Strmina je ravna. V tem članku si bomo ogledali težave, povezane s koordinatno ravnino, ki je vključena v enotni državni izpit iz matematike. To so naloge za:
— določitev kotnega koeficienta premice, če sta znani dve točki, skozi katere premica poteka;
— določitev abscise ali ordinate presečišča dveh premic na ravnini.
V tem razdelku je bilo opisano, kaj je abscisa in ordinata točke. V njej smo obravnavali že več problemov, povezanih s koordinatno ravnino. Kaj morate razumeti glede vrste problema, ki ga obravnavate? Malo teorije.
Enačba premice na koordinatni ravnini ima obliko:
kje k – to je naklon črte.
Naslednji trenutek! Naklon premice je enak tangensu naklonskega kota premice. To je kot med dano premico in osjoOh.
Razpon je od 0 do 180 stopinj.
To je, če enačbo premice reduciramo na obliko l = kx + b, potem lahko vedno določimo koeficient k (koeficient naklona).
Tudi, če na podlagi pogoja lahko določimo tangens kota naklona premice, potem bomo s tem našli njen kotni koeficient.
Naslednja teoretična točka!Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.Formula izgleda takole:
Oglejmo si naloge (podobne nalogam iz odprte banke nalog):
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (–6;0) in (0;6).
V tem problemu je najbolj racionalen način rešitve iskanje tangensa kota med osjo x in dano premico. Znano je, da je enak naklonu. Razmislite o pravokotnem trikotniku, ki ga tvorijo ravna črta ter osi x in oy:
Tangens kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
*Oba kraka sta enaka šest (to sta njuni dolžini).
Seveda je ta problem mogoče rešiti s formulo za iskanje enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki. Ampak to bo daljša rešitev.
Odgovor: 1
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (5;0) in (0;5).
Naše točke imajo koordinate (5;0) in (0;5). pomeni,
Vstavimo formulo v obrazec l = kx + b
Ugotovili smo, da je pobočje k = – 1.
Odgovor: –1
Naravnost a poteka skozi točke s koordinatami (0;6) in (8;0). Naravnost b poteka skozi točko s koordinatami (0;10) in je vzporedna s premico a b z osjo oh
V tej nalogi lahko najdete enačbo premice a, določite naklon zanj. Na ravni črti b naklon bo enak, ker sta vzporedni. Nato lahko najdete enačbo premice b. In nato, nadomestite vrednost y = 0, poiščite absciso. AMPAK!
V tem primeru je lažje uporabiti lastnost podobnosti trikotnikov.
Pravokotni trikotniki, ki jih tvorijo te (vzporedne) premice in koordinatne osi, so si podobni, kar pomeni, da so razmerja med pripadajočimi stranicami enaka.
Zahtevana abscisa je 40/3.
Odgovor: 40/3
Naravnost a poteka skozi točke s koordinatami (0;8) in (–12;0). Naravnost b poteka skozi točko s koordinatami (0; –12) in je vzporedna s premico a. Poiščite absciso točke presečišča premice b z osjo oh.
Za to težavo je najbolj racionalna rešitev uporaba lastnosti podobnosti trikotnikov. Ampak to bomo rešili na drugačen način.
Poznamo točke, skozi katere poteka premica A. Za premico lahko zapišemo enačbo. Formula za enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki, ima obliko:
Po pogoju imajo točke koordinate (0;8) in (–12;0). pomeni,
Spomnimo se l = kx + b:
Imam ta kotiček k = 2/3.
*Kotni koeficient je mogoče najti skozi tangens kota v pravokotnem trikotniku s krakoma 8 in 12.
Znano je, da imajo vzporedne premice enake kotne koeficiente. To pomeni, da ima enačba premice, ki poteka skozi točko (0;-12), obliko:
Poiščite vrednost b v enačbo lahko nadomestimo absciso in ordinato:
Tako je ravna črta videti takole:
Zdaj, da bi našli želeno absciso točke presečišča črte z osjo x, morate nadomestiti y = 0:
Odgovor: 18
Poiščite ordinato presečišča osi oh in premica, ki poteka skozi točko B(10;12) in je vzporedna s premico, ki poteka skozi izhodišče in točko A(10;24).
Poiščimo enačbo premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (0;0) in (10;24).
Formula za enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki, ima obliko:
Naše točke imajo koordinate (0;0) in (10;24). pomeni,
Spomnimo se l = kx + b
Kotni koeficienti vzporednih premic so enaki. To pomeni, da ima enačba premice, ki poteka skozi točko B(10;12), obliko:
Pomen b Ugotovimo tako, da koordinate točke B(10;12) nadomestimo v to enačbo:
Dobili smo enačbo premice:
Da bi našli ordinato presečišča te premice z osjo oh je treba nadomestiti v najdeno enačbo X= 0:
*Najenostavnejša rešitev. Z vzporednim prevajanjem premaknemo to črto navzdol vzdolž osi oh do točke (10;12). Premik se zgodi za 12 enot, to pomeni, da se točka A(10;24) »premakne« v točko B(10;12), točka O(0;0) pa se »premakne« v točko (0;–12). To pomeni, da bo nastala ravna črta sekala os oh v točki (0;–12).
Zahtevana ordinata je –12.
Odgovor: –12
Poiščite ordinato presečišča premice, podane z enačbo
3x + 2у = 6, z osjo Oj.
Koordinata presečišča dane premice z osjo oh ima obliko (0; pri). Nadomestimo absciso v enačbo X= 0 in poiščite ordinato:
Ordinata presečišča premice in osi oh enako 3.
*Sistem je rešen:
Odgovor: 3
Poiščite ordinato presečišča premic, podanih z enačbami
3x + 2y = 6 in y = – x.
Ko sta podani dve premici in gre za vprašanje iskanja koordinat presečišča teh premic, se reši sistem teh enačb:
V prvi enačbi nadomestimo - X namesto pri:
Ordinata je enaka minus šest.
odgovor: – 6
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (–2;0) in (0;2).
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (2;0) in (0;2).
Premica a poteka skozi točke s koordinatama (0;4) in (6;0). Premica b poteka skozi točko s koordinatami (0;8) in je vzporedna s premico a. Poiščite absciso točke presečišča premice b z osjo Ox.
Poiščite ordinato presečišča osi oy in premice, ki poteka skozi točko B (6;4) in je vzporedna s premico, ki poteka skozi izhodišče in točko A (6;8).
1. Jasno je treba razumeti, da je kotni koeficient ravne črte enak tangensu kota naklona ravne črte. To vam bo pomagalo pri reševanju številnih tovrstnih težav.
2. Razumeti je treba formulo za iskanje premice, ki poteka skozi dve dani točki. Z njegovo pomočjo boste vedno našli enačbo premice, če sta podani koordinati njenih dveh točk.
3. Ne pozabite, da so nakloni vzporednih črt enaki.
4. Kot razumete, je pri nekaterih težavah priročno uporabiti funkcijo podobnosti trikotnika. Težave se rešujejo praktično ustno.
5. Naloge, pri katerih sta podani dve premici in je treba najti absciso ali ordinato njunega presečišča, lahko rešimo grafično. To pomeni, da jih zgradite na koordinatni ravnini (na listu papirja v kvadratu) in vizualno določite presečišče. * Vendar ta metoda ni vedno uporabna.
6. In nazadnje. Če so podane ravna črta in koordinate točk njenega presečišča s koordinatnimi osmi, je pri takšnih težavah priročno najti kotni koeficient tako, da najdete tangento kota v oblikovanem pravokotnem trikotniku. Spodaj je shematično prikazano, kako "videti" ta trikotnik z različnimi lokacijami ravnih črt na ravnini:
>> Ravni kot od 0 do 90 stopinj<<
>> Ravni kot od 90 do 180 stopinj<<
To je vse. Vso srečo!
Lep pozdrav, Alexander.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Naučite se jemati odvode funkcij. Izvod označuje hitrost spremembe funkcije na določeni točki, ki leži na grafu te funkcije. V tem primeru je graf lahko ravna ali ukrivljena črta. To pomeni, da odvod označuje hitrost spremembe funkcije v določenem trenutku. Ne pozabite na splošna pravila, po katerih se jemljejo izvedeni finančni instrumenti, in šele nato nadaljujte z naslednjim korakom.
- Preberi članek.
- Opisano je, kako vzeti najpreprostejše odvode, na primer odvod eksponentne enačbe. Izračuni, predstavljeni v naslednjih korakih, bodo temeljili na tam opisanih metodah.
Naučite se razlikovati med nalogami, pri katerih je treba naklon izračunati preko odvoda funkcije. Težave od vas ne zahtevajo vedno, da poiščete naklon ali odvod funkcije. Na primer, morda boste morali poiskati stopnjo spremembe funkcije v točki A(x,y). Morda boste morali poiskati tudi naklon tangente v točki A(x,y). V obeh primerih je treba vzeti odvod funkcije.
Vzemite izpeljanko funkcije, ki vam je dana. Tukaj ni treba graditi grafa - potrebujete samo enačbo funkcije. V našem primeru vzemite odvod funkcije. Vzemite derivat v skladu z metodami, opisanimi v zgoraj omenjenem članku:
- Izpeljanka:
Koordinate točke, ki vam je bila dana, nadomestite z najdenim odvodom, da izračunate naklon. Odvod funkcije je enak naklonu v določeni točki. Z drugimi besedami, f"(x) je naklon funkcije v kateri koli točki (x,f(x)). V našem primeru:
- Poiščite naklon funkcije f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2).
- Izpeljanka funkcije:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Nadomestite vrednost koordinate "x" te točke:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Poiščite naklon:
- Funkcija naklona f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) v točki A(4,2) je enako 22.
Če je mogoče, preverite svoj odgovor na grafu. Ne pozabite, da naklona ni mogoče izračunati na vsaki točki. Diferencialni račun se ukvarja s kompleksnimi funkcijami in kompleksnimi grafi, kjer naklona ni mogoče izračunati v vsaki točki, v nekaterih primerih pa točke sploh ne ležijo na grafih. Če je mogoče, uporabite grafični kalkulator, da preverite, ali je naklon dane funkcije pravilen. V nasprotnem primeru narišite tangento na graf v točki, ki vam je dana, in razmislite, ali se vrednost naklona, ki ste jo našli, ujema s tem, kar vidite na grafu.
- Tangenta bo imela enak naklon kot graf funkcije na določeni točki. Če želite narisati tangento na določeni točki, se premaknite levo/desno na osi X (v našem primeru 22 vrednosti v desno) in nato eno navzgor na osi Y. Označite točko in jo povežite z točka, ki vam je bila dana. V našem primeru povežite točki s koordinatama (4,2) in (26,3).
Nadaljevanje teme, enačba premice na ravnini temelji na preučevanju premice iz lekcij algebre. Ta članek ponuja splošne informacije o temi enačbe ravne črte z naklonom. Razmislimo o definicijah, dobimo samo enačbo in ugotovimo povezavo z drugimi vrstami enačb. O vsem bomo razpravljali s primeri reševanja problemov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Preden zapišemo tako enačbo, je potrebno določiti kot naklona premice na os O x z njihovim kotnim koeficientom. Predpostavimo, da je na ravnini podan kartezični koordinatni sistem O x.
Definicija 1
Kot naklona ravne črte na os O x, ki se nahaja v kartezičnem koordinatnem sistemu O x y na ravnini, je to kot, ki se meri od pozitivne smeri O x do premice v nasprotni smeri urnega kazalca.
Ko je premica vzporedna z O x ali sovpada z njo, je naklonski kot 0. Nato je naklonski kot dane premice α definiran na intervalu [ 0 , π) .
Definicija 2
Direkten naklon je tangens naklonskega kota dane premice.
Standardna oznaka je k. Iz definicije ugotovimo, da je k = t g α . Ko je premica vzporedna z Ox, pravijo, da naklon ne obstaja, saj gre v neskončnost.
Naklon je pozitiven, ko graf funkcije narašča in obratno. Slika prikazuje različne variacije lokacije pravega kota glede na koordinatni sistem z vrednostjo koeficienta.
Da bi našli ta kot, je treba uporabiti definicijo kotnega koeficienta in izračunati tangens kota naklona v ravnini.
rešitev
Iz pogoja izhaja, da je α = 120°. Po definiciji je treba izračunati naklon. Poiščemo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3.
odgovor: k = - 3 .
Če je kotni koeficient znan in je treba najti kot naklona na abscisno os, je treba upoštevati vrednost kotnega koeficienta. Če je k > 0, potem je pravi kot oster in ga najdemo s formulo α = a r c t g k. Če k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Primer 2
Določite kot naklona dane premice na O x s kotnim koeficientom 3.
rešitev
Iz pogoja imamo, da je kotni koeficient pozitiven, kar pomeni, da je naklonski kot na O x manjši od 90 stopinj. Izračuni se izvedejo po formuli α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odgovor: α = a r c t g 3 .
Primer 3
Poiščite kot naklona premice na os O x, če je naklon = - 1 3.
rešitev
Če za oznako kotnega koeficienta vzamemo črko k, potem je α naklonski kot na dano premico v pozitivni smeri O x. Zato je k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odgovor: 5 π 6 .
Enačba oblike y = k x + b, kjer je k naklon in b neko realno število, se imenuje enačba premice z naklonom. Enačba je značilna za vsako ravno črto, ki ni vzporedna z osjo O y.
Če podrobno obravnavamo ravno črto na ravnini v fiksnem koordinatnem sistemu, ki je podana z enačbo s kotnim koeficientom, ki ima obliko y = k x + b. V tem primeru to pomeni, da enačba ustreza koordinatam katere koli točke na premici. Če koordinate točke M, M 1 (x 1, y 1) nadomestimo v enačbo y = k x + b, bo v tem primeru premica potekala skozi to točko, sicer točka ne pripada premici.
Primer 4
Podana je premica z naklonom y = 1 3 x - 1. Izračunaj, ali točki M 1 (3, 0) in M 2 (2, - 2) pripadata dani premici.
rešitev
V dano enačbo je treba nadomestiti koordinate točke M 1 (3, 0), potem dobimo 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Enakost velja, kar pomeni, da točka pripada premici.
Če nadomestimo koordinate točke M 2 (2, - 2), potem dobimo napačno enakost oblike - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Sklepamo lahko, da točka M 2 ne pripada premici.
odgovor: M 1 pripada premici, M 2 pa ne.
Znano je, da je premica določena z enačbo y = k · x + b, ki poteka skozi M 1 (0, b), pri zamenjavi pa smo dobili enakost v obliki b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iz tega lahko sklepamo, da enačba premice s kotnim koeficientom y = k x + b na ravnini določa premico, ki poteka skozi točko 0, b. S pozitivno smerjo osi O x tvori kot α, kjer je k = t g α.
Vzemimo za primer ravno črto, definirano s kotnim koeficientom, podanim v obliki y = 3 · x - 1. Dobimo, da bo premica potekala skozi točko s koordinato 0, - 1 z naklonom α = a r c t g 3 = π 3 radianov v pozitivni smeri osi O x. To kaže, da je koeficient 3.
Enačba premice z naklonom, ki poteka skozi dano točko
Rešiti je treba problem, kjer je treba dobiti enačbo premice z danim naklonom, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1).
Enakost y 1 = k · x + b lahko štejemo za veljavno, saj premica poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1). Če želite odstraniti število b, morate enačbo z naklonom odšteti od leve in desne strani. Iz tega sledi, da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ta enakost se imenuje enačba ravne črte z danim naklonom k, ki poteka skozi koordinate točke M 1 (x 1, y 1).
Primer 5
Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko M 1 s koordinatami (4, - 1), s kotnim koeficientom, ki je enak - 2.
rešitev
Po pogoju velja, da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Od tu bo enačba premice zapisana takole: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odgovor: y = - 2 x + 7 .
Primer 6
Napišite enačbo premice s kotnim koeficientom, ki poteka skozi točko M 1 s koordinatami (3, 5), vzporedno z premico y = 2 x - 2.
rešitev
Po pogoju velja, da imata vzporedni premici enake naklonske kote, kar pomeni, da sta kotna koeficienta enaka. Če želite najti naklon iz te enačbe, se morate spomniti njene osnovne formule y = 2 x - 2, iz katere sledi, da je k = 2. Sestavimo enačbo s koeficientom naklona in dobimo:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odgovor: y = 2 x - 1 .
Prehod z enačbe premice z naklonom na druge vrste enačb premice in nazaj
Ta enačba ni vedno uporabna za reševanje problemov, saj ni zelo priročno zapisana. Če želite to narediti, ga morate predstaviti v drugačni obliki. Na primer, enačba oblike y = k x + b nam ne omogoča zapisa koordinat smernega vektorja premice ali koordinat normalnega vektorja. Če želite to narediti, se morate naučiti predstavljati z enačbami drugačne vrste.
Kanonično enačbo premice na ravnini lahko dobimo z uporabo enačbe premice s kotnim koeficientom. Dobimo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Treba je premakniti člen b na levo stran in deliti z izrazom nastale neenakosti. Nato dobimo enačbo v obliki y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Enačba premice z naklonom je postala kanonična enačba te premice.
Primer 7
Enačbo premice s kotnim koeficientom y = - 3 x + 12 pripeljite v kanonično obliko.
rešitev
Izračunajmo in predstavimo v obliki kanonične enačbe premice. Dobimo enačbo oblike:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.
Splošno enačbo ravne črte je najlažje dobiti iz y = k · x + b, vendar je za to potrebno narediti transformacije: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Narejen je prehod iz splošne enačbe premice v enačbe drugega tipa.
Primer 8
Dana je enačba premice v obliki y = 1 7 x - 2 . Ugotovi, ali je vektor s koordinatami a → = (- 1, 7) normalni vektor?
rešitev
Za rešitev je potrebno preiti na drugo obliko te enačbe, za to zapišemo:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienti pred spremenljivkami so koordinate vektorja normale premice. Zapišimo takole: n → = 1 7, - 1, torej 1 7 x - y - 2 = 0. Jasno je, da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearen vektorju n → = 1 7, - 1, saj imamo pravično razmerje a → = - 7 · n →. Iz tega sledi, da je prvotni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor premice 1 7 x - y - 2 = 0, kar pomeni, da velja za normalni vektor premice y = 1 7 x - 2.
odgovor: je
Rešimo inverzni problem tega.
Od splošne oblike enačbe A x + B y + C = 0, kjer je B ≠ 0, je treba preiti na enačbo s kotnim koeficientom. Da bi to naredili, rešimo enačbo za y. Dobimo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Rezultat je enačba z naklonom, ki je enak - A B .
Primer 9
Podana je enačba premice v obliki 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Pridobite enačbo dane premice s kotnim koeficientom.
rešitev
Na podlagi pogoja je treba rešiti za y, potem dobimo enačbo oblike:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .
Na podoben način se rešuje enačba oblike x a + y b = 1, ki jo imenujemo enačba premice v segmentih ali kanonična oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y. Rešiti ga moramo za y, šele potem dobimo enačbo z naklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonično enačbo lahko reduciramo na obliko s kotnim koeficientom. Če želite to narediti:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Primer 10
Obstaja ravna črta, podana z enačbo x 2 + y - 3 = 1. Zmanjšajte na obliko enačbe s kotnim koeficientom.
rešitev.
Na podlagi pogoja, ki ga je treba transformirati, potem dobimo enačbo oblike _formula_. Obe strani enačbe je treba pomnožiti z -3, da dobimo zahtevano enačbo naklona. Preoblikovanje dobimo:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odgovor: y = 3 2 x - 3 .
Primer 11
Zmanjšajte enačbo premice oblike x - 2 2 = y + 1 5 na obliko s kotnim koeficientom.
rešitev
Izraz x - 2 2 = y + 1 5 je treba izračunati kot delež. Dobimo, da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Zdaj ga morate popolnoma omogočiti, da naredite to:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odgovor: y = 5 2 x - 6 .
Za rešitev takšnih problemov je treba parametrične enačbe premice oblike x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ reducirati na kanonično enačbo premice, šele po tem lahko nadaljujemo z enačbo z koeficient naklona.
Primer 12
Poiščite naklon premice, če je podana s parametričnimi enačbami x = λ y = - 1 + 2 · λ.
rešitev
Potreben je prehod iz parametričnega pogleda v pobočje. Da bi to naredili, poiščemo kanonično enačbo iz dane parametrične:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Zdaj je treba razrešiti to enakost glede na y, da dobimo enačbo ravne črte s kotnim koeficientom. Če želite to narediti, zapišimo takole:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Iz tega sledi, da je naklon premice 2. To je zapisano kot k = 2.
odgovor: k = 2.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
V matematiki je eden od parametrov, ki opisuje položaj premice na kartezični koordinatni ravnini, kotni koeficient te premice. Ta parameter označuje naklon ravne črte do osi abscise. Da bi razumeli, kako najti naklon, se najprej spomnite splošne oblike enačbe ravne črte v koordinatnem sistemu XY.
Na splošno lahko vsako premico predstavimo z izrazom ax+by=c, kjer so a, b in c poljubna realna števila, vendar je a 2 + b 2 ≠ 0.
S preprostimi transformacijami lahko tako enačbo privedemo do oblike y=kx+d, v kateri sta k in d realni števili. Število k je naklon in enačba premice te vrste se imenuje enačba z naklonom. Izkazalo se je, da morate za iskanje naklona prvotno enačbo preprosto zmanjšati na zgoraj navedeno obliko. Za popolnejše razumevanje razmislite o konkretnem primeru:
Težava: Poiščite naklon premice, podane z enačbo 36x - 18y = 108
Rešitev: Transformirajmo prvotno enačbo.
Odgovor: zahtevani naklon te premice je 2.
Če smo med transformacijo enačbe dobili izraz kot je x = const in posledično ne moremo predstaviti y kot funkcije x, potem imamo opravka z ravno črto, vzporedno z osjo X. Kotni koeficient takega ravna črta je enaka neskončnosti.
Za črte, izražene z enačbo, kot je y = const, je naklon enak nič. To je značilno za ravne črte, vzporedne z osjo abscise. Na primer:
Težava: Poiščite naklon premice, podane z enačbo 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rešitev: Pripravimo izvirno enačbo v splošno obliko
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Iz dobljenega izraza ni mogoče izraziti y, zato je kotni koeficient te črte enak neskončnosti, sama črta pa bo vzporedna z osjo Y.
Geometrijski pomen
Za boljše razumevanje poglejmo sliko:
Na sliki vidimo graf funkcije, kot je y = kx. Za poenostavitev vzemimo koeficient c = 0. V trikotniku OAB bo razmerje stranice BA proti AO enako kotnemu koeficientu k. Hkrati je razmerje BA/AO tangens ostrega kota α v pravokotnem trikotniku OAB. Izkaže se, da je kotni koeficient premice enak tangensu kota, ki ga ta premica tvori z osjo abscise koordinatne mreže.
Pri reševanju problema, kako najti kotni koeficient ravne črte, najdemo tangens kota med njim in osjo X koordinatne mreže. Mejni primeri, ko je obravnavana premica vzporedna s koordinatnimi osemi, potrjujejo navedeno. Za premico, ki jo opisuje enačba y=const, je kot med njo in abscisno osjo enak nič. Tangens ničelnega kota je prav tako enak nič in tudi naklon je enak nič.
Za premice, pravokotne na os x in opisane z enačbo x=const, je kot med njimi in osjo X 90 stopinj. Tangens pravega kota je enak neskončnosti, kotni koeficient podobnih premic je prav tako enak neskončnosti, kar potrjuje zgoraj napisano.
Tangentni nagib
Pogosta naloga, ki jo pogosto srečamo v praksi, je tudi iskanje naklona tangente na graf funkcije v določeni točki. Tangenta je ravna črta, zato je koncept naklona uporaben tudi zanjo.
Da bi ugotovili, kako najti naklon tangente, se bomo morali spomniti koncepta odvoda. Odvod katere koli funkcije na določeni točki je konstanta, numerično enaka tangensu kota, ki se tvori med tangento v določeni točki na graf te funkcije in abscisno osjo. Izkazalo se je, da moramo za določitev kotnega koeficienta tangente v točki x 0 izračunati vrednost odvoda prvotne funkcije v tej točki k = f"(x 0). Poglejmo primer:
Naloga: Poiščite naklon premice, tangente na funkcijo y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Rešitev: Poiščite odvod prvotne funkcije v splošni obliki
y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1
Odgovor: Zahtevani naklon v točki x = 0,1 je 4,831
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.