Eden od pomembnih gospodarske težave je določiti optimalno strategijo za zamenjavo starih strojev, aipcraTOB in strojev z novimi. Staranje opreme pomeni njeno fizično in moralno obrabo, zaradi česar se povečajo stroški popravil in vzdrževanja, povečajo proizvodni stroški proizvodnje in zmanjšajo.

zmogljivost in tekoča vrednost. Pride čas, ko je bolj donosno prodati staro opremo in jo zamenjati z novo, kot pa jo uporabljati po stroških. visoki stroški; Poleg tega ga je mogoče zamenjati z novo opremo istega tipa ali novo, naprednejšo. Optimalna strategija za zamenjavo opreme je določitev njenega optimalnega časa. Merilo optimalnosti je v tem primeru lahko dobiček od obratovanja opreme, ki ga je treba optimizirati, ali celotni obratovalni stroški v obravnavanem obdobju, ki jih je treba minimizirati.

Vstavimo naslednji zapis:

r(t)- letni stroški vzdrževanja starostne opreme t položiti se;

g(t)- preostalo vrednost starostne opreme t položiti se;

R 0 - nabavna cena opreme.

Upoštevajte obdobje n let, v okviru katerih je treba določiti optimalen cikel zamenjave opreme.

Z L*(/) označimo optimalne stroške, dobljene iz

starost opreme t leta za preostalo n let cikla uporabe opreme, ob upoštevanju optimalne strategije.

Starost opreme se šteje v smeri poteka procesa. Tako / = 0 ustreza primeru uporabe nove opreme. Na vsaki stopnji procesa /V-stopnje je treba sprejeti odločitev o obdržanju, zamenjavi ali popravilu opreme. Izbrana možnost mora zagotavljati, da so skupni stroški poslovanja v obravnavanem časovnem obdobju minimizirani.

Predpostavlja se, da je prehod z dela na starostni opremi t Priprava na delo na novi opremi se zgodi takoj, to pomeni, da se zamenjava stare opreme in prehod na delo na novi opremi ujemata v eno obdobje.

Primer 4.2

Oprema se uporablja pet let in se nato proda. Na začetku vsakega leta se lahko odločite, ali boste opremo obdržali ali jo zamenjali z novo. Stroški nove opreme P 0= 4000 rub. Po t let delovanja (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (vrednost tekočine). Stroški vzdrževanja med letom so odvisni od starosti opreme t in sta enaka r(t) = 600(/ + 1).

Določite optimalna strategija delovanje opreme tako, da so skupni stroški, upoštevajoč začetni nakup in končno prodajo, minimalni.

rešitev. Metoda delitve nadzora na korake je naravna - toda z leti, n= 5. Parameter stanja - starost stroja lu= t,,v 0 = 0 - avto je nov na začetku prvega leta delovanja. Nadzor na vsakem koraku je odvisen od dveh spremenljivk če in če.

Enačbe stanja so odvisne od krmiljenja:

Indikator učinkovitosti koraka A:

(pri če stroški samo za delovanje stroja starost t, pri če stroj je prodan (-4000 2~"), nov je bil kupljen (4000) in je deloval prvo leto (600), skupni stroški so (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Naj bodo l' (?) pogojni optimalni stroški za obratovanje stroja, začenši od A"-tega koraka do konca, pod pogojem, da je do začetka A"-tega koraka stroj star. Zapišimo Wellmanove enačbe za funkcije A(r), pri čemer problem maksimizacije nadomestimo s problemom minimizacije:

Vrednost 4000 2 0+11 - stroški starosti avtomobila t let (v skladu s pogoji se avto prodaja po petih letih delovanja):

Iz definicije funkcij А* (/) sledi A min = А*(0).

Predstavljajmo si geometrijska rešitev to nalogo. Narišite številko koraka na os x za, in po ordinati - starost stroja /. Pika (Za - 1, /) na ravnini ustreza začetku A - - leta delovanja stroja, starosti / let. Gibanje na grafu v odvisnosti od sprejetega nadzora na / o-ti korak prikazano na sl. 4.3.

riž. 4.3

Stanje začetka delovanja stroja ustreza točki,v‘(0, 0), konec - točkam.5(5,/). Vsaka trajektorija, ki prenaša točko DA-1, /) iz točke 5, je sestavljena iz segmentov - korakov, ki ustrezajo letom delovanja. Treba je izbrati trajektorijo, pri kateri bodo stroški delovanja stroja minimalni.

Nad vsakim segmentom, ki povezuje točke (A’ - 1, /) in (A, / + 1), so napisani ustrezni kontrolniki če stroški (600(/ + 1)) in nad segmentom, ki povezuje točke (Za- 1, /) in ( Za, /), - stroški, ki ustrezajo upravljanju če(4600 - 4000 2 "). Na ta način so postavljeni vsi segmenti, ki povezujejo točke na 1rafix, ki ustrezajo prehodom iz katerega koli stanja ld_| v stanje s k(glej sliko 4.3).

Nato se izvede pogojna optimizacija na označenem faff. V državah (5, /) je avto prodan, pogojni optimalni dohodek od prodaje je 4000 2~‘, ker pa je ciljna funkcija povezana s stroški, je vrednost dohodka s predznakom minus postavljena v kroge točk (5, /). Nato v naslednjih fazah izberejo minimalni stroški med dvema možnima prehodoma, so zapisane v krogu dane točke, ustrezni kontrolniki v tem koraku pa so označeni s pikčasto puščico. V tem primeru se na vsakem koraku Wellmanove enačbe rešujejo prometno (slika 4.4).

Po izvedbi pogojne optimizacije dobimo v točki (0, 0) minimalne stroške delovanja stroja za približno pet let z nadaljnjo prodajo: A min = 11.900 Nato se konstruira optimalna trajektorija, ki se premika od točke Torej (0, 0) vzdolž pikčastih puščic v.?. Dobimo množico točk: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), ki ustreza optimalnemu nadzor U"(u c, U‘, U U c, U c). Optimalen način

operacija je zamenjava stroja z novim na začetku tretjega leta.

Tako vam označeni graf (omrežje) omogoča vizualno interpretacijo shema oblikovanja in rešite problem z metodo dinamično programiranje.

Modeli dinamičnega programiranja in računalniški postopki so zelo prilagodljivi v smislu zmožnosti vključevanja različnih modifikacij problema. Na primer, podoben problem je mogoče obravnavati za veliko število možnosti nadzora, "popravilo", " večja prenova" in itd. Vse te dejavnike lahko upošteva računalniška shema dinamičnega programiranja.

Ta storitev je namenjena spletnim uporabnikom reševanje problema optimalne strategije nadgradnje opreme. Običajno so v izvornih podatkih navedeni naslednji parametri:

• r(t) so stroški proizvodov, proizvedenih v vsakem letu načrtovalnega obdobja z uporabo te opreme;
• u(t) - letni stroški, povezani z delovanjem opreme;
• s(t) - preostala vrednost opreme;
• p je strošek nove opreme, ki vključuje stroške, povezane z namestitvijo, zagonom in zagonom opreme in se v danem planskem obdobju ne spremeni.

Če stroški opreme niso določeni, bo rešen problem stroškov in nadomestnih funkcij (problem načrtovanja kapitalskih naložb).

Načrtovanje kapitalskih naložb.

Primer št. 1. Poiščite optimalno strategijo delovanja opreme za obdobje 6 let, če sta v tabeli podana letni dohodek r(t) in preostala vrednost S(t) glede na starost, stroški nove opreme so P = 13 in starost opreme na začetku obratovalnega obdobja je bila 1 leto.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

rešitev.
stopnja I. Pogojna optimizacija(k = 6,5,4,3,2,1).
Kontrolna spremenljivka vklopljena k-ti korak je logična spremenljivka, ki ima lahko eno od dveh vrednosti: obdržati (C) ali zamenjati (R) opremo na začetku k-tega leta.
1. korak: k = 6. Za 1. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4,5,6, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max (7; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = največ (7; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = največ (6; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max (6; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max (5; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max (5; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. korak: k = 5. Za 2. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4,5, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = največ (7 + 7; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = največ (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = največ (6 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = največ (6 + 5; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = največ (5 + 5; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = največ (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3. korak: k = 4. Za 3. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = največ (7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = največ (7 + 12; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max (6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max (6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = največ (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4. korak: k = 3. Za 4. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = največ (7 + 19; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = največ (7 + 17; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = max (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = največ (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5. korak: k = 2. Za 5. korak so možna stanja sistema t = 1,2, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = največ (7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = največ (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. korak: k = 1. Za 6. korak so možna stanja sistema t = 1, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = največ (7 + 30; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = največ (7 + 29; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = max (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = največ (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Rezultati izračunov z uporabo Bellmanovih enačb F k (t) so podani v tabeli, v kateri je k leto obratovanja, t pa starost opreme.
Tabela – matrika največjega dobička

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

V tabeli je poudarjena vrednost funkcije, ki ustreza stanju (3) - zamenjava opreme.
Pri reševanju tega problema v nekaterih tabelah pri ocenjevanju izbire potreben nadzor smo dobili enake vrednosti F za obe kontrolni možnosti. V tem primeru je treba v skladu z algoritmom za reševanje tovrstnih problemov izbrati nadzor ohranjanja opreme.
Stopnja II. Brezpogojna optimizacija(k = 6,5,4,3,2,1).
Glede na pogoje problema je starost opreme t 1 =1 let. Načrtovano obdobje N=6 let.
Do začetka 1. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobiček bo F 1 (1) = 37.
Optimalno krmiljenje za k = 1, x 1 (1) = (C), tj. maksimalni dohodek od 1. do 6. leta se doseže, če je oprema ohranjena, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 2. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobiček bo F 2 (2) = 30.
Optimalno krmiljenje za k = 2, x 2 (2) = (C), tj. maksimalni dohodek od 2. do 6. leta se doseže ob ohranjeni opremi, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 3. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobiček bo F 3 (3) = 23.
Brezpogojno optimalno krmiljenje za k = 3, x 3 (3)=(3), tj. Za čim večji dobiček v preostalih letih je treba letos zamenjati opremo.
Do začetka 4. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobiček bo F 4 (1) = 20.
Optimalno krmiljenje za k = 4, x 4 (1) = (C), tj. maksimalni dohodek od 1. do 6. leta se doseže ob ohranjeni opremi, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 5. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobiček bo F 5 (2) = 13.
Optimalno krmiljenje za k = 5, x 5 (2) = (C), tj. maksimalni dohodek od 2. do 6. leta se doseže ob ohranjeni opremi, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 6. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobiček bo F 6 (3) = 6.
Optimalno krmiljenje za k = 6, x 6 (3) = (C), tj. največji dohodek za leta 3 do 6 je dosežen, če je oprema vzdrževana, tj. ni zamenjan.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (W)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Tako je treba po 6 letih delovanja opreme zamenjati na začetku 3. leta delovanja

Primer št. 2. Problem načrtovanja kapitalskih naložb. Interval načrtovanja T=5 let. Funkcija stroškov za popravila in nadaljnje obratovanje K(t)=t+2t 2 (r.); nadomestna funkcija P(t)=10+0,05t 2 (p.). Določite optimalno strategijo zamenjave in popravila za novo opremo (t=0) in opremo, staro t=1, t=2, t=3.
Določite optimalne načrtovane stroške za leta petletke, če je količina opreme po starostnih skupinah naslednja: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2). )=8, n(t=3)= 5

Dinamično programiranje. Težava pri zamenjavi opreme

Poiščite optimalen čas za zamenjavo opreme. Začetni stroški opreme q 0 =6000 konvencionalnih. enote, rešilna vrednost L(t)=q 0 2 -i, stroški vzdrževanja opreme, stare i let za 1 leto S(t)=0,1q 0 (t+1), življenjska doba opreme 5 let. Ob izteku življenjske dobe se oprema proda. Nalogo reši grafično.

Če želite zgraditi graf v programski opremi Wolfram Mathematica 6.0, vnesite

g = izris [(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Kot rezultat dobimo graf:

Iz grafa to vidimo optimalen čas zamenjava opreme je drugo leto delovanja.

Dinamično programiranje. Optimalna porazdelitev sredstev med podjetji

Poiščite optimalno porazdelitev sredstev v višini 9 konvencionalnih enot. enote med štirimi podjetji. Dobiček iz vsakega podjetja je funkcija vloženih sredstev in je predstavljen v tabeli:

Naložbe
I podjetje
II podjetje
III podjetje
IV podjetje

Naložbe v vsako podjetje so večkratniki 1 konvencionalne enote. enote

Postopek dodeljevanja sredstev podjetjem razdelimo na 4 stopnje: na prvi stopnji se sredstva y 1 dodelijo podjetju P 1, na drugi - sredstva y 2 podjetju P 2, na tretji - sredstva y 3 podjetju P 3, v četrti tretjini - y 4 sredstva podjetju P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Upoštevajte, da je na četrti stopnji dodeljevanja sredstev celotno stanje x 3 vloženo v podjetje P 4, torej y 3 = x 4.

Uporabimo Bellmanove enačbe za N = 4.

Kot rezultat dobimo naslednje tabele:

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Iz tabele 4 sledi, da bo optimalni nadzor y 1 * = 3, medtem ko je optimalen dobiček 42. Nato dobimo

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Tako je najbolj optimalna naložba v podjetja P1, P2, P3 in P4 gotovina v višini 4, 1,1 in 3 konvencionalne enote. V tem primeru bo dobiček največji in bo znašal 42 konvencionalnih enot. enote

Znano je, da se oprema sčasoma obrabi, fizično in psihično stara. Med delovanjem se praviloma njegova produktivnost zmanjša in obratovalni stroški povečajo. tekoča popravila. Sčasoma je potrebna zamenjava opreme, saj je njeno nadaljnje delovanje dražje od popravil. Od tukaj Problem zamenjave je mogoče formulirati na naslednji način. V procesu delovanja oprema ustvarja letni dobiček, zahteva obratovalne stroške in ima preostalo vrednost. Te lastnosti so odvisne od starosti opreme. V katerem koli letu je mogoče opremo shraniti, prodati po preostali ceni in kupiti novo. Če se oprema obdrži, se stroški poslovanja povečajo, produktivnost pa zmanjša. Zamenjava zahteva znatne dodatne kapitalske naložbe. Naloga je določiti optimalno strategijo zamenjave v planskem obdobju, tako da bo skupni dobiček v tem obdobju največji.

Za kvantitativno formuliranje problema uvedemo naslednji zapis: r(t) je strošek proizvodov, proizvedenih na leto na enoti opreme, stare t let; u(t) - stroški, povezani z delovanjem te opreme; s(t) - preostala vrednost opreme, stare t let; p - nabavna cena opreme; T - trajanje planskega obdobja; t = 0,1, 2,... , T je številka tekočega leta.

rešitev. Za rešitev problema uporabimo princip optimalnosti R. Bellmana. Upoštevajmo intervale (leta) planskega obdobja v zaporedju od konca do začetka. Vstavimo funkcijo pogojno optimalnih vrednosti ciljne funkcije Fk(t). Ta funkcija prikazuje največji dobiček, prejet z opremo, staro t let, v zadnjih k letih obdobja načrtovanja. Pri tem se starost opreme upošteva v smeri naravnega poteka časa. Na primer, t = 0 ustreza uporabi popolnoma nove opreme. Časovni koraki postopka so oštevilčeni v obratnem vrstnem redu. Na primer, pri k = 1 se upošteva zadnje leto načrtovalskega obdobja, pri k = 2 - zadnji dve leti itd., pri k = T - zadnjih T let, to je celotno obdobje načrtovanja. Smeri spreminjanja t in k so prikazane na sliki.

Pri tem problemu je sistem sestavljen iz opreme. Za njeno stanje je značilna starost. Vektor krmiljenja je odločitev v trenutku t = = 0,1, 2,... , T o vzdrževanju ali zamenjavi opreme. Da bi našli optimalno nadomestno politiko, je treba po načelu optimalnosti analizirati proces od konca do začetka. Za to bomo naredili predpostavko o stanju opreme na začetku prejšnjega leta (k = 1). Naj bo oprema stara t let. Na začetku T-leta obstajata dve možnosti: 1) shranite opremo za T-leto, potem bo dobiček za zadnje leto r(t) - u(t); 2) prodajte opremo po preostali vrednosti in kupite novo, potem bo dobiček za zadnje leto enak s(t) - p + r(0) - u(0), kjer je r(0) strošek izdelki, proizvedeni na novi opremi v prvem letu njene uvedbe; u(0) so obratovalni stroški v letošnjem letu. Tukaj je priporočljivo, da se postopek odvija od konca do začetka. Za zadnje leto (k = 1) bo z vidika celotnega procesa optimalna politika tista politika, ki zagotavlja največji dobiček samo za zadnje leto. Ob upoštevanju vrednosti dobička za različne načine ukrepanja (zamenjava - ohranitev) pridemo do zaključka, da se je treba za zamenjavo opreme, stare t let, odločiti v primeru, ko je dobiček od nove opreme v zadnjem obdobju večji. kot iz stare opreme, tj. glede na to

Torej, za zadnje leto se iz pogoja najdeta optimalna politika in največji dobiček F 1 (t).

Naj bo k = 2, tj. upoštevajte dobiček za dva lansko leto. Predpostavimo možno stanje t opreme na začetku predzadnjega leta. Če se na začetku tega leta odločite obdržati opremo, boste do konca leta prejeli dobiček r(t) - u(t). V začetku prejšnjega leta bo oprema prešla v stanje t + 1 in bo ob optimalni politiki v zadnjem letu ustvarila dobiček v višini F 1 (t + 1). Tako bo skupni dobiček za dve leti r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Če je na začetku predzadnjega leta sprejeta odločitev o zamenjavi opreme, bo dobiček predzadnjega leta s(t)-p+r(0)-u(0). Ker je bila nabavljena nova oprema, bo ta v začetku prejšnjega leta v stanju t = 1. Zato bo skupni dobiček zadnjih dveh let ob optimalni politiki v zadnjem letu znašal

Pogojno optimalna politika v zadnjih dveh letih bo tista, ki prinaša največji dobiček:

Podobno najdemo izraze za pogojno optimalen dobiček za zadnja tri leta, štiri itd. Splošna funkcionalna enačba bo imela obliko

Tako, če razgrnemo celoten proces od konca do začetka, ugotovimo, da bo največji dobiček za obdobje načrtovanja T F T (t 0). Ker je začetno stanje to znano, iz izraza za F T (t 0) najdemo optimalna rešitev na začetku prvega leta, nato dobljena optimalna rešitev za drugo leto itd. Poglejmo numerični primer.

Razvijte optimalno politiko zamenjave opreme pod naslednjimi pogoji:

1) stroški r(t) izdelkov, proizvedenih z uporabo opreme na leto, in stroški u(t), povezani z delovanjem opreme, so podani v tabeli;

2) vrednost reševanja avtomobila ni odvisna od njegove starosti in je enaka 2;

3) cena nove opreme se sčasoma ne spreminja in je enaka 15;

4) trajanje planskega obdobja je 12 let.

Torej, s(t) = 2, p = 15, T = 12.

Zapišimo funkcionalne enačbe za F 1 (t) in F do (t) z numeričnimi vrednostmi našega primera:

Z izrazi (8.9), (8.10) bomo zaporedno izračunali vrednosti največjega dobička F do (t) in jih zapisali v posebno tabelo (tabela 8.4). Prvo vrstico dobimo tako, da parametru t v enačbi (8.9) damo vrednosti 0,1,...,12 in uporabimo začetne podatke iz tabele. 8.3. Na primer pri t = 0

Upoštevajte, da če je dobiček od nove opreme enak dobičku od stare opreme, potem je bolje obdržati staro še eno leto:

Iz mize 8.3 je razvidno, da r(t) – u(t) pada z naraščanjem t. Zato bo pri t > 9 politika zamenjave opreme optimalna. Da bi razločili, katera politika daje pogojno optimalno vrednost dobička, bomo te vrednosti (do vključno t = 9, politika ohranjanja je optimalna) razmejili z debelo črto. Za izpolnitev druge vrstice tabele. 8.4 uporabimo formulo (8.10). Za k = 2 dobimo

Dajmo parametru t vrednosti 0,1,2,... ,12, vzemimo vrednosti r(t) in u(t) iz tabele. 8.3, vrednosti F 1 (t + 1) pa so iz prve vrstice tabele. 8.4. Za tretjo vrstico formula za izračun dobimo iz enačbe (8.10) za k = 3:

itd. Izpolnjevanje tabele. 8.4, njegove podatke uporabimo za rešitev težave. Ta tabela vsebuje veliko dragocenih informacij in nam omogoča, da rešimo celotno družino problemov, v katere smo potopili prvotni problem.

Recimo, da imamo na začetku planskega obdobja opremo, ki je stara 6 let. Razvili bomo "politiko zamenjave" za dvanajstletno obdobje, ki prinaša največji dobiček. Informacije za to so na voljo v tabeli. 8.4. Največji dobiček, ki ga je mogoče doseči v 12 letih, pod pogojem, da je bila na začetku oprema, stara 6 let, je v tabeli. 8.4 na presečišču stolpca t = 6 in vrstice F12(t); je 180 enot.

Desno od prekinjene črte je zapisana največja vrednost dobička F12(6) = 180, tj. na področju »nadomestne politike«. To pomeni, da je treba za doseganje največjega dobička v 12 letih opremo zamenjati na začetku prvega leta. V prvem letu se bo nova oprema postarala za eno leto, kar pomeni, da bomo ob zamenjavi opreme in delu na njej 1 leto imeli 11 let staro opremo 11 let pred koncem planskega obdobja. Iz mize 8.4 vzamemo F11(l) = 173. Ta vrednost se nahaja v območju "politike ohranjanja", tj. V drugem letu načrtovalnega obdobja je treba ohraniti opremo, staro 1 leto, in po delu na njej leto dni, 10 let pred koncem planskega obdobja bomo imeli 2 leti staro opremo.

Ugotovimo, da je vrednost F10(2) = 153 postavljena v prostor za shranjevanje. Z opremo smo delali drugo leto. Zdaj je do konca planskega obdobja še 9 let, starost opreme pa je 3 leta. Najdemo F9(3) = 136. To je ohranitveno območje. Z opremo smo delali drugo leto. Njegova starost postane 4 leta. Do konca planskega obdobja je še 8 let. Definiramo F8(4) = 120. To je nadomestno območje. Opremo zamenjamo z novo. Delali bomo četrto leto. Stara se eno leto. Do konca planskega obdobja bo ostalo še 7 let. Najdemo F7(l) = 113. To je ohranitveno območje. Če nadaljujemo s podobnim razmišljanjem, ugotovimo, da se F6(2) = 93, F5(3) = 76 nahajajo v ohranitvenem območju, F4(4) = 60 - v nadomestnem območju, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - v območju shranjevanja. Razvito politiko prikazujemo v naslednji verigi:

Tako smo namesto iskanja optimalne »nadomestne politike« za plansko obdobje 12 let potopili izvorni problem v družino podobnih, ko se obdobje spreminja od 1 do 12. Rešitev poteka po principu optimalnosti za vsako stanje sistema, ne glede na njegovo zgodovino. Optimalna "politika zamenjave" je optimalna za preostalo število let. Tabela 8.4 vsebuje informacije za reševanje drugih težav. Iz nje lahko najdete optimalno strategijo za zamenjavo opreme s poljubnim začetnim stanjem od 0 do 12 let in za katero koli načrtovano obdobje, ki ne presega 12 let. Na primer, poiščimo "politiko zamenjave" za obdobje načrtovanja 10 let, če je bila na začetku oprema stara pet let:

Poenostavili smo nalogo zamenjave opreme. V praksi podrobnosti niso zanemarjene. Enostavno je upoštevati na primer primer, ko je preostala vrednost opreme s(t) odvisna od časa. Lahko se odločite, da zamenjate opremo ne z novo opremo, temveč z opremo, ki je že nekaj časa v uporabi. Prav tako ni težko upoštevati možnosti remonta stare opreme. V tem primeru mora pojem "stanje" sistema vključevati čas zadnjega popravila opreme. Funkcija Fk(ti,t2) izraža dobiček za zadnjih k let planskega obdobja, pod pogojem, da je na začetku obstajala oprema starosti t1, ki je bila na večjih popravilih po t2 letih uporabe. Tudi značilnosti r, s in in bodo funkcije dveh spremenljivk t1 in t2.

optimalno strategijo dinamičnega programiranja

IN splošni pogled Problem je zastavljen takole: določite optimalno strategijo uporabe opreme v časovnem obdobju, ki traja m let, dobiček za vsakih I let, i= od uporabe opreme, stare t let, pa naj bo največji.

Znani so: r(t) - prihodek od prodaje letno proizvedenih izdelkov na opremi, stari t let, l(t) - letni stroški glede na starost opreme t, c(t) - preostala vrednost opreme, stare t. let, P - stroški nove opreme. Starost opreme se nanaša na obdobje delovanja opreme po zadnji zamenjavi, izraženo v letih.

Za izgradnjo matematičnega modela se zaporedoma izvajajo spodaj formulirani koraki.

1. Določitev števila korakov. Število korakov je enako številu let, v katerih je oprema v uporabi.

2. Določanje sistemskih stanj. Stanje sistema je označeno s starostjo opreme t; t=.

3. Opredelitev kontrol. Na začetku i-tega koraka, i=, je mogoče izbrati eno od dveh kontrol: zamenjati ali ne zamenjati opreme. Vsaki kontrolni možnosti je dodeljena številka

uс - če oprema ni zamenjana;

uз - če se oprema zamenja.

4. Določitev funkcije izplačila na i-tem koraku. Funkcija izplačila na na i-ti stopnji je dobiček od uporabe opreme do konca i-tega leta poslovanja, t=, i=.

u1= uс - če oprema ni zamenjana v začetku i-tega leta;

u2= uз - če se oprema zamenja.

Torej, če oprema ni prodana, je dobiček od njene uporabe razlika med proizvodnimi stroški in obratovalnimi stroški. Pri zamenjavi opreme je dobiček razlika med preostalo vrednostjo opreme in stroški nove opreme, ki se ji prišteje razlika med proizvodnimi stroški in obratovalnimi stroški za novo opremo, katere starost na začetku i. -ta stopnja je 0 let.

5. Definicija funkcije spremembe stanja

u1 uс - če je Xi=0

u2= uз - če je Xi=1

6. Sestavljanje funkcionalne enačbe za i=m.

7. Sestavljanje osnovne funkcionalne enačbe

Kjer je Wi(t) dobiček od uporabe opreme, stare t let od i-tega koraka (od konca i-tega leta) do konca obdobja delovanja.

Wi+1(t+1) - dobiček od uporabe opreme, stare t+1 leto od (i+1) koraka do konca obdobja delovanja;

Tako je bil izdelan matematični model problema.

Algoritem za rešitev problema

Uvedimo naslednji zapis:

t je starost opreme.

L(t) - proizvodnja izdelkov na opremi, katere starost je t let.

R(t) - stroški vzdrževanja opreme.

P(t) - preostala vrednost opreme.

P - stroški nove opreme

Fn(t) - dobiček od stare opreme, katere starost je t let.

n-lani.

na stari opremi (1)

To je funkcionalna enačba

Obrazec vhodnega dokumenta

Podatke lahko vnesete s tabelo:

Tabela št. 1. Informacije o vnosu podatkov.

Po formuli

Opis programske in strojne opreme

Program je bil razvit v programskem jeziku Borland

Uporaba Delphi 7.0 operacijski sistem Microsoft Windows XP Professional

Pri razvoju programa so bile uporabljene komponente Delphi:

String Grid - za polnjenje imenikov in prikaz rezultatov

Uredi - za vnos vrednosti

Gumb - za ustvarjanje gumba

Oznaka - ustvarjanje nalepk za lažjo uporabo

Slika - slike

MainMenu - programski meni

OpenDialog - odpre dialog

Med razvojem programsko opremo Uporabljeni so bili tudi naslednji sistemski pripomočki:

Protivirusni program (Dr.Web 4.44)

Programi za arhiviranje (WinRar v3.45).

Pripomočki Microsoft Office ( Microsoft Word, Excel).

grafični urejevalniki (PhotoShop v CS3)

Pri razvoju programske opreme je bil uporabljen osebni računalnik z naslednjimi lastnostmi:

Procesor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz

RAM: 1Gb DDR2 PC 533

Video kartica: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Trdi disk: 200 Gb

Monitor: 17" 1280x1025@75Hz

Primer odpravljanja napak

Poiščimo največji dobiček pri zamenjavi opreme po 2 letih:

Po formuli

Zaključek: Dobili bomo največji dobiček 215 enot, če bomo opremo po 2 letih zamenjali s tretjo.

Opis programa

Program "Reševanje težav z zamenjavo opreme" je namenjen podjetjem, ki se ukvarjajo s kakršno koli dejavnostjo, ki zahteva uporabo določene opreme. Zaradi več razlogov se oprema fizično obrabi, tj. se pokvari in je ni mogoče popraviti ali pride do takšnih okvar, pri katerih je lažje kupiti novo opremo kot popraviti staro opremo ali pa se moralno obrabi, tj. Stopnja rasti gospodarskega razvoja industrije za proizvodnjo te opreme je zelo visoka. Da bi torej "proizvodnja izdelkov" na taki opremi dosegla največji učinek, ga je treba občasno spremeniti. Ta program izračuna število let, po katerih morate zamenjati opremo, da dosežete največji dobiček.

Za razvoj programa "Reševanje problemov zamenjave opreme" je bil uporabljen programski jezik Delphi 6, ki je trenutno zelo priljubljen, njegova osnova pa je jezik Object Pascal. Omogoča vam ustvarjanje aplikacij različnih stopenj kompleksnosti - od preprostih programov do profesionalnih, namenjenih delu z bazami podatkov. Poleg tega je programska pomoč predstavljena na straneh HTML z uporabo programa Arachnophilia.

Vse delo s programom temelji na delu z menijem, njegov opis najdete v menijski točki Pomoč/Vsebina/Delo z menijem.

Ta program je bil ustvarjen z izvajanjem predmetni projekt na temo " Matematične metode", na to temo.