In stari Egipčani so uporabljali metode za izračun površin različnih figur, podobne našim metodam.
V mojih knjigah "Začetki" Slavni starogrški matematik Evklid je opisal dokaj veliko načinov za izračun površin številnih geometrijskih likov. Prvi rokopisi v Rusiji, ki vsebujejo geometrijske informacije, so bili napisani v 16. stoletju. Opisujejo pravila za iskanje ploščin likov različnih oblik.
Danes lahko z uporabo sodobnih metod z veliko natančnostjo najdete območje katere koli figure.
Razmislimo o eni najpreprostejših figur - pravokotniku - in formuli za iskanje njegove površine.
Formula za površino pravokotnika
Oglejmo si sliko (slika 1), ki je sestavljena iz $8$ kvadratov s stranicami $1$ cm. Ploščino enega kvadrata s stranico $1$ cm imenujemo kvadratni centimeter in ga zapišemo $1\ cm^2. $.
Površina te figure (slika 1) bo enaka $8\cm^2$.
Površina figure, ki jo lahko razdelimo na več kvadratov s stranico $1\ cm$ (na primer $p$), bo enaka $p\ cm^2$.
Z drugimi besedami, površina figure bo enaka toliko $cm^2$, na koliko kvadratov s stranico $1\ cm$ lahko razdelimo ta lik.
Oglejmo si pravokotnik (slika 2), ki je sestavljen iz $3$ črt, od katerih je vsaka razdeljena na $5$ kvadratov s stranico $1\ cm$. celoten pravokotnik je sestavljen iz $5\cdot 3=15$ takih kvadratov, njegova ploščina pa je $15\cm^2$.
Slika 1.
Slika 2.
Območje številk je običajno označeno s črko $S$.
Če želite najti površino pravokotnika, morate njegovo dolžino pomnožiti s širino.
Če njegovo dolžino označimo s črko $a$, širino pa s črko $b$, potem bo formula za površino pravokotnika videti takole:
Definicija 1
Številke se imenujejo enakače številke sovpadajo, ko se nanesejo ena na drugo. Enake figure imajo enake ploščine in enak obseg.
Območje figure je mogoče najti kot vsoto površin njegovih delov.
Primer 1
Na sliki $3$ je na primer pravokotnik $ABCD$ razdeljen na dva dela s črto $KLMN$. Ploščina enega dela je $12\ cm^2$, drugega pa $9\ cm^2$. Potem bo ploščina pravokotnika $ABCD$ enaka $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Poiščite površino pravokotnika s formulo:
Kot lahko vidite, sta območja, najdena z obema metodama, enaka.
Slika 3.
Slika 4.
Odsek $AC$ deli pravokotnik na dva enaka trikotnika: $ABC$ in $ADC$. To pomeni, da je površina vsakega trikotnika enaka polovici površine celotnega pravokotnika.
Definicija 2
Pravokotnik z enakimi stranicami se imenuje kvadrat.
Če stran kvadrata označimo s črko $a$, bo površina kvadrata najdena po formuli:
Od tod tudi imenski kvadrat števila $a$.
Primer 2
Na primer, če je stranica kvadrata $5$ cm, potem je njegova ploščina:
Zvezki
Z razvojem trgovine in gradbeništva v času starih civilizacij se je pojavila potreba po iskanju količin. V matematiki obstaja veja geometrije, ki se ukvarja s proučevanjem prostorskih likov, imenovana stereometrija. Omembe te ločene veje matematike so bile najdene že v $IV$ stoletju pr.
Starodavni matematiki so razvili metodo za izračun prostornine preprostih figur - kocke in paralelepipeda. Vse stavbe tistega časa so bile takšne oblike. Kasneje pa so bile odkrite metode za izračun prostornine figur bolj zapletenih oblik.
Prostornina pravokotnega paralelepipeda
Če kalup napolnite z mokrim peskom in ga nato obrnete, boste dobili tridimenzionalno figuro, za katero je značilen volumen. Če naredite več takih figur po istem kalupu, boste dobili figure enake prostornine. Če kalup napolnite z vodo, bosta tudi prostornina vode in prostornina peščene figure enaki.
Slika 5.
Prostornini dveh posod lahko primerjaš tako, da eno napolniš z vodo in jo natočiš v drugo. Če je druga posoda popolnoma napolnjena, sta posodi enaki prostornini. Če voda ostane v prvi, potem je prostornina prve posode večja od prostornine druge. Če pri izlivanju vode iz prve posode druge posode ni mogoče popolnoma napolniti, je prostornina prve posode manjša od prostornine druge.
Prostornina se meri z uporabo naslednjih enot:
$mm^3$ -- kubični milimeter,
$cm^3$ -- kubični centimeter,
$dm^3$ -- kubični decimeter,
$m^3$ -- kubični meter,
$km^3$ -- kubični kilometer.
Splošni pregled. Stereometrične formule!
Pozdravljeni, dragi prijatelji! V tem članku sem se odločil narediti splošen pregled težav v stereometriji, ki bodo na voljo Enotni državni izpit iz matematike e. Povedati je treba, da so naloge iz te skupine precej raznolike, a ne težke. To so naloge za iskanje geometrijskih veličin: dolžine, koti, ploščine, prostornine.
Upoštevani: kocka, kvader, prizma, piramida, sestavljeni polieder, valj, stožec, krogla. Žalostno dejstvo je, da se nekateri maturanti tovrstnih problemov sploh ne lotijo na samem izpitu, čeprav jih več kot 50% rešijo preprosto, skoraj ustno.
Ostalo zahteva malo truda, znanja in posebnih tehnik. V prihodnjih člankih bomo upoštevali te naloge, ne zamudite, naročite se na posodobitve spletnega dnevnika.
Za rešitev morate vedeti formule za površine in prostornine paralelopiped, piramida, prizma, valj, stožec in krogla. Ni težkih problemov, vsi se rešijo v 2-3 korakih, pomembno je "videti", katero formulo je treba uporabiti.
Vse potrebne formule so predstavljene spodaj:
Žoga ali krogla. Krogla ali sferična ploskev (včasih preprosto krogla) je geometrično mesto točk v prostoru, ki so enako oddaljene od ene točke - središča krogle.
Volumen žoge enaka prostornini piramide, katere osnova ima enako ploščino kot površina krogle, višina pa je polmer krogle
Prostornina krogle je eninpolkrat manjša od prostornine okrog nje opisanega valja.
Krožni stožec lahko dobimo tako, da pravokotni trikotnik zavrtimo okoli enega od njegovih krakov, zato se krožnemu stožcu reče tudi vrtilni stožec. Glej tudi Površina krožnega stožca
Prostornina okroglega stožca enak tretjini zmnožka osnovne ploskve S in višine H:
(H je višina roba kocke)
Paralelepiped je prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped ima šest ploskev in vse so paralelogrami. Paralelepiped, katerega štiri stranske ploskve so pravokotniki, se imenuje ravni paralelopiped. Pravilni paralelepiped, katerega šest ploskev je pravokotnikov, se imenuje pravokotnik.
Prostornina pravokotnega paralelepipeda enak zmnožku površine osnove in višine:
(S je površina osnove piramide, h je višina piramide)
Piramida je polieder, ki ima eno ploskev - osnovo piramide - poljuben mnogokotnik, ostalo pa stranske ploskve - trikotnike s skupnim vrhom, imenovanim vrh piramide.
Odsek, ki je vzporeden z vznožjem piramide, deli piramido na dva dela. Del piramide med njenim vznožjem in tem delom je prisekana piramida.
Prostornina prisekane piramide enak tretjini produkta višine h (OS) z vsoto ploščin zgornje baze S1 (abcde), spodnja osnova prisekane piramide S2 (ABCDE) in povprečni proporcionalni delež med njima.
| 1. | V= |
n - število strani pravilnega mnogokotnika - osnove pravilne piramide
a - stranica pravilnega mnogokotnika - osnova pravilne piramide
h - višina pravilne piramide
Pravilna trikotna piramida je polieder, ki ima eno ploskev - osnovo piramide - pravilni trikotnik, ostale stranske ploskve pa enake trikotnike s skupnim vrhom. Višina se z vrha spusti do središča podnožja.
Prostornina pravilne trikotne piramide enak tretjini produkta površine pravilnega trikotnika, ki je osnova S (ABC) do višine h (OS)
a - stranica pravilnega trikotnika - osnova pravilne trikotne piramide
h - višina pravilne trikotne piramide
Izpeljava formule za prostornino tetraedra
Prostornina tetraedra se izračuna po klasični formuli za prostornino piramide. Treba je nadomestiti višino tetraedra in površino pravilnega (enakostraničnega) trikotnika.
Prostornina tetraedra- je enako ulomku, v števcu katerega je kvadratni koren iz dva v imenovalcu dvanajst, pomnožen s kubom dolžine roba tetraedra
(h je dolžina stranice romba)
Obseg str je približno tri cele in ena sedmina dolžine premera kroga. Natančno razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom je označeno z grško črko π
Posledično se obseg kroga ali obsega izračuna po formuli
| π r n |
(r je polmer loka, n je središčni kot loka v stopinjah.)
Vsako geometrijsko telo lahko označimo s površino (S) in prostornino (V). Površina in prostornina sploh nista ista stvar. Predmet ima lahko relativno majhno črko V in veliko črko S, na primer, tako delujejo človeški možgani. Te kazalnike je veliko lažje izračunati za preproste geometrijske oblike.
Paralelepiped: definicija, vrste in lastnosti
Paralelepiped je štirikotna prizma s paralelogramom na dnu. Zakaj morda potrebujete formulo za iskanje prostornine figure? Podobno obliko imajo knjige, embalažne škatle in še marsikaj iz vsakdanjega življenja. Prostori v stanovanjskih in poslovnih stavbah so običajno pravokotni paralelopipedi. Za vgradnjo prezračevanja, klimatizacije in določitev števila grelnih elementov v prostoru je potrebno izračunati prostornino prostora.
Lik ima 6 ploskev - paralelogramov in 12 robov; dve poljubno izbrani ploskvi imenujemo osnove. Paralelepiped je lahko več vrst. Razlike so posledica kotov med sosednjimi robovi. Formule za iskanje Vs različnih mnogokotnikov so nekoliko drugačne.
Če je 6 obrazov geometrijske figure pravokotnikov, potem se imenuje tudi pravokotna. Kocka je poseben primer paralelepipeda, v katerem je vseh 6 ploskev enakih kvadratov. V tem primeru, da bi našli V, morate ugotoviti dolžino samo ene strani in jo dvigniti na tretjo potenco.
Za reševanje problemov boste potrebovali znanje ne le o že pripravljenih formulah, ampak tudi o lastnostih figure. Seznam osnovnih lastnosti pravokotne prizme je majhen in zelo enostaven za razumevanje:
- Nasprotni stranici figure sta enaki in vzporedni. To pomeni, da so nasprotna rebra enaka po dolžini in kotu naklona.
- Vse stranske ploskve pravilnega paralelopipeda so pravokotniki.
- Štiri glavne diagonale geometrijskega lika se sekajo v eni točki in so z njo razdeljene na pol.
- Kvadrat diagonale paralelepipeda je enak vsoti kvadratov dimenzij figure (izhaja iz Pitagorovega izreka).
Pitagorov izrek pravi, da je vsota površin kvadratov, zgrajenih na straneh pravokotnega trikotnika, enaka površini trikotnika, zgrajenega na hipotenuzi istega trikotnika.
Dokaz zadnje lastnosti je viden na spodnji sliki. Postopek reševanja problema je preprost in ne zahteva podrobnih razlag.
Formula za prostornino pravokotnega paralelopipeda
Formula za iskanje za vse vrste geometrijskih likov je enaka: V = S * h, kjer je V zahtevana prostornina, S je površina osnove paralelopipeda, h je višina, spuščena z nasprotnega vrha in pravokotno na podlago. V pravokotniku h sovpada z eno od stranic figure, zato morate, da bi našli prostornino pravokotne prizme, pomnožiti tri dimenzije.
Prostornina je običajno izražena v cm3. Če poznamo vse tri vrednosti a, b in c, iskanje volumna figure sploh ni težko. Najpogostejša vrsta težave pri Enotnem državnem izpitu je iskanje volumna ali diagonale paralelopipeda. Nemogoče je rešiti številne standardne naloge enotnega državnega izpita brez formule za prostornino pravokotnika. Primer naloge in zasnove njene rešitve je prikazan na spodnji sliki.
Opomba 1. Površino pravokotne prizme lahko najdemo tako, da pomnožimo z 2 vsoto površin treh ploskev figure: osnove (ab) in dveh sosednjih stranskih ploskev (bc + ac).
Opomba 2. Površino stranskih ploskev je mogoče enostavno določiti tako, da pomnožimo obseg osnove z višino paralelopipeda.
Glede na prvo lastnost paralelepipeda AB = A1B1 in ploskve B1D1 = BD. Po posledicah Pitagorovega izreka je vsota vseh kotov v pravokotnem trikotniku 180°, krak nasproti kota 30° pa je enak hipotenuzi. Če to znanje uporabimo za trikotnik, zlahka najdemo dolžini stranic AB in AD. Nato dobljene vrednosti pomnožimo in izračunamo prostornino paralelopipeda.
Formula za iskanje prostornine nagnjenega paralelopipeda
Da bi našli prostornino nagnjenega paralelopipeda, je treba površino osnove figure pomnožiti z višino, spuščeno na dano osnovo iz nasprotnega kota.
Tako lahko zahtevani V predstavimo v obliki h - število listov z osnovno površino S, tako da je prostornina krova sestavljena iz Vs vseh kart.
Primeri reševanja problemov
Naloge enotnega izpita morajo biti opravljene v določenem času. Tipični problemi praviloma ne vsebujejo velikega števila izračunov in kompleksnih ulomkov. Študenta pogosto vprašajo, kako najti prostornino nepravilne geometrijske figure. V takih primerih se morate spomniti preprostega pravila, da je skupna prostornina enaka vsoti Vs sestavnih delov.
Kot lahko vidite iz primera na zgornji sliki, pri reševanju takšnih težav ni nič težkega. Naloge iz zahtevnejših sklopov zahtevajo poznavanje Pitagorovega izreka in njegovih posledic ter formule za dolžino diagonale lika. Za uspešno reševanje testnih nalog je dovolj, da se vnaprej seznanite z vzorci tipičnih problemov.
Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!
Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.
Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.
Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.
Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomljivi algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.