1. Razredi nelinearnih regresij.
2. Parabolična oblika odvisnosti.
3. Hiperbolična oblika odvisnosti.
4. Eksponentna oblika odvisnosti.
5. Oblastna oblika odvisnosti.
Med ekonomskimi pojavi obstajajo nelinearne povezave, ki so izražene z nelinearnimi funkcijami.
Obstajata dva razreda nelinearne regresije:
1. Regresije, ki so nelinearne glede na pojasnjevalne spremenljivke, vključene v analizo, vendar linearne glede na ocenjene parametre, so primeri funkcij:
Polinomi različnih stopenj;
Enakostranična hiperbola.
2. Nelinearne regresije za ocenjene parametre vključujejo naslednje funkcije:
moč;
Demonstrativno;
Eksponentna.
Nelinearna regresija na vključenih spremenljivkah je določena, tako kot pri linearni regresiji, z metodo najmanjših kvadratov (OLS), saj so te funkcije v parametrih linearne.
1. Parabolična oblika odvisnosti.
Regresijska enačba za parabolo 2. reda ima naslednjo obliko:
Običajne enačbe najmanjših kvadratov za parabolično razmerje so:
Z reševanjem tega sistema enačb dobimo vrednosti parametrov a, b in c.
Parabola druge stopnje pri b > 0 in z< 0 je simetrična glede na najvišjo točko, ki spreminja smer povezave, in sicer rast v upad. Tovrstno funkcijo lahko opazimo v ekonomiji dela, ko preučujemo odvisnost plač fizičnih delavcev od starosti; z naraščajočo starostjo se plače povečujejo zaradi hkratnega povečanja izkušenj in izboljšanja kvalifikacij delavca. Vendar pa lahko od določene starosti, zaradi staranja telesa in zmanjšanja produktivnosti dela, nadaljnje zviševanje starosti povzroči znižanje plače zaposlenega.
pri b < 0 in c > 0 je parabola drugega reda simetrična glede na minimum funkcije v točki, ki spreminja smer povezave, in sicer padanje v naraščanje.
2. Hiperbolična oblika odvisnosti.
Regresijska enačba hiperbole ima naslednjo obliko:
Iz sistema normalnih enačb metode najmanjših kvadratov za hiperbolo:
določene so vrednosti koeficientov hiperbolične regresijske enačbe a in b.
Hiperbolična odvisnost se lahko uporablja na mikro in makro ravni - na primer za karakterizacijo razmerja med specifičnimi stroški surovin, materialov, goriva in obsegom proizvodnje, časom kroženja blaga in količino trgovinskega prometa. Klasičen primer tega je krivulja Phillips, označuje razmerje med stopnjo brezposelnosti in odstotkom rasti plač.
Oglejmo si regresijo, ki je nelinearna glede ocenjenih parametrov
3. Eksponentna oblika odvisnosti.
Splošni pogled na eksponentno regresijsko enačbo:
Za poenostavitev algoritma za obdelavo vzorčne populacije je enačba eksponentne regresije linearizirana tako, da se vzame logaritem druge od predstavljenih enačb
Po zamenjavi ln l na z, dobimo linearno enačbo oblike:
z= a+ bx.
določiti parametre regresijske enačbe a in b. Z obratno zamenjavo dobimo empirične vrednosti dobljene karakteristike.
4. Oblastna oblika odvisnosti.
Splošna oblika regresijske enačbe moči:
Z logaritmiranjem te enačbe dobimo linearno obliko:
Ocene parametrov a in b enačbe je mogoče najti z metodo najmanjših kvadratov. Sistem normalnih enačb ima obliko:
Parameter b se določi iz sistema in parametra a– potenciranje izražanja lna.
Indikator tesnosti nelinearne korelacije je korelacijski indeks, izračunan po formuli:
,
kje so individualne vrednote pri glede na povezovalno enačbo.
Indeks korelacije je v mejah: 0 < R < 1 in kaj Bližje ko je enotnosti, tesnejša je povezava med obravnavanimi značilnostmi in zanesljivejša je najdena regresijska enačba.
Indeks določitve R 2 se uporablja za testiranje statistične pomembnosti celotne nelinearne regresijske enačbe z uporabo Fisherjevega kriterija.
Ljudje nismo ravno dobri napovedovalci prihodnosti. Večino zgodovine so bile naše izkušnje »lokalne in linearne«: uporabljali smo ista orodja, jedli isto hrano, živeli na določenem mestu. Posledično naše napovedne sposobnosti temeljijo na intuiciji in preteklih izkušnjah. To je kot lestev: ko naredimo nekaj korakov navzgor, razumemo, kakšna bo preostala pot po tej lestvi. Ko živimo svoje življenje, pričakujemo, da bo vsak nov dan podoben prejšnjemu. Vendar se zdaj vse spreminja.
Slavni ameriški izumitelj in futurist Raymond Kurzweil v svoji knjigi Singularnost je blizu piše, da je skok v tehnološkem razvoju, ki smo mu priča v zadnjih desetletjih, povzročil pospešitev napredka na številnih različnih področjih. To je privedlo do nepričakovanih tehnoloških in družbenih sprememb, ki se dogajajo ne le med generacijami, ampak tudi znotraj njih. Zdaj intuitivni pristop k napovedovanju prihodnosti ne deluje. Prihodnost se ne odvija več linearno, ampak eksponentno: vse težje je napovedati, kaj se bo zgodilo in kdaj se bo zgodilo. Hitrost tehnološkega napredka nas nenehno preseneča in da bi mu lahko sledili ter se naučili napovedovati prihodnost, se moramo najprej naučiti razmišljati eksponentno.
Kaj je eksponentna rast?
Za razliko od linearne rasti, ki je rezultat večkratnega dodajanja konstante, je eksponentna rast rezultat ponavljajočega se množenja. Če je linearna rast ravna črta, stabilna skozi čas, potem je eksponentna rast podobna vzletu. Večja ko je vrednost, hitreje raste naprej.
Predstavljajte si, da hodite po cesti in je vsak korak, ki ga naredite, dolg meter. Naredite šest korakov in zdaj ste se premaknili šest metrov. Ko naredite še 24 korakov, boste 30 metrov od mesta, kjer ste začeli. To je linearna rast.
Zdaj pa si predstavljajte (čeprav vaše telo tega ne zmore, predstavljajte si), da se vsakič, ko se dolžina vašega koraka podvoji. Se pravi, da najprej stopite en meter, nato dva, nato štiri, nato osem in tako naprej. V šestih takih korakih boste prehodili 32 metrov – to je veliko več kot v šestih korakih po en meter. Težko je verjeti, a če boste nadaljevali z enakim tempom, se boste po tridesetem koraku znašli milijardo metrov stran od izhodišča. To je 26 potovanj okoli Zemlje. In to je eksponentna rast.
Zanimivo je, da je vsak nov korak s takšno rastjo seštevek vseh prejšnjih. Se pravi, po 29 korakih ste prehodili 500 milijonov metrov in prav toliko prehodite v naslednjem, tridesetem koraku. To pomeni, da je kateri koli od vaših prejšnjih korakov neprimerljivo majhen v primerjavi z naslednjimi koraki eksplozivne rasti in da se večina zgodi v razmeroma kratkem časovnem obdobju. Če si predstavljate to rast kot premikanje od točke A do točke B, bo največji napredek v gibanju dosežen v zadnji fazi.
V zgodnjih fazah pogosto spregledamo eksponentne trende, ker je začetna stopnja eksponentne rasti počasna in postopna ter jo je težko razlikovati od linearne rasti. Poleg tega se pogosto zdijo napovedi, ki temeljijo na predpostavki, da se bo neki pojav eksponentno razvijal, neverjetne in jih zavračamo.
»Ko se je leta 1990 začelo skeniranje človeškega genoma, so kritiki ugotavljali, da bo glede na hitrost, s katero je proces na začetku potekal, trajalo na tisoče let, da se genom skenira. Vendar je bil projekt končan že leta 2003,”- Raymond Kurzweil daje primer.
V zadnjem času je razvoj tehnologije eksponenten: z vsakim desetletjem, z vsakim letom lahko naredimo neprimerljivo več kot prej.
Se lahko eksponentna rast kdaj konča?
V praksi eksponentni trendi ne trajajo večno. Vendar pa lahko nekateri trajajo dlje časa, če so pogoji pravi za eksploziven razvoj.
Običajno je eksponentni trend sestavljen iz serije zaporednih tehnoloških življenjskih ciklov v obliki črke S ali krivulj v obliki črke S. Vsaka krivulja je videti kot črka "S" zaradi treh stopenj rasti, ki jih prikazuje: začetna počasna rast, eksplozivna rast in uravnavanje, ko tehnologija zori. Te S-krivulje se križajo in ko se ena tehnologija upočasni, se nova začne dvigovati. Z vsakim novim razvojem v obliki črke S se čas, potreben za doseganje višjih ravni zmogljivosti, skrajša.
Na primer, ko razpravlja o razvoju tehnologije v prejšnjem stoletju, Kurzweil našteje pet računalniških paradigem: elektromehanske, releje, vakuumske cevi, diskretne tranzistorje in integrirana vezja. Ko je ena tehnologija izčrpala svoj potencial, je naslednja začela napredovati, in to hitreje kot njene predhodnice.
Načrtovanje eksponentne prihodnosti
V razmerah eksponentnega razvoja je zelo težko napovedati, kaj nas čaka v prihodnosti. Sestavljanje grafa na podlagi geometrijske progresije je eno, ocenjevanje, kako se bo življenje spremenilo v desetih do dvajsetih letih, pa povsem nekaj drugega. Toda preprosto pravilo, ki ga morate upoštevati, je: pričakujte, da vas bo življenje močno presenetilo, in načrtujte presenečenja, ki jih pričakujete. Z drugimi besedami, domnevate lahko najbolj neverjetne rezultate in se nanje pripravite, kot da bi se zagotovo zgodili.
»Prihodnost bo veliko bolj neverjetna, kot si večina ljudi lahko predstavlja. Le redki so zares dojeli dejstvo, da se sama stopnja sprememb pospešuje."- piše Raymond Kurzweil.
Kakšno bo naše življenje v naslednjih petih letih? Eden od načinov za napoved je, da pogledamo zadnjih pet let in prenesemo to izkušnjo v naslednjih pet, vendar je to "linearno" razmišljanje, ki, kot smo ugotovili, ne deluje vedno. Hitrost sprememb se spreminja, zato bo napredek v zadnjih petih letih v prihodnosti trajal dlje. Verjetno se bodo spremembe, ki jih pričakujete v petih letih, dejansko zgodile v treh ali dveh letih. Z malo vaje bomo bolje predvidevali, kako se bo odvijalo življenje, se naučili videti možnosti eksponentne rasti in bolje načrtovali svojo prihodnost.
Ne gre samo za zanimiv koncept. Naše razmišljanje, pogosto usmerjeno v linearni razvoj, nas lahko zapelje v slepo ulico. Zaradi linearnega razmišljanja se nekateri poslovneži in politiki upirajo spremembam; preprosto ne razumejo, da se razvoj dogaja eksponentno, in jih skrbi, da je prihodnost vedno težje nadzorovati. A ravno to je polje za konkurenco. Če želite slediti tej spremembi, morate biti vedno korak naprej in ne delati tistega, kar je zdaj relevantno, temveč tisto, kar bo relevantno in zahtevano v prihodnosti, ob upoštevanju, da razvoj ne poteka linearno, ampak eksponentno.
Eksponentno razmišljanje zmanjšuje destruktivni stres, ki izhaja iz strahu pred prihodnostjo, in odpira nove možnosti. Če bomo znali bolje načrtovati svojo prihodnost in razmišljati eksponentno, bomo olajšali prehod iz ene paradigme v drugo in se mirno soočili s prihodnostjo.
pozdravljena Danes bomo poskušali razumeti, kaj je eksponentna rast. Kako najdemo k? Toda tukaj imamo drugo vrednost števila bakterij: po 1 uri se število celic poveča na 420 kosov. Kaj hočejo od nas v tem trenutku? 000. Z drugimi besedami, pri kateri vrednosti t je funkcija b(t) enaka 10.000. Torej, 10.000=100*e na potenco ln(4,2)*t.
Izraz »eksponentna rast« je vstopil v naš leksikon in pomeni hitro, običajno nenadzorovano povečanje. Pogosto se uporablja na primer za opis hitre rasti mest ali povečanja števila prebivalstva. Vendar ima ta izraz v matematiki natančen pomen in označuje določeno vrsto rasti.
Eksponentna rast se pojavi pri tistih populacijah, v katerih je povečanje populacije (število rojstev minus število umrlih) sorazmerno s številom osebkov v populaciji. Za človeško populacijo je na primer stopnja rodnosti približno sorazmerna s številom reproduktivnih parov, stopnja umrljivosti pa približno sorazmerna s številom ljudi v populaciji (označujemo jo n). Nato v razumnem približku
rast prebivalstva = število rojstev - število umrlih
(Tukaj r- tako imenovani faktor sorazmernosti, ki nam omogoča, da izraz za sorazmernost zapišemo kot enačbo.)
Naj d n— število osebkov, dodanih populaciji v času d t, potem če v populaciji skupaj n posameznikov, potem bodo pogoji za eksponentno rast izpolnjeni, če
d N = rN d t
Ker je Isaac Newton v 17. stoletju izumil diferencialni račun, vemo, kako rešiti to enačbo za n— velikost populacije v danem trenutku. (Za referenco: ta enačba se imenuje diferencial.) Tukaj je njegova rešitev:
N=N0 e rt
kje n 0 je število osebkov v populaciji na začetku odštevanja in t- čas, ki je pretekel od tega trenutka. Simbol e označuje tako posebno številko, imenuje se osnova naravnega logaritma(in je približno enak 2,7), imenujemo pa celotno desno stran enačbe eksponentna funkcija.
Da bi bolje razumeli, kaj je eksponentna rast, si predstavljajte populacijo, ki jo na začetku sestavlja ena bakterija. Po določenem času (nekaj ur ali minut) se bakterija razdeli na dvoje in s tem podvoji velikost populacije. Po naslednjem časovnem obdobju se bo vsaka od teh dveh bakterij spet razdelila na dvoje in velikost populacije se bo spet podvojila – zdaj bodo štiri bakterije. Po desetih takšnih podvojitvah bo več kot tisoč bakterij, po dvajsetih - več kot milijon in tako naprej. Če se populacija z vsako delitvijo podvoji, se bo njena rast nadaljevala v nedogled.
Obstaja legenda (najverjetneje ni resnična), da je človek, ki je izumil šah, dal svojemu sultanu tako zadovoljstvo, da je obljubil, da bo izpolnil vsako njegovo prošnjo. Moški je prosil sultana, naj položi eno pšenično zrno na prvo polje šahovnice, dve na drugo, štiri na tretje in tako naprej. Sultan je menil, da je ta zahteva nepomembna v primerjavi s storitvijo, ki jo je zagotovil, in prosil svojega podložnika, naj pripravi še eno prošnjo, vendar je to zavrnil. Seveda je do 64. podvojitve število zrn postalo tako, da na celem svetu ne bi bilo dovolj pšenice, da bi zadovoljili to zahtevo. V različici legende, ki mi je znana, je sultan v tistem trenutku ukazal izumitelju odrezati glavo. Morala, kot pravim svojim študentom, je: včasih ne smeš biti preveč pameten!
Primer šahovnice (kot tudi namišljene bakterije) nam pokaže, da nobena populacija ne more večno rasti. Prej ali slej ji bo preprosto zmanjkalo virov – prostora, energije, vode, česar koli. Zato lahko populacije le nekaj časa eksponentno rastejo, prej ali slej pa se mora njihova rast upočasniti. Če želite to narediti, morate spremeniti enačbo tako, da ko se velikost populacije približa največji možni (ki jo lahko podpira zunanje okolje), se stopnja rasti upočasni. Recimo temu največja velikost populacije K. Potem bo spremenjena enačba videti takole:
d n = rN(1 — (n/K)) d t
kdaj n veliko manj K, članica N/K lahko zanemarimo in se vrnemo k prvotni enačbi navadne eksponentne rasti. Vendar, ko n približuje svoji največji vrednosti K, vrednost 1 - ( n/K) teži k nič, zato se rast prebivalstva nagiba k nič. Skupna velikost populacije se v tem primeru stabilizira in ostane na ravni K. Krivulja, ki jo opisuje ta enačba, kot tudi enačba sama imata več imen - S-krivulja, logistična enačba, Volterrova enačba, Lotka–Volterrova enačba. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - izjemen italijanski matematik in učitelj; Alfred Lotka, 1880-1949 - ameriški matematik in zavarovalniški analitik.) Kakorkoli že se imenuje, je dokaj preprost izraz velikosti populacije, ki strmo eksponentno narašča, nato pa se upočasnjuje, ko se približuje neki meji. In veliko bolje odraža rast realnega prebivalstva kot običajna eksponentna funkcija.
Eksponentna rast
Če je rast populacije sorazmerna s številom osebkov, bo velikost populacije naraščala eksponentno.
Izraz »eksponentna rast« je vstopil v naš leksikon in pomeni hitro, običajno nenadzorovano povečanje. Pogosto se uporablja na primer za opis hitre rasti mest ali povečanja števila prebivalstva. Vendar ima ta izraz v matematiki natančen pomen in označuje določeno vrsto rasti.
Eksponentna rast se pojavi pri tistih populacijah, v katerih je povečanje populacije (število rojstev minus število umrlih) sorazmerno s številom osebkov v populaciji. Za človeško populacijo je na primer stopnja rodnosti približno sorazmerna s številom reproduktivnih parov, stopnja umrljivosti pa približno sorazmerna s številom ljudi v populaciji (označujemo jo ) . Nato v razumnem približku
rast prebivalstva = število rojstev - število umrlih
oz
(Tukaj je tako imenovani sorazmernostni koeficient, ki nam omogoča, da izraz sorazmernosti zapišemo v obliki enačbe.)
Naj bo število posameznikov, dodanih populaciji v času , potem če je v populaciji skupno število osebkov, potem bodo pogoji za eksponentno rast izpolnjeni, če
Odkar je Isaac Newton v 17. stoletju izumil diferencialni račun, vemo, kako rešiti to enačbo za velikost populacije v danem trenutku. (Za referenco: taka enačba se imenuje diferencialna.) Tukaj je njena rešitev:
kjer je število osebkov v populaciji na začetku odštevanja in je čas, ki je pretekel od tega trenutka. Simbol pomeni to posebno število, imenuje se osnova naravnega logaritma (in je približno enak 2,7), celotna desna stran enačbe pa se imenuje eksponentna funkcija.
Da bi bolje razumeli, kaj je eksponentna rast, si predstavljajte populacijo, ki jo na začetku sestavlja ena bakterija. Po določenem času (nekaj ur ali minut) se bakterija razdeli na dvoje in s tem podvoji velikost populacije. Po naslednjem časovnem obdobju se bo vsaka od teh dveh bakterij spet razdelila na dvoje in velikost populacije se bo spet podvojila – zdaj bodo štiri bakterije. Po desetih takih podvojitvah bo več kot tisoč bakterij, po dvajsetih - več kot milijon in tako naprej. Če se populacija z vsako delitvijo podvoji, se bo njena rast nadaljevala v nedogled.
Obstaja legenda (najverjetneje ni resnična), da je človek, ki je izumil šah, svojemu sultanu dal tako zadovoljstvo, da je obljubil, da bo izpolnil vsako njegovo prošnjo. Moški je prosil sultana, naj položi eno pšenično zrno na prvo polje šahovnice, dve na drugo, štiri na tretje in tako naprej. Sultan je menil, da je ta zahteva nepomembna v primerjavi s storitvijo, ki jo je zagotovil, in prosil svojega podložnika, naj pripravi še eno prošnjo, vendar je to zavrnil. Seveda je do 64. podvojitve število zrn postalo tako, da na vsem svetu ne bi bilo dovolj pšenice, da bi zadovoljili to zahtevo. V različici legende, ki mi je znana, je sultan v tistem trenutku ukazal izumitelju odrezati glavo. Morala, kot pravim svojim študentom, je: včasih ne smeš biti preveč pameten!
Primer šahovnice (kot tudi namišljene bakterije) nam pokaže, da nobena populacija ne more večno rasti. Prej ali slej ji bo preprosto zmanjkalo virov – prostora, energije, vode, česar koli. Zato lahko populacije le nekaj časa eksponentno rastejo, prej ali slej pa se mora njihova rast upočasniti. Če želite to narediti, morate spremeniti enačbo tako, da ko se velikost populacije približa največji možni (ki jo lahko podpira zunanje okolje), se stopnja rasti upočasni. Recimo temu največja velikost populacije.
Potem bo spremenjena enačba videti takole:
Ko je veliko manj, lahko izraz zanemarimo in se vrnemo k prvotni enačbi navadne eksponentne rasti. Ko pa se približa najvišji vrednosti, se vrednost nagiba k ničli, s tem pa tudi rast prebivalstva k ničli. Skupna velikost populacije se v tem primeru stabilizira in ostane na ravni.
Krivulja, ki jo opisuje ta enačba, kot tudi enačba sama imata več imen - S-krivulja, logistična enačba, Volterrova enačba, Lotka-Volterrova enačba. (Vito Volterra, 1860–1940 - ugleden italijanski matematik in učitelj; Alfred Lotka, 1880–1949 - ameriški matematik in zavarovalniški analitik.) Kakorkoli že se imenuje, je dokaj preprost izraz velikosti populacije, ki strmo eksponentno narašča in nato upočasnitev ob približevanju določeni meji. In veliko bolje odraža rast realnega prebivalstva kot običajna eksponentna funkcija.
Odnos plenilec-plen
Torej, če je število rastlinojedih plenov , mesojedih plenilcev pa , potem je verjetnost, da bo plenilec srečal rastlinojedce, sorazmerna zmnožku .
Z drugimi besedami, večja kot je številčnost ene od vrst, večja je verjetnost takšnih srečanj. V odsotnosti plenilcev bo populacija plena eksponentno rasla (vsaj na začetku), v odsotnosti plena pa se bo populacija plenilcev zmanjšala na nič – bodisi zaradi lakote ali selitve. Zdaj, če je sprememba v populaciji rastlinojedih živali skozi čas in sprememba v populaciji mesojedih živali v istem časovnem intervalu, potem sta populaciji opisani z enačbama:
Tukaj je stopnja rasti števila rastlinojedih živali v odsotnosti plenilcev in stopnja upadanja števila mesojedih živali v odsotnosti rastlinojedih živali. Konstanti in sta hitrost, s katero srečanja med plenilci in plenom odstranijo rastlinojede živali iz populacije, in stopnja, s katero ta srečanja omogočajo plenilcem, da povečajo svojo populacijo. Predznak minus v prvi enačbi pomeni, da srečanja zmanjšajo populacijo plena, medtem ko znak plus v drugi pomeni, da srečanja povečajo populacijo plenilcev. Kot lahko vidite, vsaka sprememba števila rastlinojedih živali vpliva na število mesojedih živali in obratno. Obe populaciji je treba obravnavati skupaj.
Reševanje teh enačb pokaže, da se obe populaciji razvijata ciklično. Če se populacija rastlinojedih živali poveča, se poveča verjetnost srečanja plenilca in plena in temu primerno (po določenem časovnem zamiku) se poveča populacija plenilcev. Toda povečanje populacije plenilcev povzroči zmanjšanje populacije rastlinojedih živali (tudi z nekaj zamude), kar povzroči zmanjšanje števila potomcev plenilcev, to pa poveča število rastlinojedih živali itd. Zdi se, da ti dve populaciji plešeta valček v času – ko se spremeni ena od njiju, se za njo spremeni druga.
Enciklopedija Jamesa Trefila »Narava znanosti. 200 zakonov vesolja."