W tym materiale przyjrzymy się, jak poprawnie przeliczyć ułamki zwykłe na nowy mianownik, czym jest dodatkowy czynnik i jak go znaleźć. Następnie sformułowamy podstawową zasadę redukcji ułamków do nowych mianowników i zilustrujemy ją przykładami problemów.
Pojęcie redukcji ułamka do innego mianownika
Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka. Według niego ułamek zwykły a b (gdzie a i b są dowolnymi liczbami) ma nieskończoną liczbę równych mu ułamków. Takie ułamki można otrzymać mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę m (liczbę naturalną). Innymi słowy, wszystkie ułamki zwykłe można zastąpić innymi w postaci a · m b · m. Jest to redukcja pierwotnej wartości do ułamka o pożądanym mianowniku.
Możesz sprowadzić ułamek do innego mianownika, mnożąc jego licznik i mianownik przez dowolną liczbę naturalną. Głównym warunkiem jest to, że mnożnik musi być taki sam dla obu części ułamka. Wynik będzie ułamkiem równym pierwotnemu.
Zilustrujmy to przykładem.
Przykład 1
Zamień ułamek 11 25 na nowy mianownik.
Rozwiązanie
Weźmy dowolną liczbę naturalną 4 i pomnóżmy przez nią obie strony pierwotnego ułamka. Liczymy: 11 · 4 = 44 i 25 · 4 = 100. Wynik jest ułamkiem 44 100.
Wszystkie obliczenia można zapisać w następującej postaci: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Okazuje się, że dowolny ułamek można sprowadzić do ogromnej liczby różnych mianowników. Zamiast czterech moglibyśmy wziąć inną liczbę naturalną i otrzymać inny ułamek równy pierwotnemu.
Ale żadna liczba nie może stać się mianownikiem nowego ułamka. Zatem dla a b mianownik może zawierać tylko liczby b m, które są wielokrotnościami b. Przejrzyj podstawowe pojęcia dotyczące dzielenia — wielokrotności i dzielników. Jeśli liczba nie jest wielokrotnością b, ale nie może być dzielnikiem nowego ułamka. Zilustrujmy nasz pomysł przykładem rozwiązania problemu.
Przykład 2
Oblicz, czy można zredukować ułamek 5 9 do mianowników 54 i 21.
Rozwiązanie
54 jest wielokrotnością dziewięciu, która znajduje się w mianowniku nowego ułamka (tj. 54 można podzielić przez 9). Oznacza to, że taka redukcja jest możliwa. Ale nie możemy podzielić 21 przez 9, więc tej akcji nie można wykonać dla tego ułamka.
Koncepcja dodatkowego mnożnika
Sformułujmy czym jest czynnik dodatkowy.
Definicja 1
Dodatkowy mnożnik to liczba naturalna, przez którą mnoży się obie strony ułamka, aby uzyskać nowy mianownik.
Te. kiedy robimy to z ułamkiem, bierzemy do tego dodatkowy współczynnik. Na przykład, aby zamienić ułamek 7 10 na postać 21 30, potrzebujemy dodatkowego współczynnika 3. I możesz uzyskać ułamek 15 40 z 3 8, używając mnożnika 5.
Odpowiednio, jeśli znamy mianownik, do którego należy zredukować ułamek, możemy obliczyć dla niego dodatkowy współczynnik. Zastanówmy się, jak to zrobić.
Mamy ułamek a b, który można sprowadzić do pewnego mianownika c; Obliczmy dodatkowy współczynnik m. Musimy pomnożyć mianownik ułamka pierwotnego przez m. Otrzymujemy b · m i zgodnie z warunkami zadania b · m = c. Pamiętajmy, jak mnożenie i dzielenie są ze sobą powiązane. To połączenie skłania nas do następującego wniosku: dodatkowy czynnik to nic innego jak iloraz dzielenia c przez b, czyli m = c: b.
Zatem, aby znaleźć dodatkowy czynnik, musimy podzielić wymagany mianownik przez pierwotny.
Przykład 3
Znajdź dodatkowy współczynnik, za pomocą którego ułamek 17 4 został zredukowany do mianownika 124.
Rozwiązanie
Korzystając z powyższej reguły, po prostu dzielimy 124 przez mianownik ułamka pierwotnego, czyli cztery.
Liczymy: 124: 4 = 31.
Tego typu obliczenia są często wymagane przy przekształcaniu ułamków zwykłych na wspólny mianownik.
Zasada redukcji ułamków do określonego mianownika
Przejdźmy do zdefiniowania podstawowej zasady, za pomocą której można redukować ułamki do określonego mianownika. Więc,
Definicja 2
Aby zredukować ułamek do określonego mianownika, potrzebujesz:
- określić dodatkowy czynnik;
- pomnóż przez niego licznik i mianownik ułamka pierwotnego.
Jak zastosować tę zasadę w praktyce? Podajmy przykład rozwiązania problemu.
Przykład 4
Skróć ułamek 7 16 do mianownika 336.
Rozwiązanie
Zacznijmy od obliczenia dodatkowego mnożnika. Podziel: 336: 16 = 21.
Otrzymaną odpowiedź mnożymy przez obie części ułamka pierwotnego: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Doprowadziliśmy więc pierwotny ułamek do pożądanego mianownika 336.
Odpowiedź: 7 16 = 147 336.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W tym artykule wyjaśniono jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik I jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Najpierw podano definicje wspólnego mianownika ułamków i najmniejszego wspólnego mianownika oraz pokazano, jak znaleźć wspólny mianownik ułamków. Poniżej znajduje się zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważane są przykłady zastosowania tej zasady. Na zakończenie omówiono przykłady sprowadzenia trzech lub więcej ułamków do wspólnego mianownika.
Nawigacja strony.
Jak nazywa się sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika?
Teraz możemy powiedzieć, jak to jest sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika- Jest to pomnożenie liczników i mianowników danych ułamków przez takie dodatkowe czynniki, że w rezultacie otrzymamy ułamki o tych samych mianownikach.
Wspólny mianownik, definicja, przykłady
Teraz czas na zdefiniowanie wspólnego mianownika ułamków.
Innymi słowy, wspólnym mianownikiem pewnego zbioru ułamków zwykłych jest dowolna liczba naturalna, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki tych ułamków.
Z podanej definicji wynika, że dany zbiór ułamków ma nieskończenie wiele wspólnych mianowników, ponieważ istnieje nieskończona liczba wspólnych wielokrotności wszystkich mianowników pierwotnego zbioru ułamków.
Wyznaczanie wspólnego mianownika ułamków pozwala znaleźć wspólne mianowniki danych ułamków. Niech na przykład biorąc pod uwagę ułamki 1/4 i 5/6, ich mianowniki wynoszą odpowiednio 4 i 6. Dodatnie wspólne wielokrotności liczb 4 i 6 to liczby 12, 24, 36, 48, ... Każda z tych liczb jest wspólnym mianownikiem ułamków 1/4 i 5/6.
Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie poniższego przykładu.
Przykład.
Czy ułamki 2/3, 23/6 i 7/12 można sprowadzić do wspólnego mianownika wynoszącego 150?
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy dowiedzieć się, czy liczba 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników 3, 6 i 12. W tym celu sprawdźmy, czy 150 jest podzielne przez każdą z tych liczb (w razie potrzeby zapoznaj się z zasadami i przykładami dzielenia liczb naturalnych oraz regułami i przykładami dzielenia liczb naturalnych z resztą): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (pozostałe 6) .
Więc, Liczba 150 nie dzieli się równomiernie przez 12, zatem 150 nie jest wspólną wielokrotnością liczby 3, 6 i 12. Dlatego liczba 150 nie może być wspólnym mianownikiem pierwotnych ułamków.
Odpowiedź:
Jest to zabronione.
Najniższy wspólny mianownik, jak go znaleźć?
W zbiorze liczb będących wspólnymi mianownikami danych ułamków znajduje się najmniejsza liczba naturalna, którą nazywamy najmniejszym wspólnym mianownikiem. Sformułujmy definicję najniższego wspólnego mianownika tych ułamków.
Definicja.
Najniższy wspólny mianownik jest najmniejszą liczbą wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.
Pozostaje jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć najmniejszy wspólny dzielnik.
Ponieważ jest to najmniej dodatni wspólny dzielnik danego zbioru liczb, LCM mianowników danych ułamków reprezentuje najmniejszy wspólny mianownik danych ułamków.
Zatem znalezienie najniższego wspólnego mianownika ułamków sprowadza się do mianowników tych ułamków. Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.
Przykład.
Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków 3/10 i 277/28.
Rozwiązanie.
Mianowniki tych ułamków to 10 i 28. Pożądany najniższy wspólny mianownik można znaleźć jako LCM liczb 10 i 28. W naszym przypadku jest to proste: skoro 10=2,5, a 28=2,2,7, to LCM(15, 28)=2,2,5,7=140.
Odpowiedź:
140 .
Jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika? Reguła, przykłady, rozwiązania
Ułamki zwykłe zwykle dają najniższy wspólny mianownik. Zapiszemy teraz regułę wyjaśniającą, jak sprowadzać ułamki do najniższego wspólnego mianownika.
Zasada sprowadzania ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika składa się z trzech kroków:
- Najpierw znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
- Po drugie, dla każdego ułamka obliczany jest dodatkowy współczynnik poprzez podzielenie najniższego wspólnego mianownika przez mianownik każdego ułamka.
- Po trzecie, licznik i mianownik każdego ułamka są mnożone przez jego dodatkowy współczynnik.
Zastosujmy podaną regułę do rozwiązania następującego przykładu.
Przykład.
Skróć ułamki 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika.
Rozwiązanie.
Wykonajmy wszystkie kroki algorytmu redukcji ułamków do najniższego wspólnego mianownika.
Najpierw znajdujemy najmniejszy wspólny mianownik, który jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 14 i 18. Ponieważ 14=2·7 i 18=2·3·3, to LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Teraz obliczamy dodatkowe współczynniki, za pomocą których ułamki 5/14 i 7/18 zostaną zredukowane do mianownika 126. Dla ułamka 5/14 dodatkowy współczynnik wynosi 126:14=9, a dla ułamka 7/18 dodatkowy współczynnik wynosi 126:18=7.
Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków 5/14 i 7/18 przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 9 i 7. Mamy i 
.
Zatem redukcja ułamków 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika została zakończona. Otrzymane frakcje wynosiły 45/126 i 49/126.
Aby rozwiązać przykłady za pomocą ułamków zwykłych, musisz znaleźć najniższy wspólny mianownik. Poniżej znajdują się szczegółowe instrukcje.
Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik - pojęcie
Najmniejszy wspólny mianownik (LCD), w prostych słowach, to minimalna liczba, która jest podzielna przez mianowniki wszystkich ułamków w danym przykładzie. Innymi słowy, nazywa się to najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM). NOS stosuje się tylko wtedy, gdy mianowniki ułamków są różne.
Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik – przykłady
Spójrzmy na przykłady znajdowania NOC.
Oblicz: 3/5 + 2/15.
Rozwiązanie (sekwencja działań):
- Patrzymy na mianowniki ułamków, upewniamy się, że są różne i że wyrażenia są jak najkrótsze.
- Znajdujemy najmniejszą liczbę podzielną zarówno przez 5, jak i 15. Ta liczba będzie wynosić 15. Zatem 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Ustaliliśmy mianownik. Co będzie w liczniku? Dodatkowy mnożnik pomoże nam to rozgryźć. Dodatkowym czynnikiem jest liczba uzyskana poprzez podzielenie NZ przez mianownik danego ułamka. Dla 3/5 dodatkowy współczynnik wynosi 3, ponieważ 15/5 = 3. Dla drugiego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 1, ponieważ 15/15 = 1.
- Po znalezieniu dodatkowego współczynnika mnożymy go przez liczniki ułamków i dodajemy otrzymane wartości. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Odpowiedź: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Jeśli w przykładzie dodano lub odjęto nie 2, ale 3 lub więcej ułamków, wówczas NCD należy przeszukać pod kątem tylu ułamków, ile podano.
Oblicz: 1/2 – 5/12 + 3/6
Rozwiązanie (kolejność działań):
- Znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika. Minimalna liczba podzielna przez 2, 12 i 6 to 12.
- Otrzymujemy: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Szukamy dodatkowych mnożników. Dla 1/2 – 6; dla 12.05 – 1; dla 3/6 – 2.
- Mnożymy przez liczniki i przypisujemy odpowiednie znaki: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Odpowiedź: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.
Mianownikiem ułamka arytmetycznego a/b jest liczba b, która pokazuje wielkość ułamków jednostki, z której składa się ułamek. Mianownikiem ułamka algebraicznego A/B jest wyrażenie algebraiczne B. Aby wykonywać operacje arytmetyczne na ułamkach, należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika.
Będziesz potrzebować
- Aby pracować z ułamkami algebraicznymi i znajdować najniższy wspólny mianownik, musisz wiedzieć, jak rozkładać wielomiany na czynniki.
Instrukcje
Rozważmy sprowadzenie dwóch ułamków arytmetycznych n/m i s/t do najmniejszego wspólnego mianownika, gdzie n, m, s, t są liczbami całkowitymi. Oczywiste jest, że te dwa ułamki można sprowadzić do dowolnego mianownika podzielnego przez m i t. Starają się jednak doprowadzić do najniższego wspólnego mianownika. Jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników m i t danych ułamków. Najmniejsza wielokrotność (LMK) liczby to najmniejsza liczba podzielna przez wszystkie podane liczby jednocześnie. Te. w naszym przypadku musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m i t. Oznaczone jako LCM (m, t). Następnie frakcje mnoży się przez odpowiednie: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Znajdźmy najniższy wspólny mianownik trzech ułamków: 4/5, 7/8, 11/14. Najpierw rozwińmy mianowniki 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Następnie oblicz LCM (5, 8, 14) poprzez pomnożenie wszystkie liczby zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Zauważ, że jeśli w rozwinięciu kilku liczb występuje czynnik (współczynnik 2 w rozwinięciu mianowników 8 i 14), to uwzględniamy czynnik większy stopień (w naszym przypadku 2^3).
Tak więc otrzymano ogólny. Jest równe 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tutaj otrzymujemy liczby, przez które musimy pomnożyć ułamki przez odpowiednie mianowniki, aby doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika. Otrzymujemy 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Redukcję ułamków algebraicznych do najniższego wspólnego mianownika przeprowadza się analogicznie do ułamków arytmetycznych. Dla jasności spójrzmy na problem na przykładzie. Niech zostaną podane dwa ułamki (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) i (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozłóżmy oba mianowniki na czynniki. Zauważ, że mianownikiem pierwszego ułamka jest idealny kwadrat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Dla