Dodając i odejmując ułamki algebraiczne o różnych mianownikach, ułamki najpierw prowadzą do wspólny mianownik. Oznacza to, że znajdują jeden mianownik, który jest podzielony przez pierwotny mianownik każdego ułamka algebraicznego zawartego w danym wyrażeniu.
Jak wiadomo, jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (lub podzielone) przez tę samą liczbę różną od zera, wartość ułamka nie ulegnie zmianie. To jest główna właściwość ułamka. Dlatego też, gdy ułamki są zredukowane do wspólnego mianownika, zasadniczo mnożą pierwotny mianownik każdego ułamka przez brakujący czynnik, aby uzyskać wspólny mianownik. W takim przypadku należy pomnożyć licznik ułamka przez ten współczynnik (jest on inny dla każdego ułamka).
Na przykład, biorąc pod uwagę następującą sumę ułamków algebraicznych:
Konieczne jest uproszczenie wyrażenia, czyli dodanie dwóch ułamków algebraicznych. Aby to zrobić, przede wszystkim musisz sprowadzić wyrazy ułamkowe do wspólnego mianownika. Pierwszym krokiem jest znalezienie jednomianu podzielnego zarówno przez 3x, jak i 2y. W takim przypadku pożądane jest, aby był on najmniejszy, to znaczy znajdował najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) dla 3x i 2y.
W przypadku współczynników i zmiennych numerycznych LCM jest przeszukiwany oddzielnie. LCM(3, 2) = 6 i LCM(x, y) = xy. Następnie znalezione wartości są mnożone: 6xy.
Teraz musimy określić, przez jaki współczynnik musimy pomnożyć 3x, aby otrzymać 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Oznacza to, że sprowadzając pierwszy ułamek algebraiczny do wspólnego mianownika, jego licznik należy pomnożyć przez 2y (mianownik został już pomnożony przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika). Podobnie szuka się mnożnika licznika drugiego ułamka. Będzie to równe 3x.
W ten sposób otrzymujemy: 
Następnie możesz postępować jak z ułamkami zwykłymi o identycznych mianownikach: dodaj liczniki i napisz jeden wspólny mianownik: 
Po przekształceniach otrzymuje się uproszczone wyrażenie będące jednym ułamkiem algebraicznym, będącym sumą dwóch pierwotnych: 
Ułamki algebraiczne w pierwotnym wyrażeniu mogą zawierać mianowniki, które są raczej wielomianami niż jednomianami (jak w powyższym przykładzie). W takim przypadku przed poszukiwaniem wspólnego mianownika należy je rozłożyć na czynniki (o ile to możliwe). Następnie zbiera się wspólny mianownik z różnych czynników. Jeżeli mnożnik występuje w kilku oryginalnych mianownikach, wówczas jest on brany raz. Jeśli mnożnik ma różne potęgi w pierwotnych mianownikach, wówczas bierze się go z większą. Na przykład: 
Tutaj wielomian a 2 – b 2 można przedstawić jako iloczyn (a – b)(a + b). Współczynnik 2a – 2b jest rozwijany jako 2(a – b). Zatem wspólnym mianownikiem będzie 2(a – b)(a + b).
Pierwotnie chciałem uwzględnić techniki wspólnego mianownika w sekcji Dodawanie i odejmowanie ułamków. Okazało się jednak, że informacji jest tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu nie tylko ułamki liczbowe mają wspólny mianownik), że lepiej przestudiować to zagadnienie osobno.
Załóżmy, że mamy dwa ułamki zwykłe o różnych mianownikach. I chcemy mieć pewność, że mianowniki staną się takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa własność ułamka, która, przypominam, brzmi tak:
Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera.
Zatem, jeśli poprawnie wybierzesz czynniki, mianowniki ułamków staną się równe - proces ten nazywa się redukcją do wspólnego mianownika. A wymagane liczby „wyrównujące” mianowniki nazywane są dodatkowymi czynnikami.
Dlaczego musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika? Oto tylko kilka powodów:
- Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu wykonania tej operacji;
- Porównywanie ułamków. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
- Rozwiązywanie problemów dotyczących ułamków zwykłych i procentów. Procenty to zasadniczo zwykłe wyrażenia zawierające ułamki zwykłe.
Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb, które po pomnożeniu przez nie sprawią, że mianowniki ułamków będą równe. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, skuteczności.
Mnożenie krzyżowe
Najprostsza i najbardziej niezawodna metoda, która gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „na oślep”: mnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:
Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:
Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób zabezpieczysz się przed wieloma błędami i masz gwarancję uzyskania wyniku.
Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, ponieważ mianowniki są mnożone „do końca”, a wynikiem mogą być bardzo duże liczby. To cena, jaką trzeba zapłacić za niezawodność.
Metoda wspólnego dzielnika
Technika ta pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest stosowana dość rzadko. Metoda jest następująca:
- Zanim pójdziesz na wprost (tj. metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten większy) dzieli się na drugi.
- Liczba wynikająca z tego dzielenia będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
- W tym przypadku ułamka o dużym mianowniku w ogóle nie trzeba przez nic mnożyć - tu leżą oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Zauważ, że 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest dzielony bez reszty przez drugi, stosujemy metodę wspólnych czynników. Mamy:
Zauważ, że drugi ułamek w ogóle nie został pomnożony przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!
Nawiasem mówiąc, nie przypadkowo wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj policzyć je metodą krzyżową. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie dużo więcej.
To jest siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można jej użyć tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest podzielny przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.
Najmniej popularna metoda wielokrotna
Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo staramy się znaleźć liczbę, która jest podzielna przez każdy z mianowników. Następnie doprowadzamy mianowniki obu ułamków do tej liczby.
Takich liczb jest wiele i najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa iloczynowi bezpośredniemu mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.
Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Liczba ta jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 · 12 = 96.
Najmniejszą liczbę podzielną przez każdy z mianowników nazywa się ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).
Notacja: Najmniejszą wspólną wielokrotność aib oznaczamy przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników innych niż 1), a czynnik 117 jest wspólny. Dlatego LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest wspólny. Dlatego LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:
Zwróć uwagę, jak przydatne było rozłożenie pierwotnych mianowników na czynniki:
- Po odkryciu identycznych czynników od razu dotarliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest problemem nietrywialnym;
- Z powstałego rozwinięcia można dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” w każdym ułamku. Na przykład 234 · 3 = 702, dlatego dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 3.
Aby docenić różnicę, jaką powoduje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady, stosując metodę krzyżową. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarz będzie zbędny.
Nie myśl, że w rzeczywistych przykładach nie będzie tak skomplikowanych ułamków. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!
Jedynym problemem jest to, jak znaleźć ten właśnie NOC. Czasami wszystko można znaleźć w ciągu kilku sekund, dosłownie „na oko”, ale ogólnie jest to złożone zadanie obliczeniowe, które wymaga osobnego rozważenia. Nie będziemy tego tutaj dotykać.
Mianownikiem ułamka arytmetycznego a/b jest liczba b, która pokazuje wielkość ułamków jednostki, z której składa się ułamek. Mianownikiem ułamka algebraicznego A/B jest wyrażenie algebraiczne B. Aby wykonywać operacje arytmetyczne na ułamkach, należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika.
Będziesz potrzebować
- Aby pracować z ułamkami algebraicznymi i znajdować najniższy wspólny mianownik, musisz wiedzieć, jak rozkładać wielomiany na czynniki.
Instrukcje
Rozważmy sprowadzenie dwóch ułamków arytmetycznych n/m i s/t do najmniejszego wspólnego mianownika, gdzie n, m, s, t są liczbami całkowitymi. Oczywiste jest, że te dwa ułamki można sprowadzić do dowolnego mianownika podzielnego przez m i t. Starają się jednak doprowadzić do najniższego wspólnego mianownika. Jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników m i t danych ułamków. Najmniejsza wielokrotność (LMK) liczby to najmniejsza liczba podzielna przez wszystkie podane liczby jednocześnie. Te. w naszym przypadku musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m i t. Oznaczone jako LCM (m, t). Następnie frakcje mnoży się przez odpowiednie: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Znajdźmy najniższy wspólny mianownik trzech ułamków: 4/5, 7/8, 11/14. Najpierw rozwińmy mianowniki 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Następnie oblicz LCM (5, 8, 14) poprzez pomnożenie wszystkie liczby zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Zauważ, że jeśli w rozwinięciu kilku liczb występuje czynnik (współczynnik 2 w rozwinięciu mianowników 8 i 14), to uwzględniamy czynnik większy stopień (w naszym przypadku 2^3).
Tak więc otrzymano ogólny. Jest równe 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tutaj otrzymujemy liczby, przez które musimy pomnożyć ułamki przez odpowiednie mianowniki, aby doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika. Otrzymujemy 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Redukcję ułamków algebraicznych do najniższego wspólnego mianownika przeprowadza się analogicznie do ułamków arytmetycznych. Dla jasności spójrzmy na problem na przykładzie. Niech zostaną podane dwa ułamki (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) i (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozłóżmy oba mianowniki na czynniki. Zauważ, że mianownikiem pierwszego ułamka jest idealny kwadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Dla
Aby rozwiązać przykłady za pomocą ułamków zwykłych, musisz znaleźć najniższy wspólny mianownik. Poniżej znajdują się szczegółowe instrukcje.
Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik - pojęcie
Najmniejszy wspólny mianownik (LCD), w prostych słowach, to minimalna liczba, która jest podzielna przez mianowniki wszystkich ułamków w danym przykładzie. Innymi słowy, nazywa się to najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM). NOS stosuje się tylko wtedy, gdy mianowniki ułamków są różne.
Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik – przykłady
Spójrzmy na przykłady znajdowania NOC.
Oblicz: 3/5 + 2/15.
Rozwiązanie (sekwencja działań):
- Patrzymy na mianowniki ułamków, upewniamy się, że są różne i że wyrażenia są jak najkrótsze.
- Znajdujemy najmniejszą liczbę podzielną zarówno przez 5, jak i 15. Ta liczba będzie wynosić 15. Zatem 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ustaliliśmy mianownik. Co będzie w liczniku? Dodatkowy mnożnik pomoże nam to rozgryźć. Dodatkowym czynnikiem jest liczba uzyskana poprzez podzielenie NZ przez mianownik danego ułamka. Dla 3/5 dodatkowy współczynnik wynosi 3, ponieważ 15/5 = 3. Dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 1, ponieważ 15/15 = 1.
- Po znalezieniu dodatkowego współczynnika mnożymy go przez liczniki ułamków i dodajemy otrzymane wartości. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Odpowiedź: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Jeśli w przykładzie dodano lub odjęto nie 2, ale 3 lub więcej ułamków, wówczas NCD należy przeszukać pod kątem tylu ułamków, ile podano.
Oblicz: 1/2 – 5/12 + 3/6
Rozwiązanie (kolejność działań):
- Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika. Minimalna liczba podzielna przez 2, 12 i 6 to 12.
- Otrzymujemy: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Szukamy dodatkowych mnożników. Dla 1/2 – 6; dla 12.05 – 1; dla 3/6 – 2.
- Mnożymy przez liczniki i przypisujemy odpowiednie znaki: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Odpowiedź: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.