Praktična uporaba neposredne in obratno sorazmerne odvisnosti. Neposredna in obratna sorazmernost

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam vse to lahko koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šole.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Posledično so razmerja med količinami opisana z neposredno in obratno sorazmernostjo.

Neposredna sorazmernost- to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda ko vložite v učenje za izpite, višje so vaše ocene. Ali pa več stvari kot boste vzeli s seboj na pohod, težji bo vaš nahrbtnik. Tisti. Količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Inverzna sorazmernost– to je funkcionalna odvisnost, pri kateri večkratno zmanjšanje ali povečanje neodvisne vrednosti (imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne vrednosti (imenuje se a funkcijo).

Ponazorimo s preprostim primerom. Na tržnici želite kupiti jabolka. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta v obratnem sorazmerju. Tisti. Več jabolk ko kupite, manj denarja vam bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V kateri x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima najvišjih ali najmanjših vrednosti.
4. Je nenavaden in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne seka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (tj. argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne vrednosti pa v intervalu (0; +∞). Ko se argument zmanjša ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf inverzne sorazmernostne funkcije imenujemo hiperbola. Prikazano na naslednji način:

Problemi obratne sorazmernosti

Da bo bolj jasno, si poglejmo več nalog. Niso preveč zapleteni, njihovo reševanje pa vam bo pomagalo vizualizirati, kaj je obratna sorazmernost in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga št. 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel do cilja. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se giblje dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, da nas zelo spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, v obratnem sorazmerju.

Da to preverimo, poiščimo V 2, ki je glede na pogoj 2-krat večji: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoje problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: pri hitrosti, ki je 2-krat višja od prvotne hitrosti, bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Torej, najprej ustvarimo ta diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice označujejo obratno sorazmerno razmerje. Predlagajo tudi, da je treba pri sestavljanju razmerja desno stran zapisa obrniti: 60/120 = x/6. Kje dobimo x = 60 * 6/120 = 3 ure.

Naloga št. 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki lahko zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bodo preostali delavci potrebovali, da opravijo enako količino dela?

Zapišimo pogoje problema v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev – 4 ure

↓ 3 delavci – x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x = 6 * 4/3 = 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo preostali porabili 2-krat več časa za vse delo.

Naloga št. 3. V bazen vodita dve cevi. Skozi eno cev teče voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Skozi drugo cev se bo bazen napolnil v 75 minutah. S kakšno hitrostjo teče voda skozi to cev v bazen?

Za začetek zreducirajmo vse količine, ki so nam dane glede na pogoje problema, na iste merske enote. Za to izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ker iz pogoja izhaja, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, to pomeni, da je pretok vode manjši. Sorazmernost je obratna. Izrazimo neznano hitrost skozi x in sestavimo naslednji diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem sestavimo razmerje: 120/x = 75/45, od koder je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V nalogi je hitrost polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, odgovor, ki smo ga prejeli, zreducirajmo na enako obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga št. 4. Mala zasebna tiskarna tiska vizitke. Zaposleni v tiskarni dela s hitrostjo 42 vizitk na uro in dela cel dan - 8 ur. Če bi delal hitreje in v eni uri natisnil 48 vizitk, koliko prej bi lahko šel domov?

Sledimo preverjeni poti in sestavimo diagram glede na pogoje problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/uro – 8 ur

↓ 48 vizitk/h – x h

Imamo obratno sorazmerno razmerje: kolikorkrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, tolikokrat manj časa bo potreboval za isto delo. Če vemo to, ustvarimo razmerje:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da zdaj tudi vi razmišljate o njih tako. In glavna stvar je, da vam lahko znanje o obratno sorazmerni odvisnosti količin resnično koristi večkrat.

Ne samo pri pouku in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se pripravljate na izlet, nakupovanje, se odločite za kakšen dodaten zaslužek med počitnicami ipd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratnega in premosorazmernega razmerja opazite okoli sebe. Naj bo takšna igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka na družbenih omrežjih, da se bodo lahko igrali tudi vaši prijatelji in sošolci.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Sorazmernost je razmerje med dvema količinama, v katerem sprememba ene od njiju povzroči spremembo druge za enako količino.

Sorazmernost je lahko direktna ali obratna. V tej lekciji si bomo ogledali vsakega od njih.

Vsebina lekcije

Neposredna sorazmernost

Predpostavimo, da se avto giblje s hitrostjo 50 km/h. Spomnimo se, da je hitrost prevožena razdalja na časovno enoto (1 ura, 1 minuta ali 1 sekunda). V našem primeru se avtomobil giblje s hitrostjo 50 km/h, kar pomeni, da bo v eni uri prevozil razdaljo petdeset kilometrov.

Na sliki ponazorimo razdaljo, ki jo avtomobil prevozi v 1 uri.

Pustite avto še eno uro voziti z enako hitrostjo petdeset kilometrov na uro. Potem se izkaže, da bo avto prevozil 100 km

Kot je razvidno iz primera, je podvojitev časa povzročila povečanje prevožene razdalje za enako količino, to je dvakrat.

Količine, kot sta čas in razdalja, imenujemo neposredno sorazmerne. In razmerje med takšnimi količinami se imenuje premo sorazmernost.

Neposredna sorazmernost je razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ene od njiju povzroči povečanje druge za enak znesek.

in obratno, če se ena količina zmanjša za določeno število krat, potem se druga zmanjša za enako število krat.

Predpostavimo, da je bil prvotni načrt z avtom prevoziti 100 km v 2 urah, vendar se je voznik po 50 km vožnje odločil počivati. Potem se izkaže, da se bo z zmanjšanjem razdalje za polovico čas zmanjšal za enako količino. Z drugimi besedami, zmanjšanje prevožene razdalje bo povzročilo zmanjšanje časa za enako količino.

Zanimiva lastnost premo sorazmernih količin je, da je njihovo razmerje vedno konstantno. To pomeni, da ko se spremenijo vrednosti neposredno sorazmernih količin, njihovo razmerje ostane nespremenjeno.

V obravnavanem primeru je bila razdalja na začetku 50 km, čas pa ena ura. Razmerje med razdaljo in časom je število 50.

Toda čas potovanja smo povečali za 2-krat, tako da je znašal dve uri. Posledično se je prevožena razdalja povečala za enako količino, to je postala enaka 100 km. Razmerje sto kilometrov proti dvema urama je spet številka 50

Številka 50 se imenuje koeficient neposredne sorazmernosti. Prikazuje, koliko razdalje je na uro gibanja. V tem primeru ima koeficient vlogo hitrosti gibanja, saj je hitrost razmerje med prevoženo razdaljo in časom.

Proporcije lahko naredimo iz premo sorazmernih količin. Na primer, razmerja sestavljajo delež:

Petdeset kilometrov pomeni eno uro, sto kilometrov pa dve uri.

Primer 2. Cena in količina kupljenega blaga sta neposredno sorazmerna. Če 1 kg sladkarij stane 30 rubljev, bosta 2 kg istih sladkarij stala 60 rubljev, 3 kg pa 90 rubljev. Ko se cena kupljenega izdelka poveča, se za toliko poveča njegova količina.

Ker sta cena izdelka in njegova količina neposredno sorazmerni količini, je njuno razmerje vedno konstantno.

Zapišimo, kakšno je razmerje trideset rubljev na en kilogram

Zdaj pa zapišimo, kakšno je razmerje šestdeset rubljev na dva kilograma. To razmerje bo spet enako trideset:

Tu je koeficient neposredne sorazmernosti številka 30. Ta koeficient kaže, koliko rubljev je na kilogram sladkarij. V tem primeru ima koeficient vlogo cene enega kilograma blaga, saj je cena razmerje med stroški blaga in njegovo količino.

Inverzna sorazmernost

Razmislite o naslednjem primeru. Razdalja med mestoma je 80 km. Motorist je zapustil prvo mesto in s hitrostjo 20 km/h prispel v drugo mesto v 4 urah.

Če je bila hitrost motorista 20 km/h, to pomeni, da je vsako uro prevozil razdaljo dvajset kilometrov. Naj na sliki upodabljamo prevoženo razdaljo motorista in čas njegovega gibanja:

Med povratkom je bila motoristova hitrost 40 km/h, za isto pot pa je porabil 2 uri.

Lahko opazimo, da se ob spremembi hitrosti za enako količino spremeni tudi čas gibanja. Poleg tega se je spremenilo v nasprotno smer - to je, da se je hitrost povečala, čas pa se je, nasprotno, zmanjšal.

Količine, kot sta hitrost in čas, imenujemo obratno sorazmerne. In razmerje med takšnimi količinami se imenuje obratno sorazmernost.

Inverzna sorazmernost je razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ene od njiju povzroči zmanjšanje druge za enak znesek.

in obratno, če se ena količina zmanjša za določeno število krat, potem se druga poveča za enako število krat.

Na primer, če bi motorist na poti nazaj vozil s hitrostjo 10 km/h, bi istih 80 km prevozil v 8 urah:

Kot je razvidno iz primera, je zmanjšanje hitrosti povzročilo povečanje časa gibanja za enako količino.

Posebnost obratno sorazmernih količin je, da je njihov produkt vedno konstanten. To pomeni, da ko se spremenijo vrednosti obratno sorazmernih količin, njihov produkt ostane nespremenjen.

V obravnavanem primeru je bila razdalja med mesti 80 km. Ko sta se hitrost in čas gibanja motorista spreminjala, je ta razdalja vedno ostala nespremenjena

Motorist bi lahko to razdaljo prevozil s hitrostjo 20 km/h v 4 urah, s hitrostjo 40 km/h pa v 2 urah, s hitrostjo 10 km/h pa v 8 urah. V vseh primerih je bil produkt hitrosti in časa enak 80 km

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Dopolnil: Chepkasov Rodion

Učenka 6. razreda

MBOU "Srednja šola št. 53"

Barnaul

Vodja: Bulykina O.G.

učiteljica matematike

MBOU "Srednja šola št. 53"

Barnaul

Uvod. 1

Razmerja in razmerja. 3

Direktna in obratno sorazmerna razmerja. 4

Uporaba neposrednega in obratno sorazmernega 6

odvisnosti pri reševanju različnih problemov.

Zaključek. 11

Literatura. 12

Uvod.

Beseda proporcija izhaja iz latinske besede proporcije, ki na splošno pomeni sorazmernost, poravnanost delov (določeno razmerje delov med seboj). Pitagorejci so v starih časih zelo cenili nauk o proporcih. S proporci so povezovali misli o redu in lepoti v naravi, o sozvočnih akordih v glasbi in harmoniji v vesolju. Nekatere vrste razmerij so imenovali glasbene ali harmonične.

Človek je že v pradavnini ugotovil, da so vsi pojavi v naravi med seboj povezani, da je vse v nenehnem gibanju, spreminjanju in, če se izrazi v številkah, razkriva neverjetne vzorce.

Pitagorejci in njihovi privrženci so iskali numerični izraz za vse na svetu. Odkrili so; da so matematična razmerja osnova glasbe (razmerje med dolžino strune in višino tona, razmerje med intervali, razmerje zvokov v akordih, ki dajejo harmonski zvok). Pitagorejci so poskušali matematično utemeljiti idejo o enotnosti sveta in trdili, da so osnova vesolja simetrične geometrijske oblike. Pitagorejci so iskali matematično osnovo za lepoto.

Po Pitagorejcih je srednjeveški znanstvenik Avguštin lepoto imenoval »številčna enakost«. Šolski filozof Bonaventura je zapisal: »Ni lepote in užitka brez sorazmernosti, sorazmernost pa obstaja predvsem v številu. Potrebno je, da je vse šteto.« Leonardo da Vinci je o uporabi sorazmerja v umetnosti v svoji razpravi o slikarstvu zapisal: »Slikar v obliki proporcev uteleša iste vzorce, skrite v naravi, ki jih znanstvenik pozna v obliki numeričnega zakona.«

Proporcije so uporabljali za reševanje različnih problemov tako v antiki kot v srednjem veku. Nekatere vrste problemov je zdaj enostavno in hitro rešiti z uporabo razmerij. Proporcije in sorazmernost se uporabljajo in se uporabljajo ne samo v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in umetnosti. Proporcija v arhitekturi in umetnosti pomeni ohranjanje določenih razmerij med velikostmi različnih delov zgradbe, figure, kipa ali druge umetnine. Proporcionalnost je v takih primerih pogoj za pravilno in lepo gradnjo in upodabljanje

Pri svojem delu sem poskušal razmisliti o uporabi premih in obratno sorazmernih razmerij na različnih področjih življenja, zaslediti povezavo z učnimi predmeti skozi naloge.

Razmerja in razmerja.

Kvocient dveh števil se imenuje odnos te številke.

Odnos kaže, kolikokrat je prvo število večje od drugega ali kolikšen del je prvo število od drugega.

Naloga.

V trgovino so pripeljali 2,4 tone hrušk in 3,6 tone jabolk. Kolikšen delež prinesenega sadja predstavljajo hruške?

rešitev . Ugotovimo, koliko sadja so prinesli: 2,4+3,6=6(t). Da ugotovimo, kolikšen del prinesenega sadja predstavljajo hruške, naredimo razmerje 2,4:6=. Odgovor lahko zapišemo tudi kot decimalni ulomek ali odstotek: = 0,4 = 40 %.

Medsebojno obratno klical številke, katerih produkti so enaki 1. Zato razmerje se imenuje obratno razmerje.

Upoštevajte dve enaki razmerji: 4,5:3 in 6:4. Mednje postavimo enačaj in dobimo razmerje: 4,5:3=6:4.

Razmerje je enakost dveh relacij: a : b =c :d ali = , kjer sta a in d ekstremni pogoji sorazmernosti, c in b – povprečni člani(vsi členi deleža so različni od nič).

Osnovna lastnost sorazmerja:

v pravilnem razmerju je produkt skrajnih členov enak produktu srednjih členov.

Z uporabo komutativne lastnosti množenja ugotovimo, da se lahko v pravilnem razmerju skrajni ali srednji členi zamenjajo. Pravilna bodo tudi dobljena razmerja.

Z uporabo osnovne lastnosti sorazmerja lahko poiščete njegov neznani člen, če so znani vsi drugi členi.

Če želite najti neznani skrajni člen deleža, morate povprečne člene pomnožiti in deliti z znanim skrajnim členom. x : b = c : d , x =

Če želite najti neznan srednji člen deleža, morate skrajne člene pomnožiti in deliti z znanim srednjim členom. a : b =x : d , x = .

Direktna in obratno sorazmerna razmerja.

Vrednosti dveh različnih količin so lahko medsebojno odvisne. Torej je površina kvadrata odvisna od dolžine njegove stranice in obratno - dolžina stranice kvadrata je odvisna od njegove površine.

Za dve količini pravimo, da sta sorazmerni, če z naraščanjem

(zmanjša) enega od njih večkrat, drugega poveča (zmanjša) za enako število krat.

Če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem sta razmerja ustreznih vrednosti teh količin enaka.

Primer direktna sorazmerna odvisnost .

Na bencinski črpalki 2 litra bencina tehtata 1,6 kg. Koliko bodo tehtali 5 litrov bencina?

rešitev:

Teža kerozina je sorazmerna z njegovo prostornino.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Odgovor: 4 kg.

Pri tem razmerje med težo in prostornino ostane nespremenjeno.

Dve količini se imenujeta obratno sorazmerni, če se pri večkratnem povečanju (zmanjšanju) ene od njiju druga zmanjša (poveča) za enako količino.

Če so količine obratno sorazmerne, potem je razmerje vrednosti ene količine enako obratnemu razmerju ustreznih vrednosti druge količine.

p primerobratno sorazmerno razmerje.

Dva pravokotnika imata enako ploščino. Dolžina prvega pravokotnika je 3,6 m, širina drugega pravokotnika pa 4,8 m.

rešitev:

1 pravokotnik 3,6 m 2,4 m

2 pravokotnik 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Odgovor: 1,8 m.

Kot lahko vidite, je probleme, ki vključujejo sorazmerne količine, mogoče rešiti z uporabo razmerij.

Vsaki dve količini nista premo sorazmerni ali obratno sorazmerni. Na primer, otrokova višina se povečuje s starostjo, vendar te vrednosti niso sorazmerne, saj se otrokova višina ne podvoji, ko se starost podvoji.

Praktična uporaba neposredne in obratno sorazmerne odvisnosti.

Naloga št. 1

Šolska knjižnica ima 210 učbenikov matematike, kar je 15 % celotne knjižnične zbirke. Koliko knjig je v knjižnični zbirki?

rešitev:

Skupaj učbenikov - ? - 100 %

Matematiki - 210 -15%

15 % 210 akademski.

X = 100* 210 = 1400 učbenikov

100% x uč. 15

Odgovor: 1400 učbenikov.

Problem št. 2

Kolesar prevozi 75 km v 3 urah. V kolikšnem času bo kolesar z isto hitrostjo prevozil 125 km?

rešitev:

3 h – 75 km

H – 125 km

Čas in razdalja sta torej premo sorazmerni količini

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odgovor: čez 5 ur.

Problem št. 3

8 enakih cevi napolni bazen v 25 minutah. Koliko minut bo trajalo, da napolnimo bazen z 10 takimi cevmi?

rešitev:

8 cevi – 25 minut

10 cevi - ? minut

Število cevi je obratno sorazmerno s časom, torej

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odgovor: v 20 minutah.

Problem št. 4

Ekipa 8 delavcev opravi nalogo v 15 dneh. Koliko delavcev lahko opravi nalogo v 10 dneh ob enaki produktivnosti?

rešitev:

8 delovnih dni – 15 dni

Delavci - 10 dni

Število delavcev je obratno sorazmerno s številom dni, torej

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Odgovor: 12 delavcev.

Problem št. 5

Iz 5,6 kg paradižnika dobimo 2 litra omake. Koliko litrov omake lahko dobimo iz 54 kg paradižnikov?

rešitev:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Število kilogramov paradižnika je premosorazmerno s količino dobljene omake, torej

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Odgovor: 19 l.

Problem št. 6

Za ogrevanje šolskega poslopja je bil premog skladiščen za 180 dni po normi porabe

0,6 tone premoga na dan. Koliko dni bo trajala ta zaloga, če dnevno porabimo 0,5 tone?

rešitev:

Število dni

Stopnja porabe

Število dni je torej obratno sorazmerno s stopnjo porabe premoga

180 : x = 0,5 : 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Odgovor: 216 dni.

Problem št. 7

V železovi rudi so na vsakih 7 delov železa 3 deli nečistoč. Koliko ton nečistoč je v rudi, ki vsebuje 73,5 ton železa?

rešitev:

Število delov

Teža

Železo

73,5

Nečistoče

Število delov je torej premosorazmerno z maso

7 : 73,5 = 3 : x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Odgovor: 31,5 t

Problem št. 8

Avto je prevozil 500 km, pri čemer je porabil 35 litrov bencina. Koliko litrov bencina bo potrebnih za prevoz 420 km?

rešitev:

Razdalja, km

Bencin, l

Razdalja je premosorazmerna s porabo bencina, torej

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Odgovor: 29,4 l

Problem št. 9

V 2 urah smo ujeli 12 krasov. Koliko krasov bo ujetih v 3 urah?

rešitev:

Število krakov ni odvisno od časa. Te količine niso ne premosorazmerne ne obratno sorazmerne.

Odgovor: Ni odgovora.

Problem št. 10

Rudarsko podjetje mora kupiti 5 novih strojev za določen znesek denarja po ceni 12 tisoč rubljev na enega. Koliko teh strojev lahko kupi podjetje, če cena za en stroj postane 15 tisoč rubljev?

rešitev:

Število avtomobilov, kos.

Cena, tisoč rubljev

Število avtomobilov je obratno sorazmerno s stroški, torej

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Odgovor: 4 avtomobili.

Problem št. 11

V mestu N na kvadratu P je trgovina, katere lastnik je tako strog, da za zamudo odšteje 70 rubljev od plače za 1 zamudo na dan. Dve dekleti Yulia in Natasha delata v enem oddelku. Njihova plača je odvisna od števila delovnih dni. Julija je v 20 dneh prejela 4100 rubljev, Nataša pa bi morala v 21 dneh prejeti več, a je zamujala 3 dni zapored. Koliko rubljev bo prejela Nataša?

rešitev:

Delovni dnevi

Plača, rub.

Julija

4100

Nataša

Plača je torej premosorazmerna s številom delovnih dni

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 rubljev. Natasha bi ga morala dobiti.

4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odgovor: Natasha bo prejela 4095 rubljev.

Problem št. 12

Razdalja med dvema mestoma na zemljevidu je 6 cm, če je merilo zemljevida 1:250000.

rešitev:

Razdaljo med mesti na terenu označimo z x (v centimetrih) in poiščemo razmerje med dolžino odseka na zemljevidu in razdaljo na terenu, ki bo enako merilu zemljevida: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odgovor: 15 km.

Problem št. 13

4000 g raztopine vsebuje 80 g soli. Kakšna je koncentracija soli v tej raztopini?

rešitev:

Teža, g

Koncentracija, %

rešitev

4000

Sol

4000 : 80 = 100 : x,

x =
,

x = 2.

Odgovor: Koncentracija soli je 2%.

Problem št. 14

Banka daje posojilo pri 10% letno. Prejeli ste posojilo v višini 50.000 rubljev. Koliko bi morali vrniti banki v enem letu?

rešitev:

50.000 rubljev.

100%

x rub.

50000 : x = 100 : 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rubljev. je 10 %.

50.000 + 5000 = 55.000 (rub.)

Odgovor: v enem letu bo banka dobila nazaj 55.000 rubljev.

Zaključek.

Kot lahko vidimo iz navedenih primerov, so neposredne in obratne sorazmernosti uporabne na različnih področjih življenja:

ekonomija,

trgovina,

V proizvodnji in industriji,

Šolsko življenje,

kuhanje,

Gradbeništvo in arhitektura.

šport,

živinoreja,

topografije,

fiziki,

kemija itd.

V ruskem jeziku obstajajo tudi pregovori in reki, ki vzpostavljajo neposredno in obratno razmerje:

Kakor se bo vrnilo, tako se bo tudi odzvalo.

Višji kot je štor, višja je senca.

Več kot je ljudi, manj je kisika.

In je pripravljeno, vendar neumno.

Matematika je ena najstarejših ved, nastala je na podlagi potreb in želja človeštva. Ker je šel skozi zgodovino svojega nastanka od antične Grčije, še vedno ostaja pomemben in potreben v vsakdanjem življenju katere koli osebe. Koncept neposredne in obratne sorazmernosti je znan že od antičnih časov, saj so bili zakoni sorazmernosti tisti, ki so motivirali arhitekte pri gradnji ali ustvarjanju katere koli skulpture.

Znanje o proporcih se široko uporablja na vseh področjih človekovega življenja in delovanja – brez njega ne gre pri slikanju (pokrajine, tihožitja, portreti itd.), razširjeno je tudi med arhitekti in inženirji – na splošno je težko predstavljajte si, da ustvarite karkoli in nekaj brez uporabe znanja o proporcih in njihovih odnosih.

Literatura.

Matematika-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev in drugi.

Matematika-9, GIA-9, uredil F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova

Matematika-6, didaktični materiali, P.V. Čulkov, A.B. Uedinov

Težave pri matematiki za 4-5 razrede, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Zbirka nalog in primerov pri matematiki 5.-6. razreda, N.A. Terešin,

T.N. Tereshina, M. "Akvarij" 1997

Glavni cilji:

• uvesti pojem premo in obratno sorazmerne odvisnosti količin;
• naučiti reševati probleme z uporabo teh odvisnosti;
• spodbujati razvoj veščin reševanja problemov;
• utrditi spretnost reševanja enačb z uporabo razmerij;
• ponovite korake z navadnimi in decimalnimi ulomki;
• razvijati logično mišljenje učencev.

NAPREDEK POUKA

jaz Samoodločba za dejavnost(organizacijski trenutek)

- Fantje! Danes se bomo v lekciji seznanili s problemi, rešenimi z uporabo razmerij.

II. Posodabljanje znanja in beleženje težav pri dejavnostih

2.1. Ustno delo (3 min)

– Poiščite pomen izrazov in poiščite besedo, šifrirano v odgovorih.

14 – s; 0,1 – in; 7 – l; 0,2 – a; 17 – noter; 25 – do

– Nastala beseda je moč. Bravo!
– Moto naše današnje lekcije: Moč je v znanju! Iščem – to pomeni, da se učim!
– Iz dobljenih števil sestavite delež. (14:7 = 0,2:0,1 itd.)

2.2. Razmislimo o razmerju med količinami, ki jih poznamo (7 min)

– razdalja, ki jo prevozi avtomobil s konstantno hitrostjo, in čas njegovega gibanja: S = v t ( z večanjem hitrosti (časa) se razdalja povečuje);
– hitrost vozila in čas, porabljen na poti: v=S:t(ko se čas potovanja po poti povečuje, se hitrost zmanjšuje);
– stroški blaga, kupljenega po eni ceni, in njegova količina: C = a · n (z zvišanjem (znižanjem) cene se povečuje (zmanjšuje) nabavna vrednost);
– cena izdelka in njegova količina: a = C: n (z večanjem količine se cena znižuje)
– površina pravokotnika in njegova dolžina (širina): S = a · b (s povečanjem dolžine (širine) se površina poveča;
– dolžina in širina pravokotnika: a = S: b (z večanjem dolžine se širina zmanjšuje;
– število delavcev, ki opravljajo neko delo z enako produktivnostjo dela, in čas, potreben za opravljanje tega dela: t = A: n (z večanjem števila delavcev se čas, porabljen za opravljanje dela, zmanjšuje) itd. .

Dobili smo odvisnosti, pri katerih se ob večkratnem povečanju ene količine druga takoj poveča za enako (primeri so prikazani s puščicami) in odvisnosti, pri katerih se ob večkratnem povečanju ene količine druga količina zmanjša za enako število krat.
Takšne odvisnosti imenujemo neposredna in obratna sorazmernost.
Neposredno sorazmerna odvisnost– razmerje, v katerem se ena vrednost večkrat poveča (zmanjša), druga vrednost se poveča (zmanjša) za enako količino.
Obratno sorazmerno razmerje– razmerje, v katerem se ena vrednost večkrat poveča (zmanjša), druga vrednost pade (poveča) za enako količino.

III. Postavitev učne naloge

– S kakšnim problemom se soočamo? (Naučite se razlikovati med neposrednimi in inverznimi odvisnostmi)
- To - tarča naša lekcija. Sedaj oblikujte tema lekcija. (Neposredno in obratno sorazmerno razmerje).
- Bravo! Temo lekcije zapišite v zvezke. (Učitelj napiše temo na tablo.)

IV. »Odkrivanje« novega znanja(10 min)

Poglejmo nalogo št. 199.

1. Tiskalnik natisne 27 strani v 4,5 minutah. Kako dolgo bo trajalo tiskanje 300 strani?

27 strani – 4,5 min.
300 strani - x?

2. V škatli je 48 pakiranj čaja po 250 g. Koliko 150g pakiranj tega čaja boste dobili?

48 paketov – 250 g.
X? – 150 g.

3. Avto je prevozil 310 km, pri čemer je porabil 25 litrov bencina. Kako daleč lahko prevozi avto s polnim 40-litrskim rezervoarjem?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Eden od zobnikov sklopke ima 32 zob, drugi pa 40. Koliko vrtljajev bo naredil drugi zobnik, medtem ko prvi naredi 215 vrtljajev?

32 zob – 315 vrt.
40 zob – x?

Za sestavo sorazmerja je potrebna ena smer puščic; za to se v obratni sorazmernosti eno razmerje nadomesti z obratnim.

Na tabli učenci sproti ugotavljajo pomen količin, rešujejo eno nalogo po lastni izbiri.

– Oblikujte pravilo za reševanje nalog z neposredno in obratno sorazmerno odvisnostjo.

Na tabli se pojavi tabela:

V. Primarno utrjevanje v zunanjem govoru(10 min)

Naloge na listih:

1. Iz 21 kg bombaževega semena smo dobili 5,1 kg olja.
2. Koliko olja dobimo iz 7 kg bombaževega semena?

Za izgradnjo stadiona je 5 buldožerjev očistilo lokacijo v 210 minutah. Koliko časa bi potrebovalo 7 buldožerjev, da očistijo to lokacijo?VI. Samostojno delo s samotestiranjem po standardu

(5 min)
Dva učenca samostojno opravita nalogo št. 225 na skritih tablah, ostali pa v zvezkih. Nato preverijo delovanje algoritma in ga primerjajo z rešitvijo na tabli. Napake se odpravijo in ugotovijo vzroki zanje. Če je naloga pravilno opravljena, potem učenci poleg njih postavijo znak "+".

Študenti, ki delajo napake pri samostojnem delu, lahko uporabljajo svetovalce.№ 271, № 270.

VII. Vključevanje v sistem znanja in ponavljanje

V odboru dela šest ljudi. Po 3-4 minutah učenci ob tabli predstavijo svoje rešitve, ostali pa preverijo naloge in sodelujejo v njihovi razpravi.

VIII. Razmislek o dejavnosti (povzetek lekcije)
– Kaj novega ste se naučili v lekciji?
-Kaj so ponovili?
– Kakšen je algoritem za reševanje proporcijskih nalog?
– Ali smo dosegli svoj cilj?

– Kako ocenjujete svoje delo?

Primer

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 itd. Faktor sorazmernosti

Neposredna sorazmernost

Neposredna sorazmernost Stalno razmerje sorazmernih količin se imenuje faktor sorazmernosti. Koeficient sorazmernosti kaže, koliko enot ene količine pripada enoti druge.

- funkcionalna odvisnost, pri kateri je določena količina odvisna od druge količine tako, da njuno razmerje ostaja konstantno. Z drugimi besedami, te spremenljivke se spreminjajo

sorazmerno(x) = , v enakih deležih, to je, če se argument dvakrat spremeni v katero koli smer, potem se tudi funkcija dvakrat spremeni v isto smer.x,, v enakih deležih, to je, če se argument dvakrat spremeni v katero koli smer, potem se tudi funkcija dvakrat spremeni v isto smer. = Matematično je neposredna sorazmernost zapisana kot formula:faco

Inverzna sorazmernost

n s

t

Inverzna sorazmernost

- to je funkcionalna odvisnost, pri kateri povečanje neodvisne vrednosti (argumenta) povzroči sorazmerno zmanjšanje odvisne vrednosti (funkcije).

Matematično je obratna sorazmernost zapisana kot formula: