Aksiomi planimetrije:
V različnih učbenikih so lastnosti premic in ravnin lahko predstavljene na različne načine, v obliki aksioma, njegove posledice, izreka, leme itd. Razmislite o učbeniku Pogorelova A.V.
Premica deli ravnino na dve polravnini.
0
Iz katere koli polpremice se lahko v dano polravnino nariše kot z dano stopinjsko mero, manjšo od 180. 0 , in samo eno.
Karkoli je trikotnik, je enak trikotnik na dani lokaciji glede na dano polpremico.
Skozi točko, ki ne leži na dani premici, lahko na ravnini potegnemo največ eno premico, ki je vzporedna z dano.
Aksiomi stereometrije:
Ne glede na ravnino obstajajo točke, ki pripadajo tej ravnini, in točke, ki tej ravnini ne pripadajo, in točke, ki ji ne pripadajo.
Če imata dve različni ravnini skupno točko, se sekata vzdolž premice, ki poteka skozi to točko.
Če imata dve različni premici skupno točko, potem lahko skozi njiju narišemo ravnino in to samo eno.
Ne glede na premico obstajajo točke, ki tej premici pripadajo, in točke, ki ji ne pripadajo.
Skozi kateri koli dve točki lahko narišete ravno črto in samo eno.
Od treh točk na premici ena in samo ena leži med drugima dvema.
Vsak segment ima določeno dolžino, večjo od nič. Dolžina odseka je enaka vsoti dolžin delov, na katere ga deli katera koli njegova točka.
Ravnina, ki pripada ravnini, deli to ravnino na dve polravnini.
Vsak kot ima določeno stopinjsko mero, večjo od nič. Ravni kot je 180 0 . Stopinska mera kota je enaka vsoti stopinjskih mer kotov, na katere ga razdeli kateri koli žarek, ki poteka med njegovimi stranicami.
Na katero koli polpremico od njene začetne točke lahko narišete odsek dane dolžine in samo enega.
Iz polpremice na ravnini, ki jo vsebuje, je mogoče kot z dano stopinjsko mero, manjšo od 180, narisati v dano polravnino 0 , in samo eno.
Ne glede na trikotnik obstaja enak trikotnik v dani ravnini na dani lokaciji glede na dano polpremico v tej ravnini.
Na ravnini je mogoče skozi dano točko, ki ne leži na dani premici, narisati največ eno premico, ki je vzporedna z dano.
Razdelek
V prostoru imata dva lika, v našem primeru ravnina in polieder, lahko naslednje medsebojne lege: se ne sekata, sekata v točki, sekata premočrtno in ravnina seka polieder po njegovi notranjosti (slika 1). , in hkrati tvorijo naslednje številke:
a) prazna figura (ne sekata)
b) točka
c) segment
d) mnogokotnik
Če je na presečišču poliedra in ravnine mnogokotnik, potem je ta mnogokotnikimenujemo odsek poliedra z ravnino .
Slika 1
Opredelitev. Razdelek prostorsko telo (na primer polieder) je lik, ki nastane iz presečišča telesa z ravnino.
Rezalna ravnina polieder imenujemo katero koli ravnino, na obeh straneh katere so točke danega poliedra.
Upoštevali bomo le primer, ko ravnina seka polieder po njegovi notranjosti. V tem primeru bo presečišče te ravnine z vsako stranjo poliedra določen segment.
Če se ravnini sekata v ravni črti, se imenuje premicasledenje ene od teh ravnin na drugo.
Na splošno velja, da rezalna ravnina poliedra seka ravnino vsake njegove ploskve (kot tudi katero koli drugo rezalno ravnino tega poliedra). Prav tako seka vsako od premic, na katerih ležijo robovi poliedra.
Imenuje se ravna črta, po kateri rezalna ravnina seka ravnino katerekoli ploskve poliedrapo rezalni ravnini na ravnini te ploskve, točka, v kateri sekalna ravnina seka premico, ki vsebuje katerikoli rob poliedra, pa se imenujepo rezalni ravnini nata ravna črta. Ta točka je tudi sled črte na rezalni ravnini. Če rezalna ravnina neposredno seka ploskev poliedra, potem lahko govorimo o sledi rezalne ravnine na ploskvi, podobno pa tudi osled sekalne ravnine na robu poliedra, torej o sledu roba na sečni ravnini.
Ker je ravna črta enolično določena z dvema točkama, je za iskanje sledi sekalne ravnine na kateri koli drugi ravnini in še posebej na ravnini katere koli ploskve poliedra dovolj, da zgradimo dve skupni točki ravnin.
Za konstruiranje sledi sekalne ravnine, kot tudi za konstruiranje preseka poliedra s to ravnino, je treba določiti ne le polieder, ampak tudi rezalno ravnino. In konstrukcija presečne ravnine je odvisna od specifikacije te ravnine. Glavni načini za definiranje ravnine in zlasti rezalne ravnine so naslednji:
tri točke, ki ne ležijo na isti premici;
premica in točka, ki ne leži na njej;
dve vzporedni črti;
dve sekajoči se črti;
točka in dve sekajoči se črti;
Možni so tudi drugi načini določanja rezalne ravnine.
Zato lahko vse metode za konstruiranje odsekov poliedrov razdelimo na metode.
Metode konstruiranja odsekov poliedrov
Metoda odsekov poliedrov v stereometriji se uporablja pri konstrukcijskih problemih. Temelji na sposobnosti konstruiranja odseka poliedra in določanja vrste odseka.
Obstajajo tri glavne metode za konstruiranje odsekov poliedrov:
Aksiomatska metoda:
Metoda sledenja.
Kombinirana metoda.
Koordinatna metoda.
Opomba da sta metoda sledenja in metoda pomožnega odseka sortiAksiomatska metoda za konstruiranje odsekov.
Razlikujemo lahko tudi naslednje metode za konstruiranje odsekov poliedrov:
konstruiranje odseka poliedra z ravnino, ki poteka skozi dano točko vzporedno z dano ravnino;
konstruiranje odseka, ki poteka skozi dano premico vzporedno z drugo dano premico;
konstruiranje odseka, ki poteka skozi dano točko vzporedno z dvema danima sekajočima se premicama;
konstruiranje odseka poliedra z ravnino, ki poteka skozi dano premico pravokotno na dano ravnino;
konstruiranje odseka poliedra z ravnino, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano premico.
Glavna dejanja, ki sestavljajo metode za gradnjo odsekov, so iskanje točke presečišča črte z ravnino, konstrukcija presečišča dveh ravnin, konstrukcija ravne črte, vzporedne z ravnino, pravokotne na ravnino. Za sestavo črte presečišča dveh ravnin običajno najdemo dve njeni točki in skozi njiju narišemo črto. Če želite zgraditi presečišče premice in ravnine, poiščite premico v ravnini, ki seka dano premico. Nato dobimo želeno točko na presečišču najdene črte z dano.
Ločeno razmislimo o tistih, ki smo jih naštelimetode za konstruiranje odsekov poliedrov:
Metoda sledenja.
Metoda sledenja temelji (temelji na) aksiomih stereometrije, bistvo metode je konstruirati pomožno črto, ki je podoba črte presečišča rezalne ravnine z ravnino katere koli ploskve figure. Najprimerneje je sestaviti sliko presečišča rezalne ravnine z ravnino spodnje baze. Ta vrsticaimenujemo glavna sled rezalne ravnine . S pomočjo sledi je enostavno sestaviti slike točk rezalne ravnine, ki se nahajajo na stranskih robovih ali ploskvah figure. Z doslednim povezovanjem slik teh točk dobimo sliko želenega odseka.
Upoštevajte to da se pri konstruiranju glavne sledi sekalne ravnine uporablja naslednja izjava.
Če točke pripadajo sečni ravnini in ne ležijo na isti ravnini, njihova projekcija (centralna ali vzporedna) na ravnino, izbrano kot glavna, pa sta točki oz. potem točke presečišča ustreznih črt, to je točk in ležijo na isti premici (slika 1, a, b).
Slika 1.a Slika 1.b
Ta ravna črta je glavna sled rezalne ravnine. Ker točke ležijo na glavni sledi, je za njeno konstrukcijo dovolj najti dve točki od teh treh.
Metoda pomožnih odsekov.
Ta metoda konstruiranja odsekov poliedrov je precej univerzalna. V primerih, ko je želena sled (ali sledi) rezalne ravnine izven risbe, ima ta način celo določene prednosti. Hkrati je treba upoštevati, da se konstrukcije, izvedene s to metodo, pogosto izkažejo za "gnečo". Vendar se v nekaterih primerih metoda pomožnih odsekov izkaže za najbolj racionalno.
Kombinirana metoda
Bistvo kombinirane metode za konstruiranje odsekov poliedrov je uporaba izrekov o vzporednosti premic in ravnin v prostoru v kombinaciji z aksiomatsko metodo.
Koordinatna metoda za izdelavo odsekov.
Bistvo koordinatne metode je izračun koordinat presečišč robov ali poliedra s sečno ravnino, ki je določena z enačbo ravnine. Enačba rezalne ravnine se izračuna na podlagi pogojev problema.
Opomba da je ta način konstruiranja preseka poliedra sprejemljiv za računalnik, saj vključuje veliko količino izračunov, zato je ta način priporočljivo izvesti z uporabo računalnika.
Naša glavna naloga bo konstruirati presek poliedra z ravnino, tj. pri konstruiranju presečišča teh dveh nizov.
Konstrukcija odsekov poliedrov
Najprej opozorimo, da je odsek konveksnega poliedra konveksen ravni mnogokotnik, katerega oglišča so v splošnem presečišča rezalne ravnine z robovi poliedra, stranice pa z njegovimi obrazi.
Primeri gradnje odsekov:
Metode za definiranje odseka so zelo raznolike. Najpogostejša med njimi je metoda določanja sekalne ravnine s tremi točkami, ki ne ležijo na isti ravnini.
Primer 1.
Za paralelopiped ABCDA 1
B 1
C 1
D 1
. Sestavite odsek, ki poteka skozi točke M, N, L.
rešitev:
Poveži točki M in L, ki ležita v ravnini AA 1 D 1 D.
Z robom A presekamo premico ML (ki pripada odseku). 1 D 1 1 D 1 D. Pridobite točko X 1 .
Točka X1 leži na robu A 1 D 1 , in s tem ravnina A 1 B 1 C 1 D 1 , ga povežemo z vbodom N, ki leži v isti ravnini.
X 1 N seka rob A 1 B 1 na točki K.
Poveži točki K in M, ki ležita v isti ravnini AA 1 B 1 B.
Poiščimo premico presečišča presečne ravnine z ravnino DD 1
C 1
C:
Sekamo premico ML (ki pripada odseku) z robom DD 1 , ležijo v isti ravnini AA 1 D 1 D, dobimo točko X 2 .
Z robom D presekamo premico KN (ki pripada odseku). 1
C 1
, ležita v isti ravnini A 1
B 1
C 1
D 1
, dobimo točko X3;
Točki X2 in X3 ležita v ravnini DD 1 C 1 C. Narišite ravno črto X 2 X 3 , ki seka rob C 1 C v točki T, rob DC pa v točki P. In poveži točki L in P, ki ležita v ravnini ABCD.
Tako se šteje, da je problem rešen, če so najdeni vsi segmenti, po katerih ravnina seka ploskve poliedra, kar smo tudi storili. MKNTPL - zahtevani razdelek.
Opomba. Isti problem konstruiranja odseka je mogoče rešiti z uporabo lastnosti vzporednih ravnin.
Iz zgoraj navedenega lahko ustvarite algoritem (pravilo) za reševanje tovrstnih problemov.
Pravila za gradnjo odsekov poliedrov:
narišite ravne črte skozi točke, ki ležijo v isti ravnini;
Iščemo neposredna presečišča odsečne ravnine s ploskvami poliedra, za to:
Primer 2. DL, M
Rešimo z aksiomatsko metodo:
Narišimo pomožno ravninoDKM, ki seka robova AB in BC v točkah E inF(potek rešitve na sliki 2.). Konstruirajmo "sled" CM presečne ravnine na tej pomožni ravnini, poiščimo presečišče CM in EF– točka P. Točka P, kotL, leži v ravnini ABC in je možno narisati premico, po kateri prerezna ravnina seka ravnino ABC (»sled« prereza v ravnini ABC).
Primer 3. Na robovih AB in AD piramide MABCD določimo točki P oziroma Q, razpolovišči teh robov, na robu MC pa določimo točko R. Sestavimo prerez piramide z ravnino, ki poteka skozi točke P, Q in R.
Rešitev bomo izvedli s kombinirano metodo:
1). Jasno je, da je glavna sled ravnine PQR premica PQ.
2). Poiščimo točko K, v kateri ravnina MAC seka premico PQ. Točki K in R pripadata tako ravnini PQR kot ravnini MAC. Zato z risanjem premice KR dobimo presečišče teh ravnin.
3). Poiščemo točko N=AC BD, narišemo premico MN in poiščemo točko F=KR MN.
4). Točka F je skupna točka ravnin PQR in MDB, to pomeni, da se te ravnine sekajo vzdolž premice, ki poteka skozi točko F. Hkrati, ker je PQ srednja črta trikotnika ABD, potem je PQ vzporedna z BD, to pomeni, da je premica PQ vzporedna z ravnino MDB. Nato ravnina PQR, ki poteka skozi premico PQ, seka ravnino MDB vzdolž premice, ki je vzporedna s premico PQ, to je vzporedna in ravna BD. Zato v ravnini MDB skozi točko F narišemo premico, vzporedno s premico BD.
5). Nadaljnje konstrukcije so razvidne iz slike. Kot rezultat dobimo poligon PQD"RB" - želeni odsek
Oglejmo si prereze prizme
za enostavnost, to je udobje logičnega razmišljanja, razmislimo o odsekih kocke (slika 3.a):
riž. 3.a
Odseki prizme z ravninami, ki so vzporedne s stranskimi robovi, so paralelogrami. Zlasti diagonalni odseki so paralelogrami (slika 4).
Def. Diagonalni odsek Prizmo seka ravnina, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi.
Mnogokotnik, ki izhaja iz diagonalnega odseka prizme, je paralelogram. Vprašanje o številu diagonalnih odsekovn-kotna prizma je težje kot vprašanje števila diagonal. Odsekov bo toliko, kot je diagonal na dnu. Vemo, da ima konveksna prizma na svojih osnovah konveksne mnogokotnike, konveksna prizma pan-gon diagonal. In tako lahko rečemo, da je diagonalnih odsekov za polovico manj kot diagonal.
Opomba: Pri konstruiranju odsekov paralelepipeda na sliki je treba upoštevati dejstvo, da če rezalna ravnina seka dve nasprotni ploskvi vzdolž nekaterih segmentov, potem so ti segmenti vzporedni "zaradi lastnosti paralelepipeda, tj. Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.”
Odgovorili vam bomo na pogosto zastavljena vprašanja:
Kakšne mnogokotnike dobimo, ko kocko prerežemo z ravnino?
"trikotnik, štirikotnik, peterokotnik, šestkotnik."
Ali je mogoče kocko razrezati z ravnino v sedemkotnik? Kaj pa osmerokotnik?
"ne morejo."
3) Postavlja se vprašanje: koliko je največje število stranic mnogokotnika, ki ga dobimo z rezanjem poliedra z ravnino?
Največje število stranic mnogokotnika, ki ga dobimo z rezanjem poliedra z ravnino, je enako številu ploskev poliedra .
Primer 3. Sestavi prerez prizme A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD z ravnino, ki poteka skozi tri točke M, N, K.
Oglejmo si primer lokacije točk M, N, K na površini prizme (slika 5).
Razmislite o primeru: V tem primeru je očitno, da je M1 = B1.
Konstrukcija:
Primer 4. Sestavi odsek paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravnina, ki poteka skozi točke M, N, P (točke so označene na risbi (slika 6)).
rešitev:
riž. 6
Točki N in P ležita v prečni ravnini in v ravnini spodnje osnove paralelopipeda. Konstruirajmo premico, ki poteka skozi te točke. Ta premica je sled sekalne ravnine na ravnino osnove paralelopipeda.
Nadaljujmo premico, na kateri strani leži AB paralelepipeda. Premici AB in NP se sekata v neki točki S. Ta točka pripada prečni ravnini.
Ker tudi točka M pripada prerezni ravnini in seka premico AA 1 na neki točki X.
Točki X in N ležita v isti ravnini ploskve AA 1 D 1 D, jih povežite in dobite ravno črto XN.
Ker sta ravnini ploskev paralelopipeda vzporedni, lahko skozi točko M narišemo ravno črto do ploskve A 1 B 1 C 1 D 1 , vzporedna s premico NP. Ta črta bo sekala stran B 1 Z 1 na točki Y.
Podobno narišemo ravno črto YZ, vzporedno z ravno črto XN. Z povežemo s P in dobimo želeni odsek - MYZPNX.
Odseki piramide z ravninami, ki potekajo skozi njen vrh, so trikotniki. Zlasti trikotniki so diagonalni odseki. To so preseki ravnin, ki potekajo skozi dva nesosednja stranska robova piramide.
Primer 4.
Sestavi prerez piramide ABCDravnina, ki poteka skozi točke K,L,
M.
rešitev:
Narišimo še eno pomožno ravninoDCKin zgradite presečišče BLinDK – točka E. Ta točka pripada obema pomožnima ravninama (sl. 7, b);
Poiščimo presečišče segmentovL.M.in EC (ti segmenti ležijo v ravniniBLC, slika 7, c) – točkaF. PikaFleži v prerezni ravnini in v ravniniDCK;
Naredimo direktnoKFin poiščite presečišče te premice zDC– točkaN(pikaNspada v razdelek). ŠtirikotnikKLNM– zahtevani razdelek.
Rešimo ta isti primer drugače .
Predpostavimo, da je v točkah KL, in M zgrajen odsekKLNM(slika 7). Označimo zFpresečišče diagonal štirikotnikaKLNM. Naredimo direktnoDFin označimo zF 1
njegovo presečišče z robom ABC. PikaF 1
sovpada s presečiščem ravnih črt AM in SC (F 1
hkrati pripada ravnini AMDinDSK). PikaF 1
enostaven za gradnjo. Nato zgradimo točkoFkot točka presečiščaDF 1
inL.M.. Nato najdemo točkoN.
Obravnavana tehnika se imenujemetoda notranjega oblikovanja . (V našem primeru govorimo o centralni zasnovi. ŠtirikotnikKMSA je projekcija štirikotnikaKMNLod točkeD. V tem primeru točka presečišča diagonalKMNL– točkaF– gre do presečišča diagonal štirikotnikaKMSA - točkaF 1 .
Območje preseka poliedra.
Problem izračuna površine prečnega prereza poliedra se običajno rešuje v več fazah. Če je v nalogi navedeno, da je bil sestavljen odsek (ali da je bila narisana sekalna ravnina itd.), potem se na prvi stopnji rešitve določi vrsta figure, dobljene v odseku.
To je treba storiti, da izberete ustrezno formulo za izračun površine prečnega prereza. Ko je bila razjasnjena vrsta figure, pridobljene v razdelku, in izbrana formula za izračun površine te figure, nadaljujemo neposredno z računskim delom.
V nekaterih primerih je morda lažje, če ne ugotovite vrste figure, pridobljene v odseku, greste naravnost k izračunu njene ploščine s formulo, ki izhaja iz izreka.
Izrek o območju pravokotne projekcije mnogokotnika: Območje pravokotne projekcije mnogokotnika na ravnino je enako zmnožku njegove površine in kosinusa kota med ravnino mnogokotnika in projekcijsko ravnino: .
Pravilna formula za izračun presečne površine je: kje je območje pravokotne projekcije figure, dobljene v odseku, in to je kot med rezalno ravnino in ravnino, na katero je projicirana figura. S to rešitvijo je potrebno sestaviti pravokotno projekcijo figure, dobljene v odseku, in izračunati
Če izjava o problemu navaja, da je treba sestaviti odsek in najti površino nastalega odseka, potem je treba na prvi stopnji upravičeno sestaviti dani odsek, nato pa seveda določiti vrsto figure, dobljene v oddelek itd.
Upoštevajte naslednje dejstvo: ker so konstruirani odseki konveksnih poliedrov, bo tudi odsek poligona konveksen, zato njegovo ploščino lahko najdete tako, da ga razdelite na trikotnike, to je, da je ploščina odseka enaka vsoti ploščin trikotniki, iz katerih je sestavljena.
Naloga 1.
– pravilna trikotna piramida s stranico osnovne strani in višino enako Zgradite prerez piramide z ravnino, ki poteka skozi točke, kjer je sredina stranice, in poiščite njeno ploščino (slika 8).
rešitev.
Prerez piramide je trikotnik. Poiščimo njeno območje.
Ker je osnova piramide enakostranični trikotnik in je točka razpolovišče stranice, je to višina in potem, .
Območje trikotnika je mogoče najti:
Naloga 2.
Stranski rob pravilne prizme je enak stranici osnove. Konstruirajte odseke prizme z ravninami, ki potekajo skozi točkoA, pravokotno na ravno črto Če najdemo območje nastalega preseka prizme.
rešitev.
Sestavimo dani odsek. Naredimo to iz čisto geometrijskih premislekov, na primer, kot sledi.
V ravnino, ki poteka skozi dano premico in dano točko, nariši premico, pravokotno na premico skozi to točko (slika 9). V ta namen uporabimo dejstvo, da v trikotniku to pomeni, da je njegova mediana tudi višina tega trikotnika. Torej je naravnost.
Skozi točko narišemo drugo črto pravokotno na daljico. Narišimo ga na primer v ravnini, ki poteka skozi premo. Jasno je, da je ta črta ravna črta
Torej sta zgrajeni dve sekajoči se premici, pravokotni na premico. Te črte določajo ravnino, ki poteka skozi točko, pravokotno na črto, kar pomeni, da je določena rezalna ravnina.
Konstruirajmo prerez prizme s to ravnino. Upoštevajte, da je premica vzporedna z ravnino. Nato ravnina, ki poteka skozi premico, seka ravnino po premici, ki je vzporedna s premico, to je premica. Skozi točko narišimo ravno črto in nastalo točko poveži s piko.
Štirikotnik dani odsek. Določimo njeno površino.
Jasno je, da je štirikotnik pravokotnik, to je njegova ploščina
riž. 9
Ali veste, kako se imenuje prerez poliedrov z ravnino? Če še vedno dvomite v pravilnost svojega odgovora na to vprašanje, se lahko povsem preprosto preverite sami. Predlagamo, da spodaj opravite kratek test.
vprašanje Kakšna je številka slike, ki prikazuje prerez paralelepipeda z ravnino?
Pravilen odgovor je torej na sliki 3.
Če odgovorite pravilno, to potrjuje, da razumete, s čim imate opravka. Toda na žalost vam tudi pravilen odgovor na testno vprašanje ne zagotavlja najvišjih ocen pri lekcijah na temo »Odseki poliedrov«. Konec koncev, najtežje je ne prepoznati odsekov v končanih risbah, čeprav je to tudi zelo pomembno, ampak njihovo konstrukcijo.
Za začetek oblikujmo definicijo odseka poliedra. Odsek poliedra je torej mnogokotnik, katerega oglišča ležijo na robovih poliedra, stranice pa na njegovih ploskvah.
Zdaj pa vadimo hitro in natančno konstruiranje presečišč 
dano premico z dano ravnino. Da bi to naredili, rešimo naslednji problem.
Konstruirajte presečišča premice MN z ravnino spodnje in zgornje osnove trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1, pri čemer točka M pripada stranskemu robu CC 1, točka N pa robu BB 1.
Začnimo s podaljšanjem ravne črte MN v obe smeri na risbi (slika 1). Nato, da dobimo presečišča, ki jih zahteva problem, podaljšamo črte, ki ležijo v zgornji in spodnji bazi. In zdaj prihaja najtežji trenutek pri reševanju problema: katere črte v obeh bazah je treba podaljšati, saj ima vsaka tri črte.
Za pravilno dokončanje zadnjega koraka konstrukcije je treba ugotoviti, katere od neposrednih baz so v isti ravnini kot premica MN, ki nas zanima. V našem primeru je to ravna CB v spodnji in C 1 B 1 v zgornji bazi. In prav te podaljšujemo do sekanja s premico NM (slika 2).
Dobljeni točki P in P 1 sta točki presečišča premice MN z ravnino zgornje in spodnje osnove trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 .
Po analizi predstavljenega problema lahko nadaljujete neposredno s konstruiranjem odsekov poliedrov. Ključna točka pri tem bo sklepanje, ki vam bo pomagalo priti do želenega rezultata. Posledično bomo sčasoma poskušali ustvariti predlogo, ki bo odražala zaporedje dejanj pri reševanju tovrstnih problemov.
Torej, razmislimo o naslednji težavi. Zgradite odsek trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 z ravnino, ki poteka skozi točke X, Y, Z, ki pripadajo robom AA 1, AC in BB 1.
Rešitev: Narišimo risbo in ugotovimo, kateri pari točk ležijo v isti ravnini.
Pare točk X in Y, X in Z lahko povežemo, ker ležijo v isti ravnini.
Konstruirajmo dodatno točko, ki bo ležala na isti ploskvi kot točka Z. Za to bomo podaljšali premici XY in CC 1, ker ležijo v ravnini ploskve AA 1 C 1 C. Dobljeno točko imenujemo P.
Točki P in Z ležita v isti ravnini - v ravnini ploskve CC 1 B 1 B. Zato ju lahko povežemo. Premica PZ seka rob CB v določeni točki, imenujemo jo T. Točki Y in T ležita v spodnji ravnini prizme, povezuje ju. Tako je nastal štirikotnik YXZT in to je želeni odsek. 
Naj povzamemo. Če želite zgraditi odsek poliedra z ravnino, morate:
1) narišite ravne črte skozi pare točk, ki ležijo v isti ravnini.
2) poiščite premice, po katerih se sekajo odsečne ravnine in ploskve poliedra. Če želite to narediti, morate najti presečišča črte, ki pripada presečni ravnini, s črto, ki leži na eni od ploskev.
Postopek konstruiranja odsekov poliedrov je zapleten, ker je v vsakem posameznem primeru drugačen. In nobena teorija tega ne opisuje od začetka do konca. Pravzaprav obstaja samo en zanesljiv način, da se naučite, kako hitro in natančno sestaviti odseke katerega koli poliedra - to je stalna praksa. Več odsekov kot zgradite, lažje boste to počeli v prihodnosti.
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
Ali veste, kako se imenuje prerez poliedrov z ravnino? Če še vedno dvomite v pravilnost svojega odgovora na to vprašanje, se lahko povsem preprosto preverite sami. Predlagamo, da spodaj opravite kratek test.
vprašanje Kakšna je številka slike, ki prikazuje prerez paralelepipeda z ravnino?
Pravilen odgovor je torej na sliki 3.
Če odgovorite pravilno, to potrjuje, da razumete, s čim imate opravka. Toda na žalost vam tudi pravilen odgovor na testno vprašanje ne zagotavlja najvišjih ocen pri lekcijah na temo »Odseki poliedrov«. Konec koncev, najtežje je ne prepoznati odsekov v končanih risbah, čeprav je to tudi zelo pomembno, ampak njihovo konstrukcijo.
Za začetek oblikujmo definicijo odseka poliedra. Odsek poliedra je torej mnogokotnik, katerega oglišča ležijo na robovih poliedra, stranice pa na njegovih ploskvah.
Zdaj pa vadimo hitro in natančno konstruiranje presečišč dano premico z dano ravnino. Da bi to naredili, rešimo naslednji problem.
Konstruirajte presečišča premice MN z ravnino spodnje in zgornje osnove trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1, pri čemer točka M pripada stranskemu robu CC 1, točka N pa robu BB 1.
Začnimo s podaljšanjem ravne črte MN v obe smeri na risbi (slika 1). Nato, da dobimo presečišča, ki jih zahteva problem, podaljšamo črte, ki ležijo v zgornji in spodnji bazi. In zdaj prihaja najtežji trenutek pri reševanju problema: katere črte v obeh bazah je treba podaljšati, saj ima vsaka tri črte.
Za pravilno dokončanje zadnjega koraka konstrukcije je treba ugotoviti, katere od neposrednih baz so v isti ravnini kot premica MN, ki nas zanima. V našem primeru je to ravna CB v spodnji in C 1 B 1 v zgornji bazi. In prav te podaljšujemo do sekanja s premico NM (slika 2).
Dobljeni točki P in P 1 sta točki presečišča premice MN z ravnino zgornje in spodnje osnove trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 .
Po analizi predstavljenega problema lahko nadaljujete neposredno s konstruiranjem odsekov poliedrov. Ključna točka pri tem bo sklepanje, ki vam bo pomagalo priti do želenega rezultata. Posledično bomo sčasoma poskušali ustvariti predlogo, ki bo odražala zaporedje dejanj pri reševanju tovrstnih problemov.
Torej, razmislimo o naslednji težavi. Zgradite odsek trikotne prizme ABCA 1 B 1 C 1 z ravnino, ki poteka skozi točke X, Y, Z, ki pripadajo robom AA 1, AC in BB 1.
Rešitev: Narišimo risbo in ugotovimo, kateri pari točk ležijo v isti ravnini.
Pare točk X in Y, X in Z lahko povežemo, ker ležijo v isti ravnini.
Konstruirajmo dodatno točko, ki bo ležala na isti ploskvi kot točka Z. Za to bomo podaljšali premici XY in CC 1, ker ležijo v ravnini ploskve AA 1 C 1 C. Dobljeno točko imenujemo P.
Točki P in Z ležita v isti ravnini - v ravnini ploskve CC 1 B 1 B. Zato ju lahko povežemo. Premica PZ seka rob CB v določeni točki, imenujemo jo T. Točki Y in T ležita v spodnji ravnini prizme, povezuje ju. Tako je nastal štirikotnik YXZT in to je želeni odsek.
Naj povzamemo. Če želite zgraditi odsek poliedra z ravnino, morate:
1) narišite ravne črte skozi pare točk, ki ležijo v isti ravnini.
2) poiščite premice, po katerih se sekajo odsečne ravnine in ploskve poliedra. Če želite to narediti, morate najti presečišča črte, ki pripada presečni ravnini, s črto, ki leži na eni od ploskev.
Postopek konstruiranja odsekov poliedrov je zapleten, ker je v vsakem posameznem primeru drugačen. In nobena teorija tega ne opisuje od začetka do konca. Pravzaprav obstaja samo en zanesljiv način, da se naučite, kako hitro in natančno sestaviti odseke katerega koli poliedra - to je stalna praksa. Več odsekov kot zgradite, lažje boste to počeli v prihodnosti.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Sama naloga običajno zveni takole: "zgradi naravni pogled presečne figure". Seveda smo se odločili, da tega vprašanja ne bomo pustili ob strani in poskušali, če je mogoče, pojasniti, kako je zgrajen nagnjeni odsek.
Da bi pojasnili, kako je zgrajen nagnjen odsek, bom navedel več primerov. Začel bom seveda z osnovnimi, postopoma pa povečeval kompleksnost primerov. Upam, da boste po analizi teh primerov risb prerezov razumeli, kako se to naredi, in boste lahko sami dokončali svojo študijsko nalogo.
Vzemimo "opeko" z dimenzijami 40x60x80 mm in poljubno nagnjeno ravnino. Rezalna ravnina ga prereže v točkah 1-2-3-4. Mislim, da je tukaj vse jasno.
Nadaljujmo s konstruiranjem naravnega pogleda preseka.
1. Najprej narišimo os preseka. Os mora biti narisana vzporedno s presečno ravnino - vzporedno s črto, v katero je ravnina projicirana v glavnem pogledu - običajno je v glavnem pogledu naloga za izdelava nagnjenega odseka(V nadaljevanju bom vedno omenil glavni pogled, ob upoštevanju, da se to skoraj vedno zgodi v izobraževalnih risbah).
2. Na osi narišemo dolžino odseka. Na moji risbi je označena kot L. Velikost L je določena v glavnem pogledu in je enaka razdalji od točke vstopa odseka v del do točke izstopa iz njega.
3. Iz dobljenih dveh točk na osi, pravokotno nanjo, na teh točkah narišemo širino odseka. Širina prereza na vstopni točki v del in na izstopni točki iz dela se lahko določi v pogledu od zgoraj. V tem primeru sta oba segmenta 1-4 in 2-3 enaka 60 mm. Kot lahko vidite na zgornji sliki, so robovi odseka ravni, zato preprosto povežemo naša dva nastala segmenta in dobimo pravokotnik 1-2-3-4. To je naravni videz prereza naše opeke z nagnjeno ravnino.
Zdaj pa zakomplicirajmo naš del. Na podlago 120x80x20 mm postavimo opeko in sliki dodamo rebra za ojačitev. Narišimo rezalno ravnino tako, da poteka skozi vse štiri elemente figure (skozi podlago, opeko in dve ojačitvi). Na spodnji sliki lahko vidite tri poglede in realno sliko tega dela.
Poskusimo zgraditi naraven pogled na ta nagnjen odsek. Začnimo znova z osjo preseka: narišite jo vzporedno z ravnino preseka, navedeno v glavnem pogledu. Nanj narišemo dolžino odseka, ki je enaka A-E. Točka A je vstopna točka prereza v del, v posameznem primeru pa vstopna točka prereza v bazo. Izhod iz baze je točka B. Točko B označimo na osi prereza. Na podoben način označimo vstopne in izstopne točke do roba, do »opeke« in do drugega roba. Od točk A in B, pravokotno na os, bomo položili segmente, ki so enaki širini osnove (40 v vsako smer od osi, skupaj 80 mm). Povežimo skrajne točke - dobimo pravokotnik, ki je naravni prerez osnove dela.
Zdaj je čas, da sestavimo kos odseka, ki je del roba dela. Iz točk B in C bomo postavili pravokotnice 5 mm v vsako smer - dobili bomo segmente 10 mm. Povežimo skrajne točke in dobimo odsek rebra.
Iz točk C in D položimo pravokotne segmente, ki so enaki širini "opeke" - popolnoma podobno prvemu primeru te lekcije.
Če odmaknemo navpičnice iz točk D in E, ki so enake širini drugega roba, in povežemo skrajne točke, dobimo naraven pogled na njegov odsek.
Ostaja le brisanje skakalcev med posameznimi elementi nastalega odseka in nanos senčenja. Videti bi moralo nekako takole:
Če sliko razdelimo vzdolž določenega dela, bomo videli naslednji pogled:
Upam, da se ne ustrašite dolgočasnih odstavkov, ki opisujejo algoritem. Če ste prebrali vse zgoraj in še vedno ne razumete popolnoma, kako narisati nagnjen odsek, vam močno svetujem, da vzamete v roke kos papirja in svinčnik ter poskusite ponoviti vse korake za mano – to vam bo skoraj 100 % pomagalo pri učenju snovi.
Enkrat sem obljubil nadaljevanje tega članka. Nazadnje sem vam pripravljen predstaviti postopno konstrukcijo nagnjenega dela dela, ki je bližje ravni domače naloge. Poleg tega je nagnjeni odsek definiran v tretjem pogledu (nagnjeni odsek je definiran v levem pogledu)
oz zapišite našo telefonsko številko in povejte svojim prijateljem o nas - verjetno kdo išče način za dokončanje risb
oz Ustvarite opombo na svoji strani ali blogu o naših lekcijah - in nekdo drug bo lahko obvladal risanje.
Ja, vse je v redu, vendar bi rad videl, kako narediti isto stvar na bolj kompleksnem delu, s posnetimi robovi in stožčasto luknjo, na primer.
Hvala. Ali niso ojačitvena rebra na odsekih šrafirana?
Točno tako. Oni so tisti, ki se ne izležejo. Ker so to splošna pravila za izdelavo rezov. Vendar pa so običajno zasenčeni pri izrezih v aksonometričnih projekcijah - izometrija, dimetrija itd. Pri izdelavi nagnjenih odsekov je osenčeno tudi območje, povezano z ojačitvijo.
Hvala, zelo dostopno. Povejte mi, ali je mogoče narediti nagnjeni del v pogledu od zgoraj ali v levem pogledu? Če je tako, bi rad videl preprost primer.
Možno je izdelati takšne odseke. A na žalost trenutno nimam primera pri roki. In tu je še ena zanimivost: po eni strani tam ni nič novega, po drugi strani pa je v praksi takšne odseke dejansko težje narisati. Iz neznanega razloga se začne vse mešati v glavi in večina študentov ima težave. Ampak ne obupajte!
Ja, vse je v redu, vendar bi rad videl, kako se naredi ista stvar, vendar z luknjami (skozi in ne skozi), sicer se nikoli ne spremenijo v elipso v glavi
pomagaj mi pri kompleksnem problemu
Škoda, da ste tukaj pisali. Če bi nam lahko pisal po e-pošti, bi morda imeli čas, da se pogovorimo o vsem.
Dobro razložiš. Kaj pa, če je ena od stranic dela polkrožna? V delu so tudi luknje.
Ilya, uporabi lekcijo iz razdelka o opisni geometriji "Odsek valja z nagnjeno ravnino." Z njegovo pomočjo lahko ugotovite, kaj storiti z luknjami (tudi te so v bistvu valji) in s polkrožno stranjo.
Zahvaljujem se avtorju za članek! Je kratek in razumljiv. Pred približno 20 leti sem glodal granit znanosti, zdaj pa pomagam svojemu sinu. Veliko sem pozabil, vendar je vaš članek vrnil temeljno razumevanje teme, šel bom ugotoviti nagnjeni del cilindra.
Dodajte svoj komentar.
Danes bomo ponovno pogledali, kako zgradimo presek tetraedra z ravnino.
Oglejmo si najpreprostejši primer (obvezna stopnja), ko 2 točki presečne ravnine pripadata eni ploskvi, tretja točka pa pripada drugi ploskvi.
Naj vas spomnimo algoritem za izdelavo odsekov tega tipa (primer: 2 točki pripadata isti ploskvi).
1. Iščemo ploskev, ki vsebuje 2 točki prerezne ravnine. Skozi dve točki, ki ležita na isti ploskvi, nariši ravno črto. Najdemo točke njegovega presečišča z robovi tetraedra. Del ravne črte, ki se konča v obrazu, je stranica odseka.
2. Če je poligon mogoče zapreti, je odsek zgrajen. Če je nemogoče zapreti, potem poiščemo presečišče konstruirane črte in ravnine, ki vsebuje tretjo točko.
1. Vidimo, da ležita točki E in F na isti ploskvi (BCD), v ravnino (BCD) narišemo premico EF. 
2. Poiščemo presečišče premice EF z robom tetraedra BD, to je točka H.
3. Zdaj morate najti presečišče premice EF in ravnine, ki vsebuje tretjo točko G, tj. letalo (ADC).
Premica CD leži v ravninah (ADC) in (BDC), kar pomeni, da seka premico EF, točka K pa je presečišče premice EF in ravnine (ADC).
4. Nato najdemo še dve točki, ki ležita v isti ravnini. To sta točki G in K, obe ležita v ravnini leve stranske ploskve. Narišemo premico GK in označimo točke, v katerih ta premica seka robove tetraedra. To sta točki M in L.
4. Ostaja še "zapreti" odsek, tj. povezati točke, ki ležijo na isti strani. To sta točki M in H ter tudi L in F. Oba segmenta sta nevidna, narišemo ju s pikčasto črto.
Izkazalo se je, da je presek štirikotnik MHFL. Vsa njegova oglišča ležijo na robovih tetraedra. Izberimo nastali odsek.
Zdaj pa oblikujmo "lastnosti" pravilno sestavljenega odseka:
1. Vsa oglišča mnogokotnika, ki je odsek, ležijo na robovih tetraedra (paralelepipeda, mnogokotnika).
2. Vse stranice odseka ležijo na ploskvah poliedra.
3. Vsaka ploskev mnogokotnika lahko vsebuje največ eno (eno ali nobeno!) stran odseka