V tem videoposnetku bomo analizirali cel niz linearnih enačb, ki jih rešujemo z istim algoritmom - zato jih imenujemo najpreprostejše.
Najprej opredelimo: kaj je linearna enačba in katera se imenuje najenostavnejša?
Linearna enačba je enačba, v kateri je samo ena spremenljivka in le do prve stopnje.
Najenostavnejša enačba pomeni konstrukcijo:
Vse druge linearne enačbe so reducirane na najpreprostejše z uporabo algoritma:
- Razširite oklepaje, če obstajajo;
- Premakni izraze, ki vsebujejo spremenljivko, na eno stran znaka enačaja, izraze brez spremenljivke pa na drugo;
- Levo in desno od enačaja navedite podobne izraze;
- Dobljeno enačbo delite s koeficientom spremenljivke $x$.
Seveda ta algoritem ne pomaga vedno. Dejstvo je, da se včasih po vseh teh mahinacijah izkaže, da je koeficient spremenljivke $x$ enak nič. V tem primeru sta možni dve možnosti:
- Enačba sploh nima rešitev. Na primer, ko se izkaže nekaj takega kot $0\cdot x=8$, tj. na levi je nič, na desni pa število, ki ni nič. V spodnjem videu si bomo ogledali več razlogov, zakaj je to mogoče.
- Rešitev so vse številke. Edini primer, ko je to mogoče, je, ko je enačba reducirana na konstrukcijo $0\cdot x=0$. Povsem logično je, da ne glede na to, kateri $x$ zamenjamo, se bo še vedno izkazalo, da je "nič enaka nič", tj. pravilna številčna enakost.
Zdaj pa poglejmo, kako vse to deluje na primerih iz resničnega življenja.
Primeri reševanja enačb
Danes imamo opravka z linearnimi enačbami, in to le z najpreprostejšimi. V splošnem linearna enačba pomeni vsako enakost, ki vsebuje natanko eno spremenljivko in gre samo na prvo stopnjo.
Takšne konstrukcije so rešene na približno enak način:
- Najprej morate razširiti oklepaje, če obstajajo (kot v našem zadnjem primeru);
- Nato združite podobno
- Na koncu izolirajte spremenljivko, tj. premaknite vse, kar je povezano s spremenljivko – izraze, v katerih je vsebovana – na eno stran in premaknite vse, kar ostane brez nje, na drugo stran.
Potem morate praviloma na vsaki strani nastale enakosti prinesti podobne, nato pa ostane le še delitev s koeficientom "x" in dobili bomo končni odgovor.
V teoriji je to videti lepo in preprosto, v praksi pa lahko celo izkušeni srednješolci naredijo žaljive napake v precej preprostih linearnih enačbah. Običajno pride do napak pri odpiranju oklepajev ali pri izračunu "plusov" in "minusov".
Poleg tega se zgodi, da linearna enačba sploh nima rešitev ali pa je rešitev celotna številska premica, tj. poljubno število. Te podrobnosti si bomo ogledali v današnji lekciji. Začeli pa bomo, kot ste že razumeli, z najpreprostejšimi nalogami.
Shema za reševanje preprostih linearnih enačb
Najprej naj še enkrat napišem celotno shemo za reševanje najenostavnejših linearnih enačb:
- Razširite oklepaje, če obstajajo.
- Izoliramo spremenljivke, tj. Vse, kar vsebuje "X" premaknemo na eno stran, vse brez "X" pa na drugo.
- Predstavljamo podobne pogoje.
- Vse delimo s koeficientom "x".
Seveda ta shema ne deluje vedno, v njej so določene tankosti in triki, zdaj pa jih bomo spoznali.
Reševanje realnih primerov enostavnih linearnih enačb
Naloga št. 1
Prvi korak zahteva, da odpremo oklepaje. Vendar jih v tem primeru ni, zato ta korak preskočimo. V drugem koraku moramo izolirati spremenljivke. Opomba: govorimo le o posameznih izrazih. Zapišimo:
Na levi in desni strani predstavljamo podobne izraze, vendar je to tukaj že narejeno. Zato preidemo na četrti korak: delimo s koeficientom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tako smo dobili odgovor.
Naloga št. 2
V tem problemu vidimo oklepaje, zato jih razširimo:
Tako na levi kot na desni vidimo približno enako zasnovo, vendar ravnajmo po algoritmu, tj. ločevanje spremenljivk:
Tukaj je nekaj podobnih:
Pri katerih koreninah to deluje? Odgovor: za katero koli. Zato lahko zapišemo, da je $x$ poljubno število.
Naloga št. 3
Tretja linearna enačba je bolj zanimiva:
\[\levo(6-x \desno)+\levo(12+x \desno)-\levo(3-2x \desno)=15\]
Tukaj je več oklepajev, vendar niso pomnoženi z ničemer, le pred njimi so različni znaki. Razčlenimo jih:
Izvedemo drugi korak, ki nam je že znan:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Izračunajmo:
Izvedemo zadnji korak - vse delimo s koeficientom "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari, ki si jih morate zapomniti pri reševanju linearnih enačb
Če zanemarimo preveč preproste naloge, bi rad povedal naslednje:
- Kot sem rekel zgoraj, vsaka linearna enačba nima rešitve - včasih preprosto ni korenin;
- Tudi če so korenine, je lahko med njimi nič - s tem ni nič narobe.
Ničla je enaka kot druge; ne smete je kakor koli diskriminirati ali domnevati, da ste naredili nekaj narobe.
Druga značilnost je povezana z odpiranjem oklepajev. Upoštevajte: ko je pred njimi "minus", ga odstranimo, v oklepajih pa spremenimo znake v nasprotje. In potem ga lahko odpremo s standardnimi algoritmi: dobili bomo tisto, kar smo videli v zgornjih izračunih.
Razumevanje tega preprostega dejstva vam bo pomagalo, da se izognete neumnim in škodljivim napakam v srednji šoli, ko je početje takih stvari samoumevno.
Reševanje kompleksnih linearnih enačb
Pojdimo k bolj zapletenim enačbam. Zdaj bodo konstrukcije postale bolj zapletene in pri izvajanju različnih transformacij se bo pojavila kvadratna funkcija. Vendar se tega ne smemo bati, kajti če po avtorjevem načrtu rešujemo linearno enačbo, se bodo med postopkom transformacije vsi monomi, ki vsebujejo kvadratno funkcijo, nujno preklicali.
Primer št. 1
Očitno je prvi korak odpiranje oklepajev. Naredimo to zelo previdno:
Zdaj pa si poglejmo zasebnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Tukaj je nekaj podobnih:
Očitno je, da ta enačba nima rešitev, zato bomo to zapisali v odgovor:
\[\varnič\]
ali pa ni korenin.
Primer št. 2
Izvajamo enaka dejanja. Prvi korak:
Premaknimo vse s spremenljivko v levo in brez nje - v desno:
Tukaj je nekaj podobnih:
Očitno je, da ta linearna enačba nima rešitve, zato jo bomo zapisali takole:
\[\varnič\],
ali pa ni korenin.
Nianse rešitve
Obe enačbi sta popolnoma rešeni. Na primeru teh dveh izrazov smo se še enkrat prepričali, da tudi v najpreprostejših linearnih enačbah morda ni vse tako preprosto: lahko je ena ali nobena ali neskončno veliko korenin. V našem primeru smo upoštevali dve enačbi, obe preprosto nimata korenin.
Vendar bi vas rad opozoril na drugo dejstvo: kako delati z oklepaji in kako jih odpreti, če je pred njimi znak minus. Razmislite o tem izrazu:
Preden odprete, morate vse pomnožiti z "X". Prosimo, upoštevajte: pomnoži vsak posamezen termin. V notranjosti sta dva izraza - oziroma dva izraza in pomnožena.
In šele ko so te na videz elementarne, a zelo pomembne in nevarne preobrazbe končane, lahko odprete oklepaj z vidika dejstva, da je za njim znak minus. Da, da: šele zdaj, ko so transformacije končane, se spomnimo, da je pred oklepajem znak minus, kar pomeni, da vse spodaj preprosto spremeni predznak. Hkrati izginejo sami oklepaji in, kar je najpomembneje, izgine tudi sprednji "minus".
Enako naredimo z drugo enačbo:
Ni naključje, da sem pozoren na ta majhna, na videz nepomembna dejstva. Ker je reševanje enačb vedno zaporedje elementarnih transformacij, kjer nezmožnost jasnega in kompetentnega izvajanja preprostih dejanj vodi do tega, da srednješolci pridejo k meni in se znova naučijo reševati tako preproste enačbe.
Seveda bo prišel dan, ko boste te veščine izpilili do avtomatizma. Ne bo vam treba več vsakič izvajati toliko transformacij; vse boste zapisali v eno vrstico. Medtem ko se šele učite, morate vsako dejanje napisati posebej.
Reševanje tudi bolj zapletenih linearnih enačb
To, kar bomo zdaj rešili, težko imenujemo najpreprostejša naloga, vendar pomen ostaja enak.
Naloga št. 1
\[\levo(7x+1 \desno)\levo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo vse elemente v prvem delu:
Poskrbimo za zasebnost:
Tukaj je nekaj podobnih:
Dokončajmo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Tukaj je naš končni odgovor. In kljub temu, da smo imeli v procesu reševanja koeficiente s kvadratno funkcijo, so se med seboj izničili, zaradi česar je enačba linearna in ne kvadratna.
Naloga št. 2
\[\levo(1-4x \desno)\levo(1-3x \desno)=6x\levo(2x-1 \desno)\]
Pazljivo izvedimo prvi korak: vsak element iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Po preobrazbah naj bi bili skupno štirje novi izrazi:
Zdaj pazljivo izvedimo množenje v vsakem členu:
Pojme z "X" premaknimo na levo, tiste brez - na desno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Tukaj so podobni izrazi:
Ponovno smo prejeli končni odgovor.
Nianse rešitve
Najpomembnejša opomba o teh dveh enačbah je naslednja: takoj ko začnemo množiti oklepaje, ki vsebujejo več kot en člen, to storimo po naslednjem pravilu: vzamemo prvi člen iz prvega in pomnožimo z vsakim elementom iz drugi; potem vzamemo drugi element iz prvega in podobno pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Posledično bomo imeli štiri mandate.
O algebraični vsoti
S tem zadnjim primerom bi rad študente spomnil, kaj je algebraična vsota. V klasični matematiki z $1-7$ mislimo na preprosto konstrukcijo: od ena odštejemo sedem. V algebri s tem mislimo naslednje: številu »ena« dodamo drugo število, in sicer »minus sedem«. Tako se algebraična vsota razlikuje od navadne aritmetične vsote.
Takoj, ko pri izvajanju vseh transformacij, vsakega seštevanja in množenja začnete videti konstrukcije, podobne zgoraj opisanim, preprosto ne boste imeli nobenih težav v algebri pri delu s polinomi in enačbami.
Za konec si oglejmo še nekaj primerov, ki bodo še bolj zapleteni od tistih, ki smo si jih pravkar ogledali, in za njihovo rešitev bomo morali nekoliko razširiti naš standardni algoritem.
Reševanje enačb z ulomki
Za rešitev takšnih nalog bomo morali našemu algoritmu dodati še en korak. Najprej pa naj vas spomnim na naš algoritem:
- Odprite oklepaje.
- Ločene spremenljivke.
- Prinesite podobne.
- Deli z razmerjem.
Žal, ta čudoviti algoritem se ob vsej svoji učinkovitosti izkaže za ne povsem primernega, ko imamo pred seboj ulomke. In v tem, kar bomo videli spodaj, imamo ulomek tako na levi kot na desni v obeh enačbah.
Kako delati v tem primeru? Da, zelo preprosto je! Če želite to narediti, morate v algoritem dodati še en korak, ki ga je mogoče storiti pred in po prvem dejanju, in sicer znebiti se ulomkov. Torej bo algoritem naslednji:
- Znebite se ulomkov.
- Odprite oklepaje.
- Ločene spremenljivke.
- Prinesite podobne.
- Deli z razmerjem.
Kaj pomeni "znebiti se ulomkov"? In zakaj je to mogoče storiti po in pred prvim standardnim korakom? Pravzaprav so v našem primeru vsi ulomki številčni v svojem imenovalcu, tj. Povsod je imenovalec le številka. Če torej obe strani enačbe pomnožimo s tem številom, se bomo znebili ulomkov.
Primer št. 1
\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]
Znebimo se ulomkov v tej enačbi:
\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Prosimo, upoštevajte: vse se enkrat pomnoži s "štiri", tj. samo zato, ker imate dva oklepaja, še ne pomeni, da morate vsakega pomnožiti s "štiri". Zapišimo:
\[\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Zdaj pa razširimo:
Izločimo spremenljivko:
Izvajamo redukcijo podobnih izrazov:
\[-4x=-1\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Dobili smo končno rešitev, pojdimo k drugi enačbi.
Primer št. 2
\[\frac(\levo(1-x \desno)\levo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]
Tukaj izvajamo vsa ista dejanja:
\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem je rešen.
To je pravzaprav vse, kar sem vam danes želel povedati.
Ključne točke
Ključne ugotovitve so:
- Poznati algoritem za reševanje linearnih enačb.
- Možnost odpiranja oklepajev.
- Ne skrbite, če imate nekje kvadratne funkcije, najverjetneje se bodo v procesu nadaljnjih transformacij zmanjšale.
- V linearnih enačbah obstajajo tri vrste korenin, tudi najpreprostejših: en sam koren, celotna številska premica je koren in nobenih korenin.
Upam, da vam bo ta lekcija pomagala obvladati preprosto, a zelo pomembno temo za nadaljnje razumevanje celotne matematike. Če nekaj ni jasno, pojdite na spletno mesto in rešite tam predstavljene primere. Spremljajte nas, čaka vas še veliko zanimivega!
Linearne enačbe. Rešitev, primeri.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Linearne enačbe.
Linearne enačbe niso najtežja tema šolske matematike. Obstaja pa nekaj trikov, ki lahko zmedejo celo izurjenega študenta. Naj ugotovimo?)
Običajno je linearna enačba opredeljena kot enačba oblike:
sekira + b = 0 kje a in b– poljubne številke.
2x + 7 = 0. Tukaj a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Tukaj a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Tukaj a=12, b=1/2
Nič zapletenega, kajne? Še posebej, če ne opazite besed: "kjer sta a in b poljubni števili"... In če opazite in neprevidno razmišljate o tem?) Konec koncev, če a=0, b=0(so možne katere koli številke?), potem dobimo smešen izraz:
A to še ni vse! Če recimo, a=0, A b=5, To se izkaže za nekaj povsem nenavadnega:
Kar je moteče in spodkopava zaupanje v matematiko, ja ...) Še posebej med izpiti. Toda med temi čudnimi izrazi morate najti tudi X! Ki sploh ne obstaja. In, presenetljivo, ta X je zelo enostavno najti. Naučili se bomo tega delati. V tej lekciji.
Kako prepoznati linearno enačbo po videzu? Odvisno od videza.) Trik je v tem, da linearne enačbe niso le enačbe oblike sekira + b = 0 , pa tudi vse enačbe, ki jih je mogoče reducirati na to obliko s transformacijami in poenostavitvami. In kdo ve, ali se spusti ali ne?)
V nekaterih primerih je mogoče jasno prepoznati linearno enačbo. Recimo, če imamo enačbo, v kateri so samo neznanke prve stopnje in števila. In v enačbi ni ulomki deljeni s neznano , to je pomembno! In deljenje po številka, ali številski ulomek - to je dobrodošlo! Na primer:
To je linearna enačba. Tukaj so ulomki, vendar ni x-ov v kvadratu, kocki itd., niti x-ov v imenovalcih, tj. št deljenje z x. In tukaj je enačba
ni mogoče imenovati linearno. Tukaj so X-ji vsi na prvi stopnji, vendar obstajajo deljenje z izrazom z x. Po poenostavitvah in transformacijah lahko dobite linearno enačbo, kvadratno enačbo ali kar koli želite.
Izkazalo se je, da je nemogoče prepoznati linearno enačbo v nekem zapletenem primeru, dokler je skoraj ne rešiš. To je moteče. Toda v nalogah praviloma ne sprašujejo o obliki enačbe, kajne? Naloge zahtevajo enačbe odločiti se. To me osrečuje.)
Reševanje linearnih enačb. Primeri.
Celotna rešitev linearnih enačb je sestavljena iz identičnih transformacij enačb. Mimogrede, te transformacije (dve od njih!) so osnova rešitev vse matematične enačbe. Z drugimi besedami, rešitev katerikoli enačba se začne prav s temi transformacijami. V primeru linearnih enačb (rešitev) temelji na teh transformacijah in se konča s popolnim odgovorom. Smiselno je slediti povezavi, kajne?) Poleg tega so tam tudi primeri reševanja linearnih enačb.
Najprej si poglejmo najpreprostejši primer. Brez kakršnih koli pasti. Recimo, da moramo rešiti to enačbo.
x - 3 = 2 - 4x
To je linearna enačba. Vsi X-ji so na prvi potenci, ni deljenja z X-ji. Toda pravzaprav nam ni pomembno, za kakšno enačbo gre. Moramo ga rešiti. Shema tukaj je preprosta. Zberite vse z X-ji na levi strani enačbe, vse brez X-ov (številke) na desni.
Če želite to narediti, morate prenesti - 4x v levo stran, seveda s spremembo predznaka in - 3 - na desno. Mimogrede, to je prva identična transformacija enačb. Presenečen? To pomeni, da niste sledili povezavi, a zaman ...) Dobimo:
x + 4x = 2 + 3
Tu so podobni, menimo:
Kaj potrebujemo za popolno srečo? Ja, tako da je na levi čisti X! Pet je na poti. Znebiti se petih s pomočjo druga identična transformacija enačb. Obe strani enačbe namreč delimo s 5. Dobimo pripravljen odgovor:
Elementaren primer, seveda. To je za ogrevanje.) Ni čisto jasno, zakaj sem se tukaj spomnil enakih transformacij? OK. Prijemimo bika za roge.) Odločimo se za nekaj bolj trdnega.
Tukaj je na primer enačba:
Kje začnemo? Z X-ji - na levo, brez X-jev - na desno? To je možno. Majhni koraki po dolgi poti. Lahko pa to storite takoj, na univerzalen in močan način. Če seveda imate v svojem arzenalu enake transformacije enačb.
Postavljam vam ključno vprašanje: Kaj vam pri tej enačbi najbolj ni všeč?
95 od 100 ljudi bo odgovorilo: ulomki ! Odgovor je pravilen. Zato se jih znebimo. Zato začnemo takoj z druga transformacija identitete. S čim morate pomnožiti ulomek na levi, da se imenovalec popolnoma zmanjša? Tako je, na 3. In na desni? S 4. Toda matematika nam omogoča, da obe strani pomnožimo s enako število. Kako lahko pridemo ven? Pomnožimo obe strani z 12! Tisti. na skupni imenovalec. Potem se bodo zmanjšale tako tri kot štiri. Ne pozabite, da morate vsak del pomnožiti v celoti. Tako izgleda prvi korak:
Razširitev oklepajev:
Pozor! Števec (x+2) Dala sem v oklepaj! To je zato, ker se pri množenju ulomkov pomnoži celoten števec! Zdaj lahko zmanjšate ulomke:
Razširite preostale oklepaje:
Ne primer, ampak čisti užitek!) Zdaj pa se spomnimo uroka iz osnovne šole: z X - na levo, brez X - na desno! In uporabite to transformacijo:
Tukaj je nekaj podobnih:
In oba dela delite s 25, tj. znova uporabite drugo transformacijo:
To je vse. odgovor: X=0,16
Prosimo, upoštevajte: da bi prvotno zmedeno enačbo spravili v lepo obliko, smo uporabili dva (samo dva!) transformacije identitete– prevajanje levo-desno s spremembo predznaka in množenje-deljenje enačbe z istim številom. To je univerzalna metoda! Na ta način bomo delali z katerikoli enačbe! Absolutno kdorkoli. Zato ves čas dolgočasno ponavljam o teh enakih transformacijah.)
Kot lahko vidite, je princip reševanja linearnih enačb preprost. Vzamemo enačbo in jo poenostavljamo z enakimi transformacijami, dokler ne dobimo odgovora. Tu so glavni problemi v izračunih, ne v principu rešitve.
Toda ... V procesu reševanja najbolj elementarnih linearnih enačb so takšna presenečenja, da vas lahko spravijo v močno omamo ...) Na srečo sta takšni presenečenji lahko le dve. Recimo jim posebni primeri.
Posebni primeri pri reševanju linearnih enačb.
Prvo presenečenje.
Recimo, da naletite na zelo osnovno enačbo, nekaj takega:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Rahlo zdolgočaseno premaknemo z X v levo, brez X - v desno ... S spremembo predznaka je vse popolno ... Dobimo:
2x-5x+3x=5-2-3
Računamo in ... ups!!! Dobimo:
Ta enakost sama po sebi ni sporna. Zero je res nič. Ampak X manjka! In v odgovoru moramo zapisati, čemu je x enak? Sicer pa rešitev ne šteje, kajne...) Slepa ulica?
umirjeno! V takih dvomljivih primerih vas bodo rešila najbolj splošna pravila. Kako rešiti enačbe? Kaj pomeni rešiti enačbo? To pomeni, poiščite vse vrednosti x, ki nam bodo, ko jih nadomestimo v prvotno enačbo, dale pravilno enakost.
Imamo pa pravo enakost že uspelo je! 0=0, koliko bolj natančno?! Še vedno je treba ugotoviti, pri katerem x se to zgodi. V katere vrednosti X je mogoče nadomestiti original enačba, če so ti x-ji bodo še zreducirani na nulo? Daj no?)
ja!!! X-je je mogoče zamenjati katerikoli! Katere želite? Vsaj 5, vsaj 0,05, vsaj -220. Še vedno se bodo krčili. Če mi ne verjamete, lahko preverite.) Zamenjajte poljubne vrednosti X v original enačbo in izračunaj. Ves čas boste dobili čisto resnico: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 in tako naprej.
Tukaj je vaš odgovor: x - poljubno število.
Odgovor je lahko zapisan z različnimi matematičnimi simboli, bistvo se ne spremeni. To je povsem pravilen in popoln odgovor.
Drugo presenečenje.
Vzemimo isto osnovno linearno enačbo in spremenimo samo eno število v njej. Takole se bomo odločili:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Po enakih enakih transformacijah dobimo nekaj zanimivega:
Takole. Rešili smo linearno enačbo in dobili čudno enakost. V matematičnem smislu smo dobili lažna enakost. Toda preprosto povedano, to ni res. Rave. Toda kljub temu je ta nesmisel zelo dober razlog za pravilno rešitev enačbe.)
Spet razmišljamo na podlagi splošnih pravil. Kaj nam bodo dali x-ji, če jih zamenjamo v izvirno enačbo res enakost? Da, nobenega! Takih X-jev ni. Ne glede na to, kaj vložite, se bo vse zmanjšalo, ostale bodo samo neumnosti.)
Tukaj je vaš odgovor: ni rešitev.
To je tudi povsem popoln odgovor. V matematiki se takšni odgovori pogosto najdejo.
Takole. Upam, da vas izginotje X-ov v procesu reševanja katere koli (ne samo linearne) enačbe ne bo prav nič zmedlo. To je že znana zadeva.)
Zdaj, ko smo opravili z vsemi pastmi v linearnih enačbah, jih je smiselno rešiti.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Sediš v restavraciji in listaš po jedilniku. Vse jedi izgledajo tako slastne, da ne veš kaj izbrati. Mogoče vse naročiti?
Zagotovo ste že naleteli na takšne težave. Če ne v hrani, pa v čem drugem. Za izbiro med enako privlačnimi možnostmi porabimo ogromno časa in energije. Po drugi strani pa možnosti ne morejo biti enake, saj je vsaka na svoj način privlačna.
Ko ste se odločili, ste soočeni z novo izbiro. To je neskončen niz pomembnih odločitev, ki vključuje tudi strah pred napačno izbiro. Te tri metode vam bodo pomagale sprejemati boljše odločitve na vseh ravneh vašega življenja.
Ustvarite navade, da se izogibate vsakodnevnim odločitvam
Ideja je, da če se navadite jesti solato za kosilo, se vam ne bo treba odločati, kaj boste naročili v kavarni.
Z razvojem navad, ki obravnavajo ta preprosta vsakodnevna opravila, prihranite energijo za sprejemanje zahtevnejših in pomembnejših odločitev. Poleg tega, če se navadite jesti solato za zajtrk, vam ne bo treba izgubljati volje, da bi namesto solate pojedli nekaj mastnega in ocvrtega.
Vendar to velja za predvidljive zadeve. Kaj pa nepričakovane odločitve?
»Če – potem«: metoda za nepredvidljive odločitve
Na primer, nekdo nenehno prekinja vaš govor in niste prepričani, kako bi se na to odzvali in ali bi se sploh morali odzvati. Po metodi "če-potem" se odločite: če vas prekine še dvakrat, mu boste izrekli vljuden opomin, če to ne deluje, pa v bolj nesramni obliki.
Ti dve metodi nam pomagata sprejemati večino odločitev, s katerimi se soočamo vsak dan. A pri vprašanjih strateškega načrtovanja, na primer, kako se odzvati na grožnjo konkurentov, v katere izdelke več vlagati, kje zmanjšati proračun, so nemočni.
Gre za odločitve, ki se lahko zamaknejo za teden, mesec ali celo leto, kar upočasni razvoj podjetja. Z njimi se ni mogoče spoprijeti z navado in metoda "če-potem" tudi tukaj ne bo delovala. Na taka vprašanja praviloma ni jasnega in pravilnega odgovora.
Vodstvo pogosto odlaša s takšnimi odločitvami. Zbira informacije, tehta prednosti in slabosti, še naprej čaka in opazuje situacijo v upanju, da se bo pojavilo nekaj, kar bo pokazalo pravo odločitev.
In če predpostavimo, da ni pravega odgovora, ali nam bo to pomagalo pri hitri odločitvi?
Predstavljajte si, da se morate v naslednjih 15 minutah odločiti. Ne jutri, ne naslednji teden, ko boste zbrali dovolj informacij, in ne čez en mesec, ko se boste pogovorili z vsemi, ki so povezani s problemom.
Za odločitev imate četrt ure časa. Ukrepajte.
To je tretja metoda, ki pomaga sprejemati težke odločitve glede dolgoročnega načrtovanja.
Izkoristite čas
Če ste raziskali problem in ugotovili, da so možnosti za njegovo rešitev enako privlačne, sprejmite, da ni pravega odgovora, si postavite časovno omejitev in preprosto izberite katero koli možnost. Če testiranje ene od rešitev zahteva minimalen vložek, jo izberite in preizkusite. Če pa to ni mogoče, potem izberite katerega koli in čim prej: čas, ki ga porabite za nekoristno razmišljanje, lahko bolje izkoristite.
Seveda se lahko ne strinjate: "Če bom čakal, se bo morda pojavil pravi odgovor." Mogoče, a najprej izgubljate dragoceni čas s čakanjem, da se situacija razjasni. Drugič, čakanje povzroča odlašanje in odlaganje drugih s tem povezanih odločitev, zmanjšuje produktivnost in upočasnjuje rast podjetja.
Poskusite zdaj. Če imate vprašanje, ki ste ga odlašali, si vzemite tri minute in to naredite. Če jih imate preveč, napišite seznam in določite čas za vsako rešitev.
Videli boste, z vsako odločitvijo, ki jo sprejmete, se boste počutili nekoliko bolje, vaša tesnoba se bo zmanjšala in počutili se boste, kot da greste naprej.
Torej, izbereš lahko solato. Je bila to prava izbira? Kdo ve ... Vsaj jedli ste in ne sedite lačni nad jedilnikom z jedmi.
Kako se naučiti reševati preproste in zapletene enačbe
Dragi starši!
Brez osnovne matematične izobrazbe je izobraževanje sodobnega človeka nemogoče. V šoli je matematika podporni predmet za številne sorodne discipline. V pošolskem življenju postaja stalno izobraževanje resnična nuja, ki zahteva osnovno šolsko usposabljanje, vključno z matematiko.
V osnovni šoli se ne polaga le znanje o osnovnih temah, ampak se razvijajo tudi logično razmišljanje, domišljija in prostorski koncepti ter se oblikuje zanimanje za to temo.
Ob upoštevanju načela kontinuitete se bomo osredotočili na najpomembnejšo temo, in sicer na »Razmerje med komponentami dejanj pri reševanju sestavljenih enačb«.
S to lekcijo se lahko enostavno naučite reševati kompleksne enačbe. Med lekcijo se boste podrobno seznanili z navodili za reševanje kompleksnih enačb po korakih.
Mnogi starši so zbegani zaradi vprašanja, kako svoje otroke naučiti reševati preproste in zapletene enačbe. Če so enačbe preproste, je to polovica problema, obstajajo pa tudi zapletene - na primer integralne. Mimogrede, za informacijo, obstajajo tudi enačbe, ki se jih trudijo rešiti najboljši umi našega planeta in za rešitev katerih so podeljeni zelo pomembni denarni bonusi. Na primer, če se spomnitePerelmanin nezahtevan denarni bonus v višini več milijonov.
Vendar se najprej vrnimo k preprostim matematičnim enačbam in ponovimo vrste enačb in imena komponent. Malo ogrevanja:
_________________________________________________________________________
OGREVANJE
Poiščite dodatno številko v vsakem stolpcu:
2) Katera beseda manjka v vsakem stolpcu?
3) Poveži besede iz prvega stolpca z besedami iz 2. stolpca.
"Enačba" "Enačnost"
4) Kako razlagate, kaj je "enakost"?
5) Kaj pa "enačba"? Je to enakost? Kaj je na njem posebnega?
skupni izraz
minuend razlika
odšteti izdelek
dejavnikenakost
dividenda
enačba
Sklep: Enačba je enačba s spremenljivko, katere vrednost je treba najti.
_______________________________________________________________________
Vsako skupino povabim, da na list papirja s flomastrom napiše enačbe: (na tablo)
| 1. skupina - z neznanim pojmom; skupina 2 - z neznanim dekrementom; 3. skupina - z neznanim subtrahendom; skupina 4 - z neznanim deliteljem; Skupina 5 - z neznano dividendo; Skupina 6 - z neznanim množiteljem. | 1 skupina x + 8 = 15 2 skupina x - 8 = 7 3. skupina 48 - x = 36 4. skupina 540: x = 9 5 skupina x: 15 = 9 6 skupina x * 10 = 360 |
Eden od skupine mora prebrati njihovo enačbo v matematičnem jeziku in komentirati njihovo rešitev, tj. povedati operacijo, ki se izvaja z znanimi komponentami dejanj (algoritem).
Zaključek: Rešujemo lahko preproste enačbe vseh vrst z uporabo algoritma, beremo in pišemo dobesedne izraze.
Predlagam rešitev problema, v katerem se pojavi nova vrsta enačbe.
Sklep: Seznanili smo se z reševanjem enačb, katerih en del vsebuje številski izraz, katerega vrednost je treba najti in dobiti preprosto enačbo.
________________________________________________________________________
Razmislimo o drugi različici enačbe, katere rešitev je zmanjšana na reševanje verige preprostih enačb. Tukaj je en uvod v sestavljene enačbe.
| a + b * c (x - y) : 3 2 * d + (m - n) Ali so enačbe zapisane? Zakaj? Kako se imenujejo takšna dejanja? Preberite jih in poimenujte zadnje dejanje: | št. To niso enačbe, ker mora imeti enačba znak "=". Izrazi a + b * c - vsota števila a in produkta števil b in c; (x - y): 3 - količnik razlike med številoma x in y; 2 * d + (m - n) - vsota dvojnika števila d in razlike med številoma m in n. |
Predlagam, da vsak zapiše stavek v matematičnem jeziku:
Zmnožek razlike med števili x in 4 ter številom 3 je 15.
ZAKLJUČEK: Problematična situacija, ki je nastala, motivira za zastavitev cilja lekcije: naučiti se reševati enačbe, v katerih je neznana komponenta izraz. Take enačbe so sestavljene enačbe.
__________________________________________________________________________
Ali pa nam bodo morda pomagale vrste enačb, ki smo jih že preučevali? (algoritmi)
Kateri od znanih enačb je podobna naša enačba? X * a = b
ZELO POMEMBNO VPRAŠANJE: Kaj je izraz na levi strani - vsota, razlika, produkt ali količnik?
(x - 4) * 3 = 15 (zmnožek)
Zakaj? (ker je zadnje dejanje množenje)
Zaključek:Take enačbe še niso bile obravnavane. Lahko pa ga rešimo, če izrazx - 4vstavite kartonček (y - igrek) in dobite enačbo, ki jo zlahka rešite s preprostim algoritmom za iskanje neznane komponente.
Pri reševanju sestavljenih enačb je potrebno na vsakem koraku avtomatizirano izbrati akcijo, komentirati in poimenovati komponente akcije.
| Poenostavite del |
| št ↓ ja |
(y - 5) *
4
=
28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)
Zaključek:V razredih z različnimi ozadji je to delo lahko organizirano drugače. V bolj pripravljenih razredih, tudi za primarno utrjevanje, se lahko uporabljajo izrazi, v katerih ni dve, ampak tri ali več dejanj, vendar njihova rešitev zahteva večje število korakov, pri čemer vsak korak poenostavlja enačbo, dokler ne dobimo preproste enačbe. In vsakič lahko opazujete, kako se spreminja neznana komponenta dejanj.
_____________________________________________________________________________
ZAKLJUČEK:
Ko govorimo o nečem zelo preprostem in razumljivem, pogosto rečemo: "Stvar je tako jasna, kot sta dva in dva štiri!"
Toda preden so ugotovili, da je dva in dva enako štiri, so morali ljudje študirati mnogo, mnogo tisoč let.
Številna pravila iz šolskih učbenikov o aritmetiki in geometriji so poznali stari Grki že pred več kot dva tisoč leti.
Kjerkoli je treba kaj prešteti, izmeriti, primerjati, brez matematike ne gre.
Težko si je predstavljati, kako bi ljudje živeli, če ne bi znali šteti, meriti in primerjati. Matematika to uči.
Danes ste se potopili v šolsko življenje, igrali vlogo učencev in vabim vas, dragi starši, da ocenite svoje sposobnosti na lestvici.
| Moje sposobnosti | Datum in ocena |
| Akcijske komponente. | |
| Sestavljanje enačbe z neznano komponento. | |
| Branje in pisanje izrazov. | |
| Poiščite koren preproste enačbe. | |
| Poiščite koren enačbe, kjer eden od delov vsebuje številski izraz. | |
| Poiščite koren enačbe, v kateri je neznana komponenta dejanja izraz. |
52. Kompleksnejši primeri enačb.
Primer 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Skupni imenovalec je x 2 – 1, saj je x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Pomnožimo obe strani te enačbe z x 2 – 1. Dobimo:
ali po zmanjšanju,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 in x = 3½
Oglejmo si še eno enačbo:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Če rešimo kot zgoraj, dobimo:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ali 2x = 2 in x = 1.
Poglejmo, ali so naše enakosti upravičene, če x v vsaki od obravnavanih enačb nadomestimo z najdenim številom.
Za prvi primer dobimo:
Vidimo, da ni prostora za dvome: našli smo število za x tako, da je zahtevana enakost upravičena.
Za drugi primer dobimo:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ali 5/0 – 3/2 = 15/0
Tu se pojavijo dvomi: soočeni smo z deljenjem z nič, kar je nemogoče. Če bomo tej delitvi v prihodnje uspeli dati določen, čeprav posreden pomen, potem se lahko strinjamo, da najdena rešitev x – 1 zadošča naši enačbi. Do takrat pa moramo priznati, da naša enačba nima rešitve, ki bi imela neposreden pomen.
Takšni primeri se lahko zgodijo, ko je neznanka nekako vključena v imenovalce ulomkov, prisotnih v enačbi, in se nekateri od teh imenovalcev, ko je rešitev najdena, spremenijo v nič.
Primer 2.
Takoj lahko vidite, da ima ta enačba obliko razmerja: razmerje med številom x + 3 in številom x – 1 je enako razmerju med številom 2x + 3 in številom 2x – 2. Naj nekdo, v glede na to okoliščino se odločite za uporabo tukaj, da enačbo osvobodite ulomkov, glavne lastnosti sorazmerja (zmnožek skrajnih členov je enak zmnožku srednjih členov). Potem bo dobil:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Strah, da ne bomo kos tej enačbi, lahko povzroči dejstvo, da enačba vključuje člene z x 2. Vendar pa lahko od obeh strani enačbe odštejemo 2x 2 - to ne bo pokvarilo enačbe; potem se členi z x 2 uničijo in dobimo:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Premaknimo neznane člene v levo, znane pa v desno - dobimo:
3x = 3 ali x = 1
Zapomni si to enačbo
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Takoj bomo opazili, da najdena vrednost za x (x = 1) izniči imenovalce vsakega ulomka; Takšno rešitev moramo opustiti, dokler ne preučimo vprašanja deljenja z ničlo.
Če še omenimo, da je uporaba lastnosti sorazmerja zadevo zakomplicirala in da bi enostavnejšo enačbo lahko dobili, če bi obe strani dane pomnožili s skupnim imenovalcem, namreč 2(x – 1) – navsezadnje 2x – 2 = 2 (x – 1) , potem dobimo:
2(x + 3) = 2x – 3 ali 2x + 6 = 2x – 3 ali 6 = –3,
kar je nemogoče.
Ta okoliščina kaže, da ta enačba nima rešitev, ki bi imele neposreden pomen, ki ne bi spremenil imenovalcev te enačbe na nič.
Zdaj rešimo enačbo:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Pomnožimo obe strani enačbe 2(x – 1), torej s skupnim imenovalcem, dobimo:
6x + 10 = 2x + 18
Najdena rešitev ne pomeni, da imenovalec izgine in ima neposreden pomen:
ali 11 = 11
Če bi nekdo namesto množenja obeh delov z 2(x – 1) uporabil lastnost sorazmerja, bi dobil:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) ali
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Tukaj členi z x 2 ne bi bili uničeni. Če premaknemo vse neznane člene na levo stran, znane pa na desno, bi dobili
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Zdaj te enačbe ne bomo mogli rešiti. V prihodnosti se bomo naučili reševati takšne enačbe in zanje poiskati dve rešitvi: 1) lahko vzamete x = 2 in 2) lahko vzamete x = 1. Obe rešitvi je enostavno preveriti:
1) 2 2 – 3 2 = –2 in 2) 1 2 – 3 1 = –2
Če se spomnimo začetne enačbe
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
potem bomo videli, da zdaj dobimo obe njegovi rešitvi: 1) x = 2 je rešitev, ki ima neposreden pomen in ne obrne imenovalca na nič, 2) x = 1 je rešitev, ki obrne imenovalec na nič in nima neposrednega pomena.
Primer 3.
Poiščimo skupni imenovalec ulomkov, vključenih v to enačbo, tako da faktoriziramo vsakega od imenovalcev:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Skupni imenovalec je (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Pomnožimo obe strani te enačbe (in zdaj jo lahko prepišemo kot:
s skupnim imenovalcem (x – 3) (x – 2) (x + 1). Nato po zmanjšanju vsakega ulomka dobimo:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) oz
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Od tu dobimo:
–x = –13 in x = 13.
Ta rešitev ima neposreden pomen: zaradi nje noben imenovalec ne izgine.
Če vzamemo enačbo:
potem bi, če naredimo popolnoma enako kot zgoraj, dobili
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
od kje bi ga dobil?
kar je nemogoče. Ta okoliščina kaže, da je za zadnjo enačbo nemogoče najti rešitev, ki bi imela neposreden pomen.