Kako določiti predznak števila v trigonometrični funkciji. Osnovne lastnosti trigonometričnih funkcij: sodo, liho, periodičnost. Znaki vrednosti trigonometričnih funkcij po četrtinah

Vrsta lekcije: sistematizacija znanja in vmesna kontrola.

Oprema: trigonometrični krog, testi, kartice z nalogami.

Cilji lekcije: sistematizirajo preučeno teoretično snov glede na definicije sinusa, kosinusa, tangensa kota; preveriti stopnjo osvojenosti znanja o tej temi in uporabo v praksi.

Naloge:

• Posplošite in utrdite pojme sinus, kosinus in tangens kota.
• Oblikujte celovito razumevanje trigonometričnih funkcij.
• Prispevati k razvoju želje in potrebe študentov po študiju trigonometričnega gradiva; gojiti kulturo komuniciranja, sposobnost skupinskega dela in potrebo po samoizobraževanju.

»Kdor že od malih nog dela in misli s svojo glavo,
Potem postane bolj zanesljiv, močnejši, pametnejši.

(V. Šukšin)

NAPREDEK POUKA

I. Organizacijski trenutek

Razred predstavljajo tri skupine. Vsaka skupina ima svetovalca.
Učitelj sporoči temo, cilje in namene učne ure.

II. Posodabljanje znanja (frontalno delo z razredom)

1) Delo v skupinah pri nalogah:

1. Oblikujte definicijo sin kota.

– Katere predznake ima sin α v vsakem koordinatnem kvadrantu?
– Pri katerih vrednostih je izraz sin α smiseln in kakšne vrednosti lahko sprejme?

2. Druga skupina so ista vprašanja za cos α.

3. Tretja skupina pripravi odgovore na enaki vprašanji tg α in ctg α.

V tem času trije učenci samostojno delajo za tablo s kartami (predstavniki različnih skupin).

Kartica št. 1.

Praktično delo.
Z uporabo enotskega kroga izračunajte vrednosti sin α, cos α in tan α za kote 50, 210 in – 210.

Kartica št. 2.

Določi predznak izraza: tg 275; cos 370; greh 790; tg 4.1 in greh 2.

Kartica številka 3.

1) Izračunaj:
2) Primerjaj: cos 60 in cos 2 30 – sin 2 30

2) Ustno:

a) Predlagana je vrsta številk: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Med njimi so odvečni. Katero lastnost sin α ali cos α lahko izrazita ta števila (Ali lahko sin α ali cos α sprejmeta te vrednosti).
b) Ali je smiseln izraz: cos (–); greh 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Zakaj?
c) Ali obstaja najmanjša in največja vrednost sin ali cos, tg, ctg.
d) Je res?
1) α = 1000 je kot druge četrtine;
2) α = – 330 je kot četrtine IV.
e) Števili ustrezata isti točki na enotskem krogu.

3) Delo za tablo

Št. 567 (2; 4) – Poišči vrednost izraza
št. 583 (1-3) Določite predznak izraza

domača naloga: tabela v zvezku. št. 567(1, 3) št. 578

III. Pridobivanje dodatnega znanja. Trigonometrija na dlani

Učiteljica: Izkazalo se je, da se vrednosti sinusov in kosinusov kotov "nahajajo" na dlani. Iztegnite roko (obe roki) in razprite prste čim bolj narazen (kot na plakatu). Vabljen en učenec. Merimo kote med prsti.
Vzemite trikotnik, kjer je kot 30, 45 in 60 90, in prislonite vrh kota na lunin grič na dlani. Montaža Lune se nahaja na presečišču podaljškov mezinca in palca. Eno stran združimo z mezincem, drugo stran pa z enim od ostalih prstov.
Izkazalo se je, da je med mezincem in palcem kot 90, med mezincem in prstancem 30, med mezincem in sredincem 45, med mezincem in kazalcem pa 60. In to velja za vse ljudi brez izjeme.

mezinec št. 0 – ustreza 0,
neimenovana št. 1 – ustreza 30,
povprečje št. 2 – ustreza 45,
številka indeksa 3 – ustreza 60,
velika št. 4 – ustreza 90.

Tako imamo na roki 4 prste in spomnimo se formule:

Prst št.	Kotiček	Pomen

To je samo mnemonično pravilo. Na splošno je treba vrednost sin α ali cos α poznati na pamet, včasih pa bo to pravilo pomagalo v težkih časih.
Izmislite si pravilo za cos (koti se ne spreminjajo, ampak se štejejo od palca). Fizični premor, povezan z znakoma sin α ali cos α.

IV. Preverjanje znanja in spretnosti

Samostojno delo s povratnimi informacijami

Vsak učenec prejme test (4 možnosti) in list za odgovore je enak za vse.

Test

Možnost 1

1) Pri katerem kotu zasuka bo polmer zavzel enak položaj kot pri zasuku za kot 50?
2) Poiščite vrednost izraza: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Katero število je manjše od nič: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Možnost 2

1) Pri katerem kotu zasuka bo polmer zavzel enak položaj kot pri zasuku za kot 10.
2) Poiščite vrednost izraza: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Katero število je večje od nič: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Možnost 3

1) Poiščite vrednost izraza: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Katero število je manjše od nič: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Kateri četrtinski kot je kot α, če je sin α > 0, cos α< 0.

Možnost 4

1) Poiščite vrednost izraza: tg 60 – 6ctg 90.
2) Katero število je manjše od nič: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kateri kot kvadranta je kot α, če je ctg α< 0, cos α> 0.

A 0	B Sin50	IN 1	G – 350	D – 1	E Cos(– 140)
IN 3	Z 310	IN Cos 140		L 350	M 2
n Cos 340	O – 3	p Cos 250	R	Z Greh 140	T – 310
U – 2	F 2	X Tg 50	Š Tg 250	Yu Greh 340	jaz 4

(ključna beseda je trigonometrija)

V. Podatki iz zgodovine trigonometrije

Učiteljica: Trigonometrija je dokaj pomembna veja matematike za človeško življenje. Sodobno obliko trigonometrije je dal največji matematik 18. stoletja Leonhard Euler, po rodu Švicar, ki je dolga leta delal v Rusiji in je bil član Sanktpeterburške akademije znanosti. Uvedel je znane definicije trigonometričnih funkcij, oblikoval in dokazal znane formule, ki se jih bomo naučili kasneje. Eulerjevo življenje je zelo zanimivo in svetujem vam, da se z njim seznanite skozi Jakovljevo knjigo "Leonard Euler".

(Sporočilo fantov na to temo)

VI. Povzetek lekcije

Igra "Tic Tac Toe"

Sodelujeta dva najbolj aktivna učenca.

Podpirajo jih skupine. Rešitve nalog si zapišemo v zvezek.

Naloge

1) Poiščite napako< О
a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115

b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Izrazi kot v stopinjah
3) Izrazite kot 300 v radianih
4) Kakšno največjo in najmanjšo vrednost lahko ima izraz: 1+ sin α;
5) Določite predznak izraza: sin 260, cos 300.
6) V kateri četrtini številskega kroga se nahaja točka?
7) Določite predznake izraza: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Izračunaj:

9) Primerjaj: greh 2 in greh 350

Učiteljica: VII. Refleksija lekcije
Kje lahko srečamo trigonometrijo?

Pri katerih učnih urah v 9. razredu in še zdaj uporabljate pojme sin α, cos α; tg α; ctg α in za kakšen namen?

Ta članek bo obravnaval tri osnovne lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Prva lastnost je predznak funkcije glede na to, kateri četrtini enotskega kroga pripada kot α. Druga lastnost je periodičnost. V skladu s to lastnostjo tigonometrična funkcija ne spremeni svoje vrednosti, ko se kot spremeni za celo število vrtljajev. Tretja lastnost določa, kako se vrednosti funkcij sin, cos, tg, ctg spreminjajo pod nasprotnimi koti α in - α.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pogosto v matematičnem besedilu ali v kontekstu problema lahko najdete besedno zvezo: "kot prve, druge, tretje ali četrte koordinatne četrtine." kaj je

Obrnimo se na enotski krog. Razdeljen je na štiri četrtine. Na krožnici označimo začetno točko A 0 (1, 0) in z vrtenjem okoli točke O za kot α pridemo do točke A 1 (x, y). Glede na to, v kateri četrtini leži točka A 1 (x, y), bomo kot α imenovali kot prve, druge, tretje in četrte četrtine.

Kot α = 30° leži v prvi četrtini. Kot - 210° je druga četrtina kota. Kot 585° je tretji četrtinski kot. Kot - 45° je četrta četrtina kota.

V tem primeru koti ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° ne pripadajo nobeni četrtini, saj ležijo na koordinatnih oseh.

Zdaj razmislite o predznakih, ki jih imajo sinus, kosinus, tangens in kotangens, odvisno od tega, v katerem kvadrantu leži kot.

Če želite določiti znake sinusa po četrtinah, se spomnite definicije. Sinus je ordinata točke A 1 (x, y). Iz slike je razvidno, da je v prvem in drugem četrtletju pozitiven, v tretjem in štirikratniku pa negativen.

Kosinus je abscisa točke A 1 (x, y). V skladu s tem določimo predznake kosinusa na krogu. Kosinus je v prvi in ​​četrti četrtini pozitiven, v drugi in tretji četrtini pa negativen.

Za določitev predznakov tangensa in kotangensa po četrtinah se spomnimo tudi na definicije teh trigonometričnih funkcij. Tangenta je razmerje med ordinato točke in absciso. To pomeni, da bo po pravilu za deljenje števil z različnimi predznaki, ko imata ordinata in abscisa enaka predznaka, predznak tangente na krožnici pozitiven, kadar pa imata ordinata in abscisa različna predznaka, bo negativen. . Podobno se določijo kotangensi za četrtine.

Pomembno si je zapomniti!

1. Sinus kota α ima v 1. in 2. četrtini znak plus, v 3. in 4. četrtini pa znak minus.
2. Kosinus kota α ima v 1. in 4. četrtini predznak plus, v 2. in 3. četrtini pa predznak minus.
3. Tangens kota α ima v 1. in 3. četrtini predznak plus, v 2. in 4. četrtini pa predznak minus.
4. Kotangens kota α ima v 1. in 3. četrtini predznak plus, v 2. in 4. četrtini pa predznak minus.

Lastnost periodičnosti

Lastnost periodičnosti je ena najbolj očitnih lastnosti trigonometričnih funkcij.

Lastnost periodičnosti

Ko se kot spremeni za celo število polnih vrtljajev, ostanejo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa tega kota nespremenjene.

Ko se kot spremeni za celo število vrtljajev, bomo vedno prišli iz začetne točke A na enotskem krogu v točko A 1 z enakimi koordinatami. V skladu s tem se vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ne bodo spremenile.

Matematično je ta lastnost zapisana na naslednji način:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Kako se ta lastnost uporablja v praksi? Lastnost periodičnosti se tako kot formule za redukcijo pogosto uporablja za izračun vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov velikih kotov.

Navedimo primere.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Ponovno poglejmo enotski krog.

Točka A 1 (x, y) je rezultat zasuka začetne točke A 0 (1, 0) okoli središča kroga za kot α. Točka A 2 (x, - y) je rezultat zasuka začetne točke za kot - α.

Točki A 1 in A 2 sta simetrični glede na abscisno os. V primeru, da je α = 0 °, ± 180 °, ± 360 °, točki A 1 in A 2 sovpadata. Naj ima ena točka koordinate (x, y), druga pa - (x, - y). Spomnimo se definicij sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa in zapišimo:

sin α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y sin - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y

To pomeni lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov.

Lastnost sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov nasprotnih kotov

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Glede na to lastnost so enakosti resnične

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Ta lastnost se pogosto uporablja pri reševanju praktičnih problemov v primerih, ko se je treba znebiti negativnih znakov kota v argumentih trigonometričnih funkcij.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Referenčni podatki za tangens (tg x) in kotangens (ctg x). Geometrijske definicije, lastnosti, grafi, formule. Tabela tangensov in kotangensov, odvodi, integrali, razširitve nizov. Izrazi skozi kompleksne spremenljivke. Povezava s hiperboličnimi funkcijami.

Geometrijska definicija

|BD|
- dolžina krožnega loka s središčem v točki A.

α je kot, izražen v radianih. Tangenta () tan α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .) Kotangens (

ctg α

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

kje
.
;
;
.

n

- cela.

je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
;
;
.

Kotangens

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:

Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:

Graf funkcije kotangens, y = ctg x Lastnosti tangensa in kotangensa Periodičnost Funkcije y = so periodični s periodo π.

Pariteta

Funkciji tangens in kotangens sta lihi.

Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( na dolžino nasprotnega kraka |BC| .- celota).

	y = Lastnosti tangensa in kotangensa	y = Funkcije y =
Obseg in kontinuiteta
Razpon vrednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Povečanje		-
Sestopanje	-
Ekstremi	-	-
Ničle, y = 0
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	y = 0	-

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangensov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Izvedeni finančni instrumenti

; .

.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali

Razširitve serije

Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenčni vrsti za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, .

To ustvari naslednje formule.

Ob .
ob . kje Bn
;
;
- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
kje .

Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

, Kje

Arktangens, arctg na dolžino nasprotnega kraka |BC| . Tangenta

Arkotangens, arcctg
Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.

G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.

Štetje kotov na trigonometričnem krogu.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."

In za tiste, ki "zelo ...")

To je skoraj enako kot v prejšnji lekciji. Obstajajo osi, krog, kot, vse je v redu. Dodane številke četrtin (v vogalih velikega kvadrata) - od prve do četrte. Kaj če nekdo ne ve? Kot lahko vidite, so četrtine (imenujejo jih tudi lepa beseda "kvadranti") oštevilčene v nasprotni smeri urinega kazalca. Dodane vrednosti kotov na oseh. Vse je jasno, brez težav. In dodana je zelena puščica. S plusom. Kaj to pomeni? Naj vas spomnim, da je fiksna stranica kota Vedno pribit na pozitivno pol os OX. Torej, če zavrtimo gibljivo stran kota ob puščici s plusom bo kot pozitiven. Na sliki je kot primer prikazan pozitivni kot +60°.

Če odložimo vogale v nasprotni smeri, v smeri urinega kazalca, bo kot negativen. Premaknite kazalec nad sliko (ali se dotaknite slike na tablici), videli boste modro puščico z znakom minus. To je smer odčitavanja negativnega kota. Prikazan je na primer negativni kot (- 60°). In videli boste tudi, kako so se spremenile številke na oseh ... Pretvoril sem jih tudi v negativne kote. Oštevilčenje kvadrantov se ne spremeni.

Tu se običajno začnejo prvi nesporazumi. Kako to!? Kaj pa, če negativni kot na krožnici sovpada s pozitivnim!? In na splošno se izkaže, da lahko isti položaj gibljive stranice (ali točke na številskem krogu) imenujemo tako negativen kot pozitiven!?

ja Tako je prav. Recimo, da pozitivni kot 90 stopinj zajema krog popolnoma enako položaj kot negativni kot minus 270 stopinj. Pozitiven kot, na primer, +110° stopinj popolnoma enako položaj kot negativni kot -250°.

Brez vprašanja. Vse je pravilno.) Izbira pozitivnega ali negativnega izračuna kota je odvisna od pogojev naloge. Če pogoj ne pove nič v čistem besedilu o predznaku kota, (kot "določite najmanjši pozitivno kot« itd.), potem delamo z vrednostmi, ki so nam primerne.

Izjema (kako bi živeli brez njih?!) so trigonometrične neenakosti, a tam bomo ta trik obvladali.

In zdaj vprašanje za vas. Kako sem vedel, da je položaj kota 110° enak položaju kota -250°?
Naj namignem, da je to povezano s popolno revolucijo. V 360°... Ni jasno? Nato narišemo krog. Narišemo ga sami, na papir. Označevanje vogala približno 110°. IN mislimo, koliko časa je še do popolne revolucije. Samo 250° bo ostalo...

razumeš In zdaj - pozor! Če kota 110° in -250° zavzemata krog ista stvar situacija, kaj potem? Da, kota sta 110° in -250° popolnoma enako sinus, kosinus, tangens in kotangens!
Tisti. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) in tako naprej. Zdaj je to res pomembno! In samo po sebi je veliko nalog, kjer morate poenostaviti izraze in kot osnovo za poznejše obvladovanje redukcijskih formul in drugih zapletenosti trigonometrije.

Seveda sem vzel 110° in -250° naključno, čisto za primer. Vse te enakosti veljajo za vse kote, ki zavzemajo enak položaj na krogu. 60° in -300°, -75° in 285° itd. Naj takoj opozorim, da so koti v teh parih drugačen. Vendar imajo trigonometrične funkcije - enaka.

Mislim, da razumete, kaj so negativni koti. Čisto preprosto je. V nasprotni smeri urinega kazalca - pozitivno štetje. Na poti - negativno. Upoštevajte kot pozitiven ali negativen odvisno od nas. Od naše želje. No, pa tudi iz naloge, seveda... Upam, da razumeš, kako se v trigonometričnih funkcijah premika od negativnih kotov k pozitivnim kotom in nazaj. Narišite krog, približni kot in poglejte, koliko manjka za popoln obrat, tj. do 360°.

Koti večji od 360°.

Ukvarjajmo se s koti, ki so večji od 360°. Ali obstajajo take stvari? Seveda obstajajo. Kako jih narisati na krog? Brez problema! Recimo, da moramo razumeti, v katero četrtino bo padel kot 1000°? Enostavno! Naredimo en polni obrat v nasprotni smeri urinega kazalca (kot, ki smo ga dobili, je pozitiven!). Previli smo za 360°. Pa gremo naprej! Še en obrat - že je 720°. Koliko jih je ostalo? 280°. Ni dovolj za polni obrat ... Toda kot je več kot 270 ° - in to je meja med tretjo in četrto četrtino. Zato naš kot 1000° pade v četrto četrtino. Vse.

Kot lahko vidite, je povsem preprosto. Naj vas še enkrat spomnim, da sta kota 1000° in kota 280°, ki smo ju dobili tako, da smo zavrgli »odvečne« polne vrtljaje, strogo gledano oz. drugačen vogali. Toda trigonometrične funkcije teh kotov popolnoma enako! Tisti. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Če bi bil sinus, ne bi opazil razlike med tema dvema kotoma...

Zakaj je vse to potrebno? Zakaj moramo pretvarjati kote iz enega v drugega? Da, vsi za isto stvar.) Da bi poenostavili izraze. Poenostavljanje izrazov je pravzaprav glavna naloga šolske matematike. No, in na poti se glava trenira.)

No, vadimo?)

Odgovarjamo na vprašanja. Najprej preprosti.

1. V katero četrtino spada kot -325°?

2. V katero četrtino spada kot 3000°?

3. V katero četrtino spada kot -3000°?

Kakšne težave? Ali negotovost? Pojdite na razdelek 555, Vaja trigonometričnega kroga. Tam, v prvi lekciji tega zelo "Praktičnega dela ..." je vse podrobno ... In takega vprašanja negotovosti ne bi smel!

4. Kakšen predznak ima sin555°?

5. Kakšen predznak ima tg555°?

Ste se odločili? odlično! Imate kakšne dvome? Morate iti v razdelek 555... Mimogrede, tam se boste naučili risati tangento in kotangens na trigonometričnem krogu. Zelo uporabna stvar.

In zdaj so vprašanja bolj prefinjena.

6. Reduciraj izraz sin777° na sinus najmanjšega pozitivnega kota.

7. Zmanjšaj izraz cos777° na kosinus največjega negativnega kota.

8. Zmanjšaj izraz cos(-777°) na kosinus najmanjšega pozitivnega kota.

9. Zmanjšaj izraz sin777° na sinus največjega negativnega kota.

Kaj, vprašanja 6-9 so vas zmedla? Navadite se, na Enotnem državnem izpitu ne najdete takšnih formulacij ... Tako bo, prevedel bom. Samo za vas!

Besede "prenesti izraz v ..." pomenijo preoblikovati izraz tako, da je njegov pomen se ni spremenilo videz pa se je spreminjal v skladu z nalogo. Torej, v nalogah 6 in 9 moramo dobiti sinus, znotraj katerega je najmanjši pozitivni kot. Vse drugo ni pomembno.

Odgovore bom dal po vrsti (v nasprotju z našimi pravili). A kaj storiti, znaki sta samo dve, četrti pa samo štiri ... Ne boste se razvadili.

6. greh57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin (-57°)

Predvidevam, da so odgovori na vprašanja 6-9 nekatere ljudi zmedli. Še posebej -sin (-57°), res?) Dejansko je v elementarnih pravilih za izračun kotov prostor za napake ... Zato sem moral opraviti lekcijo: "Kako določiti znake funkcij in podati kote na trigonometričnem krogu?" V razdelku 555. Tam so zajete naloge 4–9. Dobro urejeno, z vsemi pastmi. In tukaj so.)

V naslednji lekciji se bomo ukvarjali s skrivnostnimi radiani in številom "Pi". Naučimo se enostavno in pravilno pretvoriti stopinje v radiane in obratno. In presenečeni bomo, ko odkrijemo, da so te osnovne informacije na spletnem mestu dovolj že rešiti nekaj trigonometričnih problemov po meri!

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Če že poznate trigonometrični krog , in želite samo osvežiti spomin na določene elemente ali pa ste popolnoma neučakani, potem je tukaj:

Tukaj bomo vse podrobno analizirali korak za korakom.

Trigonometrični krog ni razkošje, ampak nuja

Trigonometrija Mnogi ga povezujejo z nepregledno goščavo. Nenadoma se nabere toliko vrednosti trigonometričnih funkcij, toliko formul ... A kot da na začetku ni šlo in ... gremo ... popoln nesporazum ...

Zelo pomembno je, da ne obupate vrednosti trigonometričnih funkcij, - pravijo, lahko vedno pogledate spur s tabelo vrednosti.

Če nenehno gledate tabelo z vrednostmi trigonometričnih formul, se znebimo te navade!

Pomagal nam bo! Večkrat boste delali z njim, potem pa se vam bo porodilo v glavi. Kako je boljši od mize? Da, v tabeli boste našli omejeno število vrednosti, na krogu pa - VSE!

Na primer, recite med gledanjem standardna tabela vrednosti trigonometričnih formul , kolikšen je sinus, ki je enak recimo 300 stopinjam ali -45.

Ni šans?.. seveda se lahko povežeš redukcijske formule... In če pogledamo trigonometrični krog, lahko zlahka odgovorite na taka vprašanja. In kmalu boste izvedeli, kako!

In pri reševanju trigonometričnih enačb in neenačb brez trigonometričnega kroga ni nikjer.

Uvod v trigonometrični krog

Gremo po vrsti.

Najprej zapišimo to vrsto številk:

In zdaj še to:

In končno še ta:

Seveda je jasno, da je pravzaprav na prvem mestu , na drugem mestu in na zadnjem mestu . Se pravi, bolj nas bo zanimala veriga.

Toda kako lepo se je izkazalo! Če se kaj zgodi, bomo to »čudežno lestev« obnovili.

In zakaj ga potrebujemo?

Ta veriga je glavna vrednost sinusa in kosinusa v prvem četrtletju.

Narišimo krog z enotskim polmerom v pravokotnem koordinatnem sistemu (to pomeni, da v dolžino vzamemo poljuben polmer in njegovo dolžino razglasimo za enoto).

Od nosilca "0-Start" položimo vogale v smeri puščice (glej sliko).

Na krogu dobimo ustrezne točke. Torej, če projiciramo točke na vsako od osi, potem bomo dobili točno tiste vrednosti iz zgornje verige.

Zakaj je to, se sprašujete?

Ne analizirajmo vsega. Razmislimo načelo, ki vam bo omogočil, da se spopadete z drugimi, podobnimi situacijami.

Trikotnik AOB je pravokoten in vsebuje . In vemo, da nasproti kota b leži krak, ki je velik za polovico hipotenuze (imamo hipotenuzo = polmer krožnice, to je 1).

To pomeni AB= (in torej OM=). In po pitagorejskem izreku

Upam, da je že kaj jasno?

Torej bo točka B ustrezala vrednosti, točka M pa vrednosti

Enako z drugimi vrednostmi prvega četrtletja.

Kot razumete, bo znana os (vol). kosinusna os, in os (oy) – os sinusov . Kasneje.

Levo od ničle vzdolž kosinusne osi (pod ničlo vzdolž sinusne osi) bodo seveda negativne vrednosti.

Torej, tukaj je VSEMOGOČNI, brez katerega v trigonometriji ni nikamor.

Toda govorili bomo o tem, kako uporabiti trigonometrični krog.