopanja"

Literatura

• Borovikov V. STATISTIKA. Umetnost analize podatkov na računalniku: Za strokovnjake / V. Borovikov. - Sankt Peterburg. : Peter, 2003. - 688 str. - ISBN 5-272-00078-1..

Statistični kazalci Opisno statistika Statistični izhod in pregled hipoteze Skupna ocena Korelacija in regresija Grafični metode

Odlomek, ki označuje standardno odstopanje

Hitro je odprl vrata in z odločnimi koraki stopil na balkon. Pogovor je nenadoma prenehal, klobuki in kape so bili sneti in vse oči so se uprle v grofa, ki je prišel ven.
- Pozdravljeni, fantje! - je rekel grof hitro in glasno. - Hvala, da ste prišli. Zdaj se vam bom oglasil, a najprej se moramo ukvarjati z zlobnežem. Kaznovati moramo zlikovca, ki je ubil Moskvo. Čakaj me! « In grof se je prav tako hitro vrnil v svoje sobane in močno zaloputnil z vrati.
Med množico je tekel mrmranje zadovoljstva. »To pomeni, da bo nadzoroval vse zlikovce! In rečeš francosko ... dal ti bo celotno razdaljo!« - so rekli ljudje, kot da bi drug drugemu očitali pomanjkanje vere.
Čez nekaj minut je iz vhodnih vrat naglo stopil častnik, nekaj ukazal in dragoni so vstali. Množica z balkona se je nestrpno pomikala proti verandi. Ko je stopil na verando z jeznimi, hitrimi koraki, se je Rostopchin naglo ozrl okoli sebe, kot da bi nekoga iskal.
-Kje je? - je rekel grof in v istem trenutku, ko je to rekel, je zagledal izza vogala hiše, kako je med dvema dragonoma izstopil mladenič z dolgim ​​tankim vratom, z napol obrito in zaraščeno glavo. Ta mladenič je bil oblečen v nekdaj kicoški, z modrim suknom prevlečen, ponošen lisičji kožuh in umazane jetniške haremske hlače, stlačene v neočiščene, ponošene tanke škornje. Okovi so težki viseli na njegovih tankih, šibkih nogah in oteževali mladeničevo obotavljajočo se hojo.
- A! - je rekel Rastopchin, naglo obrnil pogled stran od mladeniča v lisičjem ovčjem plašču in pokazal na spodnjo stopnico verande. - Daj to sem! »Mladenič je, žvenketajoč z okovi, močno stopil na označeno stopnico, držal ovratnik svojega ovčjega plašča, ki je pritiskal s prstom, dvakrat obrnil svoj dolgi vrat in, vzdihnivši, sklenil tanke, nedelujoče roke pred njegov trebuh s pokorno gesto.
Tišina je trajala nekaj sekund, medtem ko se je mladenič postavil na stopnico. Le v zadnjih vrstah ljudi, ki so se stiskali na enem mestu, je bilo slišati stokanje, stokanje, tresenje in topot premikajočih se nog.
Rastopchin, ki je čakal, da se ustavi na označenem mestu, se je namrščil in si z roko podrgnil obraz.
- Fantje! - je rekel Rastopchin s kovinsko zvonečim glasom, - ta človek, Vereshchagin, je isti podlež, od katerega je umrla Moskva.
Mladenič v lisičjem ovčjem kožuhu je stal v pokorni pozi, sklenil roke skupaj pred trebuhom in se rahlo upognil. Njegov shujšani mladi obraz z brezupnim izrazom, ki ga je iznakazila obrita glava, je bil spuščen. Ob prvih grofovih besedah ​​je počasi dvignil glavo in se ozrl na grofa, kakor bi mu hotel nekaj povedati ali vsaj srečati njegov pogled. Toda Rastopchin ga ni pogledal. Na mladeničevem dolgem tankem vratu, kot vrv, se je vena za ušesom napela in pomodrela, nenadoma pa je njegov obraz postal rdeč.
Vse oči so bile uprte vanj. Pogledal je množico in se, kot opogumljen z izrazom, ki ga je bral na obrazih ljudi, žalostno in plaho nasmehnil in spet spustil glavo, popravil noge na stopnico.
"Izdal je svojega carja in svojo domovino, izročil se je Bonapartu, on je edini od vseh Rusov osramotil ime Rusa in Moskva propada od njega," je rekel Rastopčin z enakomernim, ostrim glasom; nenadoma pa je hitro pogledal Vereščagina, ki je še naprej stal v isti pokorni pozi. Kot da bi ga ta pogled razstrelil, je dvignil roko, skoraj zavpil in se obrnil k ljudem: "Ravnajte se z njim po svoji presoji!" podarim ti ga!
Ljudstvo je molčalo in se samo vedno bolj stiskalo drug k drugemu. Držanje drug drugega, dihanje v tej okuženi zatohlosti, pomanjkanje moči, da bi se premaknili in čakanje na nekaj neznanega, nerazumljivega in strašnega, je postalo neznosno. Ljudje, ki so stali v prvih vrstah in so videli in slišali vse, kar se je dogajalo pred seboj, so vsi s prestrašeno široko odprtimi očmi in odprtimi usti napeli vse moči, zadrževali pritisk tistih za njimi na hrbet.
- Pretepite ga!.. Naj izdajalec umre in ne sramoti imena Rusa! - je zavpil Rastopchin. - Ruby! ukazujem! - Ko niso slišali besed, ampak jezne zvoke Rastopchinovega glasu, je množica zastokala in se pomikala naprej, a se je spet ustavila.
»Štejte!..« je rekel Vereščaginov plahi in hkrati teatralni glas sredi hipne tišine, ki je spet nastala. »Grofe, en bog je nad nami ...« je rekel Vereščagin in dvignil glavo, in debela žila na njegovem tankem vratu se je spet napolnila s krvjo in barva se je hitro pojavila in pobegnila z njegovega obraza. Ni dokončal, kar je hotel povedati.
- Usekni ga! Ukažem!.. - je zavpil Rastopčin in nenadoma prebledel tako kot Vereščagin.
- Sablje ven! - je častnik zavpil dragonom in sam potegnil sabljo.
Drug, še močnejši val je preplavil ljudi in, ko je dosegel prve vrste, je ta val premaknil prve vrste, opotekajoče, in jih pripeljal do samih stopnic verande. Ob Vereščaginu je stal visok moški z okamenelim izrazom na obrazu in ustavljeno dvignjeno roko.
- Ruby! - je dragonom šepetal skoraj častnik in eden od vojakov je nenadoma, z obrazom, izkrivljenim od jeze, udaril Vereščagina po glavi s topim širokim mečem.
"A!" - Vereshchagin je na kratko in presenečeno zavpil, se prestrašeno ozrl okoli sebe in kot da ne bi razumel, zakaj se mu je to zgodilo. Enako stokanje presenečenja in groze je teklo skozi množico.
"O moj bog!" – se je zaslišal žalosten vzklik nekoga.
Toda po vzkliku presenečenja, ki se je izvil Vereščaginu, je usmiljeno zavpil od bolečine in ta jok ga je uničil. Tista pregrada človeškega občutka, raztegnjena do najvišje stopnje, ki je še držala množico, se je v hipu prebila. Zločin je bil začet, treba ga je bilo dokončati. Žalostno stokanje očitanja je preglasilo grozeče in jezno rjovenje množice. Kot zadnji sedmi val, ki lomi ladje, se je ta zadnji neustavljivi val dvignil iz zadnjih vrst, dosegel sprednje, jih podrl in posrkal vse. Dragon, ki je udaril, je želel ponoviti svoj udarec. Vereščagin je z grozljivim krikom, ščiteč se z rokami, planil proti ljudem. Visoki tip, v katerega je trčil, je z rokami zgrabil Vereščaginov suh vrat in z divjim krikom padel pod noge množici rjovečih ljudi.
Nekateri so pretepli in raztrgali Vereščagina, drugi so bili visoki in majhni. In kriki zmečkanih ljudi in tistih, ki so poskušali rešiti visokega kolega, so le zbudili bes množice. Draguni dolgo niso mogli osvoboditi okrvavljenega, do smrti pretepenega tovarniškega delavca. In dolgo časa, kljub vsej mrzlični naglici, s katero je množica poskušala dokončati nekoč začeto delo, tisti ljudje, ki so tepli, davili in trgali Vereščagina, niso mogli ubiti; toda množica jih je pritiskala z vseh strani, oni v sredini pa so se kot ena gmota zibali od strani do strani in jim niso dali možnosti, da bi ga ne pokončali ne vrgli.

Pričakovanje in varianca

Izmerimo naključno spremenljivko n krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je povprečna vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?

Kocke bomo metali velikokrat. Število točk, ki se bo pojavilo na kocki z vsakim metom, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubno naravno vrednost od 1 do 6. Aritmetično povprečje izpadlih točk, izračunano za vse mete kock, je prav tako naključna spremenljivka, vendar za velike n nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnim pričakovanjem Mx. V tem primeru Mx = 3,5.

Kako ste dobili to vrednost? Spusti noter n testi, enkrat dobite 1 točko, enkrat dobite 2 točki itd. Potem Kdaj n→ ∞ število izidov, pri katerih je bila vržena ena točka, podobno, torej

Model 4.5. Kocke

Predpostavimo zdaj, da poznamo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da je naključna spremenljivka x lahko sprejme vrednosti x 1 , x 2 , ..., x k z verjetnostmi str 1 , str 2 , ..., p k.

Pričakovanje Mx naključna spremenljivka x je enako:

Odgovori. 2,8.

Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Zato je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da število ljudi, ki prejemajo plačo, nižjo od mediane, in večjo sovpada.

Mediana naključna spremenljivka je število x 1/2 je tako, da str (x < x 1/2) = 1/2.

Z drugimi besedami, verjetnost str 1, da je naključna spremenljivka x bo manjši x 1/2 in verjetnost str 2, da je naključna spremenljivka x bo večji x 1/2 sta enaka in enaka 1/2. Mediana ni enolično določena za vse porazdelitve.

Vrnimo se k naključni spremenljivki x, ki lahko sprejme vrednosti x 1 , x 2 , ..., x k z verjetnostmi str 1 , str 2 , ..., p k.

Varianca naključna spremenljivka x Povprečna vrednost kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja se imenuje:

Primer 2

Pod pogoji iz prejšnjega primera izračunajte varianco in standardni odklon naključne spremenljivke x.

Odgovori. 0,16, 0,4.

Model 4.6. Streljanje v tarčo

Primer 3

Poiščite verjetnostno porazdelitev števila točk, pridobljenih pri prvem metu kocke, mediane, matematičnega pričakovanja, variance in standardnega odklona.

Vsak rob je enako verjetno izpadel, zato bo porazdelitev videti takole:

Standardni odklon Vidimo, da je odstopanje vrednosti od povprečne vrednosti zelo veliko.

Lastnosti matematičnega pričakovanja:

• Matematično pričakovanje vsote neodvisnih naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj:

Primer 4

Poiščite matematično pričakovanje vsote in zmnožka točk, vrženih na dveh kockah.

V primeru 3 smo ugotovili, da je za eno kocko M (x) = 3,5. Torej za dve kocki

Disperzijske lastnosti:

• Varianca vsote neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc:

D x + l = D x + Dy.

Naj za n rolls on the dice rolled l točke. Potem

Ta rezultat ne velja le za mete kock. V mnogih primerih empirično določa natančnost merjenja matematičnega pričakovanja. Vidimo lahko, da z naraščajočim številom meritev n razpon vrednosti okoli povprečja, to je standardni odklon, se sorazmerno zmanjša

Varianca naključne spremenljivke je povezana z matematičnim pričakovanjem kvadrata te naključne spremenljivke z naslednjim razmerjem:

Poiščimo matematična pričakovanja obeh strani te enakosti. po definiciji

Matematično pričakovanje desne strani enačbe je glede na lastnost matematičnih pričakovanj enako

Standardni odklon

Standardni odklon enako kvadratnemu korenu variance:
Pri določanju standardnega odklona za dovolj velik obseg proučevane populacije (n > 30) se uporabljajo naslednje formule:

Povezane informacije.