Kako narediti matrični pregled. Metode za iskanje inverzne matrike

Nadaljujmo pogovor o dejanjih z matricami. Med študijem tega predavanja se boste namreč naučili poiskati inverzno matriko. Naučite se. Tudi če je matematika težka.

Kaj je inverzna matrika? Tukaj lahko potegnemo analogijo z inverznimi števili: upoštevajmo na primer optimistično število 5 in njegovo inverzno število. Zmnožek teh števil je enak ena: . Z matricami je vse podobno! Produkt matrike in njene inverzne matrike je enak – identitetna matrika, ki je matrični analog numerične enote. Vendar najprej najprej – najprej rešimo pomembno praktično vprašanje, in sicer, naučimo se najti to zelo inverzno matriko.

Kaj morate vedeti in znati narediti, da najdete inverzno matriko? Morate se znati odločiti kvalifikacije. Morate razumeti, kaj je to matrica in z njimi lahko izvedete nekatera dejanja.

Obstajata dve glavni metodi za iskanje inverzne matrike:
z uporabo algebrski dodatki in z uporabo elementarnih transformacij.

Danes bomo preučili prvo, enostavnejšo metodo.

Začnimo z najbolj groznim in nerazumljivim. Razmislimo kvadrat matrica. Inverzno matriko je mogoče najti z naslednjo formulo:

Kjer je determinanta matrike, je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.

Koncept inverzne matrike obstaja samo za kvadratne matrike, matrice "dva po dva", "tri po tri" itd.

Poimenovanja: Kot ste morda že opazili, je inverzna matrika označena z nadnapisom

Začnimo z najpreprostejšim primerom - matriko dva krat dva. Najpogosteje je seveda potrebno "tri za tri", vendar kljub temu močno priporočam, da preučite enostavnejšo nalogo, da bi razumeli splošno načelo rešitve.

primer:

Poiščite obrat matrike

Odločimo se. Primerno je razčleniti zaporedje dejanj po točkah.

1) Najprej poiščemo determinanto matrike.

Če tega dejanja ne razumete dobro, preberite gradivo Kako izračunati determinanto?

Pomembno!Če je determinanta matrike enaka NIČ– inverzna matrika NE OBSTAJA.

V obravnavanem primeru, kot se je izkazalo, , kar pomeni, da je vse v redu.

2) Poiščite matriko minorjev.

Za rešitev našega problema ni treba vedeti, kaj je mladoletnik, vendar je priporočljivo prebrati članek Kako izračunati determinanto.

Matrika minorov ima enake dimenzije kot matrika, to je v tem primeru.
Edina stvar, ki jo morate storiti, je, da poiščete štiri številke in jih postavite namesto zvezdic.

Vrnimo se k naši matrici
Poglejmo najprej zgornji levi element:

Kako najti manjše?
In to se naredi tako: MENTALNO prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem se nahaja ta element:

Preostalo število je manjši od tega elementa, ki ga zapišemo v našo matriko minorjev:

Razmislite o naslednjem matričnem elementu:

Mentalno prečrtajte vrstico in stolpec, v katerih se pojavi ta element:

Kar ostane, je minor tega elementa, ki ga zapišemo v našo matriko:

Podobno upoštevamo elemente druge vrstice in poiščemo njihove manjše:


pripravljena

Enostavno je. V matrici mladoletnikov, ki jih potrebujete SPREMEMBA ZNAKOV dve številki:

To so številke, ki sem jih obkrožil!

– matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.

In samo...

4) Poiščite transponirano matriko algebraičnih dodatkov.

– transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.

5) Odgovor.

Spomnimo se naše formule
Vse se je našlo!

Inverzna matrika je torej:

Bolje je pustiti odgovor tak, kot je. NI POTREBNO vsak element matrike delite z 2, saj so rezultat delna števila. Ta odtenek je podrobneje obravnavan v istem članku. Dejanja z matricami.

Kako preveriti rešitev?

Izvesti morate matrično množenje oz

Pregled:

Prejeto že omenjeno identitetna matrika je matrika z enicami glavna diagonala in ničle na drugih mestih.

Tako je inverzna matrika pravilno najdena.

Če akcijo izvedete, bo rezultat tudi matrica identitete. To je eden redkih primerov, kjer je množenje matrik komutativno, več podrobnosti najdete v članku Lastnosti operacij na matrikah. Matrični izrazi. Upoštevajte tudi, da se med preverjanjem konstanta (ulomek) premakne naprej in obdela čisto na koncu - po množenju matrice. To je standardna tehnika.

Preidimo na pogostejši primer v praksi - matriko tri proti tri:

primer:

Poiščite obrat matrike

Algoritem je popolnoma enak kot v primeru "dva za dva".

Inverzno matriko poiščemo s formulo: , kjer je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.

1) Poiščite determinanto matrike.

Tu se razkrije determinanta na prvi liniji.

Tudi tega ne pozabite, kar pomeni, da je vse v redu - inverzna matrika obstaja.

2) Poiščite matriko minorjev.

Matrika minorjev ima dimenzijo "tri krat tri" , in najti moramo devet števil.

Bom podrobneje pogledal par mladoletnikov:

Razmislite o naslednjem matričnem elementu:

MISELNO prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem se nahaja ta element:

Preostale štiri številke zapišemo v determinanto “dva po dva”.

Ta determinanta dva za dva in je minor tega elementa. Izračunati je treba:


To je to, minor je bil najden, zapišemo ga v našo matriko minorjev:

Kot ste verjetno uganili, morate izračunati devet determinant dva za dva. Postopek je seveda dolgočasen, vendar primer ni najhujši, lahko je še hujši.

No, za utrjevanje – iskanje še enega mladoletnika na slikah:

Poskusite sami izračunati preostale minore.

Končni rezultat:
– matrika minorov ustreznih elementov matrike.

To, da so se vsi minori izkazali za negativne, je čista nesreča.

3) Poiščite matriko algebraičnih dodatkov.

V matrici mladoletnikov je potrebno SPREMEMBA ZNAKOV strogo za naslednje elemente:

V tem primeru:

Iskanja inverzne matrike za matriko »štiri krat štiri« ne upoštevamo, saj lahko takšno nalogo da samo sadistični učitelj (da učenec izračuna eno determinanto »štiri krat štiri« in 16 determinant »tri krat tri«). V moji praksi je bil samo en tak primer in naročnik testa je moje muke kar drago plačal =).

V številnih učbenikih in priročnikih lahko najdete nekoliko drugačen pristop k iskanju inverzne matrike, vendar priporočam uporabo zgoraj opisanega algoritma rešitve. Zakaj? Ker je verjetnost, da bi se zmotili pri izračunih in znakih, veliko manjša.

Definicija 1: matrika se imenuje singularna, če je njena determinanta nič.

Definicija 2: matrika se imenuje nesingularna, če njena determinanta ni enaka nič.

Imenuje se matrika "A". inverzna matrika, če je izpolnjen pogoj A*A-1 = A-1 *A = E (enotska matrika).

Kvadratna matrika je invertibilna le, če ni singularna.

Shema za izračun inverzne matrike:

1) Izračunajte determinanto matrike "A", če ∆ A = 0, potem inverzna matrika ne obstaja.

2) Poiščite vse algebraične komplemente matrike "A".

3) Ustvarite matriko algebraičnih dodatkov (Aij)

4) Transponirajte matriko algebrskih komplementov (Aij )T

5) Transponirano matriko pomnožimo z inverzno determinanto te matrike.

6) Izvedite preverjanje:

Na prvi pogled se morda zdi zapleteno, v resnici pa je vse zelo preprosto. Vse rešitve temeljijo na preprostih aritmetičnih operacijah, glavna stvar pri reševanju je, da se ne zamenjate z znaki "-" in "+" in jih ne izgubite.

Zdaj pa skupaj rešimo praktično nalogo z izračunom inverzne matrike.

Naloga: poiščite inverzno matriko "A", prikazano na spodnji sliki:

Vse rešimo točno tako, kot je navedeno v načrtu za izračun inverzne matrike.

1. Najprej morate najti determinanto matrike "A":

Pojasnilo:

Našo determinanto smo poenostavili z uporabo njenih osnovnih funkcij. Najprej smo 2. in 3. vrstici dodali elemente prve vrstice, pomnožene z enim številom.

Drugič, spremenili smo 2. in 3. stolpec determinante in glede na njene lastnosti spremenili predznak pred njo.

Tretjič, drugi vrstici smo izločili skupni faktor (-1), s čimer smo spet spremenili predznak in ta je postal pozitiven. Tudi vrstico 3 smo poenostavili na enak način kot na samem začetku primera.

Imamo trikotno determinanto, katere elementi pod diagonalo so enaki nič, po lastnosti 7 pa je enaka produktu diagonalnih elementov. Na koncu smo dobili ∆ A = 26, torej inverzna matrika obstaja.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Naslednji korak je sestavljanje matrike iz nastalih dodatkov:

5. To matriko pomnožite z inverzno determinanto, to je z 1/26:

6. Zdaj moramo samo še preveriti:

Med preizkusom smo prejeli identitetno matriko, zato je bila rešitev izvedena popolnoma pravilno.

2 način za izračun inverzne matrike.

1. Elementarna matrična transformacija

2. Inverzna matrika preko elementarnega pretvornika.

Osnovna matrična transformacija vključuje:

1. Množenje niza s številom, ki ni enako nič.

2. Dodajanje katere koli vrstice druge vrstice, pomnožene s številom.

3. Zamenjaj vrstici matrike.

4. Z uporabo verige elementarnih transformacij dobimo drugo matriko.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Poglejmo si to na praktičnem primeru z realnimi številkami.

Vaja: Poiščite inverzno matriko.

rešitev:

Preverimo:

Majhno pojasnilo rešitve:

Najprej smo preuredili vrstici 1 in 2 matrike, nato pa prvo vrstico pomnožili z (-1).

Nato smo prvo vrstico pomnožili z (-2) in jo sešteli z drugo vrstico matrike. Nato smo vrstico 2 pomnožili z 1/4.

Končna stopnja transformacije je bila množenje druge vrstice z 2 in seštevanje s prvo. Posledično imamo identitetno matriko na levi, zato je inverzna matrika matrika na desni.

Po preverjanju smo se prepričali, da je bila odločitev pravilna.

Kot lahko vidite, je izračun inverzne matrike zelo preprost.

Na koncu tega predavanja bi se rad nekaj časa posvetil tudi lastnostim takšne matrike.

Ta tema je med študenti ena najbolj osovraženih. Slabše so verjetno kvalifikacije.

Trik je v tem, da nas že sam koncept inverznega elementa (in zdaj ne govorim samo o matricah) napotuje na operacijo množenja. Tudi v šolskem kurikulumu množenje velja za zapleteno operacijo, matrično množenje pa je na splošno ločena tema, ki ji imam posvečen cel odstavek in video lekcijo.

Danes se ne bomo spuščali v podrobnosti matričnih izračunov. Samo spomnimo se: kako so matrike označene, kako se množijo in kaj iz tega sledi.

Pregled: Množenje matrik

Najprej se dogovorimo za notacijo. Matrika $A$ velikosti $\left[ m\times n \right]$ je preprosto tabela števil z natanko $m$ vrsticami in $n$ stolpci:

\=\pod oklepajem(\levo[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Da ne bi pomotoma pomešali vrstic in stolpcev (verjemite mi, na izpitu lahko zamenjate ena z dvojko, kaj šele nekaj vrstic), samo poglejte sliko:

Določanje indeksov za matrične celice

kaj se dogaja Če postavite standardni koordinatni sistem $OXY$ v zgornji levi kot in usmerite osi tako, da pokrivajo celotno matriko, potem lahko vsako celico te matrike enolično povežete s koordinatami $\left(x;y \right)$ - to bo številka vrstice in številka stolpca.

Zakaj je koordinatni sistem postavljen v zgornji levi kot? Da, ker od tam začnemo brati vsa besedila. Zelo enostavno si ga je zapomniti.

Zakaj je os $x$ usmerjena navzdol in ne v desno? Ponovno je preprosto: vzemite standardni koordinatni sistem (os $x$ gre v desno, os $y$ gre navzgor) in ga zavrtite tako, da pokrije matriko. To je vrtenje za 90 stopinj v smeri urinega kazalca – rezultat vidimo na sliki.

Na splošno smo ugotovili, kako določiti indekse matričnih elementov. Zdaj pa poglejmo množenje.

Opredelitev. Matriki $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$, ko število stolpcev v prvi sovpada s številom vrstic v drugi, sta imenovano dosledno.

Točno v tem vrstnem redu. Lahko se zmedemo in rečemo, da matriki $A$ in $B$ tvorita urejen par $\left(A;B \right)$: če sta konsistentni v tem vrstnem redu, potem sploh ni nujno, da $B $ in $A$ tista. par $\left(B;A \right)$ je tudi skladen.

Samo ujemajoče se matrike je mogoče množiti.

Opredelitev. Zmnožek ujemajočih se matrik $A=\left[ m\times n \right]$ in $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrika $C=\left[ m\times k \right ]$ , katerega elementi $((c)_(ij))$ se izračunajo po formuli:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Z drugimi besedami: če želite dobiti element $((c)_(ij))$ matrike $C=A\cdot B$, morate vzeti $i$-vrstico prve matrike, $j$ -th stolpec druge matrike in nato v parih pomnožite elemente iz te vrstice in stolpca. Seštejte rezultate.

Da, to je tako ostra definicija. Iz tega takoj sledi več dejstev:

1. Množenje matrik na splošno ni komutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Vendar je množenje asociativno: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. In celo distribucijsko: $\levo(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. In še enkrat distribucijsko: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivnost množenja je bilo treba opisati ločeno za levi in ​​desni faktor vsote prav zaradi nekomutativnosti operacije množenja.

Če se izkaže, da je $A\cdot B=B\cdot A$, se takšne matrike imenujejo komutativne.

Med vsemi matrikami, ki so pomnožene z nečim tam, obstajajo posebne - tiste, ki pomnožene s katero koli matriko $A$ ponovno dajo $A$:

Opredelitev. Matriko $E$ imenujemo identiteta, če je $A\cdot E=A$ ali $E\cdot A=A$. V primeru kvadratne matrike $A$ lahko zapišemo:

Identitetna matrika je pogost gost pri reševanju matričnih enačb. In nasploh pogost gost v svetu matric :).

In zaradi tega $E$ se je nekdo domislil vseh neumnosti, ki bodo še napisane.

Kaj je inverzna matrika

Ker je množenje matrike zelo delovno intenzivna operacija (množiti morate kup vrstic in stolpcev), se tudi koncept inverzne matrike izkaže za ne najbolj trivialnega. In zahteva nekaj razlage.

Ključna definicija

No, čas je, da izvemo resnico.

Opredelitev. Matrika $B$ se imenuje inverzna matrika $A$, če

Inverzna matrika je označena z $((A)^(-1))$ (ne zamenjujte s stopnjo!), zato lahko definicijo prepišemo na naslednji način:

Zdi se, da je vse izjemno preprosto in jasno. Toda pri analizi te definicije se takoj pojavi več vprašanj:

1. Ali inverzna matrika vedno obstaja? In če ne vedno, kako potem ugotoviti: kdaj obstaja in kdaj ne?
2. In kdo je rekel, da obstaja točno ena taka matrica? Kaj pa, če za neko začetno matriko $A$ obstaja cela množica inverzov?
3. Kako izgledajo vsi ti "obrati"? In kako naj jih natančno štejemo?

Kar zadeva algoritme za izračun, bomo o tem govorili malo kasneje. Toda na preostala vprašanja bomo odgovorili takoj. Oblikujmo jih v obliki ločenih izjav-lem.

Osnovne lastnosti

Začnimo s tem, kako naj bi matrika $A$ načeloma izgledala, da bi zanjo obstajal $((A)^(-1))$. Zdaj se bomo prepričali, da morata biti obe matriki kvadratni in enake velikosti: $\levo[ n\krat n \desno]$.

Lema 1. Dana je matrika $A$ in njen inverz $((A)^(-1))$. Potem sta obe matriki kvadratni in enakega reda $n$.

Dokaz. Enostavno je. Naj bo matrika $A=\levo[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Ker produkt $A\cdot ((A)^(-1))=E$ obstaja po definiciji, sta matriki $A$ in $((A)^(-1))$ skladni v prikazanem vrstnem redu:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( poravnaj)\]

To je neposredna posledica algoritma množenja matrik: koeficienta $n$ in $a$ sta »tranzitna« in morata biti enaka.

Hkrati je definirano tudi inverzno množenje: $((A)^(-1))\cdot A=E$, zato sta matriki $((A)^(-1))$ in $A$ tudi dosledno v določenem vrstnem redu:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( poravnaj)\]

Tako lahko brez izgube splošnosti predpostavimo, da je $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Vendar glede na definicijo $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zato velikosti matrik strogo sovpadajo:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Tako se izkaže, da so vse tri matrike - $A$, $((A)^(-1))$ in $E$ - kvadratne matrike velikosti $\left[ n\times n \right]$. Lema je dokazana.

No, to je že dobro. Vidimo, da so invertibilne samo kvadratne matrike. Zdaj pa se prepričajmo, da je inverzna matrika vedno enaka.

Lema 2. Dana je matrika $A$ in njen inverz $((A)^(-1))$. Potem je ta inverzna matrika edina.

Dokaz. Pojdimo protislovno: naj ima matrika $A$ vsaj dva inverza - $B$ in $C$. Potem po definiciji veljajo naslednje enakosti:

\[\začetek(poravnaj) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Iz leme 1 sklepamo, da so vse štiri matrike - $A$, $B$, $C$ in $E$ - kvadrati istega reda: $\left[ n\times n \right]$. Zato je izdelek opredeljen:

Ker je množenje matrik asociativno (vendar ne komutativno!), lahko zapišemo:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \desno)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \desno)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\desna puščica B=C. \\ \end(align)\]

Dobili smo edino možno možnost: dve kopiji inverzne matrike sta enaki. Lema je dokazana.

Zgornji argumenti skoraj dobesedno ponavljajo dokaz edinstvenosti inverznega elementa za vsa realna števila $b\ne 0$. Edini pomemben dodatek je upoštevanje dimenzij matrik.

Vendar še vedno ne vemo ničesar o tem, ali je vsaka kvadratna matrika obrnljiva. Tu nam na pomoč priskoči determinanta - to je ključna lastnost vseh kvadratnih matric.

Lema 3. Dana je matrika $A$. Če njegova inverzna matrika $((A)^(-1))$ obstaja, potem je determinanta prvotne matrike različna od nič:

\[\levo| A\desno|\ne 0\]

Dokaz. Vemo že, da sta $A$ in $((A)^(-1))$ kvadratni matriki velikosti $\left[ n\times n \right]$. Zato lahko za vsakega od njih izračunamo determinanto: $\left| A\desno|$ in $\levo| ((A)^(-1)) \right|$. Vendar pa je determinanta produkta enaka produktu determinant:

\[\levo| A\ctočka B \desno|=\levo| A \desno|\cdot \levo| B \desno|\Desna puščica \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\levo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|\]

Toda glede na definicijo je $A\cdot ((A)^(-1))=E$ in determinanta $E$ je vedno enaka 1, torej

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\levo| E\desno|; \\ & \levo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|=1. \\ \end(align)\]

Produkt dveh števil je enak ena samo, če je vsako od teh števil različno od nič:

\[\levo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Tako se izkaže, da $\left| A \desno|\ne 0$. Lema je dokazana.

Pravzaprav je ta zahteva povsem logična. Zdaj bomo analizirali algoritem za iskanje inverzne matrike - in postalo bo popolnoma jasno, zakaj z ničelno determinanto inverzna matrika načeloma ne more obstajati.

Toda najprej oblikujmo "pomožno" definicijo:

Opredelitev. Singularna matrika je kvadratna matrika velikosti $\left[ n\times n \right]$, katere determinanta je nič.

Tako lahko trdimo, da je vsaka invertibilna matrika nesingularna.

Kako najti inverz matrike

Zdaj bomo razmislili o univerzalnem algoritmu za iskanje inverznih matrik. Na splošno obstajata dva splošno sprejeta algoritma, danes pa bomo obravnavali tudi drugega.

Tista, o kateri bomo razpravljali zdaj, je zelo učinkovita za matrike velikosti $\left[ 2\times 2 \right]$ in - delno - velikosti $\left[ 3\times 3 \right]$. Toda glede na velikost $\left[ 4\times 4 \right]$ je bolje, da ga ne uporabljate. Zakaj - zdaj boste vse razumeli sami.

Algebrski dodatki

Pripravite se. Zdaj bo bolečina. Ne, ne skrbite: lepa medicinska sestra v krilu, nogavicah s čipko ne bo prišla do vas in vam dala injekcije v zadnjico. Vse je veliko bolj prozaično: algebraični dodatki in Njeno veličanstvo "Union Matrix" pridejo k vam.

Začnimo z glavnim. Naj obstaja kvadratna matrika velikosti $A=\left[ n\times n \right]$, katere elementi se imenujejo $((a)_(ij))$. Potem lahko za vsak tak element definiramo algebraični komplement:

Opredelitev. Algebraični komplement $((A)_(ij))$ k elementu $((a)_(ij))$, ki se nahaja v $i$-ti vrstici in $j$-tem stolpcu matrike $A=\left[ n \times n \right]$ je konstrukcija obrazca

\[((A)_(ij))=((\levo(-1 \desno))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kjer je $M_(ij)^(*)$ determinanta matrike, dobljena iz izvirnega $A$ z brisanjem iste $i$-te vrstice in $j$-tega stolpca.

Spet. Algebraični komplement elementu matrike s koordinatami $\left(i;j \right)$ je označen kot $((A)_(ij))$ in se izračuna po shemi:

1. Najprej iz prvotne matrike izbrišemo $i$-vrstico in $j$-ti stolpec. Dobimo novo kvadratno matriko, njeno determinanto pa označimo kot $M_(ij)^(*)$.
2. Nato to determinanto pomnožimo z $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - sprva se ta izraz morda zdi osupljiv, a v bistvu preprosto ugotovimo znak pred $M_(ij)^(*) $.
3. Preštejemo in dobimo točno določeno številko. Tisti. algebrski seštevek je ravno število in ne neka nova matrika itd.

Sama matrika $M_(ij)^(*)$ se imenuje dodatni minor k elementu $((a)_(ij))$. In v tem smislu je zgornja definicija algebraičnega komplementa poseben primer bolj zapletene definicije - kar smo si ogledali v lekciji o determinanti.

Pomembna opomba. Pravzaprav so v "odrasli" matematiki algebraični dodatki definirani na naslednji način:

1. V kvadratni matriki vzamemo $k$ vrstic in $k$ stolpcev. Na njunem preseku dobimo matriko velikosti $\left[ k\times k \right]$ - njeno determinanto imenujemo minor reda $k$ in jo označimo z $((M)_(k))$.
2. Nato prečrtamo teh "izbranih" $k$ vrstic in $k$ stolpcev. Še enkrat dobite kvadratno matriko - njena determinanta se imenuje dodatni minor in je označena z $M_(k)^(*)$.
3. Pomnožite $M_(k)^(*)$ z $((\left(-1 \right))^(t))$, kjer je $t$ (pozor zdaj!) vsota števil vseh izbranih vrstic in stolpce. To bo algebrski dodatek.

Poglejte tretji korak: dejansko obstaja vsota $2k$ pogojev! Druga stvar je, da bomo za $k=1$ dobili samo 2 člena - to bosta enaka $i+j$ - “koordinate” elementa $((a)_(ij))$, za katerega smo išče algebrski komplement.

Zato danes uporabljamo nekoliko poenostavljeno definicijo. A kot bomo videli kasneje, bo več kot dovolj. Veliko bolj pomembno je naslednje:

Opredelitev. Sorodna matrika $S$ kvadratni matriki $A=\left[ n\times n \right]$ je nova matrika velikosti $\left[ n\times n \right]$, ki je pridobljena iz $A$ z zamenjavo $(( a)_(ij))$ z algebrskimi dodatki $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Prva misel, ki se pojavi v trenutku spoznanja te definicije, je "koliko bo treba šteti!" Pomirite se: računati boste morali, a ne toliko :)

No, vse to je zelo lepo, ampak zakaj je to potrebno? Ampak zakaj.

Glavni izrek

Vrnimo se malo nazaj. Ne pozabite, lema 3 trdi, da je invertibilna matrika $A$ vedno nesingularna (to pomeni, da je njena determinanta različna od nič: $\left| A \right|\ne 0$).

Torej velja tudi obratno: če matrika $A$ ni singularna, potem je vedno invertibilna. In obstaja celo iskalna shema za $((A)^(-1))$. Preverite:

Izrek o inverzni matriki. Naj bo podana kvadratna matrika $A=\left[ n\times n \right]$ in njena determinanta ni nič: $\left| A \desno|\ne 0$. Potem inverzna matrika $((A)^(-1))$ obstaja in se izračuna po formuli:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\levo| A \desno|)\cdot ((S)^(T))\]

In zdaj - vse je isto, vendar v čitljivi pisavi. Če želite najti inverzno matriko, potrebujete:

1. Izračunaj determinanto $\left| A \right|$ in se prepričajte, da ni nič.
2. Konstruirajte unijsko matriko $S$, tj. preštejte 100500 algebraičnih dodatkov $((A)_(ij))$ in jih postavite na mesto $((a)_(ij))$.
3. Transponirajte to matriko $S$ in jo nato pomnožite z nekim številom $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To je vse! Inverzna matrika $((A)^(-1))$ je bila najdena. Poglejmo si primere:

\[\levo[ \začetek(matrika) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\konec(matrika) \desno]\]

rešitev. Preverimo reverzibilnost. Izračunajmo determinanto:

\[\levo| A\desno|=\levo| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant je drugačen od nič. To pomeni, da je matrika obrnljiva. Ustvarimo unijsko matriko:

Izračunajmo algebraične dodatke:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \desno|=2; \\ & ((A)_(12))=((\levo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \levo| 5 \desno|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\levo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \levo| 1 \desno|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\levo(-1 \desno))^(2+2))\cdot \levo| 3\desno|=3. \\ \end(align)\]

Upoštevajte: determinante |2|, |5|, |1| in |3| so determinante matrik velikosti $\left[ 1\times 1 \right]$ in ne moduli. Tisti. Če so bila v determinantah negativna števila, "minusa" ni treba odstraniti.

Skupaj je naša unijska matrika videti takole:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \desno|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(matrika) \desno])^(T))=\levo[ \begin (matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\konec (matrika) \desno]\]

No, to je vse. Problem je rešen.

Odgovori. $\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(matrika) \desno]$

Naloga. Poiščite inverzno matriko:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \]

rešitev. Ponovno izračunamo determinanto:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(matrika) \right|=\begin(matrika ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \desno)\cdot \left(-1 \desno)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \desno)- \\ -\levo (2\cdot 2\cdot 1+\levo(-1 \desno)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \levo(-1 \desno)\cdot 0 \desno) \\\end(matrix)= \ \ & =\levo(2+1+0 \desno)-\levo(4+0+0 \desno)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant je različen od nič - matrika je obrnljiva. Zdaj pa bo res težko: prešteti moramo kar 9 (devet, jebec!) algebrskih seštevnikov. In vsak od njih bo vseboval determinanto $\left[ 2\times 2 \right]$. Letel:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrika) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrika) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\levo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrika) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\levo(-1 \desno))^(1+3))\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrika) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\levo(-1 \desno))^(3+3))\cdot \levo| \begin(matrika) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrika) \right|=2; \\ \konec(matrika)\]

Na kratko bo unijska matrika videti takole:

Zato bo inverzna matrika:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(matrika) \desno]\]

To je vse. Tukaj je odgovor.

Odgovori. $\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(matrika) \desno ]$

Kot lahko vidite, smo na koncu vsakega primera izvedli preverjanje. V zvezi s tem pomembna opomba:

Ne bodite leni, da preverite. Pomnožite prvotno matriko z najdeno inverzno matriko - dobili bi morali $E$.

Izvedba tega preverjanja je veliko lažja in hitrejša kot iskanje napake v nadaljnjih izračunih, ko na primer rešujete matrično enačbo.

Alternativni način

Kot sem rekel, izrek o inverzni matriki deluje odlično za velikosti $\left[ 2\times 2 \right]$ in $\left[ 3\times 3 \right]$ (v slednjem primeru ni tako "odlično" " ), pri večjih matricah pa se začne žalost.

Vendar ne skrbite: obstaja alternativni algoritem, s katerim lahko mirno najdete inverz tudi za matriko $\left[ 10\times 10 \right]$. Toda, kot se pogosto zgodi, potrebujemo za obravnavo tega algoritma malo teoretičnega uvoda.

Elementarne transformacije

Med vsemi možnimi matričnimi transformacijami je več posebnih - imenujemo jih elementarne. Obstajajo točno tri takšne transformacije:

1. Množenje. Lahko vzamete $i$to vrstico (stolpec) in jo pomnožite s poljubnim številom $k\ne 0$;
2. Dodatek. $i$-ti vrstici (stolpcu) prištejte katero koli drugo $j$-to vrstico (stolpec), pomnoženo s poljubnim številom $k\ne 0$ (seveda lahko naredite $k=0$, a kaj je bistvo? Nič se ne spremeni).
3. Preureditev. Vzemite $i$to in $j$to vrstico (stolpec) in zamenjajte mesti.

Zakaj se te transformacije imenujejo elementarne (za velike matrike niso videti tako elementarne) in zakaj so samo tri - ta vprašanja presegajo obseg današnje lekcije. Zato se ne bomo spuščali v podrobnosti.

Še nekaj je pomembno: vse te perverzije moramo izvesti na adjungirani matriki. Da, da: prav ste slišali. Zdaj bo še ena definicija - zadnja v današnji lekciji.

Adjungirana matrika

Zagotovo ste v šoli reševali sisteme enačb z metodo seštevanja. No, odštej drugo od ene vrstice, pomnoži nekaj vrstice s številko - to je vse.

Torej: zdaj bo vse po starem, a na »odrasel« način. Ste pripravljeni?

Opredelitev. Naj sta podani matrika $A=\left[ n\times n \right]$ in identitetna matrika $E$ enake velikosti $n$. Nato adjungirana matrika $\left[ A\left| E\desno. \right]$ je nova matrika velikosti $\left[ n\times 2n \right]$, ki izgleda takole:

\[\levo[ A\levo| E\desno. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrika) \right]\]

Skratka, vzamemo matriko $A$, na desni ji dodelimo identitetno matriko $E$ zahtevane velikosti, zaradi lepote ju ločimo z navpično črto - tukaj imate adjoint :).

Kaj je hec? Evo kaj:

Izrek. Naj bo matrika $A$ obrnljiva. Razmislite o adjungirani matriki $\left[ A\left| E\desno. \desno]$. Če uporabljate osnovne pretvorbe nizov pripelji v obliko $\left[ E\left| B\desno. \right]$, tj. z množenjem, odštevanjem in preurejanjem vrstic, da dobimo iz $A$ matriko $E$ na desni, potem je matrika $B$, dobljena na levi, inverzna $A$:

\[\levo[ A\levo| E\desno. \desno]\na \levo[ E\levo| B\desno. \desno]\Desna puščica B=((A)^(-1))\]

Tako preprosto je! Na kratko, algoritem za iskanje inverzne matrike izgleda takole:

1. Zapišite adjungirano matriko $\left[ A\left| E\desno. \desno]$;
2. Izvajajte osnovne pretvorbe nizov, dokler se namesto $A$ ne prikaže $E$;
3. Seveda se bo nekaj pojavilo tudi na levi - neka matrika $B$. To bo nasprotno;
4. DOBIČEK! :)

Seveda je to veliko lažje reči kot narediti. Oglejmo si torej nekaj primerov: za velikosti $\left[ 3\times 3 \right]$ in $\left[ 4\times 4 \right]$.

Naloga. Poiščite inverzno matriko:

\[\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(matrika) \desno]\ ]

rešitev. Ustvarimo adjungirano matriko:

\[\left[ \begin(matrika)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\konec(matrika) \desno]\]

Ker je zadnji stolpec prvotne matrike napolnjen z enicami, prvo vrstico odštejemo od preostale:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\begin(matrika) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrika)\to \\ & \to \left [ \begin(matrika)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrika) \desno] \\ \end(poravnaj)\]

Ni več enot, razen prve vrstice. Vendar se ga ne dotikamo, sicer se bodo na novo odstranjene enote začele "množiti" v tretjem stolpcu.

Lahko pa drugo vrstico dvakrat odštejemo od zadnje - eno dobimo v spodnjem levem kotu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrika) \desno]\begin(matrika) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrika)\to \\ & \left [ \begin(matrika)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrika) \desno] \\ \end(poravnaj)\]

Sedaj lahko zadnjo vrstico odštejemo od prve in dvakrat od druge - na ta način prvi stolpec »postavimo na ničlo«:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrika) \desno]\begin(matrika) -1 \\ -2 \\ \puščica navzgor \\\end(matrika)\to \\ & \ na \levo[ \begin(matrika)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ & 1 & -2 & 1 \\\end(matrika) \desno] \\ \end(poravnaj)\]

Pomnožite drugo vrstico z −1 in jo nato 6-krat odštejte od prve in dodajte 1-krat zadnji:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrika) \desno]\začetek(matrika) \ \\ \levo| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ \ \\\end(matrika)\to \\ & \to \left[ \begin(matrika)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrika) \right]\begin(matrika) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrika)\to \\ & \to \left[ \begin(matrika)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(matrika) \right] \\ \end(align)\]

Vse, kar ostane, je zamenjati vrstici 1 in 3:

\[\levo[ \begin(matrika)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrika) \desno]\]

pripravljena! Na desni je zahtevana inverzna matrika.

Odgovori. $\levo[ \begin(matrika)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(matrika) \desno ]$

Naloga. Poiščite inverzno matriko:

\[\levo[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\konec(matrika) \desno]\]

rešitev. Ponovno sestavimo adjuint:

\[\levo[ \begin(matrika)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrika) \right]\]

Malo se pojokajmo, razžalostimo, koliko moramo zdaj šteti ... in začnemo šteti. Najprej "izničimo" prvi stolpec tako, da od vrstic 2 in 3 odštejemo vrstico 1:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrika) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrika) \right] \\ \end(align)\]

V vrsticah 2-4 vidimo preveč "slabosti". Pomnožite vse tri vrstice z −1 in nato izžrete tretji stolpec tako, da od preostalih odštejete vrstico 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(niz) \desno]\začetek(matrika) \ \\ \levo| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ \levo| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\ \levo| \cdot \left(-1 \desno) \desno. \\\end(matrika)\to \\ & \to \left[ \begin(matrika)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrika) \desno]\begin(matrika) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrika)\to \\ & \to \left[ \begin(matrika)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrika) \right] \\ \end(align)\]

Zdaj je čas, da "spražimo" zadnji stolpec prvotne matrike: od preostalih odštejemo vrstico 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrika ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrika) \right] \\ \end(align)\]

Končni met: "zažge" drugi stolpec z odštevanjem vrstice 2 od vrstic 1 in 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrika) \desno]\začetek(matrika) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\konec(matrika)\to \\ & \na \levo[ \začetek(matrika)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrika) \desno] \\ \end(align)\]

In spet je identitetna matrika na levi, kar pomeni, da je inverz na desni.

Odgovori. $\levo[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\konec(matrika) \desno]$

Naj bo dana kvadratna matrika. Najti morate inverzno matriko.

Prvi način. Izrek 4.1 o obstoju in edinstvenosti inverzne matrike nakazuje enega od načinov, kako jo najti.

1. Izračunajte determinanto te matrike. Če, potem inverzna matrika ne obstaja (matrika je singularna).

2. Sestavite matriko iz algebrskih komplementov elementov matrike.

3. Transponirajte matriko, da dobite adjungirano matriko .

4. Poiščite inverzno matriko (4.1) tako, da vse elemente adjungirane matrike delite z determinanto

Drugi način. Če želite najti inverzno matriko, lahko uporabite elementarne transformacije.

1. Konstruirajte blokovno matriko tako, da dani matriki dodelite identitetno matriko istega reda.

2. Z uporabo elementarnih transformacij, izvedenih na vrsticah matrike, spravite njen levi blok v najpreprostejšo obliko. V tem primeru se bločna matrika reducira na obliko, kjer je kvadratna matrika, dobljena kot rezultat transformacij iz identitetne matrike.

3. Če je , potem je blok enak inverzu matrike, tj. Če, potem matrika nima inverza.

Pravzaprav je s pomočjo elementarnih transformacij vrstic matrike mogoče njen levi blok zmanjšati na poenostavljeno obliko (glej sliko 1.5). V tem primeru se bločna matrika pretvori v obliko, kjer je elementarna matrika, ki izpolnjuje enakost. Če je matrika nedegenerirana, potem v skladu z odstavkom 2 pripomb 3.3 njena poenostavljena oblika sovpada z matriko identitete. Potem iz enakosti sledi, da. Če je matrika singularna, potem se njena poenostavljena oblika razlikuje od identitetne matrike in matrika nima inverzne.

11. Matrične enačbe in njihova rešitev. Matrična oblika zapisa SLAE. Matrična metoda (inverzna matrična metoda) za reševanje SLAE in pogoji za njeno uporabnost.

Matrične enačbe so enačbe oblike: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C kjer so matrike A, B, C znane, matrika X neznana, če matriki A in B nista degenerirani, bodo rešitve izvornih matrik zapisane v ustrezni obliki: X = A - 1 * C; X=C*A -1; X=A -1 *C*B -1

Matrična oblika zapisa sistemov linearnih algebrskih enačb. Z vsakim SLAE je lahko povezanih več matrik; Poleg tega se SLAE lahko zapiše v obliki matrične enačbe. Za SLAE (1) upoštevajte naslednje matrike: Matrika A se imenuje

matriko sistema . Elementi te matrike predstavljajo koeficiente danega SLAE. Imenuje se matrika A˜

razširjeni matrični sistem . Dobimo ga tako, da matriki sistema dodamo stolpec, ki vsebuje proste člene b1,b2,...,bm. Običajno je ta stolpec zaradi jasnosti ločen z navpično črto. Stolpčna matrika B se imenuje matriko prostih članov.

, stolpčna matrika X pa je

matriko neznank

Matrike, povezane s sistemom, lahko zapišemo na različne načine: vse je odvisno od vrstnega reda spremenljivk in enačb obravnavanega SLAE. Toda v vsakem primeru mora biti vrstni red neznank v vsaki enačbi danega SLAE enak.

Matrična metoda je primerna za reševanje SLAE, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič. Če sistem vsebuje več kot tri enačbe, potem iskanje inverzne matrike zahteva precejšen računski napor, zato je v tem primeru priporočljivo uporabiti Gaussova metoda.

12. Homogene SLAE, pogoji za obstoj njihovih neničelnih rešitev. Lastnosti parcialnih rešitev homogenih SLAE.

Linearna enačba se imenuje homogena, če je njen prosti člen enak nič, v nasprotnem primeru pa nehomogena. Sistem, sestavljen iz homogenih enačb, se imenuje homogen in ima splošno obliko:

13 .Pojem linearne neodvisnosti in odvisnosti parcialnih rešitev homogene SLAE. Fundamentalni sistem rešitev (FSD) in njegova določitev. Predstavitev splošne rešitve homogene SLAE skozi FSR.

Funkcijski sistem l 1 (x ), l 2 (x ), …, l n (x ) se imenuje linearno odvisen na intervalu ( a , b ), če obstaja niz konstantnih koeficientov, ki niso enaki nič hkrati, tako da je linearna kombinacija teh funkcij identično enaka nič na ( a , b ): Za. Če je enakost za mogoča samo za , sistem funkcij l 1 (x ), l 2 (x ), …, l n (x ) se imenuje linearno neodvisen na intervalu ( a , b ). Z drugimi besedami, funkcije l 1 (x ), l 2 (x ), …, l n (x ) linearno odvisen na intervalu ( a , b ), če je na ( a , b ) njihova netrivialna linearna kombinacija. Funkcije l 1 (x ),l 2 (x ), …, l n (x ) linearno neodvisen na intervalu ( a , b ), če je samo njihova trivialna linearna kombinacija identično enaka nič na ( a , b ).

Temeljni sistem odločanja (FSR) Homogen SLAE je osnova tega sistema stolpcev.

Število elementov v FSR je enako številu neznank sistema minus rang sistemske matrike. Vsaka rešitev izvirnega sistema je linearna kombinacija rešitev FSR.

Izrek

Splošna rešitev nehomogenega SLAE je enaka vsoti posamezne rešitve nehomogenega SLAE in splošne rešitve ustreznega homogenega SLAE.

1 . Če so stolpci rešitve homogenega sistema enačb, potem je tudi vsaka njihova linearna kombinacija rešitev homogenega sistema.

Iz enakosti namreč sledi, da

tiste. linearna kombinacija rešitev je rešitev homogenega sistema.

2. Če je rang matrike homogenega sistema enak , ima sistem linearno neodvisne rešitve.

Dejansko z uporabo formul (5.13) za splošno rešitev homogenega sistema najdemo posebne rešitve, ki dajejo prostim spremenljivkam naslednje standardni nizi vrednosti (vsakič ob predpostavki, da je ena od prostih spremenljivk enaka ena, ostale pa so enake nič):

ki so linearno neodvisni. Pravzaprav, če ustvarite matriko iz teh stolpcev, potem njene zadnje vrstice tvorijo matriko identitete. Posledično minor, ki se nahaja v zadnjih vrsticah, ni enak nič (je enak eni), tj. je osnovna. Zato bo rang matrike enak. To pomeni, da so vsi stolpci te matrike linearno neodvisni (glej izrek 3.4).

Vsaka zbirka linearno neodvisnih rešitev homogenega sistema se imenuje temeljni sistem (množica) rešitev .

14 Minor th reda, osnovni mol, rang matrice. Izračun ranga matrike.

Red k minor matrike A je determinanta neke njene kvadratne podmatrike reda k.

V matriki A dimenzij m x n se minor reda r imenuje bazičen, če je različen od nič, vsi minori višjega reda, če obstajajo, pa so enaki nič.

Stolpci in vrstice matrike A, v presečišču katerih je bazični minor, se imenujejo bazični stolpci in vrstice matrike A.

Izrek 1. (O rangu matrike). Za vsako matriko je pomožni rang enak rangu vrstice in enak rangu stolpca.

Izrek 2. (O bazičnem minorju). Vsak stolpec matrike je razčlenjen na linearno kombinacijo svojih osnovnih stolpcev.

Rang matrike (ali manjši rang) je vrstni red osnovnega minora ali, z drugimi besedami, največji vrstni red, za katerega obstajajo neničelni minori. Rang ničelne matrike se po definiciji šteje za 0.

Opozorimo na dve očitni lastnosti manjšega ranga.

1) Rang matrike se med transpozicijo ne spremeni, saj ko je matrika transponirana, so transponirane vse njene podmatrike in minori se ne spremenijo.

2) Če je A’ podmatrika matrike A, potem rang A’ ne presega ranga A, ker je neničelni minor, vključen v A’, prav tako vključen v A.

15. Koncept -dimenzionalnega aritmetičnega vektorja. Enakost vektorjev. Operacije na vektorjih (seštevanje, odštevanje, množenje s številom, množenje z matriko). Linearna kombinacija vektorjev.

Naročen prevzem n imenujemo realna ali kompleksna števila n-razsežni vektor. Številke se imenujejo vektorske koordinate.

Dva (neničelna) vektorja a in b sta enaka, če sta enako usmerjena in imata enak modul. Vsi ničelni vektorji veljajo za enake. V vseh drugih primerih vektorja nista enaka.

Vektorski dodatek. Vektorje lahko dodate na dva načina: 1. Pravilo paralelograma. Če želite dodati vektorja in, postavimo izhodišče obeh v isto točko. Zgradimo do paralelograma in iz iste točke narišemo diagonalo paralelograma. To bo vsota vektorjev.

2. Drugi način dodajanja vektorjev je pravilo trikotnika. Vzemimo enake vektorje in . Koncu prvega vektorja bomo dodali začetek drugega. Sedaj povežimo začetek prvega in konec drugega. To je vsota vektorjev in . Z istim pravilom lahko dodate več vektorjev. Razporedimo jih enega za drugim, nato pa povežemo začetek prvega s koncem zadnjega.

Odštevanje vektorjev. Vektor je usmerjen nasproti vektorja. Dolžini vektorjev sta enaki. Zdaj je jasno, kaj je vektorsko odštevanje. Razlika med vektorjema in je vsota vektorja in vektorja .

Množenje vektorja s številom

Če vektor pomnožimo s številom k, dobimo vektor, katerega dolžina je k-krat večja od dolžine. Je sosmeren z vektorjem, če je k večji od nič, in nasprotno usmerjen, če je k manjši od nič.

Skalarni produkt vektorjev je produkt dolžin vektorjev in kosinusa kota med njima.Če sta vektorja pravokotna, je njun skalarni produkt enak nič. In tako je skalarni produkt izražen s koordinatami vektorjev in .

Linearna kombinacija vektorjev

Linearna kombinacija vektorjev imenujemo vektor

kje - koeficienti linearne kombinacije. če kombinacija se imenuje trivialna, če ni trivialna.

16 .Skalarni produkt aritmetičnih vektorjev. Dolžina vektorja in kot med vektorji. Koncept vektorske ortogonalnosti.

Skalarni produkt vektorjev a in b je število

Skalarni produkt se uporablja za: 1) iskanje kota med njima; 3) izračun dolžine vektorjev;

Dolžino odseka AB imenujemo razdalja med točkama A in B. Kot med vektorjema A in B imenujemo kot α = (a, b), 0≤ α ≤P. S katerim morate zavrteti 1 vektor, tako da njegova smer sovpada z drugim vektorjem. Pod pogojem, da njihov izvor sovpada.

Ortom a je vektor a z enotsko dolžino in smerjo a.

17. Sistem vektorjev in njegova linearna kombinacija. Pojem linearne odvisnosti in neodvisnosti sistema vektorjev. Izrek o nujnih in zadostnih pogojih za linearno odvisnost sistema vektorjev.

Sistem vektorjev a1,a2,...,an imenujemo linearno odvisen, če obstajajo števila λ1,λ2,...,λn taka, da je vsaj eno od njih različno od nič in je λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . V nasprotnem primeru se sistem imenuje linearno neodvisen.

Dva vektorja a1 in a2 imenujemo kolinearna, če sta njuni smeri enaki ali nasprotni.

Trije vektorji a1, a2 in a3 se imenujejo koplanarni, če so vzporedni z neko ravnino.

Geometrijska merila za linearno odvisnost:

a) sistem (a1,a2) je linearno odvisen, če in samo če sta vektorja a1 in a2 kolinearna.

b) sistem (a1,a2,a3) je linearno odvisen, če in samo če sta vektorja a1,a2 in a3 komplanarna.

izrek. (Potreben in zadosten pogoj za linearno odvisnost sistemi vektorji.)

Vektorski sistem vektor prostora je linearni odvisen, če in samo, če je eden od vektorjev sistema linearno izražen z drugimi vektor ta sistem.

Posledica 1. Sistem vektorjev v vektorskem prostoru je linearno neodvisen, če in samo če nobeden od vektorjev sistema ni linearno izražen preko drugih vektorjev tega sistema.2. Sistem vektorjev, ki vsebuje ničelni vektor ali dva enaka vektorja, je linearno odvisen.

Matrika A -1 se imenuje inverzna matrika glede na matriko A, če je A*A -1 = E, kjer je E identitetna matrika n-tega reda. Inverzna matrika lahko obstaja samo za kvadratne matrike.

Namen storitve. S to storitvijo na spletu lahko najdete algebraične komplemente, transponirano matriko A T, sorodno matriko in inverzno matriko. Odločitev se izvede neposredno na spletni strani (online) in je brezplačna. Rezultati izračuna so predstavljeni v poročilu v formatu Word in Excel (t.j. možno je preveriti rešitev). glej primer oblikovanja.

Navodila. Za pridobitev rešitve je potrebno določiti dimenzijo matrike. Nato izpolnite matriko A v novem pogovornem oknu.

Matrična dimenzija 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Glejte tudi Inverzna matrika z metodo Jordano-Gauss

Algoritem za iskanje inverzne matrike

1. Iskanje transponirane matrike A T .
2. Definicija algebraičnih komplementov. Zamenjajte vsak element matrike z njegovim algebraičnim komplementom.
3. Sestavljanje inverzne matrike iz algebrskih dodatkov: vsak element nastale matrike je deljen z determinanto prvotne matrike. Nastala matrika je inverzna prvotni matriki.

Naprej algoritem za iskanje inverzne matrike podoben prejšnjemu, razen nekaj korakov: najprej se izračunajo algebraični komplementi, nato pa se določi sorodna matrika C.

1. Ugotovite, ali je matrika kvadratna. Če ne, potem zanj ni inverzne matrike.
2. Izračun determinante matrike A. Če ni enaka nič, nadaljujemo z reševanjem, sicer inverzna matrika ne obstaja.
3. Definicija algebrskih komplementov.
4. Izpolnjevanje unijske (vzajemne, adjungirane) matrike C .
5. Sestavljanje inverzne matrike iz algebrskih dodatkov: vsak element pridružene matrike C se deli z determinanto prvotne matrike. Nastala matrika je inverzna prvotni matriki.
6. Opravijo preverjanje: pomnožijo izvirno in dobljeno matriko. Rezultat bi morala biti identitetna matrika.

Primer št. 1. Zapišimo matriko v obliki:

Algebrski dodatki.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Potem inverzna matrika lahko zapišemo kot:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Še en algoritem za iskanje inverzne matrike

Predstavimo še eno shemo za iskanje inverzne matrike.

1. Poiščite determinanto dane kvadratne matrike A.
2. Vsem elementom matrike A najdemo algebraične komplemente.
3. Zapišemo algebraične dodatke vrstičnih elementov v stolpce (transpozicija).
4. Vsak element dobljene matrike delimo z determinanto matrike A.

Kot vidimo, lahko operacijo transpozicije uporabimo tako na začetku, na izvirni matriki, kot na koncu, na nastalih algebrskih dodatkih.

Poseben primer: Inverzna identitetna matrika E je identitetna matrika E.