Obravnavo te teme bomo začeli s preučevanjem koncepta ulomka kot celote, kar nam bo dalo popolnejše razumevanje pomena navadnega ulomka. Navedimo osnovne pojme in njihovo definicijo, preučimo temo v geometrijski interpretaciji, tj. na koordinatni premici, določite pa tudi seznam osnovnih operacij z ulomki.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Deleži celote
Predstavljajmo si predmet, sestavljen iz več, popolnoma enakih delov. Na primer, lahko je pomaranča, sestavljena iz več enakih rezin.
Definicija 1
Delček celote ali delež- to je vsak od enakih delov, ki sestavljajo celoten predmet.
Očitno so lahko deleži različni. Za jasno razlago te izjave si predstavljajte dve jabolki, od katerih je eno razrezano na dva enaka dela, drugo pa na štiri. Jasno je, da se bo velikost nastalih reženj razlikovala od jabolka do jabolka.
Deleži imajo svoja imena, ki so odvisna od števila deležev, ki sestavljajo celoten objekt. Če ima objekt dva deleža, bo vsak od njiju definiran kot en drugi delež tega objekta; ko je predmet sestavljen iz treh delov, potem je vsak od njih ena tretjina in tako naprej.
Definicija 2
Pol- en drugi delež predmeta.
Tretjič– tretjinski delež predmeta.
četrtina- ena četrtina predmeta.
Za skrajšanje zapisa so bili uvedeni naslednji zapisi za ulomke: pol - 1 2 ali 1/2; tretji - 1 3 ali 1/3; četrtinski delež - 1 4 ali 1/4 in tako naprej. Pogosteje se uporabljajo vnosi z vodoravno črto.
Koncept deleža se naravno razširi s predmetov na količine. Tako lahko za merjenje majhnih predmetov kot eno od enot dolžine uporabimo delčke metra (tretjino ali stotinko). Na podoben način lahko uporabimo deleže drugih količin.
Navadni ulomki, definicija in primeri
Za opis števila delnic se uporabljajo navadni ulomki. Poglejmo preprost primer, ki nam bo približal definicijo navadnega ulomka.
Predstavljajmo si pomarančo, sestavljeno iz 12 delov. Vsaka delnica bo potem ena dvanajstina ali 1/12. Dva utripa – 2/12; trije udarci – 3/12 itd. Vseh 12 udarcev ali celo število bo videti takole: 12 / 12. Vsak od zapisov, uporabljenih v primeru, je primer navadnega ulomka.
Definicija 3
Navadni ulomek je zapis obrazca m n ali m/n, kjer sta m in n poljubni naravni števili.
V skladu s to definicijo primeri navadnih ulomkov vključujejo naslednje vnose: 4/9, 11 34, 917 54. In ti vnosi: 11 5, 1, 9 4, 3 niso navadni ulomki.
Števec in imenovalec
Definicija 4Števec navadni ulomek mn ali m/n je naravno število m.
Imenovalec navadni ulomek mn ali m/n je naravno število n.
Tisti. Števec je število, ki se nahaja nad črto navadnega ulomka (ali levo od poševnice), imenovalec pa število, ki se nahaja pod črto (desno od poševnice).
Kaj pomenita števec in imenovalec? Imenovalec navadnega ulomka pove, koliko delnic je sestavljen iz enega predmeta, števec pa podatek o tem, za koliko takšnih delnic gre. Navadni ulomek 7 54 nam na primer pove, da je določen predmet sestavljen iz 54 delnic, za obravnavo pa smo vzeli 7 takih delnic.
Naravno število kot ulomek z imenovalcem 1
Imenovalec navadnega ulomka je lahko enak ena. V tem primeru je mogoče reči, da je zadevni predmet (količina) nedeljiv in predstavlja nekaj celote. Števec v takem ulomku bo pokazal, koliko takih predmetov je bilo odvzetih, tj. navadni ulomek oblike m 1 ima pomen naravnega števila m. Ta trditev služi kot utemeljitev enakosti m 1 = m.
Zadnjo enakost zapišimo takole: m = m 1 . To nam bo dalo možnost, da uporabimo poljubno naravno število kot navaden ulomek. Na primer, število 74 je navaden ulomek v obliki 74 1.
Definicija 5
Vsako naravno število m lahko zapišemo kot navaden ulomek, kjer je imenovalec ena: m 1.
Vsak navadni ulomek oblike m 1 pa lahko predstavimo z naravnim številom m.
Ulomek kot znak deljenja
Zgoraj uporabljena predstavitev danega predmeta kot n deležev ni nič drugega kot razdelitev na n enakih delov. Ko je predmet razdeljen na n delov, ga imamo možnost enakomerno razdeliti med n ljudi – vsak dobi svoj delež.
V primeru, ko imamo na začetku m enakih predmetov (vsakega razdeljenega na n delov), potem lahko teh m predmetov enakomerno razdelimo med n ljudi, tako da vsakemu od njih damo en delež od vsakega od m predmetov. V tem primeru bo vsaka oseba imela m deležev po 1 n, m deležev po 1 n pa bo dalo navaden ulomek m n. Zato lahko ulomek m n uporabimo za predstavitev delitve m predmetov med n ljudi.
Nastala izjava vzpostavlja povezavo med navadnimi ulomki in deljenjem. In to razmerje je mogoče izraziti na naslednji način : Ulomkovo črto lahko razumemo kot znak deljenja, tj. m/n = m:n.
Z navadnim ulomkom lahko zapišemo rezultat deljenja dveh naravnih števil. Na primer, deljenje 7 jabolk z 10 ljudmi zapišemo kot 7 10: vsaka oseba bo dobila sedem desetin.
Enaki in neenaki navadni ulomki
Logično dejanje je primerjati navadne ulomke, saj je očitno, da se na primer 1 8 jabolka razlikuje od 7 8.
Rezultat primerjanja navadnih ulomkov je lahko: enak ali neenak.
Opredelitev 6
Enaki navadni ulomki– navadna ulomka a b in c d, za katera velja enakost: a · d = b · c.
Neenaki navadni ulomki- navadna ulomka a b in c d, za katera ne velja enakost: a · d = b · c.
Primer enakih ulomkov: 1 3 in 4 12 – saj velja enakost 1 · 12 = 3 · 4.
V primeru, ko se izkaže, da ulomka nista enaka, je običajno treba ugotoviti tudi, kateri od danih ulomkov je manjši in kateri večji. Da odgovorimo na ta vprašanja, navadne ulomke primerjamo tako, da jih reduciramo na skupni imenovalec in nato primerjamo števce.
Ulomka števila
Vsak ulomek je zapis delnega števila, ki je v bistvu le »lupina«, vizualizacija pomenske obremenitve. A kljub temu za udobje združujemo koncepte ulomka in delnega števila, preprosto rečeno - ulomek.
Vsa ulomka imajo, tako kot vsa druga števila, svojo edinstveno lokacijo na koordinatnem žarku: med ulomki in točkami na koordinatnem žarku obstaja ujemanje ena proti ena.
Da bi našli točko na koordinatnem žarku, ki označuje ulomek m n, je treba iz izhodišča koordinat v pozitivno smer narisati m odsekov, katerih dolžina bo 1 n del enote odseka. Odseke lahko dobimo tako, da enotski odsek razdelimo na n enakih delov.
Kot primer označimo točko M na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku 14 10. Dolžina odseka, katerega konca sta točka O in najbližja točka, označena z majhno črto, je enaka 1 10 delov enotskega odseka. Točka, ki ustreza ulomku 14 10, se nahaja na razdalji 14 takih segmentov od izvora.
Če sta ulomka enaka, tj. ustrezajo istemu ulomku, potem ti ulomki služijo kot koordinate iste točke na koordinatnem žarku. Na primer, koordinate v obliki enakih ulomkov 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 ustrezajo isti točki na koordinatnem žarku, ki se nahaja na razdalji tretjine enotskega segmenta, postavljenega od izhodišča v pozitivni smeri.
Tu deluje isto načelo kot pri celih številih: na vodoravnem koordinatnem žarku, usmerjenem v desno, bo točka, ki ji ustreza večji ulomek, nameščena desno od točke, ki ji ustreza manjši ulomek. In obratno: točka, katere koordinata je manjši del, se bo nahajala levo od točke, ki ji ustreza večja koordinata.
Pravilni in nepravi ulomki, definicije, primeri
Osnova delitve ulomkov na prave in neprave je primerjava števca in imenovalca znotraj istega ulomka.
Opredelitev 7
Pravi ulomek je navaden ulomek, v katerem je števec manjši od imenovalca. To je, če je neenakost m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Nepravilen ulomek je navaden ulomek, katerega števec je večji ali enak imenovalcu. Če je neenakost undefined izpolnjena, potem je navadni ulomek m n nepravilen.
Tukaj je nekaj primerov: - pravi ulomki:
Primer 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Nepravilni ulomki:
Primer 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Pravilne in neprave ulomke je mogoče določiti tudi na podlagi primerjave ulomka z enico.
Opredelitev 8
Pravi ulomek– navaden ulomek, ki je manjši od ena.
Nepravilen ulomek– navaden ulomek, enak ali večji od ena.
Pravilen je na primer ulomek 8 12, ker 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 in 14 14 = 1.
Poglobimo se malo v to, zakaj ulomke, v katerih je števec večji ali enak imenovalcu, imenujemo "nepravilni".
Razmislite o nepravilnem ulomku 8 8: pove nam, da je 8 delov vzetih iz predmeta, sestavljenega iz 8 delov. Tako lahko iz razpoložljivih osmih deležev ustvarimo cel objekt, tj. dani ulomek 8 8 v bistvu predstavlja celoten predmet: 8 8 = 1. Ulomki, pri katerih sta števec in imenovalec enaka, v celoti nadomestijo naravno število 1.
Razmislimo še o ulomkih, pri katerih je števec večji od imenovalca: 11 5 in 36 3. Jasno je, da ulomek 11 5 nakazuje, da lahko iz njega naredimo dva cela predmeta in nam še vedno ostane ena petina. Tisti. ulomek 11 5 sta 2 predmeta in še 1 5 od njega. Po drugi strani pa je 36 3 ulomek, ki v bistvu pomeni 12 celih predmetov.
Iz teh primerov lahko sklepamo, da lahko neprave ulomke nadomestimo z naravnimi števili (če je števec deljiv z imenovalcem brez ostanka: 8 8 = 1; 36 3 = 12) ali z vsoto naravnega števila in pravega števila. ulomek (če števec ni deljiv z imenovalcem brez ostanka: 11 5 = 2 + 1 5). Verjetno zato takšne ulomke imenujemo "nepravilni".
Tu naletimo tudi na eno najpomembnejših številskih veščin.
Opredelitev 9
Ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka- To je zapis nepravega ulomka kot vsote naravnega števila in pravega ulomka.
Upoštevajte tudi, da obstaja tesna povezava med nepravilnimi ulomki in mešanimi števili.
Pozitivni in negativni ulomki
Zgoraj smo rekli, da vsak navaden ulomek ustreza pozitivnemu delnemu številu. Tisti. Navadni ulomki so pozitivni ulomki. Na primer, ulomki 5 17, 6 98, 64 79 so pozitivni, in ko je treba posebej poudariti "pozitivnost" ulomka, se zapiše z znakom plus: + 5 17, + 6 98, + 64 79.
Če navadnemu ulomku pripišemo znak minus, bo nastali zapis zapis negativnega ulomka in v tem primeru govorimo o negativnih ulomkih. Na primer - 8 17, - 78 14 itd.
Pozitivni in negativni ulomki m n in - m n so nasprotni števili. Na primer, ulomka 7 8 in - 7 8 sta nasprotna.
Pozitivni ulomki, kot vsa pozitivna števila na splošno, pomenijo dodatek, spremembo navzgor. Negativni deleži pa ustrezajo porabi, spremembi v smeri zmanjšanja.
Če pogledamo koordinatno črto, bomo videli, da se negativni ulomki nahajajo levo od izhodišča. Točke, ki jim ustrezajo nasprotni ulomki (m n in - m n), se nahajajo na enaki razdalji od izhodišča koordinat O, vendar na njegovih nasprotnih straneh.
Tu bomo posebej govorili tudi o ulomkih, zapisanih v obliki 0 n. Tak ulomek je enak nič, tj. 0 n = 0 .
Če povzamemo vse zgoraj navedeno, pridemo do najpomembnejšega koncepta racionalnih števil.
Opredelitev 10
Racionalna števila je množica pozitivnih ulomkov, negativnih ulomkov in ulomkov oblike 0 n.
Operacije z ulomki
Naštejmo osnovne operacije z ulomki. Na splošno je njihovo bistvo enako ustreznim operacijam z naravnimi števili
- Primerjava ulomkov - o tem dejanju smo razpravljali zgoraj.
- Seštevanje ulomkov - rezultat seštevanja navadnih ulomkov je navaden ulomek (v določenem primeru zmanjšan na naravno število).
- Odštevanje ulomkov je obratno od seštevanja, ko za določitev neznanega ulomka uporabimo en znan ulomek in dano vsoto ulomkov.
- Množenje ulomkov - to dejanje lahko opišemo kot iskanje ulomka iz ulomka. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navaden ulomek (v določenem primeru enak naravnemu številu).
- Deljenje ulomkov je dejanje, obratno množenju, ko določimo ulomek, s katerim je treba danega pomnožiti, da dobimo znani produkt dveh ulomkov.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Ta članek govori o navadni ulomki. Tu bomo predstavili koncept ulomka celote, kar nas bo pripeljalo do definicije navadnega ulomka. Nato se bomo posvetili sprejetemu zapisu za navadne ulomke in navedli primere ulomkov, recimo o števcu in imenovalcu ulomka. Za tem bomo podali definicije pravih in nepravih, pozitivnih in negativnih ulomkov ter razmislili tudi o položaju ulomkov na koordinatnem žarku. Na koncu naštejemo glavne operacije z ulomki.
Navigacija po straneh.
Deleži celote
Najprej se predstavimo koncept deleža.
Predpostavimo, da imamo nek predmet, sestavljen iz več popolnoma enakih (torej enakih) delov. Za jasnost si lahko predstavljate na primer jabolko, narezano na več enakih delov, ali pomarančo, sestavljeno iz več enakih rezin. Vsak od teh enakih delov, ki sestavljajo cel predmet, se imenuje deli celote ali samo delnice.
Upoštevajte, da so delnice različne. Razložimo to. Vzemimo dve jabolki. Prvo jabolko prerežemo na dva enaka dela, drugo pa na 6 enakih delov. Jasno je, da bo delež prvega jabolka drugačen od deleža drugega jabolka.
Odvisno od števila deležev, ki sestavljajo celoten objekt, imajo ti deleži svoja imena. Uredimo to imena utripov. Če je predmet sestavljen iz dveh delov, se kateri koli od njiju imenuje drugi del celotnega predmeta; če je predmet sestavljen iz treh delov, se kateri koli od njih imenuje tretji del itd.
En sekundni delež ima posebno ime - pol. Ena tretjina je poklicana tretji in ena četrtina - četrtina.
Zaradi jedrnatosti je bilo uvedeno naslednje: premagati simbole. En drugi delež je označen kot ali 1/2, tretjinski delež je označen kot ali 1/3; en četrtinski delež - like ali 1/4 itd. Upoštevajte, da se pogosteje uporablja zapis z vodoravno črto. Za podkrepitev gradiva navedimo še en primer: zapis označuje sto sedeminšestdeseti del celote.
Koncept deleža se naravno razširi od predmetov do količin. Eno od meril za dolžino je na primer meter. Za merjenje dolžin, krajših od metra, lahko uporabite delčke metra. Tako lahko uporabite na primer pol metra ali desetinko ali tisočinko metra. Podobno se uporabljajo deleži drugih količin.
Navadni ulomki, definicija in primeri ulomkov
Za opis števila delnic, ki jih uporabljamo navadni ulomki. Navedimo primer, ki nam bo omogočil, da se približamo definiciji navadnih ulomkov.
Naj bo pomaranča sestavljena iz 12 delov. Vsaka delnica v tem primeru predstavlja eno dvanajstino cele pomaranče, to je . Dva utripa označimo kot , tri utripe kot , in tako naprej, 12 utripov označimo kot . Vsak od navedenih vnosov se imenuje navadni ulomek.
Zdaj pa dajmo generalko definicija navadnih ulomkov.
Glasovna definicija navadnih ulomkov nam omogoča podajanje primeri navadnih ulomkov: 5/10, , 21/1, 9/4, . In tukaj so zapisi 
ne ustrezajo navedeni definiciji navadnih ulomkov, to pomeni, da niso navadni ulomki.
Števec in imenovalec
Za udobje se razlikujejo navadne frakcije števec in imenovalec.
Opredelitev.
Števec navadni ulomek (m/n) je naravno število m.
Opredelitev.
Imenovalec navadni ulomek (m/n) je naravno število n.
Torej se števec nahaja nad ulomkovo črto (levo od poševnice), imenovalec pa pod ulomkovo črto (desno od poševnice). Na primer, vzemimo navadni ulomek 17/29, števec tega ulomka je število 17, imenovalec pa število 29.
Razpravljati je treba o pomenu števca in imenovalca navadnega ulomka. Imenovalec ulomka kaže, koliko delov je sestavljen iz enega predmeta, števec pa število takih delov. Na primer, imenovalec 5 ulomka 12/5 pomeni, da je en predmet sestavljen iz petih delnic, števec 12 pa, da je vzetih 12 takih delnic.
Naravno število kot ulomek z imenovalcem 1
Imenovalec navadnega ulomka je lahko enak ena. V tem primeru lahko štejemo, da je predmet nedeljiv, z drugimi besedami, predstavlja nekaj celote. Števec takega ulomka pove, koliko celih predmetov je vzetih. Tako ima navadni ulomek oblike m/1 pomen naravnega števila m. Tako smo utemeljili veljavnost enakosti m/1=m.
Zadnjo enakost prepišemo takole: m=m/1. Ta enakost nam omogoča, da vsako naravno število m predstavimo kot navadni ulomek. Na primer, število 4 je ulomek 4/1, število 103.498 pa je enako ulomku 103.498/1.
Torej, vsako naravno število m lahko predstavimo kot navaden ulomek z imenovalcem 1 kot m/1, vsak navadni ulomek oblike m/1 pa lahko nadomestimo z naravnim številom m.
Ulomek kot znak deljenja
Predstavljanje izvirnega predmeta v obliki n deležev ni nič drugega kot razdelitev na n enakih delov. Ko je predmet razdeljen na n deležev, ga lahko enakomerno razdelimo med n ljudi - vsak bo prejel en delež.
Če imamo na začetku m enakih predmetov, od katerih je vsak razdeljen na n deležev, potem lahko teh m predmetov enakomerno razdelimo med n ljudi, tako da vsaki osebi damo en delež od vsakega od m predmetov. V tem primeru bo vsaka oseba imela m deležev 1/n, m deležev 1/n pa daje navadni ulomek m/n. Tako lahko navadni ulomek m/n uporabimo za označevanje delitve m predmetov med n ljudi.
Tako smo dobili eksplicitno povezavo med navadnimi ulomki in deljenjem (glej splošno idejo deljenja naravnih števil). Ta povezava je izražena na naslednji način: ulomkovo črto lahko razumemo kot znak deljenja, torej m/n=m:n.
Z navadnim ulomkom lahko zapišete rezultat deljenja dveh naravnih števil, pri katerih ni mogoče izvesti celega deljenja. Na primer, rezultat deljenja 5 jabolk z 8 ljudmi lahko zapišemo kot 5/8, kar pomeni, da bo vsak dobil pet osmin jabolka: 5:8 = 5/8.
Enaki in neenaki ulomki, primerjava ulomkov
Dokaj naravno dejanje je primerjanje ulomkov, ker je jasno, da se 1/12 pomaranče razlikuje od 5/12, 1/6 jabolka pa je enaka drugi 1/6 tega jabolka.
Kot rezultat primerjave dveh navadnih ulomkov dobimo enega od rezultatov: ulomka sta enaka ali neenaka. V prvem primeru imamo enaki navadni ulomki, v drugem pa – neenaki navadni ulomki. Dajmo definicijo enakih in neenakih navadnih ulomkov.
Opredelitev.
enaka, če velja enakost a·d=b·c.
Opredelitev.
Dva navadna ulomka a/b in c/d ni enako, če ni izpolnjena enakost a·d=b·c.
Tukaj je nekaj primerov enakih ulomkov. Navadni ulomek 1/2 je na primer enak ulomku 2/4, saj je 1·4=2·2 (če je treba, glej pravila in primere množenja naravnih števil). Za jasnost si lahko predstavljate dve enaki jabolki, prvo je prerezano na pol, drugo pa na 4 dele. Očitno je, da sta dve četrtini jabolka enaki 1/2 deleža. Drugi primeri enakih navadnih ulomkov so ulomki 4/7 in 36/63 ter par ulomkov 81/50 in 1.620/1.000.
Toda navadna ulomka 4/13 in 5/14 nista enaka, saj je 4·14=56 in 13·5=65, torej 4·14≠13·5. Drugi primeri neenakih navadnih ulomkov sta ulomka 17/7 in 6/4.
Če se pri primerjavi dveh navadnih ulomkov izkaže, da nista enaka, potem boste morda morali ugotoviti, kateri od teh navadnih ulomkov manj drugačen in kateri - več. Za ugotovitev se uporablja pravilo primerjanja navadnih ulomkov, katerega bistvo je, da primerjane ulomke spravimo na skupni imenovalec in nato primerjamo števce. Podrobne informacije o tej temi so zbrane v članku primerjava ulomkov: pravila, primeri, rešitve.
Ulomka števila
Vsak ulomek je zapis delno število. To pomeni, da je ulomek le "lupina" delnega števila, njegov videz in vsa semantična obremenitev je v delnem številu. Vendar pa sta zaradi jedrnatosti in priročnosti koncepta ulomka in delnega števila združena in preprosto imenovana ulomek. Tukaj je primerno parafrazirati znani rek: rečemo ulomek - mislimo ulomek, rečemo ulomek - mislimo ulomek.
Ulomki na koordinatnem žarku
Vsa ulomka, ki ustrezajo navadnim ulomkom, imajo svoje edinstveno mesto na, kar pomeni, da obstaja ujemanje ena proti ena med ulomki in točkami koordinatnega žarka.
Če želite priti do točke na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku m/n, morate od izhodišča v pozitivni smeri odložiti m odsekov, katerih dolžina je 1/n ulomek enotskega odseka. Takšne odseke lahko dobimo tako, da enotski odsek razdelimo na n enakih delov, kar lahko vedno storimo s šestilom in ravnilom.
Na primer, pokažimo točko M na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku 14/10. Dolžina odseka s koncema v točki O in njej najbližje točke, označene z majhno črtico, je 1/10 enotskega odseka. Točka s koordinato 14/10 je odmaknjena od izhodišča na razdalji 14 takih segmentov.
Enaki ulomki ustrezajo istemu delnemu številu, kar pomeni, da so enaki ulomki koordinate iste točke na koordinatnem žarku. Na primer, koordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 ustrezajo eni točki na koordinatnem žarku, saj so vsi zapisani ulomki enaki (nahaja se na razdalji polovice razporejenega enotskega segmenta od izhodišča v pozitivno smer).
Na vodoravnem in desno usmerjenem koordinatnem žarku se točka, katere koordinata je večji del, nahaja desno od točke, katere koordinata je manjši del. Podobno leži točka z manjšo koordinato levo od točke z večjo koordinato.
Pravilni in nepravi ulomki, definicije, primeri
Med navadnimi ulomki so pravi in nepravi ulomki. Ta delitev temelji na primerjavi števca in imenovalca.
Določimo pravilne in nepravilne navadne ulomke.
Opredelitev.
Pravi ulomek je navaden ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, to je, če je m Opredelitev.
Nepravilen ulomek je navaden ulomek, v katerem je števec večji ali enak imenovalcu, to je, če je m≥n, potem je navadni ulomek nepravilen. Tukaj je nekaj primerov pravilnih ulomkov: 1/4, , 32,765/909,003. V vsakem od zapisanih navadnih ulomkov je namreč števec manjši od imenovalca (če je treba, glej članek o primerjavi naravnih števil), zato so po definiciji pravilni. Tu so primeri nepravilnih ulomkov: 9/9, 23/4, . Dejansko je števec prvega od zapisanih navadnih ulomkov enak imenovalcu, pri preostalih ulomkih pa je števec večji od imenovalca. Obstajajo tudi definicije pravih in nepravih ulomkov, ki temeljijo na primerjavi ulomkov z enico. Opredelitev. pravilno, če je manj kot ena. Opredelitev. Navadni ulomek se imenuje narobe, če je enako ena ali večja od 1. Torej je navadni ulomek 7/11 pravilen, saj je 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 in 27/27=1. Pomislimo, kako si navadni ulomki s števcem, ki je večji ali enak imenovalcu, zaslužijo tako ime - "nepravilno". Na primer, vzemimo nepravilni ulomek 9/9. Ta ulomek pomeni, da se vzame devet delov predmeta, ki je sestavljen iz devetih delov. To pomeni, da lahko iz razpoložljivih devetih delov sestavimo cel predmet. To pomeni, da nepravilni ulomek 9/9 v bistvu daje celoten predmet, to je 9/9 = 1. V splošnem nepravi ulomki s števcem, enakim imenovalcu, označujejo en cel predmet in tak ulomek lahko nadomestimo z naravnim številom 1. Zdaj razmislite o nepravilnih ulomkih 7/3 in 12/4. Povsem očitno je, da lahko iz teh sedmih tretjih delov sestavimo dva cela predmeta (en cel predmet je sestavljen iz 3 delov, potem bomo za sestavo dveh celih predmetov potrebovali 3 + 3 = 6 delov) in še vedno bo ena tretjina del levo. To pomeni, da nepravi ulomek 7/3 v bistvu pomeni 2 predmeta in tudi 1/3 takega predmeta. In iz dvanajstih četrtin lahko naredimo tri cele predmete (tri predmete s štirimi deli). To pomeni, da ulomek 12/4 v bistvu pomeni 3 cele predmete. Obravnavani primeri nas vodijo do naslednje ugotovitve: neprave ulomke lahko nadomestimo bodisi z naravnimi števili, ko števec enakomerno delimo z imenovalcem (npr. 9/9=1 in 12/4=3), bodisi z vsoto naravnega števila in pravega ulomka, kadar števec ni enakomerno deljiv z imenovalcem (npr. 7/3=2+1/3). Morda je prav zaradi tega nepravilni ulomek dobil ime »nepravilni«. Posebej zanimiva je predstavitev nepravilnega ulomka kot vsote naravnega števila in pravega ulomka (7/3=2+1/3). Ta postopek se imenuje izolacija celotnega dela od nepravilnega ulomka in si zasluži ločeno in natančnejšo obravnavo. Omeniti velja tudi, da obstaja zelo tesna povezava med nepravilnimi ulomki in mešanimi števili. Vsak navadni ulomek ustreza pozitivnemu ulomku (glej članek o pozitivnih in negativnih številih). To so navadni ulomki pozitivni ulomki. Na primer, navadni ulomki 1/5, 56/18, 35/144 so pozitivni ulomki. Ko morate poudariti pozitivnost ulomka, se pred njim postavi znak plus, na primer +3/4, +72/34. Če pred navadnim ulomkom postavite znak minus, bo ta vnos ustrezal negativnemu ulomku. V tem primeru lahko govorimo o negativni ulomki. Tukaj je nekaj primerov negativnih ulomkov: −6/10, −65/13, −1/18. Pozitivni in negativni ulomki m/n in −m/n sta nasprotni števili. Na primer, ulomka 5/7 in −5/7 sta nasprotna ulomka. Pozitivni ulomki, tako kot pozitivna števila na splošno, označujejo dodatek, dohodek, spremembo katere koli vrednosti navzgor itd. Negativni ulomki ustrezajo izdatku, dolgu ali zmanjšanju katere koli količine. Na primer, negativni ulomek −3/4 je mogoče interpretirati kot dolg, katerega vrednost je enaka 3/4. V vodoravni in desni smeri se negativni ulomki nahajajo levo od izhodišča. Točki koordinatne premice, katerih koordinate so pozitivni ulomek m/n in negativni ulomek −m/n, se nahajajo na enaki razdalji od izhodišča, vendar na nasprotnih straneh točke O. Tukaj velja omeniti ulomke oblike 0/n. Ti ulomki so enaki številu nič, to je 0/n=0. Pozitivni ulomki, negativni ulomki in ulomki 0/n se združijo v racionalna števila. Zgoraj smo že razpravljali o enem dejanju z navadnimi ulomki - primerjanju ulomkov. Definirane so še štiri aritmetične funkcije operacije z ulomki– seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje ulomkov. Oglejmo si vsakega od njih. Splošno bistvo operacij z ulomki je podobno bistvu ustreznih operacij z naravnimi števili. Naredimo analogijo. Množenje ulomkov si lahko predstavljamo kot dejanje iskanja ulomka iz ulomka. Za pojasnitev navedimo primer. Recimo, da imamo 1/6 jabolka in ga moramo vzeti 2/3. Del, ki ga potrebujemo, je rezultat množenja ulomkov 1/6 in 2/3. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navadni ulomek (ki je v posebnem primeru enak naravnemu številu). Nato vam priporočamo, da preučite informacije v članku Množenje ulomkov - pravila, primeri in rešitve. Reference. Števec Četrtine src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0"> . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Vse druge lastnosti, ki so lastne racionalnim številom, niso označene kot osnovne, ker na splošno ne temeljijo več neposredno na lastnostih celih števil, temveč jih je mogoče dokazati na podlagi danih osnovnih lastnosti ali neposredno z definicijo nekega matematičnega objekta. . Takih dodatnih lastnosti je veliko. Tukaj jih je smiselno našteti le nekaj. Če želite oceniti število racionalnih števil, morate najti kardinalnost njihovega niza. Preprosto je dokazati, da je množica racionalnih števil števna. Za to je dovolj podati algoritem, ki našteje racionalna števila, torej vzpostavi bijekcijo med množicami racionalnih in naravnih števil. Najenostavnejši od teh algoritmov izgleda takole. Na vsakem je sestavljena neskončna tabela navadnih ulomkov i-th vrstico v vsaki j th stolpec, v katerem se nahaja ulomek. Za natančnost se predpostavlja, da so vrstice in stolpci te tabele oštevilčeni od ena. Celice tabele so označene z , kjer je i- številko vrstice tabele, v kateri se nahaja celica, in j- številka stolpca. Nastala tabela se prečka z uporabo "kače" v skladu z naslednjim formalnim algoritmom. Ta pravila se iščejo od zgoraj navzdol, naslednji položaj pa se izbere glede na prvo ujemanje. V procesu takšnega prečkanja je vsako novo racionalno število povezano z drugim naravnim številom. To pomeni, da je ulomek 1/1 dodeljen številu 1, ulomek 2/1 številu 2 itd. Upoštevati je treba, da so oštevilčeni le nezmanjšljivi ulomki. Formalni znak nezmanjšanosti je, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka enak ena. Po tem algoritmu lahko naštejemo vsa pozitivna racionalna števila. To pomeni, da je množica pozitivnih racionalnih števil števna. Enostavno je vzpostaviti bijekcijo med množicami pozitivnih in negativnih racionalnih števil tako, da vsakemu racionalnemu številu preprosto pripišemo njegovo nasprotje. to. množica negativnih racionalnih števil je tudi števna. Njihova unija je števna tudi po lastnosti štetnih množic. Množica racionalnih števil je števna tudi kot unija števne množice s končno. Trditev o štetnosti množice racionalnih števil lahko povzroči nekaj zmede, saj se na prvi pogled zdi, da je mnogo obsežnejša od množice naravnih števil. Pravzaprav ni tako in naravnih števil je dovolj, da lahko naštejemo vsa racionalna. Hipotenuze takega trikotnika ni mogoče izraziti z nobenim racionalnim številom Racionalna števila oblike 1 / n na prostosti n lahko merimo poljubno majhne količine. To dejstvo ustvarja zavajajoč vtis, da je mogoče racionalna števila uporabiti za merjenje poljubnih geometrijskih razdalj. Lahko je dokazati, da to ni res. Iz Pitagorovega izreka vemo, da je hipotenuza pravokotnega trikotnika izražena kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih katet. to. dolžina hipotenuze enakokrakega pravokotnega trikotnika z enotskim krakom je enaka , tj. številu, katerega kvadrat je 2. Če predpostavimo, da je število mogoče predstaviti z nekim racionalnim številom, potem takšno celo število obstaja m in tako naravno število n, da , in ulomek je nezmanjšljiv, tj. števila m in n- medsebojno preprosta. Ulomke uporabljamo ves čas v življenju. Na primer, ko jemo torto s prijatelji. Torto lahko razdelimo na 8 enakih delov oz delnice. Delite- To je enak del nečesa celote. Štirje prijatelji so pojedli kos torte. Štiri vzete iz osmih kosov lahko matematično zapišemo v obrazec navadni ulomek\(\frac(4)(8)\), se prebere ulomek »štiri osmine« ali »štiri deljeno z osem«. Imenuje se tudi navadni ulomek enostavni ulomek. Ulomkov nadomešča deljenje: 4 – števnik ali dividende, se nahaja nad ulomkom in prikazuje, koliko delov ali delnic je bilo odvzetih od vsote. Če pogledamo natančno, bomo videli, da so prijatelji pojedli polovico torte ali en del dveh. Zapišimo ga kot navaden ulomek \(\frac(1)(2)\), beri »ena sekunda«. Poglejmo še en primer: Dva dela sta bila prebarvana, skupno pa je pet delov, tako da bo ulomek izgledal kot \(\frac(2)(5)\), beri kot "dve petini". Kvadrat razdelimo na manjše kvadratke in zapišimo ulomke za osenčene in neosenčene dele. Poslikanih delov je 6, skupaj pa je 25 delov. Dobimo ulomek \(\frac(6)(25)\), ulomek se bere "šest petindvajset". Prebarvani so 4 deli, skupaj pa je 25 delov. Dobimo ulomek \(\frac(4)(25)\), ulomek se glasi »štiri petindvajsetice«. Vsako naravno število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer: \(5 = \frac(5)(1)\) Vsako število je deljivo z ena, zato je to število mogoče predstaviti kot ulomek. Vprašanja na temo "navadni ulomki":
Kaj kaže imenovalec? Kaj kaže števec? Cesta je bila 100m. Miša je prehodil 31m. Zapiši izraz kot ulomek: koliko je prehodil Miša? Kaj je navadni ulomek? Kako pretvoriti naravno število v navadni ulomek? Naloga #1:
rešitev: Miši so odrezali \(\frac(2)(9)\) melone. V imenovalcu je številka 9, kar pomeni, da je melona razdeljena na 9 delov. Da bi našli maso preostale melone, morate od skupne mase melone odšteti maso pojedene. Pozitivni in negativni ulomki
Operacije z ulomki
.
.
, lahko vzamete toliko enot, da njihova vsota presega
Dodatne lastnosti
Pomanjkanje racionalnih števil
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Deleže smo zapisali z ulomki. V dobesedni obliki bo takole:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)
8 – imenovalec ali delitelj, se nahaja pod ulomkovo črto in prikazuje skupno število delov ali deležev.
Obstaja kvadrat. Kvadrat je bil razdeljen na 5 enakih delov. Dva dela sta bila prebarvana. Zapiši ulomek za osenčene dele? Zapiši ulomek za neosenčene dele?
Trije deli niso bili prebarvani, vseh delov je pet, zato ulomek zapišemo kot \(\frac(3)(5)\), ulomek se glasi »tri petine«.
Nepobarvanih je 19 delov, skupaj pa 25 delov. Dobimo ulomek \(\frac(19)(25)\), ulomek se glasi »devetnajst petindvajsetih«.
Nepobarvanih je 21 delov, ampak samo 25 delov. Dobimo ulomek \(\frac(21)(25)\), ulomek se glasi "enaindvajset petindvajset".
\(\bf m = \frac(m)(1)\)
Kaj je delnica?
odgovor: delež- To je enak del nečesa celote.
Odgovor: imenovalec pove, na koliko delov oziroma deležev je vsota razdeljena.
Odgovor: števec pove, koliko delov oziroma deležev je bilo odvzetih.
Odgovor:\(\frac(31)(100)\)
Odgovor: Navadni ulomek je razmerje med števcem in imenovalcem, pri čemer je števec manjši od imenovalca. Primer, navadni ulomki \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)
Odgovor: poljubno število lahko zapišemo kot ulomek, na primer \(5 = \frac(5)(1)\)
Kupili smo 2kg 700g melone. Miši so odrezali \(\frac(2)(9)\) melone. Kolikšna je masa odrezanega kosa? Koliko gramov melone je ostalo?
Pretvorimo kilograme v grame.
2 kg = 2000 g
2000g + 700g = 2700g skupne teže melone.
2700: 9 =300 g teže enega kosa.
Števec vsebuje številko 2, kar pomeni, da morate Miši dati dva kosa.
300 + 300 = 600 g ali 300 ⋅ 2 = 600 g je, koliko melone je pojedel Miša.
2700 - 600 = 2100 g melone ostane.