Pojem včrtanega in središčnega kota
Najprej predstavimo koncept središčnega kota.
Opomba 1
Upoštevajte to stopinjska mera središčnega kota je enaka stopinjski meri loka, na katerem leži.
Predstavimo zdaj koncept včrtanega kota.
Definicija 2
Kot, katerega oglišče leži na krožnici in njegove stranice sekajo isto krožnico, imenujemo včrtan kot (slika 2).
Slika 2. Včrtani kot
Izrek o včrtanem kotu
1. izrek
Stopinska mera včrtanega kota je enaka polovici stopinjske mere loka, na katerem leži.
Dokaz.
Naj imamo krožnico s središčem v točki $O$. Označimo včrtani kot $ACB$ (slika 2). Možni so naslednji trije primeri:
- Žarek $CO$ sovpada s katero koli stranjo kota. Naj bo to stranica $CB$ (slika 3).
Slika 3.
V tem primeru je lok $AB$ manjši od $(180)^(()^\circ )$, zato je središčni kot $AOB$ enak loku $AB$. Ker je $AO=OC=r$, je trikotnik $AOC$ enakokrak. To pomeni, da sta osnovna kota $CAO$ in $ACO$ med seboj enaka. Po izreku o zunanjem kotu trikotnika imamo:
- Žarek $CO$ deli notranji kot na dva kota. Naj seka krožnico v točki $D$ (slika 4).
Slika 4.
Dobimo
- Žarek $CO$ ne deli notranjega kota na dva kota in ne sovpada z nobeno od njegovih stranic (slika 5).
Slika 5.
Ločeno obravnavajmo kota $ACD$ in $DCB$. Glede na dokazano v 1. točki dobimo
Dobimo
Izrek je dokazan.
Dajmo posledice iz tega izreka.
Posledica 1: Včrtana kota, ki ležita na istem loku, sta med seboj enaka.
Posledica 2: Včrtan kot, ki se ujema s premerom, je pravi kot.
Danes si bomo ogledali drugo vrsto nalog 6 - tokrat s krogom. Mnogi učenci jih ne marajo in se jim zdijo težke. In popolnoma zaman, saj so takšne težave rešene osnovno, če poznate nekaj izrekov. Ali pa si sploh ne upajo, če jih ne poznate.
Preden govorim o glavnih lastnostih, naj vas spomnim na definicijo:
Včrtan kot je tisti, katerega oglišče leži na samem krogu in njegove stranice sekajo tetivo na tem krogu.
Središčni kot je vsak kot, katerega vrh je v središču kroga. Njegove stranice prav tako sekajo ta krog in na njem vrezujejo tetivo.
Torej sta pojma včrtanega in osrednjega kota neločljivo povezana s krogom in tetivami v njem. In zdaj glavna izjava:
Izrek. Središčni kot je vedno dvakrat večji od včrtanega kota, ki temelji na istem loku.
Kljub preprostosti izjave obstaja cel razred problemov 6, ki jih je mogoče rešiti z njo - in nič drugega.
Naloga. Poiščite ostri včrtani kot, ki ga sega tetiva, ki je enaka polmeru kroga.
Naj bo AB obravnavana tetiva, O središče kroga. Dodatna konstrukcija: OA in OB sta polmera kroga. Dobimo:
Razmislite o trikotniku ABO. V njem je AB = OA = OB - vse stranice so enake polmeru kroga. Zato je trikotnik ABO enakostranični in vsi koti v njem merijo 60°.
Naj bo M oglišče včrtanega kota. Ker kota O in M ležita na istem loku AB, je pričrtani kot M 2-krat manjši od središčnega kota O. Imamo:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Naloga. Središčni kot je za 36° večji od včrtanega kota, ki ga sega enak krožni lok. Poiščite včrtani kot.
Vstavimo naslednji zapis:
- AB je tetiva kroga;
- Točka O je središče kroga, torej je kot AOB središčni kot;
- Točka C je oglišče pričrtanega kota ACB.
Ker iščemo včrtan kot ACB, ga označimo z ACB = x. Potem je središčni kot AOB x + 36. Po drugi strani pa je središčni kot 2-krat večji od včrtanega kota. Imamo:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Tako smo našli včrtan kot AOB - enak je 36°.
Krog je kot 360°
Ob prebranem podnaslovu bodo poznavalci verjetno rekli: "Uf!" Dejansko primerjava kroga s kotom ni povsem pravilna. Da bi razumeli, o čem govorimo, si oglejte klasični trigonometrični krog:
Čemu služi ta slika? In poleg tega je popolna rotacija kot 360 stopinj. In če ga razdelite, recimo, na 20 enakih delov, potem bo velikost vsakega od njih 360: 20 = 18 stopinj. Točno to je potrebno za rešitev problema B8.
Točke A, B in C ležijo na krožnici in jo delijo na tri loke, katerih stopinjske mere so v razmerju 1 : 3 : 5. Poišči večji kot trikotnika ABC.
Najprej poiščimo stopinjsko mero vsakega loka. Naj bo manjši x. Na sliki je ta lok označen z AB. Potem lahko preostale loke - BC in AC - izrazimo z AB: lok BC = 3x; AC = 5x. Skupaj ti loki dajejo 360 stopinj:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Zdaj razmislite o velikem loku AC, ki ne vsebuje točke B. Ta lok, tako kot ustrezni središčni kot AOC, je 5x = 5 40 = 200 stopinj.
Kot ABC je največji od vseh kotov v trikotniku. Je včrtan kot, ki ga sega isti lok kot središčni kot AOC. To pomeni, da je kot ABC 2-krat manjši od AOC. Imamo:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
To bo stopinjska mera večjega kota v trikotniku ABC.
Okrog pravokotnega trikotnika obkrožen krog
Mnogi ljudje pozabijo na ta izrek. A zaman, saj nekaterih težav z B8 brez njega sploh ni mogoče rešiti. Natančneje, rešeni so, a s tolikšnim obsegom izračunov, da bi raje zaspal, kot da bi prišel do odgovora.
Izrek. Središče kroga, opisanega okoli pravokotnega trikotnika, leži na sredini hipotenuze.
Kaj sledi iz tega izreka?
- Razpolovišče hipotenuze je enako oddaljeno od vseh oglišč trikotnika. To je neposredna posledica izreka;
- Mediana, potegnjena na hipotenuzo, deli prvotni trikotnik na dva enakokraka trikotnika. Točno to je potrebno za rešitev problema B8.
V trikotnik ABC narišemo sredino CD. Kot C je 90°, kot B pa 60°. Poiščite kot ACD.
Ker je kot C 90°, je trikotnik ABC pravokoten trikotnik. Izkaže se, da je CD mediana, potegnjena na hipotenuzo. To pomeni, da sta trikotnika ADC in BDC enakokraka.
Še posebej upoštevajte trikotnik ADC. V njem AD = CD. Toda v enakokrakem trikotniku so koti pri dnu enaki - glejte "Problem B8: Odseki in koti v trikotnikih." Zato je želeni kot ACD = A.
Torej, še vedno je treba ugotoviti, čemu je enak kot A. Če želite to narediti, se spet obrnemo na prvotni trikotnik ABC. Označimo kot A = x. Ker je vsota kotov v katerem koli trikotniku 180°, imamo:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Seveda je zadnji problem mogoče rešiti drugače. Na primer, enostavno je dokazati, da trikotnik BCD ni le enakokrak, ampak enakostranični. Torej je kot BCD 60 stopinj. Zato je kot ACD 90 − 60 = 30 stopinj. Kot lahko vidite, lahko uporabite različne enakokrake trikotnike, vendar bo odgovor vedno enak.
Najpogosteje se postopek priprave na enotni državni izpit iz matematike začne s ponavljanjem osnovnih definicij, formul in izrekov, tudi na temo »Osrednji in vpisani koti v krogu«. Praviloma se ta del planimetrije preučuje v srednji šoli. Ni presenetljivo, da se mnogi učenci soočajo s potrebo po pregledu osnovnih konceptov in izrekov na temo "Osrednji kot kroga". Ko so razumeli algoritem za reševanje takšnih problemov, lahko šolarji računajo na prejemanje tekmovalnih rezultatov na podlagi rezultatov opravljenega enotnega državnega izpita.
Kako se enostavno in učinkovito pripraviti na opravljanje certifikacijskega preizkusa?
Pri študiju pred opravljenim enotnim državnim izpitom se številni srednješolci soočajo s težavo iskanja potrebnih informacij o temi »Centralni in vpisani koti v krogu«. Ni vedno tako, da je šolski učbenik pri roki. In iskanje formul na internetu včasih vzame veliko časa.
Naš izobraževalni portal vam bo pomagal "napolniti" svoje sposobnosti in izboljšati svoje znanje v tako težkem delu geometrije, kot je planimetrija. "Školkovo" srednješolcem in njihovim učiteljem ponuja nov način za izgradnjo procesa priprave na enotni državni izpit. Vse osnovno gradivo naši strokovnjaki predstavijo v najbolj dostopni obliki. Po branju informacij v razdelku »Teoretično ozadje« bodo učenci izvedeli, kakšne lastnosti ima središčni kot kroga, kako najti njegovo vrednost itd.
Nato za utrjevanje pridobljenega znanja in vaje spretnosti priporočamo izvedbo ustreznih vaj. Velik izbor nalog za iskanje velikosti kota, vpisanega v krog, in drugih parametrov je predstavljen v razdelku »Katalog«. Za vsako vajo so naši strokovnjaki napisali podrobno rešitev in navedli pravilen odgovor. Seznam nalog na spletnem mestu se nenehno dopolnjuje in posodablja.
Srednješolci se lahko pripravijo na enotni državni izpit z vadbo vaj, na primer za iskanje velikosti središčnega kota in dolžine krožnega loka, na spletu iz katere koli ruske regije.
Po potrebi lahko dokončano nalogo shranite v razdelek »Priljubljene«, da se pozneje vrnete k njej in ponovno analizirate načelo njene rešitve.
Kot ABC je včrtan kot. Leži na loku AC, zaprtem med njegovimi stranicami (slika 330).
Izrek. Včrtani kot se meri s polovico loka, na katero sega.
To je treba razumeti takole: včrtani kot vsebuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund vsebuje polovica loka, na kateri sloni.
Pri dokazovanju tega izreka je treba upoštevati tri primere.
Prvi primer. Središče kroga leži na strani včrtanega kota (slika 331).
Naj bo ∠ABC včrtan kot in središče krožnice O leži na strani BC. Potrebno je dokazati, da se meri s pol loka AC.
Povežimo točko A s središčem kroga. Dobimo enakokraki \(\Delta\)AOB, v katerem je AO = OB, kot polmere istega kroga. Zato je ∠A = ∠B.
∠AOC je zunaj trikotnika AOB, zato je ∠AOC = ∠A + ∠B, in ker sta kota A in B enaka, je ∠B 1/2 ∠AOC.
Toda ∠AOC se meri z lokom AC, zato se ∠B meri s polovico loka AC.
Na primer, če \(\breve(AC)\) vsebuje 60°18', potem ∠B vsebuje 30°9'.
Drugi primer. Središče kroga leži med stranicama včrtanega kota (slika 332).
Naj bo ∠ABD včrtan kot. Središče kroga O leži med stranicama. Dokazati moramo, da se ∠ABD meri s polovico loka AD.
Da bi to dokazali, narišimo premer BC. Kot ABD je razdeljen na dva kota: ∠1 in ∠2.
∠1 se meri s polovico loka AC, ∠2 pa s polovico loka CD, zato se celoten ∠ABD meri z 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), tj. pol loka AD.
Na primer, če \(\breve(AD)\) vsebuje 124°, potem ∠B vsebuje 62°.
Tretji primer. Središče kroga leži zunaj včrtanega kota (slika 333).
Naj bo ∠MAD včrtan kot. Središče kroga O je zunaj vogala. Dokazati moramo, da se ∠MAD meri s polovico loka MD.
Da bi to dokazali, narišimo premer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Toda ∠MAB meri 1/2 \(\breve(MB)\), ∠DAB pa meri 1/2 \(\breve(DB)\).
Zato ∠MAD meri 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, tj. 1/2 \(\breve(MD)\).
Na primer, če \(\breve(MD)\) vsebuje 48° 38", potem ∠MAD vsebuje 24° 19' 8".
Posledice
1.
Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so med seboj enaki, saj se merijo s polovico istega loka.
(Slika 334, a).
2. Včrtan kot, ki ga sestavlja premer, je pravi kot, saj se nahaja na polovici kroga. Pol kroga vsebuje 180 ločnih stopinj, kar pomeni, da kot, ki temelji na premeru, vsebuje 90 ločnih stopinj (slika 334, b).
Osrednji kot je kot, katerega vrh je v središču kroga.
Včrtani kot- kot, katerega vrh leži na krožnici in katere stranice ga sekajo.
Na sliki so prikazani središčni in včrtani koti ter njihove najpomembnejše lastnosti.
Torej, velikost središčnega kota je enaka kotni velikosti loka, na katerem leži. To pomeni, da bo središčni kot 90 stopinj počival na loku, ki je enak 90°, to je krogu. Osrednji kot, ki je enak 60°, leži na loku 60 stopinj, to je na šestem delu kroga.
Velikost včrtanega kota je dvakrat manjša od središčnega kota, ki temelji na istem loku.
Tudi za reševanje problemov bomo potrebovali koncept "akorda".
Enaki središčni koti segajo med enake tetive.
1. Kolikšen je črtani kot, ki ga sestavlja premer kroga? Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Včrtan kot, ki ga sestavlja premer, je pravi kot.
2. Središčni kot je za 36° večji od ostrega včrtanega kota, ki ga sega enak krožni lok. Poiščite včrtani kot. Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Naj bo središčni kot enak x, včrtani kot, ki ga sega isti lok, pa je enak y.
Vemo, da je x = 2y.
Zato je 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Polmer krožnice je enak 1. Poiščite vrednost topega včrtanega kota, ki ga sega tetiva, enaka . Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Naj bo tetiva AB enaka . Topi včrtani kot, ki temelji na tej tetivi, bomo označili z α.
V trikotniku AOB sta stranici AO in OB enaki 1, stranica AB je enaka . S takimi trikotniki smo se že srečali. Očitno je, da je trikotnik AOB pravokoten in enakokrak, kar pomeni, da je kot AOB 90°.
Potem je lok ACB enak 90°, lok AKB pa 360° - 90° = 270°.
Včrtani kot α leži na loku AKB in je enak polovici kotne vrednosti tega loka, to je 135°.
Odgovor: 135.
4. Tetiva AB deli krog na dva dela, katerih stopinjske vrednosti so v razmerju 5:7. Pod kolikšnim kotom je ta tetiva vidna iz točke C, ki pripada manjšemu loku krožnice? Podajte svoj odgovor v stopinjah.
Glavna stvar pri tej nalogi je pravilno risanje in razumevanje pogojev. Kako razumete vprašanje: "Pod kakšnim kotom je tetiva vidna iz točke C?"
Predstavljajte si, da sedite na točki C in morate videti vse, kar se dogaja na tetivi AB. Kot bi bila tetiva AB platno v kinu :-)
Očitno morate najti kot ACB.
Vsota obeh lokov, na katere tetiva AB deli krog, je enaka 360°, tj.
5x + 7x = 360°
Zato je x = 30°, nato pa včrtani kot ACB leži na loku, ki je enak 210°.
Velikost včrtanega kota je enaka polovici kotne velikosti loka, na katerem leži, kar pomeni, da je kot ACB enak 105°.