Funkcije in grafika. Eksponentna funkcija

Lekcija št.2

Tema: Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf.

Cilj: Preverite kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija"; razvijati spretnosti in zmožnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, naučiti učence uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije; zagotoviti delovno okolje v razredu.

Oprema: tabla, plakati

Obrazec lekcije: razredna ura

Vrsta lekcije: praktični pouk

Vrsta lekcije: lekcija poučevanja spretnosti in spretnosti

Načrt lekcije

1. Organizacijski trenutek

2. Samostojno delo in preverjanje domače naloge

3. Reševanje problemov

4. Povzemanje

5. Domača naloga

Napredek lekcije.

1. Organizacijski trenutek :

zdravo Odprite zvezke, zapišite današnji datum in temo lekcije "Eksponentna funkcija". Danes bomo nadaljevali s preučevanjem eksponentne funkcije, njenih lastnosti in grafa.

2. Samostojno delo in preverjanje domače naloge .

Cilj: preveriti kakovost obvladovanja pojma "eksponentna funkcija" in preveriti opravljen teoretični del domače naloge

metoda: testna naloga, frontalna anketa

Za domačo nalogo ste dobili številke iz nalognice in odstavek iz učbenika. Vašega izvajanja števil iz učbenika zdaj ne bomo preverjali, zvezke pa boste oddali ob koncu ure. Zdaj bomo teorijo preizkusili v obliki majhnega testa. Naloga je enaka za vse: dan vam je seznam funkcij, ugotoviti morate, katere so okvirne (podčrtajte jih). In poleg eksponentne funkcije morate napisati, ali narašča ali pada.

Možnost 1 Odgovori B) D) - eksponentno, padajoče	Možnost 2 Odgovori D) - eksponentno, padajoče D) - eksponentno, naraščajoče
Možnost 3 Odgovori A) - eksponentno, naraščajoče B) - eksponentno, padajoče	Možnost 4 Odgovori A) - eksponentno, padajoče IN) - eksponentno, naraščajoče

Sedaj pa se skupaj spomnimo, katera funkcija se imenuje eksponentna?

Funkcija oblike , kjer je in , se imenuje eksponentna funkcija.

Kakšen je obseg te funkcije?

Vsa realna števila.

Kakšen je obseg eksponentne funkcije?

Vsa pozitivna realna števila.

Zmanjša se, če je osnova potence večja od nič, vendar manjša od ena.

V katerem primeru se eksponentna funkcija zmanjšuje v svojem definicijskem področju?

Narašča, če je osnova potence večja od ena.

3. Reševanje problemov

Tarča: razvijati sposobnosti prepoznavanja eksponentne funkcije, uporabe njenih lastnosti in grafov, naučiti študente uporabljati analitične in grafične oblike zapisa eksponentne funkcije.

Metoda: učiteljeva demonstracija reševanja tipičnih nalog, ustno delo, delo ob tabli, delo v zvezku, pogovor med učiteljem in učenci.

Lastnosti eksponentne funkcije se lahko uporabljajo pri primerjavi dveh ali več števil. Na primer: št. 000. Primerjajte vrednosti in če a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potem je to precej zapleteno delo: morali bi vzeti kubni koren iz 3 in 9 in ju primerjati. Vendar vemo, da se povečuje, to po svoje pomeni, da se z naraščanjem argumenta povečuje vrednost funkcije, to pomeni, da moramo samo primerjati vrednosti argumenta in , očitno je, da (lahko se prikaže na plakatu, ki prikazuje naraščajočo eksponentno funkcijo). In vedno pri reševanju takih primerov najprej določite osnovo eksponentne funkcije, jo primerjate z 1, določite monotonost in nadaljujete s primerjavo argumentov. Pri padajoči funkciji: ko argument narašča, vrednost funkcije pada, zato spremenimo predznak neenakosti, ko preidemo iz neenakosti argumentov v neenakost funkcij. Nato ustno rešujemo: b)

-

IN)

-

G)

-

- Št. 000. Primerjaj številki: a) in

Zato se funkcija poveča, potem

Zakaj?

Povečanje delovanja in

Torej se funkcija zmanjšuje

Obe funkciji naraščata skozi celotno domeno definicije, saj sta eksponentni z bazo moči, večjo od ena.

Kakšen pomen je za tem?

Gradimo grafe:

Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Katera funkcija se hitreje zmanjša pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprej poglejmo obseg definicije teh funkcij. Ali sovpadajo?

Da, domena teh funkcij so vsa realna števila.

Poimenujte obseg vsake od teh funkcij.

Območja teh funkcij sovpadajo: vsa pozitivna realna števila.

Določite vrsto monotonosti vsake funkcije.

Vse tri funkcije padajo skozi celotno definicijsko področje, saj so eksponentne z osnovo potenc, manjših od ena in večjih od nič.

Katera posebna točka obstaja na grafu eksponentne funkcije?

Kakšen pomen je za tem?

Ne glede na osnovo stopnje eksponentne funkcije, če eksponent vsebuje 0, potem je vrednost te funkcije 1.

Gradimo grafe:

Analizirajmo grafe. Koliko presečišč imata grafa funkcij?

Katera funkcija se hitreje zmanjša pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Katera funkcija se poveča hitreje pri stremljenju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

Na intervalu, katera od funkcij ima v določeni točki večjo vrednost?

Zakaj imajo eksponentne funkcije z različnimi bazami samo eno presečišče?

Eksponentne funkcije so strogo monotone v celotnem območju definicije, zato se lahko sekajo le v eni točki.

Naslednja naloga se bo osredotočila na uporabo te lastnosti. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na danem intervalu a) . Spomnimo se, da strogo monotona funkcija zavzame najmanjšo in največjo vrednost na koncu danega segmenta. In če funkcija narašča, bo njena največja vrednost na desnem koncu segmenta, najmanjša pa na levem koncu segmenta (demonstracija na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Če je funkcija padajoča, bo njena največja vrednost na levem koncu odseka, najmanjša pa na desnem koncu odseka (prikaz na plakatu na primeru eksponentne funkcije). Funkcija narašča, ker bo zato najmanjša vrednost funkcije v točki https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Točke b) , V) d) sami rešite zvezke, ustno jih bomo preverili.

Učenci nalogo rešijo v zvezkih

Zmanjševanje funkcije

Zmanjševanje funkcije največja vrednost funkcije na segmentu najmanjša vrednost funkcije na segmentu

Povečanje funkcije najmanjša vrednost funkcije na segmentu največja vrednost funkcije na segmentu

- št. 000. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na danem intervalu a) . Ta naloga je skoraj enaka prejšnji. Toda tukaj ni odsek, ampak žarek. Vemo, da funkcija narašča in nima niti največje niti najmanjše vrednosti na celotni številski premici https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, in teži k , tj. na žarku funkcija pri teži k 0, vendar nima najmanjše vrednosti, ima pa največjo vrednost v točki . Točke b) , V) , G) zvezke rešite sami, preverjali jih bomo ustno.

1. Eksponentna funkcija je funkcija oblike y(x) = a x, odvisna od eksponenta x, s konstantno vrednostjo osnove stopnje a, kjer je a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množica realnih števil).

Razmislimo graf funkcije, če baza ne izpolnjuje pogoja: a>0
a) a< 0
Če a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Če je a = 0, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 0

c) a =1
Če je a = 1, je funkcija y = definirana in ima konstantno vrednost 1

2. Oglejmo si podrobneje eksponentno funkcijo:

0

Funkcijska domena (DOF)

Razpon dovoljenih funkcijskih vrednosti (APV)

3. Ničle funkcije (y = 0)

4. Presečišča z ordinatno osjo oy (x = 0)

5. Naraščajoče, padajoče funkcije

Če , potem funkcija f(x) narašča
Če , potem funkcija f(x) pada
Funkcija y= , pri 0 Funkcija y = pri a> 1 monotono narašča
To izhaja iz lastnosti monotonosti potence z realnim eksponentom.

6. Soda, liha funkcija

Funkcija y = ni simetrična glede na os 0y in glede na izhodišče koordinat, zato ni niti soda niti liha. (Splošna funkcija)

7. Funkcija y = nima ekstremov

8. Lastnosti stopnje z realnim eksponentom:

Naj bo a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Potem za xϵR; yϵR:

Lastnosti stopnje monotonosti:

če, potem
Na primer:

Če je a> 0, potem .
Eksponentna funkcija je zvezna v kateri koli točki ϵ R.

9. Relativni položaj funkcije

Čim večja je osnova a, tem bližje osema x in oy

a > 1, a = 20

Če je a0, ima eksponentna funkcija obliko, ki je blizu y = 0.
Če je a1, potem dlje od osi ox in oy in graf dobi obliko, ki je blizu funkciji y = 1.

Primer 1.
Zgradite graf za y =

Reševanje večine matematičnih problemov na tak ali drugačen način vključuje pretvorbo numeričnih, algebrskih ali funkcionalnih izrazov. Navedeno velja predvsem za odločitev. V različicah enotnega državnega izpita iz matematike ta vrsta problema vključuje zlasti nalogo C3. Naučiti se reševati naloge C3 je pomembno ne le zaradi uspešnega opravljanja enotnega državnega izpita, ampak tudi zato, ker bo ta veščina uporabna pri študiju tečaja matematike v srednji šoli.

Pri reševanju nalog C3 morate rešiti različne vrste enačb in neenačb. Med njimi so racionalni, iracionalni, eksponentni, logaritmični, trigonometrični, ki vsebujejo module (absolutne vrednosti), pa tudi kombinirani. Ta članek obravnava glavne vrste eksponentnih enačb in neenačb ter različne metode za njihovo reševanje. Preberite o reševanju drugih vrst enačb in neenačb v razdelku »« v člankih, posvečenih metodam reševanja problemov C3 iz Enotnega državnega izpita iz matematike.

Preden začnemo analizirati specifične eksponentne enačbe in neenačbe, kot mentorica matematike predlagam, da obnovite nekaj teoretičnega gradiva, ki ga bomo potrebovali.

Eksponentna funkcija

Kaj je eksponentna funkcija?

Funkcija obrazca l = a x, Kje a> 0 in a≠ 1 se imenuje eksponentna funkcija.

Osnovno lastnosti eksponentne funkcije l = a x:

Graf eksponentne funkcije

Graf eksponentne funkcije je eksponent:

Grafi eksponentnih funkcij (eksponenti)

Reševanje eksponentnih enačb

Indikativno imenujemo enačbe, v katerih se neznana spremenljivka nahaja le v eksponentih nekaterih potenc.

Rešiti eksponentne enačbe poznati in znati morate uporabiti naslednji preprost izrek:

1. izrek. Eksponentna enačba a f(x) = a g(x) (Kje a > 0, a≠ 1) je enakovredna enačbi f(x) = g(x).

Poleg tega si je koristno zapomniti osnovne formule in operacije s stopnjami:

Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}

Primer 1. Reši enačbo:

rešitev: Uporabljamo zgornje formule in zamenjavo:

Enačba potem postane:

Diskriminanta dobljene kvadratne enačbe je pozitivna:

Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}

To pomeni, da ima ta enačba dva korena. Najdemo jih:

Če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Druga enačba je brez korenov, saj je eksponentna funkcija strogo pozitivna skozi celotno domeno definicije. Rešimo drugo:

Ob upoštevanju povedanega v izreku 1 preidemo na ekvivalentno enačbo: x= 3. To bo odgovor na nalogo.

odgovor: x = 3.

Primer 2. Reši enačbo:

rešitev: Enačba nima omejitev glede obsega dovoljenih vrednosti, saj je radikalni izraz smiseln za vsako vrednost x(eksponentna funkcija l = 9 4 -x pozitivno in ni enako nič).

Enačbo rešimo z ekvivalentnimi transformacijami po pravilih množenja in deljenja potenc:

Zadnji prehod je bil izveden v skladu s teoremom 1.

odgovor:x= 6.

Primer 3. Reši enačbo:

rešitev: obe strani prvotne enačbe lahko delimo z 0,2 x. Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz večji od nič za katero koli vrednost x(eksponentna funkcija je strogo pozitivna v svoji definicijski domeni). Nato ima enačba obliko:

odgovor: x = 0.

Primer 4. Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo na elementarno z ekvivalentnimi transformacijami z uporabo pravil deljenja in množenja potenc, navedenih na začetku članka:

Obe strani enačbe delimo s 4 x, kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni enak nič za nobeno vrednost x.

odgovor: x = 0.

Primer 5. Reši enačbo:

rešitev: funkcijo l = 3x, ki stoji na levi strani enačbe, narašča. funkcija l = —x-2/3 na desni strani enačbe se zmanjšuje. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekajo, potem največ ena točka. V tem primeru je enostavno uganiti, da se grafa sekata v točki x= -1. Drugih korenin ne bo.

odgovor: x = -1.

Primer 6. Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo z ekvivalentnimi transformacijami, pri čemer povsod upoštevamo, da je eksponentna funkcija strogo večja od nič za vsako vrednost x in z uporabo pravil za izračun zmnožka in kvocienta potenc, podanih na začetku članka:

odgovor: x = 2.

Reševanje eksponentnih neenačb

Indikativno imenujemo neenačbe, v katerih je neznana spremenljivka vsebovana samo v eksponentih nekaterih potenc.

Rešiti eksponentne neenakosti potrebno je poznavanje naslednjega izreka:

2. izrek.če a> 1, potem neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti istega pomena: f(x) > g(x). Če je 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti nasprotnega pomena: f(x) < g(x).

Primer 7. Reši neenačbo:

rešitev: Predstavimo izvirno neenakost v obliki:

Delimo obe strani te neenakosti s 3 2 x, v tem primeru (zaradi pozitivnosti funkcije l= 3 2x) znak neenakosti se ne spremeni:

Uporabimo zamenjavo:

Potem bo neenakost v obliki:

Torej je rešitev neenakosti interval:

če preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije je leva neenakost izpolnjena samodejno. Z dobro znano lastnostjo logaritma preidemo na ekvivalentno neenakost:

Ker je osnova stopnje število, večje od ena, je enakovreden (po izreku 2) prehod na naslednjo neenakost:

Torej, končno smo dobili odgovor:

Primer 8. Reši neenačbo:

rešitev: Z uporabo lastnosti množenja in deljenja potenc neenakost prepišemo v obliki:

Predstavimo novo spremenljivko:

Ob upoštevanju te zamenjave ima neenakost obliko:

Če pomnožimo števec in imenovalec ulomka s 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:

Torej, naslednje vrednosti spremenljivke izpolnjujejo neenakost t:

Potem, ko preidemo na obratno zamenjavo, dobimo:

Ker je osnova stopnje tukaj večja od ena, bo prehod na neenakost enakovreden (po izreku 2):

Končno dobimo odgovor:

Primer 9. Reši neenačbo:

rešitev:

Obe strani neenakosti delimo z izrazom:

Vedno je večji od nič (zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije), zato predznaka neenakosti ni treba spreminjati. Dobimo:

t, ki se nahaja v intervalu:

Če nadaljujemo z obratno zamenjavo, ugotovimo, da se prvotna neenakost razdeli na dva primera:

Prva neenačba zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije nima rešitev. Rešimo drugo:

Primer 10. Reši neenačbo:

rešitev:

Veje parabole l = 2x+2-x 2 je usmerjena navzdol, zato je od zgoraj omejena z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Veje parabole l = x 2 -2x+2 v indikatorju je usmerjen navzgor, kar pomeni, da je od spodaj omejen z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Hkrati se izkaže, da je funkcija omejena tudi od spodaj l = 3 x 2 -2x+2, kar je na desni strani enačbe. Svojo najmanjšo vrednost doseže na isti točki kot parabola v eksponentu in ta vrednost je 3 1 = 3. Torej je prvotna neenakost lahko resnična le, če funkcija na levi in ​​funkcija na desni prevzameta vrednost , enako 3 (sečišče obsegov vrednosti teh funkcij je samo to število). Ta pogoj je izpolnjen v eni sami točki x = 1.

odgovor: x= 1.

Da bi se naučil odločati eksponentne enačbe in neenačbe, v njihovem reševanju se je treba nenehno uriti. Pri tej težki nalogi vam lahko pomagajo različni učni pripomočki, naloge za osnovno matematiko, zbirke tekmovalnih nalog, ure matematike v šoli, pa tudi individualne ure s strokovnim mentorjem. Iskreno vam želim uspešno pripravo in odlične rezultate na izpitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gostje! Prosimo, da v komentarjih ne pišete prošenj za rešitev vaših enačb. Na žalost nimam čisto nič časa za to. Takšna sporočila bodo izbrisana. Preberite članek. Morda boste v njej našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da bi sami rešili svojo nalogo.

Najprej predstavimo definicijo eksponentne funkcije.

Eksponentna funkcija $f\left(x\desno)=a^x$, kjer je $a >1$.

Predstavimo lastnosti eksponentne funkcije za $a >1$.

\ \[brez korenin\] \

Presek s koordinatnimi osemi. Funkcija ne seka osi $Ox$, ampak seka os $Oy$ v točki $(0,1)$.

$f""\levo(x\desno)=(\levo(a^xlna\desno))"=a^x(ln)^2a$

\ \[brez korenin\] \

Graf (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije $f\left(x\desno)=a^x,\ za\ a >1$.

Eksponentna funkcija $f\left(x\right)=a^x$, kjer je $0

Predstavimo lastnosti eksponentne funkcije pri $0

Domena definicije so vsa realna števila.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcija ni niti soda niti liha.

$f(x)$ je zvezen v celotni domeni definicije.

Razpon vrednosti je interval $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\levo(a^x\desno)"=a^xlna$

\ \[brez korenin\] \ \[brez korenin\] \

Funkcija je konveksna na celotnem definicijskem področju.

Obnašanje na koncih domene:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Graf (slika 2).

Primer težave za konstruiranje eksponentne funkcije

Raziščite in narišite funkcijo $y=2^x+3$.

rešitev.

Izvedimo raziskavo z zgornjim primerom diagrama:

Domena definicije so vsa realna števila.

$f\left(-x\desno)=2^(-x)+3$ -- funkcija ni niti soda niti liha.

$f(x)$ je zvezen v celotni domeni definicije.

Razpon vrednosti je interval $(3,+\infty)$.

$f"\levo(x\desno)=(\levo(2^x+3\desno))"=2^xln2>0$

Funkcija narašča na celotnem področju definicije.

$f(x)\ge 0$ skozi celotno domeno definicije.

Presek s koordinatnimi osemi. Funkcija ne seka osi $Ox$, ampak seka os $Oy$ v točki ($0,4)$

$f""\levo(x\desno)=(\levo(2^xln2\desno))"=2^x(ln)^22>0$

Funkcija je konveksna na celotnem definicijskem področju.

Obnašanje na koncih domene:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Graf (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\left(x\desno)=2^x+3$

Hipermarket znanja >>Matematika >>Matematika 10. razred >>

Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf

Razmislimo o izrazu 2x in poiščemo njegove vrednosti za različne racionalne vrednosti spremenljivke x, na primer za x = 2;

Na splošno lahko ne glede na to, kakšen racionalen pomen pripišemo spremenljivki x, vedno izračunamo ustrezno številsko vrednost izraza 2 x. Tako lahko govorimo o eksponentnem funkcije y=2 x, definirana na množici Q racionalnih števil:

Oglejmo si nekaj lastnosti te funkcije.

Lastnost 1.- povečanje funkcije. Dokaz izvajamo v dveh fazah.
Prva stopnja. Dokažimo, da če je r pozitivno racionalno število, potem je 2 r >1.
Možna sta dva primera: 1) r je naravno število, r = n; 2) navadni ireduktibilni ulomek,

Na levi strani zadnje neenačbe imamo , na desni pa 1. To pomeni, da lahko zadnjo neenačbo prepišemo v obliki

Torej v vsakem primeru velja neenakost 2 r > 1, kar je bilo treba dokazati.

Druga stopnja. Naj sta x 1 in x 2 števili ter x 1 in x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(razliko x 2 - x 1 smo označili s črko r).

Ker je r pozitivno racionalno število, je s tem, kar smo dokazali na prvi stopnji, 2 r > 1, tj. 2 r -1 >0. Tudi število 2x" je pozitivno, kar pomeni, da je pozitiven tudi produkt 2 x-1 (2 Г -1). Tako smo dokazali, da neenakost 2 Xg -2x" >0.

Torej, iz neenakosti x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Lastnost 2. omejeno od spodaj in ne omejeno od zgoraj.
Omejenost funkcije od spodaj izhaja iz neenakosti 2 x >0, ki velja za poljubne vrednosti x iz domene definicije funkcije. Hkrati lahko ne glede na to, katero pozitivno število M vzamete, vedno izberete eksponent x, tako da bo izpolnjena neenakost 2 x >M - kar označuje neomejenost funkcije od zgoraj. Naj navedemo številne primere.

Nepremičnina 3. nima niti najmanjše niti največje vrednosti.

Da ta funkcija ni najbolj pomembna, je očitno, saj, kot smo pravkar videli, zgoraj ni omejena. Vendar je omejen od spodaj, zakaj nima minimalne vrednosti?

Predpostavimo, da je 2 r najmanjša vrednost funkcije (r je nek racionalni indikator). Vzemimo racionalno število q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Vse to je dobro, pravite, toda zakaj funkcijo y-2 x obravnavamo le na množici racionalnih števil, zakaj je ne obravnavamo kot druge znane funkcije na celotni številski premici ali na nekem zveznem intervalu številska premica? Kaj nas ustavlja? Razmislimo o situaciji.

Številska premica vsebuje ne le racionalna, ampak tudi iracionalna števila. Za prej proučene funkcije nas to ni motilo. Na primer, vrednosti funkcije y = x2 smo našli enako enostavno tako za racionalne kot za iracionalne vrednosti x: dovolj je bilo, da smo kvadrirali dano vrednost x.

Toda s funkcijo y=2 x je situacija bolj zapletena. Če argumentu x damo racionalen pomen, potem je x načeloma mogoče izračunati (vrnite se spet na začetek odstavka, kjer smo naredili točno to). Kaj pa, če dobi argument x iracionalen pomen? Kako na primer izračunati? Tega še ne vemo.
Matematiki so našli izhod; tako so razmišljali.

Znano je, da Razmislite o zaporedju racionalnih števil - decimalnih približkih števila po pomanjkljivostih:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Jasno je, da je 1,732 = 1,7320 in 1,732050 = 1,73205. Da bi se izognili takim ponavljanjem, zavržemo tiste člene zaporedja, ki se končajo s številko 0.

Nato dobimo naraščajoče zaporedje:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

V skladu s tem se zaporedje poveča

Vsi členi tega zaporedja so pozitivna števila, manjša od 22, tj. to zaporedje je omejeno. Po Weierstrassovem izreku (glej § 30) če je zaporedje naraščajoče in omejeno, potem konvergira. Poleg tega iz § 30 vemo, da če zaporedje konvergira, konvergira le do ene meje. Dogovorjeno je bilo, da se ta enotna meja šteje za vrednost numeričnega izraza. In ni pomembno, da je zelo težko najti celo približno vrednost številskega izraza 2; pomembno je, da je to določeno število (navsezadnje se nismo bali reči, da je npr. koren racionalne enačbe, koren trigonometrične enačbe, ne da bi zares razmišljali o tem, kaj točno so te številke:
Tako smo ugotovili, kakšen pomen matematiki vlagajo v simbol 2^. Podobno lahko določite, kaj in na splošno, kaj je a, kjer je a iracionalno število in a > 1.
Ampak kaj če 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Zdaj lahko govorimo ne le o potencah s poljubnimi racionalnimi eksponenti, ampak tudi o potencah s poljubnimi realnimi eksponenti. Dokazano je, da imajo stopnje s poljubnimi realnimi eksponenti vse običajne lastnosti stopenj: pri množenju potenc z enakimi osnovami se eksponenti seštevajo, pri deljenju se odštevajo, pri dvigovanju stopnje na potenco se množijo, itd. Najpomembneje pa je, da zdaj lahko govorimo o funkciji y-ax, definirani na množici vseh realnih števil.
Vrnimo se k funkciji y = 2 x in zgradimo njen graf. Če želite to narediti, ustvarimo tabelo funkcijskih vrednosti y=2x:

Označimo točke na koordinatni ravnini (slika 194), označujejo določeno premico, jo narišemo (slika 195).

Lastnosti funkcije y - 2 x:
1)
2) ni niti sodo niti liho; 248
3) poveča;

5) nima ne največjih ne najmanjših vrednosti;
6) neprekinjeno;
7)
8) konveksno navzdol.

Strogi dokazi naštetih lastnosti funkcije y-2 x so podani pri predmetu višje matematike. O nekaterih od teh lastnosti smo do neke mere razpravljali že prej, nekatere od njih so jasno prikazane s sestavljenim grafom (glej sliko 195). Na primer, pomanjkanje paritete ali lihosti funkcije je geometrijsko povezano s pomanjkanjem simetrije grafa glede na os y oziroma glede na izvor.

Vsaka funkcija oblike y = a x, kjer je a > 1, ima podobne lastnosti. Na sl. 196 v enem koordinatnem sistemu so bili zgrajeni grafi funkcij y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Zdaj razmislimo o funkciji in ustvarimo tabelo vrednosti zanjo:

Označimo točke na koordinatni ravnini (slika 197), označujejo določeno premico, jo narišemo (slika 198).

Funkcijske lastnosti

1)
2) ni niti sodo niti liho;
3) zmanjša;
4) ni omejeno od zgoraj, omejeno od spodaj;
5) ni niti največje niti najmanjše vrednosti;
6) neprekinjeno;
7)
8) konveksno navzdol.
Vsaka funkcija oblike y=a x, kjer je O, ima podobne lastnosti<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Prosimo, upoštevajte: funkcijski grafi tiste. y=2 x, simetrično glede na os y (slika 201). To je posledica splošne trditve (glej § 13): grafa funkcij y = f(x) in y = f(-x) sta simetrična glede na os y. Podobno so grafi funkcij y = 3 x in

Če povzamemo povedano, bomo podali definicijo eksponentne funkcije in izpostavili njene najpomembnejše lastnosti.

Opredelitev. Funkcijo oblike imenujemo eksponentna funkcija.
Osnovne lastnosti eksponentne funkcije y = a x

Graf funkcije y=a x za a> 1 je prikazan na sl. 201 in za 0<а < 1 - на рис. 202.

Krivulja, prikazana na sl. 201 ali 202 se imenuje eksponent. Pravzaprav matematiki samo eksponentno funkcijo običajno imenujejo y = a x. Torej se izraz "eksponent" uporablja v dveh pomenih: za poimenovanje eksponentne funkcije in za poimenovanje grafa eksponentne funkcije. Ponavadi je pomen jasen, ne glede na to, ali govorimo o eksponentni funkciji ali njenem grafu.

Bodite pozorni na geometrijsko značilnost grafa eksponentne funkcije y=ax: os x je vodoravna asimptota grafa. Res je, ta izjava se običajno pojasni na naslednji način.
Os x je vodoravna asimptota grafa funkcije

Z drugimi besedami

Prva pomembna opomba. Šolarji pogosto zamenjujejo izraze: potenčna funkcija, eksponentna funkcija. Primerjaj:

To so primeri potenčnih funkcij;

To so primeri eksponentnih funkcij.

Na splošno je y = x r, kjer je r določeno število, potenčna funkcija (argument x je v osnovi stopnje);
y = a", kjer je a določeno število (pozitivno in različno od 1), je eksponentna funkcija (argument x je vsebovan v eksponentu).

"Eksotična" funkcija, kot je y = x", se ne šteje niti za eksponentno niti za potenco (včasih jo imenujemo eksponentna).

Druga pomembna opomba. Običajno ne upoštevamo eksponentne funkcije z osnovo a = 1 ali z osnovo a, ki izpolnjuje neenakost a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 in a Dejstvo je, da če je a = 1, potem za vsako vrednost x velja enakost Ix = 1. Tako se eksponentna funkcija y = a" z a = 1 "degenerira" v konstantno funkcijo y = 1 - to. ni zanimivo. Če je a = 0, potem je 0x = 0 za katero koli pozitivno vrednost x, torej dobimo funkcijo y = 0, definirano za x > 0 - tudi to je nezanimivo. Če je končno a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Preden nadaljujete z reševanjem primerov, upoštevajte, da se eksponentna funkcija bistveno razlikuje od vseh funkcij, ki ste jih do sedaj preučevali. Če želite temeljito preučiti nov predmet, ga morate obravnavati z različnih zornih kotov, v različnih situacijah, zato bo veliko primerov.
Primer 1.

rešitev, a) Ko zgradimo grafa funkcij y = 2 x in y = 1 v enem koordinatnem sistemu, opazimo (slika 203), da imata eno skupno točko (0; 1). To pomeni, da ima enačba 2x = 1 en sam koren x = 0.

Torej iz enačbe 2x = 2° dobimo x = 0.

b) Ko zgradimo grafa funkcij y = 2 x in y = 4 v enem koordinatnem sistemu, opazimo (slika 203), da imata eno skupno točko (2; 4). To pomeni, da ima enačba 2x = 4 en sam koren x = 2.

Torej iz enačbe 2 x =2 2 dobimo x=2.

c) in d) Na podlagi istih premislekov sklepamo, da ima enačba 2 x = 8 en sam koren in da ga najdemo, ni treba graditi grafov ustreznih funkcij;

jasno je, da je x = 3, saj je 2 3 = 8. Podobno najdemo edini koren enačbe

Torej, iz enačbe 2x = 2 3 smo dobili x = 3, iz enačbe 2 x = 2 x pa smo dobili x = -4.
e) Graf funkcije y = 2 x se nahaja nad grafom funkcije y = 1 za x > 0 - to je jasno berljivo na sl. 203. To pomeni, da je rešitev neenačbe 2x > 1 interval
f) Graf funkcije y = 2 x se nahaja pod grafom funkcije y = 4 pri x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Verjetno ste opazili, da je bila osnova za vse zaključke pri reševanju primera 1 lastnost monotonosti (naraščanja) funkcije y = 2 x. Podobno razmišljanje nam omogoča, da preverimo veljavnost naslednjih dveh izrekov.

rešitev. Lahko nadaljujete takole: zgradite graf funkcije y-3 x, nato ga raztegnite od osi x za faktor 3 in nato dvignite dobljeni graf za 2 merilni enoti. Toda bolj priročno je uporabiti dejstvo, da je 3- 3* = 3 * + 1, in zato zgraditi graf funkcije y = 3 x * 1 + 2.

Pojdimo, kot smo že večkrat v takih primerih, na pomožni koordinatni sistem z izhodiščem v točki (-1; 2) - pikčasti črti x = - 1 in 1x = 2 na sl. 207. "Povežimo" funkcijo y=3* z novim koordinatnim sistemom. Če želite to narediti, izberite kontrolne točke za funkcijo , vendar jih ne bomo zgradili v starem, ampak v novem koordinatnem sistemu (te točke so označene na sliki 207). Nato bomo iz točk zgradili eksponent - to bo zahtevani graf (glej sliko 207).
Da bi našli največjo in najmanjšo vrednost dane funkcije na segmentu [-2, 2], izkoristimo dejstvo, da dana funkcija narašča in zato zavzame svojo najmanjšo oziroma največjo vrednost pri levi in ​​desni konec segmenta.
Torej:

Primer 4. Reši enačbo in neenačbe:

rešitev, a) Izdelajmo grafa funkcij y=5* in y=6-x v enem koordinatnem sistemu (slika 208). Sekajo se v eni točki; po risbi sodeč je to točka (1; 5). Preverjanje pokaže, da dejansko točka (1; 5) zadovoljuje tako enačbo y = 5* kot tudi enačbo y = 6-x. Abscisa te točke služi kot edini koren dane enačbe.

Torej ima enačba 5 x = 6 - x en sam koren x = 1.

b) in c) Eksponent y-5x leži nad premico y=6-x, če je x>1, je to jasno vidno na sl. 208. To pomeni, da lahko rešitev neenačbe 5*>6's zapišemo takole: x>1. In rešitev neenačbe 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Odgovor: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.

Primer 5. Glede na funkcijo Dokaži to
rešitev. Glede na stanje, ki ga imamo.