V prejšnjem poglavju je bilo pokazano, da lahko z izbiro določenega koordinatnega sistema na ravnini izrazimo geometrijske lastnosti, ki označujejo točke obravnavane premice, analitično z enačbo med trenutnimi koordinatami. Tako dobimo enačbo premice. V tem poglavju bomo obravnavali enačbe ravnih črt.
Če želite ustvariti enačbo za ravno črto v kartezičnih koordinatah, morate nekako nastaviti pogoje, ki določajo njen položaj glede na koordinatne osi.
Najprej bomo predstavili koncept kotnega koeficienta premice, ki je ena od količin, ki označuje položaj premice na ravnini.
Kot naklona premice na os Ox imenujemo kot, za katerega je treba os Ox zasukati, da sovpada z dano premico (ali je z njo vzporedna). Kot običajno bomo upoštevali kot ob upoštevanju predznaka (znak je določen s smerjo vrtenja: v nasprotni ali v smeri urinega kazalca). Ker bo dodatni zasuk osi Ox za kot 180° ponovno poravnal s premico, kota naklona premice na os ni mogoče nedvoumno izbrati (do izraza, ki je večkratnik ) .
Tangens tega kota je določen enolično (saj sprememba kota ne spremeni njegovega tangenta).
Tangens kota naklona premice na os Ox se imenuje kotni koeficient premice.
Kotni koeficient označuje smer premice (tu ne razlikujemo dveh med seboj nasprotnih smeri premice). Če je naklon premice enak nič, je premica vzporedna z osjo x. S pozitivnim kotnim koeficientom bo kot naklona ravne črte na os Ox oster (tukaj upoštevamo najmanjšo pozitivno vrednost kota naklona) (slika 39); Poleg tega večji ko je kotni koeficient, večji je kot njegovega naklona na os Ox. Če je kotni koeficient negativen, bo kot naklona ravne črte na os Ox top (slika 40). Upoštevajte, da premica, pravokotna na os Ox, nima kotnega koeficienta (tangens kota ne obstaja).
Nadaljevanje teme, enačba premice na ravnini temelji na preučevanju premice iz lekcij algebre. Ta članek ponuja splošne informacije o temi enačbe ravne črte z naklonom. Razmislimo o definicijah, dobimo samo enačbo in ugotovimo povezavo z drugimi vrstami enačb. O vsem bomo razpravljali s primeri reševanja problemov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Preden zapišemo tako enačbo, je potrebno določiti kot naklona premice na os O x z njihovim kotnim koeficientom. Predpostavimo, da je na ravnini podan kartezični koordinatni sistem O x.
Definicija 1
Kot naklona ravne črte na os O x, ki se nahaja v kartezičnem koordinatnem sistemu O x y na ravnini, je to kot, ki se meri od pozitivne smeri O x do premice v nasprotni smeri urnega kazalca.
Ko je premica vzporedna z O x ali sovpada z njo, je naklonski kot 0. Nato je naklonski kot dane premice α definiran na intervalu [ 0 , π) .
Definicija 2
Direkten naklon je tangens naklonskega kota dane premice.
Standardna oznaka je k. Iz definicije ugotovimo, da je k = t g α . Ko je premica vzporedna z Ox, pravijo, da naklon ne obstaja, saj gre v neskončnost.
Naklon je pozitiven, ko graf funkcije narašča in obratno. Slika prikazuje različne variacije lokacije pravega kota glede na koordinatni sistem z vrednostjo koeficienta.
Da bi našli ta kot, je treba uporabiti definicijo kotnega koeficienta in izračunati tangens kota naklona v ravnini.
rešitev
Iz pogoja izhaja, da je α = 120°. Po definiciji je treba izračunati naklon. Poiščemo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3.
odgovor: k = - 3 .
Če je kotni koeficient znan in je treba najti kot naklona na abscisno os, je treba upoštevati vrednost kotnega koeficienta. Če je k > 0, potem je pravi kot oster in ga najdemo s formulo α = a r c t g k. Če k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Primer 2
Določite kot naklona dane premice na O x s kotnim koeficientom 3.
rešitev
Iz pogoja imamo, da je kotni koeficient pozitiven, kar pomeni, da je naklonski kot na O x manjši od 90 stopinj. Izračuni se izvedejo po formuli α = a r c t g k = a r c t g 3.
Odgovor: α = a r c t g 3 .
Primer 3
Poiščite kot naklona premice na os O x, če je naklon = - 1 3.
rešitev
Če za oznako kotnega koeficienta vzamemo črko k, potem je α naklonski kot na dano premico v pozitivni smeri O x. Zato je k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
odgovor: 5 π 6 .
Enačba oblike y = k x + b, kjer je k naklon in b neko realno število, se imenuje enačba premice z naklonom. Enačba je značilna za vsako ravno črto, ki ni vzporedna z osjo O y.
Če podrobno obravnavamo ravno črto na ravnini v fiksnem koordinatnem sistemu, ki je podana z enačbo s kotnim koeficientom, ki ima obliko y = k x + b. V tem primeru to pomeni, da enačba ustreza koordinatam katere koli točke na premici. Če koordinate točke M, M 1 (x 1, y 1) nadomestimo v enačbo y = k x + b, bo v tem primeru premica potekala skozi to točko, sicer točka ne pripada premici.
Primer 4
Podana je premica z naklonom y = 1 3 x - 1. Izračunaj, ali točki M 1 (3, 0) in M 2 (2, - 2) pripadata dani premici.
rešitev
V dano enačbo je treba nadomestiti koordinate točke M 1 (3, 0), potem dobimo 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Enakost velja, kar pomeni, da točka pripada premici.
Če nadomestimo koordinate točke M 2 (2, - 2), potem dobimo napačno enakost oblike - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Sklepamo lahko, da točka M 2 ne pripada premici.
odgovor: M 1 pripada premici, M 2 pa ne.
Znano je, da je premica določena z enačbo y = k · x + b, ki poteka skozi M 1 (0, b), pri zamenjavi pa smo dobili enakost v obliki b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iz tega lahko sklepamo, da enačba premice s kotnim koeficientom y = k x + b na ravnini določa premico, ki poteka skozi točko 0, b. S pozitivno smerjo osi O x tvori kot α, kjer je k = t g α.
Vzemimo za primer ravno črto, definirano s kotnim koeficientom, podanim v obliki y = 3 · x - 1. Dobimo, da bo premica potekala skozi točko s koordinato 0, - 1 z naklonom α = a r c t g 3 = π 3 radianov v pozitivni smeri osi O x. To kaže, da je koeficient 3.
Enačba premice z naklonom, ki poteka skozi dano točko
Rešiti je treba problem, kjer je treba dobiti enačbo premice z danim naklonom, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1).
Enakost y 1 = k · x + b lahko štejemo za veljavno, saj premica poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1). Če želite odstraniti število b, morate enačbo z naklonom odšteti od leve in desne strani. Iz tega sledi, da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ta enakost se imenuje enačba ravne črte z danim naklonom k, ki poteka skozi koordinate točke M 1 (x 1, y 1).
Primer 5
Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko M 1 s koordinatami (4, - 1), s kotnim koeficientom, ki je enak - 2.
rešitev
Po pogoju velja, da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Od tu bo enačba premice zapisana takole: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
odgovor: y = - 2 x + 7 .
Primer 6
Napišite enačbo premice s kotnim koeficientom, ki poteka skozi točko M 1 s koordinatami (3, 5), vzporedno z premico y = 2 x - 2.
rešitev
Po pogoju velja, da imata vzporedni premici enake naklonske kote, kar pomeni, da sta kotna koeficienta enaka. Če želite najti naklon iz te enačbe, se morate spomniti njene osnovne formule y = 2 x - 2, iz katere sledi, da je k = 2. Sestavimo enačbo s koeficientom naklona in dobimo:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
odgovor: y = 2 x - 1 .
Prehod z enačbe premice z naklonom na druge vrste enačb premice in nazaj
Ta enačba ni vedno uporabna za reševanje problemov, saj ni zelo priročno zapisana. Če želite to narediti, ga morate predstaviti v drugačni obliki. Na primer, enačba oblike y = k x + b nam ne omogoča zapisa koordinat smernega vektorja premice ali koordinat normalnega vektorja. Če želite to narediti, se morate naučiti predstavljati z enačbami drugačne vrste.
Kanonično enačbo premice na ravnini lahko dobimo z uporabo enačbe premice s kotnim koeficientom. Dobimo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Treba je premakniti člen b na levo stran in deliti z izrazom nastale neenakosti. Nato dobimo enačbo v obliki y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Enačba premice z naklonom je postala kanonična enačba te premice.
Primer 7
Enačbo premice s kotnim koeficientom y = - 3 x + 12 pripeljite v kanonično obliko.
rešitev
Izračunajmo in predstavimo v obliki kanonične enačbe premice. Dobimo enačbo oblike:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.
Splošno enačbo ravne črte je najlažje dobiti iz y = k · x + b, vendar je za to potrebno narediti transformacije: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Narejen je prehod iz splošne enačbe premice v enačbe drugega tipa.
Primer 8
Dana je enačba premice v obliki y = 1 7 x - 2 . Ugotovi, ali je vektor s koordinatami a → = (- 1, 7) normalni vektor?
rešitev
Za rešitev je potrebno preiti na drugo obliko te enačbe, za to zapišemo:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficienti pred spremenljivkami so koordinate vektorja normale premice. Zapišimo takole: n → = 1 7, - 1, torej 1 7 x - y - 2 = 0. Jasno je, da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearen vektorju n → = 1 7, - 1, saj imamo pravično razmerje a → = - 7 · n →. Iz tega sledi, da je prvotni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor premice 1 7 x - y - 2 = 0, kar pomeni, da velja za normalni vektor premice y = 1 7 x - 2.
odgovor: je
Rešimo inverzni problem tega.
Od splošne oblike enačbe A x + B y + C = 0, kjer je B ≠ 0, je treba preiti na enačbo s kotnim koeficientom. Da bi to naredili, rešimo enačbo za y. Dobimo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Rezultat je enačba z naklonom, ki je enak - A B .
Primer 9
Podana je enačba premice v obliki 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Pridobite enačbo dane premice s kotnim koeficientom.
rešitev
Na podlagi pogoja je treba rešiti za y, potem dobimo enačbo oblike:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .
Na podoben način se rešuje enačba oblike x a + y b = 1, ki jo imenujemo enačba premice v segmentih ali kanonična oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y. Rešiti ga moramo za y, šele potem dobimo enačbo z naklonom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.
Kanonično enačbo lahko reduciramo na obliko s kotnim koeficientom. Če želite to narediti:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Primer 10
Obstaja ravna črta, podana z enačbo x 2 + y - 3 = 1. Zmanjšajte na obliko enačbe s kotnim koeficientom.
rešitev.
Na podlagi pogoja, ki ga je treba transformirati, potem dobimo enačbo oblike _formula_. Obe strani enačbe je treba pomnožiti z -3, da dobimo zahtevano enačbo naklona. Preoblikovanje dobimo:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
odgovor: y = 3 2 x - 3 .
Primer 11
Zmanjšajte enačbo premice oblike x - 2 2 = y + 1 5 na obliko s kotnim koeficientom.
rešitev
Izraz x - 2 2 = y + 1 5 je treba izračunati kot delež. Dobimo, da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Zdaj ga morate popolnoma omogočiti, da naredite to:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odgovor: y = 5 2 x - 6 .
Za rešitev takšnih problemov je treba parametrične enačbe premice oblike x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ reducirati na kanonično enačbo premice, šele po tem lahko nadaljujemo z enačbo z koeficient naklona.
Primer 12
Poiščite naklon premice, če je podana s parametričnimi enačbami x = λ y = - 1 + 2 · λ.
rešitev
Potreben je prehod iz parametričnega pogleda v pobočje. Da bi to naredili, poiščemo kanonično enačbo iz dane parametrične:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Zdaj je treba razrešiti to enakost glede na y, da dobimo enačbo ravne črte s kotnim koeficientom. Če želite to narediti, zapišimo takole:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Iz tega sledi, da je naklon premice 2. To je zapisano kot k = 2.
odgovor: k = 2.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Strmina je ravna. V tem članku si bomo ogledali težave, povezane s koordinatno ravnino, ki je vključena v enotni državni izpit iz matematike. To so naloge za:
— določitev kotnega koeficienta premice, če sta znani dve točki, skozi katere premica poteka;
— določitev abscise ali ordinate presečišča dveh premic na ravnini.
V tem razdelku je bilo opisano, kaj je abscisa in ordinata točke. V njej smo obravnavali že več problemov, povezanih s koordinatno ravnino. Kaj morate razumeti glede vrste problema, ki ga obravnavate? Malo teorije.
Enačba premice na koordinatni ravnini ima obliko:
kje k – to je naklon črte.
Naslednji trenutek! Naklon premice je enak tangensu naklonskega kota premice. To je kot med dano premico in osjoOh.
Razpon je od 0 do 180 stopinj.
To je, če enačbo premice reduciramo na obliko l = kx + b, potem lahko vedno določimo koeficient k (koeficient naklona).
Tudi, če na podlagi pogoja lahko določimo tangens kota naklona premice, potem bomo s tem našli njen kotni koeficient.
Naslednja teoretična točka!Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki.Formula izgleda takole:
Oglejmo si naloge (podobne nalogam iz odprte banke nalog):
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (–6;0) in (0;6).
V tem problemu je najbolj racionalen način rešitve iskanje tangensa kota med osjo x in dano premico. Znano je, da je enak naklonu. Razmislite o pravokotnem trikotniku, ki ga tvorijo ravna črta ter osi x in oy:
Tangens kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
*Oba kraka sta enaka šest (to sta njuni dolžini).
Seveda je ta problem mogoče rešiti s formulo za iskanje enačbe premice, ki poteka skozi dve dani točki. Ampak to bo daljša rešitev.
Odgovor: 1
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (5;0) in (0;5).
Naše točke imajo koordinate (5;0) in (0;5). pomeni,
Vstavimo formulo v obrazec l = kx + b
Ugotovili smo, da je pobočje k = – 1.
Odgovor: –1
Naravnost a poteka skozi točke s koordinatami (0;6) in (8;0). Naravnost b poteka skozi točko s koordinatami (0;10) in je vzporedna s premico a b z osjo oh
V tej nalogi lahko najdete enačbo premice a, določite naklon zanj. Na ravni črti b naklon bo enak, ker sta vzporedni. Nato lahko najdete enačbo premice b. In nato, nadomestite vrednost y = 0, poiščite absciso. AMPAK!
V tem primeru je lažje uporabiti lastnost podobnosti trikotnikov.
Pravokotni trikotniki, ki jih tvorijo te (vzporedne) premice in koordinatne osi, so si podobni, kar pomeni, da so razmerja med pripadajočimi stranicami enaka.
Zahtevana abscisa je 40/3.
Odgovor: 40/3
Naravnost a poteka skozi točke s koordinatami (0;8) in (–12;0). Naravnost b poteka skozi točko s koordinatami (0; –12) in je vzporedna s premico a. Poiščite absciso točke presečišča premice b z osjo oh.
Za to težavo je najbolj racionalna rešitev uporaba lastnosti podobnosti trikotnikov. Ampak to bomo rešili na drugačen način.
Poznamo točke, skozi katere poteka premica A. Za premico lahko zapišemo enačbo. Formula za enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki, ima obliko:
Po pogoju imajo točke koordinate (0;8) in (–12;0). pomeni,
Spomnimo se l = kx + b:
Imam ta kotiček k = 2/3.
*Kotni koeficient je mogoče najti skozi tangens kota v pravokotnem trikotniku s krakoma 8 in 12.
Znano je, da imajo vzporedne premice enake kotne koeficiente. To pomeni, da ima enačba premice, ki poteka skozi točko (0;-12), obliko:
Poiščite vrednost b v enačbo lahko nadomestimo absciso in ordinato:
Tako je ravna črta videti takole:
Zdaj, da bi našli želeno absciso točke presečišča črte z osjo x, morate nadomestiti y = 0:
Odgovor: 18
Poiščite ordinato presečišča osi oh in premica, ki poteka skozi točko B(10;12) in je vzporedna s premico, ki poteka skozi izhodišče in točko A(10;24).
Poiščimo enačbo premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (0;0) in (10;24).
Formula za enačbo premice, ki poteka skozi dve dani točki, ima obliko:
Naše točke imajo koordinate (0;0) in (10;24). pomeni,
Spomnimo se l = kx + b
Kotni koeficienti vzporednih premic so enaki. To pomeni, da ima enačba premice, ki poteka skozi točko B(10;12), obliko:
Pomen b Ugotovimo tako, da koordinate točke B(10;12) nadomestimo v to enačbo:
Dobili smo enačbo premice:
Da bi našli ordinato presečišča te premice z osjo oh je treba nadomestiti v najdeno enačbo X= 0:
*Najenostavnejša rešitev. Z vzporednim prevajanjem premaknemo to črto navzdol vzdolž osi oh do točke (10;12). Premik se zgodi za 12 enot, to pomeni, da se točka A(10;24) »premakne« v točko B(10;12), točka O(0;0) pa se »premakne« v točko (0;–12). To pomeni, da bo nastala ravna črta sekala os oh v točki (0;–12).
Zahtevana ordinata je –12.
Odgovor: –12
Poiščite ordinato presečišča premice, podane z enačbo
3x + 2у = 6, z osjo Oj.
Koordinata presečišča dane premice z osjo oh ima obliko (0; pri). Nadomestimo absciso v enačbo X= 0 in poiščite ordinato:
Ordinata presečišča premice in osi oh enako 3.
*Sistem je rešen:
Odgovor: 3
Poiščite ordinato presečišča premic, podanih z enačbami
3x + 2y = 6 in y = – x.
Ko sta podani dve premici in gre za vprašanje iskanja koordinat presečišča teh premic, se reši sistem teh enačb:
V prvi enačbi nadomestimo - X namesto pri:
Ordinata je enaka minus šest.
odgovor: – 6
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (–2;0) in (0;2).
Poiščite naklon premice, ki poteka skozi točke s koordinatama (2;0) in (0;2).
Premica a poteka skozi točke s koordinatama (0;4) in (6;0). Premica b poteka skozi točko s koordinatami (0;8) in je vzporedna s premico a. Poiščite absciso točke presečišča premice b z osjo Ox.
Poiščite ordinato presečišča osi oy in premice, ki poteka skozi točko B (6;4) in je vzporedna s premico, ki poteka skozi izhodišče in točko A (6;8).
1. Jasno je treba razumeti, da je kotni koeficient ravne črte enak tangensu kota naklona ravne črte. To vam bo pomagalo pri reševanju številnih tovrstnih težav.
2. Razumeti je treba formulo za iskanje premice, ki poteka skozi dve dani točki. Z njegovo pomočjo boste vedno našli enačbo premice, če sta podani koordinati njenih dveh točk.
3. Ne pozabite, da so nakloni vzporednih črt enaki.
4. Kot razumete, je pri nekaterih težavah priročno uporabiti funkcijo podobnosti trikotnika. Težave se rešujejo praktično ustno.
5. Naloge, pri katerih sta podani dve premici in je treba najti absciso ali ordinato njunega presečišča, lahko rešimo grafično. To pomeni, da jih zgradite na koordinatni ravnini (na listu papirja v kvadratu) in vizualno določite presečišče. * Vendar ta metoda ni vedno uporabna.
6. In nazadnje. Če so podane ravna črta in koordinate točk njenega presečišča s koordinatnimi osmi, je pri takšnih težavah priročno najti kotni koeficient tako, da najdete tangento kota v oblikovanem pravokotnem trikotniku. Spodaj je shematično prikazano, kako "videti" ta trikotnik z različnimi lokacijami ravnih črt na ravnini:
>> Ravni kot od 0 do 90 stopinj<<
>> Ravni kot od 90 do 180 stopinj<<
To je vse. Vso srečo!
Lep pozdrav, Alexander.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Odvod funkcije je ena težjih tem v šolskem kurikulumu. Vsak diplomant ne bo odgovoril na vprašanje, kaj je derivat.
Ta članek na preprost in jasen način pojasnjuje, kaj je izpeljanka in zakaj je potrebna.. Zdaj ne bomo težili k matematični strogosti v predstavitvi. Najpomembneje je razumeti pomen.
Spomnimo se definicije:
Odvod je hitrost spremembe funkcije.
Slika prikazuje grafe treh funkcij. Kaj mislite, katera raste hitreje?
Odgovor je očiten - tretji. Ima najvišjo stopnjo spremembe, to je največji derivat.
Tukaj je še en primer.
Kostya, Grisha in Matvey so hkrati dobili službo. Poglejmo, kako so se njihovi prihodki spreminjali med letom:
Graf prikazuje vse naenkrat, kajne? Kostyev dohodek se je v šestih mesecih več kot podvojil. In Grishin dohodek se je prav tako povečal, vendar le malo. In Matvejev dohodek se je zmanjšal na nič. Začetni pogoji so enaki, toda hitrost spreminjanja funkcije, tj izpeljanka, - drugačen. Kar zadeva Matveya, je njegov derivat dohodka na splošno negativen.
Intuitivno enostavno ocenimo hitrost spremembe funkcije. Toda kako naj to naredimo?
V resnici gledamo, kako strmo gre graf funkcije navzgor (ali navzdol). Z drugimi besedami, kako hitro se spreminja y, ko se spreminja x? Očitno ima lahko ista funkcija na različnih točkah različne vrednosti izpeljave - to pomeni, da se lahko spreminja hitreje ali počasneje.
Odvod funkcije je označen.
Pokazali vam bomo, kako ga najdete z grafom.
Narisan je bil graf neke funkcije. Vzemimo točko z absciso na njej. V tej točki narišimo tangento na graf funkcije. Oceniti želimo, kako strmo gre graf funkcije navzgor. Primerna vrednost za to je tangens tangentnega kota.
Odvod funkcije v točki je enak tangensu tangentnega kota, narisanega na graf funkcije v tej točki.
Upoštevajte, da kot naklon tangente vzamemo kot med tangento in pozitivno smerjo osi.
Včasih učenci vprašajo, kaj je tangenta na graf funkcije. To je ravna črta, ki ima eno samo skupno točko z grafom v tem razdelku in kot je prikazano na naši sliki. Videti je kot tangenta na krog.
Poiščimo ga. Spomnimo se, da je tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku enak razmerju med nasprotno in sosednjo stranico. Iz trikotnika:
Izpeljanko smo našli z uporabo grafa, ne da bi sploh poznali formulo funkcije. Takšne težave pogosto najdemo v Enotnem državnem izpitu iz matematike pod številko.
Obstaja še eno pomembno razmerje. Spomnimo se, da je premica podana z enačbo
Količina v tej enačbi se imenuje naklon ravne črte. Enak je tangensu kota naklona premice na os.
.
To razumemo
Zapomnimo si to formulo. Izraža geometrijski pomen izpeljanke.
Odvod funkcije v točki je enak naklonu tangente, narisane na graf funkcije v tej točki.
Z drugimi besedami, odvod je enak tangensu tangentnega kota.
Rekli smo že, da ima ista funkcija lahko različne odvode na različnih točkah. Poglejmo, kako je odvod povezan z obnašanjem funkcije.
Narišimo graf neke funkcije. Naj se ta funkcija poveča na nekaterih področjih in zmanjša na drugih in z različnimi stopnjami. In naj ima ta funkcija maksimalne in minimalne točke.
Na neki točki se funkcija poveča. Tangenta na graf, narisana v točki, tvori oster kot; s pozitivno smerjo osi. To pomeni, da je odvod v točki pozitiven.
Na točki se naša funkcija zmanjša. Tangenta na tej točki tvori top kot; s pozitivno smerjo osi. Ker je tangens topega kota negativen, je odvod v točki negativen.
Takole se zgodi:
Če funkcija narašča, je njen odvod pozitiven.
Če se zmanjša, je njegov odvod negativen.
Kaj se bo zgodilo na najvišji in najnižji točki? Vidimo, da je v točkah (maksimalna točka) in (minimalna točka) tangenta vodoravna. Zato je tangenta tangente v teh točkah enaka nič in tudi odvod je nič.
Točka - najvišja točka. Na tej točki se povečanje funkcije nadomesti z zmanjšanjem. Posledično se predznak derivata spremeni v točki iz "plus" v "minus".
V točki - minimalni točki - je derivat tudi nič, vendar se njegov znak spremeni iz "minus" v "plus".
Sklep: z odvodom lahko ugotovimo vse, kar nas zanima o obnašanju funkcije.
Če je odvod pozitiven, potem funkcija narašča.
Če je odvod negativen, potem funkcija pada.
V najvišji točki je odvod enak nič in spremeni predznak iz "plus" v "minus".
V točki minimuma je tudi derivat enak nič in spremeni predznak iz "minus" v "plus".
Zapišimo te zaključke v obliki tabele:
| poveča | največja točka | zmanjša | najmanjša točka | poveča | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Naredimo dve majhni pojasnili. Enega od njih boste potrebovali pri reševanju težave. Drugi - v prvem letniku, z resnejšim študijem funkcij in derivatov.
Možno je, da je odvod funkcije na neki točki enak nič, vendar funkcija na tej točki nima niti maksimuma niti minimuma. To je t.i :
V točki je tangenta na graf vodoravna in odvod enak nič. Toda pred točko se je funkcija povečala - in po točki še naprej narašča. Predznak odvoda se ne spremeni - ostane pozitiven, kot je bil.
Zgodi se tudi, da na točki maksimuma ali minimuma derivat ne obstaja. Na grafu to ustreza ostremu prelomu, ko na določeni točki ni mogoče narisati tangente.
Kako najti odvod, če funkcija ni podana z grafom, ampak s formulo? V tem primeru velja
Premica y=f(x) bo tangentna na graf, prikazan na sliki, v točki x0, če poteka skozi točko s koordinatami (x0; f(x0)) in ima kotni koeficient f"(x0). Poišči tak koeficient, Poznavanje značilnosti tangente ni težko.
Potrebovali boste
- - matematični priročnik;
- - preprost svinčnik;
- - zvezek;
- - kotomer;
- - kompas;
- - pero.
Navodila
Če vrednost f‘(x0) ne obstaja, potem bodisi ni tangente ali pa poteka navpično. Glede na to je prisotnost odvoda funkcije v točki x0 posledica obstoja nenavpične tangente, ki se dotika grafa funkcije v točki (x0, f(x0)). V tem primeru bo kotni koeficient tangente enak f "(x0). Tako postane geometrijski pomen izpeljanke jasen - izračun kotnega koeficienta tangente.
Narišite dodatne tangente, ki bi se dotikale grafa funkcije v točkah x1, x2 in x3, ter označite kote, ki jih tvorijo te tangente, z osjo x (ta kot se šteje v pozitivni smeri od osi do osi). tangenta). Na primer, kot, to je α1, bo oster, drugi (α2) bo top, tretji (α3) pa nič, ker je tangenta vzporedna z osjo OX. V tem primeru je tangens topega kota negativen, tangens ostrega kota pozitiven, pri tg0 pa je rezultat enak nič.
Prosimo, upoštevajte
Pravilno določite kot, ki ga tvori tangenta. Če želite to narediti, uporabite kotomer.
Koristen nasvet
Dve nagnjeni črti bosta vzporedni, če sta njuna kotna koeficienta enaka drug drugemu; pravokotno, če je produkt kotnih koeficientov teh tangent enak –1.
Viri:
- Tangenta na graf funkcije
Kosinus je tako kot sinus razvrščen kot "neposredna" trigonometrična funkcija. Tangens (skupaj s kotangensom) je razvrščen kot drug par, imenovan "derivati". Obstaja več definicij teh funkcij, ki omogočajo iskanje tangente, podane z znano vrednostjo kosinusa iste vrednosti.
Navodila
Odštejte količnik enote za vrednost, dvignjeno na kosinus danega kota, in iz rezultata izvlecite kvadratni koren - to bo vrednost tangensa kota, izražena z njegovim kosinusom: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Upoštevajte, da je v formuli kosinus v imenovalcu ulomka. Nezmožnost deljenja z ničlo onemogoča uporabo tega izraza za kote, enake 90 °, kot tudi tiste, ki se od te vrednosti razlikujejo za števila, ki so večkratniki 180 ° (270 °, 450 °, -90 ° itd.).
Obstaja alternativni način za izračun tangensa iz znane vrednosti kosinusa. Lahko se uporablja, če ni omejitev uporabe drugih. Za izvedbo te metode najprej določite vrednost kota iz znane vrednosti kosinusa – to lahko storite s funkcijo arc kosinus. Nato preprosto izračunajte tangens za kot dobljene vrednosti. Na splošno lahko ta algoritem zapišemo takole: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Obstaja tudi eksotična možnost z uporabo definicije kosinusa in tangente skozi ostre kote pravokotnega trikotnika. V tej definiciji kosinus ustreza razmerju med dolžino noge, ki meji na obravnavani kot, in dolžino hipotenuze. Če poznate vrednost kosinusa, lahko izberete ustrezne dolžine teh dveh strani. Na primer, če je cos (α) = 0,5, se lahko sosednji del vzame za 10 cm, hipotenuza pa za 20 cm. Določene številke tukaj niso pomembne - dobili boste enake in pravilne številke z vsemi vrednostmi, ki imajo enake vrednosti. Nato s pomočjo Pitagorovega izreka določi dolžino manjkajoče stranice - nasprotnega kraka. Enak bo kvadratnemu korenu razlike med dolžinami kvadratne hipotenuze in znanega kraka: √(20²-10²)=√300. Po definiciji tangens ustreza razmerju dolžin nasprotnega in sosednjih krakov (√300/10) – izračunajte ga in pridobite vrednost tangensa, ki jo najdete s klasično definicijo kosinusa.
Viri:
- kosinus skozi formulo tangensa
Ena od trigonometričnih funkcij, najpogosteje označena s črkama tg, čeprav se uporablja tudi tan. Najlažji način za predstavitev tangente je sinusno razmerje kota na njegov kosinus. To je liha periodična in nezvezna funkcija, katere vsak cikel je enak številu Pi, prelomna točka pa ustreza polovici tega števila.
