»Vidim skupine nejasnih števil, ki so skrite tam v temi, za majhno svetlobo, ki jo daje sveča razuma. Šepetata si; zaroto kdo ve kaj. Morda nas ne marajo preveč, ker smo v svoje misli ujeli njihove mlajše brate. Ali pa morda preprosto živijo enomestno življenje, zunaj našega razumevanja.
Douglas Ray
Prej ali slej vsakogar muči vprašanje, kaj je največje število. Na otrokovo vprašanje obstaja milijon odgovorov. kaj sledi trilijon. In še dlje? Pravzaprav je odgovor na vprašanje, katera so največja števila, preprost. Vse, kar morate storiti, je, da največjemu številu dodate eno in to ne bo več največje. Ta postopek se lahko nadaljuje neomejeno dolgo.
Toda če postavite vprašanje: kaj je največje število, ki obstaja, in kako je njegovo pravo ime?
Zdaj bomo izvedeli vse ...
Obstajata dva sistema za poimenovanje številk - ameriški in angleški.
Ameriški sistem je zgrajen povsem preprosto. Vsa imena velikih števil so sestavljena takole: na začetku je latinska redna številka, na koncu pa se ji doda pripona -milijon. Izjema je ime »milijon«, ki je ime števila tisoč (lat. mille) in povečevalno pripono -illion (glej tabelo). Tako dobimo številke trilijon, kvadrilijon, kvintilion, sekstilijon, septilijon, oktilion, nonilijon in decilijon. Ameriški sistem uporabljajo v ZDA, Kanadi, Franciji in Rusiji. Število ničel v številu, zapisanem v ameriškem sistemu, lahko ugotovite s preprosto formulo 3 x + 3 (kjer je x latinska številka).
Angleški sistem poimenovanja je najpogostejši na svetu. Uporabljajo ga na primer v Veliki Britaniji in Španiji ter v večini nekdanjih angleških in španskih kolonij. Imena števil v tem sistemu so zgrajena takole: takole: latinski številki se doda pripona -milijon, naslednja številka (1000-krat večja) je zgrajena po principu - ista latinska številka, vendar pripona - milijarde. To pomeni, da za trilijonom v angleškem sistemu sledi trilijon in šele nato kvadrilijon, ki mu sledi kvadrilijon itd. Tako sta kvadrilijon po angleškem in ameriškem sistemu popolnoma različni številki! Število ničel v številu, ki je napisano po angleškem sistemu in se konča s pripono -milijon, lahko ugotovite z uporabo formule 6 x + 3 (kjer je x latinska številka) in z uporabo formule 6 x + 6 za števila. ki se konča z - milijardo.
Iz angleškega sistema je v ruski jezik prešla le številka milijarda (10 9), ki bi jo bilo še vedno bolj pravilno imenovati, kot jo imenujejo Američani - milijarda, saj smo prevzeli ameriški sistem. Kdo pa pri nas dela kaj po pravilih! ;-) Mimogrede, včasih se beseda bilijon uporablja v ruščini (to se lahko prepričate sami, če poiščete Google ali Yandex) in očitno pomeni 1000 bilijonov, tj. kvadrilijon.
Poleg števil, zapisanih z latinskimi predponami po ameriškem ali angleškem sistemu, poznamo tudi tako imenovana nesistemska števila, t.j. številke, ki imajo svoja imena brez kakršnih koli latinskih predpon. Takšnih številk je več, vendar vam bom o njih povedal malo kasneje.
Vrnimo se k pisanju z latinskimi številkami. Zdi se, da lahko zapišejo številke do neskončnosti, vendar to ni povsem res. Zdaj bom pojasnil, zakaj. Poglejmo najprej, kako se imenujejo števila od 1 do 10 33:
In zdaj se postavlja vprašanje, kaj naprej. Kaj je za decilijonom? Načeloma je seveda mogoče s kombiniranjem predpon ustvariti takšne pošasti, kot so: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion in novemdecillion, vendar bodo to že sestavljena imena in nas je zanimalo številke naših lastnih imen. Zato lahko po tem sistemu poleg zgoraj navedenih še vedno dobite samo tri lastna imena - vigintillion (iz lat.viginti- dvajset), centilijon (iz lat.centum- sto) in milijon (iz lat.mille- tisoč). Rimljani niso imeli več kot tisoč lastnih imen za števila (vsa števila nad tisoč so bila sestavljena). Na primer, Rimljani so imenovali milijon (1.000.000)decies centena milia, to je "desetsto tisoč." In zdaj, pravzaprav, tabela:
Tako so po takem sistemu števila večja od 10 3003 , ki bi imela svoje, nezloženo ime, je nemogoče dobiti! Toda kljub temu so znane številke, večje od milijona - to so iste nesistemske številke. Končno spregovorimo o njih.
Najmanjša taka številka je miriada (je celo v Dahlovem slovarju), kar pomeni sto stotin, torej 10.000, vendar je ta beseda zastarela in se praktično ne uporablja, zanimivo pa je, da je beseda »miriade«. široko uporabljen, sploh ne pomeni določenega števila, temveč nešteto, nešteto množico česa. Menijo, da je beseda nešteto prišla v evropske jezike iz starega Egipta.
O izvoru te številke obstajajo različna mnenja. Nekateri menijo, da izvira iz Egipta, drugi pa, da se je rodil šele v stari Grčiji. Kakor koli že, nešteto je zaslovelo prav po zaslugi Grkov. Nešteto je bilo ime za 10.000, ni pa bilo imen za števila, večja od deset tisoč. Vendar pa je Arhimed v svojem zapisu "Psammit" (tj. Peščeni račun) pokazal, kako sistematično konstruirati in poimenovati poljubno velika števila. Natančneje, ko v makovo seme položi 10.000 (nešteto) zrn peska, ugotovi, da v vesolju (krogla s premerom nešteto premerov Zemlje) ne bi ustrezalo (v našem zapisu) več kot 10 63
zrna peska Zanimivo je, da sodobni izračuni števila atomov v vidnem vesolju vodijo do številke 10 67
(skupaj neštetokrat več). Arhimed je predlagal naslednja imena za številke:
1 miriada = 10 4 .
1 di-miriada = miriada miriad = 10 8
.
1 trimiriada = di-miriada di-miriada = 10 16
.
1 tetramiriad = trimiriade trimiriade = 10 32
.
itd.
Google(iz angleškega googol) je število deset na stoto potenco, torej ena, ki ji sledi sto ničel. O »googolu« je leta 1938 v članku »Nova imena v matematiki« v januarski številki revije Scripta Mathematica prvič pisal ameriški matematik Edward Kasner. Po njegovih besedah je bil njegov devetletni nečak Milton Sirotta tisti, ki je predlagal, da bi veliko številko poimenovali "googol". Ta številka je postala splošno znana po zaslugi iskalnika, poimenovanega po njej. Google. Upoštevajte, da je "Google" ime blagovne znamke, googol pa številka.
Edvard Kasner.
Na internetu lahko pogosto zasledite, da se omenja - a to ni res ...
V znameniti budistični razpravi Jaina Sutra, ki sega v leto 100 pr. n. št., se pojavlja številka asankheya(iz Kitajske asenzi- nešteto), enako 10 140. Menijo, da je to število enako številu kozmičnih ciklov, potrebnih za dosego nirvane.
Googolplex(angleščina) googolplex) - številka, ki sta jo prav tako izumila Kasner in njegov nečak in pomeni ena z googolom ničel, to je 10 10100 . Takole sam Kasner opisuje to "odkritje":
Otroci govorijo modre besede vsaj tako pogosto kot znanstveniki. Ime "googol" si je izmislil otrok (devetletni nečak dr. Kasnerja), ki so ga prosili, naj si izmisli ime za zelo veliko število, in sicer 1 s sto ničlami za njim. Bil je zelo prepričan to število ni bilo neskončno, zato je enako gotovo moralo imeti ime, hkrati pa je dal ime za še večje število: "Googolplex je veliko večji od googola." vendar je še vedno končna, kot je hitro poudaril izumitelj imena.
Matematika in domišljija(1940) Kasnerja in Jamesa R. Newmana.
Še večje število kot googolplex - Število Skewes (Skewesovo število) je leta 1933 predlagal Skewes (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) pri dokazovanju Riemannove hipoteze o praštevilih. To pomeni e do stopnje e do stopnje e na potenco 79, to je ee e 79 . Kasneje te Riele, H. J. J. "O znaku razlike p(x)-Li(x).« matematika Računalništvo. 48, 323-328, 1987) zmanjšal število Skuse na ee 27/4 , kar je približno enako 8,185·10 370. Jasno je, da je vrednost števila Skuse odvisna od števila e, potem ni celo število, zato ga ne bomo upoštevali, sicer bi se morali spomniti drugih nenaravnih števil - števila pi, števila e itd.
Vendar je treba opozoriti, da obstaja drugo Skusejevo število, ki se v matematiki označuje kot Sk2, ki je celo večje od prvega Skusejevega števila (Sk1). Druga številka Skewes, je uvedel J. Skuse v istem članku za označevanje števila, za katerega Riemannova hipoteza ne drži. Sk2 je enako 1010 10103 , to je 1010 101000 .
Kot razumete, več kot je stopinj, težje je razumeti, katera številka je večja. Na primer, če pogledamo Skewesova števila, je brez posebnih izračunov skoraj nemogoče razumeti, katera od teh dveh številk je večja. Tako postane uporaba potenc za super velika števila neprijetna. Poleg tega lahko pridete do takšnih številk (in že so bile izumljene), ko stopinje stopinj preprosto ne ustrezajo strani. Da, to je na strani! Ne bodo sodile niti v knjigo velikosti celega vesolja! V tem primeru se postavlja vprašanje, kako jih zapisati. Problem je, kot razumete, rešljiv in matematiki so razvili več načel za pisanje takšnih številk. Res je, da je vsak matematik, ki se je spraševal o tem problemu, prišel do svojega načina pisanja, kar je privedlo do obstoja več, med seboj nepovezanih metod za zapisovanje števil - to so zapisi Knuta, Conwaya, Steinhousea itd.
Razmislite o zapisu Huga Stenhousea (H. Steinhaus. Matematični posnetki, 3. izd. 1983), kar je precej preprosto. Stein House je predlagal pisanje velikih števil v geometrijske oblike - trikotnik, kvadrat in krog:
Steinhouse je prišel do dveh novih supervelikih številk. Poimenoval je številko - Mega, številka pa je Megiston.
Matematik Leo Moser je izpopolnil Stenhouseov zapis, ki je bil omejen s tem, da so se pojavile težave in nevšečnosti, če je bilo treba zapisati števila, veliko večja od megistona, saj je bilo treba mnogo krogov risati enega v drugega. Moser je predlagal, da po kvadratih ne narišete krogov, ampak petkotnike, nato šestkotnike itd. Predlagal je tudi formalno notacijo za te poligone, tako da je bilo mogoče zapisovati številke brez risanja zapletenih slik. Moserjeva notacija izgleda takole:
Tako je po Moserjevem zapisu Steinhouseov mega zapisan kot 2, megiston pa kot 10. Poleg tega je Leo Moser predlagal, da se mnogokotnik s številom stranic, ki je enak mega, imenuje megagon. In predlagal je število "2 v Megagonu", to je 2. To število je postalo znano kot Moserjeva številka ali preprosto kot Moser
Vendar Moser ni največja številka. Največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v matematičnih dokazih, je meja, znana kot Grahamova številka(Grahamovo število), prvič uporabljeno leta 1977 pri dokazu ene ocene v Ramseyjevi teoriji. Povezano je z bikromatskimi hiperkockami in ga ni mogoče izraziti brez posebnega 64-nivojskega sistema posebnih matematičnih simbolov, ki ga je leta 1976 uvedel Knuth.
Na žalost števila, zapisanega v Knuthovem zapisu, ni mogoče pretvoriti v zapis z uporabo Moserjevega sistema. Zato bomo morali pojasniti tudi ta sistem. Načeloma tudi v tem ni nič zapletenega. Donald Knuth (da, da, to je isti Knuth, ki je napisal "Umetnost programiranja" in ustvaril urejevalnik TeX) je prišel do koncepta supermoči, ki ga je predlagal zapisati s puščicami, usmerjenimi navzgor:
Na splošno izgleda takole:
Mislim, da je vse jasno, zato se vrnimo k Grahamovi številki. Graham je predlagal tako imenovana G-števila:
Številka G63 se je začela imenovati Grahamova številka(pogosto je označen preprosto kot G). To število je največje znano število na svetu in je celo navedeno v Guinnessovi knjigi rekordov. No, Grahamovo število je večje od Moserjevega.
P.S. Da bi prinesel veliko korist vsemu človeštvu in postal znan skozi stoletja, sem se odločil, da bom sam izmislil in poimenoval največje število. Ta številka bo poklicana sponka in je enako številu G100. Zapomnite si ga in ko vaši otroci vprašajo, katero je največje število na svetu, jim povejte, da se imenuje to število sponka
Ali torej obstajajo števila, ki so večja od Grahamovega? Za začetek je seveda Grahamova številka. Kar zadeva pomembno število ... no, obstaja nekaj hudičevo zapletenih področij matematike (zlasti področja, znanega kot kombinatorika) in računalništva, kjer se pojavljajo števila, ki so celo večja od Grahamovega. Toda skoraj smo dosegli mejo tega, kar je mogoče racionalno in jasno razložiti.
Nekoč v otroštvu smo se učili šteti do deset, nato do sto, nato do tisoč. Torej, kaj je največje število, ki ga poznate? Tisoč, milijon, milijarda, trilijon ... In potem? Petallion, bo nekdo rekel in se bo zmotil, saj zamenjuje predpono SI s povsem drugim konceptom.
Pravzaprav vprašanje ni tako preprosto, kot se zdi na prvi pogled. Prvič, govorimo o imenovanju imen moči tisoč. In tukaj je prvi odtenek, ki ga mnogi poznajo iz ameriških filmov, da našo milijardo imenujejo milijarda.
Poleg tega obstajata dve vrsti lestvic - dolga in kratka. Pri nas se uporablja kratka lestvica. V tej lestvici se na vsakem koraku mantisa poveča za tri velikosti, tj. pomnožite s tisoč - tisoč 10 3, milijon 10 6, milijarda/milijarda 10 9, bilijon (10 12). V daljšem merilu je za milijardo 10 9 milijarda 10 12, nato pa se mantisa poveča za šest velikostnih redov in naslednja številka, ki se imenuje bilijon, že pomeni 10 18.
A vrnimo se k domačemu merilu. Želite vedeti, kaj pride po bilijonu? Prosim:
10 3 tisoč
106 milijonov
109 milijard
10 12 bilijonov
10 15 kvadrilijonov
10 18 kvintiljonov
10 21 sekstilijonov
10 24 septilijonov
10 27 oktilionov
10 30 nonillion
1033 decilijonov
10 36 undecillion
10 39 dodecilijonov
10 42 tredecilijonov
10 45 kvatordecilijonov
10 48 kvindecilijonov
10 51 cedecilion
10 54 sept
10 57 duodevigintillion
10 60 nedevigintilijonov
10 63 vigintilion
10 66 anvigintilion
10 69 duovigintilion
10 72 trevigintilijonov
10 75 quattorvigintillion
10 78 kvinvigintilijonov
10 81 sexvigintillion
10 84 septembervigintillion
10 87 octovigintillion
10 90 novemvigtillion
10 93 trigintilijonov
10 96 antigintilion
Pri tem številu naša kratka lestvica ne zdrži in nato bogomolka postopoma narašča.
10 100 googol
10.123 kvadragintilijonov
10.153 kvinkvagintilijonov
10.183 seksagintilijonov
10.213 septuagintilijonov
10.243 oktogintilijonov
10.273 nonagintilijonov
10.303 centilijonov
10.306 centunilijonov
10.309 centulionov
10.312 centtrilijonov
10.315 centkvadrilijonov
10.402 centretrigintilijona
10.603 decentilijonov
10.903 trcentilijonov
10 1203 kvadrigentilijonov
10 1503 kvingentilijonov
10 1803 sescentilijonov
10 2103 septingentilijonov
10 2403 okstingentilijonov
10 2703 negentilijonov
10 3003 milijonov
10 6003 dva milijona
10 9003 tri milijone
10 3000003 milijard milijonov
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 bilijonov
Google(iz angleškega googol) - število v decimalnem številskem sistemu, ki ga predstavlja enota, ki ji sledi 100 ničel:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Leta 1938 se je ameriški matematik Edward Kasner (1878-1955) sprehajal po parku s svojima nečakoma in z njima razpravljal o velikih številih. Med pogovorom sva govorila o številu s sto ničlami, ki pa ni imelo svojega imena. Eden od nečakov, devetletni Milton Sirotta, je predlagal, da bi to številko poimenovali »googol«. Leta 1940 je Edward Kasner skupaj z Jamesom Newmanom napisal poljudnoznanstveno knjigo "Matematika in domišljija" ("Nova imena v matematiki"), kjer je ljubiteljem matematike povedal o številki googol.
Izraz "googol" nima resnega teoretičnega ali praktičnega pomena. Kasner ga je predlagal, da bi ponazoril razliko med nepredstavljivo velikim številom in neskončnostjo, izraz pa se v ta namen včasih uporablja pri poučevanju matematike.
Googolplex(iz angleškega googolplex) - število, ki ga predstavlja enota z googolom ničel. Tako kot googol sta izraz "googolplex" skovala ameriški matematik Edward Kasner in njegov nečak Milton Sirotta.
Število googolov je večje od števila vseh delcev v nam znanem delu vesolja, ki sega od 1079 do 1081. Tako števila googolplex, sestavljenega iz (googol + 1) števk, ne moremo zapisati v klasični »decimalni« obliki, tudi če bi se vsa snov v znanih delih vesolja spremenila v papir in črnilo ali prostor na računalniškem disku.
Zillion(angleško zillion) - splošno ime za zelo velika števila.
Ta izraz nima stroge matematične definicije. Leta 1996 sta Conway (eng. J. H. Conway) in Guy (eng. R. K. Guy) v knjigi English. Knjiga števil je definirala n-to potenco zillion kot 10 3×n+3 za sistem poimenovanja števil v kratkem merilu.
Obstajajo številke, ki so tako neverjetno, neverjetno velike, da bi bilo potrebno celotno vesolje, da bi jih sploh zapisali. Toda tukaj je tisto, kar je res noro ... nekatere od teh neznansko velikih številk so ključnega pomena za razumevanje sveta.
Ko rečem "največje število v vesolju", res mislim največje pomembenštevilo, največje možno število, ki je na nek način uporabno. Za ta naslov je veliko kandidatov, a takoj vas opozorim: resnično obstaja tveganje, da vam bo poskušanje vsega tega razvozlati glavo. In poleg tega se s preveč matematike ne boste prav zabavali.
Googol in googolplex
Edvard Kasner
Lahko bi začeli z dvema verjetno največjima številoma, za kateri ste kdaj slišali, in to sta dejansko dve največji števili, ki imata splošno sprejeti definiciji v angleškem jeziku. (Obstaja dokaj natančna nomenklatura, ki se uporablja za označevanje tako velikih števil, kot bi želeli, vendar teh dveh števil dandanes ne boste našli v slovarjih.) Googol, odkar je postal svetovno znan (čeprav z napakami, opomba. v resnici je googol ) v obliki Googla, ki se je rodil leta 1920 kot način, kako otroke navdušiti za velika števila.
V ta namen je Edward Kasner (na sliki) peljal svoja dva nečaka, Miltona in Edwina Sirotta, na sprehod skozi New Jersey Palisades. Povabil jih je, naj pripravijo kakršne koli zamisli, nato pa je devetletni Milton predlagal "googol". Od kod mu ta beseda, ni znano, a Kasner se je tako odločil 
ali število, v katerem za enoto sledi sto ničel, se bo odslej imenovalo googol.
Toda mladi Milton se ni ustavil pri tem; predlagal je še večjo številko, googolplex. To je število, po Miltonu, v katerem je na prvem mestu 1, nato pa toliko ničel, kot bi jih lahko napisal, preden bi se naveličal. Čeprav je ideja fascinantna, se je Kasner odločil, da je potrebna bolj formalna definicija. Kot je razložil v svoji knjigi Mathematics and the Imagination iz leta 1940, Miltonova definicija pušča odprto tvegano možnost, da bi naključni norček postal boljši matematik od Alberta Einsteina preprosto zato, ker ima več vzdržljivosti.
Zato se je Kasner odločil, da bo googolplex ali 1 in nato googol ničel. V nasprotnem primeru in v zapisu, podobnem tistemu, ki ga bomo obravnavali za druga števila, bomo rekli, da je googolplex . Da bi pokazal, kako fascinantno je to, je Carl Sagan nekoč ugotovil, da je fizično nemogoče zapisati vse ničle googolplexa, ker preprosto ni dovolj prostora v vesolju. Če celotno prostornino opazljivega vesolja napolnimo z majhnimi prašnimi delci, velikimi približno 1,5 mikrona, bo število različnih načinov, na katere lahko te delce razporedimo, približno enako enemu googolplexu.
Jezikovno gledano sta googol in googolplex verjetno dve največji pomembni številki (vsaj v angleškem jeziku), vendar, kot bomo zdaj ugotovili, obstaja neskončno veliko načinov za opredelitev "pomena".
Realni svet
Če govorimo o največjem pomembnem številu, obstaja razumen argument, da to res pomeni, da moramo najti največje število z vrednostjo, ki dejansko obstaja na svetu. Začnemo lahko s trenutno človeško populacijo, ki je trenutno okoli 6920 milijonov. Svetovni BDP je bil leta 2010 ocenjen na približno 61.960 milijard dolarjev, vendar sta ti številki nepomembni v primerjavi s približno 100 bilijoni celic, ki sestavljajo človeško telo. Seveda se nobeno od teh števil ne more primerjati s skupnim številom delcev v vesolju, ki se na splošno šteje za približno , in to število je tako veliko, da naš jezik nima besede zanj.
Lahko se malo poigramo s sistemi mer, tako da so številke vedno večje. Tako bo masa Sonca v tonah manjša kot v funtih. Odličen način za to je uporaba Planckovega sistema enot, ki so najmanjše možne mere, za katere še vedno veljajo zakoni fizike. Na primer, starost vesolja v Planckovem času je približno. Če se vrnemo k prvi Planckovi časovni enoti po velikem poku, bomo videli, da je bila takrat gostota vesolja . Dobivamo vse več, a do googola še nismo prišli.
Največje število s katero koli aplikacijo v resničnem svetu - ali v tem primeru aplikacija v resničnem svetu - je verjetno ena najnovejših ocen števila vesolj v multiverzumu. To število je tako veliko, da človeški možgani dobesedno ne bodo mogli zaznati vseh teh različnih vesolj, saj so možgani sposobni le približnih konfiguracij. Pravzaprav je to število verjetno največje število, ki ima kakršen koli praktičen smisel, razen če upoštevate idejo o multiverzumu kot celoti. Vendar pa se tam skrivajo še veliko večje številke. Toda da bi jih našli, moramo iti v področje čiste matematike in ni boljšega mesta za začetek kot praštevila.
Mersennova praštevila
Del izziva je pripraviti dobro definicijo, kaj je "pomembno" število. Eden od načinov je razmišljanje v smislu praštevil in sestavljenih števil. Praštevilo, kot se verjetno spomnite iz šolske matematike, je vsako naravno število (ne enako ena), ki je deljivo samo s samim seboj. Torej, in sta praštevili in in sta sestavljeni števili. To pomeni, da lahko vsako sestavljeno število na koncu predstavimo s svojimi prafaktorji. Na nek način je število pomembnejše od, na primer, , ker ga ni mogoče izraziti z zmnožkom manjših števil.
Očitno lahko gremo še malo dlje. , na primer, je pravzaprav samo , kar pomeni, da v hipotetičnem svetu, kjer je naše znanje o številih omejeno na , lahko matematik še vedno izrazi število . Toda naslednje število je praštevilo, kar pomeni, da je edini način, da ga izrazimo, neposredno vedeti za njegov obstoj. To pomeni, da največja znana praštevila igrajo pomembno vlogo, vendar, recimo, googol - ki je na koncu le zbirka števil in , pomnoženih skupaj - pravzaprav ne. In ker so praštevila v bistvu naključna, ni znanega načina za predvidevanje, da bo neverjetno veliko število dejansko praštevilo. Do danes je odkrivanje novih praštevil težak podvig.
Matematiki stare Grčije so imeli koncept praštevil vsaj že leta 500 pr. n. št. in 2000 let kasneje so ljudje še vedeli, katera števila so praštevila le do približno 750. Misleci iz Evklidovega časa so videli možnost poenostavitve, vendar ni bila dokler ga renesančni matematiki niso mogli zares uporabiti v praksi. Ta števila so znana kot Mersennova števila, poimenovana po francoskem znanstveniku Marinu Mersennu iz 17. stoletja. Ideja je povsem preprosta: Mersennovo število je poljubno število oblike . Torej, na primer, in to število je praštevilo, enako velja za.
Mersennovo praštevilo je veliko hitreje in lažje določiti kot katero koli drugo praštevilo, računalniki pa so jih zadnjih šest desetletij trdo iskali. Do leta 1952 je bilo največje znano praštevilo število – število s ciframi. Istega leta je računalnik izračunal, da je število pra, to število pa je sestavljeno iz števk, zaradi česar je veliko večje od googola.
Od takrat so računalniki na lovu in trenutno je Mersennovo število največje praštevilo, ki ga pozna človeštvo. Odkrili so ga leta 2008 in predstavlja številko s skoraj milijoni števk. To je največje znano število, ki ga ni mogoče izraziti z manjšimi številkami, in če želite pomoč pri iskanju še večjega Mersennovega števila, se lahko vi (in vaš računalnik) vedno pridružite iskanju na http://www.mersenne org /.
Število Skewes
Stanley Skewes
Ponovno poglejmo praštevila. Kot sem rekel, se obnašajo bistveno napačno, kar pomeni, da ni mogoče predvideti, kaj bo naslednje praštevilo. Matematiki so bili prisiljeni uporabiti nekaj precej fantastičnih meritev, da bi našli način za napovedovanje prihodnjih praštevil, tudi na nejasen način. Najuspešnejši od teh poskusov je verjetno funkcija štetja praštevil, ki jo je v poznem 18. stoletju izumil legendarni matematik Carl Friedrich Gauss.
Prihranil vam bom bolj zapleteno matematiko – tako ali tako nas čaka še veliko več – toda bistvo funkcije je naslednje: za katero koli celo število lahko ocenite, koliko praštevil je manjših od . Na primer, če , funkcija predvideva, da bi morala obstajati praštevila, če bi morala biti praštevila, manjša od , in če bi morala obstajati manjša praštevila, ki so praštevila.
Razporeditev praštevil je res nepravilna in je le približek dejanskega števila praštevil. Pravzaprav vemo, da obstajajo praštevila, manjša od , praštevila, manjša od , in praštevila, manjša od . To je seveda odlična ocena, vendar je vedno le ocena ... in natančneje ocena od zgoraj.
V vseh znanih primerih do , funkcija, ki najde število praštevil, nekoliko preceni dejansko število praštevil, manjših od . Matematiki so nekoč mislili, da bo tako vedno, ad infinitum, in da bo to zagotovo veljalo za nekatera nepredstavljivo ogromna števila, toda leta 1914 je John Edensor Littlewood dokazal, da bo za neko neznano, nepredstavljivo veliko število ta funkcija začela ustvarjati manj praštevil. , nato pa bo neskončno številokrat preklopil med zgornjo in spodnjo oceno.
Lov je potekal na štartni točki dirk, nato pa se je pojavil Stanley Skewes (glej fotografijo). Leta 1933 je dokazal, da je zgornja meja, ko funkcija, ki približuje število praštevil, najprej proizvede manjšo vrednost, število . Težko je zares razumeti, tudi v najbolj abstraktnem smislu, kaj to število dejansko predstavlja, in s tega vidika je bilo največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v resnem matematičnem dokazu. Matematiki so od takrat lahko zmanjšali zgornjo mejo na razmeroma majhno število, vendar prvotno število ostaja znano kot Skewesovo število.
Kako velika je torej številka, ki zasenči celo mogočni googolplex? V The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells pripoveduje o enem od načinov, kako je matematiku Hardyju uspelo konceptualizirati velikost števila Skuse:
»Hardy je mislil, da je to »največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno za kakršen koli poseben namen v matematiki«, in predlagal, da če bi igrali partijo šaha z vsemi delci vesolja kot figurami, bi bila ena poteza sestavljena iz zamenjave dveh delcev in bi se igra ustavila, ko bi se isti položaj ponovil še tretjič, potem bi bilo število vseh možnih iger približno enako Skusejevemu številu.'
Še zadnja stvar, preden gremo naprej: govorili smo o manjšem od obeh Skewesovih števil. Obstaja še eno Skusejevo število, ki ga je matematik odkril leta 1955. Prvo število izhaja iz dejstva, da je tako imenovana Riemannova hipoteza resnična - to je posebej težka hipoteza v matematiki, ki ostaja nedokazana, zelo uporabna, ko gre za praštevila. Če pa je Riemannova hipoteza napačna, je Skuse ugotovil, da se začetna točka skokov poveča na .
Problem velikosti
Preden pridemo do števila, zaradi katerega je celo Skewesovo število videti majhno, se moramo malo pogovoriti o obsegu, ker sicer ne moremo oceniti, kam bomo šli. Najprej vzemimo številko - to je majhna številka, tako majhna, da lahko ljudje dejansko intuitivno razumejo, kaj pomeni. Zelo malo je števil, ki ustrezajo temu opisu, saj števila, večja od šest, prenehajo biti ločena števila in postanejo "več", "mnogo" itd.
Zdaj pa vzemimo, tj. . Čeprav intuitivno, tako kot pri številki, dejansko ne moremo razumeti, kaj je, si je zelo enostavno predstavljati, kaj je. Zaenkrat gre dobro. Toda kaj se zgodi, če se preselimo v ? To je enako ali . Še zelo daleč smo od tega, da bi si lahko predstavljali to količino, kot vsako drugo zelo veliko - izgubimo sposobnost dojemanja posameznih delov nekje okoli milijona. (Resda bi trajalo blazno dolgo, da bi dejansko prešteli do milijon česar koli, a bistvo je, da smo še vedno sposobni zaznati to številko.)
Vendar, čeprav si ne moremo predstavljati, lahko vsaj na splošno razumemo, kaj je 7600 milijard, morda če jih primerjamo z nečim, kot je ameriški BDP. Premaknili smo se od intuicije k predstavitvi k preprostemu razumevanju, vendar imamo vsaj še vedno nekaj vrzeli v razumevanju tega, kaj število je. To se bo kmalu spremenilo, ko se premaknemo še eno stopničko navzgor po lestvici.
Da bi to naredili, se moramo premakniti na zapis, ki ga je uvedel Donald Knuth, znan kot zapis s puščico. Ta zapis lahko zapišemo kot. Ko gremo nato na , bo številka, ki jo dobimo, . To je enako seštevku trojk. Vse druge številke, o katerih smo že govorili, smo zdaj daleč in resnično presegli. Navsezadnje so imeli tudi največji med njimi le tri ali štiri izraze v seriji indikatorjev. Na primer, tudi super-Skusejevo število je »samo« - tudi ob upoštevanju dejstva, da sta osnova in eksponenta veliko večja od , še vedno ni absolutno nič v primerjavi z velikostjo številskega stolpa z milijardo članov .
Očitno je, da ni mogoče razumeti tako ogromnih števil ... pa vendar je še vedno mogoče razumeti proces, v katerem nastanejo. Nismo mogli razumeti resnične količine, ki jo daje stolp moči z milijardo trojčkov, vendar si v bistvu lahko predstavljamo takšen stolp z veliko členi in res spodoben superračunalnik bi lahko shranil takšne stolpe v pomnilnik, tudi če bi ni mogel izračunati njihove dejanske vrednosti.
To postaja vedno bolj abstraktno, a bo le še slabše. Morda mislite, da je stolp stopinj, katerega eksponentna dolžina je enaka (pravzaprav sem v prejšnji različici tega prispevka naredil točno to napako), vendar je preprosto. Z drugimi besedami, predstavljajte si, da lahko izračunate natančno vrednost močnostnega stolpa trojčkov, ki je sestavljen iz elementov, nato pa ste vzeli to vrednost in ustvarili nov stolp s toliko v njem kot ... to daje .
Ta postopek ponovite z vsako naslednjo številko ( opomba začenši z desne), dokler tega ne storite večkrat, nato pa končno dobite . To je številka, ki je preprosto neverjetno velika, vendar se zdijo vsaj koraki do nje razumljivi, če vse počnete zelo počasi. Števil ne moremo več razumeti ali si predstavljati postopka, po katerem so pridobljene, razumemo pa vsaj osnovni algoritem, le v dovolj dolgem času.
Zdaj pa pripravimo um, da ga bo res razstrelil.
Grahamovo število (Graham)
Ronald Graham
Tako dobite Grahamovo število, ki ima mesto v Guinnessovi knjigi rekordov kot največje število, ki je bilo kdaj uporabljeno v matematičnem dokazu. Popolnoma nemogoče si je predstavljati, kako velik je, in prav tako težko je natančno razložiti, kaj je. V bistvu se Grahamovo število pojavi pri obravnavanju hiperkock, ki so teoretične geometrijske oblike z več kot tremi dimenzijami. Matematik Ronald Graham (glej fotografijo) je želel ugotoviti, pri katerem najmanjšem številu dimenzij bi nekatere lastnosti hiperkocke ostale stabilne. (Oprostite za tako nejasno razlago, vendar sem prepričan, da moramo vsi pridobiti vsaj dve diplomi iz matematike, da bo bolj natančna.)
V vsakem primeru je Grahamovo število zgornja ocena tega najmanjšega števila dimenzij. Torej, kako velika je ta zgornja meja? Vrnimo se k številu, ki je tako veliko, da lahko le nejasno razumemo algoritem za njegovo pridobitev. Zdaj, namesto da samo skočimo še eno stopnjo navzgor na , bomo šteli število, ki ima puščice med prvimi in zadnjimi tremi. Zdaj smo daleč onstran niti najmanjšega razumevanja tega števila ali celo tega, kaj moramo narediti, da ga izračunamo.
Zdaj ponovimo ta postopek enkrat ( opomba pri vsakem naslednjem koraku zapišemo število puščic, ki je enako številu, pridobljenemu v prejšnjem koraku).
To, gospe in gospodje, je Grahamovo število, ki je približno za red velikosti višje od točke človeškega razumevanja. To je število, ki je toliko večje od katerega koli števila, ki si ga lahko predstavljate - je toliko večje od katere koli neskončnosti, ki bi si jo lahko kdaj zamislili - preprosto kljubuje tudi najbolj abstraktnemu opisu.
Ampak tukaj je čudna stvar. Ker je Grahamovo število v bistvu samo trojček, pomnožen skupaj, poznamo nekatere njegove lastnosti, ne da bi jih dejansko izračunali. Grahamovega števila ne moremo predstaviti z znanim zapisom, tudi če bi za zapis uporabili celotno vesolje, vendar vam lahko zdaj povem zadnjih dvanajst števk Grahamovega števila: . In to še ni vse: poznamo vsaj zadnje števke Grahamovega števila.
Seveda si je vredno zapomniti, da je to število le zgornja meja v Grahamovem izvirnem problemu. Povsem mogoče je, da je dejansko število meritev, potrebnih za doseganje želene lastnosti, veliko, veliko manjše. Pravzaprav se že od osemdesetih let prejšnjega stoletja, po mnenju večine strokovnjakov s tega področja, verjame, da dejansko obstaja le šest dimenzij – številka je tako majhna, da jo lahko razumemo intuitivno. Spodnja meja je bila od takrat dvignjena na , vendar še vedno obstaja velika verjetnost, da rešitev Grahamovega problema ne leži niti blizu tako velikega števila, kot je Grahamovo število.
Proti neskončnosti
Ali torej obstajajo števila, ki so večja od Grahamovega? Za začetek je seveda Grahamova številka. Kar zadeva pomembno število ... no, obstaja nekaj hudičevo zapletenih področij matematike (zlasti področja, znanega kot kombinatorika) in računalništva, kjer se pojavljajo števila, ki so celo večja od Grahamovega. Vendar smo skoraj dosegli mejo tega, kar lahko upam, da bo kdaj racionalno razloženo. Tistim, ki so dovolj nespametni, da gredo še dlje, priporočamo nadaljnje branje na lastno odgovornost.
No, zdaj pa neverjeten citat, ki ga pripisujejo Douglasu Rayu ( opomba Iskreno povedano, zveni precej smešno:
»Vidim skupine nejasnih števil, ki so skrite tam v temi, za majhno svetlobo, ki jo daje sveča razuma. Šepetata si; zaroto kdo ve kaj. Morda nas ne marajo preveč, ker smo v svoje misli ujeli njihove mlajše brate. Ali pa morda preprosto živijo enomestno življenje, zunaj našega razumevanja.
Vprašanje "Katero je največje število na svetu?" je milo rečeno napačno. Obstajajo različni številski sistemi - decimalni, binarni in šestnajstiški, pa tudi različne kategorije števil - polpra in enostavna, pri čemer se slednja delijo na zakonita in nezakonita. Poleg tega so tu še številke Skewes, Steinhouse in drugi matematiki, ki za šalo ali resno izumljajo in javnosti predstavljajo takšne eksotike, kot sta "Megiston" ali "Moser".
Kakšno je največje število na svetu v decimalnem sistemu
Od decimalnih sistemov večina "nematematikov" pozna milijone, milijarde in trilijone. Poleg tega, če Rusi na splošno povezujejo milijon z dolarsko podkupnino, ki jo je mogoče odnesti v kovčku, potem kam stlačiti milijardo (da ne omenjam bilijona) severnoameriških bankovcev - večini ljudi manjka domišljije. Vendar pa v teoriji velikih števil obstajajo koncepti, kot so kvadrilijon (deset na petnajsto potenco - 1015), sekstilijon (1021) in oktilion (1027).
V angleškem decimalnem sistemu, ki je najbolj razširjen decimalni sistem na svetu, velja, da je največje število decilijon - 1033.
Leta 1938 je v zvezi z razvojem uporabne matematike in širjenjem mikro- in makrokozmosa profesor na univerzi Columbia (ZDA) Edward Kasner na straneh revije Scripta Mathematica objavil predlog svojega devetletnega nečaka za uporabo decimalni sistem kot najbolj veliko število "googol" - predstavlja deset na stotino potenco (10100), kar je na papirju izraženo kot ena, ki ji sledi sto ničel. Vendar se niso ustavili pri tem in nekaj let kasneje so predlagali uvedbo novega največjega števila na svetu - »googolplex«, ki predstavlja desetico na deseto potenco in ponovno na stotico - (1010)100, izraženo z enota, ki ji je na desni strani pripisan googol ničel. Vendar pa sta za večino celo profesionalnih matematikov tako "googol" kot "googolplex" zgolj špekulativnega pomena in je malo verjetno, da bi ju bilo mogoče uporabiti v vsakdanji praksi.
Eksotične številke
Katero je največje število na svetu med praštevili – tistimi, ki jih je mogoče deliti samo s seboj in z enico. Eden prvih, ki je zapisal največje praštevilo, enako 2.147.483.647, je bil veliki matematik Leonhard Euler. Od januarja 2016 je to število priznano kot izraz, izračunan kot 274.207.281 – 1.
Vsak dan nas obdaja nešteto različnih števil. Zagotovo se je marsikdo vsaj enkrat vprašal, katera številka velja za največjo. Otroku lahko preprosto rečeš, da je to milijon, a odrasli dobro razumejo, da milijonu sledijo druge številke. Na primer, vse, kar morate storiti, je, da vsakič dodate številko ena in ta bo postajala vedno večja - to se dogaja ad infinitum. Toda če pogledate številke, ki imajo imena, lahko ugotovite, kako se imenuje največje število na svetu.
Videz imen številk: katere metode se uporabljajo?
Danes obstajata dva sistema, po katerih se številke imenujejo - ameriški in angleški. Prvi je precej preprost, drugi pa je najpogostejši po vsem svetu. Ameriški vam omogoča, da poimenujete velika števila na naslednji način: najprej se navede zaporedna številka v latinici, nato pa se doda pripona "milijon" (izjema je milijon, kar pomeni tisoč). Ta sistem uporabljajo Američani, Francozi, Kanadčani, uporablja se tudi pri nas.
Angleščina se pogosto uporablja v Angliji in Španiji. Po njem se števila imenujejo na naslednji način: številka v latinščini je »plus« s pripono »ilijon«, naslednja (tisočkrat večja) številka pa je »plus« »milijarda«. Na primer, bilijon je prvi, bilijon za njim, kvadrilijon za kvadrilijonom itd.
Tako lahko ista številka v različnih sistemih pomeni različne stvari; na primer, ameriška milijarda v angleškem sistemu se imenuje milijarda.
Izvensistemske številke
Poleg številk, ki so zapisane po znanih sistemih (navedenih zgoraj), obstajajo tudi nesistemske. Imajo svoja imena, ki ne vključujejo latinskih predpon.
Lahko jih začnete obravnavati s številko, imenovano nešteto. Opredeljen je kot sto stotin (10000). Toda glede na predvideni namen se ta beseda ne uporablja, ampak se uporablja kot pokazatelj neštete množice. Tudi Dahlov slovar bo prijazno dal definicijo takega števila.
Naslednji za nešteto je googol, ki označuje 10 na potenco števila 100. To ime je leta 1938 prvič uporabil ameriški matematik E. Kasner, ki je opozoril, da si je to ime izmislil njegov nečak.
Google (iskalnik) je dobil ime v čast googol. Potem 1 z googolom ničel (1010100) predstavlja googolplex - Kasner si je tudi omislil to ime.
Še večje od googolpleksa je Skusejevo število (e na potenco e na e79), ki ga je predlagal Skuse v svojem dokazu Rimmannove domneve o praštevilih (1933). Obstaja še eno Skusejevo število, vendar se uporablja, kadar Rimmannova hipoteza ne drži. Katera je večja, je precej težko reči, še posebej ko gre za velike stopinje. Vendar te številke kljub svoji "velikosti" ni mogoče šteti za najboljšo od vseh tistih, ki imajo svoja imena.
In vodilno med največjimi številkami na svetu je Grahamovo število (G64). Prvič je bil uporabljen za izvajanje dokazov na področju matematičnih znanosti (1977).
Ko gre za takšno številko, morate vedeti, da ne morete brez posebnega 64-nivojskega sistema, ki ga je ustvaril Knuth - razlog za to je povezava števila G z bikromatskimi hiperkockami. Knuth je izumil nadstopnjo in da bi jo bilo lažje zabeležiti, je predlagal uporabo puščic navzgor. Tako smo ugotovili, kako se imenuje največje število na svetu. Omeniti velja, da je bila ta številka G vključena na strani slavne knjige rekordov.