Inverzna matrika za dano matriko je taka matrika, ki pomnoži prvotno, s katero dobimo identitetno matriko: Obvezen in zadosten pogoj za prisotnost inverzne matrike je, da je determinanta izvirne matrike ni enako nič (kar pomeni, da mora biti matrika kvadratna). Če je determinanta matrike enaka nič, se imenuje singularna in taka matrika nima inverzne. V višji matematiki so inverzne matrike pomembne in se uporabljajo za reševanje številnih problemov. Na primer, na iskanje inverzne matrike konstruirana je bila matrična metoda za reševanje sistemov enačb. Naše storitveno mesto omogoča izračunajte inverzno matriko na spletu dve metodi: Gauss-Jordanova metoda in uporaba matrike algebraičnih dodatkov. Prvi vključuje veliko število elementarnih transformacij znotraj matrike, drugi vključuje izračun determinante in algebraične dodatke vsem elementom. Za izračun determinante matrike na spletu lahko uporabite našo drugo storitev - Izračun determinante matrike na spletu
.Poiščite inverzno matriko za mesto
spletna stran vam omogoča, da najdete inverzna matrika na spletu hitro in brezplačno. Na spletnem mestu so izračuni narejeni z uporabo naše storitve in rezultat je podan s podrobno rešitvijo za iskanje inverzna matrika. Strežnik vedno poda le točen in pravilen odgovor. V nalogah po definiciji inverzna matrika na spletu, je nujno, da determinanta matrice sicer ni bilo nič spletna stran bo poročal o nemožnosti iskanja inverzne matrike zaradi dejstva, da je determinanta izvirne matrike enaka nič. Naloga iskanja inverzna matrika Najdemo ga v mnogih vejah matematike, saj je eden najosnovnejših konceptov algebre in matematično orodje pri uporabnih problemih. Neodvisen definicija inverzne matrike zahteva veliko truda, veliko časa, izračunov in veliko pozornosti, da se izognete tipkarskim napakam ali manjšim napakam v izračunih. Zato naša storitev iskanje inverzne matrike na spletu vam bo močno olajšal nalogo in postal nepogrešljiv pripomoček pri reševanju matematičnih problemov. Tudi če ti poiščite inverzno matriko sami, priporočamo, da svojo rešitev preverite na našem strežniku. Vnesite svojo izvirno matriko na naše spletno mesto Izračunajte inverzno matriko na spletu in preverite svoj odgovor. Naš sistem se nikoli ne zmoti in ne najde inverzna matrika dano dimenzijo v načinu na spletu takoj! Na spletni strani spletna stran vnos znakov je dovoljen v elementih matrice, v tem primeru inverzna matrika na spletu bodo predstavljeni v splošni simbolni obliki.
Nadaljujmo pogovor o dejanjih z matricami. Med študijem tega predavanja se boste namreč naučili poiskati inverzno matriko. Naučite se. Tudi če je matematika težka.
Kaj je inverzna matrika? Tukaj lahko potegnemo analogijo z inverznimi števili: upoštevajmo na primer optimistično število 5 in njegovo inverzno število. Zmnožek teh števil je enak ena: . Z matricami je vse podobno! Produkt matrike in njene inverzne matrike je enak – identitetna matrika, ki je matrični analog numerične enote. Vendar najprej najprej – najprej rešimo pomembno praktično vprašanje, in sicer, naučimo se najti to zelo inverzno matriko.
Kaj morate vedeti in znati narediti, da najdete inverzno matriko? Morate se znati odločiti kvalifikacije. Morate razumeti, kaj je to matrica in z njimi lahko izvedete nekatera dejanja.
Obstajata dve glavni metodi za iskanje inverzne matrike:
z uporabo algebrski dodatki in z uporabo elementarnih transformacij.
Danes bomo preučili prvo, enostavnejšo metodo.
Začnimo z najbolj groznim in nerazumljivim. Razmislimo kvadrat matrica. Inverzno matriko je mogoče najti z naslednjo formulo:
Kjer je determinanta matrike, je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.
Koncept inverzne matrike obstaja samo za kvadratne matrike, matrice "dva po dva", "tri po tri" itd.
Poimenovanja: Kot ste morda že opazili, je inverzna matrika označena z nadnapisom
Začnimo z najpreprostejšim primerom - matriko dva krat dva. Najpogosteje je seveda potrebno "tri za tri", vendar kljub temu močno priporočam, da preučite enostavnejšo nalogo, da bi razumeli splošno načelo rešitve.
primer:
Poiščite obrat matrike
Odločimo se. Primerno je razčleniti zaporedje dejanj po točkah.
1) Najprej poiščemo determinanto matrike.
Če tega dejanja ne razumete dobro, preberite gradivo Kako izračunati determinanto?
Pomembno!Če je determinanta matrike enaka NIČ– inverzna matrika NE OBSTAJA.
V obravnavanem primeru, kot se je izkazalo, , kar pomeni, da je vse v redu.
2) Poiščite matriko minorjev.
Za rešitev našega problema ni treba vedeti, kaj je mladoletnik, vendar je priporočljivo prebrati članek Kako izračunati determinanto.
Matrika minorov ima enake dimenzije kot matrika, to je v tem primeru.
Edina stvar, ki jo morate storiti, je, da poiščete štiri številke in jih postavite na mesto zvezdic.
Vrnimo se k naši matrici
Poglejmo najprej zgornji levi element:
Kako najti manjše?
In to se naredi tako: MENTALNO prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem se nahaja ta element:
Preostalo število je manjši od tega elementa, ki ga zapišemo v našo matriko minorjev:
Razmislite o naslednjem matričnem elementu:
Mentalno prečrtajte vrstico in stolpec, v katerih se pojavi ta element:
Kar ostane, je minor tega elementa, ki ga zapišemo v našo matriko:
Podobno upoštevamo elemente druge vrstice in poiščemo njihove manjše:
pripravljena
Enostavno je. V matrici mladoletnikov, ki jih potrebujete SPREMEMBA ZNAKOV dve številki:
To so številke, ki sem jih obkrožil!
– matrika algebraičnih dodatkov ustreznih elementov matrike.
In samo...
4) Poiščite transponirano matriko algebraičnih dodatkov.
– transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.
5) Odgovor.
Spomnimo se naše formule
Vse se je našlo!
Inverzna matrika je torej: 
Bolje je pustiti odgovor tak, kot je. NI POTREBNO vsak element matrike delite z 2, saj so rezultat delna števila. Ta odtenek je podrobneje obravnavan v istem članku. Dejanja z matricami.
Kako preveriti rešitev?
Izvesti morate matrično množenje oz
Pregled: 
Prejeto že omenjeno identitetna matrika je matrika z enicami glavna diagonala in ničle na drugih mestih.
Tako je inverzna matrika pravilno najdena.
Če akcijo izvedete, bo rezultat tudi matrica identitete. To je eden redkih primerov, kjer je množenje matrik komutativno, več podrobnosti najdete v članku Lastnosti operacij na matrikah. Matrični izrazi. Upoštevajte tudi, da se med preverjanjem konstanta (ulomek) premakne naprej in obdela čisto na koncu - po množenju matrice. To je standardna tehnika.
Preidimo na pogostejši primer v praksi - matriko tri proti tri:
primer:
Poiščite obrat matrike 
Algoritem je popolnoma enak kot v primeru "dva za dva".
Inverzno matriko poiščemo s formulo: , kjer je transponirana matrika algebrskih komplementov ustreznih elementov matrike.
1) Poiščite determinanto matrike.
Tu se razkrije determinanta na prvi liniji.
Tudi tega ne pozabite, kar pomeni, da je vse v redu - inverzna matrika obstaja.
2) Poiščite matriko minorjev.
Matrika minorjev ima dimenzijo "tri krat tri" 
, in najti moramo devet števil.
Bom podrobneje pogledal par mladoletnikov:
Razmislite o naslednjem matričnem elementu: 
MISELNO prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem se nahaja ta element: 
Preostale štiri številke zapišemo v determinanto “dva po dva”. 
Ta determinanta dva za dva in je minor tega elementa. Izračunati je treba: 
To je to, minor je bil najden, zapišemo ga v našo matriko minorjev: 
Kot ste verjetno uganili, morate izračunati devet determinant dva za dva. Postopek je seveda dolgočasen, vendar primer ni najhujši, lahko je še hujši.
No, za utrjevanje – iskanje še enega mladoletnika na slikah: 
Poskusite sami izračunati preostale minore.
Končni rezultat: 
– matrika minorov ustreznih elementov matrike.
To, da so se vsi minori izkazali za negativne, je čista nesreča.
3) Poiščite matriko algebraičnih dodatkov.
V matrici mladoletnikov je potrebno SPREMEMBA ZNAKOV strogo za naslednje elemente: 
V tem primeru:
Iskanja inverzne matrike za matriko »štiri krat štiri« ne upoštevamo, saj lahko takšno nalogo da samo sadistični učitelj (da učenec izračuna eno determinanto »štiri krat štiri« in 16 determinant »tri krat tri«). V moji praksi je bil samo en tak primer in naročnik testa je moje muke kar drago plačal =).
V številnih učbenikih in priročnikih lahko najdete nekoliko drugačen pristop k iskanju inverzne matrike, vendar priporočam uporabo zgoraj opisanega algoritma rešitve. Zakaj? Ker je verjetnost, da bi se zmotili pri izračunih in znakih, veliko manjša.
Za vsako nesingularno matriko A obstaja edinstvena matrika A -1 taka, da
A*A -1 =A -1 *A = E,
kjer je E identitetna matrika enakega reda kot A. Matrika A -1 se imenuje inverzna matrika A.
Če je kdo pozabil, so v identitetni matriki, razen diagonale, zapolnjene z enicami, vsa ostala mesta zapolnjena z ničlami, primer identitetne matrike:
Iskanje inverzne matrike z uporabo metode pridružene matrike
Inverzna matrika je definirana s formulo:
kjer A ij - elementi a ij.
Tisti. Za izračun inverzne matrike morate izračunati determinanto te matrike. Nato poiščite algebraične komplemente za vse njegove elemente in iz njih sestavite novo matriko. Nato morate prenesti to matriko. In vsak element nove matrike delite z determinanto prvotne matrike.
Poglejmo si nekaj primerov.
Poiščite A -1 za matriko
Rešitev. Poiščimo A -1 z uporabo metode adjungirane matrike. Imamo det A = 2. Najdemo algebraične komplemente elementov matrike A. V tem primeru bodo algebrski komplementi elementov matrike ustrezni elementi same matrike, vzeti z znakom v skladu s formulo
Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Tvorimo adjungirano matriko
Matriko A* transportiramo:
Inverzno matriko najdemo po formuli:
Dobimo:
Z uporabo metode adjungirane matrike poiščite A -1 if
Rešitev. Najprej izračunamo definicijo te matrike, da preverimo obstoj inverzne matrike. Imamo
Tukaj smo elementom druge vrstice dodali elemente tretje vrstice, ki smo jih predhodno pomnožili z (-1), in nato razširili determinanto za drugo vrstico. Ker je definicija te matrike drugačna od nič, potem obstaja njena inverzna matrika. Za sestavo adjungirane matrike poiščemo algebraične komplemente elementov te matrike. Imamo
Po formuli
transportna matrika A*:
Nato po formuli
Iskanje inverzne matrike z metodo elementarnih transformacij
Poleg metode iskanja inverzne matrike, ki izhaja iz formule (metoda pridružene matrike), obstaja metoda iskanja inverzne matrike, imenovana metoda elementarnih transformacij.
Elementarne matrične transformacije
Naslednje transformacije se imenujejo elementarne matrične transformacije:
1) preureditev vrstic (stolpcev);
2) množenje vrstice (stolpca) s številom, ki ni nič;
3) dodajanje elementom vrstice (stolpca) ustreznih elementov druge vrstice (stolpca), predhodno pomnoženih z določenim številom.
Da bi našli matriko A -1, sestavimo pravokotno matriko B = (A|E) vrst (n; 2n), tako da matriki A na desni dodelimo identitetno matriko E skozi ločnico:
Poglejmo si primer.
Z uporabo metode elementarnih transformacij poiščite A -1 if
Rešitev Tvorimo matriko B:
Vrstice matrike B označimo z α 1, α 2, α 3. Izvedimo naslednje transformacije na vrsticah matrike B.
Matrična algebra - Inverzna matrikaInverzna matrika
Inverzna matrika je matrika, ki, ko jo pomnožimo na desni in levi z dano matriko, damo identitetno matriko.
Označimo inverzno matriko matrike A skozi, potem po definiciji dobimo:
kje E– identitetna matrika.
Kvadratna matrica klical ni posebno (nedegeneriran), če njegova determinanta ni nič. Sicer se imenuje posebnega (degeneriran) oz ednina.
Izrek velja: Vsaka nesingularna matrika ima inverzno matriko.
Imenuje se operacija iskanja inverzne matrike pritožba matrice. Oglejmo si algoritem za inverzijo matrike. Naj bo podana nesingularna matrika n-th red:
kjer je Δ = det A ≠ 0.
Algebraično dodajanje elementa matrice n-th red A se imenuje determinanta matrike, vzeta z določenim predznakom ( n–1) vrstni red dobljen z brisanjem i-ta vrstica in j stolpec matrike A:
Ustvarimo t.i priloženo matrika:
kjer so algebraični komplementi ustreznih elementov matrike A.
Upoštevajte, da algebrski dodatki elementov matrične vrstice A so postavljeni v ustrezne stolpce matrike Ã
, to pomeni, da se matrika prestavi hkrati.
Z delitvijo vseh elementov matrike Ã
z Δ – vrednost matrične determinante A, kot rezultat dobimo inverzno matriko:
Opozorimo na številne posebne lastnosti inverzne matrike:
1) za dano matriko A njegova inverzna matrika
je edini;
2) če obstaja inverzna matrika, potem desno vzvratno in levo vzvratno matrice sovpadajo z njim;
3) posebna (singularna) kvadratna matrika nima inverzne matrike.
Osnovne lastnosti inverzne matrike:
1) determinanta inverzne matrike in determinanta izvirne matrike sta recipročni;
2) inverzna matrika produkta kvadratnih matrik je enaka produktu inverzne matrike faktorjev, vzetih v obratnem vrstnem redu:
3) transponirana inverzna matrika je enaka inverzni matriki dane transponirane matrike:
PRIMER Izračunaj inverz dane matrike.
Metode za iskanje inverzne matrike, . Razmislite o kvadratni matriki
Označimo Δ =det A.
Kvadratna matrika A se imenuje nedegeneriran, oz ni posebno, če je njegova determinanta različna od nič, in degeneriran, oz posebnega, ČeΔ = 0.
Kvadratna matrika B je za kvadratno matriko A istega reda, če je njihov produkt A B = B A = E, kjer je E identitetna matrika istega reda kot matriki A in B.
Izrek . Da ima matrika A inverzno matriko, je nujno in zadostno, da je njena determinanta različna od nič.
Inverzna matrika matrike A, označena z A- 1, torej B = A - 1 in se izračuna po formuli
, (1)
kjer so A i j algebraični komplementi elementov a i j matrike A..
Izračun A -1 z uporabo formule (1) za matrike visokega reda je zelo delovno intenziven, zato je v praksi priročno najti A -1 z uporabo metode elementarnih transformacij (ET). Vsako nesingularno matriko A je mogoče reducirati na identitetno matriko E s pomočjo ED samo stolpcev (ali samo vrstic). Če se ED, izpopolnjeni nad matriko A, uporabijo v istem vrstnem redu za identitetno matriko E, je rezultat enak. inverzna matrika. Primerno je izvajati EP na matricah A in E hkrati, tako da obe matrici zapišete eno poleg druge skozi črto. Še enkrat opozorimo, da lahko pri iskanju kanonične oblike matrike, da bi jo našli, uporabite transformacije vrstic in stolpcev. Če morate najti inverzijo matrike, morate med postopkom transformacije uporabiti samo vrstice ali samo stolpce.
Primer 2.10. Za matrico 
najdi A -1 .
rešitev.Najprej poiščemo determinanto matrike A 
To pomeni, da inverzna matrika obstaja in jo lahko najdemo s formulo: 
, kjer so A i j (i,j=1,2,3) algebraični dodatki elementov a i j izvirne matrike. 
kje 
.
Primer 2.11. Z metodo elementarnih transformacij poiščite A -1 za matriko: A = .
rešitev.Izvirni matriki na desni dodelimo identitetno matriko istega reda: 
. Z elementarnimi transformacijami stolpcev bomo levo »polovico« reducirali na enoto, hkrati pa izvedli popolnoma enake transformacije na desni matriki.
Če želite to narediti, zamenjajte prvi in drugi stolpec: 
~
. V tretji stolpec dodamo prvi, v drugi pa prvi, pomnožen z -2: 
. Od prvega stolpca odštejemo drugi podvojen, od tretjega pa drugi pomnožen s 6; 
. Dodajmo tretji stolpec prvemu in drugemu: 
. Zadnji stolpec pomnožite z -1: 
. Kvadratna matrika, dobljena desno od navpične vrstice, je inverzna matrika dane matrike A. Torej,
.