Definicija 1. Prizmatična površina
Izrek 1. O vzporednih odsekih prizmatične ploskve
Definicija 2. Pravokotni prerez prizmatične ploskve
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Višina prizme
Definicija 5. Prava prizma
Izrek 2. Območje stranske površine prizme
Paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Izrek 3. O presečišču diagonal paralelepipeda
Definicija 7. Pravi paralelepiped
Definicija 8. Pravokotni paralelepiped
Definicija 9. Meritve paralelopipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboeder
Izrek 4. O diagonalah pravokotnega paralelepipeda
Izrek 5. Prostornina prizme
Izrek 6. Prostornina ravne prizme
Izrek 7. Prostornina pravokotnega paralelepipeda
Prizma je polieder, katerega ploskvi (osnovi) ležita v vzporednih ravninah, robovi, ki ne ležijo v teh ploskvah, pa so med seboj vzporedni.
Obrazi, ki niso baze, se imenujejo stranski.
Imenujejo se stranice stranskih ploskev in podstavkov prizmatična rebra, se imenujejo konci robov oglišča prizme. Bočna rebra imenujemo robove, ki ne pripadajo bazam. Zveza stranskih ploskev se imenuje stransko površino prizme, zveza vseh obrazov pa se imenuje celotno površino prizme. Višina prizme imenujemo navpičnica, spuščena iz točke zgornje osnove na ravnino spodnje osnove ali dolžina te navpičnice. 
Ravna prizma imenovana prizma, katere stranski robovi so pravokotni na ravnine baz. 
Pravilno imenovana ravna prizma (slika 3), na podlagi katere leži pravilen mnogokotnik.
Oznake:
l - stransko rebro;
P - osnovni obod;
S o - osnovna površina;
H - višina;
P ^ - obod pravokotnega odseka;
S b - bočna površina;
V - prostornina;
S p je površina celotne površine prizme.
|
V=SH |
*Predpostavlja se, da se vsaki dve zaporedni ravnini sekata in da zadnja ravnina seka prvo
1. izrek . Odseki prizmatične površine z ravninami, ki so med seboj vzporedne (vendar ne vzporedne z njenimi robovi), so enaki poligoni.
Naj sta ABCDE in A"B"C"D"E" odseka prizmatične ploskve z dvema vzporednima ravninama. Da bi se prepričali, da sta ta dva mnogokotnika enaka, je dovolj pokazati, da sta trikotnika ABC in A"B"C" enaki in imajo enako smer vrtenja in da enako velja za trikotnike ABD in A"B"D", ABE in A"B"E". Toda ustrezne stranice teh trikotnikov so vzporedne (na primer AC je vzporeden z AC) kot presečišče določene ravnine z dvema vzporednima ravninama; iz tega sledi, da sta ti stranici enaki (na primer AC je enak A"C"), kot nasprotni strani paralelograma, in da so koti, ki jih tvorijo te stranice, enaki in imajo isto smer.
Definicija 2 . Pravokotni prerez prizmatične ploskve je prerez te ploskve z ravnino, pravokotno na njene robove. Na podlagi prejšnjega izreka bodo vsi pravokotni odseki iste prizmatične površine enaki mnogokotniki.
Definicija 3
. Prizma je polieder, ki ga omejujejo prizmatična površina in dve ravnini, ki sta med seboj vzporedni (vendar ne vzporedni z robovi prizmatične ploskve).
Obrazi, ki ležijo v teh zadnjih ravninah, se imenujejo baze prizme; ploskve, ki pripadajo prizmatični površini - stranski obrazi; robovi prizmatične površine - stranska rebra prizme. Na podlagi prejšnjega izreka je osnova prizme enaki poligoni. Vse stranske ploskve prizme - paralelogrami; vsa stranska rebra so med seboj enaka.
Očitno je, da če sta podana osnova prizme ABCDE in eden od robov AA" v velikosti in smeri, potem je mogoče sestaviti prizmo tako, da narišemo robove BB", CC", ... enake in vzporedne z robom AA" .
Definicija 4 . Višina prizme je razdalja med ravninama njenih baz (HH").
Definicija 5
. Prizma se imenuje ravna, če sta njeni osnovi pravokotni odseki prizmatične površine. V tem primeru je višina prizme seveda njena stransko rebro; stranski robovi bodo pravokotniki.
Prizme lahko razvrstimo glede na število stranskih ploskev, ki je enako številu strani mnogokotnika, ki služi kot njegova osnova. Tako so lahko prizme trikotne, štirikotne, peterokotne itd.
2. izrek
. Ploščina stranske površine prizme je enaka zmnožku stranskega roba in oboda pravokotnega odseka.
Naj bo ABCDEA"B"C"D"E" dana prizma in abcde njen pravokotni presek, tako da so odseki ab, bc, .. pravokotni na njene stranske robove. Ploščina ABA"B" je paralelogram; njegova ploščina je enak produktu osnove AA " na višino, ki sovpada z ab; površina ploskve ВСВ "С" je enaka zmnožku osnove VV" z višino bc itd. Posledično je stranska površina (t.j. vsota površin stranskih ploskev) enaka zmnožku stranskega roba, z drugimi besedami, skupna dolžina segmentov AA", ВВ", .., za količino ab+bc+cd+de+ea.
Poliedri
Glavni predmet proučevanja stereometrije so prostorska telesa. Telo predstavlja del prostora, omejen z določeno površino.
Polieder je telo, katerega površina je sestavljena iz končnega števila ravnih mnogokotnikov. Polieder se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani ravnine vsakega ravninskega mnogokotnika na njegovi površini. Skupni del takšne ravnine in površine poliedra imenujemo rob. Strani konveksnega poliedra so ravni konveksni mnogokotniki. Strani obrazov se imenujejo robovi poliedra, in oglišča so oglišča poliedra.
Na primer, kocka je sestavljena iz šestih kvadratov, ki so njene ploskve. Vsebuje 12 robov (stranice kvadratov) in 8 oglišč (vrhovi kvadratov).
Najenostavnejši poliedri so prizme in piramide, ki jih bomo še preučevali.
Prizma
Definicija in lastnosti prizme
Prizma je polieder, sestavljen iz dveh ravnih mnogokotnikov, ki ležita v vzporednih ravninah, združenih z vzporednim premikom, in vseh segmentov, ki povezujejo ustrezne točke teh mnogokotnikov. Poligoni se imenujejo baze prizme, in segmenti, ki povezujejo ustrezne vertices mnogokotnikov so stranski robovi prizme.
Višina prizme se imenuje razdalja med ravninama njegovih baz (). Odsek, ki povezuje dve oglišči prizme, ki ne pripadata isti ploskvi, se imenuje diagonala prizme(). Prizma se imenuje n-ogljik, če njegova osnova vsebuje n-kotnik.
Vsaka prizma ima naslednje lastnosti, ki izhajajo iz dejstva, da so osnove prizme združene z vzporednim prevajanjem:
1. Osnovici prizme sta enaki.
2. Stranska robova prizme sta vzporedna in enaka.
Površina prizme je sestavljena iz osnov in stransko površino. Stranska površina prizme je sestavljena iz paralelogramov (to izhaja iz lastnosti prizme). Površina stranske ploskve prizme je vsota površin stranskih ploskev.
Ravna prizma
Prizma se imenuje neposredno, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove. Drugače se prizma imenuje nagnjen.
Strani pravilne prizme so pravokotniki. Višina ravne prizme je enaka njenim stranskim ploskvam.
Polna površina prizme se imenuje vsota stranske površine in ploščin baz.
S pravo prizmo imenujemo prava prizma s pravilnim mnogokotnikom na dnu.
Izrek 13.1. Ploščina stranske ploskve ravne prizme je enaka zmnožku oboda in višine prizme (ali, kar je enako, s stranskim robom).
Dokaz. Stranice pravilne prizme so pravokotniki, katerih osnovice so stranice mnogokotnikov na osnovicah prizme, višine pa stranski robovi prizme. Potem je po definiciji bočna površina:
,
kjer je obseg osnove ravne prizme.
Paralelepiped
Če paralelogrami ležijo na osnovah prizme, se imenuje paralelopiped. Vse ploskve paralelepipeda so paralelogrami. V tem primeru sta nasprotni ploskvi paralelepipeda vzporedni in enaki.
Izrek 13.2. Diagonale paralelepipeda se sekajo v eni točki in jih presečišče deli na pol.
Dokaz. Razmislite o dveh poljubnih diagonalah, na primer in . Ker ploskve paralelepipeda so paralelogrami, potem in , kar pomeni, da po To obstajata dve ravni črti, vzporedni s tretjo. Poleg tega to pomeni, da ravne črte in ležijo v isti ravnini (ravnini). Ta ravnina seka vzporedne ravnine in vzdolž vzporednih premic in . Štirikotnik je torej paralelogram in po lastnosti paralelograma se njegovi diagonali sekata in delita na pol s presečiščem, kar je bilo treba tudi dokazati.
Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotni paralelopiped. Vse ploskve pravokotnega paralelopipeda so pravokotniki. Dolžine nevzporednih robov pravokotnega paralelopipeda imenujemo njegove linearne mere (mere). Obstajajo tri takšne velikosti (širina, višina, dolžina).
Izrek 13.3. V pravokotnem paralelepipedu je kvadrat katere koli diagonale enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij. 
(dokazano z dvakratno uporabo pitagorejskega T).
Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka.
Naloge
13.1 Koliko diagonal ima? n- karbonska prizma
13.2 V nagnjeni trikotni prizmi so razdalje med stranskimi robovi 37, 13 in 40. Poiščite razdaljo med večjim in nasprotnim stranskim robom.
13.3 Skozi stranico spodnje osnove pravilne trikotne prizme je narisana ravnina, ki seka stranske ploskve vzdolž segmentov s kotom med njimi. Poiščite naklonski kot te ravnine na osnovo prizme.
Splošne informacije o ravni prizmi
Stranska ploskev prizme (natančneje stranska ploskev) se imenuje vsota področja stranskih ploskev. Celotna ploskev prizme je enaka vsoti stranske ploskve in ploščin bazic.
Izrek 19.1. Stranska ploskev ravne prizme je enaka produktu obsega osnove in višine prizme, to je dolžini stranskega roba.
Dokaz. Stranske ploskve ravne prizme so pravokotniki. Osnove teh pravokotnikov so stranice mnogokotnika, ki ležijo na dnu prizme, višine pa so enake dolžinam stranskih robov. Iz tega sledi, da je stranska površina prizme enaka
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kjer sta a 1 in n dolžini osnovnih robov, p je obseg baze prizme in I je dolžina stranskih robov. Izrek je dokazan.
Praktična naloga
Težava (22) . V nagnjeni prizmi se izvaja razdelek, pravokotno na stranska rebra in seka vsa stranska rebra. Poiščite stransko ploskev prizme, če je obseg odseka enak p in stranski robovi enaki l.
rešitev. Ravnina narisanega preseka deli prizmo na dva dela (slika 411). Eno od njih izpostavimo vzporednemu prevajanju, pri čemer združimo osnove prizme. V tem primeru dobimo ravno prizmo, katere osnova je presek prvotne prizme, stranski robovi pa so enaki l. Ta prizma ima enako stransko površino kot originalna. Tako je stranska površina prvotne prizme enaka pl.
Povzetek obravnavane teme
Zdaj pa poskusimo povzeti temo o prizmah, ki smo jo obravnavali, in se spomnimo, katere lastnosti ima prizma.
Lastnosti prizme
Prvič, prizma ima vse svoje osnove enake mnogokotnike;
Drugič, v prizmi so vse njene stranske ploskve paralelogrami;
Tretjič, v tako večplastni figuri, kot je prizma, so vsi stranski robovi enaki;
Prav tako si je treba zapomniti, da so lahko poliedri, kot so prizme, ravni ali nagnjeni.
Kateri prizmi pravimo ravna prizma?
Če je stranski rob prizme pravokoten na ravnino njene osnove, se taka prizma imenuje ravna.
Ne bi bilo odveč spomniti, da so stranske ploskve ravne prizme pravokotniki.
Katero vrsto prizme imenujemo poševna?
Če pa stranski rob prizme ni pravokoten na ravnino njene baze, potem lahko varno rečemo, da je nagnjena prizma.
Katera prizma se imenuje pravilna?
Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, potem je taka prizma pravilna.
Zdaj pa se spomnimo lastnosti, ki jih ima pravilna prizma.
Lastnosti pravilne prizme
Prvič, pravilni mnogokotniki vedno služijo kot osnove pravilne prizme;
Drugič, če upoštevamo stranske ploskve pravilne prizme, so vedno enaki pravokotniki;
Tretjič, če primerjate velikosti stranskih reber, so v običajni prizmi vedno enake.
Četrtič, pravilna prizma je vedno ravna;
Petič, če imajo stranske ploskve v pravilni prizmi obliko kvadratov, se taka figura običajno imenuje polpravilni poligon.
Prerez prizme
Zdaj pa poglejmo prečni prerez prizme:
domača naloga
Zdaj pa poskusimo z reševanjem nalog utrditi naučeno temo.
Narišimo nagnjeno trikotno prizmo, razdalja med njenimi robovi bo enaka: 3 cm, 4 cm in 5 cm, stranska površina te prizme pa bo enaka 60 cm2. S temi parametri poiščite stranski rob te prizme.
Ali veste, da nas geometrijske figure nenehno obkrožajo, ne le pri pouku geometrije, ampak tudi v vsakdanjem življenju obstajajo predmeti, ki spominjajo na eno ali drugo geometrijsko figuro.
Vsakdo ima doma, v šoli ali na delovnem mestu računalnik, katerega sistemska enota je oblikovana kot ravna prizma.
Če vzamete v roke preprost svinčnik, boste videli, da je glavni del svinčnika prizma.
Ko se sprehajamo po osrednji ulici mesta, vidimo, da pod našimi nogami leži ploščica, ki ima obliko šesterokotne prizme.
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Učbenik za izobraževalne ustanove
Mnogokotnika ABCDE in FHKMP, ki ležita v vzporednih ravninah, imenujemo osnove prizme, navpičnica OO 1, spuščena iz katere koli točke osnove na ravnino druge, se imenuje višina prizme. Paralelogrami ABHF, BCKH itd. se imenujejo stranske ploskve prizme, njihove stranice SC, DM itd., ki povezujejo ustrezna oglišča baz, pa se imenujejo stranski robovi. V prizmi so vsi stranski robovi med seboj enaki kot odseki vzporednih ravnin, zaprtih med vzporednima ravninama.
Prizma se imenuje ravna črta ( Slika 282, b) ali poševno ( Slika 282, c) odvisno od tega, ali so njegova stranska rebra pravokotna ali nagnjena na podlage. Ravna prizma ima pravokotne stranske ploskve. Stranski rob lahko vzamemo kot višino takšne prizme.
Pravilna prizma se imenuje pravilna, če sta njeni osnovi pravilni mnogokotnik. V taki prizmi so vse stranske ploskve enaki pravokotniki.
Če želite prikazati prizmo na kompleksni risbi, morate poznati in znati upodobiti elemente, iz katerih je sestavljena (točka, ravna črta, ravna figura).
in njihova podoba v kompleksni risbi (sl. 283, a - i)
a) Kompleksna risba prizme. Osnova prizme se nahaja na projekcijski ravnini P 1; ena od stranskih ploskev prizme je vzporedna s projekcijsko ravnino P 2.
b) Spodnja osnova prizme DEF je ravna figura - pravilen trikotnik, ki se nahaja v ravnini P 1; stranica trikotnika DE je vzporedna z osjo x 12 - vodoravna projekcija se zlije z dano osnovo in je zato enaka njeni naravni velikosti; Čelna projekcija se zlije z osjo x 12 in je enaka stranici baze prizme.
c) Zgornja osnova prizme ABC je ravna figura - trikotnik, ki se nahaja v vodoravni ravnini. Horizontalna projekcija se zlije s projekcijo spodnje baze in jo prekrije, saj je prizma ravna; čelna projekcija - ravna, vzporedna z osjo x 12, na razdalji višine prizme.
d) Stranska ploskev prizme ABED je ploščat lik - pravokotnik, ki leži v čelni ravnini. Čelna projekcija - pravokotnik, ki je enak naravni velikosti obraza; vodoravna projekcija je ravna črta, ki je enaka stranici baze prizme.
e) in f) Stranske ploskve prizem ACFD in CBEF so ravne figure - pravokotniki, ki ležijo v vodoravnih projekcijskih ravninah, ki se nahajajo pod kotom 60 ° na projekcijsko ravnino P 2. Horizontalne projekcije so ravne črte, ki se nahajajo na osi x 12 pod kotom 60° in so enake naravni velikosti stranic baze prizme; čelne projekcije so pravokotniki, katerih slike so manjše od naravne velikosti: dve strani vsakega pravokotnika sta enaki višini prizme.
g) Rob AD prizme je premica, pravokotna na projekcijsko ravnino P 1. Horizontalna projekcija - točka; čelno - ravno, pravokotno na os x 12, enako stranskemu robu prizme (višina prizme).
h) Stranica AB zgornje osnovke je ravna, vzporedna z ravninama P 1 in P 2. Horizontalna in čelna projekcija sta ravni, vzporedni z osjo x 12 in enaki stranici dane osnove prizme. Čelna projekcija je odmaknjena od osi x 12 na razdalji, ki je enaka višini prizme.
i) Oglišča prizme. Točka E - vrh spodnje baze se nahaja na ravnini P 1. Vodoravna projekcija sovpada s samo točko; frontalno - leži na osi x 12 Točka C - vrh zgornje baze - se nahaja v prostoru. Horizontalna projekcija ima globino; čelna - višina enaka višini te prizme.
Iz tega sledi: Ko načrtujete polieder, ga morate miselno razdeliti na sestavne elemente in določiti vrstni red njihove predstavitve, ki je sestavljen iz zaporednih grafičnih operacij. Sliki 284 in 285 prikazujeta primera zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksne risbe in vizualne predstavitve (aksonometrije) prizem.
(Slika 284).
podano:
1. Osnova se nahaja na projekcijski ravnini P 1.
2. Nobena stran baze ni vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a.
Oblikujemo spodnjo osnovo - mnogokotnik, ki po pogoju leži v ravnini P1.
jaz, b.
Načrtujemo zgornjo osnovo - mnogokotnik, ki je enak spodnji osnovi s stranicami, ki so ustrezno vzporedne s spodnjo osnovo, oddaljeno od spodnje baze za višino H dane prizme.
jaz, c.
Oblikujemo stranske robove prizme - segmente, ki se nahajajo vzporedno; njihove vodoravne projekcije so točke, ki se spajajo s projekcijami oglišč baz; čelni - segmenti (vzporedni), dobljeni s povezovanjem z ravnimi črtami projekcij oglišč istoimenskih baz. Čelne projekcije reber, narisane iz projekcij oglišč B in C spodnje baze, so upodobljene s črtkanimi črtami, kot da bi bile nevidne.
jaz, g. Podano: horizontalna projekcija F 1 točke F na zgornjo podlago in čelna projekcija K 2 točke K na stransko ploskev. Potrebno je določiti lokacije njihovih drugih projekcij. Za točko F. Druga (čelna) projekcija F 2 točke F bo sovpadala s projekcijo zgornje baze, kot točka, ki leži v ravnini te baze; njegovo mesto določa vertikalna komunikacijska linija.
Na projekcijah so razkrite naravne dimenzije baz in stranic ploskev, ki so potrebne za gradnjo razvoja; gradimo na njih; Na ravni črti zaporedno narišemo stranice AB, BC, CD, DE in EA mnogokotnika - osnove prizme, vzete iz vodoravne projekcije. Na navpičnice, narisane iz točk A, B, C, D, E in A, narišemo višino H te prizme, vzeto iz čelne projekcije, in skozi oznake narišemo ravno črto. Kot rezultat dobimo skeniranje stranskih ploskev prizme.
Če na ta razvitek pritrdimo osnove prizme, dobimo razvitek polne ploskve prizme. Osnove prizme je treba z metodo triangulacije pritrditi na ustrezno stransko ploskev.
Na zgornji podlagi prizme s polmeroma R in R 1 določimo lokacijo točke F, na stranski ploskvi pa s polmeroma R 3 in H 1 določimo točko K.
III. Vizualna predstavitev prizme v dimetriji.
III, a.
Spodnjo osnovo prizme upodabljamo glede na koordinate točk A, B, C, D in E (slika 284 I, a).
III, b.
Zgornjo bazo upodabljamo vzporedno s spodnjo, oddaljeno od nje za višino H prizme.
III, c.
Stranske robove upodabljamo tako, da z ravnimi črtami povežemo ustrezna oglišča baz. Določimo vidne in nevidne elemente prizme in jih obrišemo z ustreznimi črtami,
podano:
III, d. določimo točki F in K na ploskvi prizme - točko F - na zgornji podlagi določimo z dimenzijama i in e; točka K - na stranski strani z i 1 in H" .
Za izometrično sliko prizme in določitev lokacij točk F in K je treba slediti istemu zaporedju.
Slika 285).
I. Kompleksna risba.
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Stranska rebra so vzporedna z ravnino P 2.
3. Nobena stranica baze ni vzporedna z osjo x 12
jaz, a.
I, g. Glede na čelno projekcijo Q 2 točke Q na projekcijo A 2 K 2 F 2 D 2 stranske ploskve; morate najti njegovo vodoravno projekcijo. Če želite to narediti, narišite pomožno črto skozi točko Q 2 v projekciji A 2 K 2 F 2 D 2 ploskve prizme, vzporedno s stranskimi robovi te ploskve. Poiščemo vodoravno projekcijo pomožne črte in na njej z navpično povezovalno črto določimo lokacijo želene vodoravne projekcije Q 1 točke Q.
II. Razvoj površine prizme.
Z naravnimi dimenzijami stranic baze na vodoravni projekciji in dimenzijami reber na čelni projekciji je mogoče konstruirati popoln razvoj površine dane prizme.
Prizmo bomo vrteli tako, da jo bomo vsakič zavrteli okoli stranskega roba, nato bo vsaka stranska ploskev prizme na ravnini pustila sled (paralelogram), ki je enak njeni naravni velikosti. Stranski pregled bomo izdelali v naslednjem vrstnem redu:
a) iz točk A 2, B 2, D 2. . . E 2 (čelne projekcije oglišč baz) narišemo pomožne ravne črte, pravokotne na projekcije reber;
b) s polmerom R (enakim stranici osnovne CD) naredimo zarezo v točki D na pomožni premici, ki poteka iz točke D 2 ; s povezavo premic C 2 in D ter risanjem ravnic, vzporednih z E 2 C 2 in C 2 D, dobimo stransko ploskev CEFD;
c) potem s podobno ureditvijo naslednjih stranskih ploskev dobimo razvitje stranskih ploskev prizme. Da dobimo popoln razvoj površine te prizme, jo pritrdimo na ustrezne ploskve baze.
III. Vizualna predstavitev prizme v izometriji.
III, a.