Predavanje: Prizma, njene baze, stranska rebra, višina, stranska površina; ravna prizma; pravilna prizma
Prizma
Če ste se iz prejšnjih vprašanj pri nas učili ravnih figur, potem ste popolnoma pripravljeni na študij tridimenzionalnih figur. Prvo telo, ki se ga bomo naučili, bo prizma.
Prizma je tridimenzionalno telo, ki ima veliko število ploskev.
Ta številka ima dva poligona na osnovah, ki se nahajata v vzporednih ravninah, vse stranske ploskve pa imajo obliko paralelograma.
Sl. 1. Sl. 2
Torej, ugotovimo, iz česa je sestavljena prizma. Če želite to narediti, bodite pozorni na sliko 1
Kot smo že omenili, ima prizma dve osnovi, ki sta med seboj vzporedni - to sta peterokotnika ABCEF in GMNJK. Poleg tega so ti poligoni med seboj enaki.
Vse druge ploskve prizme imenujemo stranske ploskve – sestavljene so iz paralelogramov. Na primer BMNC, AGKF, FKJE itd.
Skupna površina vseh stranskih ploskev se imenuje stransko površino.
Vsak par sosednjih ploskev ima skupno stranico. Ta skupna stran se imenuje rob. Na primer MV, SE, AB itd.
Če sta zgornja in spodnja osnova prizme povezani s pravokotnico, se bo to imenovalo višina prizme. Na sliki je višina označena kot ravna črta OO 1.
Obstajata dve glavni vrsti prizme: poševna in ravna.
Če stranski robovi prizme niso pravokotni na osnovo, se taka prizma imenuje nagnjen.
Če so vsi robovi prizme pravokotni na osnove, se taka prizma imenuje neposredno.
Če osnove prizme vsebujejo pravilne mnogokotnike (tiste z enakimi stranicami), se taka prizma imenuje pravilno.
Če osnove prizme med seboj niso vzporedne, se imenuje taka prizma okrnjena.
To lahko vidite na sliki 2
Formule za iskanje prostornine in površine prizme
Obstajajo tri osnovne formule za iskanje volumna. Med seboj se razlikujejo po uporabi:
Podobne formule za iskanje površine prizme:
Splošne informacije o ravni prizmi
Stranska ploskev prizme (natančneje stranska ploskev) se imenuje vsota področja stranskih ploskev. Celotna ploskev prizme je enaka vsoti stranske ploskve in ploščin bazic.
Izrek 19.1. Stranska ploskev ravne prizme je enaka produktu obsega osnove in višine prizme, to je dolžini stranskega roba.
Dokaz. Stranske ploskve ravne prizme so pravokotniki. Osnove teh pravokotnikov so stranice mnogokotnika, ki ležijo na dnu prizme, višine pa so enake dolžinam stranskih robov. Iz tega sledi, da je stranska površina prizme enaka
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kjer sta a 1 in n dolžini osnovnih robov, p je obseg baze prizme in I je dolžina stranskih robov. Izrek je dokazan.
Praktična naloga
Težava (22) . V nagnjeni prizmi se izvaja razdelek, pravokotno na stranska rebra in seka vsa stranska rebra. Poiščite stransko ploskev prizme, če je obseg odseka enak p in stranski robovi enaki l.
rešitev. Ravnina narisanega preseka deli prizmo na dva dela (slika 411). Eno od njih izpostavimo vzporednemu prevajanju, pri čemer združimo osnove prizme. V tem primeru dobimo ravno prizmo, katere osnova je presek prvotne prizme, stranski robovi pa so enaki l. Ta prizma ima enako stransko površino kot originalna. Tako je stranska površina prvotne prizme enaka pl.
Povzetek obravnavane teme
Zdaj pa poskusimo povzeti temo o prizmah, ki smo jo obravnavali, in se spomnimo, katere lastnosti ima prizma.
Lastnosti prizme
Prvič, prizma ima vse svoje osnove enake mnogokotnike;
Drugič, v prizmi so vse njene stranske ploskve paralelogrami;
Tretjič, v tako večplastni figuri, kot je prizma, so vsi stranski robovi enaki;
Prav tako si je treba zapomniti, da so lahko poliedri, kot so prizme, ravni ali nagnjeni.
Kateri prizmi pravimo ravna prizma?
Če je stranski rob prizme pravokoten na ravnino njene osnove, se taka prizma imenuje ravna.
Ne bi bilo odveč spomniti, da so stranske ploskve ravne prizme pravokotniki.
Katero vrsto prizme imenujemo poševna?
Če pa stranski rob prizme ni pravokoten na ravnino njene baze, potem lahko varno rečemo, da je nagnjena prizma.
Katera prizma se imenuje pravilna?
Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, potem je taka prizma pravilna.
Zdaj pa se spomnimo lastnosti, ki jih ima pravilna prizma.
Lastnosti pravilne prizme
Prvič, pravilni mnogokotniki vedno služijo kot osnove pravilne prizme;
Drugič, če upoštevamo stranske ploskve pravilne prizme, so vedno enaki pravokotniki;
Tretjič, če primerjate velikosti stranskih reber, so v običajni prizmi vedno enake.
Četrtič, pravilna prizma je vedno ravna;
Petič, če imajo stranske ploskve v pravilni prizmi obliko kvadratov, se taka figura običajno imenuje polpravilni poligon.
Prerez prizme
Zdaj pa poglejmo prečni prerez prizme:
domača naloga
Zdaj pa poskusimo z reševanjem nalog utrditi naučeno temo.
Narišimo nagnjeno trikotno prizmo, razdalja med njenimi robovi bo enaka: 3 cm, 4 cm in 5 cm, stranska površina te prizme pa bo enaka 60 cm2. S temi parametri poiščite stranski rob te prizme.
Ali veste, da nas geometrijske figure nenehno obkrožajo, ne le pri pouku geometrije, ampak tudi v vsakdanjem življenju obstajajo predmeti, ki spominjajo na eno ali drugo geometrijsko figuro.
Vsakdo ima doma, v šoli ali na delovnem mestu računalnik, katerega sistemska enota je oblikovana kot ravna prizma.
Če vzamete v roke preprost svinčnik, boste videli, da je glavni del svinčnika prizma.
Ko se sprehajamo po osrednji ulici mesta, vidimo, da pod našimi nogami leži ploščica, ki ima obliko šesterokotne prizme.
A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Učbenik za izobraževalne ustanove
Mnogokotnika ABCDE in FHKMP, ki ležita v vzporednih ravninah, imenujemo osnove prizme, navpičnica OO 1, spuščena iz katere koli točke osnove na ravnino druge, se imenuje višina prizme. Paralelogrami ABHF, BCKH itd. se imenujejo stranske ploskve prizme, njihove stranice SC, DM itd., ki povezujejo ustrezna oglišča baz, pa se imenujejo stranski robovi. V prizmi so vsi stranski robovi med seboj enaki kot odseki vzporednih ravnin, zaprtih med vzporednima ravninama.
Prizma se imenuje ravna črta ( Slika 282, b) ali poševno ( Slika 282, c) odvisno od tega, ali so njegova stranska rebra pravokotna ali nagnjena na podlage. Ravna prizma ima pravokotne stranske ploskve. Stranski rob lahko vzamemo kot višino takšne prizme.
Pravilna prizma se imenuje pravilna, če sta njeni osnovi pravilni mnogokotnik. V taki prizmi so vse stranske ploskve enaki pravokotniki.
Če želite prikazati prizmo na kompleksni risbi, morate poznati in znati upodobiti elemente, iz katerih je sestavljena (točka, ravna črta, ravna figura).
in njihova podoba v kompleksni risbi (sl. 283, a - i)
a) Kompleksna risba prizme. Osnova prizme se nahaja na projekcijski ravnini P 1; ena od stranskih ploskev prizme je vzporedna s projekcijsko ravnino P 2.
b) Spodnja osnova prizme DEF je ravna figura - pravilen trikotnik, ki se nahaja v ravnini P 1; stranica trikotnika DE je vzporedna z osjo x 12 - vodoravna projekcija se zlije z dano osnovo in je zato enaka njeni naravni velikosti; Čelna projekcija se zlije z osjo x 12 in je enaka stranici baze prizme.
c) Zgornja osnova prizme ABC je ravna figura - trikotnik, ki se nahaja v vodoravni ravnini. Horizontalna projekcija se zlije s projekcijo spodnje baze in jo prekrije, saj je prizma ravna; čelna projekcija - ravna, vzporedna z osjo x 12, na razdalji višine prizme.
d) Stranska ploskev prizme ABED je ploščat lik - pravokotnik, ki leži v čelni ravnini. Čelna projekcija - pravokotnik, ki je enak naravni velikosti obraza; vodoravna projekcija je ravna črta, ki je enaka stranici baze prizme.
e) in f) Stranske ploskve prizem ACFD in CBEF so ravne figure - pravokotniki, ki ležijo v vodoravnih projekcijskih ravninah, ki se nahajajo pod kotom 60 ° na projekcijsko ravnino P 2. Horizontalne projekcije so ravne črte, ki se nahajajo na osi x 12 pod kotom 60° in so enake naravni velikosti stranic baze prizme; čelne projekcije so pravokotniki, katerih slike so manjše od naravne velikosti: dve strani vsakega pravokotnika sta enaki višini prizme.
g) Rob AD prizme je premica, pravokotna na projekcijsko ravnino P 1. Horizontalna projekcija - točka; čelno - ravno, pravokotno na os x 12, enako stranskemu robu prizme (višina prizme).
h) Stranica AB zgornje osnovke je ravna, vzporedna z ravninama P 1 in P 2. Horizontalna in čelna projekcija sta ravni, vzporedni z osjo x 12 in enaki stranici dane osnove prizme. Čelna projekcija je odmaknjena od osi x 12 na razdalji, ki je enaka višini prizme.
i) Oglišča prizme. Točka E - vrh spodnje baze se nahaja na ravnini P 1. Vodoravna projekcija sovpada s samo točko; frontalno - leži na osi x 12 Točka C - vrh zgornje baze - se nahaja v prostoru. Horizontalna projekcija ima globino; čelna - višina enaka višini te prizme.
Iz tega sledi: Ko načrtujete polieder, ga morate miselno razdeliti na sestavne elemente in določiti vrstni red njihove predstavitve, ki je sestavljen iz zaporednih grafičnih operacij. Sliki 284 in 285 prikazujeta primera zaporednih grafičnih operacij pri izvajanju kompleksne risbe in vizualne predstavitve (aksonometrije) prizem.
(Slika 284).
podano:
1. Osnova se nahaja na projekcijski ravnini P 1.
2. Nobena stran baze ni vzporedna z osjo x 12.
I. Kompleksna risba.
jaz, a.
Oblikujemo spodnjo osnovo - mnogokotnik, ki po pogoju leži v ravnini P1.
jaz, b.
Načrtujemo zgornjo osnovo - mnogokotnik, ki je enak spodnji osnovi s stranicami, ki so ustrezno vzporedne s spodnjo osnovo, oddaljeno od spodnje baze za višino H dane prizme.
jaz, c.
Oblikujemo stranske robove prizme - segmente, ki se nahajajo vzporedno; njihove vodoravne projekcije so točke, ki se spajajo s projekcijami oglišč baz; čelni - segmenti (vzporedni), dobljeni s povezovanjem z ravnimi črtami projekcij oglišč istoimenskih baz. Čelne projekcije reber, narisane iz projekcij oglišč B in C spodnje baze, so upodobljene s črtkanimi črtami, kot da bi bile nevidne.
jaz, g. Podano: horizontalna projekcija F 1 točke F na zgornjo podlago in čelna projekcija K 2 točke K na stransko ploskev. Potrebno je določiti lokacije njihovih drugih projekcij. Za točko F. Druga (čelna) projekcija F 2 točke F bo sovpadala s projekcijo zgornje baze, kot točka, ki leži v ravnini te baze; njegovo mesto določa vertikalna komunikacijska linija.
Za točko K - Druga (vodoravna) projekcija K 1 točke K bo sovpadala z vodoravno projekcijo stranske ploskve, kot točka, ki leži v ravnini ploskve; njegovo mesto določa vertikalna komunikacijska linija.
Če na ta razvitek pritrdimo osnove prizme, dobimo razvitek polne ploskve prizme. Osnove prizme je treba z metodo triangulacije pritrditi na ustrezno stransko ploskev.
Na zgornji podlagi prizme s polmeroma R in R 1 določimo lokacijo točke F, na stranski ploskvi pa s polmeroma R 3 in H 1 določimo točko K.
III. Vizualna predstavitev prizme v dimetriji.
III, a.
Spodnjo osnovo prizme upodabljamo glede na koordinate točk A, B, C, D in E (slika 284 I, a).
III, b.
Zgornjo bazo upodabljamo vzporedno s spodnjo, oddaljeno od nje za višino H prizme.
III, c.
Stranske robove upodabljamo tako, da z ravnimi črtami povežemo ustrezna oglišča baz. Določimo vidne in nevidne elemente prizme in jih obrišemo z ustreznimi črtami,
podano:
III, d. določimo točki F in K na ploskvi prizme - točko F - na zgornji podlagi določimo z dimenzijama i in e; točka K - na stranski strani z i 1 in H" .
Za izometrično sliko prizme in določitev lokacij točk F in K je treba slediti istemu zaporedju.
Slika 285).
I. Kompleksna risba.
1. Osnova se nahaja na ravnini P 1.
2. Stranska rebra so vzporedna z ravnino P 2.
3. Nobena stranica baze ni vzporedna z osjo x 12
jaz, a.
Oblikujemo po tem pogoju: spodnja osnova je mnogokotnik, ki leži v ravnini P1, stranski rob pa je segment, ki je vzporeden z ravnino P2 in nagnjen na ravnino P1.
jaz, b.
Oblikujemo preostale stranske robove - segmente, ki so enaki in vzporedni s prvim robom CE.
Prizmo bomo vrteli tako, da jo bomo vsakič zavrteli okoli stranskega roba, nato bo vsaka stranska ploskev prizme na ravnini pustila sled (paralelogram), ki je enak njeni naravni velikosti. Stranski pregled bomo izdelali v naslednjem vrstnem redu:
a) iz točk A 2, B 2, D 2. . . E 2 (čelne projekcije oglišč baz) narišemo pomožne ravne črte, pravokotne na projekcije reber;
b) s polmerom R (enakim stranici osnovne CD) naredimo zarezo v točki D na pomožni premici, ki poteka iz točke D 2 ; s povezavo premic C 2 in D ter risanjem ravnic, vzporednih z E 2 C 2 in C 2 D, dobimo stransko ploskev CEFD;
c) potem s podobno ureditvijo naslednjih stranskih ploskev dobimo razvitje stranskih ploskev prizme. Da dobimo popoln razvoj površine te prizme, jo pritrdimo na ustrezne ploskve baze.
III. Vizualna predstavitev prizme v izometriji.
III, a.
Upodabljamo spodnjo bazo prizme in rob CE z uporabo koordinat po (
1. Tetraeder ima najmanjše število robov - 6.
2. Prizma ima n ploskev. Kateri mnogokotnik leži na njegovem dnu?
(n - 2) - kvadrat.
3. Ali je prizma ravna, če sta njeni sosednji stranski ploskvi pravokotni na ravnino osnove?
Ja, res je.
4. Pri kateri prizmi sta stranska robova vzporedna z njeno višino?
V ravni prizmi.
5. Ali je prizma pravilna, če so vsi njeni robovi med seboj enaki?
Ne, morda ni neposredno.
6. Ali je lahko višina ene od stranskih ploskev nagnjene prizme tudi višina prizme?
Da, če je ta ploskev pravokotna na podlago.
7. Ali obstaja prizma, pri kateri: a) je stranski rob pravokoten le na en rob osnovnega roba; b) samo ena stranska ploskev je pravokotna na osnovo?
a) da. b) št.
8. Pravilna trikotna prizma je razdeljena na dve prizmi z ravnino, ki poteka skozi srednji črti baz. Kakšno je razmerje stranskih površin teh prizem?
Po izreku 27 ugotovimo, da so stranske ploskve v razmerju 5:3
9. Ali bo piramida pravilna, če so njene stranske ploskve pravilni trikotniki?
10. Koliko ploskev, pravokotnih na osnovno ravnino, ima lahko piramida?
11. Ali obstaja štirikotna piramida, katere nasprotni stranski ploskvi sta pravokotni na osnovo?
Ne, sicer bi skozi vrh piramide potekali vsaj dve ravni črti, pravokotni na osnove.
12. Ali so lahko vse ploskve trikotne piramide pravokotni trikotnik?
