Splošna formula za trigonometrične enačbe. Osnovne metode reševanja trigonometričnih enačb

Trigonometrične enačbe niso lahka tema. Preveč so raznoliki.) Na primer, ti:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

In podobno...

Toda te (in vse ostale) trigonometrične pošasti imajo dve skupni in obvezni lastnosti. Prvič - ne boste verjeli - v enačbah so trigonometrične funkcije.) Drugič: najdeni so vsi izrazi z x znotraj teh istih funkcij. In samo tam! Če se nekje pojavi X zunaj, na primer sin2x + 3x = 3, to bo že enačba mešanega tipa. Takšne enačbe zahtevajo individualen pristop. Tukaj jih ne bomo obravnavali.

Tudi v tej lekciji ne bomo reševali zlih enačb.) Tukaj bomo obravnavali najpreprostejše trigonometrične enačbe. Zakaj? Da, ker rešitev katerikoli trigonometrične enačbe so sestavljene iz dveh stopenj. Na prvi stopnji se enačba zla z različnimi preobrazbami zmanjša na preprosto. Na drugem se reši ta najpreprostejša enačba. Sicer pa nikakor.

Torej, če imate težave na drugi stopnji, prva stopnja nima veliko smisla.)

Kako izgledajo osnovne trigonometrične enačbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tukaj A pomeni poljubno število. katera koli.

Mimogrede, znotraj funkcije morda ni čisti X, ampak nekakšen izraz, kot je:

cos(3x+π /3) = 1/2

in podobno. To zaplete življenje, vendar ne vpliva na način reševanja trigonometrične enačbe.

Kako rešiti trigonometrične enačbe?

Trigonometrične enačbe je mogoče rešiti na dva načina. Prvi način: uporaba logike in trigonometričnega kroga. Tukaj si bomo ogledali to pot. Drugi način - uporaba spomina in formul - bomo obravnavali v naslednji lekciji.

Prvi način je jasen, zanesljiv in ga je težko pozabiti.) Dober je za reševanje trigonometričnih enačb, neenačb in vseh vrst kočljivih nestandardnih primerov. Logika je močnejša od spomina!)

Reševanje enačb s trigonometričnim krogom.

Vključujemo elementarno logiko in sposobnost uporabe trigonometričnega kroga. Ali ne veš kako? Vendar ... Pri trigonometriji vam bo težko ...) Ampak ni pomembno. Oglejte si lekcije "Trigonometrični krog...... Kaj je to?" in "Merjenje kotov na trigonometričnem krogu." Tam je vse preprosto. Za razliko od učbenikov ...)

Oh, veš!? In celo obvladal »Praktično delo s trigonometričnim krogom«!? čestitke Ta tema vam bo blizu in razumljiva.) Še posebej veseli pa to, da je trigonometričnemu krogu vseeno, katero enačbo rešujete. Sinus, kosinus, tangens, kotangens – zanj je vse enako. Obstaja samo eno načelo rešitve.

Torej vzamemo katero koli elementarno trigonometrično enačbo. Vsaj to:

cosx = 0,5

Najti moramo X. Če govorimo v človeškem jeziku, potrebujete poiščite kot (x), katerega kosinus je 0,5.

Kako smo prej uporabljali krog? Nanj smo narisali kot. V stopinjah ali radianih. In to takoj žaga trigonometrične funkcije tega kota. Zdaj pa naredimo obratno. Na krog narišimo kosinus, ki je enak 0,5 in takoj bomo videli kotiček. Vse kar ostane je, da zapišemo odgovor.) Da, da!

Narišite krog in označite kosinus, ki je enak 0,5. Na kosinusni osi seveda. takole:

Zdaj pa narišimo kot, ki nam ga daje ta kosinus. Z miško se pomaknite nad sliko (ali se dotaknite slike na tabličnem računalniku) in boš videl prav ta kotiček X.

Kosinus katerega kota je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Nekateri se bodo skeptično nasmejali, ja ... Kot, ali je bilo vredno narediti krog, ko je že vse jasno ... Lahko se seveda nasmejite ...) A dejstvo je, da je to napačen odgovor. Oziroma premalo. Poznavalci krogov razumejo, da je tukaj cel kup kotov, ki dajejo tudi kosinus 0,5.

Če obrnete gibljivo stran OA polni obrat, se bo točka A vrnila v prvotni položaj. Z enakim kosinusom, ki je enak 0,5. Tisti. kot se bo spremenil za 360° ali 2π radiana in kosinus - št. Novi kot 60° + 360° = 420° bo tudi rešitev naše enačbe, ker

Narediti je mogoče neskončno število takih popolnih vrtljajev ... In vsi ti novi koti bodo rešitve naše trigonometrične enačbe. In vse jih je treba nekako zapisati kot odgovor. Vse. Sicer pa odločitev ne šteje, ja...)

Matematika lahko to naredi preprosto in elegantno. Zapiši v enem kratkem odgovoru neskončen niz odločitve. Takole izgleda naša enačba:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jaz ga bom dešifriral. Še vedno pišite smiselno To je bolj prijetno kot neumno risanje skrivnostnih črk, kajne?)

π /3 - to je isti kotiček kot mi žaga na krog in odločen glede na kosinusno tabelo.

2π je ena popolna revolucija v radianih.

n - to je število popolnih, tj. cela vrtljajev na minuto Jasno je, da n je lahko enako 0, ±1, ±2, ±3.... in tako naprej. Kot kaže kratek vnos:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) niz celih števil ( Z ). Mimogrede, namesto pisma n črke se lahko uporabijo k, m, t itd.

Ta zapis pomeni, da lahko vzamete katero koli celo število n . Najmanj -3, vsaj 0, vsaj +55. Kar hočeš. Če to številko nadomestite z odgovorom, boste dobili določen kot, ki bo zagotovo rešitev naše ostre enačbe.)

Ali z drugimi besedami, x = π /3 je edini koren neskončne množice. Za pridobitev vseh drugih korenin je dovolj, da π /3 prištejemo poljubno število polnih vrtljajev ( n ) v radianih. Tisti. 2πn radian.

Vsi? št. Namenoma podaljšujem užitek. Da si bolje zapomnimo.) Dobili smo le del odgovorov na našo enačbo. Ta prvi del rešitve bom zapisal takole:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne samo en koren, ampak celo vrsto korenov, zapisanih v kratki obliki.

Obstajajo pa tudi koti, ki dajejo tudi kosinus 0,5!

Vrnimo se k naši sliki, s katere smo zapisali odgovor. Tukaj je:

Z miško se pomaknite nad sliko in vidimo drugega kota, ki daje tudi kosinus 0,5.Čemu je po vašem mnenju enako? Trikotnika sta enaka... Da! Enak je kotu X , samo z zamudo v negativno smer. To je kotiček -X. Toda x smo že izračunali. π /3 oz 60°. Zato lahko mirno zapišemo:

x 2 = - π /3

No, seveda dodamo vse kote, ki jih dobimo s polnimi obrati:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je zdaj vse.) Na trigonometrični krožnici smo žaga(kdor razume, seveda)) Vse koti, ki dajejo kosinus 0,5. In te kote smo zapisali v kratki matematični obliki. Rezultat odgovora sta dva neskončna niza korenin:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je pravilen odgovor.

upam, splošni princip reševanja trigonometričnih enačb uporaba kroga je jasna. Na krogu označimo kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz dane enačbe, narišemo njemu ustrezne kote in zapišemo odgovor. Seveda moramo ugotoviti, v kakšnih kotih smo žaga na krogu. Včasih ni tako očitno. No, rekel sem, da je tukaj potrebna logika.)

Na primer, poglejmo drugo trigonometrično enačbo:

Upoštevajte, da število 0,5 ni edino možno število v enačbah!) Zame je bolj priročno, da ga zapišem kot korenine in ulomke.

Delamo po splošnem principu. Narišemo krog, označimo (seveda na sinusni osi!) 0,5. Naenkrat narišemo vse kote, ki ustrezajo temu sinusu. Dobimo to sliko:

Najprej se posvetimo kotu X v prvem četrtletju. Spomnimo se tabele sinusov in določimo vrednost tega kota. To je preprosta zadeva:

x = π /6

Spomnimo se polnih obratov in mirne vesti zapišemo prvi niz odgovorov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pol dela je opravljenega. Zdaj pa moramo določiti drugi kotiček... To je težje kot uporaba kosinusov, ja ... Ampak logika nas bo rešila! Kako določiti drugi kot skozi x? Enostavno je! Trikotnika na sliki sta enaka in rdeči vogal X enak kotu X . Le ta se šteje od kota π v negativno smer. Zato je rdeča.) In za odgovor potrebujemo kot, pravilno izmerjen s pozitivne pol-osi OX, tj. pod kotom 0 stopinj.

Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo vse. Prvi vogal sem odstranila, da ne kompliciram slike. Kot, ki nas zanima (narisan zeleno), bo enak:

π - x

X to vemo π /6 . Zato bo drugi kot:

π - π /6 = 5π /6

Spet se spomnimo dodajanja polnih vrtljajev in zapišemo drugi niz odgovorov:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je vse. Popoln odgovor je sestavljen iz dveh nizov korenov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentne in kotangensne enačbe je mogoče enostavno rešiti z uporabo istega splošnega načela za reševanje trigonometričnih enačb. Če seveda znate narisati tangento in kotangens na trigonometrično krožnico.

V zgornjih primerih sem uporabil tabelno vrednost sinusa in kosinusa: 0,5. Tisti. eden tistih pomenov, ki jih študent pozna dolžan. Zdaj pa razširimo svoje zmogljivosti na vse druge vrednosti. Odloči se, torej se odloči!)

Torej, recimo, da moramo rešiti to trigonometrično enačbo:

V kratkih tabelah te vrednosti kosinusa ni. To grozno dejstvo hladno ignoriramo. Nariši krog, označi 2/3 na kosinusni osi in nariši ustrezne kote. Dobimo to sliko.

Poglejmo najprej kot v prvi četrtini. Če bi le vedeli, čemu je x enak, bi takoj zapisali odgovor! Ne vemo ... Neuspeh!? umirjeno! Matematika ne pusti svojih ljudi v težavah! Za ta primer si je izmislila ark kosinuse. ne veš Zaman. Ugotovite, veliko lažje je, kot si mislite. Na tej povezavi ni niti enega zapletenega črkovanja o “inverznih trigonometričnih funkcijah”... To je v tej temi odveč.

Če ste seznanjeni, si recite: "X je kot, katerega kosinus je enak 2/3." In takoj, čisto po definiciji ark kosinusa, lahko zapišemo:

Spomnimo se dodatnih vrtljajev in mirno zapišemo prvi niz korenin naše trigonometrične enačbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Drugi niz korenov za drugi kot se skoraj samodejno zapiše. Vse je isto, le X (arccos 2/3) bo z minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

In to je to! To je pravilen odgovor. Še lažje kot s tabelarnimi vrednostmi. Ničesar si ni treba zapomniti.) Mimogrede, najbolj pozorni bodo opazili, da ta slika prikazuje rešitev skozi ark kosinus v bistvu se ne razlikuje od slike za enačbo cosx = 0,5.

Tako je! Splošno načelo je ravno to! Namenoma sem narisal dve skoraj enaki sliki. Krog nam pokaže kot X s svojim kosinusom. Ali je tabularni kosinus ali ne, ni vsem znano. Kakšen kot je to, π /3, ali kaj je ark kosinus - o tem se odločimo sami.

Ista pesem s sinusom. Na primer:

Ponovno narišite krog, označite sinus enak 1/3, narišite kote. To je slika, ki jo dobimo:

In spet je slika skoraj enaka kot pri enačbi sinx = 0,5. Spet začnemo iz kota v prvi četrtini. Čemu je X enak, če je njegov sinus 1/3? Brez vprašanja!

Zdaj je prvi paket korenin pripravljen:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ukvarjajmo se z drugim kotom. V primeru z vrednostjo tabele 0,5 je bila enaka:

π - x

Tudi pri nas bo popolnoma tako! Samo x je drugačen, arcsin 1/3. Pa kaj!? Drugi paket korenin lahko varno zapišete:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

To je popolnoma pravilen odgovor. Čeprav ne izgleda zelo znano. Vendar je jasno, upam.)

Tako se trigonometrične enačbe rešujejo s krogom. Ta pot je jasna in razumljiva. On je tisti, ki prihrani v trigonometričnih enačbah z izbiro korenin na danem intervalu, v trigonometričnih neenakostih - na splošno se rešujejo skoraj vedno v krogu. Skratka pri kakršnih koli nalogah, ki so malo težje od standardnih.

Uporabimo znanje v praksi?)

Rešite trigonometrične enačbe:

Prvič, preprostejše, neposredno iz te lekcije.

Zdaj je bolj zapleteno.

Namig: tukaj boste morali razmišljati o krogu. Osebno.)

In zdaj so navzven preprosti ... Imenujejo se tudi posebni primeri.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Namig: tukaj morate v krogu ugotoviti, kje sta dve vrsti odgovorov in kje ena ... In kako zapisati enega namesto dveh nizov odgovorov. Da, tako da se ne izgubi niti en koren iz neskončnega števila!)

No, zelo preprosto):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Namig: tukaj morate vedeti, kaj sta arksinus in arkosinus? Kaj je arktangens, arkotangens? Najenostavnejše definicije. Ni pa vam treba zapomniti vrednosti tabele!)

Odgovori so seveda zmešnjava):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne uspe vse? Se zgodi. Ponovno preberite lekcijo. Samo premišljeno(obstaja taka zastarela beseda ...) In sledite povezavam. Glavne povezave so o krogu. Brez nje je trigonometrija kot prečkanje ceste z zavezanimi očmi. Včasih deluje.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Nekoč sem bil priča pogovoru med dvema prosilcema:

– Kdaj dodati 2πn in kdaj πn? Samo ne morem se spomniti!

– In jaz imam isti problem.

Hotel sem jim le povedati: "Ni vam treba zapomniti, ampak razumeti!"

Ta članek je namenjen predvsem srednješolcem in upam, da jim bo pomagal rešiti najpreprostejše trigonometrične enačbe z "razumevanjem":

Številčni krog

Poleg pojma številska premica obstaja tudi pojem številski krog. Kot vemo v pravokotnem koordinatnem sistemu se krog s središčem v točki (0;0) in polmerom 1 imenuje enotski krog. Predstavljajmo si številsko premico kot tanko nit in jo navijmo okoli tega kroga: izhodišče (točko 0) bomo pritrdili na »desno« točko enotskega kroga, pozitivno pol os bomo ovili v nasprotni smeri urinega kazalca, negativno pol os pa -osi v smeri (slika 1). Tak enotski krog se imenuje numerični krog.

Lastnosti številskega kroga

• Vsako realno število leži na eni točki številskega kroga.
• Na vsaki točki številskega kroga je neskončno veliko realnih števil. Ker je dolžina enotskega kroga 2π, je razlika med poljubnima številoma na eni točki kroga enaka enemu od števil ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil točke A, lahko najdemo vsa števila točke A.

Narišimo premer AC (slika 2). Ker je x_0 eno od števil točke A, potem so števila x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... in le ta bodo števila točke C. Izberimo eno od teh števil, recimo x_0+π, in z njim zapišimo vsa števila točke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Upoštevajte, da lahko števila v točkah A in C združimo v eno formulo: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobimo števila točka A, in za k = ±3; … – številke točke C).

Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali C premera AC, lahko najdemo vsa števila v teh točkah.

• Dve nasprotni števili se nahajata na točkah kroga, ki sta simetrični glede na abscisno os.

Narišimo navpično tetivo AB (slika 2). Ker sta točki A in B simetrični glede na os Ox, se število -x_0 nahaja v točki B in so zato vsa števila točke B podana s formulo: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Števili v točkah A in B zapišemo z eno formulo: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Naj zaključimo: če poznamo eno od števil v eni od točk A ali B navpične tetive AB, lahko najdemo vsa števila v teh točkah. Oglejmo si vodoravno tetivo AD in poiščimo številke točke D (slika 2). Ker je BD premer in število -x_0 pripada točki B, potem je -x_0 + π eno od števil točke D in so zato vsa števila te točke podana s formulo x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Številke v točkah A in D lahko zapišemo z eno formulo: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pri k= 0; ±2; ±4; … dobimo številke točke A, pri k = ±1; ±3; ±5; … – številke točke D).

Naj zaključimo: Če poznamo eno od števil v eni od točk A ali D vodoravne tetive AD, lahko najdemo vsa števila v teh točkah.

Šestnajst glavnih točk številskega kroga

V praksi reševanje večine najpreprostejših trigonometričnih enačb vključuje šestnajst točk na krogu (slika 3). Kaj so te pike? Rdeče, modre in zelene pike delijo krog na 12 enakih delov. Ker je dolžina polkroga π, je dolžina loka A1A2 π/2, dolžina loka A1B1 π/6 in dolžina loka A1C1 π/3.

Zdaj lahko označimo eno številko naenkrat:

π/3 na C1 in

Oglišča oranžnega kvadrata so središča lokov vsake četrtine, zato je dolžina loka A1D1 enaka π/4 in je torej π/4 eno od števil točke D1. Z uporabo lastnosti številskega kroga lahko s formulami zapišemo vsa števila na vseh označenih točkah našega kroga. Na sliki so označene tudi koordinate teh točk (opis njihovega zajema bomo izpustili).

Ko smo to obvladali, imamo zdaj dovolj pripravljenosti za reševanje posebnih primerov (za devet vrednosti števila a) najenostavnejše enačbe.

Reši enačbe

1)sinx=1⁄(2).

– Kaj se zahteva od nas?

– Poiščite vsa tista števila x, katerih sinus je 1/2.

Spomnimo se definicije sinusa: sinx – ordinata točke na številskem krogu, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki, katerih ordinata je enaka 1/2. To so konci vodoravne tetive B1B2. To pomeni, da je zahteva "reši enačbo sinx=1⁄2" enakovredna zahtevi "poišči vsa števila v točki B1 in vsa števila v točki B2."

2)sinx=-√3⁄2 .

Poiskati moramo vsa števila v točkah C4 in C3.

3) sinx=1. Na krožnici imamo samo eno točko z ordinato 1 - točko A2, zato moramo najti le vsa števila te točke.

Odgovor: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Samo točka A_4 ima ordinato -1. Vse številke te točke bodo konji enačbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na krožnici imamo dve točki z ordinato 0 - točki A1 in A3. Številke lahko navedete na vsaki od točk posebej, vendar glede na to, da so te točke diametralno nasprotne, jih je bolje združiti v eno formulo: x=πk,k∈Z.

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Spomnimo se definicije kosinusa: cosx je abscisa točke na številskem krogu, na kateri se nahaja število x. Na krožnici imamo dve točki z absciso √2⁄2 - konci vodoravne tetive D1D4. Najti moramo vse številke na teh točkah. Zapišimo jih in jih združimo v eno formulo.

Odgovor: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Poiskati moramo številki v točkah C_2 in C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Le točki A2 in A4 imata absciso 0, kar pomeni, da bodo vsa števila v vsaki od teh točk rešitve enačbe.
.

Rešitvi enačbe sistema sta števili v točkah B_3 in B_4 neenačbe cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Upoštevajte, da je za katero koli dopustno vrednost x drugi faktor pozitiven in je zato enačba enakovredna sistemu

Rešitvi sistemske enačbe sta število točk D_2 in D_3. Števila točke D_2 ne zadoščajo neenakosti sinx≤0,5, števila točke D_3 pa jo.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Koncept reševanja trigonometričnih enačb.

• Če želite rešiti trigonometrično enačbo, jo pretvorite v eno ali več osnovnih trigonometričnih enačb. Reševanje trigonometrične enačbe se končno zmanjša na reševanje štirih osnovnih trigonometričnih enačb.

Reševanje osnovnih trigonometričnih enačb.

• Obstajajo 4 vrste osnovnih trigonometričnih enačb:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Reševanje osnovnih trigonometričnih enačb vključuje opazovanje različnih položajev x na enotskem krogu in uporabo pretvorbene tabele (ali kalkulatorja).
• Primer 1. sin x = 0,866. S pomočjo pretvorbene tabele (ali kalkulatorja) boste dobili odgovor: x = π/3. Enotski krog daje še en odgovor: 2π/3. Ne pozabite: vse trigonometrične funkcije so periodične, kar pomeni, da se njihove vrednosti ponavljajo. Na primer, periodičnost sin x in cos x je 2πn, periodičnost tg x in ctg x pa πn. Zato je odgovor zapisan takole:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Primer 2. cos x = -1/2. S pretvorbeno tabelo (ali kalkulatorjem) boste dobili odgovor: x = 2π/3. Enotski krog daje še en odgovor: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Primer 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odgovor: x = π/4 + πn.
• Primer 4. ctg 2x = 1,732.
• Odgovor: x = π/12 + πn.

Transformacije, ki se uporabljajo pri reševanju trigonometričnih enačb.

• Za transformacijo trigonometričnih enačb se uporabljajo algebraične transformacije (faktorizacija, redukcija homogenih členov itd.) in trigonometrične identitete.
• Primer 5: Z uporabo trigonometričnih identitet se enačba sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pretvori v enačbo 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tako so naslednje osnovne trigonometrične enačbe je treba rešiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Iskanje kotov z uporabo znanih funkcijskih vrednosti.

  • Preden se naučite reševati trigonometrične enačbe, se morate naučiti iskati kote z uporabo znanih funkcijskih vrednosti. To lahko storite s pretvorbeno tabelo ali kalkulatorjem.
  • Primer: cos x = 0,732. Kalkulator bo dal odgovor x = 42,95 stopinj. Enotski krog bo dal dodatne kote, katerih kosinus je prav tako 0,732.

• Raztopino odložite na enotski krog.

  • Na enotski krog lahko narišete rešitve trigonometrične enačbe. Rešitve trigonometrične enačbe na enotskem krogu so oglišča pravilnega mnogokotnika.
  • Primer: Rešitve x = π/3 + πn/2 na enotskem krogu predstavljajo oglišča kvadrata.
  • Primer: Rešitvi x = π/4 + πn/3 na enotskem krogu predstavljata oglišča pravilnega šestkotnika.

• Metode reševanja trigonometričnih enačb.

  • Če dana trigonometrična enačba vsebuje samo eno trigonometrično funkcijo, rešite to enačbo kot osnovno trigonometrično enačbo. Če podana enačba vključuje dve ali več trigonometričnih funkcij, potem obstajata 2 načina za rešitev takšne enačbe (odvisno od možnosti njene transformacije).
    • 1. metoda.
  • Pretvorite to enačbo v enačbo v obliki: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kjer so f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrične enačbe.
  • Primer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • rešitev. Z uporabo formule dvojnega kota sin 2x = 2*sin x*cos x zamenjajte sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos x = 0 in (sin x + 1) = 0.
  • Primer 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rešitev: S trigonometričnimi identitetami pretvorite to enačbo v enačbo oblike: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2cos x + 1) = 0.
  • Primer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rešitev: S trigonometričnimi identitetami pretvorite to enačbo v enačbo oblike: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Zdaj rešite dve osnovni trigonometrični enačbi: cos 2x = 0 in (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Dano trigonometrično enačbo pretvorite v enačbo, ki vsebuje samo eno trigonometrično funkcijo. Nato zamenjajte to trigonometrično funkcijo z neko neznano, na primer t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t itd.).
  • Primer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • rešitev. V tej enačbi zamenjajte (cos^2 x) z (1 - sin^2 x) (v skladu z identiteto). Transformirana enačba je:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamenjajte sin x s t. Zdaj je enačba videti takole: 5t^2 - 4t - 9 = 0. To je kvadratna enačba, ki ima dva korena: t1 = -1 in t2 = 9/5. Drugi koren t2 ne zadošča območju funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Primer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • rešitev. Zamenjajte tg x s t. Prepišite izvirno enačbo, kot sledi: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Zdaj poiščite t in nato poiščite x za t = tan x.

Lahko naročite podrobno rešitev vašega problema!!!

Enačba, ki vsebuje neznanko pod znakom trigonometrične funkcije (`sin x, cos x, tan x` ali `ctg x`), se imenuje trigonometrična enačba in njene formule bomo obravnavali naprej.

Najenostavnejše enačbe se imenujejo `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kjer je `x` kot, ki ga je treba najti, `a` je poljubno število. Za vsako od njih zapišimo korenske formule.

1. Enačba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nima rešitev.

Ko `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitev.

Korenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Enačba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kot v primeru sinusa, nima rešitev med realnimi števili.

Ko `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitev.

Korenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni primeri za sinus in kosinus v grafih.

3. Enačba `tg x=a`

Ima neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Enačba `ctg x=a`

Ima tudi neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korenine trigonometričnih enačb v tabeli

Za sinus:
Za kosinus:
Za tangens in kotangens:
Formule za reševanje enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije:

Metode reševanja trigonometričnih enačb

Reševanje katere koli trigonometrične enačbe je sestavljeno iz dveh stopenj:

• s pomočjo preoblikovanja v najpreprostejše;
• reši najpreprostejšo enačbo, dobljeno z uporabo korenskih formul in zgoraj zapisanih tabel.

Oglejmo si glavne metode rešitve na primerih.

Algebraična metoda.

Ta metoda vključuje zamenjavo spremenljivke in njeno zamenjavo v enačbo.

Primer. Rešite enačbo: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

naredite zamenjavo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, nato `2y^2-3y+1=0`,

najdemo korene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz česar sledita dva primera:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primer. Rešite enačbo: `sin x+cos x=1`.

rešitev. Premaknimo vse člene enakosti v levo: `sin x+cos x-1=0`. Z uporabo transformiramo in faktoriziramo levo stran:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogeno enačbo

Najprej morate to trigonometrično enačbo reducirati na eno od dveh oblik:

`a sin x+b cos x=0` (homogena enačba prve stopnje) ali `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena enačba druge stopnje).

Nato oba dela delite s `cos x \ne 0` - za prvi primer, in z `cos^2 x \ne 0` - za drugi primer. Dobimo enačbi za `tg x`: `a tg x+b=0` in `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ki ju je treba rešiti z znanimi metodami.

Primer. Rešite enačbo: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

rešitev. Zapišimo desno stran kot `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

To je homogena trigonometrična enačba druge stopnje, njeno levo in desno stran delimo s `cos^2 x \ne 0`, dobimo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamenjavo `tg x=t`, kar ima za posledico `t^2 + t - 2=0`. Koreni te enačbe so `t_1=-2` in `t_2=1`. Nato:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Premik na polovični kot

Primer. Rešite enačbo: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

rešitev. Uporabimo formule dvojnega kota, kar ima za posledico: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Z uporabo zgoraj opisane algebraične metode dobimo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvedba pomožnega kota

V trigonometrični enačbi `a sin x + b cos x =c`, kjer so a,b,c koeficienti in x spremenljivka, delite obe strani s `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficienti na levi strani imajo lastnosti sinusa in kosinusa, in sicer je vsota njunih kvadratov enaka 1 in njuni moduli niso večji od 1. Označimo ju takole: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potem:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Oglejmo si podrobneje naslednji primer:

Primer. Rešite enačbo: `3 sin x+4 cos x=2`.

rešitev. Obe strani enakosti delimo s `sqrt (3^2+4^2)`, dobimo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ker je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, vzamemo `\varphi=arcsin 4/5` kot pomožni kot. Nato našo enakost zapišemo v obliki:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Z uporabo formule za vsoto kotov za sinus zapišemo svojo enakost v naslednji obliki:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ulomke racionalne trigonometrične enačbe

To so enačbe z ulomki, katerih števci in imenovalci vsebujejo trigonometrične funkcije.

Primer. Reši enačbo. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

rešitev. Pomnožite in delite desno stran enakosti z `(1+cos x)`. Kot rezultat dobimo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Glede na to, da imenovalec ne more biti enak nič, dobimo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izenačimo števec ulomka z nič: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Nato `sin x=0` ali `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Glede na to, da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, sta rešitvi `x=2\pi n, n \in Z` in `x=\pi /2+2\pi n` , `n \v Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija in zlasti trigonometrične enačbe se uporabljajo na skoraj vseh področjih geometrije, fizike in tehnike. Študij se začne v 10. razredu, vedno obstajajo naloge za enotni državni izpit, zato si poskusite zapomniti vse formule trigonometričnih enačb - zagotovo vam bodo koristile!

Vendar vam jih sploh ni treba zapomniti, glavna stvar je razumeti bistvo in ga znati izpeljati. Ni tako težko, kot se zdi. Prepričajte se sami z ogledom videa.

Lekcija in predstavitev na temo: "Reševanje preprostih trigonometričnih enačb"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Priročniki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 10. razred iz 1C
Rešujemo naloge iz geometrije. Interaktivne naloge za gradnjo v prostoru
Programsko okolje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Kaj bomo študirali:
1. Kaj so trigonometrične enačbe?

3. Dve glavni metodi za reševanje trigonometričnih enačb.
4. Homogene trigonometrične enačbe.
5. Primeri.

Kaj so trigonometrične enačbe?

Fantje, preučevali smo že arksinus, arkosinus, arktangens in arkotangens. Zdaj pa poglejmo trigonometrične enačbe na splošno.

Trigonometrične enačbe so enačbe, v katerih je spremenljivka pod predznakom trigonometrične funkcije.

Ponovimo obliko reševanja najenostavnejših trigonometričnih enačb:

1) Če je |a|≤ 1, ima enačba cos(x) = a rešitev:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Če je |a|≤ 1, ima enačba sin(x) = a rešitev:

3) Če je |a| > 1, potem enačbi sin(x) = a in cos(x) = a nimata rešitev 4) Enačba tg(x)=a ima rešitev: x=arctg(a)+ πk

5) Enačba ctg(x)=a ima rešitev: x=arcctg(a)+ πk

Za vse formule je k celo število

Najenostavnejše trigonometrične enačbe imajo obliko: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrična funkcija.

Primer.

Rešite enačbe: a) sin(3x)= √3/2

rešitev:

A) Označimo 3x=t, nato pa bomo našo enačbo prepisali v obliki:

Rešitev te enačbe bo: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobimo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vrnimo se k naši spremenljivki: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potem je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kjer je n celo število. (-1)^n – minus ena na potenco n.

Več primerov trigonometričnih enačb.

Rešite enačbe: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

rešitev:

A) Tokrat pojdimo neposredno k izračunu korenov enačbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potem je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, kjer je k celo število.

B) Zapišemo ga v obliki: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vemo, da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, kjer je k celo število.

Rešite enačbe: cos(4x)= √2/2. In poiščite vse korenine na segmentu.

rešitev:

Rešimo našo enačbo v splošni obliki: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Zdaj pa poglejmo, kakšne korenine segajo v naš segment. Pri k Pri k=0, x= π/16 smo v danem segmentu.
S k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 smo znova zadeli.
Za k=2 je x= π/16+ π=17π/16, tukaj pa nismo zadeli, kar pomeni, da tudi pri velikih k očitno ne bomo zadeli.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dve glavni metodi rešitve.

Ogledali smo si najpreprostejše trigonometrične enačbe, obstajajo pa tudi bolj zapletene. Za njihovo reševanje se uporabljata metoda uvajanja nove spremenljivke in metoda faktorizacije. Poglejmo si primere.

Rešimo enačbo:

rešitev:
Za rešitev naše enačbe bomo uporabili metodo uvajanja nove spremenljivke, ki jo označujemo: t=tg(x).

Kot rezultat zamenjave dobimo: t 2 + 2t -1 = 0

Poiščimo korenine kvadratne enačbe: t=-1 in t=1/3

Potem je tg(x)=-1 in tg(x)=1/3, dobimo najpreprostejšo trigonometrično enačbo, poiščimo njene korenine.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primer reševanja enačbe

Rešite enačbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

rešitev:

Uporabimo identiteto: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša enačba bo imela obliko: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Vpeljimo zamenjavo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rešitev naše kvadratne enačbe sta korena: t=2 in t=-1/2

Potem je cos(x)=2 in cos(x)=-1/2.

Ker kosinus ne more sprejeti vrednosti, večjih od ena, potem cos(x)=2 nima korenin.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrične enačbe.

Definicija: Enačbe oblike a sin(x)+b cos(x) imenujemo homogene trigonometrične enačbe prve stopnje.

Enačbe oblike

homogene trigonometrične enačbe druge stopnje.

Če želite rešiti homogeno trigonometrično enačbo prve stopnje, jo delite s cos(x): Ne morete deliti s kosinusom, če je enak nič, poskrbimo, da temu ni tako:
Naj bo cos(x)=0, potem asin(x)+0=0 => sin(x)=0, vendar sinus in kosinus nista enaka nič hkrati, dobimo protislovje, tako da lahko varno delimo z ničlo.

Reši enačbo:
Primer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

rešitev:

Izločimo skupni faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Potem moramo rešiti dve enačbi:

Cos(x)=0 in cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Razmislite o enačbi cos(x)+sin(x)=0. Našo enačbo delimo s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk in x= -π/4+πk

Kako rešiti homogene trigonometrične enačbe druge stopnje?
Fantje, vedno upoštevajte ta pravila!

1. Poglejte, čemu je enak koeficient a, če je a=0, bo naša enačba imela obliko cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), katere primer rešitve je na prejšnjem diapozitivu

2. Če a≠0, potem morate obe strani enačbe deliti s kvadratom kosinusa, dobimo:

Spremenimo spremenljivko t=tg(x) in dobimo enačbo:

Reši primer št.:3

Reši enačbo:
rešitev:

Podelimo obe strani enačbe s kosinusnim kvadratom:

Spremenimo spremenljivko t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Poiščimo korenine kvadratne enačbe: t=-3 in t=1

Potem: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk in x= π/4+ πk

Reši primer št.:4

Reši enačbo:

rešitev:
Spremenimo svoj izraz:

Rešimo lahko takšne enačbe: x= - π/4 + 2πk in x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk in x=5π/4 + 2πk

Reši primer št.:5

Reši enačbo:

rešitev:
Spremenimo svoj izraz:

Vpeljimo zamenjavo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rešitev naše kvadratne enačbe bosta korena: t=-2 in t=1/2

Potem dobimo: tg(2x)=-2 in tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 in x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostojno rešitev.

1) Reši enačbo

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rešite enačbe: sin(3x)= √3/2. In poiščite vse korene na segmentu [π/2; π].

3) Rešite enačbo: posteljica 2 (x) + 2 posteljica (x) + 1 =0

4) Rešite enačbo: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rešite enačbo: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rešite enačbo: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)