Wektory są potężnym narzędziem w matematyce i fizyce. Podstawowe prawa mechaniki i elektrodynamiki formułowane są w języku wektorów. Aby zrozumieć fizykę, musisz nauczyć się pracować z wektorami.
W tym rozdziale szczegółowo omówiono materiał niezbędny do rozpoczęcia nauki mechaniki:
! Dodatek wektorowy
! Mnożenie skalara przez wektor
! Kąt między wektorami
! Rzut wektora na oś
! Wektory i współrzędne na płaszczyźnie
! Wektory i współrzędne w przestrzeni
! Iloczyn skalarny wektorów
Do tekstu tej aplikacji przyda się powrót na pierwszym roku studiów z geometrii analitycznej i algebry liniowej, aby zrozumieć np., skąd biorą się aksjomaty przestrzeni liniowej i euklidesowej.
7.1 Wielkości skalarne i wektorowe
Studiując fizykę, spotykamy dwa rodzaje wielkości: skalarne i wektorowe.
Definicja. Wielkość skalarna, czyli skalar, to wielkość fizyczna, dla której (w odpowiednich jednostkach miary) wystarczy jedna liczba.
W fizyce istnieje wiele skalarów. Masa ciała 3 kg, temperatura powietrza 10 C, napięcie sieciowe 220 V. . . We wszystkich tych przypadkach interesująca nas ilość jest dana pojedynczą liczbą. Dlatego masa, temperatura i napięcie elektryczne są skalarami.
Ale skalar w fizyce to nie tylko liczba. Skalar to liczba posiadająca wymiar 1. Zatem podając masę nie możemy zapisać m = 3; Musisz określić jednostkę miary, na przykład m = 3 kg. A jeśli w matematyce możemy dodać liczby 3 i 220, to w fizyce nie możemy dodać 3 kilogramów i 220 woltów: mamy prawo dodać tylko te skalary, które mają ten sam wymiar (masa z masą, napięcie z napięciem itp.). ) .
Definicja. Wielkość wektorowa lub wektor to wielkość fizyczna charakteryzująca się: 1) nieujemnym skalarem; 2) kierunek w przestrzeni. W tym przypadku skalar nazywany jest modułem wektora lub jego wartością bezwzględną.
Załóżmy, że samochód porusza się z prędkością 60 km/h. Ale to niepełna informacja o ruchu, prawda? Istotne może być także to, dokąd jedzie samochód, w jakim kierunku. Dlatego istotna jest znajomość nie tylko modułu (wartości bezwzględnej) prędkości samochodu, w tym przypadku jest to 60 km/h, ale także jego kierunku w przestrzeni. Oznacza to, że prędkość jest wektorem.
Inny przykład. Załóżmy, że na podłodze leży cegła o masie 1 kg. Na cegłę działa siła 100 N (jest to moduł siły, czyli jej wartość bezwzględna). Jak będzie się poruszać cegła? Pytanie nie ma sensu, dopóki nie zostanie określony kierunek siły. Jeśli siła działa w górę, cegła przesunie się w górę. Jeśli siła działa poziomo, cegła będzie poruszać się poziomo. A jeśli siła działa pionowo w dół, cegła w ogóle się nie poruszy; zostanie jedynie wciśnięta w podłogę. Widzimy zatem, że siła jest również wektorem.
Wielkość wektorowa w fizyce również ma wymiar. Wymiar wektora jest wymiarem jego modułu.
Wektory będziemy oznaczać literami ze strzałką. W ten sposób można oznaczyć wektor prędkości
przez ~v i wektor siły przez F. W rzeczywistości wektor jest strzałką lub, jak mówią, skierowanym segmentem (ryc. 7.1).
Ryż. 7.1. wektor ~w
Punkt początkowy strzałki nazywany jest początkiem wektora, a punktem końcowym (końcem) strzałki
koniec wektora. W matematyce oznacza się wektor rozpoczynający się w punkcie A i kończący się w punkcie B
także AB; Czasami będziemy potrzebować takiego zapisu.
Wektor, którego początek i koniec pokrywają się, nazywany jest wektorem zerowym (lub zerem) i
oznaczone ~. Wektor zerowy jest po prostu punktem; nie ma określonego kierunku.
Długość wektora zerowego wynosi oczywiście zero.
1 Istnieją także skalary bezwymiarowe: współczynnik tarcia, sprawność, współczynnik załamania światła ośrodka. . . Zatem współczynnik załamania światła wody wynosi 1,33; jest to wyczerpująca informacja, liczba ta nie ma żadnego wymiaru.
Rysowanie strzałek całkowicie rozwiązuje problem graficznej reprezentacji wielkości wektorowych. Kierunek strzałki wskazuje kierunek danego wektora, a długość strzałki w odpowiedniej skali jest wielkością tego wektora.
Załóżmy, że dwa samochody jadą ku sobie z prędkościami u = 30 km/h i v = 60 km/h. Wtedy wektory ~u i ~v prędkości samochodów będą miały przeciwne kierunki, a długość wektora ~v będzie dwukrotnie większa (rys. 7.2).
Ryż. 7.2. Wektor ~v jest dwa razy dłuższy
Jak już zrozumiałeś, litera bez strzałki (na przykład u lub v w poprzednim akapicie) wskazuje wielkość odpowiedniego wektora. W matematyce moduł wektora ~v jest zwykle oznaczany j~vj, ale fizycy, jeśli sytuacja na to pozwala, będą preferować literę v bez strzałki.
Wektory nazywane są współliniowymi, jeśli znajdują się na tej samej linii lub na liniach równoległych.
Niech będą dwa wektory współliniowe. Jeżeli ich kierunki się pokrywają, wówczas wektory nazywane są współkierunkowymi; jeśli ich kierunki są różne, wówczas wektory nazywane są przeciwnie skierowanymi. Zatem powyżej na ryc. 7.2 wektory ~u i ~v są skierowane przeciwnie.
Dwa wektory nazywane są równymi, jeśli są współkierunkowe i mają równe moduły (ryc. 7.3).
Ryż. 7.3. Wektory ~a i b są równe: ~a = b
Zatem równość wektorów nie musi oznaczać, że ich początki i końce pokrywają się: możemy przesunąć wektor równolegle do siebie i w rezultacie otrzymamy wektor równy pierwotnemu. Przeniesienie to jest stale stosowane w przypadkach, gdy pożądane jest zredukowanie początków wektorów do jednego punktu, na przykład przy znajdowaniu sumy lub różnicy wektorów. Przejdźmy teraz do rozważenia operacji na wektorach.
Dwa słowa, które przerażają uczniów – wektor i skalar – w rzeczywistości nie są przerażające. Jeśli podchodzisz do tematu z zainteresowaniem, wszystko można zrozumieć. W tym artykule zastanowimy się, która wielkość jest wektorem, a która skalarem. Dokładniej, podamy przykłady. Każdy student zapewne zauważył, że w fizyce niektóre wielkości oznacza się nie tylko symbolem, ale także strzałką u góry. Co one oznaczają? Zostanie to omówione poniżej. Spróbujmy dowiedzieć się, czym różni się od skalarnego.
Przykłady wektorów. Jak są wyznaczane?
Co oznacza wektor? To, co charakteryzuje ruch. Nie ma znaczenia, czy w kosmosie, czy w samolocie. Jaka wielkość jest ogólnie wielkością wektorową? Przykładowo samolot leci z określoną prędkością na określonej wysokości, ma określoną masę i zaczyna oddalać się od lotniska z wymaganym przyspieszeniem. Jaki jest ruch samolotu? Co sprawiło, że latał? Oczywiście przyspieszenie, prędkość. Wielkości wektorowe z kursu fizyki są wyraźnymi przykładami. Mówiąc wprost, wielkość wektorowa jest powiązana z ruchem, przemieszczeniem.
Woda również porusza się z określoną prędkością z wysokości góry. widzisz? Ruch odbywa się nie według objętości czy masy, ale według prędkości. Tenisista pozwala piłce poruszać się za pomocą rakiety. Ustawia przyspieszenie. Nawiasem mówiąc, siła zastosowana w tym przypadku jest również wielkością wektorową. Ponieważ uzyskuje się go w wyniku zadanych prędkości i przyspieszeń. Władza też może się zmieniać i wykonywać określone działania. Przykładem może być również wiatr poruszający liśćmi na drzewach. Ponieważ jest prędkość.
Wielkości dodatnie i ujemne
Wielkość wektorowa to wielkość, która ma kierunek w otaczającej przestrzeni i wielkość. Straszne słowo pojawiło się ponownie, tym razem moduł. Wyobraź sobie, że musisz rozwiązać problem, w którym zostanie zarejestrowana ujemna wartość przyspieszenia. Wydaje się, że w naturze znaczenia negatywne nie istnieją. Jak prędkość może być ujemna?
Wektor ma taką koncepcję. Dotyczy to na przykład sił, które działają na ciało, ale mają różne kierunki. Pamiętaj o trzecim, w którym akcja równa się reakcji. Chłopaki bawią się w przeciąganie liny. Jedna drużyna nosi niebieskie koszulki, druga żółta. Te ostatnie okazują się silniejsze. Załóżmy, że ich wektor siły jest skierowany dodatnio. Jednocześnie pierwsi nie mogą ciągnąć liny, ale próbują. Powstaje przeciwna siła.
Wielkość wektorowa czy skalarna?
Porozmawiajmy o tym, czym wielkość wektorowa różni się od wielkości skalarnej. Który parametr nie ma kierunku, ale ma swoje znaczenie? Poniżej wypiszmy niektóre wielkości skalarne:
Czy oni wszyscy mają jakiś kierunek? NIE. Która wielkość jest wektorem, a która skalarem, można pokazać jedynie na przykładach wizualnych. W fizyce takie pojęcia znajdują się nie tylko w dziale „Mechanika, dynamika i kinematyka”, ale także w akapicie „Elektryczność i magnetyzm”. Siła Lorentza jest również wielkością wektorową.
Wektor i skalar we wzorach
Podręczniki do fizyki często zawierają wzory ze strzałką u góry. Przypomnij sobie drugie prawo Newtona. Siła („F” ze strzałką na górze) jest równa iloczynowi masy („m”) i przyspieszenia („a” ze strzałką na górze). Jak wspomniano powyżej, siła i przyspieszenie są wielkościami wektorowymi, ale masa jest skalarna.
Niestety nie we wszystkich publikacjach znajdują się oznaczenia tych ilości. Prawdopodobnie zrobiono to, aby uprościć sprawę, aby uczniowie nie byli wprowadzani w błąd. Najlepiej kupić te książki i podręczniki, które wskazują wektory we wzorach.
Ilustracja pokaże, która wielkość jest wielkością wektorową. Na lekcjach fizyki zaleca się zwracanie uwagi na zdjęcia i diagramy. Wielkości wektorowe mają kierunek. Gdzie jest skierowany? Oczywiście w dół. Oznacza to, że strzałka będzie pokazana w tym samym kierunku.
Fizyka jest studiowana dogłębnie na uniwersytetach technicznych. W wielu dyscyplinach nauczyciele mówią o wielkościach skalarnych i wektorowych. Taka wiedza jest wymagana w obszarach: budownictwo, transport, nauki przyrodnicze.
Fizyka i matematyka nie mogą obejść się bez pojęcia „wielkości wektorowej”. Trzeba to znać i rozpoznać, a także umieć z tym działać. Zdecydowanie powinieneś się tego nauczyć, aby nie pomylić się i nie popełnić głupich błędów.
Jak odróżnić wielkość skalarną od wielkości wektorowej?
Ten pierwszy ma zawsze tylko jedną cechę. To jest jego wartość liczbowa. Większość wielkości skalarnych może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Przykładami są ładunek elektryczny, praca lub temperatura. Istnieją jednak skalary, które nie mogą być ujemne, na przykład długość i masa.
Wielkość wektorową, oprócz wielkości liczbowej, która jest zawsze przyjmowana modulo, charakteryzuje się także kierunkiem. Dlatego można to przedstawić graficznie, to znaczy w postaci strzałki, której długość jest równa wartości bezwzględnej skierowanej w określonym kierunku.
Podczas pisania każda wielkość wektora jest oznaczona znakiem strzałki na literze. Jeśli mówimy o wartości liczbowej, strzałka nie jest zapisywana lub jest pobierana modulo.
Jakie działania są najczęściej wykonywane na wektorach?
Najpierw porównanie. Mogą być równe lub nie. W pierwszym przypadku ich moduły są takie same. Ale to nie jedyny warunek. Muszą także mieć takie same lub przeciwne kierunki. W pierwszym przypadku należy je nazwać wektorami równymi. W drugim okazują się przeciwne. Jeśli przynajmniej jeden z podanych warunków nie jest spełniony, wówczas wektory nie są równe.
Potem przychodzi dodawanie. Można go wykonać według dwóch zasad: trójkąta lub równoległoboku. Pierwszy nakazuje najpierw odłożyć jeden wektor, a następnie od jego końca drugi. Wynikiem dodania będzie ten, który należy wyciągnąć od początku pierwszego do końca drugiego.
Regułę równoległoboku można zastosować podczas dodawania wielkości wektorowych w fizyce. W przeciwieństwie do pierwszej zasady, tutaj należy je odłożyć z jednego punktu. Następnie zbuduj je w równoległobok. Wynik działania należy uznać za przekątną równoległoboku narysowanego z tego samego punktu.
Jeśli wielkość wektorowa zostanie odjęta od innej, wówczas są one ponownie wykreślane z jednego punktu. Jedynie wynikiem będzie wektor pokrywający się z tym, co jest wykreślone od końca drugiego do końca pierwszego.
Jakie wektory bada się w fizyce?
Jest ich tyle, ile jest skalarów. Możesz po prostu zapamiętać, jakie wielkości wektorowe istnieją w fizyce. Lub poznaj znaki, dzięki którym można je obliczyć. Dla tych, którzy wolą pierwszą opcję, ta tabela będzie przydatna. Zawiera wektor główny
Teraz trochę więcej o niektórych z tych ilości.
Pierwszą wielkością jest prędkość
Warto zacząć od przykładów wielkości wektorowych. Wynika to z faktu, że jest jednym z pierwszych badanych.
Prędkość definiuje się jako cechę ruchu ciała w przestrzeni. Ustawia wartość liczbową i kierunek. Dlatego prędkość jest wielkością wektorową. Ponadto zwyczajowo dzieli się go na typy. Pierwszą z nich jest prędkość liniowa. Wprowadza się go, rozważając prostoliniowy ruch jednostajny. W tym przypadku okazuje się, że jest on równy stosunkowi drogi przebytej przez ciało do czasu ruchu.
Tę samą formułę można zastosować w przypadku nierównomiernego ruchu. Tylko wtedy będzie średnio. Ponadto odstęp czasu, który należy wybrać, musi być jak najkrótszy. Gdy przedział czasu dąży do zera, wartość prędkości jest już chwilowa.
Jeśli weźmiemy pod uwagę dowolny ruch, wówczas prędkość jest zawsze wielkością wektorową. Trzeba go przecież rozłożyć na składowe skierowane wzdłuż każdego wektora kierującego liniami współrzędnych. Ponadto definiuje się go jako pochodną wektora promienia po czasie.
Drugą wielkością jest siła
Określa miarę intensywności oddziaływania, jakie na ciało wywierają inne ciała lub pola. Ponieważ siła jest wielkością wektorową, z konieczności ma swoją wielkość i kierunek. Ponieważ działa na ciało, ważny jest również punkt, do którego przykładana jest siła. Aby uzyskać wizualną reprezentację wektorów sił, możesz skorzystać z poniższej tabeli.
Inną wielkością wektorową jest także siła wypadkowa. Definiuje się go jako sumę wszystkich sił mechanicznych działających na ciało. Aby to ustalić, należy wykonać dodawanie zgodnie z zasadą reguły trójkąta. Wystarczy odłożyć wektory jeden po drugim, zaczynając od końca poprzedniego. Wynikiem będzie ten, który łączy początek pierwszego z końcem ostatniego.
Trzecią wielkością jest przemieszczenie
Podczas ruchu ciało wyznacza określoną linię. Nazywa się to trajektorią. Ta linia może być zupełnie inna. Ważniejszy jest nie jego wygląd, ale punkt początkowy i końcowy ruchu. Są one połączone segmentem zwanym tłumaczeniem. Jest to również wielkość wektorowa. Co więcej, zawsze jest on skierowany od początku ruchu do momentu, w którym ruch został zatrzymany. Zwykle oznacza się go łacińską literą r.
W tym miejscu może pojawić się następujące pytanie: „Czy ścieżka jest wielkością wektorową?” Ogólnie rzecz biorąc, to stwierdzenie nie jest prawdziwe. Ścieżka jest równa długości trajektorii i nie ma określonego kierunku. Wyjątkiem jest sytuacja, gdy rozpatrywana jest ona w jednym kierunku. Następnie wielkość wektora przemieszczenia pokrywa się wartością ze ścieżką, a ich kierunek okazuje się taki sam. Dlatego też, rozważając ruch po linii prostej bez zmiany kierunku ruchu, ścieżkę można ująć w przykładach wielkości wektorowych.
Czwartą wielkością jest przyspieszenie
Jest to charakterystyka szybkości zmiany prędkości. Ponadto przyspieszenie może mieć zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Poruszając się po linii prostej, kierowany jest na większą prędkość. Jeśli ruch odbywa się po zakrzywionej ścieżce, wówczas jego wektor przyspieszenia rozkłada się na dwie składowe, z których jedna jest skierowana w stronę środka krzywizny wzdłuż promienia.
Rozróżnia się średnie i chwilowe wartości przyspieszenia. Pierwszy należy obliczyć jako stosunek zmiany prędkości w pewnym okresie czasu do tego czasu. Gdy rozpatrywany przedział czasu dąży do zera, mówimy o przyspieszeniu chwilowym.
Piąta wartość - pęd
W inny sposób nazywa się to również ilością ruchu. Pęd jest wielkością wektorową, ponieważ jest bezpośrednio powiązany z prędkością i siłą przyłożoną do ciała. Obaj mają kierunek i nadają go impulsowi.
Z definicji ta ostatnia jest równa iloczynowi masy ciała i prędkości. Korzystając z pojęcia pędu ciała, możemy napisać dobrze znane prawo Newtona inaczej. Okazuje się, że zmiana pędu jest równa iloczynowi siły i okresu czasu.
W fizyce ważną rolę odgrywa zasada zachowania pędu, która mówi, że w zamkniętym układzie ciał jego całkowity pęd jest stały.
Bardzo krótko wymieniliśmy, jakie wielkości (wektory) są badane na kursie fizyki.
Problem uderzenia niesprężystego
Stan : schorzenie. Na szynach znajduje się podest stacjonarny. Zbliża się do niego wózek z prędkością 4 m/s. i wagon - odpowiednio 10 i 40 ton. Samochód uderza w platformę i następuje automatyczne sprzęganie. Należy obliczyć prędkość układu „samochód-platforma” po uderzeniu.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy wprowadzić następujące oznaczenia: prędkość samochodu przed uderzeniem wynosi v 1, prędkość samochodu z platformą po sprzęgnięciu wynosi v, masa samochodu wynosi m 1, masa platformy wynosi m 2. Zgodnie z warunkami zadania konieczne jest ustalenie wartości prędkości v.
Zasady rozwiązywania takich zadań wymagają schematycznego przedstawienia systemu przed i po interakcji. Rozsądne jest skierowanie osi OX wzdłuż szyn w kierunku, w którym porusza się samochód.
W tych warunkach układ samochodowy można uznać za zamknięty. Wynika to z faktu, że siły zewnętrzne można pominąć. Grawitacja i są zrównoważone, a tarcie na szynach nie jest brane pod uwagę.
Zgodnie z zasadą zachowania pędu ich suma wektorów przed oddziaływaniem samochodu i platformy jest równa sumie dla sprzężenia po zderzeniu. Początkowo platforma się nie poruszała, więc jej pęd był zerowy. Tylko samochód się poruszał, jego pęd był iloczynem m 1 i v 1 .
Ponieważ uderzenie było niesprężyste, to znaczy samochód połączył się z platformą, a następnie zaczęły się one toczyć razem w tym samym kierunku, impuls układu nie zmienił kierunku. Ale jego znaczenie uległo zmianie. Mianowicie iloczyn sumy masy samochodu z platformą i pożądanej prędkości.
Możesz zapisać następującą równość: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Będzie to dotyczyło rzutowania wektorów impulsów na wybraną oś. Z tego łatwo wyprowadzić równość, która będzie potrzebna do obliczenia pożądanej prędkości: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).
Zgodnie z przepisami wartości masy należy przeliczyć z ton na kilogramy. Dlatego podstawiając je do wzoru, należy najpierw pomnożyć znane ilości przez tysiąc. Proste obliczenia dają wartość 0,75 m/s.
Odpowiedź. Prędkość samochodu z platformą wynosi 0,75 m/s.
Problem z podziałem ciała na części
Stan. Prędkość lecącego granatu wynosi 20 m/s. Rozpada się na dwie części. Waga pierwszego wynosi 1,8 kg. Porusza się nadal w kierunku, w którym leciał granat, z prędkością 50 m/s. Drugi fragment ma masę 1,2 kg. Jaka jest jego prędkość?
Rozwiązanie. Niech masy fragmentów będą oznaczone literami m 1 i m 2. Ich prędkości będą wynosić odpowiednio v 1 i v 2. Prędkość początkowa granatu wynosi v. Zadanie wymaga obliczenia wartości v 2 .
Aby większy fragment mógł dalej poruszać się w tym samym kierunku co cały granat, drugi musi lecieć w przeciwnym kierunku. Jeśli wybierzesz kierunek osi taki, jaki był przy początkowym impulsie, to po zerwaniu duży fragment leci wzdłuż osi, a mały leci pod osią.
W tym zadaniu dozwolone jest zastosowanie prawa zachowania pędu ze względu na fakt, że granat eksploduje natychmiast. Dlatego pomimo tego, że na granat i jego części działa grawitacja, nie ma on czasu na działanie i zmianę kierunku wektora impulsu o jego wartość bezwzględną.
Suma wielkości wektorowych impulsu po wybuchu granatu jest równa temu, co było przed nim. Jeśli zapiszemy prawo zachowania w rzucie na oś OX, będzie to wyglądać następująco: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2 . Z niego łatwo jest wyrazić pożądaną prędkość. Zostanie to określone według wzoru: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Po podstawieniu wartości liczbowych i obliczeniach otrzymujemy 25 m/s.
Odpowiedź. Prędkość małego fragmentu wynosi 25 m/s.
Problem ze strzelaniem pod kątem
Stan : schorzenie. Pistolet zamontowany jest na platformie o masie M. Wystrzeliwuje pocisk o masie m. Wylatuje pod kątem α do horyzontu z prędkością v (podaną względem ziemi). Musisz znać prędkość platformy po strzale.
Rozwiązanie. W tym zadaniu można skorzystać z zasady zachowania pędu w rzucie na oś OX. Ale tylko w przypadku, gdy rzut zewnętrznych sił wypadkowych jest równy zeru.
Aby określić kierunek osi OX, należy wybrać stronę, po której poleci pocisk, równolegle do linii poziomej. W tym przypadku rzuty sił grawitacyjnych i reakcja podpory na OX będą równe zeru.
Problem zostanie rozwiązany w formie ogólnej, ponieważ nie ma konkretnych danych dla znanych wielkości. Odpowiedź jest formułą.
Pęd układu przed strzałem wynosił zero, ponieważ platforma i pocisk były nieruchome. Niech żądana prędkość peronu będzie oznaczona łacińską literą u. Następnie wyznaczymy jego pęd po strzale jako iloczyn masy i rzutu prędkości. Ponieważ platforma cofnie się (w kierunku przeciwnym do osi OX), wartość impulsu będzie oznaczona znakiem minus.
Pęd pocisku jest iloczynem jego masy i rzutu prędkości na oś OX. Ze względu na to, że prędkość jest skierowana pod kątem do horyzontu, jej rzut jest równy prędkości pomnożonej przez cosinus kąta. W dosłownej równości będzie to wyglądać tak: 0 = - Mu + mv * cos α. Z niego poprzez proste przekształcenia otrzymuje się wzór odpowiedzi: u = (mv * cos α) / M.
Odpowiedź. Prędkość platformy określa się wzorem u = (mv * cos α) / M.
Problem z przeprawą przez rzekę
Stan : schorzenie. Szerokość rzeki na całej jej długości jest taka sama i równa l, jej brzegi są równoległe. Znana jest prędkość przepływu wody w rzece v 1 i prędkość własna łodzi v 2. 1). Podczas przeprawy dziób łodzi skierowany jest ściśle w stronę przeciwległego brzegu. Jak daleko zostanie poniesiony w dół rzeki? 2). Pod jakim kątem α powinien być skierowany dziób łodzi, aby dotarł do przeciwległego brzegu ściśle prostopadle do punktu wypłynięcia? Ile czasu zajmie t takie przejście?
Rozwiązanie. 1). Całkowita prędkość łodzi jest sumą wektorową dwóch wielkości. Pierwszym z nich jest przepływ rzeki, który kieruje się wzdłuż brzegów. Druga to prędkość własna łodzi, prostopadła do brzegów. Rysunek tworzy dwa podobne trójkąty. Pierwszą tworzy szerokość rzeki i odległość, na jaką dryfuje łódź. Drugi to wektory prędkości.
Z nich wynika następujący wpis: s / l = v 1 / v 2. Po przekształceniu otrzymuje się wzór na pożądaną wartość: s = l * (v 1 / v 2).
2). W tej wersji problemu wektor prędkości całkowitej jest prostopadły do brzegów. Jest równa sumie wektorów v 1 i v 2. Sinus kąta, o który musi odchylić się wektor prędkości naturalnej, jest równy stosunkowi modułów v 1 i v 2. Aby obliczyć czas podróży, należy podzielić szerokość rzeki przez obliczoną pełną prędkość. Wartość tego ostatniego oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
v = √(v 2 2 - v 1 2), wtedy t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Odpowiedź. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). grzech α = v 1 / v 2, t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Ilość wektorów (wektor) jest wielkością fizyczną, która ma dwie cechy - moduł i kierunek w przestrzeni.
Przykłady wielkości wektorowych: prędkość (), siła (), przyspieszenie () itp.
Geometrycznie wektor jest przedstawiany jako skierowany odcinek linii prostej, którego długość w skali jest wartością bezwzględną wektora.
Wektor promienia(zwykle oznaczany lub po prostu) - wektor określający położenie punktu w przestrzeni względem jakiegoś wcześniej ustalonego punktu, zwanego początkiem.
W przypadku dowolnego punktu w przestrzeni wektor promienia jest wektorem biegnącym od początku do tego punktu.
Długość wektora promienia, czyli jego modułu, określa odległość, w jakiej znajduje się punkt od początku, a strzałka wskazuje kierunek do tego punktu w przestrzeni.
Na płaszczyźnie kąt wektora promienia to kąt, o który wektor promienia jest obracany względem osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
nazywa się linię, po której porusza się ciało trajektoria ruchu. W zależności od kształtu trajektorii wszystkie ruchy można podzielić na prostoliniowe i krzywoliniowe.
Opis ruchu rozpoczyna się od odpowiedzi na pytanie: jak zmieniało się położenie ciała w przestrzeni w określonym czasie? Jak określa się zmianę położenia ciała w przestrzeni?
Poruszający- skierowany odcinek (wektor) łączący początkową i końcową pozycję ciała.
Prędkość(często oznaczane z angielskiego. prędkość lub ks. vitesse) jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą prędkość ruchu i kierunek ruchu punktu materialnego w przestrzeni względem wybranego układu odniesienia (na przykład prędkość kątowa). Tego samego słowa można użyć w odniesieniu do wielkości skalarnej, a dokładniej modułu pochodnej wektora promienia.
W nauce prędkość jest również używana w szerokim znaczeniu, jako prędkość zmiany jakiejś wielkości (niekoniecznie wektora promienia) w zależności od innej (zwykle zmienia się w czasie, ale także w przestrzeni lub dowolnej innej). Mówią na przykład o szybkości zmiany temperatury, szybkości reakcji chemicznej, prędkości grupowej, szybkości łączenia, prędkości kątowej itp. Pochodna funkcji jest charakteryzowana matematycznie.
Przyśpieszenie(zwykle oznaczane w mechanice teoretycznej), pochodna prędkości po czasie jest wielkością wektorową pokazującą, jak bardzo zmienia się wektor prędkości punktu (ciała) w miarę jego ruchu w jednostce czasu (tj. przyspieszenie uwzględnia nie tylko zmianę wielkość prędkości, ale także jej kierunek).
Przykładowo, w pobliżu Ziemi ciało spadające na Ziemię, w przypadku gdy można pominąć opór powietrza, zwiększa swoją prędkość o około 9,8 m/s w każdej sekundzie, czyli jego przyspieszenie wynosi 9,8 m/s².
Dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, jego rejestracją, a także rejestracją prędkości i przyspieszeń w różnych układach odniesienia nazywa się kinematyką.
Jednostką przyspieszenia są metry na sekundę na sekundę ( m/s 2, m/s 2), istnieje również jednostka niesystemowa Gal (Gal), używana w grawimetrii i równa 1 cm/s 2.
Pochodna przyspieszenia po czasie, tj. wielkość charakteryzująca szybkość zmiany przyspieszenia w czasie nazywana jest szarpnięciem.
Najprostszy ruch ciała to taki, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się jednakowo, opisując te same trajektorie. Ten ruch nazywa się progresywny. Tego typu ruch uzyskujemy przesuwając drzazgę tak, aby była cały czas równoległa do siebie. Podczas ruchu do przodu trajektorie mogą być liniami prostymi (ryc. 7, a) lub zakrzywionymi (ryc. 7, b).
Można udowodnić, że podczas ruchu postępowego każda linia prosta narysowana w ciele pozostaje równoległa do siebie. Wygodnie jest wykorzystać tę charakterystyczną cechę, aby odpowiedzieć na pytanie, czy dany ruch ciała ma charakter translacyjny. Na przykład, gdy cylinder toczy się po płaszczyźnie, linie proste przecinające oś nie pozostają równoległe do siebie: toczenie nie jest ruchem postępowym. Kiedy poprzeczka i kwadrat przesuwają się po desce kreślarskiej, narysowana w nich linia prosta pozostaje równoległa do siebie, co oznacza, że poruszają się do przodu (ryc. 8). Igła maszyny do szycia, tłok w cylindrze silnika parowego lub spalinowego, nadwozie samochodu (ale nie koła!) poruszają się do przodu podczas jazdy po prostej drodze itp.
Innym prostym rodzajem ruchu jest ruch obrotowy ciało lub rotacja. Podczas ruchu obrotowego wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach, których środki leżą na linii prostej. Ta prosta nazywana jest osią obrotu (prosta 00" na rys. 9). Okręgi leżą w płaszczyznach równoległych prostopadłych do osi obrotu. Punkty ciała leżące na osi obrotu pozostają nieruchome. Obrót nie jest ruch translacyjny: gdy oś się obraca OO" . Pokazane trajektorie pozostają równoległe, jedynie linie proste równoległe do osi obrotu.
Absolutnie solidne ciało- drugi obiekt nośny mechaniki wraz z punktem materialnym.
Istnieje kilka definicji:
1. Ciało absolutnie sztywne jest modelową koncepcją mechaniki klasycznej, oznaczającą zbiór punktów materialnych, pomiędzy którymi zachowane są odległości podczas wszelkich ruchów wykonywanych przez to ciało. Innymi słowy, ciało absolutnie stałe nie tylko nie zmienia swojego kształtu, ale także utrzymuje niezmieniony rozkład masy wewnątrz.
2. Ciało absolutnie sztywne to układ mechaniczny, który ma tylko postępowe i obrotowe stopnie swobody. „Twardość” oznacza, że ciało nie może zostać odkształcone, to znaczy, że do ciała nie może zostać przekazana żadna inna energia niż energia kinetyczna ruchu postępowego lub obrotowego.
3. Ciało absolutnie sztywne to ciało (układ), którego względne położenie jakichkolwiek punktów nie zmienia się, bez względu na to, w jakich procesach uczestniczy.
W przestrzeni trójwymiarowej i przy braku połączeń ciało absolutnie sztywne ma 6 stopni swobody: trzy translacyjne i trzy obrotowe. Wyjątkiem jest cząsteczka dwuatomowa lub, w języku mechaniki klasycznej, lity pręt o zerowej grubości. Układ taki ma tylko dwa obrotowe stopnie swobody.
Koniec pracy -
Ten temat należy do działu:
Niepotwierdzona i nieobalona hipoteza nazywana jest problemem otwartym.
Fizyka jest ściśle związana z matematyką; matematyka dostarcza aparatu, za pomocą którego można precyzyjnie formułować prawa fizyczne. teoria rozważań greckich. standardowa metoda testowania teorii bezpośrednia weryfikacja eksperymentalna eksperymentalne kryterium prawdziwości jednak często
Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:
Co zrobimy z otrzymanym materiałem:
Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:
| Ćwierkać |
Wszystkie tematy w tym dziale:
Zasada względności w mechanice
Inercyjne układy odniesienia i zasada względności.
Transformacje Galileusza. Niezmienniki transformacji. Prędkości i przyspieszenia bezwzględne i względne. Postulaty specjalnej technologii
Ruch obrotowy punktu materialnego.
Ruch obrotowy punktu materialnego to ruch punktu materialnego po okręgu.
Ruch obrotowy jest rodzajem ruchu mechanicznego. Na
Zależność między wektorami prędkości liniowych i kątowych, przyspieszeń liniowych i kątowych.
Miara ruchu obrotowego: kąt φ, o który wektor promienia punktu obraca się w płaszczyźnie normalnej do osi obrotu.
Jednolity ruch obrotowy
Prędkość i przyspieszenie podczas ruchu zakrzywionego.
Ruch krzywoliniowy jest bardziej złożonym rodzajem ruchu niż ruch prostoliniowy, ponieważ nawet jeśli ruch odbywa się w płaszczyźnie, zmieniają się dwie współrzędne charakteryzujące położenie ciała. Prędkość i
Przyspieszenie podczas ruchu zakrzywionego.
Rozważając krzywoliniowy ruch ciała widzimy, że jego prędkość jest różna w różnych momentach. Nawet w przypadku, gdy wielkość prędkości się nie zmienia, nadal następuje zmiana kierunku prędkości
Równanie ruchu Newtona
(1) gdzie siła F w przypadku ogólnym
Środek masy
środek bezwładności, punkt geometryczny, którego położenie charakteryzuje rozkład mas w ciele lub układzie mechanicznym. Współrzędne masy centralnej określają wzory
Prawo ruchu środka masy.
Korzystając z prawa zmiany pędu otrzymujemy prawo ruchu środka masy: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Środek masy układu porusza się w taki sam sposób jak
Zegnij lekko stalową płytkę (na przykład piłę do metalu), a następnie po chwili ją zwolnij. Zobaczymy, że piła do metalu całkowicie (przynajmniej na pierwszy rzut oka) przywróci swój kształt. Jeśli weźmiemy
SIŁY ZEWNĘTRZNE I WEWNĘTRZNE
. W mechanice siły zewnętrzne w stosunku do danego układu punktów materialnych (czyli takiego zbioru punktów materialnych, w którym ruch każdego punktu zależy od położenia lub przemieszczenia wszystkich osi
Energia kinetyczna
energia układu mechanicznego, zależna od prędkości ruchu jego punktów. K. e. T punktu materialnego mierzy się jako połowę iloczynu masy m tego punktu i kwadratu jego prędkości
Energia kinetyczna.
Energia kinetyczna to energia poruszającego się ciała (od greckiego słowa kinema - ruch). Z definicji energia kinetyczna czegoś w spoczynku w danym układzie odniesienia
Wartość równa połowie iloczynu masy ciała i kwadratu jego prędkości.
=J.
Energia kinetyczna jest wielkością względną, zależną od wyboru CO, ponieważ prędkość ciała zależy od wyboru CO.
To.
moment siły
· Moment siły. Ryż. Chwila mocy. Ryż. Moment siły, wielkości
Energia kinetyczna obracającego się ciała
Energia kinetyczna jest wielkością addytywną. Zatem energia kinetyczna ciała poruszającego się w dowolny sposób jest równa sumie energii kinetycznych wszystkich n materiałów
Praca i moc podczas obrotu ciała sztywnego.
Praca i moc podczas obrotu ciała sztywnego.
Znajdźmy wyrażenie na pracę w temp
Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego
Zgodnie z równaniem (5.8) druga zasada Newtona dla ruchu obrotowego P W fizyce istnieje kilka kategorii wielkości: wektory i skalary. Co to jest wielkość wektorowa?
Wielkość wektorowa ma dwie główne cechy:
Jeśli weźmiemy pod uwagę wielkość wektorową niezależnie od kierunku, wówczas taki odcinek można zmierzyć. Ale wynikowy wynik będzie odzwierciedlał tylko częściowe cechy ilości. Aby w pełni to zmierzyć, wartość należy uzupełnić o inne parametry segmentu kierunkowego.
W algebrze wektorowej istnieje pojęcie wektor zerowy. To pojęcie oznacza punkt. Jeśli chodzi o kierunek wektora zerowego, uważa się go za niepewny. Do oznaczenia wektora zerowego stosuje się zero arytmetyczne, pisane pogrubioną czcionką.
Jeśli przeanalizujemy wszystkie powyższe, możemy stwierdzić, że wszystkie skierowane segmenty definiują wektory. Dwa segmenty zdefiniują jeden wektor tylko wtedy, gdy są równe. Przy porównywaniu wektorów obowiązuje ta sama zasada, co przy porównywaniu wielkości skalarnych. Równość oznacza całkowitą zgodę pod każdym względem.
Co to jest wielkość skalarna?
W przeciwieństwie do wektora wielkość skalarna ma tylko jeden parametr – ten jego wartość liczbową. Warto zaznaczyć, że analizowana wartość może mieć albo dodatnią wartość liczbową, albo ujemną.
Przykładami są masa, napięcie, częstotliwość lub temperatura. Mając takie wielkości można wykonywać różne operacje arytmetyczne: dodawanie, dzielenie, odejmowanie, mnożenie. Wielkość skalarna nie ma takiej cechy jak kierunek.
Wielkość skalarna jest mierzona wartością liczbową, dzięki czemu można ją wyświetlić na osi współrzędnych. Przykładowo bardzo często konstruowana jest oś przebytej drogi, temperatury czy czasu.
Główne różnice pomiędzy wielkościami skalarnymi i wektorowymi
Z podanych powyżej opisów jasno wynika, że główną różnicą między wielkościami wektorowymi a wielkościami skalarnymi jest ich cechy. Wielkość wektorowa ma kierunek i wielkość, podczas gdy wielkość skalarna ma tylko wartość liczbową. Oczywiście można zmierzyć wielkość wektorową, taką jak wielkość skalarną, ale taka charakterystyka nie będzie kompletna, ponieważ nie ma kierunku.
Aby lepiej wyobrazić sobie różnicę między wielkością skalarną a wielkością wektorową, należy podać przykład. Aby to zrobić, weźmy taki obszar wiedzy jak klimatologia. Jeśli powiemy, że wiatr wieje z prędkością 8 metrów na sekundę, to wprowadzona zostanie wielkość skalarna. Ale jeśli powiemy, że wiatr północny wieje z prędkością 8 metrów na sekundę, to mówimy o wartości wektora.
Wektory odgrywają ogromną rolę we współczesnej matematyce, a także w wielu dziedzinach mechaniki i fizyki. Większość wielkości fizycznych można przedstawić w postaci wektorów. Pozwala to na uogólnienie i znaczne uproszczenie stosowanych wzorów i wyników. Często wartości wektorów i wektory są ze sobą identyfikowane. Na przykład w fizyce możesz usłyszeć, że prędkość lub siła są wektorami.