Ta članek obravnava, kako najti vrednosti matematičnih izrazov. Začnimo s preprostimi numeričnimi izrazi in nato obravnavajmo primere, ko se njihova kompleksnost povečuje. Na koncu predstavimo izraz, ki vsebuje črkovne simbole, oklepaje, korene, posebne matematične simbole, potence, funkcije itd. Po tradiciji bomo celotno teorijo opremili z obilnimi in podrobnimi primeri.
Kako najti vrednost številskega izraza?
Številski izrazi med drugim pomagajo opisati stanje problema v matematičnem jeziku. Na splošno so matematični izrazi lahko zelo preprosti, sestavljeni iz para števil in aritmetičnih simbolov, ali zelo zapleteni, ki vsebujejo funkcije, potence, korene, oklepaje itd. Kot del naloge je pogosto treba najti pomen določenega izraza. Kako to storiti, bomo razpravljali spodaj.
Najenostavnejši primeri
To so primeri, ko izraz ne vsebuje nič drugega kot številke in aritmetične operacije. Za uspešno iskanje vrednosti takšnih izrazov boste potrebovali znanje o vrstnem redu izvajanja aritmetičnih operacij brez oklepajev, pa tudi sposobnost izvajanja operacij z različnimi številkami.
Če izraz vsebuje samo števila in aritmetične znake " + " , " · " , " - " , " ÷ " , potem se dejanja izvajajo od leve proti desni v naslednjem vrstnem redu: najprej množenje in deljenje, nato seštevanje in odštevanje. Navedimo primere.
Primer 1: Vrednost številskega izraza
Najti morate vrednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Najprej naredimo množenje in deljenje. Dobimo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Zdaj izvedemo odštevanje in dobimo končni rezultat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Primer 2: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Najprej izvedemo pretvorbo ulomkov, deljenje in množenje:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Zdaj pa naredimo nekaj seštevanja in odštevanja. Združimo ulomke in jih spravimo na skupni imenovalec:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Zahtevana vrednost je bila najdena.
Izrazi z oklepaji
Če izraz vsebuje oklepaje, določajo vrstni red operacij v tem izrazu. Najprej se izvedejo dejanja v oklepajih, nato pa vsa ostala. Pokažimo to s primerom.
Primer 3: Vrednost številskega izraza
Poiščimo vrednost izraza 0,5 · (0,76 - 0,06).
Izraz vsebuje oklepaj, zato najprej izvedemo operacijo odštevanja v oklepaju in šele nato množenje.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Pomen izrazov, ki vsebujejo oklepaj znotraj oklepaja, se ugotovi po istem principu.
Primer 4: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo vrednost 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .
Izvajali bomo dejanja od najbolj notranjih oklepajev do zunanjih.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Pri iskanju pomenov izrazov z oklepaji je glavna stvar slediti zaporedju dejanj.
Izrazi s koreni
Matematični izrazi, katerih vrednosti moramo najti, lahko vsebujejo korenske znake. Poleg tega je lahko izraz sam pod znakom korena. Kaj storiti v tem primeru? Najprej morate poiskati vrednost izraza pod korenom in nato izvleči koren iz števila, dobljenega kot rezultat. Če je mogoče, se je bolje znebiti korenin v številskih izrazih in jih nadomestiti s številskimi vrednostmi.
Primer 5: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo vrednost izraza s koreninami - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Najprej izračunamo radikalne izraze.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Zdaj lahko izračunate vrednost celotnega izraza.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Pogosto iskanje pomena izraza s koreni pogosto zahteva najprej pretvorbo izvirnega izraza. Razložimo to še z enim primerom.
Primer 6: Vrednost številskega izraza
Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1
Kot lahko vidite, nimamo možnosti nadomestiti korena z natančno vrednostjo, kar oteži postopek štetja. Vendar pa lahko v tem primeru uporabite skrajšano formulo množenja.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Torej:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Izrazi s potencami
Če izraz vsebuje potence, je treba njihove vrednosti izračunati, preden nadaljujete z vsemi drugimi dejanji. Zgodi se, da sta eksponent ali osnova stopnje sama izraza. V tem primeru se najprej izračuna vrednost teh izrazov, nato pa vrednost stopnje.
Primer 7: Vrednost številskega izraza
Poiščimo vrednost izraza 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Začnimo računati po vrsti.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Vse kar ostane je, da izvedemo operacijo dodajanja in ugotovimo pomen izraza:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Prav tako je pogosto priporočljivo poenostaviti izraz z uporabo lastnosti stopnje.
Primer 8: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo vrednost naslednjega izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Eksponenti so spet takšni, da njihovih natančnih številčnih vrednosti ni mogoče dobiti. Poenostavimo izvirni izraz, da poiščemo njegovo vrednost.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Izrazi z ulomki
Če izraz vsebuje ulomke, je treba pri izračunu takega izraza vse ulomke v njem predstaviti kot navadne ulomke in izračunati njihove vrednosti.
Če števec in imenovalec ulomka vsebujeta izraze, se najprej izračunajo vrednosti teh izrazov in zapiše končna vrednost samega ulomka. Aritmetične operacije se izvajajo v standardnem vrstnem redu. Poglejmo primer rešitve.
Primer 9: Vrednost številskega izraza
Poiščimo vrednost izraza, ki vsebuje ulomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Kot lahko vidite, so v izvirnem izrazu trije ulomki. Najprej izračunajmo njihove vrednosti.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Prepišimo naš izraz in izračunajmo njegovo vrednost:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Pogosto je pri iskanju pomena izrazov priročno zmanjšati ulomke. Obstaja neizrečeno pravilo: preden ugotovite njegovo vrednost, je najbolje, da kateri koli izraz poenostavite do maksimuma, tako da vse izračune zmanjšate na najpreprostejše primere.
Primer 10: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne moremo popolnoma izluščiti korena pet, lahko pa poenostavimo prvotni izraz s transformacijami.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Prvotni izraz ima obliko:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Izračunajmo vrednost tega izraza:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Izrazi z logaritmi
Če so v izrazu prisotni logaritmi, se njihova vrednost izračuna od začetka, če je to mogoče. Na primer, v izrazu log 2 4 + 2 · 4 lahko takoj zapišete vrednost tega logaritma namesto log 2 4 in nato izvedete vsa dejanja. Dobimo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Številske izraze lahko najdemo tudi pod samim znakom logaritma in na njegovi osnovi. V tem primeru je treba najprej najti njihov pomen. Vzemimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Če ni mogoče izračunati natančne vrednosti logaritma, poenostavitev izraza pomaga najti njegovo vrednost.
Primer 11: Vrednost številskega izraza
Poiščimo vrednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Po lastnostih logaritmov:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
S ponovno uporabo lastnosti logaritmov za zadnji ulomek v izrazu dobimo:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Zdaj lahko nadaljujete z izračunom vrednosti prvotnega izraza.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Izrazi s trigonometričnimi funkcijami
Zgodi se, da izraz vsebuje trigonometrične funkcije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ter njihove inverzne funkcije. Vrednost se izračuna pred izvedbo vseh drugih aritmetičnih operacij. V nasprotnem primeru je izraz poenostavljen.
Primer 12: Vrednost številskega izraza
Poiščite vrednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Najprej izračunamo vrednosti trigonometričnih funkcij, vključenih v izraz.
greh - 5 π 2 = - 1
Vrednosti nadomestimo v izraz in izračunamo njegovo vrednost:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Vrednost izraza je bila najdena.
Pogosto, da bi našli vrednost izraza s trigonometričnimi funkcijami, ga je treba najprej pretvoriti. Razložimo s primerom.
Primer 13: Vrednost številskega izraza
Poiskati moramo vrednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Za pretvorbo bomo uporabili trigonometrične formule za kosinus dvojnega kota in kosinus vsote.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.
Splošni primer številskega izraza
Na splošno lahko trigonometrični izraz vsebuje vse zgoraj opisane elemente: oklepaje, potence, korene, logaritme, funkcije. Oblikujmo splošno pravilo za iskanje pomenov takih izrazov.
Kako najti vrednost izraza
- Koreni, potence, logaritmi itd. nadomestijo njihove vrednosti.
- Izvedena so dejanja v oklepajih.
- Preostala dejanja se izvajajo v vrstnem redu od leve proti desni. Najprej - množenje in deljenje, nato - seštevanje in odštevanje.
Poglejmo si primer.
Primer 14: Vrednost številskega izraza
Izračunajmo vrednost izraza - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Izraz je precej zapleten in okoren. Nismo naključno izbrali prav tak primer, saj smo vanj poskušali umestiti vse zgoraj opisane primere. Kako najti pomen takega izraza?
Znano je, da se pri izračunu vrednosti kompleksne frakcijske oblike vrednosti števca in imenovalca ulomka najprej najdejo ločeno. Ta izraz bomo zaporedno transformirali in poenostavili.
Najprej izračunajmo vrednost radikalnega izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Če želite to narediti, morate najti vrednost sinusa in izraz, ki je argument trigonometrične funkcije.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Zdaj lahko ugotovite vrednost sinusa:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Izračunamo vrednost radikalnega izraza:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Z imenovalcem ulomka je vse preprostejše:
Zdaj lahko zapišemo vrednost celotnega ulomka:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Ob upoštevanju tega zapišemo celoten izraz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Končni rezultat:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
V tem primeru smo lahko izračunali natančne vrednosti korenov, logaritmov, sinusov itd. Če to ni mogoče, se jih lahko poskusite znebiti z matematičnimi transformacijami.
Izračun vrednosti izrazov z racionalnimi metodami
Numerične vrednosti je treba izračunati dosledno in natančno. Ta proces lahko racionaliziramo in pospešimo z različnimi lastnostmi operacij s števili. Na primer, znano je, da je produkt enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Ob upoštevanju te lastnosti lahko takoj rečemo, da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 enak nič. Hkrati sploh ni potrebno izvajati dejanj v vrstnem redu, opisanem v zgornjem članku.
Prav tako je priročno uporabiti lastnost odštevanja enakih števil. Brez izvajanja kakršnih koli dejanj lahko naročite, da je tudi vrednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 enaka nič.
Druga tehnika za pospešitev procesa je uporaba transformacij identitete, kot je združevanje izrazov in faktorjev ter umeščanje skupnega faktorja iz oklepajev. Racionalen pristop k računanju izrazov z ulomki je zmanjševanje istih izrazov v števcu in imenovalcu.
Na primer, vzemite izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Brez izvajanja operacij v oklepajih, ampak z zmanjševanjem ulomka, lahko rečemo, da je vrednost izraza 1 3 .
Iskanje vrednosti izrazov s spremenljivkami
Vrednost dobesednega izraza in izraza s spremenljivkami se najde za določene dane vrednosti črk in spremenljivk.
Iskanje vrednosti izrazov s spremenljivkami
Če želite najti vrednost dobesednega izraza in izraza s spremenljivkami, morate dane vrednosti črk in spremenljivk nadomestiti z izvirnim izrazom in nato izračunati vrednost nastalega številskega izraza.
Primer 15: Vrednost izraza s spremenljivkami
Izračunajte vrednost izraza 0, 5 x - y, če sta x = 2, 4 in y = 5.
Vrednosti spremenljivk nadomestimo v izraz in izračunamo:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Včasih lahko izraz transformirate tako, da dobite njegovo vrednost ne glede na vrednosti črk in spremenljivk, ki so vanj vključene. Če želite to narediti, se morate znebiti črk in spremenljivk v izrazu, če je mogoče, z uporabo identičnih transformacij, lastnosti aritmetičnih operacij in vseh možnih drugih metod.
Na primer, izraz x + 3 - x ima očitno vrednost 3 in za izračun te vrednosti ni treba poznati vrednosti spremenljivke x. Vrednost tega izraza je enaka trem za vse vrednosti spremenljivke x iz njenega obsega dovoljenih vrednosti.
Še en primer. Vrednost izraza x x je enaka ena za vse pozitivne x-e.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Torej, če je številski izraz sestavljen iz števil in znakov +, −, · in:, morate v vrstnem redu od leve proti desni najprej izvesti množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje, kar vam bo omogočilo, da najdete želeno vrednost izraza.
Za pojasnilo navedimo nekaj primerov.
Primer.
Izračunaj vrednost izraza 14−2·15:6−3.
rešitev.
Če želite najti vrednost izraza, morate izvesti vsa dejanja, navedena v njem, v skladu s sprejetim vrstnim redom izvajanja teh dejanj. Najprej po vrstnem redu od leve proti desni izvedemo množenje in deljenje, dobimo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sedaj izvedemo tudi preostala dejanja po vrstnem redu od leve proti desni: 14−5−3=9−3=6. Tako smo našli vrednost prvotnega izraza, enaka je 6.
odgovor:
14−2·15:6−3=6.
Primer.
Poiščite pomen izraza.
rešitev.
V tem primeru moramo najprej izvesti množenje 2·(−7) in deljenje z množenjem v izrazu . Če se spomnimo, kako, najdemo 2·(−7)=−14. In najprej izvesti dejanja v izrazu 
, po katerem 
, in izvedite: 
.
Dobljene vrednosti nadomestimo v prvotni izraz: .
Kaj pa, če je pod znakom korena številski izraz? Če želite pridobiti vrednost takšnega korena, morate najprej najti vrednost radikalnega izraza, pri čemer se držite sprejetega vrstnega reda izvajanja dejanj. Na primer,.
V številskih izrazih je treba korenine razumeti kot nekaj števil, zato je priporočljivo, da korenine takoj nadomestite z njihovimi vrednostmi in nato poiščete vrednost nastalega izraza brez korenin, pri čemer izvajate dejanja v sprejetem zaporedju.
Primer.
Poiščite pomen izraza s koreninami.
rešitev.
Najprej poiščimo vrednost korena 
. Da bi to naredili, najprej izračunamo vrednost radikalnega izraza, ki ga imamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. In drugič, najdemo vrednost korena.
Zdaj pa izračunajmo vrednost drugega korena iz izvirnega izraza: .
Končno lahko najdemo pomen izvirnega izraza tako, da korene nadomestimo z njihovimi vrednostmi: .
odgovor:
Pogosto, da bi našli pomen izraza s koreninami, ga je treba najprej preoblikovati. Pokažimo rešitev primera.
Primer.
Kakšen je pomen izraza 
.
rešitev.
Korena tri ne moremo nadomestiti z njegovo natančno vrednostjo, kar nam preprečuje, da bi izračunali vrednost tega izraza na zgoraj opisani način. Vendar pa lahko izračunamo vrednost tega izraza z izvajanjem preprostih transformacij. Uporabno formula kvadratne razlike: . Ob upoštevanju dobimo 
. Tako je vrednost prvotnega izraza 1.
odgovor:
.
Z diplomami
Če sta osnova in eksponent števili, se njuna vrednost izračuna z določitvijo stopnje, na primer 3 2 =3·3=9 ali 8 −1 =1/8. Obstajajo tudi vnosi, kjer sta osnova in/ali eksponent nekateri izrazi. V teh primerih morate poiskati vrednost izraza v osnovi, vrednost izraza v eksponentu in nato izračunati vrednost same stopnje.
Primer.
Poiščite vrednost izraza s potencami oblike 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
rešitev.
V izvirnem izrazu sta dve potenci 2 3·4−10 in (1−1/2) 3,5−2·1/4. Njihove vrednosti je treba izračunati pred izvajanjem drugih dejanj.
Začnimo s potenco 2 3·4−10. Njegov indikator vsebuje numerični izraz, izračunajmo njegovo vrednost: 3·4−10=12−10=2. Zdaj lahko najdete vrednost same stopnje: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Osnova in eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 vsebujeta izraze; izračunamo njuni vrednosti, da bi nato našli vrednost eksponenta. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Zdaj se vrnemo k izvirnemu izrazu, zamenjamo stopinje v njem z njihovimi vrednostmi in poiščemo vrednost izraza, ki ga potrebujemo: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
odgovor:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Omeniti velja, da so pogostejši primeri, ko je priporočljivo izvesti predhodni pregled poenostavitev izražanja s pooblastili na dnu.
Primer.
Poiščite pomen izraza 
.
rešitev.
Sodeč po eksponentih v tem izrazu ne bo mogoče dobiti natančnih vrednosti eksponentov. Poskusimo poenostaviti izvirni izraz, morda bo to pomagalo najti njegov pomen. Imamo 
odgovor:
.
Potence v izrazih gredo pogosto z roko v roki z logaritmi, vendar bomo o iskanju pomena izrazov z logaritmi govorili v enem od.
Iskanje vrednosti izraza z ulomki
Številski izrazi lahko vsebujejo ulomke v zapisu. Ko morate najti vrednost takega izraza, je treba ulomke, ki niso ulomki, zamenjati z njihovimi vrednostmi, preden nadaljujete z ostalimi koraki.
Števec in imenovalec ulomkov (ki se razlikujeta od navadnih ulomkov) lahko vsebujeta nekatera števila in izraze. Če želite izračunati vrednost takega ulomka, morate izračunati vrednost izraza v števcu, izračunati vrednost izraza v imenovalcu in nato izračunati vrednost samega ulomka. Ta vrstni red je razložen z dejstvom, da ulomek a/b, kjer sta a in b nekatera izraza, v bistvu predstavlja količnik oblike (a):(b), saj .
Poglejmo primer rešitve.
Primer.
Poiščite pomen izraza z ulomki 
.
rešitev.
V izvirnem številskem izrazu so trije ulomki 
In . Da bi našli vrednost prvotnega izraza, moramo te ulomke najprej nadomestiti z njihovimi vrednostmi. Naredimo to.
Števec in imenovalec ulomka vsebujeta števila. Če želite poiskati vrednost takšnega ulomka, zamenjajte ulomkovo vrstico z znakom za deljenje in izvedite to dejanje: 
.
V števcu ulomka je izraz 7−2·3, njegovo vrednost je enostavno najti: 7−2·3=7−6=1. Tako, . Lahko nadaljujete z iskanjem vrednosti tretjega ulomka.
Tretji ulomek v števcu in imenovalcu vsebuje številske izraze, zato morate najprej izračunati njihove vrednosti in tako boste lahko našli vrednost samega ulomka. Imamo 
.
Najdene vrednosti je treba nadomestiti v prvotni izraz in izvesti preostala dejanja: .
odgovor:
.
Pogosto morate pri iskanju vrednosti izrazov z ulomki opraviti poenostavitev frakcijskih izrazov, ki temelji na izvajanju operacij z ulomki in zmanjševanju ulomkov.
Primer.
Poiščite pomen izraza 
.
rešitev.
Korena pet ni mogoče popolnoma izluščiti, zato ga, da bi našli vrednost izvirnega izraza, najprej poenostavimo. Za to znebimo se neracionalnosti v imenovalcu prvi ulomek: 
. Po tem bo prvotni izraz prevzel obliko 
. Po odštevanju ulomkov bodo koreni izginili, kar nam bo omogočilo, da poiščemo vrednost prvotno danega izraza: .
odgovor:
.
Z logaritmi
Če številski izraz vsebuje in če se jih je mogoče znebiti, se to naredi pred izvedbo drugih dejanj. Na primer, pri iskanju vrednosti izraza log 2 4+2·3 se logaritem log 2 4 nadomesti z njegovo vrednostjo 2, nato pa se preostala dejanja izvedejo v običajnem vrstnem redu, to je log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Kadar so pod znakom logaritma in/ali na njegovi osnovi numerični izrazi, se najprej najdejo njihove vrednosti, nato pa se izračuna vrednost logaritma. Na primer, razmislite o izrazu z logaritmom oblike 
. Na dnu logaritma in pod njegovim znakom so številski izrazi: . Zdaj poiščemo logaritem, po katerem zaključimo izračune: .
Če logaritmi niso izračunani natančno, jih je treba predhodno poenostaviti z uporabo . V tem primeru morate dobro obvladati gradivo članka pretvorbo logaritemskih izrazov.
Primer.
Poiščite vrednost izraza z logaritmi 
.
rešitev.
Začnimo z izračunom log 2 (log 2 256) . Ker je 256=2 8, potem je log 2 256=8, torej, dnevnik 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logaritma log 6 2 in log 6 3 lahko združimo. Vsota logaritmov log 6 2+log 6 3 je enaka logaritmu produkta log 6 (2 3), torej log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Zdaj pa poglejmo ulomek. Za začetek bomo osnovo logaritma v imenovalcu prepisali v obliki navadnega ulomka kot 1/5, nato pa bomo uporabili lastnosti logaritmov, ki nam bodo omogočile, da dobimo vrednost ulomka: 
.
Vse, kar ostane, je nadomestiti dobljene rezultate v prvotni izraz in dokončati iskanje njegove vrednosti: 
odgovor:
Kako najti vrednost trigonometričnega izraza?
Ko številski izraz vsebuje ali itd., se njihove vrednosti izračunajo pred izvedbo drugih dejanj. Če obstajajo numerični izrazi pod znakom trigonometričnih funkcij, se njihove vrednosti najprej izračunajo, nato pa se najdejo vrednosti trigonometričnih funkcij.
Primer.
Poiščite pomen izraza 
.
rešitev.
Če se obrnemo na članek, dobimo 
in cosπ=−1 . Te vrednosti nadomestimo v prvotni izraz, prevzame obliko 
. Če želite najti njegovo vrednost, morate najprej izvesti potenciranje in nato dokončati izračune: .
odgovor:
.
Omeniti velja, da je izračun vrednosti izrazov s sinusi, kosinusi itd. pogosto zahteva predhodno pretvorbo trigonometričnega izraza.
Primer.
Kakšna je vrednost trigonometričnega izraza 
.
rešitev.
Pretvorimo prvotni izraz z uporabo , v tem primeru bomo potrebovali formulo kosinusa dvojnega kota in formulo kosinusa vsote: 
Transformacije, ki smo jih naredili, so nam pomagale najti pomen izraza.
odgovor:
.
Splošni primer
Na splošno lahko številski izraz vsebuje korene, potence, ulomke, nekatere funkcije in oklepaje. Iskanje vrednosti takšnih izrazov je sestavljeno iz izvajanja naslednjih dejanj:
- prvi koreni, potence, ulomki itd. nadomestijo njihove vrednote,
- nadaljnja dejanja v oklepajih,
- in po vrstnem redu od leve proti desni se izvajajo preostale operacije - množenje in deljenje, sledita seštevanje in odštevanje.
Našteta dejanja se izvajajo do končnega rezultata.
Primer.
Poiščite pomen izraza 
.
rešitev.
Oblika tega izraza je precej zapletena. V tem izrazu vidimo ulomke, korene, potence, sinuse in logaritme. Kako najti njegovo vrednost?
Ko se premikamo po zapisu od leve proti desni, naletimo na delček obrazca 
. Vemo, da moramo pri delu s kompleksnimi ulomki posebej izračunati vrednost števca, posebej imenovalec in na koncu poiskati vrednost ulomka.
V števniku imamo koren oblike 
. Če želite določiti njegovo vrednost, morate najprej izračunati vrednost radikalnega izraza 
. Tukaj je sinus. Njegovo vrednost lahko poiščemo šele po izračunu vrednosti izraza 
. To lahko naredimo:. Potem pa od kod in od kod 
.
Imenovalec je preprost: .
torej 
.
Po zamenjavi tega rezultata v prvotni izraz bo prevzel obliko . Dobljeni izraz vsebuje stopnjo . Da bi našli njegovo vrednost, moramo najprej najti vrednost indikatorja, ki ga imamo 
.
Torej, .
odgovor:
.
Če ni mogoče izračunati natančnih vrednosti korenin, moči itd., Se jih lahko poskusite znebiti z nekaterimi transformacijami in se nato vrnete k izračunu vrednosti po določeni shemi.
Racionalni načini za izračun vrednosti izrazov
Izračun vrednosti številskih izrazov zahteva doslednost in natančnost. Da, treba se je držati zaporedja dejanj, zapisanih v prejšnjih odstavkih, vendar tega ni treba storiti slepo in mehanično. S tem mislimo, da je pogosto mogoče racionalizirati proces iskanja pomena izraza. Na primer, nekatere lastnosti operacij s števili lahko bistveno pospešijo in poenostavijo iskanje vrednosti izraza.
Na primer, poznamo to lastnost množenja: če je eden od faktorjev v produktu enak nič, potem je vrednost produkta enaka nič. Z uporabo te lastnosti lahko takoj rečemo, da je vrednost izraza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) je enako nič. Če bi sledili standardnemu vrstnemu redu operacij, bi morali najprej izračunati vrednosti okornih izrazov v oklepajih, kar bi vzelo veliko časa, rezultat pa bi bil še vedno nič.
Prav tako je priročno uporabiti lastnost odštevanja enakih števil: če od števila odštejemo enako število, je rezultat nič. To lastnost lahko obravnavamo širše: razlika med dvema enakima številskima izrazoma je nič. Na primer, ne da bi izračunali vrednost izrazov v oklepajih, lahko poiščete vrednost izraza (54 6−12 47362:3)-(54 6−12 47362:3), je enak nič, saj je izvirni izraz razlika enakih izrazov.
Identitetne transformacije lahko olajšajo racionalen izračun izraznih vrednosti. Na primer, uporabno je lahko združevanje izrazov in faktorjev; Tako je vrednost izraza 53·5+53·7−53·11+5 zelo enostavno najti, če vzamemo faktor 53 iz oklepaja: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Neposredni izračun bi trajal veliko dlje.
Za zaključek te točke bodimo pozorni na racionalen pristop k izračunavanju vrednosti izrazov z ulomki - enaki faktorji v števcu in imenovalcu ulomka so preklicani. Na primer zmanjševanje istih izrazov v števcu in imenovalcu ulomka 
omogoča takojšnje iskanje njegove vrednosti, ki je enaka 1/2.
Iskanje vrednosti dobesednega izraza in izraza s spremenljivkami
Vrednost dobesednega izraza in izraza s spremenljivkami se najde za določene dane vrednosti črk in spremenljivk. To pomeni, da govorimo o iskanju vrednosti dobesednega izraza za dane vrednosti črk ali o iskanju vrednosti izraza s spremenljivkami za izbrane vrednosti spremenljivk.
Pravilo iskanje vrednosti dobesednega izraza ali izraza s spremenljivkami za dane vrednosti črk ali izbrane vrednosti spremenljivk je naslednje: dane vrednosti črk ali spremenljivk morate nadomestiti v prvotni izraz in izračunati vrednost dobljenega številskega izraza je želena vrednost.
Primer.
Izračunajte vrednost izraza 0,5·x−y pri x=2,4 in y=5.
rešitev.
Če želite najti zahtevano vrednost izraza, morate najprej nadomestiti dane vrednosti spremenljivk v prvotni izraz in nato izvesti naslednje korake: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
odgovor:
−3,8 .
Kot zadnja opomba, včasih izvajanje transformacij na dobesednih izrazih in spremenljivkah bo dalo njihove vrednosti, ne glede na vrednosti črk in spremenljivk. Na primer, izraz x+3−x lahko poenostavimo, potem pa dobi obliko 3. Iz tega lahko sklepamo, da je vrednost izraza x+3−x enaka 3 za vse vrednosti spremenljivke x iz njenega območja dovoljenih vrednosti (APV). Še en primer: vrednost izraza je enaka 1 za vse pozitivne vrednosti x, zato je obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke x v izvirnem izrazu niz pozitivnih števil in v tem območju enakost drži.
Reference.
- Matematika: učbenik za 5. razred. splošno izobraževanje ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: poučna. za splošno izobraževanje ustanove / [N. Ya. Vilenkin in drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: učbenik za 7. razred splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
Pri predmetu algebra v 7. razredu smo se ukvarjali s preoblikovanjem celih izrazov, to je izrazov, sestavljenih iz števil in spremenljivk z uporabo operacij seštevanja, odštevanja in množenja ter deljenja s številom, ki ni nič. Torej, izrazi so cela števila
V nasprotju z izrazi
poleg dejanj seštevanja, odštevanja in množenja vsebujejo deljenje v izraz s spremenljivkami. Takšni izrazi se imenujejo frakcijski izrazi.
Celoštevilske in ulomke imenujemo racionalni izrazi.
Celoten izraz je smiseln za vse vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene, saj morate za iskanje vrednosti celotnega izraza izvesti dejanja, ki so vedno možna.
Delni izraz morda ni smiseln za nekatere vrednosti spremenljivk. Na primer, izraz - nima smisla, če je a = 0. Za vse druge vrednosti a je ta izraz smiseln. Izraz je smiseln za tiste vrednosti x in y, ko je x ≠ y.
Vrednosti spremenljivk, za katere je izraz smiseln, se imenujejo veljavne vrednosti spremenljivk.
Izraz oblike je znan kot ulomek.
Ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma, imenujemo racionalni ulomek.
Primeri racionalnih ulomkov so ulomki
V racionalnem ulomku so sprejemljive vrednosti spremenljivk tiste, pri katerih imenovalec ulomka ne izgine.
Primer 1. Poiščimo sprejemljive vrednosti spremenljivke v ulomku
rešitevČe želite ugotoviti, pri katerih vrednostih a imenovalec ulomka postane nič, morate rešiti enačbo a(a - 9) = 0. Ta enačba ima dva korena: 0 in 9. Zato so vsa števila razen 0 in 9 so veljavne vrednosti za spremenljivko a.
Primer 2. Pri kateri vrednosti x je vrednost ulomka 
enako nič?
rešitev Ulomek je nič, če in samo če je a - 0 in b ≠ 0.