Danes vam bomo povedali, kako najti generatriko stožca, kar se pogosto zahteva pri šolskih geometrijskih problemih.
Koncept generatrike stožca
Pravi stožec je lik, ki ga dobimo z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od njegovih krakov. Osnova stožca tvori krog. Navpični prerez stožca je trikotnik, vodoravni prerez je krog. Višina stožca je odsek, ki povezuje vrh stožca s središčem baze. Generatrica stožca je odsek, ki povezuje oglišče stožca s poljubno točko na premici osnovnega kroga.
Ker stožec nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika, se izkaže, da je prvi krak takega trikotnika nadmorska višina, drugi je polmer kroga na dnu, hipotenuza pa je generatriksa stožca. Ni težko uganiti, da je Pitagorov izrek uporaben za izračun dolžine generatorja. In zdaj več o tem, kako najti dolžino generatrix stožca.
Iskanje generatorja
Kako najti generator, boste najlažje razumeli na konkretnem primeru. Recimo, da so podani naslednji pogoji problema: višina je 9 cm, premer osnovnega kroga je 18 cm. Treba je najti generatriko.
Torej je višina stožca (9 cm) eden od krakov pravokotnega trikotnika, s pomočjo katerega je nastal ta stožec. Drugi krak bo polmer osnovnega kroga. Polmer je polovica premera. Tako dani premer razdelimo na polovico in dobimo dolžino polmera: 18:2 = 9. Polmer je 9.
Zdaj je zelo enostavno najti generatriko stožca. Ker je hipotenuza, bo kvadrat njene dolžine enak vsoti kvadratov nog, to je vsoti kvadratov polmera in višine. Torej, kvadrat dolžine generatorja = 64 (kvadrat dolžine polmera) + 64 (kvadrat dolžine in višine) = 64x2 = 128. Sedaj vzamemo kvadratni koren iz 128. Kot rezultat, dobimo osem korenov iz dva. To bo generatrisa stožca.
Kot lahko vidite, v tem ni nič zapletenega. Za primer smo vzeli preproste pogoje problema, v šolskem tečaju pa so lahko bolj zapleteni. Ne pozabite, da morate za izračun dolžine generatrix ugotoviti polmer kroga in višino stožca. Če poznamo te podatke, je enostavno najti dolžino generatrix.
Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.
Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.
Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Naučite se na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.
Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.
2. Kolikokrat je prostornina stožca, opisanega okrog pravilne štirikotne piramide, večja od prostornine stožca, včrtanega tej piramidi?
Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.
Še ena pomembna točka. Spomnimo se, da je v nalogah dela B Enotnega državnega izpita iz matematike odgovor zapisan kot celo število ali končni decimalni ulomek. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino stranske površine valja, deljeno s."
Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.
Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti njegovo površino. Zakaj morate rešiti tako težavo? Na primer, morate razumeti, koliko testa bo šlo za izdelavo vafeljskega korneta? Ali koliko opek je potrebnih za izdelavo opečne grajske strehe?
Merjenje bočne površine stožca preprosto ni mogoče. Toda predstavljajmo si isti rog, ovit v blago. Če želite najti površino kosa blaga, ga morate razrezati in položiti na mizo. Rezultat je ploščat lik, lahko poiščemo njegovo ploščino.
riž. 1. Odsek stožca vzdolž generatrike
Enako storimo s stožcem. "Odrežemo" njegovo stransko površino vzdolž poljubne generatrise, na primer (glej sliko 1).
Zdaj "odvijmo" stransko površino na ravnino. Dobimo sektor. Središče tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak generatrisi stožca, dolžina njegovega loka pa sovpada z obsegom osnove stožca. Ta sektor se imenuje razvoj stranske površine stožca (glej sliko 2).
riž. 2. Razvoj stranske površine
riž. 3. Merjenje kota v radianih
Poskusimo poiskati območje sektorja z uporabo razpoložljivih podatkov. Najprej uvedemo zapis: naj bo kot na vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).
V težavah se bomo morali pogosto ukvarjati s kotom na vrhu zamaha. Za zdaj poskusimo odgovoriti na vprašanje: ali se ta kot ne more izkazati za več kot 360 stopinj? Se pravi, ali se ne bi izkazalo, da bi se pometanje prekrivalo samo? seveda ne. Dokažimo to matematično. Pustite, da se skeniranje "superponira" nase. To pomeni, da je dolžina pometnega loka večja od dolžine kroga polmera . Toda, kot že omenjeno, je dolžina pometnega loka dolžina kroga polmera . In polmer osnove stožca je seveda manjši od na primer generatrise, ker je krak pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze
Potem se spomnimo dveh formul iz tečaja planimetrije: dolžina loka. Območje sektorja: .
V našem primeru vlogo igra generator , dolžina loka pa je enaka obsegu osnove stožca, tj. Imamo:
Končno dobimo: .
Skupaj s stransko površino je mogoče najti tudi skupno površino. Če želite to narediti, dodajte območje podnožja na območje stranske površine. Toda osnova je krog s polmerom, katerega površina je po formuli enaka .
Končno imamo: , kjer je polmer osnove valja, je generator.
Rešimo nekaj nalog z uporabo danih formul.
riž. 4. Zahtevani kot
Primer 1. Razvoj stranske površine stožca je sektor s kotom na vrhu. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm in polmer osnove 3 cm (glej sliko 4).
riž. 5. Pravokotni trikotnik, ki tvori stožec
S prvim dejanjem po Pitagorovem izreku najdemo generator: 5 cm (glej sliko 5). Naprej, to vemo .
Primer 2. Površina osnega prereza stožca je enaka , višina je enaka . Poiščite skupno površino (glej sliko 6).
