Dzisiaj powiemy Ci, jak znaleźć tworzącą stożka, co jest często wymagane w szkolnych zadaniach z geometrii.
Pojęcie tworzącej stożka
Stożek prawy to figura uzyskana poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg. Podstawa stożka tworzy okrąg. Przekrój pionowy stożka to trójkąt, przekrój poziomy to okrąg. Wysokość stożka to odcinek łączący górę stożka ze środkiem podstawy. Tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z dowolnym punktem na linii okręgu podstawowego.
Ponieważ stożek powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego, okazuje się, że pierwsza noga takiego trójkąta to wysokość, druga to promień okręgu leżącego u podstawy, a przeciwprostokątna to tworząca stożka. Nietrudno zgadnąć, że twierdzenie Pitagorasa jest przydatne do obliczenia długości generatora. A teraz więcej o tym, jak znaleźć długość tworzącej stożka.
Znalezienie generatora
Najłatwiej zrozumieć, jak znaleźć generator, posługując się konkretnym przykładem. Załóżmy, że podane są następujące warunki problemu: wysokość wynosi 9 cm, średnica koła podstawowego wynosi 18 cm. Konieczne jest znalezienie tworzącej.
Tak więc wysokość stożka (9 cm) jest jedną z nóg prawego trójkąta, za pomocą którego uformowano ten stożek. Druga noga będzie promieniem okręgu podstawowego. Promień stanowi połowę średnicy. W ten sposób dzielimy podaną nam średnicę na pół i otrzymujemy długość promienia: 18:2 = 9. Promień wynosi 9.
Teraz bardzo łatwo jest znaleźć tworzącą stożka. Ponieważ jest to przeciwprostokątna, kwadrat jej długości będzie równy sumie kwadratów nóg, czyli sumie kwadratów promienia i wysokości. Zatem kwadrat długości generatora = 64 (kwadrat długości promienia) + 64 (kwadrat długości wysokości) = 64x2 = 128. Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z 128. Jako w rezultacie otrzymujemy osiem pierwiastków z dwóch. To będzie tworząca stożka.
Jak widać, nie ma w tym nic skomplikowanego. Na przykład przyjęliśmy proste warunki problemu, ale na kursie szkolnym mogą być one bardziej złożone. Pamiętaj, że aby obliczyć długość tworzącej, musisz poznać promień okręgu i wysokość stożka. Znając te dane, łatwo jest znaleźć długość tworzącej.
Ciała wirujące badane w szkole to walec, stożek i kula.
Jeśli w zadaniu na egzaminie jednolitym z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub pole kuli, uważaj się za szczęściarza.
Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię walca, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Ucz się na pamięć. Tutaj zaczyna się wiedza o stereometrii.
Czasem dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.
2. Ile razy objętość stożka opisanego na regularnej czworokątnej piramidzie jest większa od objętości stożka wpisanego w tę piramidę?
To proste - narysuj widok od dołu. Widzimy, że promień większego okręgu jest razy większy niż promień mniejszego. Wysokość obu stożków jest taka sama. Dlatego objętość większego stożka będzie dwukrotnie większa.
Kolejny ważny punkt. Pamiętamy, że w zadaniach części B Unified State Examination z matematyki odpowiedź zapisuje się jako liczbę całkowitą lub końcowy ułamek dziesiętny. Dlatego w Twojej odpowiedzi w części B nie powinno być żadnego lub. Nie ma też potrzeby podstawiania przybliżonej wartości liczby! Zdecydowanie musi się skurczyć! W tym celu w niektórych problemach zadanie formułuje się na przykład w następujący sposób: „Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra podzielone przez”.
Gdzie jeszcze stosuje się wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym również opowiemy.
Wiemy, co to jest stożek, spróbujmy znaleźć jego powierzchnię. Dlaczego musisz rozwiązać taki problem? Na przykład musisz zrozumieć, ile ciasta zajmie zrobienie rożka waflowego? Albo ile cegieł potrzeba do zrobienia ceglanego dachu zamku?
Pomiaru powierzchni bocznej stożka po prostu nie da się wykonać. Ale wyobraźmy sobie ten sam róg owinięty tkaniną. Aby znaleźć obszar kawałka materiału, musisz go wyciąć i położyć na stole. Rezultatem jest płaska figura, możemy znaleźć jej pole.
Ryż. 1. Przekrój stożka wzdłuż tworzącej
Zróbmy to samo ze stożkiem. „Przetnijmy” jego powierzchnię boczną wzdłuż dowolnej tworzącej, na przykład (patrz rys. 1).
Teraz „rozwińmy” powierzchnię boczną na płaszczyźnie. Dostajemy sektor. Środek tego sektora stanowi wierzchołek stożka, promień sektora jest równy tworzącej stożka, a długość jego łuku pokrywa się z obwodem podstawy stożka. Sektor ten nazywany jest rozwinięciem powierzchni bocznej stożka (patrz ryc. 2).
Ryż. 2. Zagospodarowanie powierzchni bocznej
Ryż. 3. Pomiar kąta w radianach
Spróbujmy znaleźć obszar sektora, korzystając z dostępnych danych. Najpierw wprowadźmy zapis: niech kąt przy wierzchołku sektora będzie wyrażony w radianach (patrz ryc. 3).
W przypadku problemów często będziemy mieli do czynienia z kątem w górnej części odchylenia. Na razie spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie: czy ten kąt nie może okazać się większy niż 360 stopni? To znaczy, czy nie okazałoby się, że zakres ten nałoży się na siebie? Oczywiście, że nie. Udowodnijmy to matematycznie. Pozwól skanowi „nałożyć się” na siebie. Oznacza to, że długość łuku omiatania jest większa niż długość okręgu o promieniu. Ale, jak już wspomniano, długość łuku omiatania jest długością okręgu o promieniu . A promień podstawy stożka jest oczywiście mniejszy niż na przykład tworząca, ponieważ noga trójkąta prostokątnego jest mniejsza niż przeciwprostokątna
Przypomnijmy sobie wówczas dwa wzory z kursu planimetrii: długość łuku. Obszar sektora: .
W naszym przypadku rolę pełni generator , a długość łuku jest równa obwodowi podstawy stożka, to znaczy. Mamy:
Wreszcie otrzymujemy: .
Oprócz powierzchni bocznej można znaleźć również powierzchnię całkowitą. Aby to zrobić, należy dodać powierzchnię podstawy do powierzchni powierzchni bocznej. Ale podstawą jest okrąg o promieniu, którego pole według wzoru jest równe .
Wreszcie mamy: , gdzie jest promieniem podstawy walca, jest tworząca.
Rozwiążmy kilka problemów, korzystając z podanych wzorów.
Ryż. 4. Wymagany kąt
Przykład 1. Rozwój powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem o kącie wierzchołkowym. Znajdź ten kąt, jeśli wysokość stożka wynosi 4 cm, a promień podstawy wynosi 3 cm (patrz ryc. 4).
Ryż. 5. Trójkąt prostokątny tworzący stożek
Przy pierwszym działaniu, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, znajdujemy generator: 5 cm (patrz ryc. 5). Dalej, to wiemy .
Przykład 2. Osiowe pole przekroju stożka jest równe , wysokość jest równa . Znajdź całkowitą powierzchnię (patrz ryc. 6).
