Zajęcia pozalekcyjne „cięcie kształtów geometrycznych na kawałki”. Zadania związane z wycinaniem wszystkich działek mogą być

1. Kwadrat zawiera 16 komórek. Podziel kwadrat na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek. (Metody przecięcia kwadratu na dwie części zostaną uznane za różne, jeśli części kwadratu otrzymane jedną metodą przecięcia nie będą równe częściom otrzymanym inną metodą.) Ile całkowitych rozwiązań ma zadanie?
2. Prostokąt 3X4 zawiera 12 komórek. Znajdź pięć sposobów podzielenia prostokąta na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek (metody cięcia uważa się za różne, jeśli części uzyskane jedną metodą cięcia nie są równe częściom uzyskanym inną metodą).
3. Prostokąt 3X5 zawiera 15 komórek, a komórka środkowa została usunięta. Znajdź pięć sposobów przecięcia pozostałej figury na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek.
4. Kwadrat 6x6 jest podzielony na 36 identycznych kwadratów. Znajdź pięć sposobów podzielenia kwadratu na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów. Uwaga: problem ma ponad 200 rozwiązań.
5. Podziel kwadrat 4x4 na cztery równe części, linią cięcia biegnącą wzdłuż boków kwadratów. Ile różnych metod cięcia możesz znaleźć?
6. Podziel figurę (ryc. 5) na trzy równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów.

7. Podziel figurę (ryc. 6) na cztery równe części tak, aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów.

8. Podziel figurę (ryc. 7) na cztery równe części, tak aby linie cięcia przebiegały wzdłuż boków kwadratów. Znajdź jak najwięcej rozwiązań.

9. Podziel kwadrat 5x5 ze środkowym kwadratem wyciętym na cztery równe części.

10. Przetnij figury pokazane na ryc. 8 na dwie równe części wzdłuż linii siatki, a każda część powinna mieć okrąg.

11. Figury pokazane na ryc. 9 należy pociąć wzdłuż linii siatki na cztery równe części, tak aby każda część miała okrąg. Jak to zrobić?

12. Figurę pokazaną na ryc. 10 przetnij wzdłuż linii siatki na cztery równe części i złóż je w kwadrat tak, aby koła i gwiazdy były rozmieszczone symetrycznie względem wszystkich osi symetrii kwadratu.

13. Wytnij ten kwadrat (ryc. 11) wzdłuż boków komórek, tak aby wszystkie części miały ten sam rozmiar i kształt oraz aby każda zawierała jedno kółko i gwiazdkę.

14. Wytnij kwadrat papieru w kratkę 6x6 pokazany na rysunku 12 na cztery równe części, tak aby każdy kawałek zawierał trzy zacienione kwadraty.

Klub klasy 7

Szef Varvara Alekseevna Kosorotova
Rok akademicki 2009/2010

Lekcja 8. Cięcie na kartce papieru w kratkę

Rozwiązując problemy tego typu, warto zastosować się do następujących rozważań:

1. Kwadrat. Jeśli chcesz podzielić figurę na kilka równych części, powinieneś najpierw znaleźć obszar wycinanej figury, a następnie znaleźć obszar każdej z części. Podobnie, jeśli pierwotną figurę trzeba podzielić na kilka figur danego typu, warto najpierw obliczyć, ile ich ma być. Te same uwagi mogą być pomocne przy rozwiązywaniu innych problemów związanych z obróbką. Aby zilustrować tę myśl, autor tych wersów dodał do listy problem 13, którego nie było wśród problemów omawianych na lekcji.
2. Symetria. Należy zwrócić uwagę na właściwości symetrii, na przykład w przypadku, gdy konieczne jest pocięcie jednej figury na części i złożenie z nich drugiej figury.

W przypadku prostych problemów podane są tylko odpowiedzi, w przypadku bardziej złożonych istnieją również rozważania, które pomagają uzyskać odpowiedź. Wytnij kwadrat 5x5 z otworem (patrz zdjęcie) na dwie równe części, używając dwóch metod. Sposoby przecięcia kwadratu na dwie części zostaną uznane za odmienne, jeśli części kwadratu uzyskane jedną metodą cięcia różnią się kształtem lub rozmiarem od części uzyskanych inną metodą (to znaczy nie można ich łączyć przez zachodzenie na siebie).
Podziel kwadrat 4x4 na dwie równe części na cztery różne sposoby, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów. Flaga - 1. Przetnij flagę z 6 paskami na dwie części, aby móc złożyć je w flagę z 8 paskami.
Flaga - 2. Przetnij flagę A na cztery części, aby można było z nich złożyć flagę B.

Przetnij figurę na 4 równe części.
Z dwóch - jeden. Kwadrat z dziurką przetnij w dwóch prostych liniach na 4 części, tak aby można było złożyć z nich nowy kwadrat i kolejny zwykły kwadrat 5x5.
11*. Postrzępiony kwadrat. Zamień postrzępiony kwadrat w zwykły kwadrat, przecinając go na 5 części.
12*. Krzyż Maltański - 2.„Krzyż maltański” (patrz zadanie 8) przekrój na 5 części, tak aby dało się je złożyć w kwadrat. 13**. Dunno pociął figurę pokazaną na rysunku na narożniki trzykomorowe i czterokomorowe (tak jak na rysunku). Ile rzutów rożnych mógł uzyskać Dunno? Rozważ wszystkie możliwe przypadki!

Rozwiązanie. Pole oryginalnej figury wynosi 22 (przyjmujemy jedną komórkę jako jednostkę powierzchni). Niech do cięcia zostanie użytych n narożników czterokomorowych i k narożników trzykomorowych. Następnie wyrażamy obszar dużej figury jako sumę obszarów rogów: 22 = 3 k + 4 n. Zapiszmy tę równość w następującej postaci: 22 − 4 n =3 k. Po lewej stronie tej równości znajduje się liczba parzysta, która jednak nie jest podzielna przez 4. Oznacza to, że 3 k jest również liczbą parzystą, niepodzielną przez 4, a zatem i sama liczba k jest taka. Dodatkowo po prawej stronie równości znajduje się liczba będąca wielokrotnością 3, zatem 22 − 4 n jest także wielokrotnością 3. Zatem 22 − 4 n jest wielokrotnością 6. Przeglądając wartości ​​of n od 0 do 5 (dla n ≥6 22 − 4 n<0<3 k , чего быть не может), получаем, что такое возможно лишь при n =1 и при n =4. В каждом из этих случаев несложно найти k . При n =1 имеем k =6, а при n =4 имеем k =2.
Należy zauważyć, że nie udowodniliśmy jeszcze, że oba te przypadki są zrealizowane. W końcu równość obszarów jest jedynie warunkiem koniecznym istnienia metody cięcia, ale w żaden sposób nie jest wystarczająca (na przykład prostokąta o wymiarach 1 × 6 oczywiście nie można przeciąć na dwa rogi z trzema komórkami, chociaż 3 2 = 6). Dla uzupełnienia dowodu należy podać przykłady cięć każdego rodzaju. Można to zrobić na wiele różnych sposobów. Na zdjęciu widać tylko jeden z nich, a Ty możesz spróbować wymyślić coś własnego. Nawiasem mówiąc, ciekawie byłoby odpowiedzieć na to pytanie: ile jest kawałków każdego rodzaju? (Na przykład autor tych wierszy nie zna jeszcze odpowiedzi na to pytanie).


Podsumowując, jeszcze raz podkreślamy, że pełne rozwiązanie tego problemu składa się z dwóch etapów: znalezienia możliwych przypadków i sprawdzenia, czy wszystkie z nich zostały zrealizowane. Każdy z tych kroków sam w sobie nie rozwiąże problemu!

Uwagi wstępne nauczyciela:

Trochę tła historycznego: Wielu naukowców interesowało się rozwiązywaniem problemów od czasów starożytnych. Rozwiązania wielu prostych problemów związanych z cięciem znaleźli starożytni Grecy i Chińczycy, ale pierwszy systematyczny traktat na ten temat został napisany przez Abul-Vefa. Geometry zaczęli poważnie rozwiązywać problemy cięcia figur na jak najmniejszą liczbę części, a następnie konstruowania kolejnej figury na początku XX wieku. Jednym z założycieli tej sekcji był słynny twórca puzzli Henry E. Dudeney.

W dzisiejszych czasach miłośnicy puzzli chętnie rozwiązują problemy wycinania, ponieważ nie ma uniwersalnej metody rozwiązywania takich problemów, a każdy, kto podejmie się ich rozwiązania, może w pełni wykazać się swoją pomysłowością, intuicją i zdolnością do twórczego myślenia. (W trakcie lekcji wskażemy tylko jeden z możliwych przykładów cięcia. Można założyć, że uczniowie mogą otrzymać inną, poprawną kombinację - nie ma się czego obawiać).

Lekcję tę należy przeprowadzić w formie zajęć praktycznych. Podziel uczestników koła na grupy 2-3 osobowe. Każdej grupie rozdaj rysunki przygotowane wcześniej przez nauczyciela. Uczniowie mają do dyspozycji linijkę (z podziałkami), ołówek i nożyczki. Dopuszczalne jest wykonywanie wyłącznie prostych cięć nożyczkami. Po pocięciu figury na kawałki musisz zrobić kolejną figurę z tych samych części.

Zadania cięcia:

1). Spróbuj przeciąć figurę pokazaną na rysunku na 3 części o jednakowych kształtach:

Wskazówka: małe kształty bardzo przypominają literę T.

2). Teraz potnij tę figurę na 4 równe części:

Wskazówka: łatwo zgadnąć, że małe figury będą składać się z 3 komórek, ale nie ma wielu figurek z trzema komórkami. Istnieją tylko dwa typy: narożnik i prostokąt.

3). Podziel figurę na dwie równe części i z powstałych części uformuj szachownicę.

Wskazówka: Zasugeruj rozpoczęcie zadania od drugiej części, tak jakbyś zdobywał szachownicę. Pamiętaj, jaki kształt ma szachownica (kwadrat). Policz dostępną liczbę komórek pod względem długości i szerokości. (Pamiętaj, że powinno być 8 komórek).

4). Spróbuj pokroić ser na osiem równych kawałków trzema ruchami noża.

Wskazówka: spróbuj przeciąć ser wzdłuż.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

1). Wytnij kwadrat z papieru i wykonaj następujące czynności:

· pokroić na 4 części, z których można zrobić dwa równe mniejsze kwadraty.

· pokroić na pięć części - cztery trójkąty równoramienne i jeden kwadrat - i złożyć je tak, aby otrzymać trzy kwadraty.

Problemy z wycinaniem to dziedzina matematyki, w której, jak mówią, nie ma mamutów. Wiele indywidualnych problemów, ale w zasadzie żadnej ogólnej teorii. Oprócz znanego twierdzenia Bolyai-Gerwina praktycznie nie ma innych fundamentalnych wyników w tym zakresie. Niepewność jest wiecznym towarzyszem zadań związanych z wycinaniem. Możemy na przykład pociąć pięciokąt foremny na sześć części, z których możemy ułożyć kwadrat; nie możemy jednak udowodnić, że pięć części nie wystarczyłoby do tego.

Za pomocą przebiegłej heurystyki, wyobraźni i pół litra czasami udaje nam się znaleźć konkretne rozwiązanie, ale z reguły nie mamy odpowiednich narzędzi, aby udowodnić minimalność tego rozwiązania lub jego nieistnienie (to drugie , oczywiście dotyczy przypadku, gdy nie znaleźliśmy rozwiązania). To smutne i niesprawiedliwe. I pewnego dnia wzięłam czysty notes i postanowiłam przywrócić sprawiedliwość w skali jednego konkretnego zadania: przecięcia płaskiej figury na dwie równe (przystające) części. W ramach tej serii artykułów (nawiasem mówiąc, będą ich trzy) ty i ja, towarzysze, spojrzymy na ten zabawny wielokąt pokazany poniżej i spróbujemy bezstronnie dowiedzieć się, czy można go przeciąć na dwie równe części cyfry, czy nie.

Wstęp

Najpierw odświeżmy nasz szkolny kurs geometrii i przypomnijmy sobie, jakie są figury równe. Yandex pomocny sugeruje:

Dwie figury na płaszczyźnie nazywane są równymi, jeśli następuje ruch, który powoduje przekształcenie jednej figury w drugą.

Zapytajmy teraz Wikipedię o ruchy. Po pierwsze, powie nam, że ruch to przekształcenie płaszczyzny zachowujące odległości między punktami. Po drugie, istnieje nawet klasyfikacja ruchów na płaszczyźnie. Wszystkie należą do jednego z trzech następujących typów:

• Symetria ślizgowa (tutaj dla wygody i korzyści uwzględniam symetrię lustrzaną, jako przypadek zdegenerowany, gdzie dokonuje się równoległego przesunięcia do wektora zerowego)

Wprowadźmy pewną notację. Wyciętą figurę nazwiemy figurą A, a dwie hipotetyczne równe figury, na które rzekomo możemy ją pociąć, będą nazywane odpowiednio B i C. Część płaszczyzny niezajętą ​​przez figurę A nazwiemy obszarem D. W przypadku, gdy za figurę wyciętą uznamy konkretny wielokąt z rysunku, nazwiemy go A 0 .

Zatem, jeśli figurę A można podzielić na dwie równe części B i C, wówczas istnieje ruch, który przekłada B na C. Ruch ten może być albo równoległym przesunięciem, albo obrotem, albo symetrią przesuwną (od teraz nie będę już tego określał że symetria lustrzana jest również uważana za przesuwaną). Nasza decyzja zostanie zbudowana na tej prostej i, powiedziałbym nawet, oczywistej podstawie. W tej części przyjrzymy się najprostszemu przypadkowi – transferowi równoległemu. Symetria obrotowa i przesuwna przypadnie odpowiednio do drugiej i trzeciej części.

Przypadek 1: transfer równoległy

Transfer równoległy jest określony przez pojedynczy parametr - wektor, według którego następuje przesunięcie. Wprowadźmy jeszcze kilka terminów. Wywołana zostanie prosta równoległa do wektora przesunięcia i zawierająca co najmniej jeden punkt figury A sieczna. Zostanie wywołane przecięcie siecznej i figury A przekrój poprzeczny. Nazywa się sieczną, względem której figura A (minus przekrój) leży całkowicie w jednej półpłaszczyźnie granica.

Lemat 1. Odcinek granicy musi zawierać więcej niż jeden punkt.

Dowód: oczywisty. Cóż, albo bardziej szczegółowo: udowodnijmy to przez zaprzeczenie. Jeśli ten punkt należy do rysunku B, to tak obraz(tj. punkt, do którego dojdzie podczas tłumaczenia równoległego) należy do figury C => obraz należy do figury A => obraz należy do sekcji. Sprzeczność. Jeśli ten punkt należy do figury C, to tak prototyp(punkt, który przy tłumaczeniu równoległym do niego przejdzie) należy do rysunku B i dalej podobnie. Okazuje się, że w przekroju muszą znajdować się co najmniej dwa punkty.

Kierując się tym prostym lematem, nietrudno zrozumieć, że pożądane przesunięcie równoległe może nastąpić tylko wzdłuż osi pionowej (przy aktualnej orientacji obrazu). składać się z jednego punktu. Można to zrozumieć, obracając w myślach wektor przesunięcia i obserwując, co dzieje się z granicami. Aby wyeliminować przypadek pionowego transferu równoległego, potrzebujemy bardziej wyrafinowanego narzędzia.

Lemat 2. Odwrotny obraz punktu znajdującego się na granicy figury C znajduje się albo na granicy figur B i C, albo na granicy figury B i obszaru D.

Dowód: nie oczywisty, ale naprawimy to teraz. Przypomnę, że punktem brzegowym figury jest taki punkt, że niezależnie od tego, jak blisko niego znajdują się zarówno punkty należące do figury, jak i punkty do niej nienależące. Odpowiednio, w pobliżu punktu granicznego (nazwijmy go O”) figury C będą znajdować się zarówno punkty figury C, jak i inne punkty należące albo do figury B, albo do obszaru D. Odwrotne obrazy punktów figury C mogą być tylko punktami figury B. W konsekwencji dowolnie blisko odwrotnego obrazu punktu O” (logiczne byłoby nazwać go punktem O) istnieją punkty figury B. Odwrotnymi obrazami punktów figury B mogą być dowolne punkty, które nie nie należą do B (to znaczy ani punktów figury C, ani punktów obszaru D). Podobnie dla punktów obszaru D. Zatem niezależnie od tego, jak blisko punktu O znajdują się albo punkty figury C (wówczas punkt O będzie na granicy B i C), albo punkty obszaru D (wtedy obraz odwrotny będzie znajdować się na granicy B i D). Jeśli uda Ci się przebrnąć przez wszystkie te litery, zgodzisz się, że lemat jest udowodniony.

Twierdzenie 1. Jeżeli przekrój figury A jest odcinkiem, to jego długość jest wielokrotnością długości wektora przesunięcia.

Dowód: rozważ „dalszy” koniec tego segmentu (tj. koniec, którego prototyp również należy do segmentu). Koniec ten należy oczywiście do figury C i jest jej punktem brzegowym. W konsekwencji jego odwrotny obraz (swoją drogą również leżący na segmencie i oddzielony od obrazu długością wektora przesunięcia) będzie albo na granicy B i C, albo na granicy B i D. Jeśli tak znajduje się na granicy B i C, to wykonujemy również jego obraz odwrotny . Czynność tę będziemy powtarzać do momentu, aż kolejny obraz odwrotny przestanie znajdować się na granicy C i zakończy się na granicy D – i stanie się to dokładnie na drugim końcu przekroju. W rezultacie otrzymujemy łańcuch obrazów wstępnych, który dzieli sekcję na kilka małych segmentów, z których długość jest równa długości wektora przesunięcia. Dlatego długość przekroju jest wielokrotnością długości wektora ścinania itp.

Wniosek z twierdzenia 1. Każde dwie sekcje będące segmentami muszą być współmierne.

Korzystając z tego wniosku, łatwo jest wykazać, że pionowe przeniesienie równoległe również zanika.

Rzeczywiście, pierwsza sekcja ma długość trzech komórek, a sekcja druga ma długość trzy minus pierwiastek z dwóch na pół. Oczywiście wartości te są nieporównywalne.

Wniosek

Jeśli figura A wynosi 0 i można ją podzielić na dwie równe cyfry B i C, wówczas B nie jest tłumaczone na C poprzez tłumaczenie równoległe. Ciąg dalszy.

Za pomocą kartki papieru w kratkę za pomocą nożyczek można rozwiązać wiele różnych i ciekawych problemów. Zadania te są nie tylko interesujące i zabawne. Często zawierają praktyczne rozwiązanie i dowód czasami bardzo skomplikowanych zagadnień geometrycznych.

Zacznijmy od głównej zasady wycinania i składania: Dwa wielokąty nazywane są równokompozytowymi, jeśli jeden z nich można podzielić (przeciąć) na inne wielokąty, z których następnie można uformować drugi wielokąt.

Wielokąty o jednakowych proporcjach mają oczywiście tę samą powierzchnię (równą wielkość), dlatego właściwość ekwikompozycji pozwala czasami uzyskać wzory na obliczanie pól lub porównywanie pól figur (jak mówią, metoda podziału lub rozkładu). Przykładem jest porównanie (obliczenie) pól równoległoboku i prostokąta.

Ogólna kwestia równoważności dwóch wielokątów nie jest prosta. Istnieje niesamowite twierdzenie, które mówi, że z dowolnego wielokąta, po pocięciu go na kawałki, można zbudować dowolny inny wielokąt o tej samej powierzchni.

Twierdzenie to dotyczy tak zwanych prostych wielokątów. Prosty wielokąt to wielokąt, którego granica składa się z jednej zamkniętej linii bez samoprzecięć, a dokładnie dwa z jej ogniw zbiegają się w każdym wierzchołku tej łamanej linii. Ważną właściwością prostego wielokąta jest to, że ma on co najmniej jedną przekątną wewnętrzną.

Zauważ, że aby umożliwić przekształcenie prostokąta w kwadrat, musieliśmy (Rysunek 3) podzielić go na trzy części. Jednak ten podział nie jest jedyny. Na przykład możesz podać przykład podziału prostokąta na cztery części (rysunek 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" szerokość="356" wysokość="391 src=">

Pytanie, jaka najmniejsza liczba cięć wystarczy, aby z jednej figury zbudować kolejną, pozostaje otwarte do dziś.

Zadanie 1.

Jedna z kobiet miała prostokątny dywan o wymiarach 27 na 36 cali; dwa przeciwległe rogi były postrzępione (ryc. 5) i trzeba było je obciąć, ale chciała mieć prostokątny dywan. Dała tę pracę mistrzowi, a on ją wykonał. Jak on to zrobił?

Rozwiązanie problemu można zobaczyć na rysunku 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" szerokość="286" wysokość="240 src=">

Jeśli część zębatą A wyjmiemy z części zębatej B, a następnie wepchniemy pomiędzy zęby części B, przesuwając ją o jeden ząb w prawo, otrzymamy pożądany prostokąt.

Zadanie 2.

Jak zrobić kwadrat z pięciu identycznych kwadratów, wycinając je.

Jak pokazano na rysunku 7, cztery kwadraty należy pociąć na trójkąt i trapez. Przymocuj cztery trapezy do boków piątego kwadratu i na koniec przymocuj trójkąty nogami do podstaw trapezów.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" szerokość="382" wysokość="271 src=">

Zadanie 3.

Potnij kwadrat na siedem takich części, aby po ich dodaniu otrzymać trzy równe kwadraty. (Rysunki 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" szerokość="188" wysokość="189 src=">

Zadanie 4.

Potnij kwadrat na osiem części, aby po ich dodaniu otrzymać dwa kwadraty, z których jeden jest o połowę mniejszy od drugiego.

Na rysunku 10 możesz zobaczyć, jak wyciąć kwadrat. Rozwiązanie jest podobne do rozwiązania poprzedniego problemu. Rysunek 11 pokazuje, jak dodać elementy, aby uzyskać dwa wymagane kwadraty.

Wycieczka edukacyjna

Zadania do samodzielnego rozwiązania dla zespołów z „młodszej” grupy wiekowej

Problem 1

Ślimak wspina się na słup o wysokości 10 m. W dzień wznosi się na wysokość 5 m, a w nocy spada na wysokość 4 m. Ile czasu zajmie mu dotarcie z dołu na szczyt słupa?

Problem 2

Czy w kartce papieru zeszytowego można wyciąć dziurę, przez którą zmieściłaby się osoba?

Problem 3

Zające piłują kłodę. Zrobili 10 cięć. Ile logów otrzymałeś?

Problem 4

Bajgiel kroi się na sektory. Zrobiliśmy 10 cięć. Ile sztuk dostałeś?

Problem 5

Na dużym okrągłym torcie wykonano 10 nacięć, tak aby każde nacięcie przechodziło od krawędzi do krawędzi i przechodziło przez środek ciasta. Ile sztuk dostałeś?

Problem 6

Dwie osoby miały dwa kwadratowe ciasta. Każdy zrobił 2 proste nacięcia na swoim torcie od krawędzi do krawędzi. W tym samym czasie jeden dostał trzy sztuki, a drugi cztery. Jak to możliwe?

Problem 7

Zające ponownie przecinają kłodę, ale teraz oba końce kłody są zabezpieczone. Spadło dziesięć środkowych kłód, ale dwie zewnętrzne pozostały niezmienione. Ile cięć wykonały zające?

Problem 8

Jak podzielić naleśnik na 4,5, 6, 7 części za pomocą trzech prostych cięć?

Problem 9

Na prostokątnym torcie znajduje się okrągła tabliczka czekolady. Jak przeciąć ciasto na dwie równe części, aby tabliczka czekolady również podzieliła się dokładnie na pół?

Problem 10

Czy da się upiec ciasto, które jednym prostym cięciem można podzielić na 4 części?

Problem 11

Na jaką maksymalną liczbę kawałków można podzielić okrągły naleśnik za pomocą trzech prostych cięć?

Problem 12

Ile razy dłuższe są schody na czwarte piętro domu niż schody na drugie piętro tego samego domu?

Problem 13

Giuseppe ma arkusz sklejki w rozmiarze 22 × 15. Giuseppe chce wyciąć z niego jak najwięcej prostokątnych półfabrykatów rozmiaru 3. × 5. Jak to zrobić?

Problem 14

Magiczna Kraina ma swoje własne magiczne prawa natury, z których jedno mówi: „Latający dywan będzie latał tylko wtedy, gdy będzie miał prostokątny kształt”.

Iwan Carewicz miał magiczny dywan w rozmiarze 9 × 12. Któregoś dnia podkradł się Wąż Gorynych i odciął z tego dywanu mały dywanik nr 1 × 8. Iwan Carewicz był bardzo zdenerwowany i chciał odciąć kolejny kawałek 1 × 4, aby utworzyć prostokąt 8 × 12, ale Wasylisa Mądra zaproponowała inne rozwiązanie. Przecięła dywan na trzy części, z których za pomocą magicznych nici uszyła kwadratowy latający dywan o wymiarach 10 × 10.

Czy zgadniesz, jak Wasylisa Mądra przerobiła zniszczony dywan?

Problem 15

Kiedy Guliwer dotarł do Liliputu, odkrył, że wszystko było tam dokładnie 12 razy krótsze niż w jego ojczyźnie. Czy potrafisz powiedzieć, ile pudełek zapałek Liliputów zmieści się w pudełku zapałek Guliwera?

Problem 16

Z masztu statku pirackiego powiewa dwukolorowa prostokątna flaga, składająca się z naprzemiennych czarno-białych pionowych pasów o tej samej szerokości. Całkowita liczba pasków jest równa liczbie więźniów aktualnie znajdujących się na statku. Początkowo na statku było 12 więźniów, a na fladze 12 pasów; następnie dwaj więźniowie uciekli. Jak przeciąć flagę na dwie części, a następnie zszyć je tak, aby powierzchnia flagi i szerokość pasów się nie zmieniły, ale liczba pasków wynosiła 10?

Problem 17

Na okręgu zaznaczony został punkt. Czy można przeciąć ten okrąg na trzy części, aby można było z nich utworzyć nowy okrąg z zaznaczonym punktem w środku?

Problem 18

Czy można podzielić kwadrat na cztery części tak, aby każda część stykała się (tj. miała wspólne obszary granicy) z pozostałymi trzema?

DIV_ADBLOCK245">

Zadanie 24

Na linijce o długości 9 cm nie ma podziałów. Zastosuj na nim trzy podziałki pośrednie, aby można było nim mierzyć odległości od 1 do 9 cm z dokładnością do 1 cm.

Zadanie 25

Zapisz kilka liczb w pobliżu każdego wierzchołka trójkąta i zapisz sumę liczb na końcach tego boku w pobliżu każdego boku trójkąta. Teraz dodaj każdą liczbę u góry do liczby po przeciwnej stronie. Jak myślisz, dlaczego kwoty okazały się takie same?

Zadanie 26

Jakie jest pole trójkąta o bokach 18, 17, 35?

Zadanie 27

Podziel kwadrat na pięć trójkątów, tak aby pole jednego z tych trójkątów było równe sumie pól pozostałych.

Zadanie 28

Kwadratową kartkę papieru pocięto na sześć kawałków w kształcie wypukłych wielokątów; zaginęło pięć elementów, pozostawiając jeden element w kształcie foremnego ośmiokąta (patrz zdjęcie). Czy możliwe jest zrekonstruowanie pierwotnego kwadratu przy użyciu samego ośmiokąta?

Zadanie 29

Kwadrat można łatwo podzielić na dwa równe trójkąty lub dwa równe czworokąty. Jak podzielić kwadrat na dwa równe pięciokąty lub dwa równe sześciokąty?

Zadanie 30

Iwan Carewicz poszedł szukać Wasilisy Pięknej, porwanej przez Koszczeja. Goblin go spotyka.

„Wiem” – mówi – „jeździłem tam i jeździłem do Królestwa Koszczeewa”. Szedłem cztery dni i cztery noce. W ciągu pierwszych 24 godzin przeszedłem jedną trzecią prostej drogi na północ. Potem skręcił na zachód, przez jeden dzień brnął przez las i przeszedł połowę tej odległości. Trzeciego dnia szedłem przez las, już na południe, i wyszedłem na prostą drogę prowadzącą na wschód. Przeszedłem nią 100 mil dziennie i trafiłem do królestwa Koszczeewa. Jesteś tak samo szybkim piechurem jak ja. Idź, Iwanie Carewiczu, spójrz, piątego dnia odwiedzisz Koszcze.

Nie – odpowiedział Iwan Carewicz – jeśli wszystko będzie tak, jak mówisz, to jutro zobaczę moją Piękną Wasilisę.

Czy ma rację? Ile mil przeszedł Leszy i jak daleko Carewicz Iwan myśli o chodzeniu?

Zadanie 31

Wymyśl schemat kolorów ścian sześcianu tak, aby w trzech różnych pozycjach wyglądał jak ten pokazany na obrazku. (Wskaż, jak pokolorować niewidoczne krawędzie lub narysować siatkę.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" wyrównania="left" szerokość="205" wysokość="205 src="> Zadanie 32

Numizmatyk Fedya ma wszystkie monety o średnicy nie większej niż 10 cm. Przechowuje je w płaskim pudełku o wymiarach 30 cm * 70 cm (w jednej warstwie). Otrzymał monetę o średnicy 25 cm. Udowodnij, że wszystkie monety można umieścić w jednym płaskim pudełku o wymiarach 55 cm * 55 cm.

Zadanie 33

Z kwadratu o wymiarach 5x5 wycięto centralny kwadrat. Powstały kształt przetnij na dwie części, w które możesz owinąć kostkę 2x2x2.

Zadanie 34

Potnij ten kwadrat wzdłuż boków komórek na cztery części, tak aby wszystkie części miały ten sam rozmiar i ten sam kształt oraz aby każda część zawierała jedno koło i jedną gwiazdę.

Zadanie 35

Parking w Mieście Kwiatów to kwadrat o wymiarach 7x7 cel, w każdej z nich można zaparkować samochód. Parking jest otoczony płotem, jeden z boków narożnej klatki jest usunięty (jest to brama wjazdowa). Samochód jedzie po ścieżce szerokiej na klatkę. Dunno został poproszony o ustawienie na parkingu jak największej liczby samochodów, tak aby każdy mógł wyjechać, gdy inni stoją. Dunno ułożył 24 samochody, jak pokazano na ryc. Spróbuj inaczej rozmieścić samochody, aby pomieścić ich więcej.

Zadanie 36

Petya i Vasya mieszkają w sąsiednich domach (patrz plan na zdjęciu). Wasia mieszka w czwartym wejściu. Wiadomo, że Petya, aby dotrzeć do Wasii najkrótszą drogą (niekoniecznie idąc bokami cel), jest obojętny, którą stroną okrąży swój dom. Ustal, w którym wejściu mieszka Petya.

Zadanie 37

Zaproponuj sposób pomiaru przekątnej zwykłej cegły, który można łatwo zastosować w praktyce (bez twierdzenia Pitagorasa).

Zadanie 38

Potnij krzyż złożony z pięciu identycznych kwadratów na trzy wielokąty o równej powierzchni i obwodzie.

Zadanie 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" szerokość="411" wysokość="111">

Zadanie 46

a) Czworościan b) Sześcian wycięto wzdłuż krawędzi zaznaczonych pogrubionymi liniami (patrz zdjęcia) i rozłożono. Narysuj powstałe zmiany.

Zadanie 47

Jakie typy ciał pokazano na zdjęciach? Narysuj rysunki zgodnie z rysunkami, sklej je ze sobą, aby utworzyć bryłę geometryczną.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" szerokość="182" wysokość="146 src=">.gif" szerokość="212" wysokość="139">8 )