S osnova trikotne piramide. Pravilna štirikotna piramida

Video lekcija 2: Problem piramide. Prostornina piramide

Video vadnica 3: Problem piramide. Pravilna piramida

Predavanje: Piramida, njena osnova, stranska rebra, višina, stranska površina; trikotna piramida; redna piramida

Piramida, njene lastnosti

Piramida je tridimenzionalno telo, ki ima na svoji osnovi mnogokotnik, vse njegove ploskve pa so sestavljene iz trikotnikov.

Poseben primer piramide je stožec s krogom na dnu.

Oglejmo si glavne elemente piramide:

Apotema- to je segment, ki povezuje vrh piramide s sredino spodnjega roba stranske ploskve. Z drugimi besedami, to je višina roba piramide.

Na sliki lahko vidite trikotnike ADS, ABS, BCS, CDS. Če natančno pogledate imena, lahko vidite, da ima vsak trikotnik v imenu eno skupno črko - S. To pomeni, da se vse stranske ploskve (trikotniki) zbližajo v eni točki, ki se imenuje vrh piramide. .

Segment OS, ki povezuje oglišče s točko presečišča diagonal osnove (v primeru trikotnikov - v točki presečišča višin), se imenuje višina piramide.

Diagonalni odsek je ravnina, ki poteka skozi vrh piramide, kot tudi ena od diagonal baze.

Ker je stranska površina piramide sestavljena iz trikotnikov, je treba za iskanje skupne površine stranske površine najti površino vsake ploskve in ju sešteti. Število in oblika ploskev je odvisna od oblike in velikosti strani mnogokotnika, ki leži na dnu.

Edina ravnina v piramidi, ki ne pripada njenemu vrhu, se imenuje osnova piramide.

Na sliki vidimo, da je osnova paralelogram, lahko pa je poljuben poljuben mnogokotnik.

Lastnosti:

Razmislite o prvem primeru piramide, v kateri ima robove enake dolžine:

• Okoli vznožja takšne piramide lahko narišemo krog. Če projicirate vrh takšne piramide, bo njena projekcija v središču kroga.
• Koti na dnu piramide so na vsaki strani enaki.
• V tem primeru je zadosten pogoj za dejstvo, da je mogoče opisati krog okoli baze piramide in tudi, da so vsi robovi različnih dolžin, enaki koti med bazo in vsakim robom ploskev.

Če naletite na piramido, v kateri so koti med stranskimi ploskvami in osnovo enaki, potem veljajo naslednje lastnosti:

• Znal boš opisati krog okoli vznožja piramide, katerega vrh je projiciran točno v središče.
• Če narišete vsak stranski rob višine do podlage, bosta enako dolga.
• Če želite najti stransko površino takšne piramide, je dovolj, da poiščete obod osnove in ga pomnožite s polovico dolžine višine.
• S bp = 0,5P oc H.
• Vrste piramid.
• Glede na to, kateri mnogokotnik leži na dnu piramide, so lahko trikotne, štirikotne itd. Če je na dnu piramide pravilen mnogokotnik (z enakimi stranicami), se bo taka piramida imenovala pravilna.

Pravilna trikotna piramida

Opredelitev

Piramida je polieder, sestavljen iz mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) in \(n\) trikotnikov s skupnim ogliščem \(P\) (ki ne leži v ravnini mnogokotnika) in stranicami nasproti njega, ki sovpadajo s strani mnogokotnika.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primer: peterokotna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trikotniki \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) itd. se imenujejo stranski obrazi piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. – stranska rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnova, točka \(P\) – vrh.

Višina piramide so pravokotnica, spuščena z vrha piramide na ravnino osnove.

Imenuje se piramida s trikotnikom na dnu tetraeder.

Piramida se imenuje pravilno, če je njegova osnova pravilen mnogokotnik in je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

\((a)\) stranski robovi piramide so enaki;

\((b)\) višina piramide poteka skozi središče kroga, ki je opisan blizu baze;

\((c)\) stranska rebra so nagnjena na ravnino podnožja pod enakim kotom.

\((d)\) stranski ploskvi sta nagnjeni na ravnino osnove pod enakim kotom.

Pravilni tetraeder je trikotna piramida, katere vse ploskve so enaki enakostranični trikotniki.

Izrek

Pogoji \((a), (b), (c), (d)\) so enakovredni.

Dokaz

Poiščimo višino piramide \(PH\) . Naj bo \(\alpha\) ravnina osnove piramide.

1) Dokažimo, da iz \((a)\) sledi \((b)\) . Naj \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Ker \(PH\perp \alpha\), potem je \(PH\) pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini, kar pomeni, da so trikotniki pravokotni. To pomeni, da sta ti trikotniki enaki v skupnem kraku \(PH\) in hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To pomeni \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To pomeni, da so točke \(A_1, A_2, ..., A_n\) enako oddaljene od točke \(H\), torej ležijo na isti krožnici s polmerom \(A_1H\). Ta krog je po definiciji opisan okoli mnogokotnika \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokoten in enak na dveh krakih. To pomeni, da sta tudi njuna kota enaka, torej \(\kot PA_1H=\kot PA_2H=...=\kot PA_nH\).

3) Dokažimo, da \((c)\) implicira \((a)\) .

Podobno kot pri prvi točki, trikotniki \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravokoten tako vzdolž kraka kot oster kot. To pomeni, da sta tudi njuni hipotenuzi enaki, to je \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokažimo, da \((b)\) implicira \((d)\) .

Ker v pravilnem mnogokotniku središča opisanega in včrtanega kroga sovpadata (v splošnem se tej točki reče središče pravilnega mnogokotnika), potem je \(H\) središče včrtanega kroga. Narišimo navpičnici iz točke \(H\) na stranice osnove: \(HK_1, HK_2\) itd. To so polmeri včrtanega kroga (po definiciji). Potem glede na TTP (\(PH\) je pravokoten na ravnino, \(HK_1, HK_2\) itd. so projekcije pravokotne na stranice) nagnjen \(PK_1, PK_2\) itd. pravokotno na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\) itd. oz. Torej, po definiciji \(\kot PK_1H, \kot PK_2H\) enaka kotom med stranskimi ploskvami in podstavkom. Ker trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) so enaki (kot pravokotnik na dveh stranicah), potem so koti \(\kot PK_1H, \kot PK_2H, ...\) so enaki.

5) Dokažimo, da \((d)\) implicira \((b)\) .

Podobno kot pri četrti točki so trikotniki \(PK_1H, PK_2H, ...\) enaki (kot pravokotniki vzdolž kraka in ostrega kota), kar pomeni, da so segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) enaka. To pomeni, da je po definiciji \(H\) središče kroga, včrtanega v osnovico. Ampak ker Pri pravilnih mnogokotnikih se središča včrtanega in opisanega kroga ujemajo, potem je \(H\) središče opisanega kroga. Chtd

Posledica

Stranske ploskve pravilne piramide so enaki enakokraki trikotniki.

Opredelitev

Višina stranske ploskve pravilne piramide, ki je potegnjena iz njenega vrha, se imenuje apotema.
Apoteme vseh stranskih ploskev pravilne piramide so med seboj enake in so hkrati mediane in simetrale.

Pomembne opombe

1. Višina pravilne trikotne piramide pade na presečišče višin (ali simetral ali median) osnove (osnova je pravilen trikotnik).

2. Višina pravilne štirikotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je kvadrat).

3. Višina pravilne šesterokotne piramide pade na presečišče diagonal osnove (osnova je pravilni šestkotnik).

4. Višina piramide je pravokotna na poljubno premico, ki leži na dnu.

Opredelitev

Piramida se imenuje pravokotne, če je eden od njegovih stranskih robov pravokoten na ravnino baze.

Pomembne opombe

1. V pravokotni piramidi je rob, pravokoten na osnovo, višina piramide. To pomeni, \(SR\) je višina.

2. Ker \(SR\) je torej pravokotna na poljubno premico od osnove \(\trikotnik SRM, \trikotnik SRP\)– pravokotne trikotnike.

3. Trikotniki \(\trikotnik SRN, \trikotnik SRK\)- tudi pravokotne.
To pomeni, da bo vsak trikotnik, ki ga tvorita ta rob in diagonala, ki izhaja iz oglišča tega roba, ki leži na dnu, pravokoten.

\[(\Large(\text(Obseg in površina piramide)))\]

Izrek

Prostornina piramide je enaka tretjini zmnožka ploščine osnove in višine piramide: \

Posledice

Naj bo \(a\) stranica baze, \(h\) višina piramide.

1. Prostornina pravilne trikotne piramide je \(V_(\text(desni trikotnik.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Prostornina pravilne štirikotne piramide je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Prostornina pravilne šesterokotne piramide je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Prostornina pravilnega tetraedra je \(V_(\besedilo(desno tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Izrek

Ploščina stranske ploskve pravilne piramide je enaka polovičnemu produktu oboda osnove in apoteme.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Opredelitev

Razmislite o poljubni piramidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Skozi določeno točko, ki leži na stranskem robu piramide, narišimo ravnino, ki je vzporedna z vznožjem piramide. Ta ravnina bo razdelila piramido na dva poliedra, od katerih je eden piramida (\(PB_1B_2...B_n\)), drugi pa se imenuje prisekana piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Prisekana piramida ima dve osnovi - poligona \(A_1A_2...A_n\) in \(B_1B_2...B_n\), ki sta si podobna.

Višina prisekane piramide je navpičnica, ki poteka iz neke točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove.

Pomembne opombe

1. Vse stranske ploskve prisekane piramide so trapezi.

2. Segment, ki povezuje središča baz pravilne prisekane piramide (to je piramide, dobljene s prerezom pravilne piramide), je višina.

Še naprej obravnavamo naloge, vključene v enotni državni izpit iz matematike. Preučevali smo že naloge, kjer je podan pogoj in je treba najti razdaljo med dvema danima točkama ali kot.

Piramida je polieder, katerega osnova je mnogokotnik, preostale ploskve so trikotniki in imajo skupno oglišče.

Pravilna piramida je piramida, v osnovi katere leži pravilen mnogokotnik, njeno vrh pa je projiciran v središče baze.

Pravilna štirikotna piramida - osnova je kvadrat, ki je projiciran na presečišču diagonal baze.

ML - apotem
∠MLO - diedrski kot na dnu piramide
∠MCO - kot med stranskim robom in ravnino osnove piramide

V tem članku si bomo ogledali težave pri reševanju pravilne piramide. Najti morate nek element, stransko površino, prostornino, višino. Seveda morate poznati Pitagorov izrek, formulo za površino stranske površine piramide in formulo za iskanje volumna piramide.

V članku "" predstavlja formule, ki so potrebne za reševanje problemov v stereometriji. Torej, naloge:

SABCD pika O- središče baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Poišči stranski robS.C..

V tem primeru je osnova kvadrat. To pomeni, da sta diagonali AC in BD enaki, se sekata in ju razpolovi presečišče. Upoštevajte, da v pravilni piramidi višina, spuščena z njenega vrha, poteka skozi središče baze piramide. Torej je SO višina in trikotnikSOCpravokotne. Potem po pitagorejskem izreku:

Kako izluščiti koren velikega števila.

Odgovor: 85

Odločite se sami:

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Poiščite stranski rob S.C..

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Poiščite dolžino odseka SO.

V pravilni štirioglati piramidi SABCD pika O- središče baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Poišči dolžino odseka A.C..

SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 7, a S.R.= 16. Poiščite stransko površino.

Ploščina stranske ploskve pravilne trikotne piramide je enaka polovici zmnožka oboda osnove in apoteme (apotem je višina stranske ploskve pravilne piramide, potegnjena iz njenega vrha):

Lahko pa rečemo takole: površina stranske površine piramide je enaka vsoti ploščin treh stranskih ploskev. Stranske ploskve v pravilni trikotni piramidi so trikotniki enake ploščine. V tem primeru:

Odgovor: 168

Odločite se sami:

V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1, a S.R.= 2. Poiščite stransko površino.

V pravilni trikotni piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da AB= 1 in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta S.R..

V pravilni trikotni piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. Znano je, da SL= 2, in površina stranske površine je 3. Poiščite dolžino segmenta AB.

V pravilni trikotni piramidi SABC M. Območje trikotnika ABC je 25, prostornina piramide je 100. Poiščite dolžino segmenta MS.

Osnova piramide je enakostranični trikotnik. zato Mje središče baze inMS- višina pravilne piramideSABC. Prostornina piramide SABC je enako: ogled rešitve

V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Območje trikotnika ABC enako 3, MS= 1. Poiščite prostornino piramide.

V pravilni trikotni piramidi SABC mediani baze se sekata v točki M. Prostornina piramide je 1, MS= 1. Poiščite površino trikotnika ABC.

Končajmo tukaj. Kot lahko vidite, se težave rešujejo v enem ali dveh korakih. V prihodnje bomo obravnavali še druge probleme iz tega dela, kjer so podana telesa revolucije, ne spreglejte!

Vso srečo!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.

Učenci se s konceptom piramide srečajo že dolgo pred študijem geometrije. Za to so kriva znana velika egipčanska čudesa sveta. Zato si večina študentov ob začetku preučevanja tega čudovitega poliedra že jasno predstavlja. Vse zgoraj omenjene atrakcije so pravilne oblike. Kaj se je zgodilo redna piramida, in kakšne lastnosti ima, bomo še razpravljali.

Opredelitev

Definicij piramide je kar nekaj. Že od antičnih časov je bil zelo priljubljen.

Na primer, Evklid ga je definiral kot telesno figuro, sestavljeno iz ravnin, ki se, začenši od ene, zbližajo na določeni točki.

Heron je ponudil natančnejšo formulacijo. Je vztrajal, da je to številka, ki ima osnovo in ravnine v obliki trikotnikov, zbliževanje v eni točki.

Na podlagi sodobne interpretacije je piramida predstavljena kot prostorski polieder, sestavljen iz določenega k-kotnika in k ravnih trikotnih likov, ki imajo eno skupno točko.

Oglejmo si ga podrobneje, iz katerih elementov je sestavljen:

• K-gon velja za osnovo figure;
• 3-kotne oblike štrlijo kot robovi stranskega dela;
• zgornji del, iz katerega izvirajo stranski elementi, se imenuje vrh;
• vsi segmenti, ki povezujejo vrh, se imenujejo robovi;
• če je ravna črta spuščena od vrha do ravnine figure pod kotom 90 stopinj, potem je njen del v notranjem prostoru višina piramide;
• v kateremkoli stranskem elementu lahko na stranico našega poliedra potegnemo pravokotnico, imenovano apotem.

Število robov se izračuna s formulo 2*k, kjer je k število strani k-kotnika. Koliko ploskev ima polieder, kot je piramida, lahko določimo z izrazom k+1.

Pomembno! Piramida pravilne oblike je stereometrični lik, katerega osnovna ravnina je k-kotnik z enakimi stranicami.

Osnovne lastnosti

Pravilna piramida ima veliko lastnosti, ki so edinstveni zanjo. Naj jih naštejemo:

1. Osnova je figura pravilne oblike.
2. Robovi piramide, ki omejujejo stranske elemente, imajo enake številčne vrednosti.
3. Stranski elementi so enakokraki trikotniki.
4. Osnovica višine lika pade v središče mnogokotnika, hkrati pa je središčna točka včrtanega in opisanega.
5. Vsa stranska rebra so nagnjena na ravnino baze pod enakim kotom.
6. Vse stranske površine imajo enak kot naklona glede na podlago.

Zaradi vseh naštetih lastnosti je izračun elementov veliko enostavnejši. Na podlagi zgornjih lastnosti smo pozorni na dva znaka:

1. V primeru, da se mnogokotnik prilega krogu, bodo stranske ploskve imele enake kote z osnovo.
2. Pri opisovanju kroga okoli mnogokotnika bodo imeli vsi robovi piramide, ki izhajajo iz vrha, enake dolžine in enake kote z osnovo.

Osnova je kvadrat

Pravilna štirikotna piramida - polieder, katerega osnova je kvadrat.

Ima štiri stranske ploskve, ki so po videzu enakokrake.

Kvadrat je upodobljen na ravnini, vendar temelji na vseh lastnostih pravilnega štirikotnika.

Na primer, če je treba povezati stran kvadrata z njegovo diagonalo, uporabite naslednjo formulo: diagonala je enaka zmnožku stranice kvadrata in kvadratnega korena iz dveh.

Temelji na pravilnem trikotniku

Pravilna trikotna piramida je polieder, katerega osnova je pravilen trikotnik.

Če je osnova pravilen trikotnik in so stranski robovi enaki robom osnove, potem je taka figura imenujemo tetraeder.

Vse ploskve tetraedra so enakostranični trikotnik. V tem primeru morate vedeti nekaj točk in ne izgubljati časa z njimi pri izračunu:

• kot naklona reber na katero koli podlago je 60 stopinj;
• velikost vseh notranjih ploskev je tudi 60 stopinj;
• vsak obraz lahko deluje kot osnova;
• , narisane znotraj figure, so to enaki elementi.

Odseki poliedra

V katerem koli poliedru obstajajo več vrst odsekov ravno. Pogosto v šolskem tečaju geometrije delajo z dvema:

• aksialni;
• vzporedno z osnovo.

Osni prerez dobimo tako, da polieder presekamo z ravnino, ki poteka skozi oglišče, stranske robove in os. V tem primeru je os višina, narisana iz vrha. Rezalna ravnina je omejena s črtami presečišča z vsemi ploskvami, kar povzroči trikotnik.

Pozor! V pravilni piramidi je osni prerez enakokraki trikotnik.

Če rezalna ravnina poteka vzporedno z osnovo, potem je rezultat druga možnost. V tem primeru imamo prerez, podoben osnovi.

Na primer, če je na dnu kvadrat, bo tudi odsek, vzporeden z osnovo, kvadrat, le manjših dimenzij.

Pri reševanju problemov pod tem pogojem uporabljajo znake in lastnosti podobnosti figur, temelji na Thalesovem izreku. Najprej je treba določiti koeficient podobnosti.

Če ravnino narišemo vzporedno z osnovo in odrežemo zgornji del poliedra, dobimo v spodnjem delu pravilno prisekano piramido. Potem pravimo, da so osnove prisekanega poliedra podobni mnogokotniki. V tem primeru so stranske ploskve enakokraki trapezi. Tudi osni prerez je enakokrak.

Za določitev višine prisekanega poliedra je potrebno narisati višino v osnem prerezu, to je v trapezu.

Površinske površine

Glavni geometrijski problemi, ki jih je treba rešiti v šolskem tečaju geometrije, so ugotoviti površino in prostornino piramide.

Obstajata dve vrsti površinskih vrednosti:

• območje stranskih elementov;
• območje celotne površine.

Že iz samega imena je jasno o čem govorimo. Stranska površina vključuje samo stranske elemente. Iz tega sledi, da ga želite najti, preprosto seštejte območja stranskih ravnin, to je območja enakokrakih 3-kotnikov. Poskusimo izpeljati formulo za območje stranskih elementov:

1. Ploščina enakokrakega 3-kotnika je enaka Str=1/2(aL), kjer je a stranica osnove, L je apotem.
2. Število stranskih ravnin je odvisno od vrste k-kotnika na dnu. Na primer, pravilna štirikotna piramida ima štiri stranske ravnine. Zato je treba sešteti ploščine štirih likov Sstran=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izraz je na ta način poenostavljen, ker je vrednost 4a = Rosn, kjer je Rosn obseg baze. In izraz 1/2*Rosn je njegov polobod.
3. Torej sklepamo, da je površina stranskih elementov pravilne piramide enaka zmnožku pol oboda osnove in apoteme: Sside = Rosn * L.

Površina celotne površine piramide je sestavljena iz vsote površin stranskih ravnin in osnove: Sp.p = Sside + Sbas.

Kar zadeva površino baze, se tukaj formula uporablja glede na vrsto poligona.

Prostornina pravilne piramide enak zmnožku ploščine osnovne ravnine in višine, deljene s tri: V=1/3*Sbas*H, kjer je H višina poliedra.

Kaj je pravilna piramida v geometriji

Lastnosti pravilne štirikotne piramide