Rozwiązać układ równań macierzowych metodą Cramera. Reguła Cramera. Metoda macierzy odwrotnej

Metody Kramera I Gaus- jedna z najpopularniejszych metod rozwiązywania SLAU. Ponadto w niektórych przypadkach wskazane jest zastosowanie określonych metod. Sesja dobiegła końca i nadszedł czas, aby je powtórzyć lub opanować od zera. Dziś przyjrzymy się rozwiązaniu wykorzystując metodę Cramera. W końcu rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Cramera jest bardzo przydatną umiejętnością.

Układy liniowych równań algebraicznych

Układ liniowych równań algebraicznych to układ równań postaci:

Zestaw wartości X , w którym równania układu zamieniają się w tożsamości, nazywa się rozwiązaniem układu, A I B są współczynnikami rzeczywistymi. Prosty układ składający się z dwóch równań z dwiema niewiadomymi można rozwiązać w głowie lub wyrażając jedną zmienną za pomocą drugiej. Ale w SLAE może znajdować się znacznie więcej niż dwie zmienne (xes) i tutaj proste manipulacje szkolne nie wystarczą. Co robić? Na przykład rozwiązuj SLAE metodą Cramera!

Niech więc system będzie się składał z N równania z N nieznany.

Taki system można zapisać w postaci macierzowej

Tutaj A – główna matryca systemu, X I B , odpowiednio, macierze kolumnowe nieznanych zmiennych i wolnych terminów.

Rozwiązywanie SLAE metodą Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy głównej nie jest równy zero (macierz nie jest osobliwa), układ można rozwiązać metodą Cramera.

Według metody Cramera rozwiązanie znajduje się za pomocą wzorów:

Tutaj delta jest wyznacznikiem macierzy głównej, oraz delta x n-ty – wyznacznik otrzymany z wyznacznika macierzy głównej poprzez zastąpienie n-tej kolumny kolumną wolnych wyrazów.

Na tym polega cała istota metody Cramera. Zastępując wartości znalezione za pomocą powyższych wzorów X w pożądany system, jesteśmy przekonani o poprawności (lub odwrotnie) naszego rozwiązania. Aby pomóc Państwu szybko ogarnąć istotę, poniżej podajemy przykład szczegółowego rozwiązania SLAE metodą Cramera:

Nawet jeśli nie uda Ci się za pierwszym razem, nie zniechęcaj się! Przy odrobinie praktyki zaczniesz łamać SLAU jak orzechy. Co więcej, teraz absolutnie nie trzeba zagłębiać się w notatnik, rozwiązywać uciążliwych obliczeń i zapisywać rdzeń. Możesz łatwo rozwiązać SLAE metodą Cramera online, po prostu podstawiając współczynniki do gotowego formularza. Możesz wypróbować kalkulator rozwiązań online, korzystając na przykład z metody Cramera, na tej stronie internetowej.

A jeśli system okaże się uparty i nie podda się, zawsze możesz zwrócić się do naszych autorów o pomoc np. Jeśli w systemie jest co najmniej 100 niewiadomych, na pewno rozwiążemy je poprawnie i na czas!

Aby opanować ten akapit, musisz umieć odkryć wyznaczniki „dwa na dwa” i „trzy na trzy”. Jeśli nie radzisz sobie z kwalifikacjami, przeanalizuj lekcję Jak obliczyć wyznacznik?

Najpierw przyjrzymy się bliżej regule Cramera dla układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Po co? – W końcu najprostszy układ można rozwiązać metodą szkolną, metodą dodawania semestrów!

Faktem jest, że choć czasami pojawia się takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże Ci zrozumieć, jak zastosować regułę Cramera w bardziej złożonym przypadku - układzie trzech równań z trzema niewiadomymi.

Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązać za pomocą reguły Cramera!

Rozważmy układ równań

W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik, tzw główny wyznacznik systemu.

Metoda Gaussa.

Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki:
I

W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczyć literą łacińską.

Pierwiastki równania znajdujemy za pomocą wzorów:
,

Przykład 7

Rozwiązać układ równań liniowych

Rozwiązanie: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże; po prawej stronie znajdują się ułamki dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest raczej rzadkim gościem w praktycznych zadaniach matematycznych; wziąłem ten system z problemu ekonometrycznego.

Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej, ale w tym przypadku prawdopodobnie skończysz z okropnymi fantazyjnymi ułamkami, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj również pojawią się te same ułamki.

Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera.

;

;

Odpowiedź: ,

Obydwa pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych.

Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie rozwiązuje się za pomocą gotowych formuł, jednak jest jedno zastrzeżenie. Stosując tę ​​metodę, obowiązkowy Fragmentem projektu zadania jest następujący fragment: „Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie”. W przeciwnym razie recenzent może ukarać Cię za brak szacunku do twierdzenia Cramera.

Sprawdzanie nie byłoby zbyteczne, co można wygodnie przeprowadzić na kalkulatorze: podstawiamy przybliżone wartości po lewej stronie każdego równania układu. W rezultacie przy niewielkim błędzie powinieneś otrzymać liczby znajdujące się po prawej stronie.

Przykład 8

Odpowiedź przedstaw w zwykłych ułamkach niewłaściwych. Sprawdź.

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (przykład ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).

Przejdźmy teraz do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi:

Znajdujemy główny wyznacznik systemu:

Jeśli , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W tym przypadku reguła Cramera nie pomoże; należy zastosować metodę Gaussa.

Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki:
, ,

I na koniec odpowiedź oblicza się za pomocą wzorów:

Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”; kolumna wolnych terminów „przechodzi” sekwencyjnie od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika.

Przykład 9

Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera.

Rozwiązanie: Rozwiążmy układ za pomocą wzorów Cramera.

co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Odpowiedź: .

Właściwie tutaj znowu nie ma nic specjalnego do komentowania, ponieważ rozwiązanie opiera się na gotowych formułach. Ale jest kilka komentarzy.

Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: .
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie masz pod ręką komputera, wykonaj następujące czynności:

1) W obliczeniach może wystąpić błąd. Gdy tylko napotkasz „złą” frakcję, natychmiast musisz to sprawdzić Czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie).

2) Jeśli w wyniku sprawdzenia nie zostaną wykryte żadne błędy, najprawdopodobniej w warunkach zadania wystąpiła literówka. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE przepracuj zadanie do końca, a potem koniecznie sprawdź i sporządzamy to na czystym koncie po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzanie odpowiedzi ułamkowej jest zadaniem nieprzyjemnym, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który bardzo lubi dawać minusy za takie bzdury jak . Sposób postępowania z ułamkami opisano szczegółowo w odpowiedzi na przykład 8.

Jeśli masz pod ręką komputer, skorzystaj z automatycznego programu do sprawdzenia, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najbardziej opłaca się skorzystać z programu od razu (nawet przed rozpoczęciem rozwiązania) od razu zobaczysz krok pośredni, w którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie układu metodą macierzową.

Druga uwaga. Czasami w równaniach zdarzają się układy, w których brakuje niektórych zmiennych, np.:

Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest prawidłowe i DOKŁADNE zapisanie głównego wyznacznika:
– w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie wyznaczników zerami zgodnie z wierszem (kolumną), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.

Przykład 10

Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (próbka ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).

Dla przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Przykład na żywo można zobaczyć w lekcji Właściwości wyznaczników. Zmniejszenie rzędu wyznacznika - pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Chociaż zadanie już bardzo przypomina but profesorski na piersi szczęśliwego studenta.

Rozwiązanie układu za pomocą macierzy odwrotnej

Metoda macierzy odwrotnej jest zasadniczo przypadkiem szczególnym równanie macierzowe(Zobacz przykład nr 3 z określonej lekcji).

Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwijać wyznaczniki, znajdować odwrotność macierzy i wykonywać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki będą udostępniane w miarę postępu wyjaśnień.

Przykład 11

Rozwiązać układ metodą macierzową

Rozwiązanie: Zapiszmy system w postaci macierzowej:
, Gdzie

Proszę spojrzeć na układ równań i macierzy. Myślę, że każdy rozumie zasadę, według której zapisujemy elementy do macierzy. Jedyna uwaga: gdyby w równaniach zabrakło jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby wstawić zera.

Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru:
, gdzie jest transponowaną macierzą uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.

Najpierw spójrzmy na wyznacznik:

Tutaj wyznacznik jest rozwijany w pierwszej linii.

Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku układ rozwiązuje się metodą eliminacji niewiadomych (metoda Gaussa).

Teraz musimy obliczyć 9 nieletnich i zapisać je w macierzy nieletnich

Odniesienie: Przydatne jest poznanie znaczenia podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer linii, w której znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element:

Oznacza to, że podwójny indeks dolny wskazuje, że element znajduje się w pierwszym rzędzie, trzeciej kolumnie i np. element znajduje się w 3 rzędach, 2 kolumnach

Podczas rozwiązywania lepiej szczegółowo opisać obliczenia nieletnich, choć przy pewnym doświadczeniu można przyzwyczaić się do ich obliczania z błędami ustnie.

W pierwszej części przyjrzeliśmy się materiałowi teoretycznemu, metodzie podstawieniowej, a także metodzie dodawania równań układu wyraz po członie. Polecam wszystkim, którzy weszli na stronę za pośrednictwem tej strony, przeczytanie pierwszej części. Być może dla niektórych zwiedzających materiał będzie zbyt prosty, ale w procesie rozwiązywania układów równań liniowych poczyniłem szereg bardzo ważnych komentarzy i wniosków dotyczących rozwiązywania problemów matematycznych w ogóle.

Teraz przeanalizujemy regułę Cramera, a także rozwiążemy układ równań liniowych za pomocą macierzy odwrotnej (metoda macierzowa). Wszystkie materiały są przedstawione w sposób prosty, szczegółowy i przejrzysty; prawie każdy czytelnik będzie mógł dowiedzieć się, jak rozwiązywać systemy za pomocą powyższych metod.

Najpierw przyjrzymy się bliżej regule Cramera dla układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Po co? – W końcu najprostszy układ można rozwiązać metodą szkolną, metodą dodawania semestrów!

Faktem jest, że choć czasami pojawia się takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże Ci zrozumieć, jak zastosować regułę Cramera w bardziej złożonym przypadku - układzie trzech równań z trzema niewiadomymi.

Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązać za pomocą reguły Cramera!

Rozważmy układ równań

W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik, tzw główny wyznacznik systemu.

Metoda Gaussa.

Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki:
I

W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczyć literą łacińską.

Pierwiastki równania znajdujemy za pomocą wzorów:
,

Przykład 7

Rozwiązać układ równań liniowych

Rozwiązanie: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże; po prawej stronie znajdują się ułamki dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest raczej rzadkim gościem w praktycznych zadaniach matematycznych; wziąłem ten system z problemu ekonometrycznego.

Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej, ale w tym przypadku prawdopodobnie skończysz z okropnymi fantazyjnymi ułamkami, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj również pojawią się te same ułamki.

Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera.

;

;

Odpowiedź: ,

Obydwa pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych.

Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie rozwiązuje się za pomocą gotowych formuł, jednak jest jedno zastrzeżenie. Stosując tę ​​metodę, obowiązkowy Fragmentem projektu zadania jest następujący fragment: „Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie”. W przeciwnym razie recenzent może ukarać Cię za brak szacunku do twierdzenia Cramera.

Sprawdzanie nie byłoby zbyteczne, co można wygodnie przeprowadzić na kalkulatorze: podstawiamy przybliżone wartości po lewej stronie każdego równania układu. W rezultacie przy niewielkim błędzie powinieneś otrzymać liczby znajdujące się po prawej stronie.

Przykład 8

Odpowiedź przedstaw w zwykłych ułamkach niewłaściwych. Sprawdź.

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (przykład ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).

Przejdźmy teraz do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi:

Znajdujemy główny wyznacznik systemu:

Jeśli , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W tym przypadku reguła Cramera nie pomoże; należy zastosować metodę Gaussa.

Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki:
, ,

I na koniec odpowiedź oblicza się za pomocą wzorów:

Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”; kolumna wolnych terminów „przechodzi” sekwencyjnie od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika.

Przykład 9

Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera.

Rozwiązanie: Rozwiążmy układ za pomocą wzorów Cramera.

co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Odpowiedź: .

Właściwie tutaj znowu nie ma nic specjalnego do komentowania, ponieważ rozwiązanie opiera się na gotowych formułach. Ale jest kilka komentarzy.

Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: .
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie masz pod ręką komputera, wykonaj następujące czynności:

1) W obliczeniach może wystąpić błąd. Gdy tylko napotkasz „złą” frakcję, natychmiast musisz to sprawdzić Czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie).

2) Jeśli w wyniku sprawdzenia nie zostaną wykryte żadne błędy, najprawdopodobniej w warunkach zadania wystąpiła literówka. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE przepracuj zadanie do końca, a potem koniecznie sprawdź i sporządzamy to na czystym koncie po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzanie odpowiedzi ułamkowej jest zadaniem nieprzyjemnym, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który bardzo lubi dawać minusy za takie bzdury jak . Sposób postępowania z ułamkami opisano szczegółowo w odpowiedzi na przykład 8.

Jeśli masz pod ręką komputer, skorzystaj z automatycznego programu do sprawdzenia, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najbardziej opłaca się skorzystać z programu od razu (nawet przed rozpoczęciem rozwiązania) od razu zobaczysz krok pośredni, w którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie układu metodą macierzową.

Druga uwaga. Czasami w równaniach zdarzają się układy, w których brakuje niektórych zmiennych, np.:

Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest prawidłowe i DOKŁADNE zapisanie głównego wyznacznika:
– w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie wyznaczników zerami zgodnie z wierszem (kolumną), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.

Przykład 10

Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (próbka ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).

Dla przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Przykład na żywo można zobaczyć w lekcji Właściwości wyznaczników. Zmniejszenie rzędu wyznacznika - pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Chociaż zadanie już bardzo przypomina but profesorski na piersi szczęśliwego studenta.

Rozwiązanie układu za pomocą macierzy odwrotnej

Metoda macierzy odwrotnej jest zasadniczo przypadkiem szczególnym równanie macierzowe(Zobacz przykład nr 3 z określonej lekcji).

Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwijać wyznaczniki, znajdować odwrotność macierzy i wykonywać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki będą udostępniane w miarę postępu wyjaśnień.

Przykład 11

Rozwiązać układ metodą macierzową

Rozwiązanie: Zapiszmy system w postaci macierzowej:
, Gdzie

Proszę spojrzeć na układ równań i macierzy. Myślę, że każdy rozumie zasadę, według której zapisujemy elementy do macierzy. Jedyna uwaga: gdyby w równaniach zabrakło jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby wstawić zera.

Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru:
, gdzie jest transponowaną macierzą uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy.

Najpierw spójrzmy na wyznacznik:

Tutaj wyznacznik jest rozwijany w pierwszej linii.

Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku układ rozwiązuje się metodą eliminacji niewiadomych (metoda Gaussa).

Teraz musimy obliczyć 9 nieletnich i zapisać je w macierzy nieletnich

Odniesienie: Przydatne jest poznanie znaczenia podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer linii, w której znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element:

Oznacza to, że podwójny indeks dolny wskazuje, że element znajduje się w pierwszym rzędzie, trzeciej kolumnie i np. element znajduje się w 3 rzędach, 2 kolumnach

Metoda Cramera lub tzw. reguła Cramera to metoda wyszukiwania nieznanych wielkości z układów równań. Można go zastosować tylko wtedy, gdy liczba poszukiwanych wartości jest równa liczbie równań algebraicznych w układzie, czyli główna macierz utworzona z układu musi być kwadratowa i nie zawierać wierszy zerowych, a także jeśli jej wyznacznik musi nie być zerem.

Twierdzenie 1

Twierdzenie Cramera Jeżeli wyznacznik główny $D$ macierzy głównej, obliczony na podstawie współczynników równań, nie jest równy zero, to układ równań jest spójny i ma jednoznaczne rozwiązanie. Rozwiązanie takiego układu oblicza się za pomocą tzw. wzorów Cramera na rozwiązywanie układów równań liniowych: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Na czym polega metoda Cramera?

Istota metody Cramera jest następująca:

1. Aby znaleźć rozwiązanie układu metodą Cramera, najpierw obliczamy główny wyznacznik macierzy $D$. Jeżeli obliczony wyznacznik macierzy głównej, obliczony metodą Cramera, okaże się równy zeru, to układ nie ma jednego rozwiązania lub ma nieskończoną liczbę rozwiązań. W takim przypadku, aby znaleźć ogólną lub podstawową odpowiedź dla układu, zaleca się skorzystanie z metody Gaussa.
2. Następnie należy zastąpić najbardziej zewnętrzną kolumnę macierzy głównej kolumną wolnych wyrazów i obliczyć wyznacznik $D_1$.
3. Powtórz to samo dla wszystkich kolumn, uzyskując wyznaczniki od $D_1$ do $D_n$, gdzie $n$ to numer kolumny znajdującej się najbardziej na prawo.
4. Po znalezieniu wszystkich wyznaczników $D_1$...$D_n$ nieznane zmienne można obliczyć ze wzoru $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Techniki obliczania wyznacznika macierzy

Aby obliczyć wyznacznik macierzy o wymiarze większym niż 2 na 2, można zastosować kilka metod:

• Reguła trójkątów, czyli reguła Sarrusa, przypomina tę samą regułę. Istota metody trójkąta polega na tym, że przy obliczaniu wyznacznika iloczyny wszystkich liczb połączonych na rysunku czerwoną linią po prawej stronie zapisuje się ze znakiem plus, a wszystkie liczby połączone w podobny sposób na rysunku po lewej stronie są zapisywane ze znakiem minus. Obie reguły nadają się do macierzy o wymiarach 3 x 3. W przypadku reguły Sarrusa najpierw przepisuje się samą macierz, a obok niej ponownie przepisuje się jej pierwszą i drugą kolumnę. Przekątne są rysowane przez macierz, a te dodatkowe kolumny; elementy macierzy leżące na głównej przekątnej lub równolegle do niej są zapisywane ze znakiem plus, a elementy leżące na drugiej przekątnej lub równolegle do niej są zapisywane ze znakiem minus.

Rysunek 1. Reguła trójkąta do obliczania wyznacznika dla metody Cramera

• Stosując metodę znaną jako metoda Gaussa, metoda ta jest czasami nazywana redukcją rzędu wyznacznika. W tym przypadku macierz jest przekształcana i sprowadzana do postaci trójkątnej, a następnie mnożone są wszystkie liczby na głównej przekątnej. Należy pamiętać, że szukając w ten sposób wyznacznika, nie można mnożyć ani dzielić wierszy czy kolumn przez liczby bez potraktowania ich jako mnożnika lub dzielnika. W przypadku poszukiwania wyznacznika można jedynie odejmować i dodawać do siebie wiersze i kolumny, uprzednio mnożąc odejmowany wiersz przez niezerowy współczynnik. Ponadto za każdym razem, gdy zmieniamy układ wierszy lub kolumn macierzy, należy pamiętać o konieczności zmiany końcowego znaku macierzy.
• Rozwiązując SLAE z 4 niewiadomymi metodą Cramera, najlepiej byłoby zastosować metodę Gaussa do wyszukiwania i znajdowania wyznaczników lub określić wyznacznik poprzez wyszukiwanie nieletnich.

Rozwiązywanie układów równań metodą Cramera

Zastosujmy metodę Cramera dla układu 2 równań i dwóch wymaganych wielkości:

$\begin(przypadki) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(przypadki)$

Dla wygody wyświetlmy to w rozwiniętej formie:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Znajdźmy wyznacznik macierzy głównej, zwany także głównym wyznacznikiem układu:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 i a_2 \\ a_3 i a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Jeżeli główny wyznacznik nie jest równy zero, to aby rozwiązać problem metodą Cramera, należy obliczyć jeszcze kilka wyznaczników z dwóch macierzy, w których kolumny macierzy głównej zastąpiono rzędem wolnych wyrazów:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 i a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 i b_1 \\ a_3 i b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Teraz znajdźmy niewiadome $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Przykład 1

Metoda Cramera rozwiązywania SLAE z macierzą główną trzeciego rzędu (3 x 3) i trzema wymaganymi.

Rozwiąż układ równań:

$\begin(przypadki) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(przypadki)$

Obliczmy główny wyznacznik macierzy korzystając z reguły podanej powyżej w punkcie nr 1:

$D = \begin(tablica)(|ccc|) 3 i -2 i 4 \\3 i 4 i -2 \\ 2 i -1 i 1 \\ \end(tablica) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

A teraz trzy inne wyznaczniki:

$D_1 = \begin(tablica)(|ccc|) 21 i 2 i 4 \\ 9 i 4 i 2 \\ 10 i 1 i 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ CDot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 USD

$D_2 = \begin(tablica)(|ccc|) 3 i 21 i 4 \\3 i 9 i 2 \\ 2 i 10 i 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dolarów

$D_3 = \begin(tablica)(|ccc|) 3 i -2 i 21 \\ 3 i 4 i 9 \\ 2 i 1 i 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 USD

Znajdźmy wymagane ilości:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Metoda Cramera służy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE), w których liczba nieznanych zmiennych jest równa liczbie równań, a wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera. W tym artykule przyjrzymy się, jak znaleźć nieznane zmienne za pomocą metody Cramera i uzyskać formuły. Następnie przejdźmy do przykładów i szczegółowo opiszemy rozwiązanie układów liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Nawigacja strony.

Metoda Cramera - wyprowadzanie wzorów.

Musimy rozwiązać układ równań liniowych o postaci

Gdzie x 1, x 2, …, x n to nieznane zmienne, a i j, ja = 1, 2, …, n, jot = 1, 2, …, n- współczynniki liczbowe, b 1, b 2, ..., b n - terminy dowolne. Rozwiązaniem SLAE jest taki zbiór wartości x 1 , x 2 , …, x n dla którego wszystkie równania układu stają się tożsamościami.

W postaci macierzowej układ ten można zapisać jako A ⋅ X = B, gdzie - główną macierzą układu, jej elementami są współczynniki nieznanych zmiennych, - macierz jest kolumną wolnych wyrazów, oraz - macierz jest kolumną nieznanych zmiennych. Po znalezieniu nieznanych zmiennych x 1, x 2, …, x n, macierz staje się rozwiązaniem układu równań, a równość A ⋅ X = B staje się tożsamością.

Założymy, że macierz A jest nieosobliwa, czyli jej wyznacznik jest różny od zera. W tym przypadku układ liniowych równań algebraicznych ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera. (Metody rozwiązywania układów omówiono w rozdziale dotyczącym rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych).

Metoda Cramera opiera się na dwóch właściwościach wyznacznika macierzy:

Zacznijmy więc znajdować nieznaną zmienną x 1. Aby to zrobić, mnożymy obie części pierwszego równania układu przez A 1 1, obie części drugiego równania przez A 2 1 i tak dalej, obie części n-tego równania przez An 1 (tzn. pomnóż równania układu przez odpowiednie uzupełnienia algebraiczne pierwszej kolumny macierzy A):

Dodajmy wszystkie lewe strony równania układu, grupując wyrazy z nieznanymi zmiennymi x 1, x 2, ..., x n i przyrównajmy tę sumę do sumy wszystkich prawych stron równań:

Jeśli przejdziemy do wspomnianych wcześniej właściwości wyznacznika, mamy

i poprzednia równość przyjmuje formę

Gdzie

Podobnie znajdujemy x 2. W tym celu mnożymy obie strony równań układu przez dopełnienia algebraiczne drugiej kolumny macierzy A:

Dodajemy wszystkie równania układu, grupujemy wyrazy dla nieznanych zmiennych x 1, x 2, ..., x n i stosujemy własności wyznacznika:

Gdzie
.

Pozostałe nieznane zmienne znajdują się w podobny sposób.

Jeśli wyznaczymy

Wtedy otrzymamy wzory na znalezienie nieznanych zmiennych metodą Cramera .

Komentarz.

To znaczy, jeśli układ liniowych równań algebraicznych jest jednorodny , to ma tylko trywialne rozwiązanie (w ). Rzeczywiście, dla zerowych wolnych terminów, wszystkie wyznaczniki będą równe zeru, ponieważ będą zawierać kolumnę zerową. Dlatego formuły da.

Algorytm rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Zapiszmy to algorytm rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Przykłady rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Znaleźć rozwiązanie niejednorodnego układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz układu ma postać . Obliczmy jego wyznacznik korzystając ze wzoru :

Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, SLAE ma unikalne rozwiązanie i można je znaleźć metodą Cramera. Zapiszmy wyznaczniki i . Zastępujemy pierwszą kolumnę głównej macierzy układu kolumną wolnych wyrazów i otrzymujemy wyznacznik . Podobnie zastępujemy drugą kolumnę macierzy głównej kolumną wolnych terminów i otrzymujemy .

Obliczamy te wyznaczniki:

Znajdź nieznane zmienne x 1 i x 2, korzystając ze wzorów :

Sprawdźmy. Podstawmy uzyskane wartości x 1 i x 2 do pierwotnego układu równań:

Obydwa równania układu zamieniają się w tożsamości, zatem rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Odpowiedź:

.

Niektóre elementy głównej macierzy SLAE mogą być równe zeru. W takim przypadku odpowiednie nieznane zmienne będą nieobecne w równaniach układu. Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie układu równań liniowych metodą Cramera .

Rozwiązanie.

Przepiszemy układ w postaci , tak aby widoczna była główna matryca układu . Znajdźmy jego wyznacznik za pomocą wzoru

Mamy

Wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera, dlatego układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie. Znajdźmy to za pomocą metody Cramera. Obliczmy wyznaczniki :

Zatem,

Odpowiedź:

Oznaczenia nieznanych zmiennych w równaniach układu mogą różnić się od x 1, x 2, ..., x n. Nie ma to wpływu na proces decyzyjny. Jednak kolejność nieznanych zmiennych w równaniach układu jest bardzo ważna przy zestawieniu macierzy głównej i niezbędnych wyznaczników metody Cramera. Wyjaśnijmy tę kwestię na przykładzie.

Przykład.

Korzystając z metody Cramera, znajdź rozwiązanie układu trzech liniowych równań algebraicznych z trzema niewiadomymi .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie nieznane zmienne mają inną notację (x, yiz zamiast x1, x2 i x3). Nie ma to wpływu na rozwiązanie, ale należy zachować ostrożność w przypadku zmiennych zapisów. NIE MOŻESZ traktować tego jako głównej matrycy systemu . Należy najpierw uporządkować nieznane zmienne we wszystkich równaniach układu. W tym celu przepisujemy układ równań jako . Teraz główna matryca systemu jest wyraźnie widoczna . Obliczmy jego wyznacznik:

Wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera, dlatego układ równań ma unikalne rozwiązanie. Znajdźmy to za pomocą metody Cramera. Zapiszmy wyznaczniki (zwróć uwagę na zapis) i oblicz je:

Pozostaje znaleźć nieznane zmienne za pomocą wzorów :

Sprawdźmy. Aby to zrobić, pomnóż główną macierz przez wynikowe rozwiązanie (jeśli to konieczne, patrz sekcja):

W rezultacie otrzymaliśmy kolumnę wolnych wyrazów pierwotnego układu równań, więc rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Odpowiedź:

x = 0, y = -2, z = 3.

Przykład.

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Cramera , gdzie a i b to liczby rzeczywiste.

Rozwiązanie.

Odpowiedź:

Przykład.

Znajdź rozwiązanie układu równań metodą Cramera, - jakaś liczba rzeczywista.

Rozwiązanie.

Obliczmy wyznacznik macierzy głównej układu: . wyrażenie jest przedziałem, zatem dla dowolnych wartości rzeczywistych. W związku z tym układ równań ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera. Obliczamy i: