Największa liczba całkowita. Największe liczby na świecie

„Widzę skupiska niewyraźnych liczb ukrytych w ciemności, za małą plamką światła, jaką daje świeca rozumu. Szepczą do siebie; spiskowanie na temat nie wiadomo czego. Być może nie bardzo nas lubią za to, że zatrzymujemy w pamięci ich młodszych braci. A może po prostu prowadzą tam, jednocyfrowe życie, wykraczające poza nasze zrozumienie.
Douglasa Raya

Prędzej czy później każdego dręczy pytanie, jaka jest największa liczba. Na pytania dziecka jest milion odpowiedzi. Co dalej? Bilion. A jeszcze dalej? Tak naprawdę odpowiedź na pytanie, jakie są największe liczby, jest prosta. Wystarczy, że do największej liczby dodasz jeden, a nie będzie ona już największa. Procedurę tę można kontynuować w nieskończoność.

Ale jeśli zadasz pytanie: jaka jest największa liczba, jaka istnieje i jaka jest jej właściwa nazwa?

Teraz dowiemy się wszystkiego...

Istnieją dwa systemy nazewnictwa numerów - amerykański i angielski.

System amerykański jest zbudowany dość prosto. Wszystkie nazwy dużych liczb są zbudowane w ten sposób: na początku znajduje się łacińska liczba porządkowa, a na końcu dodaje się do niej przyrostek -million. Wyjątkiem jest nazwa „milion”, która jest nazwą liczby tysiąc (łac. mile) i przyrostek powiększający -illion (patrz tabela). W ten sposób otrzymujemy liczby: bilion, kwadrylion, kwintylion, sekstylion, septylion, oktylion, nonillion i decylion. System amerykański stosowany jest w USA, Kanadzie, Francji i Rosji. Liczbę zer w liczbie zapisanej w systemie amerykańskim można sprawdzić za pomocą prostego wzoru 3 x + 3 (gdzie x jest cyfrą łacińską).

Angielski system nazewnictwa jest najpowszechniejszy na świecie. Stosowany jest na przykład w Wielkiej Brytanii i Hiszpanii, a także w większości byłych kolonii angielskich i hiszpańskich. Nazwy liczb w tym systemie są zbudowane w następujący sposób: w ten sposób: do cyfry łacińskiej dodawany jest przyrostek -million, kolejna liczba (1000 razy większa) jest budowana zgodnie z zasadą - ta sama cyfra łacińska, ale przyrostek - miliard. Oznacza to, że po bilionie w systemie angielskim następuje bilion, a dopiero potem biliard, po którym następuje biliard itd. Zatem biliard według systemu angielskiego i amerykańskiego to zupełnie różne liczby! Liczbę zer zapisaną zgodnie z systemem angielskim i kończącą się przyrostkiem -million można znaleźć, korzystając ze wzoru 6 x + 3 (gdzie x jest cyfrą łacińską) i korzystając ze wzoru 6 x + 6 dla liczb kończąc na - miliard.

Jedynie liczba miliard (10 9) przeszła z systemu angielskiego na język rosyjski, który jednak bardziej trafnie byłoby nazwać, jak nazywają to Amerykanie, miliardem, ponieważ przyjęliśmy system amerykański. Ale kto w naszym kraju robi cokolwiek zgodnie z przepisami! ;-) Swoją drogą, czasami w języku rosyjskim używa się słowa bilion (można się o tym przekonać, szukając w Google lub Yandexie) i najwyraźniej oznacza ono 1000 bilionów, tj. kwadrylion.

Oprócz liczb zapisywanych z użyciem przedrostków łacińskich według systemu amerykańskiego lub angielskiego znane są także tzw. liczby niesystemowe, tj. liczby, które mają własne nazwy bez żadnych przedrostków łacińskich. Takich liczb jest kilka, ale opowiem o nich więcej nieco później.

Wróćmy do pisania za pomocą cyfr łacińskich. Wydawałoby się, że potrafią zapisywać liczby w nieskończoność, ale nie jest to do końca prawdą. Teraz wyjaśnię dlaczego. Zobaczmy najpierw, jak nazywają się liczby od 1 do 10 33:

I teraz pojawia się pytanie, co dalej. Co kryje się za decylionem? W zasadzie możliwe jest oczywiście, poprzez łączenie przedrostków, wygenerowanie takich potworów jak: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ale będą to już nazwy złożone, a my zainteresowani numerami naszych imion. Dlatego zgodnie z tym systemem, oprócz wskazanych powyżej, nadal można uzyskać tylko trzy nazwy własne - vigintillion (od łac.viginti- dwadzieścia), centylion (od łac.centum- sto) i miliony (od łac.mile- tys.). Rzymianie nie mieli więcej niż tysiąc nazw własnych liczb (wszystkie liczby powyżej tysiąca były złożone). Na przykład Rzymianie nazywali milion (1 000 000)decies centena milia, czyli „dziesięćset tysięcy”. A teraz właściwie tabela:

Zatem według takiego systemu liczby są większe niż 10 3003 , który miałby własną, niezłożoną nazwę, jest niemożliwy do uzyskania! Niemniej jednak znane są liczby większe niż milion - są to te same liczby niesystemowe. Porozmawiajmy w końcu o nich.

Najmniejsza taka liczba to miriada (jest nawet w słowniku Dahla), co oznacza sto setek, czyli 10 000. To słowo jest jednak przestarzałe i praktycznie nieużywane, ale ciekawe, że słowo „miriady” jest powszechnie używane, nie oznacza wcale określonej liczby, ale nieprzeliczoną, niepoliczalną mnogość czegoś. Uważa się, że słowo niezliczone przyszło do języków europejskich ze starożytnego Egiptu.

Istnieją różne opinie na temat pochodzenia tej liczby. Niektórzy uważają, że pochodzi z Egiptu, inni uważają, że narodził się dopiero w starożytnej Grecji. Tak czy inaczej, niezliczona ilość zyskała sławę właśnie dzięki Grekom. Miriada była nazwą 10 000, ale nie było nazw dla liczb większych niż dziesięć tysięcy. Jednak w swojej notatce „Psammit” (czyli rachunku piasku) Archimedes pokazał, jak systematycznie konstruować i nazywać dowolnie duże liczby. W szczególności, umieszczając 10 000 (miriady) ziaren piasku w maku, stwierdza, że ​​we Wszechświecie (kula o średnicy niezliczonej średnicy Ziemi) zmieściłoby się (w naszym zapisie) nie więcej niż 10 63 ziarenka piasku Ciekawe, że współczesne obliczenia liczby atomów w widzialnym Wszechświecie prowadzą do liczby 10 67 (w sumie niezliczoną ilość razy więcej). Archimedes zaproponował następujące nazwy liczb:
1 miriada = 10 4 .
1 di-miriada = niezliczona ilość miriad = 10 8 .
1 tri-miriada = di-miriada di-miriada = 10 16 .
1 tetra-miriada = trzy-miriady trzy-miriady = 10 32 .
itp.

Google(od angielskiego googol) to liczba dziesięć do potęgi setnej, to znaczy jeden, po którym następuje sto zer. O „googolu” po raz pierwszy wspomniał amerykański matematyk Edward Kasner w 1938 roku w artykule „Nowe nazwy w matematyce” w styczniowym numerze czasopisma Scripta Mathematica. Według niego to jego dziewięcioletni bratanek Milton Sirotta zasugerował nazwanie tej dużej liczby „googolem”. Liczba ta stała się powszechnie znana dzięki wyszukiwarce nazwanej jej imieniem. Google. Należy pamiętać, że „Google” to nazwa marki, a googol to liczba.

Edwarda Kasnera.

W Internecie często można spotkać wzmiankę o tym - ale to nieprawda...

W słynnym traktacie buddyjskim Jaina Sutra, datowanym na 100 rok p.n.e., pojawia się ta liczba asankheja(z Chin asenzi- niepoliczalne), równe 10 140. Uważa się, że liczba ta jest równa liczbie cykli kosmicznych wymaganych do osiągnięcia nirwany.

Googolplex(Angielski) googolplex) - liczba również wymyślona przez Kasnera i jego siostrzeńca i oznaczająca jedynkę z googolem zer, czyli 10 10100 . Sam Kasner tak opisuje to „odkrycie”:

Mądre słowa wypowiadają dzieci co najmniej tak samo często, jak naukowcy. Nazwę „googol” wymyśliło dziecko (dziewięcioletni siostrzeniec doktora Kasnera), które poproszono o wymyślenie nazwy dla bardzo dużej liczby, a mianowicie 1 ze setką zer. Był tego pewien liczba ta nie była nieskończona, dlatego też było pewne, że musi mieć nazwę. Jednocześnie, gdy zasugerował „googol”, podał nazwę jeszcze większej liczby: „Googolplex jest znacznie większy niż googol”. ale wciąż jest skończona, jak szybko zauważył wynalazca nazwy.

Matematyka i wyobraźnia(1940) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Jeszcze większa liczba niż googolplex - Numer Skewesa (Numer Skewesa) został zaproponowany przez Skewesa w 1933 roku (Skewes. J. Londyn Matematyka. Towarzystwo 8, 277-283, 1933.) w udowadnianiu hipotezy Riemanna dotyczącej liczb pierwszych. To znaczy mi do pewnego stopnia mi do pewnego stopnia mi do potęgi 79, czyli ee mi 79 . Później te Riele, HJJ „Na znaku różnicy P(x)-Li(x).” Matematyka. Oblicz. 48, 323-328, 1987) zredukował liczbę Skuse do ee 27/4 , co jest w przybliżeniu równe 8,185·10 370. Oczywiste jest, że ponieważ wartość liczby Skuse zależy od liczby mi, to nie jest to liczba całkowita, więc nie będziemy jej rozważać, w przeciwnym razie musielibyśmy pamiętać inne liczby nienaturalne - liczbę pi, liczbę e itp.

Należy jednak zauważyć, że istnieje druga liczba Skuse, która w matematyce jest oznaczana jako Sk2, która jest nawet większa niż pierwsza liczba Skuse (Sk1). Drugi numer Skewesa, zostało wprowadzone przez J. Skuse w tym samym artykule w celu oznaczenia liczby, dla której nie obowiązuje hipoteza Riemanna. Sk2 równa się 1010 10103 , czyli 1010 101000 .

Jak rozumiesz, im więcej stopni, tym trudniej jest zrozumieć, która liczba jest większa. Na przykład, patrząc na liczby Skewesa, bez specjalnych obliczeń, prawie niemożliwe jest zrozumienie, która z tych dwóch liczb jest większa. Zatem w przypadku bardzo dużych liczb używanie potęg staje się niewygodne. Co więcej, możesz wymyślić takie liczby (a już je wymyślono), gdy stopnie stopni po prostu nie mieszczą się na stronie. Tak, jest to na stronie! Nie zmieszczą się nawet w książce wielkości całego Wszechświata! W takim przypadku pojawia się pytanie, jak je zapisać. Jak rozumiesz, problem można rozwiązać, a matematycy opracowali kilka zasad zapisywania takich liczb. To prawda, że ​​​​każdy matematyk, który pytał o ten problem, wymyślił własny sposób pisania, co doprowadziło do istnienia kilku, niepowiązanych ze sobą metod zapisywania liczb - są to oznaczenia Knutha, Conwaya, Steinhouse'a itp.

Rozważmy notację Hugo Stenhouse’a (H. Steinhaus. Matematyczne migawki, wyd. 3. 1983), co jest dość proste. Stein House zasugerował zapisywanie dużych liczb wewnątrz kształtów geometrycznych - trójkąta, kwadratu i koła:

Steinhouse wymyślił dwie nowe, bardzo duże liczby. Podał numer - Mega, a liczba jest Megiston.

Matematyk Leo Moser udoskonalił notację Stenhouse'a, co ograniczał fakt, że w przypadku konieczności zapisywania liczb znacznie większych od megistonu pojawiały się trudności i niedogodności, gdyż trzeba było narysować wiele okręgów jedno w drugim. Moser zasugerował, aby po kwadratach nie rysować kół, ale pięciokąty, potem sześciokąty i tak dalej. Zaproponował także formalny zapis tych wielokątów, aby można było zapisywać liczby bez rysowania skomplikowanych obrazów. Notacja Mosera wygląda tak:

Zatem zgodnie z notacją Mosera mega Steinhouse'a zapisuje się jako 2, a megiston jako 10. Ponadto Leo Moser zaproponował nazwanie wielokąta o liczbie boków równej mega - megagonowi. I zaproponował liczbę „2 w megagonie”, czyli 2. Liczba ta stała się znana jako liczba Mosera lub po prostu jako Mosera

Ale Moser nie jest największą liczbą. Największa liczba kiedykolwiek użyta w dowodzie matematycznym to granica znana jako Liczba Grahama(liczba Grahama), użyta po raz pierwszy w 1977 r. w dowodzie jednego oszacowania w teorii Ramseya. Jest ona powiązana z dwubarwnymi hipersześcianami i nie można jej wyrazić bez specjalnego 64-poziomowego systemu specjalnych symboli matematycznych wprowadzonego przez Knutha w 1976 r.

Niestety, liczby zapisanej w notacji Knutha nie można przekształcić na zapis przy użyciu systemu Mosera. Dlatego będziemy musieli wyjaśnić również ten system. W zasadzie też nie ma w tym nic skomplikowanego. Donald Knuth (tak, tak, to ten sam Knuth, który napisał „Sztukę programowania” i stworzył edytor TeX-owy) wpadł na koncepcję supermocy, którą zaproponował zapisanie strzałkami skierowanymi w górę:

Ogólnie wygląda to tak:

Myślę, że wszystko jest jasne, więc wróćmy do liczby Grahama. Graham zaproponował tak zwane liczby G:

Zaczęto wywoływać numer G63 Liczba Grahama(często jest oznaczony po prostu jako G). Liczba ta jest największą znaną liczbą na świecie i jest nawet wpisana do Księgi Rekordów Guinnessa. Cóż, liczba Grahama jest większa niż liczba Mosera.

P.S. Aby przynieść wielkie korzyści całej ludzkości i zyskać sławę na przestrzeni wieków, postanowiłem sam wymyślić i nazwać największą liczbę. Numer ten zostanie wywołany stasplex i jest równa liczbie G100. Zapamiętajcie to, a gdy Wasze dzieci zapytają, jaka jest największa liczba na świecie, powiedzcie im, że ta liczba się nazywa stasplex

Czy istnieją liczby większe od liczby Grahama? Jest oczywiście na początek liczba Grahama. Jeśli chodzi o znaczną liczbę... cóż, istnieją pewne diabelnie złożone obszary matematyki (szczególnie obszar znany jako kombinatoryka) i informatyki, w których występują liczby nawet większe niż liczba Grahama. Ale dotarliśmy już prawie do granicy tego, co można racjonalnie i jasno wyjaśnić.

Istnieją liczby tak niewiarygodnie, niewiarygodnie duże, że nawet spisanie ich zajęłoby cały wszechświat. Ale oto, co jest naprawdę szalone... niektóre z tych niewyobrażalnie dużych liczb są kluczowe dla zrozumienia świata.

Kiedy mówię „największa liczba we wszechświecie”, naprawdę mam na myśli największą istotne liczba, maksymalna możliwa liczba, która jest w jakiś sposób użyteczna. Kandydatów do tego tytułu jest wielu, ale od razu cię ostrzegam: naprawdę istnieje ryzyko, że próba rozwikłania tego wszystkiego zaskoczy cię. A poza tym, ze zbyt dużą ilością matematyki, nie będziesz się dobrze bawić.

Googol i googolplex

Edwarda Kasnera

Moglibyśmy zacząć od prawdopodobnie dwóch największych liczb, o jakich kiedykolwiek słyszeliście i rzeczywiście są to dwie największe liczby, które mają ogólnie przyjęte definicje w języku angielskim. (Istnieje dość precyzyjna nomenklatura używana do oznaczania liczb tak dużych, jak sobie tego życzysz, ale tych dwóch liczb nie znajdziesz obecnie w słownikach.) Googol, odkąd stał się sławny na całym świecie (aczkolwiek z błędami, uwaga. w rzeczywistości jest to googol ) w formie Google, powstał w 1920 roku jako sposób na zainteresowanie dzieci dużymi liczbami.

W tym celu Edward Kasner (na zdjęciu) zabrał swoich dwóch siostrzeńców, Miltona i Edwina Sirottów, na spacer po Palisades w New Jersey. Zaprosił ich do przedstawienia wszelkich pomysłów, a następnie dziewięcioletni Milton zasugerował „googol”. Nie wiadomo, skąd wziął to słowo, ale Kasner tak zdecydował lub liczba, w której po jednostce znajduje się sto zer, będzie odtąd nazywana googolem.

Ale młody Milton nie poprzestał na tym; zaproponował jeszcze większą liczbę, googolplex. Według Miltona jest to liczba, w której na pierwszym miejscu znajduje się 1, a następnie tyle zer, ile zdołasz zapisać, zanim się znudzisz. Chociaż pomysł jest fascynujący, Kasner zdecydował, że potrzebna jest bardziej formalna definicja. Jak wyjaśnił w swojej książce Matematyka i wyobraźnia z 1940 r., definicja Miltona pozostawia otwartą ryzykowną możliwość, że przypadkowy błazen mógłby zostać matematykiem przewyższającym Alberta Einsteina tylko dlatego, że ma większą wytrzymałość.

Zatem Kasner zdecydował, że googolplex będzie wynosił , czyli 1, a następnie googol zer. W przeciwnym razie, w notacji podobnej do tej, z którą będziemy mieli do czynienia w przypadku innych liczb, powiemy, że googolplex to . Aby pokazać, jakie to fascynujące, Carl Sagan zauważył kiedyś, że zapisanie wszystkich zer googolplexu jest fizycznie niemożliwe, ponieważ we wszechświecie po prostu nie ma wystarczającej ilości miejsca. Jeśli wypełnimy całą objętość obserwowalnego Wszechświata małymi cząsteczkami pyłu o wielkości około 1,5 mikrona, wówczas liczba różnych sposobów ułożenia tych cząstek będzie w przybliżeniu równa jednemu googolpleksowi.

Z językowego punktu widzenia googol i googolplex to prawdopodobnie dwie największe liczby znaczące (przynajmniej w języku angielskim), ale jak teraz ustalimy, istnieje nieskończenie wiele sposobów definiowania „znaczenia”.

Prawdziwy świat

Jeśli mówimy o największej liczbie znaczącej, istnieje rozsądny argument, że tak naprawdę oznacza to, że musimy znaleźć największą liczbę o wartości, która faktycznie istnieje na świecie. Możemy zacząć od obecnej populacji ludzkiej, która obecnie wynosi około 6920 milionów. Globalny PKB w 2010 roku oszacowano na około 61 960 miliardów dolarów, ale obie te liczby są nieistotne w porównaniu z około 100 bilionami komórek tworzących ludzkie ciało. Oczywiście żadnej z tych liczb nie da się porównać z całkowitą liczbą cząstek we Wszechświecie, która powszechnie uważa się za około , a liczba ta jest tak duża, że ​​w naszym języku nie ma na nią słowa.

Możemy pobawić się trochę systemami miar, zwiększając liczby. Zatem masa Słońca w tonach będzie mniejsza niż w funtach. Świetnym sposobem na osiągnięcie tego jest użycie układu jednostek Plancka, czyli najmniejszych możliwych miar, dla których nadal obowiązują prawa fizyki. Na przykład wiek Wszechświata w czasie Plancka wynosi ok. Jeśli cofniemy się do pierwszej jednostki czasu Plancka po Wielkim Wybuchu, zobaczymy, że gęstość Wszechświata wynosiła wtedy . Jest nas coraz więcej, a nawet nie dotarliśmy jeszcze do googola.

Największa liczba w jakimkolwiek zastosowaniu w świecie rzeczywistym – lub w tym przypadku w świecie rzeczywistym – to prawdopodobnie jedno z najnowszych szacunków liczby wszechświatów w wieloświecie. Liczba ta jest tak duża, że ​​ludzki mózg dosłownie nie będzie w stanie dostrzec wszystkich tych różnych wszechświatów, ponieważ mózg jest zdolny jedynie do tworzenia przybliżonych konfiguracji. W rzeczywistości liczba ta jest prawdopodobnie największą liczbą, która ma jakikolwiek praktyczny sens, chyba że weźmie się pod uwagę ideę wieloświata jako całości. Jednak nadal czai się tam znacznie większa liczba. Aby je jednak znaleźć, musimy wejść w dziedzinę czystej matematyki, a nie ma lepszego miejsca na rozpoczęcie niż liczby pierwsze.

Liczby pierwsze Mersenne’a

Częścią trudności jest znalezienie dobrej definicji „znaczącej” liczby. Jednym ze sposobów jest myślenie w kategoriach liczb pierwszych i złożonych. Liczba pierwsza, jak zapewne pamiętasz ze szkolnej matematyki, to dowolna liczba naturalna (uwaga nie równa się jeden), która dzieli się tylko przez siebie. Zatem i są liczbami pierwszymi, a i są liczbami złożonymi. Oznacza to, że dowolną liczbę złożoną można ostatecznie przedstawić za pomocą jej czynników pierwszych. W pewnym sensie liczba jest ważniejsza niż, powiedzmy, , ponieważ nie można jej wyrazić w kategoriach iloczynu mniejszych liczb.

Oczywiście możemy pojechać trochę dalej. na przykład jest właściwie po prostu , co oznacza, że ​​w hipotetycznym świecie, w którym nasza wiedza o liczbach ogranicza się do , matematyk nadal może wyrazić tę liczbę . Ale następna liczba jest liczbą pierwszą, co oznacza, że ​​jedynym sposobem jej wyrażenia jest bezpośrednia wiedza o jej istnieniu. Oznacza to, że największe znane liczby pierwsze odgrywają ważną rolę, ale, powiedzmy, googol – który ostatecznie jest tylko zbiorem liczb i , pomnożone przez siebie – w rzeczywistości nie. A ponieważ liczby pierwsze są w zasadzie losowe, nie wiadomo, jak przewidzieć, że niewiarygodnie duża liczba będzie w rzeczywistości liczbą pierwszą. Odkrywanie nowych liczb pierwszych do dziś jest trudnym przedsięwzięciem.

Matematycy starożytnej Grecji mieli koncepcję liczb pierwszych co najmniej już 500 rpne, a 2000 lat później ludzie nadal wiedzieli, które liczby są pierwsze tylko do około 750. Myśliciele z czasów Euklidesa dostrzegli możliwość uproszczenia, ale tak się nie stało dopóki matematycy renesansu nie mogli go naprawdę zastosować w praktyce. Liczby te znane są jako liczby Mersenne’a, nazwane na cześć XVII-wiecznego francuskiego naukowca Marina Mersenne’a. Pomysł jest dość prosty: liczba Mersenne'a to dowolna liczba w postaci . Na przykład , a ta liczba jest liczbą pierwszą, to samo dotyczy .

Wyznaczanie liczb pierwszych Mersenne’a jest znacznie szybsze i łatwiejsze niż jakikolwiek inny rodzaj liczb pierwszych, a komputery ciężko pracowały nad ich znalezieniem przez ostatnie sześć dekad. Do 1952 roku największą znaną liczbą pierwszą była liczba — liczba zawierająca cyfry. W tym samym roku komputer obliczył, że jest to liczba pierwsza, a liczba ta składa się z cyfr, co czyni ją znacznie większą niż googol.

Od tamtej pory komputery poszukiwały informacji i obecnie liczba Mersenne’a jest największą liczbą pierwszą znaną ludzkości. Odkryty w 2008 roku, oznacza liczbę liczącą prawie miliony cyfr. Jest to największa znana liczba, której nie można wyrazić w postaci mniejszych liczb. Jeśli potrzebujesz pomocy w znalezieniu jeszcze większej liczby Mersenne’a, Ty (i Twój komputer) zawsze możecie dołączyć do poszukiwań na stronie http://www.mersenne org /.

Numer Skewesa

Stanley Skews

Spójrzmy jeszcze raz na liczby pierwsze. Jak powiedziałem, zachowują się one zasadniczo źle, co oznacza, że ​​nie można przewidzieć, jaka będzie następna liczba pierwsza. Matematycy zmuszeni byli uciekać się do całkiem fantastycznych pomiarów, aby znaleźć sposób przewidywania przyszłych liczb pierwszych, nawet w jakiś mglisty sposób. Najbardziej udaną z tych prób jest prawdopodobnie funkcja liczenia liczb pierwszych, która została wynaleziona pod koniec XVIII wieku przez legendarnego matematyka Carla Friedricha Gaussa.

Oszczędzę ci bardziej skomplikowanej matematyki – i tak mamy jeszcze dużo przed sobą – ale istota tej funkcji jest następująca: dla dowolnej liczby całkowitej możesz oszacować, ile liczb pierwszych jest mniejszych od . Na przykład, jeśli , funkcja przewiduje, że powinny istnieć liczby pierwsze, jeśli powinny być liczby pierwsze mniejsze niż , a jeśli , to powinny istnieć mniejsze liczby pierwsze.

Układ liczb pierwszych jest rzeczywiście nieregularny i stanowi jedynie przybliżenie rzeczywistej liczby liczb pierwszych. W rzeczywistości wiemy, że istnieją liczby pierwsze mniejsze niż , liczby pierwsze mniejsze niż , i liczby pierwsze mniejsze niż . Jest to z pewnością doskonałe oszacowanie, ale zawsze jest to tylko oszacowanie... a dokładniej oszacowanie z góry.

We wszystkich znanych przypadkach aż do , funkcja znajdująca liczbę liczb pierwszych nieznacznie zawyża rzeczywistą liczbę liczb pierwszych mniejszych niż . Matematycy kiedyś myśleli, że tak będzie zawsze, w nieskończoność, i że z pewnością będzie to dotyczyło niektórych niewyobrażalnie ogromnych liczb, ale w 1914 roku John Edensor Littlewood udowodnił, że dla jakiejś nieznanej, niewyobrażalnie ogromnej liczby funkcja ta zacznie dawać mniej liczb pierwszych , a następnie będzie przełączać się pomiędzy górnym i dolnym oszacowaniem nieskończoną liczbę razy.

Polowanie było na początek gonitw, po czym pojawił się Stanley Skewes (patrz zdjęcie). W 1933 roku udowodnił, że górną granicą, gdy funkcja aproksymująca liczbę liczb pierwszych daje najpierw mniejszą wartość, jest liczba . Trudno jest naprawdę zrozumieć, nawet w najbardziej abstrakcyjnym sensie, co ta liczba faktycznie reprezentuje, a z tego punktu widzenia była to największa liczba, jaką kiedykolwiek wykorzystano w poważnym dowodzie matematycznym. Od tego czasu matematycy byli w stanie zredukować górną granicę do stosunkowo małej liczby, ale pierwotna liczba pozostaje znana jako liczba Skewesa.

Jak duża jest liczba, która przyćmiewa nawet potężny googolplex? W The Penguin Dictionary of Curious and Interest Numbers David Wells opisuje jeden ze sposobów, w jaki matematyk Hardy był w stanie wyobrazić sobie wielkość liczby Skuse:

„Hardy uważał, że jest to „największa liczba, jaką kiedykolwiek wykorzystano w jakimkolwiek konkretnym celu w matematyce” i zasugerował, że gdyby rozgrywać partię szachów ze wszystkimi cząsteczkami wszechświata jako pionkami, jeden ruch polegałby na zamianie dwóch cząstek, a gra zakończy się, gdy ta sama pozycja zostanie powtórzona po raz trzeci, wówczas liczba wszystkich możliwych partii będzie w przybliżeniu równa liczbie Skuse.

Ostatnia rzecz, zanim przejdziemy dalej: rozmawialiśmy o mniejszej z dwóch liczb Skewesa. Istnieje jeszcze jedna liczba Skuse, którą matematyk odkrył w 1955 roku. Pierwsza liczba wynika z faktu, że prawdziwa jest tzw. hipoteza Riemanna – jest to hipoteza szczególnie trudna w matematyce, która pozostaje niepotwierdzona, bardzo przydatna w przypadku liczb pierwszych. Jeśli jednak hipoteza Riemanna jest fałszywa, Skuse stwierdził, że punkt początkowy skoków wzrasta do .

Problem wielkości

Zanim przejdziemy do liczby, która sprawia, że ​​nawet liczba Skewesa wydaje się niewielka, musimy porozmawiać trochę o skali, bo w przeciwnym razie nie będziemy w stanie ocenić, dokąd zmierzamy. Najpierw weźmy liczbę – jest to niewielka liczba, tak mała, że ​​ludzie mogą intuicyjnie zrozumieć, co ona oznacza. Bardzo niewiele liczb pasuje do tego opisu, ponieważ liczby większe niż sześć przestają być liczbami oddzielnymi i stają się „kiloma”, „wieloma” itp.

Weźmy teraz, tj. . Chociaż w rzeczywistości nie jesteśmy w stanie intuicyjnie, tak jak zrobiliśmy to w przypadku liczby, zrozumieć, co to jest, bardzo łatwo jest sobie wyobrazić, co to jest. Na razie w porządku. Ale co się stanie, jeśli przejdziemy do ? To jest równe , lub . Daleko nam do wyobrażenia sobie tej ilości, jak każdej innej bardzo dużej - tracimy zdolność pojmowania poszczególnych części gdzieś w okolicach miliona. (Co prawda doliczenie do miliona zajęłoby niesamowicie dużo czasu, ale chodzi o to, że wciąż jesteśmy w stanie dostrzec tę liczbę.)

Jednak choć nie możemy sobie tego wyobrazić, jesteśmy przynajmniej w stanie ogólnie zrozumieć, czym jest 7600 miliardów, być może porównując to do czegoś na kształt PKB USA. Przeszliśmy od intuicji przez reprezentację do prostego zrozumienia, ale przynajmniej nadal mamy pewną lukę w naszym rozumieniu tego, czym jest liczba. To się wkrótce zmieni, gdy wspinamy się o kolejny szczebel w drabinie.

W tym celu należy przejść do notacji wprowadzonej przez Donalda Knutha, zwanej notacją strzałkową. Notację tę można zapisać jako . Kiedy następnie przejdziemy do , otrzymamy liczbę . To jest równe sumie trójek. Obecnie znacznie i naprawdę przekroczyliśmy wszystkie inne liczby, o których już mówiliśmy. Przecież nawet największy z nich miał w szeregu wskaźników zaledwie trzy, cztery wyrazy. Na przykład nawet liczba super-Skuse jest „tylko” – nawet po uwzględnieniu faktu, że zarówno podstawa, jak i wykładniki są znacznie większe niż , to wciąż zupełnie nic w porównaniu z rozmiarem wieży liczbowej liczącej miliard członków .

Oczywiście nie da się pojąć tak ogromnych liczb... a jednak proces ich powstawania jest nadal możliwy do zrozumienia. Nie mogliśmy zrozumieć rzeczywistej ilości, jaką podaje wieża mocy z miliardem trójek, ale w zasadzie możemy sobie wyobrazić taką wieżę z wieloma terminami, a naprawdę przyzwoity superkomputer byłby w stanie przechowywać takie wieże w pamięci, nawet jeśli nie udało się obliczyć ich rzeczywistych wartości.

To staje się coraz bardziej abstrakcyjne, ale będzie tylko gorzej. Można by pomyśleć, że jest to wieża stopni, której wykładnik ma taką samą długość (właściwie w poprzedniej wersji tego wpisu popełniłem dokładnie ten błąd), ale jest to proste. Innymi słowy, wyobraź sobie, że możesz obliczyć dokładną wartość wieży mocy złożonej z trójek, która składa się z elementów, a następnie wziąłeś tę wartość i stworzyłeś nową wieżę z taką liczbą elementów, jak... to daje .

Powtórz ten proces z każdym kolejnym numerem ( notatka zaczynając od prawej), aż zrobisz to kilka razy, a potem w końcu otrzymasz . Jest to liczba, która jest po prostu niewiarygodnie duża, ale przynajmniej kroki, aby ją uzyskać, wydają się zrozumiałe, jeśli robisz wszystko bardzo powoli. Nie możemy już zrozumieć liczb ani wyobrazić sobie procedury ich uzyskiwania, ale przynajmniej możemy zrozumieć podstawowy algorytm, tylko w wystarczająco długim czasie.

Teraz przygotujmy umysł na naprawdę mocne uderzenie.

Liczba Grahama (Graham)

Ronalda Grahama

W ten sposób otrzymujesz liczbę Grahama, która znajduje się w Księdze Rekordów Guinnessa jako największa liczba kiedykolwiek użyta w dowodzie matematycznym. Absolutnie nie da się sobie wyobrazić, jak duży jest, i równie trudno dokładnie wyjaśnić, co to jest. Zasadniczo liczba Grahama pojawia się w przypadku hipersześcianów, które są teoretycznymi kształtami geometrycznymi o więcej niż trzech wymiarach. Matematyk Ronald Graham (patrz zdjęcie) chciał się dowiedzieć, przy jakiej najmniejszej liczbie wymiarów pewne właściwości hipersześcianu pozostaną stabilne. (Przepraszam za tak niejasne wyjaśnienie, ale jestem pewien, że wszyscy musimy zdobyć co najmniej dwa stopnie z matematyki, aby było to dokładniejsze.)

W każdym razie liczba Grahama jest górnym oszacowaniem tej minimalnej liczby wymiarów. Jak duża jest ta górna granica? Wróćmy do liczby tak dużej, że możemy jedynie niejasno zrozumieć algorytm jej uzyskania. Teraz zamiast po prostu przeskakiwać o jeden poziom więcej do , policzymy liczbę ze strzałkami pomiędzy pierwszą a ostatnią trójką. Jesteśmy teraz daleko poza nawet najmniejszym zrozumieniem, czym jest ta liczba, ani nawet tym, co musimy zrobić, aby ją obliczyć.

Teraz powtórzmy ten proces raz ( notatka w każdym kolejnym kroku zapisujemy liczbę strzałek równą liczbie uzyskanej w poprzednim kroku).

To, panie i panowie, jest liczba Grahama, która jest o rząd wielkości wyższa niż punkt ludzkiego zrozumienia. Jest to liczba o wiele większa niż jakakolwiek liczba, jaką możesz sobie wyobrazić – o wiele większa niż jakakolwiek nieskończoność, jaką możesz sobie wyobrazić – po prostu wymyka się nawet najbardziej abstrakcyjnemu opisowi.

Ale tutaj jest dziwna rzecz. Ponieważ liczba Grahama to w zasadzie po prostu trojaczki pomnożone przez siebie, znamy niektóre jej właściwości, bez konieczności ich obliczania. Nie możemy przedstawić liczby Grahama w żadnej znanej notacji, nawet jeśli do jej zapisania użylibyśmy całego wszechświata, ale mogę teraz podać ostatnie dwanaście cyfr liczby Grahama: . A to nie wszystko: znamy przynajmniej ostatnie cyfry numeru Grahama.

Oczywiście warto pamiętać, że liczba ta stanowi jedynie górną granicę pierwotnego problemu Grahama. Jest całkiem możliwe, że rzeczywista liczba pomiarów wymaganych do osiągnięcia pożądanej właściwości jest znacznie, znacznie mniejsza. Tak naprawdę od lat 80. XX wieku, zdaniem większości ekspertów w tej dziedzinie, panuje przekonanie, że tak naprawdę istnieje tylko sześć wymiarów – liczba tak mała, że ​​możemy ją zrozumieć intuicyjnie. Od tego czasu dolna granica została podniesiona do , ale nadal istnieje bardzo duża szansa, że ​​rozwiązanie problemu Grahama nie będzie znajdować się w pobliżu liczby tak dużej jak liczba Grahama.

W stronę nieskończoności

Czy istnieją liczby większe od liczby Grahama? Jest oczywiście na początek liczba Grahama. Jeśli chodzi o znaczną liczbę... cóż, istnieją pewne diabelnie złożone obszary matematyki (szczególnie obszar znany jako kombinatoryka) i informatyki, w których występują liczby nawet większe niż liczba Grahama. Ale prawie osiągnęliśmy granicę tego, co, mam nadzieję, zostanie kiedykolwiek racjonalnie wyjaśnione. Tym, którzy są na tyle odważni, aby pójść jeszcze dalej, zaleca się dalszą lekturę na własne ryzyko.

Cóż, teraz niesamowity cytat przypisywany Douglasowi Rayowi ( notatka Szczerze mówiąc, brzmi to dość zabawnie:

„Widzę skupiska niewyraźnych liczb ukrytych w ciemności, za małą plamką światła, jaką daje świeca rozumu. Szepczą do siebie; spiskowanie na temat nie wiadomo czego. Być może nie bardzo nas lubią za to, że zatrzymujemy w pamięci ich młodszych braci. A może po prostu prowadzą tam, jednocyfrowe życie, wykraczające poza nasze zrozumienie.

Świat nauki jest po prostu niesamowity swoją wiedzą. Jednak nawet najbardziej błyskotliwa osoba na świecie nie będzie w stanie ich wszystkich pojąć. Ale trzeba do tego dążyć. Dlatego w tym artykule chcę dowiedzieć się, jaka jest największa liczba.

O systemach

Przede wszystkim trzeba powiedzieć, że na świecie istnieją dwa systemy nazewnictwa liczb: amerykański i angielski. W zależności od tego tę samą liczbę można nazwać inaczej, chociaż ma to samo znaczenie. I na samym początku musisz poradzić sobie z tymi niuansami, aby uniknąć niepewności i zamieszania.

System amerykański

Ciekawe będzie, że system ten jest używany nie tylko w Ameryce i Kanadzie, ale także w Rosji. Ponadto ma również własną nazwę naukową: system nazewnictwa liczb o krótkiej skali. Jak w tym systemie nazywane są duże liczby? Sekret jest więc dość prosty. Na samym początku będzie łacińska liczba porządkowa, po której zostanie po prostu dodany dobrze znany przyrostek „-milion”. Interesujący będzie następujący fakt: w tłumaczeniu z łaciny liczbę „milion” można przetłumaczyć jako „tysiące”. Do systemu amerykańskiego należą następujące liczby: bilion to 10 12, kwintylion to 10 18, oktylion to 10 27 itd. Łatwo będzie również dowiedzieć się, ile zer jest zapisanych w liczbie. Aby to zrobić, musisz znać prosty wzór: 3*x + 3 (gdzie „x” we wzorze jest cyfrą łacińską).

System angielski

Jednak pomimo prostoty systemu amerykańskiego, w dalszym ciągu bardziej rozpowszechniony na świecie jest system angielski, będący systemem nazewnictwa liczb o długiej skali. Od 1948 roku używano go w takich krajach jak Francja, Wielka Brytania, Hiszpania, a także w krajach będących byłymi koloniami Anglii i Hiszpanii. Konstrukcja liczb jest tutaj również dość prosta: do oznaczenia łacińskiego dodaje się przyrostek „-milion”. Ponadto, jeśli liczba jest 1000 razy większa, dodawany jest przyrostek „-miliard”. Jak sprawdzić liczbę ukrytych zer w liczbie?

1. Jeśli liczba kończy się na „-milion”, będziesz potrzebować wzoru 6*x + 3 („x” to cyfra łacińska).
2. Jeśli liczba kończy się na „-miliard”, będziesz potrzebować wzoru 6 * x + 6 (gdzie „x” ponownie jest cyfrą łacińską).

Przykłady

Na tym etapie możemy jako przykład rozważyć, jak będą wywoływane te same liczby, ale w innej skali.

Łatwo zauważyć, że ta sama nazwa w różnych systemach oznacza różne liczby. Na przykład bilion. Dlatego rozważając liczbę, nadal musisz najpierw dowiedzieć się, w jakim systemie jest ona zapisana.

Numery pozasystemowe

Warto powiedzieć, że oprócz systemowych istnieją również liczby niesystemowe. Być może wśród nich zginęło najwięcej? Warto się temu przyjrzeć.

1. Googol. Jest to liczba dziesięć do potęgi setnej, czyli jedna, po której następuje sto zer (10 100). Liczba ta została po raz pierwszy wspomniana w 1938 roku przez naukowca Edwarda Kasnera. Bardzo interesujący fakt: nazwa światowej wyszukiwarki Google pochodzi od dość dużej wówczas liczby - googol. A nazwę wymyślił młody siostrzeniec Kasnera.
2. Asankheja. To bardzo interesująca nazwa, którą z sanskrytu tłumaczy się jako „niezliczona”. Jego wartość liczbowa to jeden ze 140 zerami - 10 140. Interesujący będzie następujący fakt: ludzie wiedzieli o tym już w 100 roku p.n.e. e., o czym świadczy wpis w Jaina Sutra, słynnym traktacie buddyjskim. Liczbę tę uznawano za szczególną, gdyż wierzono, że do osiągnięcia nirwany potrzebna jest taka sama liczba cykli kosmicznych. Również w tym czasie liczbę tę uważano za największą.
3. Googolplex. Numer ten wymyślił ten sam Edward Kasner i jego wspomniany siostrzeniec. Jego oznaczenie liczbowe to dziesięć do potęgi dziesiątej, która z kolei składa się z potęgi setnej (tj. dziesięciu do potęgi googolplex). Naukowiec powiedział również, że w ten sposób można uzyskać dowolną liczbę: googoltetraplex, googolhexaplex, googoloctaplex, googoldecaplex itp.
4. Liczba Grahama to G. To największa liczba, uznana za taką w niedawnym 1980 roku przez Księgę Rekordów Guinnessa. Jest znacznie większy niż googolplex i jego pochodne. A naukowcy powiedzieli nawet, że cały Wszechświat nie jest w stanie pomieścić całego zapisu dziesiętnego liczby Grahama.
5. Liczba Mosera, liczba Skewesa. Liczby te są również uważane za jedne z największych i są najczęściej wykorzystywane przy rozwiązywaniu różnych hipotez i twierdzeń. A ponieważ liczb tych nie można zapisać przy użyciu ogólnie przyjętych praw, każdy naukowiec robi to na swój sposób.

Najnowsze osiągnięcia

Jednak nadal warto powiedzieć, że doskonałość nie ma granic. I wielu naukowców wierzyło i nadal wierzy, że największej liczby nie udało się jeszcze znaleźć. I oczywiście zaszczyt zrobienia tego spadnie na nich. Nad tym projektem długo pracował amerykański naukowiec z Missouri, a jego praca została uwieńczona sukcesem. 25 stycznia 2012 roku znalazł nową największą liczbę na świecie, która składa się z siedemnastu milionów cyfr (co stanowi 49. liczbę Mersenne'a). Uwaga: do tej pory za największą liczbę uznawano tę, którą komputer znalazł w 2008 roku; liczyła ona 12 tysięcy cyfr i wyglądała następująco: 2 43112609 - 1.

Nie po raz pierwszy

Warto powiedzieć, że zostało to potwierdzone przez badaczy naukowych. Liczba ta przeszła trzy poziomy weryfikacji przez trzech naukowców na różnych komputerach, co zajęło pełne 39 dni. Nie jest to jednak pierwsze osiągnięcie w tego typu poszukiwaniach amerykańskiego naukowca. Największe liczby pokazywał już wcześniej. Miało to miejsce w latach 2005 i 2006. W 2008 roku komputer przerwał passę zwycięstw Curtisa Coopera, jednak w 2012 roku odzyskał on palmę pierwszeństwa i zasłużony tytuł odkrywcy.

O systemie

Jak to wszystko się dzieje, jak naukowcy znajdują największe liczby? Dlatego dzisiaj większość pracy wykonuje komputer. W tym przypadku Cooper zastosował przetwarzanie rozproszone. Co to znaczy? Obliczenia te dokonują programy instalowane na komputerach internautów, którzy dobrowolnie zdecydowali się wziąć udział w badaniu. W ramach tego projektu zdefiniowano 14 liczb Mersenne'a, nazwanych na cześć francuskiego matematyka (są to liczby pierwsze, które dzielą się tylko przez siebie i jeden). W formie wzoru wygląda to następująco: M n = 2 n - 1 („n” w tym wzorze jest liczbą naturalną).

O bonusach

Może pojawić się logiczne pytanie: co skłania naukowców do pracy w tym kierunku? Jest to więc oczywiście pasja i chęć bycia pionierem. Jednak i tutaj są bonusy: Curtis Cooper otrzymał za swoje dzieło nagrodę pieniężną w wysokości 3000 dolarów. Ale to nie wszystko. Fundacja Electronic Frontier Foundation (EFF) zachęca do takich poszukiwań i obiecuje natychmiastowe przyznanie nagród pieniężnych w wysokości 150 000 i 250 000 dolarów tym, którzy zgłoszą liczby pierwsze składające się ze 100 milionów i miliarda liczb. Nie ma więc wątpliwości, że ogromna liczba naukowców na całym świecie pracuje dziś w tym kierunku.

Proste wnioski

Jaka jest więc dzisiaj największa liczba? W tej chwili odkrył go amerykański naukowiec z Uniwersytetu Missouri Curtis Cooper, który można zapisać następująco: 2 57885161 - 1. Co więcej, jest to także 48. liczba francuskiego matematyka Mersenne'a. Ale warto powiedzieć, że tym poszukiwaniom nie będzie końca. I nie będzie zaskoczeniem, jeśli po pewnym czasie naukowcy przedstawią nam do rozpatrzenia kolejną nowo odkrytą największą liczbę na świecie. Nie ma wątpliwości, że stanie się to w najbliższej przyszłości.