Kako najti določeno rešitev diferencialne enačbe. Lecture notes_6 Diferencialne enačbe prvega reda

Aplikacija

Reševanje diferencialnih enačb na spletu na spletnem mestu za učence za utrjevanje obravnavane snovi. In urjenje vaših praktičnih veščin. Diferencialne enačbe na spletu. Difurs online, reševanje matematike online. Spletne rešitve matematičnih problemov po korakih. Vrstni red ali stopnja diferencialne enačbe je najvišji red odvodov, ki so vanjo vključeni. Diferencialne enačbe na spletu. Postopek reševanja diferencialne enačbe imenujemo integracija. Problem integracije diferencialne enačbe se šteje za rešen, če je iskanje neznane funkcije mogoče pripeljati do kvadrature, ne glede na to, ali je dobljeni integral izražen v končni obliki z znanimi funkcijami ali ne. Reševanje diferencialnih enačb po korakih na spletu. Vse diferencialne enačbe lahko razdelimo na navadne diferencialne enačbe (ODE), ki vključujejo le funkcije (in njihove derivate) enega argumenta, in parcialne diferencialne enačbe (PDE), v katerih so vhodne funkcije odvisne od številnih spremenljivk. Diferencialne enačbe na spletu. Obstajajo tudi stohastične diferencialne enačbe (SDE), ki vključujejo naključne procese. Reševanje diferencialnih enačb po korakih na spletu. Glede na kombinacije odvodov, funkcij in neodvisnih spremenljivk delimo diferencialne enačbe na linearne in nelinearne, s konstantnimi ali spremenljivimi koeficienti, homogene in nehomogene. Zaradi pomembnosti aplikacij uvrščamo kvazilinearne (linearne glede na višje odvode) parcialne diferencialne enačbe v poseben razred. Rešitve diferencialnih enačb delimo na splošne in partikularne. Diferencialne enačbe na spletu. Splošne rešitve vključujejo nedoločene konstante, pri parcialnih diferencialnih enačbah pa poljubne funkcije neodvisnih spremenljivk, ki jih lahko izpopolnimo iz dodatnih integracijskih pogojev (začetni pogoji za navadne diferencialne enačbe, začetni in robni pogoji za parcialne diferencialne enačbe). Reševanje diferencialnih enačb po korakih na spletu. Po določitvi vrste navedenih stalnih in nedoločenih funkcij postanejo rešitve partikularne. Iskanje rešitev navadnih diferencialnih enačb je vodilo do vzpostavitve razreda posebnih funkcij - funkcij, ki jih pogosto srečamo v aplikacijah in jih ni mogoče izraziti z znanimi osnovnimi funkcijami. Diferencialne enačbe na spletu. Njihove lastnosti so bile podrobno preučene, sestavljene tabele vrednosti, določena medsebojna razmerja itd. . Nabor oštevilčenih števil je mogoče raziskati. Najboljši odgovor na dano težavo. Kako najti, kot prvi približek, izhodni vektor v konvergenčno območje o diferencialnih enačbah, ne da bi ugotovili najdeno zgornjo mejo. Izbira je očitna za naraščajoče matematične funkcije. Obstaja progresivna metoda nad raziskovalno ravnjo. Poravnava začetnega pogoja problema z reševanjem diferencialnih enačb vam bo pomagala najti enolično izbrano vrednost. Lahko se zgodi, da lahko takoj prepozna neznano. Tako kot v prejšnjem primeru podajanja rešitve za matematični problem so linearne diferencialne enačbe odgovor na določen problem, postavljen v določenem časovnem okviru. Vzdrževanje raziskovalnega postopka ni lokalno določeno. Za vsakega študenta se poišče primer, rešitev diferencialnih enačb pa določi odgovorna oseba iz vsaj dveh vrednosti. Vzemite funkcijo splošne vrednosti na določenem segmentu in opozorite, vzdolž katere osi bo vrzel. S preučevanjem diferencialnih enačb na spletu je mogoče jasno pokazati, kako pomemben je rezultat, če ga predvidevajo začetni pogoji. Izrezovanje območja iz definicije funkcije je nemogoče, ker lokalno ni definicije za nalogo. Odgovor, ki ga najdemo iz sistema enačb, vsebuje spremenljivko, ki je v splošnem smislu števna, vendar bo reševanje diferencialne enačbe na spletu seveda mogoče brez tega dejanja določanja omenjenega pogoja. Ob intervalu segmenta lahko vidite, kako lahko reševanje diferencialnih enačb na spletu napreduje rezultat raziskave v pozitivno smer v trenutku odreza znanja učencev. Najboljše ne izhaja vedno iz splošno sprejetega pristopa k poslu. Na ravni 2x je koristno pregledati vse potrebne linearne diferencialne enačbe v naravni predstavitvi, vendar bo zmožnost izračuna numerične vrednosti izboljšala znanje. Glede na katero koli metodo v matematiki obstajajo diferencialne enačbe, ki so predstavljene v bistveno različnih izrazih, kot so homogene ali kompleksne. Po opravljeni splošni analizi študija funkcije postane jasno, da reševanje diferencialov kot nabora možnosti predstavlja očitno napako v vrednostih. Resnica v njej je v prostoru nad abscisnimi črtami. Nekje v domeni definicije kompleksne funkcije, na neki točki njene definicije, bodo linearne diferencialne enačbe lahko predstavile odgovor v analitični obliki. torej na splošno kot bistvo. Ko spremenite spremenljivko, se nič ne spremeni. Vendar morate odgovor pogledati s posebnim zanimanjem. V bistvu kalkulator na koncu spremeni razmerje, to je, kako je rešitev diferencialnih enačb sorazmerna z globalno vrednostjo in označena v mejah želene rešitve. V nekaterih primerih je množično opozorilo o napaki neizogibno. Spletne diferencialne enačbe izvajajo splošno predstavo o problemu, vendar je na koncu treba čim prej poskrbeti za pozitivne vidike vektorskega produkta. V matematiki primeri napačnih predstav v teoriji števil niso redki. Preverjanje bo vsekakor potrebno. Seveda je bolje, da to pravico daste strokovnjakom na svojem področju in vam bodo pomagali rešiti diferencialno enačbo na spletu, saj so njihove izkušnje ogromne in pozitivne. Razlika v površinah figur in ploščini je tolikšna, da vam ne bo omogočilo reševanje diferencialnih enačb na spletu, ampak je množica predmetov, ki se ne sekajo, takšna, da je premica vzporedna z osjo. Posledično lahko dobite dvakrat več vrednosti. Čeprav ni eksplicitno, naše razumevanje pravilnosti formalnega zapisa vključuje linearne diferencialne enačbe tako v območju gledanja kot v zvezi z namernim precenjevanjem kakovosti rezultata. Panel na temo, ki zanima vse študente, se večkrat pregleda. Med študijem celotnega tečaja predavanj se bomo veliko pozornosti posvetili diferencialnim enačbam in sorodnim področjem znanstvenega preučevanja, če to ni v nasprotju z resnico. Številnim korakom se je mogoče izogniti na začetku poti. Če je reševanje diferencialnih enačb za študente še vedno nekaj novega, potem staro sploh ni pozabljeno, ampak z visoko stopnjo razvoja napreduje v prihodnost. Sprva se pogoji za problem v matematiki razlikujejo, vendar je to navedeno v odstavku na desni. Po preteku časa, določenega z definicijo, ni mogoče izključiti možnosti sorazmernega odvisnega izida na različnih ravninah vektorskega gibanja. Tako preprost primer lahko popravimo na enak način, kot so linearne diferencialne enačbe opisane na kalkulatorju v splošni obliki, bo hitreje in zamik izračunov ne bo vodil do napačnega mnenja. Le pet primerov, poimenovanih po teoriji, lahko premakne meje dogajanja. Naša rešitev diferencialnih enačb vam bo pomagala ročno izračunati vrednost v številkah že na prvih stopnjah razgradnje funkcijskega prostora. Na pravih mestih je treba prikazati stičišče štirih črt v splošnem pomenu. Če pa morate nalogo premakniti, potem bo enostavno izenačiti kompleksnost. Začetni podatki zadostujejo za načrtovanje sosednjega kraka in spletne diferencialne enačbe so videti levo poravnane, površina pa je enostransko usmerjena proti rotorju vektorja. Nad zgornjo mejo so možne številčne vrednosti, ki presegajo določeno stanje. Možno je upoštevati matematično formulo in rešiti diferencialno enačbo na spletu z uporabo treh neznank v splošni vrednosti deleža. Lokalna metoda izračuna je priznana kot veljavna. Koordinatni sistem je pri relativnem gibanju ravnine pravokoten. Splošna rešitev diferencialnih enačb na spletu nam omogoča, da nedvoumno sklepamo v prid računskega preleta matričnih definicij na celotni premici, ki se nahaja nad grafom eksplicitno določene funkcije. Rešitev je jasno vidna, če vektor gibanja nanesemo na točko stika treh hemisfer. Valj dobimo z vrtenjem pravokotnika okoli stranice in linearne diferencialne enačbe bodo lahko pokazale smer gibanja točke glede na dane izraze njenega zakona gibanja. Začetni podatki so pravilni in problem v matematiki je zamenljiv pod enim preprostim pogojem. Vendar zaradi okoliščin, zaradi kompleksnosti zastavljene podnaloge, diferencialne enačbe poenostavljajo proces izračunavanja numeričnih prostorov na nivoju tridimenzionalnega prostora. Nasprotno je enostavno dokazati, vendar se temu lahko izognemo, kot v navedenem primeru. Pri višji matematiki so podane naslednje točke: ko je problem zmanjšan na poenostavljeno obliko, je treba vanj vložiti največ truda s strani študentov. Upoštevane so črte, ki so postavljene druga na drugo. O reševanju diferencialov še vedno povzema prednost omenjene metode na krivulji. Če najprej prepoznate nekaj, kar ni tisto, kar potrebujete, bo matematična formula ustvarila nov pomen za izraz. Cilj je optimalen pristop k reševanju nalog, ki jih zastavi profesor. Ne smete predvidevati, da bodo linearne diferencialne enačbe v poenostavljeni obliki presegle pričakovani rezultat. Na končno sestavljeno ploskev postavimo tri vektorje. pravokotni drug na drugega. Izračunajmo zmnožek. Dodajmo večje število simbolov in iz dobljenega izraza izpišimo vse spremenljivke funkcije. Obstaja razmerje. Več dejanj pred koncem izračuna ne bo dalo nedvoumnega odgovora na rešitev diferencialnih enačb takoj, ampak šele po preteku dodeljenega časa vzdolž osi y. Levo od točke diskontinuitete, implicitno podane iz funkcije, narišemo os, pravokotno na najboljši naraščajoči vektor, in postavimo online diferencialne enačbe vzdolž najmanjše mejne vrednosti spodnje ploskve matematičnega objekta. Dodaten argument dodamo v območje preloma funkcije. Desno od točk, kjer se nahaja ukrivljena črta, vam bodo formule, ki smo jih zapisali za redukcijo na skupni imenovalec, pomagale rešiti diferencialno enačbo na spletu. Ubrali bomo edino pravilen pristop, ki bo osvetlil nerešene probleme iz teorije v prakso, v splošnem primeru nedvoumno. Premice v smeri koordinat danih točk nikoli niso zapirale skrajne lege kvadrata, a spletno reševanje diferencialnih enačb bo pomagalo študentom, nam in začetnikom na tem področju pri študiju matematike. Govorimo o možnosti zamenjave argumenta vrednosti v vse pomembne vrstice enega polja. Načeloma, kot bi pričakovali, so naše linearne diferencialne enačbe nekaj izoliranega v en sam koncept danega pomena. Za pomoč študentom eden najboljših kalkulatorjev med podobnimi storitvami. Udeležite se vseh tečajev in izberite najboljšega zase.

=

6.1. OSNOVNI POJMI IN DEFINICIJE

Pri reševanju različnih problemov v matematiki in fiziki, biologiji in medicini pogosto ni mogoče takoj vzpostaviti funkcionalnega razmerja v obliki formule, ki povezuje spremenljivke, ki opisujejo preučevani proces. Običajno je treba uporabiti enačbe, ki vsebujejo poleg neodvisne spremenljivke in neznane funkcije tudi njene odvode.

Opredelitev. Imenuje se enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo in njene odvode različnih vrst diferencial.

Običajno je označena neznana funkcija y(x) ali samo y, in njegove izpeljanke - y", y" itd.

Možne so tudi druge oznake, na primer: če l= x(t), potem x"(t), x""(t)- njegove izpeljanke in t- neodvisna spremenljivka.

Opredelitev.Če je funkcija odvisna od ene spremenljivke, se diferencialna enačba imenuje navadna. Splošni pogled navadna diferencialna enačba:

oz

Funkcije F in f morda ne vsebuje nekaterih argumentov, toda da so enačbe diferencialne, je bistvena prisotnost derivata.

Opredelitev.Vrstni red diferencialne enačbe se imenuje vrstni red najvišjega derivata, ki je v njem vključen.

na primer x 2 y"- l= 0, y" + sin x= 0 so enačbe prvega reda in y"+ 2 y"+ 5 l= x- enačba drugega reda.

Pri reševanju diferencialnih enačb se uporablja operacija integracije, ki je povezana s pojavom poljubne konstante. Če je uporabljeno dejanje integracije n krat, potem bo očitno rešitev vsebovala n poljubne konstante.

6.2. DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA

Splošni pogled diferencialna enačba prvega reda je določen z izrazom

Enačba ne sme izrecno vsebovati x in y, vendar nujno vsebuje y".

Če lahko enačbo zapišemo kot

potem dobimo diferencialno enačbo prvega reda, razrešeno glede na odvod.

Opredelitev. Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda (6.3) (ali (6.4)) je množica rešitev , Kje Z- poljubna konstanta.

Graf rešitve diferencialne enačbe se imenuje integralna krivulja.

Podajanje poljubne konstante Z različne vrednosti, lahko dobimo delne rešitve. Na letalu xOy splošna rešitev je družina integralnih krivulj, ki ustreza vsaki posamezni rešitvi.

Če postavite točko A (x 0, y 0), skozi katerega mora iti integralna krivulja, potem praviloma iz niza funkcij Izpostavimo lahko eno - zasebno rešitev.

Opredelitev.Zasebna odločitev diferencialne enačbe je njena rešitev, ki ne vsebuje poljubnih konstant.

če je splošna rešitev, potem iz pogoja

lahko najdete konstanto Z. Pogoj se imenuje začetno stanje.

Problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe (6.3) ali (6.4), ki izpolnjuje začetni pogoj pri klical Cauchyjeva težava. Ali ima ta problem vedno rešitev? Odgovor je v naslednjem izreku.

Cauchyjev izrek(izrek obstoja in enkratnosti rešitve). Vstavimo diferencialno enačbo y"= f(x,y) funkcijo f(x,y) in njo

delni derivat določeno in v nekaterih neprekinjeno

regiji D, ki vsebuje točko Nato na območju D obstaja

edina rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj pri

Cauchyjev izrek pravi, da pod določenimi pogoji obstaja edinstvena integralna krivulja l= f(x), ki poteka skozi točko Točke, v katerih pogoji izreka niso izpolnjeni

Cauchies se imenujejo posebnega. Na teh točkah se zlomi f(x, y) oz.

Bodisi več integralnih krivulj bodisi nobena ne poteka skozi posebno točko.

Opredelitev.Če rešitev (6.3), (6.4) najdemo v obliki f(x, y, C)= 0, ni dovoljeno glede na y, potem se pokliče splošni integral diferencialna enačba.

Cauchyjev izrek zagotavlja le obstoj rešitve. Ker ni enotne metode za iskanje rešitve, bomo obravnavali samo nekatere vrste diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče integrirati v kvadrature

Opredelitev. Diferencialna enačba se imenuje integrabilen v kvadraturah,če se iskanje njegove rešitve zmanjša na integracijo funkcij.

6.2.1. Diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Opredelitev. Diferencialna enačba prvega reda se imenuje enačba z ločljive spremenljivke,

Desna stran enačbe (6.5) je produkt dveh funkcij, od katerih je vsaka odvisna samo od ene spremenljivke.

Na primer enačba je enačba z ločevanjem

pomešan s spremenljivkami
in enačba

ni mogoče predstaviti v obliki (6.5).

Glede na to , prepišemo (6.5) v obliki

Iz te enačbe dobimo diferencialno enačbo z ločenimi spremenljivkami, v kateri so diferenciali funkcije, ki so odvisne le od ustrezne spremenljivke:

Z integracijo izraza za izrazom imamo

kjer je C = C 2 - C 1 - poljubna konstanta. Izraz (6.6) je splošni integral enačbe (6.5).

Če obe strani enačbe (6.5) delimo s, lahko izgubimo tiste rešitve, za katere Res, če pri

to je očitno rešitev enačbe (6.5).

Primer 1. Poiščite rešitev enačbe, ki ustreza

stanje: l= 6 at x= 2 (l(2) = 6).

rešitev. Bomo zamenjali y" potem . Pomnožite obe strani s

dx, saj je med nadaljnjo integracijo nemogoče zapustiti dx v imenovalcu:

in nato oba dela razdelite na dobimo enačbo,

ki jih je mogoče integrirati. Integrirajmo:

Potem ; potenciramo, dobimo y = C. (x + 1) - ob-

splošna rešitev.

Z začetnimi podatki določimo poljubno konstanto in jih nadomestimo v splošno rešitev

Končno dobimo l= 2(x + 1) je posebna rešitev. Oglejmo si še nekaj primerov reševanja enačb z ločljivimi spremenljivkami.

Primer 2. Poiščite rešitev enačbe

rešitev. Glede na to , dobimo .

Če integriramo obe strani enačbe, imamo

kjer

Primer 3. Poiščite rešitev enačbe rešitev. Obe strani enačbe razdelimo na tiste faktorje, ki so odvisni od spremenljivke, ki ne sovpada s spremenljivko pod diferencialnim predznakom, t.j. in integrirati. Potem dobimo

in končno

Primer 4. Poiščite rešitev enačbe

rešitev. Vedeti, kaj bomo dobili. Razdelek

lim spremenljivke. Potem

Integracija, dobimo

Komentiraj. V primerih 1 in 2 je zahtevana funkcija l izražen eksplicitno (splošna rešitev). V primerih 3 in 4 - implicitno (splošni integral). V prihodnje oblika sklepa ne bo določena.

Primer 5. Poiščite rešitev enačbe rešitev.

Primer 6. Poiščite rešitev enačbe , zadovoljivo

stanje y(e)= 1.

rešitev. Zapišimo enačbo v obliki

Če pomnožimo obe strani enačbe s dx in naprej, dobimo

Integracija obeh strani enačbe (integral na desni strani je vzet po delih), dobimo

Ampak glede na stanje l= 1 at x= e. Potem

Zamenjajmo najdene vrednosti Z na splošno rešitev:

Dobljeni izraz imenujemo delna rešitev diferencialne enačbe.

6.2.2. Homogene diferencialne enačbe prvega reda

Opredelitev. Diferencialna enačba prvega reda se imenuje homogeno,če ga je mogoče predstaviti v obliki

Predstavimo algoritem za reševanje homogene enačbe.

1. Namesto tega l Predstavimo novo funkcijo. Potem in zato

2. V smislu funkcije u enačba (6.7) dobi obliko

to pomeni, da zamenjava reducira homogeno enačbo na enačbo z ločljivimi spremenljivkami.

3. Pri reševanju enačbe (6.8) najprej poiščemo u in nato l= ux.

Primer 1. Reši enačbo rešitev. Zapišimo enačbo v obliki

Izvajamo zamenjavo:
Potem

Bomo zamenjali

Pomnoži z dx: Razdeli po x in naprej Potem

Ko smo integrirali obe strani enačbe prek ustreznih spremenljivk, imamo

ali, če se vrnemo k starim spremenljivkam, končno dobimo

Primer 2.Reši enačbo rešitev.Naj Potem

Razdelimo obe strani enačbe z x2: Odprimo oklepaje in prerazporedimo izraze:

Če preidemo na stare spremenljivke, pridemo do končnega rezultata:

Primer 3.Poiščite rešitev enačbe glede na to

rešitev.Izvedba standardne zamenjave dobimo

oz

oz

To pomeni, da ima določena rešitev obliko Primer 4. Poiščite rešitev enačbe

rešitev.

Primer 5.Poiščite rešitev enačbe rešitev.

Samostojno delo

Poiščite rešitve diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami (1-9).

Poiščite rešitev homogenih diferencialnih enačb (9-18).

6.2.3. Nekatere aplikacije diferencialnih enačb prvega reda

Problem radioaktivnega razpada

Hitrost razpada Ra (radija) v vsakem trenutku je sorazmerna z njegovo razpoložljivo maso. Poiščite zakon radioaktivnega razpada Ra, če je znano, da je bil Ra v začetnem trenutku in je razpolovna doba Ra 1590 let.

rešitev. Naj bo v trenutku masa Ra x= x(t) g, in Potem je stopnja razpada Ra enaka

Glede na pogoje problema

kje k

Z ločitvijo spremenljivk v zadnji enačbi in integracijo dobimo

kjer

Za določitev C uporabimo začetni pogoj: ko .

Potem in zato,

Faktor sorazmernosti k določeno iz dodatnega pogoja:

Imamo

Od tukaj in zahtevano formulo

Težave s stopnjo razmnoževanja bakterij

Hitrost razmnoževanja bakterij je sorazmerna z njihovim številom. Na začetku je bilo 100 bakterij. V 3 urah se je njihovo število podvojilo. Ugotovite odvisnost števila bakterij od časa. Kolikokrat se bo povečalo število bakterij v 9 urah?

rešitev. Naj x- število bakterij naenkrat t. Potem, glede na pogoje,

kje k- sorazmernostni koeficient.

Od tukaj Iz stanja je razvidno, da . pomeni,

Iz dodatnega pogoja . Potem

Funkcija, ki jo iščete:

Torej, kdaj t= 9 x= 800, tj. v 9 urah se je število bakterij povečalo za 8-krat.

Problem povečanja količine encima

V kulturi pivskega kvasa je hitrost rasti aktivnega encima sorazmerna z njegovo začetno količino x. Začetna količina encima a podvojila v eni uri. Poiščite odvisnost

x(t).

rešitev. Po pogoju ima diferencialna enačba procesa obliko

od tukaj

Ampak . pomeni, C= a in potem

Znano je tudi, da

torej

6.3. DIFERENCIALNE ENAČBE DRUGEGA REDA

6.3.1. Osnovni pojmi

Opredelitev.Diferencialna enačba drugega reda se imenuje relacija, ki povezuje neodvisno spremenljivko, želeno funkcijo ter njen prvi in ​​drugi odvod.

V posebnih primerih lahko x manjka v enačbi, pri ali y". Vendar pa mora enačba drugega reda nujno vsebovati y." V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana kot:

ali, če je mogoče, v obliki, razrešeni glede na drugo izpeljanko:

Kot v primeru enačbe prvega reda lahko tudi za enačbo drugega reda obstajajo splošne in posebne rešitve. Splošna rešitev je:

Iskanje posebne rešitve

pod začetnimi pogoji - dano

številke) se imenuje Cauchyjeva težava. Geometrično to pomeni, da moramo najti integralno krivuljo pri= y(x), ki poteka skozi dano točko in ima na tej točki tangento, ki je

poravnana s pozitivno smerjo osi Ox določen kot. e. (slika 6.1). Cauchyjev problem ima edinstveno rešitev, če je desna stran enačbe (6.10), nenehna

je diskontinuiran in ima zvezne delne odvode glede na uh, uh" v neki bližini izhodišča

Za iskanje konstant vključen v zasebno rešitev, mora biti sistem razrešen

riž. 6.1. Integralna krivulja

Danes je ena najpomembnejših veščin vsakega strokovnjaka sposobnost reševanja diferencialnih enačb. Reševanje diferencialnih enačb – brez tega ne more nobena aplikativna naloga, pa naj bo to izračun katerega koli fizikalnega parametra ali modeliranje sprememb kot posledica sprejete makroekonomske politike. Te enačbe so pomembne tudi za številne druge vede, kot so kemija, biologija, medicina itd. Spodaj bomo podali primer uporabe diferencialnih enačb v ekonomiji, pred tem pa bomo na kratko spregovorili o glavnih vrstah enačb.

Diferencialne enačbe - najenostavnejše vrste

Modreci so rekli, da so zakoni našega vesolja napisani v matematičnem jeziku. Seveda je v algebri veliko primerov različnih enačb, vendar so to večinoma izobraževalni primeri, ki niso uporabni v praksi. Resnično zanimiva matematika se začne, ko želimo opisati procese, ki se dogajajo v resničnem življenju. Toda kako lahko odražamo časovni dejavnik, ki ureja realne procese – inflacijo, proizvodnjo ali demografske kazalnike?

Spomnimo se ene pomembne definicije iz tečaja matematike o odvodu funkcije. Izpeljanka je stopnja spremembe funkcije, zato nam lahko pomaga odraziti časovni faktor v enačbi.

To pomeni, da ustvarimo enačbo s funkcijo, ki opisuje indikator, ki nas zanima, in enačbi dodamo odvod te funkcije. To je diferencialna enačba. Zdaj pa preidimo na najpreprostejše vrste diferencialnih enačb za lutke.

Najenostavnejša diferencialna enačba ima obliko $y'(x)=f(x)$, kjer je $f(x)$ določena funkcija in $y'(x)$ odvod ali stopnja spremembe želenega funkcijo. Lahko se reši z navadno integracijo: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Druga najenostavnejša vrsta se imenuje diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami. Takšna enačba izgleda takole: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Vidimo lahko, da je tudi odvisna spremenljivka $y$ del konstruirane funkcije. Enačbo je mogoče rešiti zelo preprosto - morate "ločiti spremenljivke", to je, da jo pripeljete v obliko $y'(x)/g(y)=f(x)$ ali $dy/g(y) =f(x)dx$. Še vedno je treba integrirati obe strani $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - to je rešitev diferencialne enačbe ločljivega tipa.

Zadnja preprosta vrsta je linearna diferencialna enačba prvega reda. Ima obliko $y’+p(x)y=q(x)$. Tu sta $p(x)$ in $q(x)$ nekaj funkcij, $y=y(x)$ pa je zahtevana funkcija. Za rešitev takšne enačbe se uporabljajo posebne metode (Lagrangeova metoda variacije poljubne konstante, Bernoullijeva substitucijska metoda).

Obstajajo bolj zapletene vrste enačb - enačbe drugega, tretjega in na splošno poljubnega reda, homogene in nehomogene enačbe, pa tudi sistemi diferencialnih enačb. Njihovo reševanje zahteva predhodno pripravo in izkušnje pri reševanju enostavnejših problemov.

Tako imenovane parcialne diferencialne enačbe so velikega pomena za fiziko in nepričakovano tudi za finance. To pomeni, da je želena funkcija odvisna od več spremenljivk hkrati. Na primer, Black-Scholesova enačba s področja finančnega inženiringa opisuje vrednost opcije (vrste vrednostnega papirja) glede na njeno donosnost, višino plačil ter začetni in končni datum plačil. Reševanje parcialne diferencialne enačbe je precej zapleteno in običajno zahteva uporabo posebnih programov, kot sta Matlab ali Maple.

Primer uporabe diferencialne enačbe v ekonomiji

Naj podamo, kot smo obljubili, preprost primer reševanja diferencialne enačbe. Najprej si zastavimo nalogo.

Za neko podjetje ima funkcija mejnega prihodka od prodaje njegovih izdelkov obliko $MR=10-0,2q$. Tu je $MR$ mejni prihodek podjetja, $q$ pa je obseg proizvodnje. Najti moramo skupni prihodek.

Kot lahko vidite iz problema, je to aplikativni primer iz mikroekonomije. Mnoga podjetja in podjetja se med svojimi dejavnostmi nenehno srečujejo s takšnimi izračuni.

Začnimo z rešitvijo. Kot je znano iz mikroekonomije, je mejni prihodek derivat celotnega prihodka, prihodek pa je nič pri nični prodaji.

Z matematičnega vidika se je problem zmanjšal na reševanje diferencialne enačbe $R’=10-0,2q$ pod pogojem $R(0)=0$.

Enačbo integriramo, pri čemer upoštevamo antiizpeljavo obeh strani in dobimo splošno rešitev: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Če želite najti konstanto $C$, se spomnite pogoja $R(0)=0$. Zamenjajmo: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Torej C=0 in naša skupna funkcija prihodka ima obliko $R(q)=10q-0,1q^2$. Problem je rešen.

Drugi primeri različnih vrst daljinskega upravljanja so zbrani na strani:

Pri nekaterih problemih fizike ni mogoče vzpostaviti neposredne povezave med količinami, ki opisujejo proces. Vendar pa je mogoče dobiti enakost, ki vsebuje odvode proučevanih funkcij. Tako nastanejo diferencialne enačbe in potreba po njihovem reševanju, da bi našli neznano funkcijo.

Članek je namenjen tistim, ki se soočajo s problemom reševanja diferencialne enačbe, v kateri je neznana funkcija funkcija ene spremenljivke. Teorija je strukturirana tako, da ste z ničelnim znanjem diferencialnih enačb kos svoji nalogi.

Vsaka vrsta diferencialne enačbe je povezana z metodo reševanja s podrobnimi razlagami in rešitvami tipičnih primerov in problemov. Vse kar morate storiti je, da določite vrsto diferencialne enačbe vašega problema, poiščete podoben analiziran primer in izvedete podobna dejanja.

Za uspešno reševanje diferencialnih enačb boste potrebovali tudi sposobnost iskanja nizov protiodvodov (nedoločenih integralov) različnih funkcij. Če je potrebno, priporočamo, da se obrnete na razdelek.

Najprej bomo obravnavali vrste navadnih diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče razrešiti glede na odvod, nato bomo prešli na ODE drugega reda, nato se bomo posvetili enačbam višjega reda in končali s sistemi diferencialne enačbe.

Spomnimo se, da če je y funkcija argumenta x.

Diferencialne enačbe prvega reda.

Najenostavnejše diferencialne enačbe prvega reda oblike.

Zapišimo nekaj primerov takšnega daljinskega upravljanja .

Diferencialne enačbe lahko razrešimo glede na odvod tako, da obe strani enakosti delimo s f(x). V tem primeru pridemo do enačbe, ki bo enakovredna prvotni za f(x) ≠ 0. Primeri takšnih ODE so.

Če obstajajo vrednosti argumenta x, pri katerih funkciji f(x) in g(x) hkrati izničita, se pojavijo dodatne rešitve. Dodatne rešitve enačbe dani x so vse funkcije, definirane za te vrednosti argumentov. Primeri takih diferencialnih enačb vključujejo:

Diferencialne enačbe drugega reda.

Linearne homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

LDE s konstantnimi koeficienti je zelo pogost tip diferencialne enačbe. Njihova rešitev ni posebej težka. Najprej se najdejo korenine karakteristične enačbe . Za različna p in q so možni trije primeri: koreni karakteristične enačbe so lahko realni in različni, realni in sovpadajoči ali kompleksni konjugati. Glede na vrednosti korenin karakteristične enačbe je splošna rešitev diferencialne enačbe zapisana kot , oz , oz.

Na primer, razmislite o linearni homogeni diferencialni enačbi drugega reda s konstantnimi koeficienti. Koreni njegove karakteristične enačbe so k 1 = -3 in k 2 = 0. Korenine so realne in različne, zato ima splošna rešitev LOD s konstantnimi koeficienti obliko


Linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Splošno rešitev LDDE drugega reda s konstantnimi koeficienti y iščemo v obliki vsote splošne rešitve ustreznega LDDE in posebno rešitev izvirne nehomogene enačbe, to je . Prejšnji odstavek je namenjen iskanju splošne rešitve homogene diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. In določena rešitev je določena bodisi z metodo nedoločenih koeficientov za določeno obliko funkcije f(x), ki stoji na desni strani prvotne enačbe, bodisi z metodo spreminjanja poljubnih konstant.

Kot primere LDDE drugega reda s konstantnimi koeficienti podajamo


Za razumevanje teorije in seznanitev s podrobnimi rešitvami primerov vam na strani ponujamo linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Linearne homogene diferencialne enačbe (LODE) in linearne nehomogene diferencialne enačbe (LNDE) drugega reda.

Poseben primer diferencialnih enačb tega tipa sta LODE in LDDE s konstantnimi koeficienti.

Splošna rešitev LODE na določenem segmentu je predstavljena z linearno kombinacijo dveh linearno neodvisnih parcialnih rešitev y 1 in y 2 te enačbe, to je .

Glavna težava je ravno v iskanju linearno neodvisnih parcialnih rešitev diferencialne enačbe te vrste. Običajno so posamezne rešitve izbrane iz naslednjih sistemov linearno neodvisnih funkcij:


Vendar posamezne rešitve niso vedno predstavljene v tej obliki.

Primer LOD je .

Splošno rešitev LDDE iščemo v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega LDDE, in je partikularna rešitev izvirne diferencialne enačbe. Pravkar smo govorili o iskanju, vendar ga je mogoče določiti z metodo spreminjanja poljubnih konstant.

Navedemo lahko primer LNDU .

Diferencialne enačbe višjih redov.

Diferencialne enačbe, ki omogočajo redukcijo po redu.

Vrstni red diferencialne enačbe , ki ne vsebuje želene funkcije in njenih odvodov do reda k-1, lahko reduciramo na n-k z zamenjavo .

V tem primeru bo prvotna diferencialna enačba zmanjšana na . Ko najdemo njeno rešitev p(x), se je treba vrniti k zamenjavi in ​​določiti neznano funkcijo y.

Na primer diferencialna enačba po zamenjavi bo postala enačba z ločljivimi spremenljivkami, njen vrstni red pa se bo zmanjšal s tretje na prvo.

Ta članek je izhodišče pri preučevanju teorije diferencialnih enačb. Tu so osnovne definicije in pojmi, ki se bodo nenehno pojavljali v besedilu. Za boljšo asimilacijo in razumevanje so definicije opremljene s primeri.

Diferencialna enačba (DE) je enačba, ki vključuje neznano funkcijo pod predznakom odvoda ali diferenciala.

Če je neznana funkcija funkcija ene spremenljivke, se kliče diferencialna enačba navaden(skrajšano ODE - navadna diferencialna enačba). Če je neznana funkcija funkcija mnogih spremenljivk, se imenuje diferencialna enačba parcialna diferencialna enačba.

Imenuje se največji vrstni red odvoda neznane funkcije, ki vstopa v diferencialno enačbo red diferencialne enačbe.

Tukaj so primeri ODE prvega, drugega in petega reda

Kot primere parcialnih diferencialnih enačb drugega reda podajamo

V nadaljevanju bomo obravnavali samo navadne diferencialne enačbe n-tega reda oblike oz , kjer je Ф(x, y) = 0 implicitno podana neznana funkcija (če je mogoče, jo bomo zapisali v eksplicitni predstavitvi y = f(x) ).

Postopek iskanja rešitev diferencialne enačbe se imenuje z integracijo diferencialne enačbe.

Reševanje diferencialne enačbe je implicitno določena funkcija Ф(x, y) = 0 (v nekaterih primerih lahko funkcijo y eksplicitno izrazimo z argumentom x), ki spremeni diferencialno enačbo v identiteto.

PROSIMO, UPOŠTEVAJTE.

Rešitev diferencialne enačbe vedno iščemo na vnaprej določenem intervalu X.

Zakaj o tem govorimo ločeno? Da, ker v mnogih nalogah interval X ni omenjen. To pomeni, da je običajno pogoj problemov formuliran takole: "poiščite rešitev navadne diferencialne enačbe " V tem primeru je implicirano, da je treba rešitev iskati za vse x, za katere sta tako želena funkcija y kot izvirna enačba smiselni.

Rešitev diferencialne enačbe se pogosto imenuje integral diferencialne enačbe.

Funkcije ali jih lahko imenujemo rešitev diferencialne enačbe.

Ena od rešitev diferencialne enačbe je funkcija. Če nadomestimo to funkcijo v izvirno enačbo, dobimo identiteto . Zlahka je videti, da je druga rešitev tega ODE na primer . Tako imajo lahko diferencialne enačbe veliko rešitev.

Splošna rešitev diferencialne enačbe je niz rešitev, ki vsebuje vse brez izjeme rešitve te diferencialne enačbe.

Imenuje se tudi splošna rešitev diferencialne enačbe splošni integral diferencialne enačbe.

Vrnimo se k primeru. Splošna rešitev diferencialne enačbe ima obliko ali , kjer je C poljubna konstanta. Zgoraj smo navedli dve rešitvi te ODE, ki ju dobimo iz splošnega integrala diferencialne enačbe z zamenjavo C = 0 oziroma C = 1.

Če rešitev diferencialne enačbe izpolnjuje prvotno določene dodatne pogoje, se imenuje delna rešitev diferencialne enačbe.

Delna rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje pogoj y(1)=1, je . res, in .

Glavni problemi teorije diferencialnih enačb so Cauchyjevi problemi, problemi z mejno vrednostjo in problemi iskanja splošne rešitve diferencialne enačbe na katerem koli intervalu X.

Cauchyjeva težava je problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe, ki zadovoljuje dano začetni pogoji, kje so številke.

Problem mejne vrednosti je problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe drugega reda, ki izpolnjuje dodatne pogoje na mejnih točkah x 0 in x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, kjer sta f 0 in f 1 dani števili.

Pogosto se imenuje problem mejne vrednosti problem meje.

Navadna diferencialna enačba n-tega reda se imenuje linearni, če ima obliko , koeficienti pa so zvezne funkcije argumenta x na integracijskem intervalu.