Pri seštevanju in odštevanju algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci ulomki najprej vodijo do skupni imenovalec. To pomeni, da najdejo en imenovalec, ki je deljen z izvirnim imenovalcem vsakega algebraičnega ulomka, vključenega v dani izraz.
Kot veste, če se števec in imenovalec ulomka pomnoži (ali deli) z istim številom, ki ni nič, se vrednost ulomka ne spremeni. To je glavna lastnost ulomka. Zato, ko so ulomki reducirani na skupni imenovalec, v bistvu pomnožijo prvotni imenovalec vsakega ulomka z manjkajočim faktorjem, da dobijo skupni imenovalec. V tem primeru morate števec ulomka pomnožiti s tem faktorjem (za vsak ulomek je drugačen).
Na primer, dana je naslednja vsota algebraičnih ulomkov:
Izraz je treba poenostaviti, to je sešteti dva algebraična ulomka. Če želite to narediti, morate najprej člene ulomkov spraviti na skupni imenovalec. Prvi korak je najti monom, ki je deljiv s 3x in 2y. V tem primeru je zaželeno, da je najmanjši, to je najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) za 3x in 2y.
Za numerične koeficiente in spremenljivke se LCM išče ločeno. LCM(3, 2) = 6 in LCM(x, y) = xy. Nato se najdene vrednosti pomnožijo: 6xy.
Zdaj moramo ugotoviti, s katerim faktorjem moramo pomnožiti 3x, da dobimo 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
To pomeni, da je treba pri zmanjševanju prvega algebraičnega ulomka na skupni imenovalec njegov števec pomnožiti z 2y (imenovalec je bil pomnožen že pri zmanjševanju na skupni imenovalec). Podobno iščemo množitelj za števec drugega ulomka. To bo enako 3x.
Tako dobimo: 
Potem lahko ravnate kot z ulomki z enakimi imenovalci: seštejte števce in zapišite en skupni imenovalec: 
Po transformacijah dobimo poenostavljen izraz, ki je en algebraični ulomek, ki je vsota obeh prvotnih: 
Algebraični ulomki v izvirnem izrazu lahko vsebujejo imenovalce, ki so polinomi in ne monomi (kot v zgornjem primeru). V tem primeru, preden iščete skupni imenovalec, morate imenovalce faktorizirati (če je mogoče). Nato se iz različnih faktorjev zbere skupni imenovalec. Če je množitelj v več izvirnih imenovalcih, se vzame enkrat. Če ima množitelj različne moči v prvotnih imenovalcih, se vzame z večjim. Na primer: 
Tu lahko polinom a 2 – b 2 predstavimo kot produkt (a – b)(a + b). Faktor 2a – 2b se razširi kot 2(a – b). Tako bo skupni imenovalec 2(a – b)(a + b).
Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo samo številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.
Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različnima imenovalcema. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:
Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.
Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje zmanjšanje na skupni imenovalec. In zahtevana števila, ki "izravnavajo" imenovalce, se imenujejo dodatni faktorji.
Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:
- Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
- Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
- Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.
Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri izmed njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.
Navzkrižno množenje
Najenostavnejša in najbolj zanesljiva metoda, ki zajamčeno izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Oglejte si:
Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:
Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.
Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke. To je cena za zanesljivost.
Metoda skupnega delitelja
Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:
- Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
- Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
- V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:
Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!
Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po zmanjšanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.
To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.
Najmanj pogosta večkratna metoda
Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.
Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".
Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 · 12 = 96.
Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov najmanjši skupni večkratnik (LCM).
Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a ; b) . Na primer, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:
Naloga. Poiščite pomene izrazov:
Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktorja 2 in 3 sta enaka (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta soprama, faktor 5 pa je pogost. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Zdaj pa spravimo ulomke na skupne imenovalce:
Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:
- Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
- Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.
Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.
Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!
Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih je vse mogoče najti v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.
Imenovalec aritmetičnega ulomka a / b je število b, ki kaže velikost ulomkov enote, iz katere je ulomek sestavljen. Imenovalec algebrskega ulomka A / B je algebrski izraz B. Za izvajanje aritmetičnih operacij z ulomki jih je treba zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec.
Potrebovali boste
- Če želite delati z algebrskimi ulomki in najti najmanjši skupni imenovalec, morate vedeti, kako faktorizirati polinome.
Navodila
Razmislimo o zmanjšanju dveh aritmetičnih ulomkov n/m in s/t na najmanjši skupni imenovalec, kjer so n, m, s, t cela števila. Jasno je, da lahko ta dva ulomka skrčimo na poljuben imenovalec, deljiv z m in t. Vendar poskušajo pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca. Enak je najmanjšemu skupnemu večkratniku imenovalcev m in t danih ulomkov. Najmanjši večkratnik (LMK) števila je najmanjše deljivo z vsemi danimi števili hkrati. Tisti. v našem primeru moramo najti najmanjši skupni večkratnik števil m in t. Označeno kot LCM (m, t). Nato se ulomki pomnožijo z ustreznimi: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Poiščimo najmanjši skupni imenovalec treh ulomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprej razširimo imenovalce 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Nato izračunajte LCM (5, 8, 14) tako, da pomnožite vse številke, vključene v vsaj eno od razširitev. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Upoštevajte, da če se faktor pojavi pri razširitvi več števil (faktor 2 pri razširitvi imenovalcev 8 in 14), potem faktor vzamemo za večjo stopnjo (2^3 v našem primeru).
Torej, splošno je pridobljeno. Enako je 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tu dobimo števila, s katerimi moramo pomnožiti ulomke z ustreznimi imenovalci, da jih pripeljemo na najmanjši skupni imenovalec. Dobimo 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Redukcija algebraičnih ulomkov na najmanjši skupni imenovalec se izvede po analogiji z aritmetičnimi. Zaradi jasnosti si poglejmo težavo na primeru. Naj sta podana dva ulomka (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) in (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Razložimo oba imenovalca na faktorje. Upoštevajte, da je imenovalec prvega ulomka popoln kvadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Za
Če želite rešiti primere z ulomki, morate znati najti najmanjši skupni imenovalec. Spodaj so podrobna navodila.
Kako najti najmanjši skupni imenovalec – koncept
Najmanjši skupni imenovalec (LCD), preprosto povedano, je najmanjše število, ki je deljivo z imenovalci vseh ulomkov v danem primeru. Z drugimi besedami se imenuje najmanjši skupni večkratnik (LCM). NOS se uporablja le, če sta imenovalca ulomkov različna.
Kako najti najmanjši skupni imenovalec - primeri
Poglejmo si primere iskanja NOC.
Izračunaj: 3/5 + 2/15.
Rešitev (zaporedje dejanj):
- Ogledamo si imenovalce ulomkov, pazimo, da so različni in da so izrazi čim bolj skrajšani.
- Poiščemo najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 15. To število bo 15. Torej je 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ugotovili smo imenovalec. Kaj bo v števcu? Dodatni množitelj nam bo pomagal ugotoviti to. Dodaten faktor je število, ki ga dobimo, če NZ delimo z imenovalcem določenega ulomka. Za 3/5 je dodatni faktor 3, ker je 15/5 = 3. Za drugi ulomek je dodatni faktor 1, ker je 15/15 = 1.
- Ko ugotovimo dodatni faktor, ga pomnožimo s števci ulomkov in dodamo dobljene vrednosti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Odgovor: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Če v primeru nista dodana ali odvzeta 2, ampak 3 ali več ulomkov, je treba NCD iskati po toliko ulomkih, kot je danih.
Izračunajte: 1/2 – 5/12 + 3/6
Rešitev (zaporedje dejanj):
- Iskanje najmanjšega skupnega imenovalca. Najmanjše število, deljivo z 2, 12 in 6, je 12.
- Dobimo: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Iščemo dodatne multiplikatorje. Za 1/2 – 6; za 5/12 – 1; za 3/6 – 2.
- Pomnožimo s števci in priredimo ustrezne predznake: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Odgovor: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.