Ta tema se lahko sprva zdi zapletena zaradi številnih ne tako preprostih formul. Ne le, da imajo same kvadratne enačbe dolge zapise, temveč se koreni najdejo tudi prek diskriminante. Skupaj dobimo tri nove formule. Ni prav enostavno zapomniti. To je mogoče le po pogostem reševanju takih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj predlagamo njihov eksplicitni zapis, ko je najprej zapisana največja stopnja, nato pa v padajočem vrstnem redu. Pogosto pride do situacij, ko so pogoji nedosledni. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke.

Uvedimo nekaj zapisov. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. Naj bo ta formula označena s številko ena.

Ko je podana enačba, ni jasno, koliko korenin bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• raztopina bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• enačba sploh ne bo imela korenin.

In dokler odločitev ni pravnomočna, je težko razumeti, katera možnost se bo pojavila v posameznem primeru.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

V nalogah so lahko različni vnosi. Ne bodo vedno videti kot formula splošne kvadratne enačbe. Včasih bodo manjkali nekateri izrazi. Zgoraj napisano je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji izraz, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo le izrazi s koeficientoma "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Obstajata torej le dve vrsti; poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa tri.

Diskriminanta in odvisnost števila korenin od njene vrednosti

To število morate poznati, če želite izračunati korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Da bi izračunali diskriminanto, morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke z različnimi znaki. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Če je število negativno, ne bo korenin kvadratne enačbe. Če je enak nič, bo odgovor samo en.

Kako rešiti popolno kvadratno enačbo?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Kajti najprej morate najti diskriminator. Ko ugotovite, da obstajajo korenine kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti naslednjo formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta dva pomena. Izraz pod znakom kvadratnega korena je diskriminanta. Zato lahko formulo prepišemo drugače.

Formula številka pet. Iz istega zapisa je razvidno, da če je diskriminanta enaka nič, bosta oba korena imela enake vrednosti.

Če reševanje kvadratnih enačb še ni izdelano, je bolje, da zapišete vrednosti vseh koeficientov, preden uporabite diskriminantne in spremenljive formule. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo?

Tukaj je vse veliko preprostejše. Sploh ni potrebe po dodatnih formulah. In tiste, ki so že zapisane za diskriminator in neznano, ne bodo potrebne.

Najprej si poglejmo nepopolno enačbo številka dve. V tej enačbi je treba neznano količino vzeti iz oklepaja in rešiti linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dva korena. Prvi je nujno enak nič, ker obstaja množitelj, sestavljen iz same spremenljivke. Drugo bomo dobili z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo številka tri rešimo tako, da premaknemo število z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom, ki gleda na neznano. Vse, kar ostane, je, da izvlečemo kvadratni koren in ga ne pozabimo zapisati dvakrat z nasprotnimi predznaki.

Spodaj je nekaj korakov, ki vam bodo pomagali naučiti se reševati vse vrste enačb, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Učencu bodo pomagali preprečiti napake zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti lahko povzročijo slabe ocene pri preučevanju obsežne teme »Kvadratne enačbe (8. razred)«. Nato teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker se bo pojavila stabilna veščina.

• Najprej morate napisati enačbo v standardni obliki. Se pravi, najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato - brez stopnje in nazadnje - samo številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku, ki preučuje kvadratne enačbe, oteži delo. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba celotno enakost pomnožiti z “-1”. To pomeni, da bodo vsi členi spremenili predznak v nasprotni.

• Priporočljivo je, da se ulomkov znebite na enak način. Enostavno pomnožite enačbo z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Rešiti je treba naslednje kvadratne enačbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 − 7x = 0. Je nepopolna, zato jo rešujemo, kot je opisano za formulo številka dve.

Ko ga vzamemo iz oklepajev, se izkaže: x (x - 7) = 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 = 0. Drugi bo najden iz linearne enačbe: x - 7 = 0. Lahko vidimo, da je x 2 = 7.

Druga enačba: 5x 2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Le ta se reši, kot je opisano za tretjo formulo.

Ko premaknete 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Tretja enačba: 15 − 2x − x 2 = 0. V nadaljevanju bomo reševanje kvadratnih enačb začeli tako, da jih bomo prepisali v standardno obliko: − x 2 − 2x + 15 = 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugi koristen nasvet in vse pomnožimo z minus ena. Izkazalo se je, da je x 2 + 2x - 15 = 0. S četrto formulo morate izračunati diskriminanco: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj povedanega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba s peto formulo. Izkazalo se je, da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potem je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četrto enačbo x 2 + 8 + 3x = 0 pretvorimo v tole: x 2 + 3x + 8 = 0. Njena diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je to število negativno, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 prepišemo takole: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta enačba (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate prinesti podobne izraze, najprej odpreti oklepaje. Na mestu prvega bo naslednji izraz: x 2 + 2x + 1. Za enakostjo se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po preštetju podobnih členov bo enačba dobila obliko: x 2 - x = 0. Postalo je nepopolno. O nečem podobnem smo že razpravljali malo višje. Korenini tega bosta števili 0 in 1.

Delajmo z kvadratne enačbe. To so zelo priljubljene enačbe! V svoji najbolj splošni obliki je kvadratna enačba videti takole:

Na primer:

Tukaj A =1; b = 3; c = -4

Tukaj A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj A =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš ...

Kako rešiti kvadratne enačbe?Če imate pred seboj kvadratno enačbo v tej obliki, potem je vse preprosto. Zapomni si čarobno besedo diskriminator . Redko kateri srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "rešujemo z diskriminantom" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker od diskriminanta ni treba pričakovati trikov! Uporaba je enostavna in brez težav. Torej, formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod znakom korena je tisti diskriminator. Kot lahko vidite, za iskanje X uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficientov iz kvadratne enačbe. Samo previdno zamenjajte vrednosti a, b in c To je formula, ki jo izračunamo. Zamenjajmo s svojimi znaki! Na primer za prvo enačbo A =1; b = 3; c= -4. Tukaj zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je vse.

Kateri primeri so možni pri uporabi te formule? Obstajajo le trije primeri.

1. Diskriminanta je pozitivna. To pomeni, da je iz njega mogoče izvleči korenino. Ali je koren izvlečen dobro ali slabo, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma izloči. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminanta je nič. Potem imate eno rešitev. Strogo gledano, to ni ena korenina, ampak dva enaka. Toda to igra vlogo pri neenakosti, kjer bomo to vprašanje podrobneje preučili.

3. Diskriminanta je negativna. Kvadratnega korena negativnega števila ni mogoče vzeti. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Vse je zelo preprosto. In kaj, mislite, da je nemogoče narediti napako? No, ja, kako ...
Najpogostejše napake so zamenjave z vrednostmi znakov a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se zmedejo?), Ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formulo za izračun korenin. Pri tem pomaga podroben zapis formule z določenimi številkami. Če pride do težav z izračuni, naredi to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da le redko dobite odgovore prvič.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice in števila napak bo potrebnih približno 30 sekund se bo močno zmanjšalo. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je neverjetno težko zapisati tako skrbno. Ampak tako se le zdi. Poskusi. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo več treba vsega tako natančno zapisovati. Samo od sebe se bo izšlo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kupom minusov je mogoče enostavno in brez napak rešiti!

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminant, ki smo si ga zapomnili. Ali pa so se naučili, kar je tudi dobro. Veš, kako pravilno določiti a, b in c. Veš kako? pozorno jih nadomestite v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Razumete, da je tu ključna beseda pozorno?

Vendar kvadratne enačbe pogosto izgledajo nekoliko drugače. Na primer takole:

to nepopolne kvadratne enačbe . Lahko jih rešimo tudi z diskriminanto. Samo pravilno morate razumeti, čemu so tukaj enaki. a, b in c.

Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; A c? Sploh ga ni! No ja, tako je. V matematiki to pomeni c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite ničlo c, in uspelo nam bo. Enako z drugim primerom. Samo tukaj nimamo ničle z, A b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko preprosteje. Brez kakršnekoli diskriminacije. Oglejmo si prvo nepopolno enačbo. Kaj lahko narediš na levi strani? X lahko vzamete iz oklepaja! Vzemimo ga ven.

In kaj iz tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli od faktorjev enak nič! ne verjameš? V redu, potem si izmislite dve neničelni števili, ki bosta pomnoženi dali nič!
Ne deluje? to je to...
Zato lahko z gotovostjo zapišemo: x = 0, oz x = 4

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko nadomestimo katerega koli od njih v prvotno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko enostavnejša kot uporaba diskriminante.

Tudi drugo enačbo lahko preprosto rešimo. Premakni 9 na desno stran. Dobimo:

Vse kar ostane je, da izvlečemo koren iz 9, in to je to. Izkazalo se bo:

Tudi dve korenini . x = +3 in x = -3.

Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da postavite X izven oklepaja ali preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boš v prvem primeru moral izluščiti koren X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni kaj vzeti iz oklepaja ...

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Tisti isti, ki so zaradi nepazljivosti... Za katere postane kasneje boleče in žaljivo...

Prvi termin. Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo in jo pripeljete v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c. Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred X na kvadrat vas lahko pošteno razburi. Lahko se pozabi... Znebi se minusa. kako Da, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera. Odločite se sami. Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite korenine! Po Vietovem izreku. Ne bojte se, vse vam bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačba. Tisti. tisti, ki smo ga uporabili za zapis korenske formule. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, je preverjanje korenin preprosto. Dovolj je, da jih pomnožimo. Rezultat bi moral biti brezplačen član, tj. v našem primeru -2. Upoštevajte, ne 2, ampak -2! Brezplačni član s svojim znakom . Če ne gre, pomeni, da so že nekje zafrknili. Poiščite napako. Če deluje, morate dodati korenine. Zadnji in zadnji pregled. Koeficient naj bo b z nasprotje znano. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred X, je enako -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Ampak vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo vse manj.

Sprejem tretji. Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v prejšnjem razdelku. Pri delu z ulomki se iz nekega razloga vedno prikradejo napake ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom minusov. prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmešali z minusi, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Reševanje je užitek!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, je rešitev enostavno preveriti z uporabo Vietovega izreka. Naredi!

Ulomke enačb. ODZ.

Nadaljujemo z obvladovanjem enačb. Z linearnimi in kvadratnimi enačbami že znamo delati. Zadnji levi pogled - ulomljene enačbe. Ali pa se imenujejo tudi veliko bolj ugledno - ulomljene racionalne enačbe. Enako je.

Ulomke enačb.

Kot že ime pove, te enačbe nujno vsebujejo ulomke. A ne le ulomki, ampak ulomki, ki imajo neznano v imenovalcu. Vsaj v enem. Na primer:

Naj vas spomnim, da če so imenovalci samo številke, to so linearne enačbe.

Kako se odločiti ulomljene enačbe? Najprej se znebite ulomkov! Po tem se enačba največkrat spremeni v linearno ali kvadratno. In potem vemo, kaj storiti ... V nekaterih primerih se lahko spremeni v identiteto, kot je 5=5 ali napačen izraz, kot je 7=2. Toda to se redko zgodi. To bom omenil spodaj.

Toda kako se znebiti ulomkov!? Zelo preprosto. Uporaba istih identičnih transformacij.

Celotno enačbo moramo pomnožiti z istim izrazom. Tako, da so vsi imenovalci zmanjšani! Vse bo takoj postalo lažje. Naj pojasnim s primerom. Rešiti moramo enačbo:

Kako so vas učili v osnovni šoli? Vse premaknemo na eno stran, spravimo na skupni imenovalec itd. Pozabi na to kot slabe sanje! To je tisto, kar morate storiti, ko seštevate ali odštevate ulomke. Ali pa delate z neenakostmi. In v enačbah takoj pomnožimo obe strani z izrazom, ki nam bo dal možnost, da zmanjšamo vse imenovalce (tj. v bistvu na skupni imenovalec). In kaj je ta izraz?

Na levi strani je treba zmanjševanje imenovalca pomnožiti s x+2. In na desni je potrebno množenje z 2. To pomeni, da je treba enačbo pomnožiti z 2(x+2). Pomnoži:

To je običajno množenje ulomkov, vendar ga bom podrobno opisal:

Upoštevajte, da še ne odpiram oklepaja (x + 2)! Torej v celoti pišem:

Na levi strani se skrči v celoti (x+2), na desni pa 2. Kar je bilo zahtevano! Po zmanjšanju dobimo linearni enačba:

In vsak lahko reši to enačbo! x = 2.

Rešimo še en primer, malo bolj zapleten:

Če se spomnimo, da je 3 = 3/1 in 2x = 2x/ 1, lahko zapišemo:

In spet se znebimo tistega, kar nam res ni všeč - ulomkov.

Vidimo, da moramo za zmanjšanje imenovalca z X ulomek pomnožiti s (x – 2). In nekaj nam ni ovira. No, pomnožimo. Vse levo stran in vse desna stran:

Spet oklepaji (x – 2) Ne razkrivam. Z nosilcem delam kot s celoto, kot da bi bila ena številka! To je treba storiti vedno, sicer se nič ne zmanjša.

Z občutkom globokega zadovoljstva zmanjšamo (x – 2) in dobimo enačbo brez ulomkov, z ravnilom!

Zdaj pa odpremo oklepaje:

Prinesemo podobne, vse premaknemo na levo stran in dobimo:

Klasična kvadratna enačba. A minus naprej ni dober. Vedno se ga lahko znebite tako, da pomnožite ali delite z -1. Toda če pozorno pogledate primer, boste opazili, da je najbolje to enačbo deliti z -2! V enem zamahu bo minus izginil, kvote pa bodo postale privlačnejše! Deli z -2. Na levi strani - izraz za izrazom, na desni pa preprosto delimo nič z -2, nič in dobimo:

Rešujemo preko diskriminante in preverjamo z uporabo Vietovega izreka. Dobimo x = 1 in x = 3. Dve korenini.

Kot lahko vidite, je v prvem primeru enačba po transformaciji postala linearna, tukaj pa postane kvadratna. Zgodi se, da se po odstranitvi ulomkov zmanjšajo vsi X-ji. Nekaj ​​ostane, kot 5=5. To pomeni, da x je lahko karkoli. Karkoli že bo, se bo še znižalo. In izkazalo se je, da je čista resnica, 5=5. Ko pa se znebimo ulomkov, se lahko izkaže, da je popolnoma neresničen, na primer 2=7. In to pomeni to brez rešitev! Vsak X se izkaže za neresničnega.

Realizirana glavna rešitev ulomljene enačbe? Je preprosto in logično. Prvotni izraz spremenimo tako, da vse, kar nam ni všeč, izgine. Ali pa moti. V tem primeru so to ulomki. Enako bomo storili z vsemi vrstami zapletenih primerov z logaritmi, sinusi in drugimi grozotami. mi Nenehno Znebimo se vsega tega.

Vendar pa moramo izvirni izraz spremeniti v smer, ki jo potrebujemo po pravilih, ja ... Katerih mojstrstvo je priprava na enotni državni izpit iz matematike. Torej ga obvladamo.

Zdaj se bomo naučili, kako zaobiti enega od glavne zasede na Enotnem državnem izpitu! Toda najprej poglejmo, ali spadate vanj ali ne?

Poglejmo preprost primer:

Zadeva je že poznana, pomnožimo obe strani z (x – 2), dobimo:

Opomnim, z oklepaji (x – 2) Delujemo kot z enim, celostnim izrazom!

Tukaj nisem več pisal v imenovalce, to je nedostojno ... In v imenovalce nisem risal oklepajev, razen x – 2 nič ni, ni vam treba risati. Skrajšajmo:

Odprite oklepaje, premaknite vse v levo in podajte podobne:

Rešimo, preverimo, dobimo dva korena. x = 2 in x = 3. Super.

Recimo, da naloga pravi, da je treba zapisati koren ali njuno vsoto, če je korenin več. Kaj bomo pisali?

Če se odločite, da je odgovor 5, vi bili v zasedi. In naloga vam ne bo pripisana. Zaman so se trudili... Pravilen odgovor je 3.

Kaj je narobe?! In poskusite narediti pregled. Nadomestite vrednosti neznanega v original primer. In če pri x = 3 bo vse skupaj čudovito zraslo, dobimo 9 = 9, ko pa x = 2 To bo deljenje z nič! Česar nikakor ne morete storiti. Pomeni x = 2 ni rešitev in se pri odgovoru ne upošteva. To je tako imenovana tuja ali dodatna korenina. Enostavno ga zavržemo. Končna korenina je ena. x = 3.

Kako to?! – slišim ogorčene vzklike. Učili so nas, da lahko enačbo pomnožimo z izrazom! To je identična preobrazba!

Ja, enaka. Pod malim pogojem - izraz, s katerim množimo (delimo) - drugačen od nič. A x – 2 pri x = 2 enako nič! Vse je torej pošteno.

In kaj zdaj lahko naredim?! Ne množite z izrazom? Ali naj vsakič preverim? Spet ni jasno!

mirno! Ne bom paničen!

V tej težki situaciji nas bodo rešile tri čarobne črke. vem kaj misliš Prav! to ODZ . Območje sprejemljivih vrednosti.

V sodobni družbi je sposobnost izvajanja operacij z enačbami, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, lahko uporabna na številnih področjih dejavnosti in se v praksi pogosto uporablja v znanstvenem in tehničnem razvoju. Dokaz za to najdemo v načrtovanju morskih in rečnih plovil, letal in raket. S takšnimi izračuni se določijo poti gibanja najrazličnejših teles, vključno z vesoljskimi predmeti. Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb se uporabljajo ne le pri ekonomskem napovedovanju, pri načrtovanju in gradnji stavb, ampak tudi v najbolj običajnih vsakdanjih okoliščinah. Morda jih boste potrebovali na pohodniških izletih, na športnih dogodkih, v trgovinah pri nakupih in v drugih zelo pogostih situacijah.

Razčlenimo izraz na sestavne faktorje

Stopnja enačbe je določena z največjo vrednostjo stopnje spremenljivke, ki jo vsebuje izraz. Če je enako 2, se taka enačba imenuje kvadratna.

Če govorimo v jeziku formul, potem lahko navedene izraze, ne glede na to, kako izgledajo, vedno pripeljemo do oblike, ko je leva stran izraza sestavljena iz treh izrazov. Med njimi: ax 2 (to je spremenljivka na kvadrat s svojim koeficientom), bx (neznanka brez kvadrata s svojim koeficientom) in c (prosta komponenta, to je navadno število). Vse to na desni strani je enako 0. V primeru, da takemu polinomu manjka eden od sestavnih členov, z izjemo osi 2, se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Najprej je treba upoštevati primere z rešitvijo takšnih problemov, vrednosti spremenljivk, v katerih je enostavno najti.

Če je izraz videti, kot da ima dva izraza na desni strani, natančneje ax 2 in bx, je najlažji način, da najdete x tako, da spremenljivko postavite izven oklepaja. Zdaj bo naša enačba videti takole: x(ax+b). Nato postane očitno, da bodisi x=0 ali pa se težava zmanjša na iskanje spremenljivke iz naslednjega izraza: ax+b=0. To narekuje ena od lastnosti množenja. Pravilo pravi, da zmnožek dveh faktorjev daje 0 le, če je eden od njiju enak nič.

Primer

x=0 ali 8x - 3 = 0

Kot rezultat dobimo dva korena enačbe: 0 in 0,375.

S tovrstnimi enačbami je mogoče opisati gibanje teles pod vplivom gravitacije, ki so se začela premikati iz določene točke, ki je vzeta za izhodišče koordinat. Tu ima matematični zapis naslednjo obliko: y = v 0 t + gt 2 /2. Z zamenjavo potrebnih vrednosti, enačenjem desne strani z 0 in iskanjem možnih neznank lahko ugotovite čas, ki preteče od trenutka, ko se telo dvigne do trenutka, ko pade, pa tudi številne druge količine. Toda o tem bomo govorili kasneje.

Faktoriranje izraza

Zgoraj opisano pravilo omogoča reševanje teh težav v bolj zapletenih primerih. Oglejmo si primere reševanja tovrstnih kvadratnih enačb.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ta kvadratni trinom je popoln. Najprej transformirajmo izraz in ga faktorizirajmo. Dva sta: (x-8) in (x-25) = 0. Posledično imamo dva korena 8 in 25.

Primeri z reševanjem kvadratnih enačb v 9. razredu omogočajo, da ta metoda najde spremenljivko v izrazih ne le drugega, ampak celo tretjega in četrtega reda.

Na primer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri faktoriziranju desne strani na faktorje s spremenljivko so trije, to so (x+1), (x-3) in (x+ 3).

Posledično postane očitno, da ima ta enačba tri korenine: -3; -1; 3.

Kvadratni koren

Drug primer nepopolne enačbe drugega reda je izraz, predstavljen v jeziku črk tako, da je desna stran sestavljena iz komponent ax 2 in c. Tu se za pridobitev vrednosti spremenljivke prosti člen prenese na desno stran, nato pa se iz obeh strani enakosti izvleče kvadratni koren. Upoštevati je treba, da sta v tem primeru običajno dva korena enačbe. Izjema so lahko le enakosti, ki sploh ne vsebujejo člena z, kjer je spremenljivka enaka nič, pa tudi različice izrazov, ko se desna stran izkaže za negativno. V slednjem primeru sploh ni rešitev, saj zgornjih dejanj ni mogoče izvesti s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev tovrstnih kvadratnih enačb.

V tem primeru bosta korena enačbe števili -4 in 4.

Izračun površine zemljišča

Potreba po tovrstnih izračunih se je pojavila že v starih časih, saj je razvoj matematike v tistih daljnih časih v veliki meri določala potreba po čim natančnejši določitvi površin in obodov zemljišč.

Upoštevati bi morali tudi primere reševanja kvadratnih enačb, ki temeljijo na tovrstnih problemih.

Recimo, da obstaja pravokotno zemljišče, katerega dolžina je 16 metrov večja od širine. Morali bi ugotoviti dolžino, širino in obseg mesta, če veste, da je njegova površina 612 m2.

Za začetek najprej sestavimo potrebno enačbo. Označimo z x širino območja, potem bo njegova dolžina (x+16). Iz zapisanega sledi, da je ploščina določena z izrazom x(x+16), ki je glede na pogoje našega problema 612. To pomeni, da je x(x+16) = 612.

Reševanja popolnih kvadratnih enačb, in ta izraz je točno to, ni mogoče narediti na enak način. Zakaj? Čeprav leva stran še vedno vsebuje dva faktorja, njun produkt sploh ni enak 0, zato se tu uporabljajo različne metode.

Diskriminator

Najprej bomo naredili potrebne transformacije, nato pa bo videz tega izraza videti tako: x 2 + 16x - 612 = 0. To pomeni, da smo prejeli izraz v obliki, ki ustreza predhodno določenemu standardu, kjer a=1, b=16, c= -612.

To bi lahko bil primer reševanja kvadratnih enačb z uporabo diskriminante. Tu se izvedejo potrebni izračuni po shemi: D = b 2 - 4ac. Ta pomožna količina ne omogoča le iskanja zahtevanih količin v enačbi drugega reda, temveč določa število možnih možnosti. Če je D>0, sta dva; za D=0 je en koren. V primeru D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminanta enaka: 256 - 4(-612) = 2704. To nakazuje, da ima naša težava odgovor. Če poznate k, je treba reševanje kvadratnih enačb nadaljevati z uporabo spodnje formule. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da je v predstavljenem primeru: x 1 =18, x 2 =-34. Druga možnost v tej dilemi ne more biti rešitev, saj dimenzij zemljišča ni mogoče meriti v negativnih količinah, kar pomeni, da je x (to je širina parcele) 18 m. Od tu izračunamo dolžino: 18 +16=34, obseg pa 2(34+ 18)=104(m2).

Primeri in problemi

Nadaljujemo s preučevanjem kvadratnih enačb. Primeri in podrobne rešitve nekaterih od njih bodo podani spodaj.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premaknimo vse na levo stran enakosti, naredimo transformacijo, to pomeni, da bomo dobili vrsto enačbe, ki se običajno imenuje standardna, in jo enačimo na nič.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Če seštejemo podobne, določimo diskriminanco: D = 49 - 48 = 1. To pomeni, da bo naša enačba imela dva korena. Izračunajmo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da bo prvi enak 4/3, drugi pa 1.

2) Zdaj pa razrešimo drugačne skrivnosti.

Ugotovimo, ali so tu kakšne korenine x 2 - 4x + 5 = 1? Za izčrpen odgovor zreducirajmo polinom na ustrezno običajno obliko in izračunajmo diskriminanco. V zgornjem primeru ni treba reševati kvadratne enačbe, ker to sploh ni bistvo problema. V tem primeru je D = 16 - 20 = -4, kar pomeni, da korenin res ni.

Vietov izrek

Kvadratne enačbe je priročno reševati z uporabo zgornjih formul in diskriminante, ko je kvadratni koren vzet iz vrednosti slednje. Vendar se to ne zgodi vedno. Vendar pa obstaja veliko načinov za pridobitev vrednosti spremenljivk v tem primeru. Primer: reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka. Ime je dobila po tistem, ki je živel v 16. stoletju v Franciji in si zaradi svojega matematičnega talenta in zvez na dvoru ustvaril sijajno kariero. Njegov portret si lahko ogledate v članku.

Vzorec, ki ga je slavni Francoz opazil, je bil naslednji. Dokazal je, da se koreni enačbe numerično seštejejo na -p=b/a, njihov produkt pa ustreza q=c/a.

Zdaj pa poglejmo konkretne naloge.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Zaradi enostavnosti transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Uporabimo Vietov izrek, to nam bo dalo naslednje: vsota korenin je -7, njihov produkt pa -18. Od tu dobimo, da sta korena enačbe števili -9 in 2. Po preverjanju se bomo prepričali, da te vrednosti spremenljivke res ustrezajo izrazu.

Graf parabole in enačba

Koncepti kvadratne funkcije in kvadratnih enačb so tesno povezani. Primeri tega so bili že navedeni prej. Zdaj pa si poglejmo nekaj matematičnih ugank nekoliko podrobneje. Vsako enačbo opisane vrste je mogoče vizualno predstaviti. Takšno razmerje, narisano kot graf, imenujemo parabola. Njegove različne vrste so predstavljene na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima vrh, to je točko, iz katere izhajajo njene veje. Če je a>0, gredo visoko do neskončnosti, pri a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualne predstavitve funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratnimi. Ta metoda se imenuje grafična. In vrednost spremenljivke x je koordinata abscise v točkah, kjer se premica grafa seka z 0x. Koordinate oglišča je mogoče najti s pravkar podano formulo x 0 = -b/2a. In z nadomestitvijo nastale vrednosti v prvotno enačbo funkcije lahko ugotovite y 0, to je drugo koordinato vrha parabole, ki pripada ordinatni osi.

Presečišče vej parabole z abscisno osjo

Primerov reševanja kvadratnih enačb je veliko, obstajajo pa tudi splošni vzorci. Poglejmo jih. Jasno je, da je presečišče grafa z osjo 0x za a>0 možno le, če ima 0 negativne vrednosti. In za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sicer pa D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole lahko določite tudi korenine. Velja tudi obratno. Če torej ni enostavno pridobiti vizualne predstavitve kvadratne funkcije, lahko desno stran izraza enačite z 0 in rešite nastalo enačbo. In če poznamo točke presečišča z osjo 0x, je lažje sestaviti graf.

Iz zgodovine

Z uporabo enačb, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, v starih časih niso samo delali matematičnih izračunov in določali ploščin geometrijskih likov. Starodavni so takšne izračune potrebovali za velika odkritja na področju fizike in astronomije, pa tudi za izdelavo astroloških napovedi.

Kot kažejo sodobni znanstveniki, so bili prebivalci Babilona med prvimi, ki so rešili kvadratne enačbe. To se je zgodilo štiri stoletja pred našim štetjem. Seveda so bili njihovi izračuni radikalno drugačni od trenutno sprejetih in so se izkazali za veliko bolj primitivne. Na primer, mezopotamski matematiki niso imeli pojma o obstoju negativnih števil. Prav tako niso bili seznanjeni z drugimi tankostmi, ki jih pozna vsak sodoben šolar.

Morda celo prej kot babilonski znanstveniki je modrec iz Indije Baudhayama začel reševati kvadratne enačbe. To se je zgodilo približno osem stoletij pred Kristusovo dobo. Res je, da so bile enačbe drugega reda, metode za reševanje katerih je dal, najpreprostejše. Poleg njega so se za podobna vprašanja v starih časih zanimali tudi kitajski matematiki. V Evropi so kvadratne enačbe začeli reševati šele v začetku 13. stoletja, kasneje pa so jih v svojih delih uporabljali tako veliki znanstveniki, kot so Newton, Descartes in mnogi drugi.

Še naprej preučujemo temo " reševanje enačb" Z linearnimi enačbami smo se že seznanili in prehajamo na seznanjanje kvadratne enačbe.

Najprej si bomo ogledali, kaj je kvadratna enačba, kako je zapisana v splošni obliki in podali povezane definicije. Nato bomo s primeri podrobno preučili, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe. Nato bomo prešli na reševanje popolnih enačb, pridobili korensko formulo, se seznanili z diskriminanto kvadratne enačbe in obravnavali rešitve tipičnih primerov. Za konec poglejmo še povezave med koreni in koeficienti.

Navigacija po straneh.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato je logično, da pogovor o kvadratnih enačbah začnemo z definicijo kvadratne enačbe, pa tudi s sorodnimi definicijami. Po tem lahko razmislite o glavnih vrstah kvadratnih enačb: zmanjšanih in nereduciranih, pa tudi popolnih in nepopolnih enačb.

Definicija in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba je enačba oblike a x 2 +b x+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, a ni nič.

Takoj povejmo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je posledica dejstva, da je kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Navedena definicija nam omogoča podati primere kvadratnih enačb. Torej 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. To so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a, b in c se imenujejo koeficienti kvadratne enačbe a·x 2 +b·x+c=0 in koeficient a se imenuje prvi ali najvišji ali koeficient pri x 2, b je drugi koeficient ali koeficient pri x in c je prosti člen .

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 −2 x −3=0, pri čemer je vodilni koeficient 5, drugi koeficient je enak −2, prosti člen pa je enak −3. Upoštevajte, da ko sta koeficienta b in/ali c negativna, kot v pravkar navedenem primeru, je kratka oblika kvadratne enačbe 5 x 2 −2 x−3=0 namesto 5 x 2 +(−2) ·x+(−3)=0 .

Omeniti velja, da kadar sta koeficienta a in/ali b enaka 1 ali −1, običajno nista eksplicitno prisotna v kvadratni enačbi, kar je posledica posebnosti zapisovanja takšnih . Na primer, v kvadratni enačbi y 2 −y+3=0 je vodilni koeficient ena, koeficient pri y pa je enak −1.

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost vodilnega koeficienta ločimo reducirane in nereducirane kvadratne enačbe. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient 1 dana kvadratna enačba. V nasprotnem primeru je kvadratna enačba nedotaknjen.

Po tej definiciji so kvadratne enačbe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 itd. – glede na to, da je v vsakem od njih prvi koeficient enak ena. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - nereducirane kvadratne enačbe, katerih vodilni koeficienti so različni od 1.

Iz katere koli nereducirane kvadratne enačbe, tako da obe strani delite z vodilnim koeficientom, lahko preidete na reducirano enačbo. To dejanje je ekvivalentna transformacija, kar pomeni, da ima tako dobljena reducirana kvadratna enačba enake korene kot izvirna nereducirana kvadratna enačba ali pa nima nobenih korenin.

Oglejmo si primer, kako poteka prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer.

Iz enačbe 3 x 2 +12 x−7=0 pojdite na ustrezno zmanjšano kvadratno enačbo.

rešitev.

Samo deliti moramo obe strani prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 3, ni nič, da lahko izvedemo to dejanje. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kar je enako, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 in potem (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, od koder je . Tako smo dobili pomanjšano kvadratno enačbo, ki je enaka prvotni.

odgovor:

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

Definicija kvadratne enačbe vsebuje pogoj a≠0. Ta pogoj je nujen, da je enačba a x 2 + b x + c = 0 kvadratna, saj ko je a = 0, dejansko postane linearna enačba oblike b x + c = 0.

Kar zadeva koeficienta b in c, sta lahko enaka nič, tako posamično kot skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratna enačba a x 2 +b x+c=0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov b, c enak nič.

Po svoje

Opredelitev.

Popolna kvadratna enačba je enačba, v kateri so vsi koeficienti različni od nič.

Takšna imena niso bila dana po naključju. To bo razvidno iz naslednjih razprav.

Če je koeficient b enak nič, ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +0·x+c=0 in je enakovredna enačbi a·x 2 +c=0. Če je c=0, kar pomeni, da ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +b·x+0=0, jo lahko prepišemo kot a·x 2 +b·x=0. In z b=0 in c=0 dobimo kvadratno enačbo a·x 2 =0. Dobljene enačbe se od popolne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Od tod tudi njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Tako sta enačbi x 2 +x+1=0 in −2 x 2 −5 x+0,2=0 primera popolnih kvadratnih enačb in x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Iz podatkov v prejšnjem odstavku izhaja, da obstaja tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

• a·x 2 =0, temu ustrezata koeficienta b=0 in c=0;
• a x 2 +c=0, ko je b=0;
• in a·x 2 +b·x=0, ko je c=0.

Poglejmo po vrstnem redu, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a x 2 =0

Začnimo z reševanjem nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih sta koeficienta b in c enaka nič, torej z enačbami oblike a x 2 =0. Enačba a·x 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0, ki jo dobimo iz izvirnika tako, da oba dela delimo z ničelnim številom a. Očitno je, da je koren enačbe x 2 =0 nič, saj je 0 2 =0. Ta enačba nima drugih korenov, kar je razloženo z dejstvom, da za vsako neničelno število p velja neenakost p 2 >0, kar pomeni, da za p≠0 enakost p 2 =0 nikoli ni dosežena.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 =0 en sam koren x=0.

Kot primer podajamo rešitev nepopolne kvadratne enačbe −4 x 2 =0. Enakovredna je enačbi x 2 =0, njen edini koren je x=0, zato ima izvirna enačba en sam koren nič.

Kratko rešitev v tem primeru lahko zapišemo takole:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe, v katerih je koeficient b enak nič in c≠0, torej enačbe oblike a x 2 +c=0. Vemo, da premik člena z ene strani enačbe na drugo z nasprotnim predznakom, kot tudi deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič, da dobimo enakovredno enačbo. Zato lahko izvedemo naslednje ekvivalentne transformacije nepopolne kvadratne enačbe a x 2 +c=0:

• premakni c na desno stran, kar da enačbo a x 2 =−c,
• in delimo obe strani z a, dobimo .

Nastala enačba nam omogoča, da sklepamo o njenih koreninah. Odvisno od vrednosti a in c je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če a=1 in c=2, potem) ali pozitivna (na primer, če a=−2 in c=6 , potem), ni nič, saj po pogoju c≠0. Oglejmo si primere ločeno.

Če , potem enačba nima korenin. Ta trditev izhaja iz dejstva, da je kvadrat poljubnega števila nenegativno število. Iz tega sledi, da ko , potem za nobeno število p enakost ne more veljati.

Če je , potem je situacija s koreninami enačbe drugačna. V tem primeru, če se spomnimo približno , potem postane koren enačbe takoj očiten; to je število, saj . Zlahka je uganiti, da je število dejansko tudi koren enačbe, . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče pokazati na primer s protislovjem. Naredimo to.

Označimo korenine pravkar napovedane enačbe kot x 1 in −x 1 . Recimo, da ima enačba še en koren x 2, ki se razlikuje od navedenih korenov x 1 in −x 1. Znano je, da zamenjava njenih korenin v enačbi namesto x spremeni enačbo v pravilno numerično enakost. Za x 1 in −x 1 velja , za x 2 pa . Lastnosti številskih enačb nam omogočajo, da izvedemo odštevanje pravilnih številskih enačb po členih, tako da z odštevanjem ustreznih delov enačb dobimo x 1 2 −x 2 2 =0. Lastnosti operacij s števili nam omogočajo, da nastalo enakost prepišemo kot (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vemo, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od njiju enako nič. Zato iz dobljene enakosti sledi, da je x 1 −x 2 =0 in/ali x 1 +x 2 =0, kar je enako, x 2 =x 1 in/ali x 2 =−x 1. Tako smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe x 2 drugačen od x 1 in −x 1. To dokazuje, da enačba nima korenin razen in .

Povzemimo informacije v tem odstavku. Nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 je enakovredna enačbi, ki

• nima korenin, če ,
• ima dva korena in , če .

Oglejmo si primere reševanja nepopolnih kvadratnih enačb oblike a·x 2 +c=0.

Začnimo s kvadratno enačbo 9 x 2 +7=0. Ko premaknemo prosti člen na desno stran enačbe, bo imel obliko 9 x 2 =−7. Če obe strani dobljene enačbe delimo z 9, dobimo . Ker ima desna stran negativno število, ta enačba nima korenin, torej izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 +7 = 0 nima korenin.

Rešimo še eno nepopolno kvadratno enačbo −x 2 +9=0. Devet premaknemo na desno stran: −x 2 =−9. Zdaj obe strani delimo z −1, dobimo x 2 =9. Na desni strani je pozitivno število, iz katerega sklepamo oz. Nato zapišemo končni odgovor: nepopolna kvadratna enačba −x 2 +9=0 ima dva korena x=3 ali x=−3.

a x 2 +b x=0

Ukvarjamo se še z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb za c=0. Nepopolne kvadratne enačbe oblike a x 2 + b x = 0 vam omogočajo reševanje metoda faktorizacije. Očitno lahko, ki se nahaja na levi strani enačbe, za kar je dovolj, da skupni faktor x vzamemo iz oklepaja. To nam omogoča prehod iz prvotne nepopolne kvadratne enačbe v ekvivalentno enačbo oblike x·(a·x+b)=0. In ta enačba je enakovredna nizu dveh enačb x=0 in a·x+b=0, od katerih je slednja linearna in ima koren x=−b/a.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 +b·x=0 dva korena x=0 in x=−b/a.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev določenega primera.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Če x vzamemo iz oklepajev, dobimo enačbo. Enakovredno je dvema enačbama x=0 in . Rešimo dobljeno linearno enačbo: , in tako, da mešano število delimo z navadnim ulomkom, najdemo . Zato sta korena prvotne enačbe x=0 in .

Po pridobitvi potrebne prakse lahko rešitve takih enačb na kratko zapišemo:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula za korenine kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb obstaja korenska formula. Zapišimo formula za korenine kvadratne enačbe: , Kje D=b 2 −4 a c- tako imenovani diskriminanta kvadratne enačbe. Vnos v bistvu pomeni, da.

Koristno je vedeti, kako je bila izpeljana korenska formula in kako se uporablja pri iskanju korenov kvadratnih enačb. Ugotovimo to.

Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe

Rešiti moramo kvadratno enačbo a·x 2 +b·x+c=0. Izvedimo nekaj enakovrednih transformacij:

• Obe strani te enačbe lahko delimo z ničelnim številom a, kar ima za posledico naslednjo kvadratno enačbo.
• zdaj izberite celoten kvadrat na levi strani: . Po tem bo enačba dobila obliko.
• Na tej stopnji je možno prenesti zadnja dva člena na desno stran z nasprotnim predznakom, imamo .
• In transformirajmo tudi izraz na desni strani: .

Kot rezultat pridemo do enačbe, ki je enakovredna izvirni kvadratni enačbi a·x 2 +b·x+c=0.

Enačbe podobne oblike smo že reševali v prejšnjih odstavkih, ko smo pregledovali. To nam omogoča, da potegnemo naslednje zaključke glede korenin enačbe:

• če , potem enačba nima pravih rešitev;
• če , potem ima enačba obliko , torej , iz katere je viden njen edini koren;
• če , potem ali , kar je enako ali , kar pomeni, da ima enačba dva korena.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe in s tem izvirne kvadratne enačbe odvisna od predznaka izraza na desni strani. Predznak tega izraza pa določa predznak števca, saj je imenovalec 4·a 2 vedno pozitiven, to je predznak izraza b 2 −4·a·c. Ta izraz b 2 −4 a c je bil imenovan diskriminanta kvadratne enačbe in označen s črko D. Od tu je jasno bistvo diskriminante - na podlagi njene vrednosti in predznaka sklepajo, ali ima kvadratna enačba prave korenine, in če jih ima, kakšno je njihovo število - ena ali dve.

Vrnimo se k enačbi in jo prepišemo z uporabo diskriminantnega zapisa: . In sklepamo:

• če D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• če je D=0, ima ta enačba en sam koren;
• končno, če je D>0, ima enačba dva korena ali, kar lahko prepišemo v obliki ali in po razširitvi in ​​spravitvi ulomkov na skupni imenovalec dobimo.

Tako smo izpeljali formule za korenine kvadratne enačbe, izgledajo kot , kjer je diskriminanta D izračunana po formuli D=b 2 −4·a·c.

Z njihovo pomočjo lahko s pozitivno diskriminanto izračunate oba realna korena kvadratne enačbe. Ko je diskriminanta enaka nič, dajeta obe formuli enako vrednost korena, ki ustreza edinstveni rešitvi kvadratne enačbe. In pri negativnem diskriminantu se pri poskusu uporabe formule za korenine kvadratne enačbe soočimo z ekstrakcijo kvadratnega korena negativnega števila, kar nas popelje izven okvira šolskega kurikuluma. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba nima pravih korenin, ima pa par kompleksen konjugat korenine, ki jih lahko najdemo z istimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

V praksi lahko pri reševanju kvadratnih enačb takoj uporabite korensko formulo za izračun njihovih vrednosti. Toda to je bolj povezano z iskanjem kompleksnih korenin.

Vendar pa v šolskem tečaju algebre običajno ne govorimo o kompleksnih, ampak o resničnih koreninah kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo, preden uporabite formule za korenine kvadratne enačbe, da najprej poiščete diskriminanco, se prepričate, da je nenegativna (sicer lahko sklepamo, da enačba nima pravih korenin), in šele nato izračunajte vrednosti korenin.

Zgornje sklepanje nam omogoča pisanje algoritem za reševanje kvadratne enačbe. Če želite rešiti kvadratno enačbo a x 2 +b x+c=0, morate:

• z diskriminantno formulo D=b 2 −4·a·c izračunaj njeno vrednost;
• sklepati, da kvadratna enačba nima realnih korenin, če je diskriminanta negativna;
• izračunajte edini koren enačbe po formuli, če je D=0;
• poiščite dva realna korena kvadratne enačbe z uporabo korenske formule, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj samo opazimo, da če je diskriminanta enaka nič, lahko uporabite tudi formulo, ki bo dala enako vrednost kot .

Lahko preidete na primere uporabe algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Razmislimo o rešitvah treh kvadratnih enačb s pozitivno, negativno in ničelno diskriminanto. Ko bomo obravnavali njihovo rešitev, bo po analogiji mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo. Začnimo.

Primer.

Poiščite korenine enačbe x 2 +2·x−6=0.

rešitev.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: a=1, b=2 in c=−6. V skladu z algoritmom morate najprej izračunati diskriminanto; vstavimo navedene a, b in c v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ker je 28>0, kar pomeni, da je diskriminanta večja od nič, ima kvadratna enačba dva realna korena. Poiščimo jih s korensko formulo, dobimo , tukaj lahko dobljene izraze poenostavite tako, da naredite premikanje množitelja preko znaka korena sledi zmanjšanje frakcije:

odgovor:

Pojdimo k naslednjemu tipičnemu primeru.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo −4 x 2 +28 x−49=0 .

rešitev.

Začnemo z iskanjem diskriminatorja: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Zato ima ta kvadratna enačba en sam koren, ki ga najdemo kot , to je

odgovor:

x=3,5.

Ostaja še razmisliti o reševanju kvadratnih enačb z negativno diskriminanto.

Primer.

Rešite enačbo 5·y 2 +6·y+2=0.

rešitev.

Tukaj so koeficienti kvadratne enačbe: a=5, b=6 in c=2. Te vrednosti nadomestimo v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminanta je negativna, zato ta kvadratna enačba nima pravih korenin.

Če morate navesti kompleksne korenine, potem uporabimo dobro znano formulo za korenine kvadratne enačbe in izvedemo operacije s kompleksnimi števili:

odgovor:

pravih korenin ni, kompleksne korenine so: .

Še enkrat opozorimo, da če je diskriminant kvadratne enačbe negativen, potem v šoli običajno takoj zapišejo odgovor, v katerem navedejo, da ni pravih korenin, kompleksnih korenin pa ni.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Formula za korenine kvadratne enačbe, kjer D=b 2 −4·a·c vam omogoča, da dobite formulo bolj kompaktne oblike, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s sodim koeficientom za x (ali preprosto z koeficient v obliki 2·n, na primer, ali 14· ln5=2·7·ln5 ). Spravimo jo ven.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo oblike a x 2 +2 n x+c=0. Poiščimo njegove korenine s formulo, ki jo poznamo. Da bi to naredili, izračunamo diskriminanco D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

Izraz n 2 −a c označimo kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem bo formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n imela obliko , kjer je D 1 =n 2 −a·c.

Lahko vidimo, da je D=4·D 1 ali D 1 =D/4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminante. Jasno je, da je predznak D 1 enak predznaku D . To pomeni, da je znak D 1 tudi indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Če želite torej rešiti kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2·n, potrebujete

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Če D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Če je D 1 =0, izračunajte edini koren enačbe z uporabo formule;
• Če je D 1 >0, poiščite dva prava korena s pomočjo formule.

Razmislimo o rešitvi primera s korensko formulo, pridobljeno v tem odstavku.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo 5 x 2 −6 x −32=0 .

rešitev.

Drugi koeficient te enačbe lahko predstavimo kot 2·(−3) . To pomeni, da lahko prepišete prvotno kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tukaj a=5, n=−3 in c=−32, in izračunate četrti del diskriminator: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ker je njena vrednost pozitivna, ima enačba dva realna korena. Poiščimo jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bilo v tem primeru treba opraviti več računskega dela.

odgovor:

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih, preden začnete izračunavati korenine kvadratne enačbe s pomočjo formul, ne škodi, če se vprašate: "Ali je mogoče poenostaviti obliko te enačbe?" Strinjam se, da bo v računskem smislu lažje rešiti kvadratno enačbo 11 x 2 −4 x−6=0 kot 1100 x 2 −400 x−600=0.

Običajno se poenostavitev oblike kvadratne enačbe doseže z množenjem ali deljenjem obeh strani z določenim številom. Na primer, v prejšnjem odstavku je bilo mogoče enačbo 1100 x 2 −400 x −600=0 poenostaviti tako, da obe strani delimo s 100.

Podobno transformacijo izvedemo s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso . V tem primeru se obe strani enačbe običajno delita z absolutnimi vrednostmi njenih koeficientov. Za primer vzemimo kvadratno enačbo 12 x 2 −42 x+48=0. absolutne vrednosti njegovih koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Če obe strani prvotne kvadratne enačbe delimo s 6, dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 −7 x+8=0.

Množenje obeh strani kvadratne enačbe se običajno izvede, da se znebimo delnih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede z imenovalci njegovih koeficientov. Na primer, če obe strani kvadratne enačbe pomnožimo z LCM(6, 3, 1)=6, bo imela enostavnejšo obliko x 2 +4·x−18=0.

Za zaključek te točke ugotavljamo, da se skoraj vedno znebijo minusa pri najvišjem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznakov vseh členov, kar ustreza množenju (ali deljenju) obeh strani z −1. Na primer, običajno gremo od kvadratne enačbe −2 x 2 −3 x+7=0 k rešitvi 2 x 2 +3 x−7=0 .

Povezava med koreni in koeficienti kvadratne enačbe

Formula za korene kvadratne enačbe izraža korene enačbe skozi njene koeficiente. Na podlagi korenske formule lahko dobite druge povezave med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz Vietovega izreka so oblike in . Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Na primer, glede na obliko kvadratne enačbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0 lahko takoj rečemo, da je vsota njenih korenin enaka 7/3, produkt korenin pa 22/3.

Z že zapisanimi formulami lahko dobimo še vrsto drugih povezav med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazite prek njenih koeficientov: .

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

S tem matematičnim programom lahko rešiti kvadratno enačbo.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja na dva načina:
- z uporabo diskriminatorja
- z uporabo Vietovega izreka (če je možno).

Poleg tega je odgovor prikazan kot natančen, ne približen.
Na primer, za enačbo \(81x^2-16x-1=0\) je odgovor prikazan v naslednji obliki:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ in ne takole: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega polinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Števila lahko vnesete kot cela ali ulomka.
Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celega ločen s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke takole: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen.

Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje. V tem primeru pri reševanju kvadratne enačbe vvedeni izraz najprej poenostavimo.
Na primer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odločite se

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Kvadratna enačba in njeni koreni. Nepopolne kvadratne enačbe

Vsaka od enačb
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kot
\(ax^2+bx+c=0, \)
kjer je x spremenljivka, a, b in c so števila.
V prvi enačbi a = -1, b = 6 in c = 1,4, v drugi a = 8, b = -7 in c = 0, v tretji a = 1, b = 0 in c = 4/9. Take enačbe imenujemo kvadratne enačbe.

Opredelitev.
Kvadratna enačba se imenuje enačba oblike ax 2 +bx+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila in \(a \neq 0 \).

Števila a, b in c so koeficienti kvadratne enačbe. Število a imenujemo prvi koeficient, število b drugi koeficient, število c pa prosti člen.

V vsaki od enačb oblike ax 2 +bx+c=0, kjer \(a \neq 0 \), je največja potenca spremenljivke x kvadrat. Od tod tudi ime: kvadratna enačba.

Upoštevajte, da kvadratno enačbo imenujemo tudi enačba druge stopnje, saj je njena leva stran polinom druge stopnje.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je koeficient pri x 2 enak 1 dana kvadratna enačba. Na primer, navedene kvadratne enačbe so enačbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Če je v kvadratni enačbi ax 2 +bx+c=0 vsaj eden od koeficientov b ali c enak nič, se taka enačba imenuje nepopolna kvadratna enačba. Tako so enačbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 nepopolne kvadratne enačbe. V prvem izmed njih b=0, v drugem c=0, v tretjem b=0 in c=0.

Obstajajo tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:
1) ax 2 +c=0, kjer \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kjer \(b \neq 0 \);
3) sekira 2 =0.

Oglejmo si reševanje enačb vsake od teh vrst.

Če želite rešiti nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), premaknite njen prosti člen na desno stran in delite obe strani enačbe z a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ker \(c \neq 0 \), potem \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Če \(-\frac(c)(a)>0\), ima enačba dva korena.

Če \(-\frac(c)(a) Za rešitev nepopolne kvadratne enačbe oblike ax 2 +bx=0 z \(b \neq 0 \) faktoriziramo njeno levo stran in dobimo enačbo
\(x(ax+b)=0 \desna puščica \levo\( \begin(matrika)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(matrika) \desno. \desna puščica \levo\( \begin (matrika)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrika) \desno.

To pomeni, da ima nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) vedno dva korena.

Nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0 in ima zato en sam koren 0.

Formula za korenine kvadratne enačbe

Razmislimo zdaj, kako rešiti kvadratne enačbe, v katerih sta koeficienta neznank in prosti člen različna od nič.

Rešimo kvadratno enačbo v splošni obliki in kot rezultat dobimo formulo za korenine. To formulo lahko nato uporabimo za rešitev katere koli kvadratne enačbe.

Rešite kvadratno enačbo ax 2 +bx+c=0

Če obe strani delimo z a, dobimo ekvivalentno zmanjšano kvadratno enačbo
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Pretvorimo to enačbo tako, da izberemo kvadrat binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna puščica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\levo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \levo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \desna puščica \) \(\levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna puščica \levo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna puščica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Desna puščica x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Desna puščica \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" v latinščini - diskriminator). Označujemo ga s črko D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Zdaj z uporabo diskriminantnega zapisa prepišemo formulo za korenine kvadratne enačbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kjer \(D= b^2-4ac \)

Očitno je, da:
1) Če je D>0, ima kvadratna enačba dva korena.
2) Če je D=0, ima kvadratna enačba en koren \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Če je D Torej ima lahko kvadratna enačba, odvisno od vrednosti diskriminante, dva korena (za D > 0), en koren (za D = 0) ali nima korenin (za D. Pri reševanju kvadratne enačbe s tem formuli, je priporočljivo narediti na naslednji način:
1) izračunajte diskriminanco in jo primerjajte z ničlo;
2) če je diskriminanta pozitivna ali enaka nič, potem uporabite korensko formulo; če je diskriminanta negativna, potem zapišite, da korenin ni.

Vietov izrek

Dana kvadratna enačba ax 2 -7x+10=0 ima korena 2 in 5. Vsota korenin je 7, produkt pa 10. Vidimo, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim znak, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Vsaka reducirana kvadratna enačba, ki ima korene, ima to lastnost.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.

Tisti. Vietov izrek pravi, da imata korena x 1 in x 2 reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 lastnost:
\(\levo\( \begin(matrika)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(matrika) \desno. \)