Polieder, katerega ena ploskev je mnogokotnik, vse druge ploskve pa so trikotniki s skupnim vrhom, se imenuje piramida.
Ti trikotniki, ki sestavljajo piramido, se imenujejo stranski obrazi, preostali mnogokotnik pa je osnova piramide.
Na dnu piramide leži geometrijski lik - n-kotnik. V tem primeru se imenuje tudi piramida n-ogljik.
Trikotna piramida, katere robovi so enaki, se imenuje tetraeder.
Robovi piramide, ki ne pripadajo osnovi, se imenujejo stranski, njuna skupna točka pa je vertex piramide. Drugi robovi piramide se običajno imenujejo stranke v osnovi.
Piramida se imenuje pravilno, če ima na svoji osnovi pravilen mnogokotnik in so vsi stranski robovi med seboj enaki.
Razdalja od vrha piramide do ravnine baze se imenuje višina piramide. Lahko rečemo, da je višina piramide odsek, pravokoten na podnožje, katerega konci so na vrhu piramide in na ravnini podnožja.
Za vsako piramido veljajo naslednje formule:
1) S polno = S stran + S glavno, Kje
S total – skupna površina piramide;
S stran - območje bočne površine, tj. vsota ploščin vseh stranskih ploskev piramide;
S main – območje baze piramide.
2) V = 1/3 S osnove N, Kje
V – prostornina piramide;
H – višina piramide.
Za redna piramida poteka:
S stran = 1/2 P glavni h, Kje
P main – obod baze piramide;
h je dolžina apoteme, to je dolžina višine stranske ploskve, spuščene z vrha piramide.
Del piramide, ki je zaprt med dvema ravninama - osnovno ravnino in z osnovo vzporedno sečno ravnino, imenujemo prisekana piramida.
Osnova piramide in odsek piramide z vzporedno ravnino se imenujeta razlogov prisekana piramida. Preostali obrazi so poklicani stranski. Razdalja med ravninama baz se imenuje višina prisekana piramida. Robovi, ki ne pripadajo osnovam, se imenujejo stranski.
Poleg tega osnova prisekane piramide podobni n-kotniki. Če so osnove prisekane piramide pravilni mnogokotniki in so vsi stranski robovi med seboj enaki, se taka prisekana piramida imenuje pravilno.
Za poljubna prisekana piramida veljajo naslednje formule:
1) S polno = S stran + S 1 + S 2, Kje
S total – skupna površina;
S stran - območje bočne površine, tj. vsota ploščin vseh stranskih ploskev prisekane piramide, ki so trapezi;
S 1, S 2 – osnovne površine;
2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Kje
V prostornina prisekane piramide;
H – višina prisekane piramide.
Za navadna prisekana piramida imamo tudi:
S stran = 1/2 (P 1 + P 2) h, kje
P 1, P 2 – obodi baz;
h – apotem (višina stranske ploskve, ki je trapez).
Razmislimo o več problemih, ki vključujejo prisekano piramido.
Naloga 1.
V trikotni prisekani piramidi, katere višina je enaka 10, so stranice ene od baz 27, 29 in 52. Določite prostornino prisekane piramide, če je obseg druge baze 72.
rešitev.
Razmislite o prisekani piramidi ABCA 1 B 1 C 1, prikazani v Slika 1.
1. Prostornino prisekane piramide lahko najdete s formulo
V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kjer je S 1 površina ene od baz, lahko najdete s Heronovo formulo
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
ker Naloga poda dolžine treh strani trikotnika.
Imamo: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.
2. Piramida je prisekana, kar pomeni, da ležijo podobni mnogokotniki na osnovah. V našem primeru je trikotnik ABC podoben trikotniku A 1 B 1 C 1. Poleg tega je koeficient podobnosti mogoče najti kot razmerje obodov obravnavanih trikotnikov, razmerje med njihovimi površinami pa bo enako kvadratu koeficienta podobnosti. Tako imamo:
S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Zato je S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.
Torej, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.
Odgovor: 1900.
Naloga 2.
V trikotni prisekani piramidi je skozi stranico zgornje osnove narisana ravnina, ki je vzporedna z nasprotnim stranskim robom. V kakšno razmerje je razdeljena prostornina prisekane piramide, če so pripadajoče stranice osnov v razmerju 1:2?
rešitev.
Razmislite o ABCA 1 B 1 C 1 - prisekani piramidi, prikazani v riž. 2.
Ker so stranice osnov v razmerju 1:2, so ploščine osnov v razmerju 1:4 (trikotnik ABC je podoben trikotniku A 1 B 1 C 1).
Potem je prostornina prirezane piramide:
V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kjer je S 2 – površina zgornje podlage, h – višina.
Toda prostornina prizme ADEA 1 B 1 C 1 je V 1 = S 2 h in zato
V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.
Torej, V 2: V 1 = 3: 4.
Odgovor: 3:4.
Naloga 3.
Stranice osnov pravilne štirikotne prisekane piramide so enake 2 in 1, višina pa 3. Skozi presečišče diagonal piramide je narisana ravnina, ki je vzporedna z osnovami piramide, ki deli piramido na dva dela. Poiščite prostornino vsakega od njih.
rešitev.
Razmislite o prisekani piramidi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, prikazani v riž. 3.
Označimo O 1 O 2 = x, potem je OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.
Razmislite o trikotniku B 1 O 2 D 1 in trikotniku BO 2 D:
kot B 1 O 2 D 1 je enak kotu BO 2 D kot navpičnica;
kot BDO 2 je enak kotu D 1 B 1 O 2 in kot O 2 ВD je enak kotu B 1 D 1 O 2, ki leži navzkrižno na B 1 D 1 || BD in sekante B₁D oziroma BD₁.
Zato je trikotnik B 1 O 2 D 1 podoben trikotniku BO 2 D in je razmerje stranic:
В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ali 1/2 = x/(x – 3), od koder je x = 1.
Razmislite o trikotniku B 1 D 1 B in trikotniku LO 2 B: kot B je skupen, obstaja pa tudi par enostraničnih kotov pri B 1 D 1 || LM, kar pomeni, da je trikotnik B 1 D 1 B podoben trikotniku LO 2 B, iz katerega izhaja B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, tj.
LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .
Potem je S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Torej, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Odgovor: 152/27; 37/27.
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
je polieder, ki ga tvorita osnova piramide in odsek, ki je vzporeden z njo. Lahko rečemo, da je prisekana piramida piramida z odrezanim vrhom. Ta številka ima številne edinstvene lastnosti:
- Stranske ploskve piramide so trapezi;
- Stranski robovi pravilne prisekane piramide so enako dolgi in nagnjeni proti vznožju pod enakim kotom;
- Osnove so podobni poligoni;
- V pravilni prisekani piramidi so obrazi enaki enakokraki trapezi, katerih površina je enaka. Prav tako so nagnjeni na podlago pod enim kotom.
Formula za stransko površino prisekane piramide je vsota površin njenih stranic: 
Ker so stranice prisekane piramide trapezi, boste za izračun parametrov morali uporabiti formulo trapezno območje. Za navadno prisekano piramido lahko uporabite drugačno formulo za izračun površine. Ker so vse njegove stranice, ploskve in koti pri dnu enaki, je možno nanesti obode baze in apotem ter izpeljati ploščino skozi kot pri dnu.
Če so glede na pogoje pravilne prisekane piramide podani apotem (višina stranice) in dolžine stranic osnove, potem lahko ploščino izračunamo s polproduktom vsote obsegov piramide. osnove in apotem:
Oglejmo si primer izračuna bočne površine prisekane piramide.
Podana je pravilna peterokotna piramida. Apotema l= 5 cm, dolžina roba v veliki podlagi je a= 6 cm, rob pa je na manjši podlagi b= 4 cm. Izračunajte ploščino prisekane piramide.
Najprej poiščimo obode baz. Ker nam je dana peterokotna piramida, razumemo, da so osnove petkotniki. To pomeni, da baze vsebujejo lik s petimi enakimi stranicami. Poiščimo obseg večje osnove:
Na enak način najdemo obseg manjše osnove:
Zdaj lahko izračunamo površino pravilne prisekane piramide. Zamenjajte podatke v formulo:
Tako smo izračunali ploščino pravilne prisekane piramide skozi obode in apotem.
Drug način za izračun stranske površine pravilne piramide je formula skozi kote na dnu in površino teh baz.
Poglejmo primer izračuna. Ne pozabite, da ta formula velja samo za navadno prisekano piramido.
Naj bo dana pravilna štirikotna piramida. Rob spodnje osnovke je a = 6 cm, rob zgornje osnovke pa b = 4 cm. Diedrski kot pri dnu je β = 60°. Poiščite stransko površino pravilne prisekane piramide.
Najprej izračunajmo površino baz. Ker je piramida pravilna, so vsi robovi baz med seboj enaki. Glede na to, da je osnova štirikotnik, razumemo, da bo treba izračunati območje kvadrata. Je produkt širine in dolžine, a na kvadrat sta ti vrednosti enaki. Poiščimo površino večje baze: 
Zdaj uporabimo najdene vrednosti za izračun bočne površine. 
S poznavanjem nekaj preprostih formul smo zlahka izračunali površino stranskega trapeza prisekane piramide z različnimi vrednostmi.
- 09.10.2014
Predojačevalnik, prikazan na sliki, je zasnovan za uporabo s 4 vrstami zvočnih virov, na primer mikrofon, CD predvajalnik, radio itd. V tem primeru ima predojačevalnik en vhod, ki lahko spremeni občutljivost od 50 mV do 500 mV. izhodna napetost ojačevalnika 1000mV. S povezovanjem različnih virov signala pri preklopu stikala SA1 bomo vedno dobili...
- 20.09.2014
Napajalnik je zasnovan za obremenitev 15…20 W. Vir je izdelan po vezju enocikličnega impulznega visokofrekvenčnega pretvornika. Tranzistor se uporablja za sestavljanje samooscilatorja, ki deluje na frekvenci 20 do 40 kHz. Frekvenca se prilagaja s kapacitivnostjo C5. Elementi VD5, VD6 in C6 tvorijo zagonsko vezje avtogeneratorja. V sekundarnem vezju po mostičnem usmerniku je na mikrovezju običajen linearni stabilizator, ki vam omogoča ...
- 28.09.2014
Slika prikazuje generator, ki temelji na mikrovezju K174XA11, katerega frekvenco nadzira napetost. S spreminjanjem kapacitivnosti C1 od 560 do 4700 pF lahko dosežemo širok razpon frekvenc, frekvenco pa nastavljamo s spreminjanjem upora R4. Tako je na primer avtor ugotovil, da je pri C1 = 560pF frekvenco generatorja mogoče spremeniti z uporabo R4 s 600Hz na 200kHz, ...
- 03.10.2014
Enota je zasnovana za napajanje močnega ULF, zasnovana je za izhodno napetost ±27V in obremenitev do 3A na vsaki roki. Napajanje je bipolarno, izdelano na kompletnih kompozitnih tranzistorjih KT825-KT827. Oba kraka stabilizatorja sta narejena po istem vezju, vendar je v drugem kraku (ni prikazan) spremenjena polarnost kondenzatorjev in uporabljeni tranzistorji drugega tipa...
Sposobnost izračuna prostornine prostorskih figur je pomembna pri reševanju številnih praktičnih problemov v geometriji. Ena najpogostejših figur je piramida. V tem članku bomo obravnavali tako polne kot prisekane piramide.
Piramida kot tridimenzionalna figura
Vsi vedo za egipčanske piramide, zato imajo dobro predstavo, o kakšni figuri bomo govorili. Vendar so egipčanske kamnite strukture le poseben primer velikega razreda piramid.
Obravnavani geometrijski objekt v splošnem primeru je poligonalna osnova, katere vsaka točka je povezana z določeno točko v prostoru, ki ne pripada ravnini baze. Ta definicija vodi do figure, sestavljene iz enega n-kotnika in n trikotnikov.
Vsaka piramida je sestavljena iz n+1 ploskev, 2*n robov in n+1 oglišč. Ker je zadevna figura popoln polieder, se število označenih elementov drži Eulerjeve enakosti:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligon, ki se nahaja na dnu, daje ime piramidi, na primer trikotna, peterokotna itd. Niz piramid z različnimi osnovami je prikazan na spodnji fotografiji.
Točka, v kateri se povezuje n trikotnikov figure, se imenuje vrh piramide. Če je navpičnica spuščena z nje na podlago in jo seka v geometrijskem središču, se bo takšna figura imenovala ravna črta. Če ta pogoj ni izpolnjen, se pojavi nagnjena piramida.
Pravilni lik, katerega osnovo tvori enakostranični (enakokotni) n-kotnik, imenujemo pravilni.
Formula za prostornino piramide
Za izračun prostornine piramide bomo uporabili integralni račun. Da bi to naredili, lik razdelimo tako, da ravnine, vzporedne z osnovo, razrežemo na neskončno število tankih plasti. Spodnja slika prikazuje štirikotno piramido višine h in stranice dolžine L, pri kateri štirikotnik označuje tanko plast preseka.
Površino vsake takšne plasti je mogoče izračunati po formuli:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Tukaj je A 0 območje baze, z je vrednost navpične koordinate. Vidimo lahko, da če je z = 0, potem formula daje vrednost A 0 .
Če želite dobiti formulo za prostornino piramide, morate izračunati integral po celotni višini figure, to je:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Če zamenjamo odvisnost A(z) in izračunamo antiizpeljavo, pridemo do izraza:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Dobili smo formulo za prostornino piramide. Če želite najti vrednost V, preprosto pomnožite višino figure s površino osnove in nato rezultat delite s tri.
Upoštevajte, da dobljeni izraz velja za izračun prostornine piramide poljubnega tipa. To pomeni, da je lahko nagnjen, njegova osnova pa je lahko poljuben n-kotnik.
in njegovo prostornino
Splošno formulo za prostornino, pridobljeno v zgornjem odstavku, je mogoče izboljšati v primeru piramide s pravilno osnovo. Površina takšne baze se izračuna po naslednji formuli:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Tukaj je L dolžina stranice pravilnega mnogokotnika z n oglišči. Simbol pi je število pi.
Če nadomestimo izraz za A 0 v splošno formulo, dobimo prostornino pravilne piramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Na primer, za trikotno piramido ta formula povzroči naslednji izraz:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Za pravilno štirikotno piramido ima formula volumna obliko:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *v.
Določanje prostornine pravilnih piramid zahteva poznavanje stranice njihove osnove in višine figure.
Prisekana piramida
Predpostavimo, da smo vzeli poljubno piramido in ji odrezali del stranske ploskve, ki vsebuje vrh. Preostala figura se imenuje prisekana piramida. Sestavljen je že iz dveh n-kotnih osnov in n trapezov, ki ju povezujejo. Če je bila rezalna ravnina vzporedna z vznožjem figure, potem nastane prisekana piramida s podobnimi vzporednimi osnovami. To pomeni, da lahko dolžine strani enega od njih dobimo tako, da dolžine drugega pomnožimo z določenim koeficientom k.
Na zgornji sliki je prikazan prisekan pravilni. Vidi se, da njegovo zgornjo osnovo, tako kot spodnjo, tvori pravilni šesterokotnik.
Formula, ki jo je mogoče izpeljati z uporabo podobnega integralnega računa, je:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Kjer sta A 0 in A 1 ploščini spodnje (velike) oziroma zgornje (majhne) baze. Spremenljivka h označuje višino prisekane piramide.
Prostornina Keopsove piramide
Zanimivo je rešiti problem določanja prostornine, ki jo največja egipčanska piramida vsebuje v sebi.
Leta 1984 sta britanska egiptologa Mark Lehner in Jon Goodman ugotovila točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvotna višina je bila 146,50 metra (trenutno približno 137 metrov). Povprečna dolžina vsake od štirih strani konstrukcije je bila 230,363 metra. Osnova piramide je kvadratna z visoko natančnostjo.
S podanimi številkami določimo prostornino tega kamnitega velikana. Ker je piramida pravilna štirikotna, potem zanjo velja formula:
Če zamenjamo številke, dobimo:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Prostornina Keopsove piramide je skoraj 2,6 milijona m3. Za primerjavo omenimo, da ima olimpijski bazen prostornino 2,5 tisoč m 3. To pomeni, da boste zapolnili celotno Keopsovo piramido potrebovali več kot 1000 takih bazenov!