Odwróć metodę Gaussa online. Metoda Gaussa, czyli dlaczego dzieci nie rozumieją matematyki

Dzisiaj przyjrzymy się metodzie Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych. O tym, czym są te układy, przeczytacie w poprzednim artykule poświęconym rozwiązywaniu tych samych SLAE metodą Cramera. Metoda Gaussa nie wymaga żadnej szczególnej wiedzy, wystarczy uważność i konsekwencja. Pomimo tego, że z matematycznego punktu widzenia do jej zastosowania wystarczy edukacja szkolna, uczniom często trudno jest opanować tę metodę. W tym artykule postaramy się zredukować je do zera!

Metoda Gaussa

M Metoda Gaussa– najbardziej uniwersalna metoda rozwiązywania SLAE (z wyjątkiem bardzo dużych systemów). W przeciwieństwie do tego, co omówiono wcześniej, nadaje się nie tylko do systemów, które mają jedno rozwiązanie, ale także do systemów, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Istnieją tutaj trzy możliwe opcje.

1. Układ ma rozwiązanie unikalne (wyznacznik macierzy głównej układu nie jest równy zero);
2. Układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań;
3. Nie ma rozwiązań, system jest niekompatybilny.

Mamy więc układ (niech ma jedno rozwiązanie) i rozwiążemy go metodą Gaussa. Jak to działa?

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów - w przód i w tył.

Skok bezpośredni metody Gaussa

Najpierw napiszmy rozszerzoną macierz układu. Aby to zrobić, dodaj kolumnę wolnych członków do głównej macierzy.

Cała istota metody Gaussa polega na doprowadzeniu tej macierzy do postaci schodkowej (lub, jak mówią, trójkątnej) poprzez elementarne przekształcenia. W tej postaci pod (lub nad) główną przekątną macierzy powinny znajdować się tylko zera.

Co możesz zrobić:

1. Możesz zmienić kolejność wierszy macierzy;
2. Jeśli w macierzy są równe (lub proporcjonalne) wiersze, możesz usunąć wszystkie z nich oprócz jednego;
3. Możesz pomnożyć lub podzielić ciąg przez dowolną liczbę (z wyjątkiem zera);
4. Wiersze zerowe są usuwane;
5. Do ciągu można dołączyć ciąg pomnożony przez liczbę inną niż zero.

Odwrotna metoda Gaussa

Po przekształceniu systemu w ten sposób, jeden nieznany Xn staje się znana i możesz znaleźć wszystkie pozostałe niewiadome w odwrotnej kolejności, podstawiając znane już x do równań układu, aż do pierwszej.

Kiedy Internet jest zawsze pod ręką, możesz rozwiązać układ równań metodą Gaussa w Internecie. Wystarczy wprowadzić współczynniki do kalkulatora online. Ale musisz przyznać, o wiele przyjemniej jest uświadomić sobie, że przykład został rozwiązany nie przez program komputerowy, ale przez twój własny mózg.

Przykład rozwiązania układu równań metodą Gaussa

A teraz - przykład, aby wszystko stało się jasne i zrozumiałe. Niech będzie dany układ równań liniowych i trzeba go rozwiązać metodą Gaussa:

Najpierw piszemy rozszerzoną macierz:

Teraz wykonajmy transformacje. Pamiętamy, że musimy osiągnąć trójkątny wygląd matrycy. Pomnóżmy pierwszą linię przez (3). Pomnóż drugą linię przez (-1). Dodaj drugą linię do pierwszej i otrzymaj:

Następnie pomnóż trzecią linię przez (-1). Dodajmy trzecią linię do drugiej:

Pomnóżmy pierwszą linię przez (6). Pomnóżmy drugą linię przez (13). Dodajmy drugą linię do pierwszej:

Voila - system zostaje doprowadzony do odpowiedniej formy. Pozostaje znaleźć niewiadome:

System w tym przykładzie ma unikalne rozwiązanie. Rozwiązywanie układów o nieskończonej liczbie rozwiązań rozważymy w osobnym artykule. Być może na początku nie będziesz wiedział od czego zacząć transformację macierzy, ale po odpowiedniej praktyce opanujesz to i będziesz łamać SLAE metodą Gaussa jak orzechy. A jeśli nagle natrafisz na umowę SLA, która okaże się zbyt trudna do zgryzienia, skontaktuj się z naszymi autorami! możesz to zrobić zostawiając wniosek w Biurze Korespondencji. Razem rozwiążemy każdy problem!

Jednym z najprostszych sposobów rozwiązania układu równań liniowych jest technika oparta na obliczaniu wyznaczników ( Reguła Cramera). Jego zaletą jest to, że pozwala na natychmiastowe zarejestrowanie rozwiązania; jest to szczególnie wygodne w przypadkach, gdy współczynniki układu nie są liczbami, ale pewnymi parametrami. Jego wadą jest uciążliwość obliczeń w przypadku dużej liczby równań, ponadto reguła Cramera nie ma bezpośredniego zastosowania do układów, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą niewiadomych. W takich przypadkach zwykle się go stosuje Metoda Gaussa.

Układy równań liniowych mające ten sam zbiór rozwiązań nazywane są równowartość. Oczywiście zbiór rozwiązań układu liniowego nie ulegnie zmianie, jeśli zamienimy jakieś równania, pomnożymy jedno z równań przez jakąś liczbę niezerową lub dodamy jedno równanie do drugiego.

Metoda Gaussa (metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych) polega na tym, że za pomocą przekształceń elementarnych system sprowadza się do układu równoważnego typu schodkowego. Najpierw, korzystając z pierwszego równania, eliminujemy X 1 wszystkich kolejnych równań układu. Następnie, korzystając z drugiego równania, eliminujemy X 2 z trzeciego i wszystkich kolejnych równań. Proces ten, tzw przy użyciu bezpośredniej metody Gaussa, trwa tak długo, aż po lewej stronie ostatniego równania pozostanie tylko jedna niewiadoma x rz. Po tym jest to zrobione odwrotność metody Gaussa– rozwiązując ostatnie równanie, znajdujemy x rz; następnie, używając tej wartości, z przedostatniego równania, które obliczamy x rz–1 itd. Znajdujemy ostatni X 1 z pierwszego równania.

Wygodnie jest przeprowadzać transformacje Gaussa, wykonując transformacje nie za pomocą samych równań, ale za pomocą macierzy ich współczynników. Rozważmy macierz:

zwany rozbudowana matryca systemu, ponieważ oprócz głównej matrycy systemu zawiera kolumnę terminów dowolnych. Metoda Gaussa polega na sprowadzeniu macierzy głównej układu do postaci trójkątnej (lub trapezowej w przypadku układów niekwadratowych) za pomocą elementarnych przekształceń wierszowych (!) rozszerzonej macierzy układu.

Przykład 5.1. Rozwiąż układ metodą Gaussa:

Rozwiązanie. Wypiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z pierwszego wiersza zresetujmy następnie pozostałe elementy:

otrzymujemy zera w 2., 3. i 4. rzędzie pierwszej kolumny:

Teraz potrzebujemy, aby wszystkie elementy w drugiej kolumnie poniżej drugiego wiersza były równe zero. Aby to zrobić, możesz pomnożyć drugą linię przez –4/7 i dodać ją do trzeciej linii. Aby jednak nie zajmować się ułamkami utwórzmy jednostkę w 2 rzędzie drugiej kolumny i tylko

Teraz, aby uzyskać macierz trójkątną, musisz zresetować element czwartego wiersza trzeciej kolumny; aby to zrobić, możesz pomnożyć trzeci wiersz przez 8/54 i dodać go do czwartego. Aby jednak nie zajmować się ułamkami, zamienimy 3. i 4. wiersz oraz 3. i 4. kolumnę i dopiero potem zresetujemy określony element. Należy pamiętać, że podczas zmiany układu kolumn odpowiednie zmienne zamieniają się miejscami i należy o tym pamiętać; innych elementarnych przekształceń z kolumnami (dodawanie i mnożenie przez liczbę) nie można wykonywać!

Ostatnia uproszczona macierz odpowiada układowi równań równoważnemu pierwotnemu:

Stąd, stosując odwrotność metody Gaussa, znajdujemy czwarte równanie X 3 = –1; z trzeciego X 4 = –2, od drugiego X 2 = 2 i z pierwszego równania X 1 = 1. W formie macierzowej odpowiedź zapisuje się jako

Rozważaliśmy przypadek, gdy układ jest określony, tj. gdy jest tylko jedno rozwiązanie. Zobaczmy, co się stanie, jeśli system będzie niespójny lub niepewny.

Przykład 5.2. Zbadaj system za pomocą metody Gaussa:

Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu

Piszemy uproszczony układ równań:

Tutaj w ostatnim równaniu okazało się, że 0=4, czyli: sprzeczność. W rezultacie układ nie ma rozwiązania, tj. ona niezgodny. à

Przykład 5.3. Zbadaj i rozwiąż układ za pomocą metody Gaussa:

Rozwiązanie. Wypisujemy i przekształcamy rozszerzoną macierz układu:

W wyniku przekształceń w ostatnim wierszu znajdują się same zera. Oznacza to, że liczba równań zmniejszyła się o jeden:

Zatem po uproszczeniu pozostają dwa równania i cztery niewiadome, tj. dwa nieznane „dodatkowe”. Niech będą „zbędne” lub, jak mówią, wolne zmienne, będzie X 3 i X 4. Następnie

Wierzyć X 3 = 2A I X 4 = B, otrzymujemy X 2 = 1–A I X 1 = 2B–A; lub w formie macierzowej

Rozwiązanie zapisane w ten sposób nazywa się ogólny, ponieważ, podając parametry A I B różne wartości, można opisać wszystkie możliwe rozwiązania układu. A

1. Układ liniowych równań algebraicznych

1.1 Pojęcie układu liniowych równań algebraicznych

Układ równań to stan polegający na jednoczesnym wykonaniu kilku równań względem kilku zmiennych. Układ liniowych równań algebraicznych (zwany dalej SLAE) zawierający m równań i n niewiadomych nazywa się układem o postaci:

gdzie liczby a ij nazywane są współczynnikami układu, liczby b i nazywane są terminami wolnymi, ij I b ja(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezentują pewne znane liczby, a x 1 ,…, x rz– nieznany. W wyznaczaniu współczynników ij pierwszy indeks i oznacza numer równania, a drugi j to liczba niewiadomej, przy której stoi ten współczynnik. Należy znaleźć liczby x n. Wygodnie jest zapisać taki system w postaci zwartej macierzy: AX=B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

– wektor kolumnowy niewiadomych xj.
jest wektorem kolumnowym wolnych terminów bi.

Iloczyn macierzy A*X jest określony, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozbudowana macierz systemu to macierz A systemu, uzupełniona kolumną wolnych terminów

1.2 Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych

Rozwiązaniem układu równań jest uporządkowany zbiór liczb (wartości zmiennych), zastępując je zamiast zmiennych, każde z równań układu zamienia się w prawdziwą równość.

Rozwiązaniem układu jest n wartości niewiadomych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po podstawieniu których wszystkie równania układu stają się prawdziwymi równościami. Każde rozwiązanie układu można zapisać w postaci macierzy kolumnowej

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym, jeśli nie ma żadnego rozwiązania.

Układ spójny nazywamy wyznaczonym, jeśli ma jedno rozwiązanie, i nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest szczególnym rozwiązaniem układu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywamy rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu oznacza sprawdzenie, czy jest on kompatybilny, czy niespójny. Jeżeli układ jest spójny, znajdź jego rozwiązanie ogólne.

Dwa układy nazywane są równoważnymi (równoważnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Transformacja, której zastosowanie zamienia system w nowy system równoważny pierwotnemu, nazywa się transformacją równoważną lub równoważną. Przykładami przekształceń równoważnych są następujące przekształcenia: zamiana dwóch równań układu, zamiana dwóch niewiadomych wraz ze współczynnikami wszystkich równań, pomnożenie obu stron dowolnego równania układu przez liczbę różną od zera.

Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zero:

Układ jednorodny jest zawsze spójny, gdyż x1=x2=x3=…=xn=0 jest rozwiązaniem układu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

2. Metoda eliminacji Gaussa

2.1 Istota metody eliminacji Gaussa

Klasyczną metodą rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych jest metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych - Metoda Gaussa(nazywana jest także metodą eliminacji Gaussa). Jest to metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą elementarnych przekształceń układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie pozostałe zmienne znajdują się sekwencyjnie, zaczynając od ostatniej (przez liczba) zmiennych.

Proces rozwiązania metodą Gaussa składa się z dwóch etapów: ruchów do przodu i do tyłu.

1. Skok bezpośredni.

W pierwszym etapie przeprowadza się tzw. ruch bezpośredni, gdy poprzez elementarne przekształcenia po rzędach układ zostaje doprowadzony do kształtu schodkowego lub trójkątnego, albo zostaje ustalone, że układ jest niekompatybilny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybiera się niezerowy, przesuwa się go na najwyższą pozycję poprzez przestawienie wierszy, a pierwszy wiersz uzyskany po przegrupowaniu odejmuje się od pozostałych wierszy, mnożąc go o kwotę równą stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim.

Po zakończeniu wskazanych przekształceń pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuowane, aż pozostanie macierz o zerowym rozmiarze. Jeśli w dowolnej iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie ma elementu niezerowego, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.

W pierwszym etapie (skok bezpośredni) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system ma postać etapową:

,

Współczynniki aii nazywane są głównymi (wiodącymi) elementami układu.

(jeśli a11=0, przestaw wiersze macierzy tak, aby A 11 nie było równe 0. Zawsze jest to możliwe, gdyż w przeciwnym wypadku macierz zawiera kolumnę zerową, jej wyznacznik jest równy zeru i układ jest niespójny).

Przekształćmy układ, eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (wykorzystując elementarne transformacje układu). Aby to zrobić, pomnóż obie strony pierwszego równania przez

i dodaj wyraz po wyrazie do drugiego równania układu (lub od drugiego równania odejmij wyraz po wyrazie przez pierwsze i pomnóż przez ). Następnie mnożymy obie strony pierwszego równania przez i dodajemy je do trzeciego równania układu (lub od trzeciego odejmujemy pierwsze pomnożone przez ). Zatem kolejno mnożymy pierwszą linię przez liczbę i dodajemy I linia, dla ja= 2, 3, …,N.

Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny:

– nowe wartości współczynników dla niewiadomych i wyrazów wolnych w ostatnich równaniach układu m-1, które wyznaczają wzory:

Zatem w pierwszym kroku wszystkie współczynniki leżące pod pierwszym elementem wiodącym a 11 ulegają zniszczeniu

0, w drugim etapie niszczone są elementy leżące pod drugim wiodącym elementem a 22 (1) (jeśli a 22 (1) 0) itd. Kontynuując dalej ten proces, ostatecznie w kroku (m-1) redukujemy pierwotny układ do układu trójkątnego.

Jeżeli w procesie redukcji układu do postaci krokowej pojawią się równania zerowe, tj. równości w postaci 0=0, są one odrzucane. Jeśli pojawi się równanie postaci

oznacza to niekompatybilność systemu.

Na tym kończy się bezpośredni postęp metody Gaussa.

2. Skok wsteczny.

W drugim etapie przeprowadzany jest tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich powstałych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i zbudowanie podstawowego układu rozwiązań lub, jeśli wszystkie zmienne są podstawowe , następnie wyraź liczbowo jedyne rozwiązanie układu równań liniowych.

Procedura ta rozpoczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażana jest odpowiednia zmienna podstawowa (jest w niej tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań, i tak dalej, przechodząc „kroki” w górę.

Każda linia odpowiada dokładnie jednej zmiennej bazowej, więc na każdym kroku z wyjątkiem ostatniego (najwyższego) sytuacja dokładnie powtarza się z ostatnią linią.

Uwaga: w praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem, ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie elementarne przekształcenia na jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a11 był równy 1 (przekształć równania lub podziel obie strony równania przez a11).

2.2 Przykłady rozwiązywania SLAE metodą Gaussa

W tej sekcji, korzystając z trzech różnych przykładów, pokażemy, jak metoda Gaussa może rozwiązać SLAE.

Przykład 1. Rozwiąż SLAE trzeciego rzędu.

Zresetujmy współczynniki przy

w drugiej i trzeciej linijce. Aby to zrobić, pomnóż je odpowiednio przez 2/3 i 1 i dodaj do pierwszej linii:

Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, który należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych xi, które zamieniają każde równanie układu w równość).

Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:

1) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej jedno rozwiązanie.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie sprawdzają się w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, Który w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi! Sam algorytm metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli metoda Cramera i metoda macierzowa wymagają znajomości wyznaczników, to do zastosowania metody Gaussa wystarczy znajomość działań arytmetycznych, co czyni ją przystępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.

Rozszerzone transformacje macierzy ( to jest macierz układu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wolnych wyrazów) układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:

1) Z troki matryce Móc przemieniać w niektórych miejscach.

2) jeżeli w macierzy pojawiają się (lub istnieją) proporcjonalne (w szczególnym przypadku – identyczne) wiersze, to należy usuwać Wszystkie te wiersze pochodzą z macierzy, z wyjątkiem jednego.

3) jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać.

4) może być wiersz macierzy mnożyć (dzielić) na dowolną liczbę inną niż zero.

5) do wiersza macierzy możesz dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera.

W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.

Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:

1. „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych sprowadź rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do postaci „trójkątnej” schodkowej: elementy rozszerzonej macierzy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch z góry na dół). Na przykład do tego typu:

Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki:

1) Rozważmy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik dla x 1 jest równy K. Drugie, trzecie itd. przekształcamy równania w następujący sposób: dzielimy każde równanie (współczynniki niewiadomych, w tym wyrazów wolnych) przez współczynnik niewiadomej x 1, który jest w każdym równaniu i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równanie (współczynniki dla niewiadomych i wyrazów wolnych). Dla x 1 w drugim równaniu otrzymujemy współczynnik 0. Od trzeciego przekształconego równania odejmujemy pierwsze równanie, aż wszystkie równania oprócz pierwszego, dla nieznanego x 1, będą miały współczynnik 0.

2) Przejdźmy do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie i współczynnik dla x 2 równy M. Postępujemy ze wszystkimi „niższymi” równaniami jak opisano powyżej. Zatem „pod” niewiadomą x 2 we wszystkich równaniach będą zera.

3) Przejdź do następnego równania i tak dalej, aż pozostanie ostatnia niewiadoma i przekształcony człon wolny.

1. „Ruch odwrotny” metody Gaussa polega na uzyskaniu rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „od dołu do góry”).

Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - niewiadomą x n. W tym celu rozwiązujemy równanie elementarne A * x n = B. W powyższym przykładzie x 3 = 4. Znalezioną wartość podstawiamy do „górnego” następnego równania i rozwiązujemy z uwzględnieniem kolejnej niewiadomej. Na przykład x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.

Przykład.

Rozwiążmy układ równań liniowych metodą Gaussa, jak radzą niektórzy autorzy:

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:
1 krok . Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

Krok 2 . Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii. Pierwsza linia pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.

Krok 3 . Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

Krok 4 . Trzecia linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez 2.

Krok 5 . Trzecia linia została podzielona przez 3.

Znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik finansowy. Oznacza to, że jeśli poniżej otrzymamy coś w rodzaju (0 0 11 |23) i odpowiednio 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem możemy powiedzieć, że podczas zajęć elementarnych popełniono błąd przemiany.

Zróbmy odwrotnie; przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że ruch odwrotny działa od dołu do góry. W tym przykładzie efektem był prezent:

x 3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, zatem x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpowiedź:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rozwiążmy ten sam układ, korzystając z zaproponowanego algorytmu. Dostajemy

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Podziel drugie równanie przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymujemy:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymujemy:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, mamy:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podziel trzecie równanie przez 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnóż trzecie równanie przez 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odejmując drugie od trzeciego równania, otrzymujemy „schodkową” rozszerzoną macierz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Zatem, ponieważ błąd narósł podczas obliczeń, otrzymujemy x 3 = 0,96 lub w przybliżeniu 1.

x 2 = 3 i x 1 = –1.

Rozwiązując w ten sposób, nigdy nie pomylisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.

Ta metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwa do zaprogramowania i nie uwzględnia specyfiki współczynników dla niewiadomych, ponieważ w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.

Życzę sukcesu! Do zobaczenia na zajęciach! Korepetytor.

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, jeśli zbiór wszystkich ich rozwiązań jest zbieżny.

Elementarne przekształcenia układu równań to:

1. Usuwanie trywialnych równań z układu, tj. takie, dla których wszystkie współczynniki są równe zeru;
2. Mnożenie dowolnego równania przez liczbę inną niż zero;
3. Dodanie do dowolnego i-tego równania dowolnego j-tego równania pomnożonego przez dowolną liczbę.

Zmienną x i nazywamy wolną, jeśli ta zmienna jest niedozwolona, ​​ale cały układ równań jest dozwolony.

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne przekształcają układ równań w równoważny.

Znaczenie metody Gaussa polega na przekształceniu pierwotnego układu równań i uzyskaniu równoważnego rozwiązanego lub równoważnego układu niespójnego.

Zatem metoda Gaussa składa się z następujących kroków:

1. Spójrzmy na pierwsze równanie. Wybierzmy pierwszy niezerowy współczynnik i podzielmy przez niego całe równanie. Otrzymujemy równanie, w które wchodzi pewna zmienna x i ze współczynnikiem 1;
2. Odejmijmy to równanie od wszystkich pozostałych, mnożąc je przez takie liczby, aby współczynniki zmiennej x i w pozostałych równaniach były zerowe. Otrzymujemy układ rozwiązany ze względu na zmienną x i równoważny pierwotnemu;
3. Jeśli pojawią się trywialne równania (rzadko, ale się zdarza; na przykład 0 = 0), skreślamy je z układu. W rezultacie jest o jedno równanie mniej;
4. Poprzednie kroki powtarzamy nie więcej niż n razy, gdzie n jest liczbą równań w układzie. Za każdym razem wybieramy nową zmienną do „przetworzenia”. Jeśli pojawią się niespójne równania (na przykład 0 = 8), system jest niespójny.

W rezultacie po kilku krokach otrzymamy albo układ rozwiązany (ewentualnie ze zmiennymi swobodnymi), albo układ niespójny. Dozwolone systemy dzielą się na dwa przypadki:

1. Liczba zmiennych jest równa liczbie równań. Oznacza to, że system jest zdefiniowany;
2. Liczba zmiennych jest większa niż liczba równań. Zbieramy wszystkie wolne zmienne po prawej stronie - otrzymujemy formuły na dozwolone zmienne. Wzory te są zapisane w odpowiedzi.

To wszystko! Układ równań liniowych rozwiązany! Jest to dość prosty algorytm i aby go opanować, nie trzeba kontaktować się z wyższym nauczycielem matematyki. Spójrzmy na przykład:

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie od drugiego i trzeciego - otrzymamy dozwoloną zmienną x 1;
2. Drugie równanie mnożymy przez (-1), a trzecie równanie dzielimy przez (-3) - otrzymujemy dwa równania, w których zmienna x 2 wchodzi ze współczynnikiem 1;
3. Dodajemy drugie równanie do pierwszego i odejmujemy od trzeciego. Otrzymujemy dozwoloną zmienną x 2 ;
4. Na koniec odejmujemy trzecie równanie od pierwszego - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 3;
5. Otrzymaliśmy zatwierdzony system, zapisz odpowiedź.

Rozwiązaniem ogólnym równoczesnego układu równań liniowych jest nowy układ, równoważny pierwotnemu, w którym wszystkie dozwolone zmienne wyrażone są w postaci wolnych.

Kiedy może być potrzebne rozwiązanie ogólne? Jeśli musisz wykonać mniej kroków niż k (k to liczba równań). Jednakże powody, dla których proces kończy się na pewnym etapie l< k , может быть две:

1. Po l-tym kroku otrzymaliśmy układ, który nie zawiera równania z liczbą (l + 1). W sumie to dobrze, bo... autoryzowany system jest nadal uzyskiwany - nawet kilka kroków wcześniej.
2. Po l-tym kroku otrzymaliśmy równanie, w którym wszystkie współczynniki zmiennych są równe zeru, a współczynnik swobodny jest różny od zera. Jest to równanie sprzeczne i dlatego układ jest niespójny.

Ważne jest, aby zrozumieć, że pojawienie się niespójnego równania przy użyciu metody Gaussa jest wystarczającą podstawą niespójności. Jednocześnie zauważamy, że w wyniku l-tego kroku nie mogą pozostać żadne trywialne równania - wszystkie są przekreślane w trakcie.

Opis kroków:

1. Odejmij pierwsze równanie pomnożone przez 4 od drugiego. Do trzeciego równania dodajemy także pierwsze - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij trzecie równanie pomnożone przez 2 od drugiego - otrzymamy sprzeczne równanie 0 = -5.

Zatem układ jest niespójny, ponieważ odkryto niespójne równanie.

Zadanie. Sprawdź kompatybilność i znajdź ogólne rozwiązanie systemu:

Opis kroków:

1. Od drugiego równania odejmujemy (po pomnożeniu przez dwa), a trzecie - otrzymujemy dozwoloną zmienną x 1;
2. Odejmij drugie równanie od trzeciego. Ponieważ wszystkie współczynniki w tych równaniach są takie same, trzecie równanie stanie się trywialne. Jednocześnie pomnóż drugie równanie przez (-1);
3. Odejmij drugą od pierwszego równania - otrzymamy dozwoloną zmienną x 2. Cały układ równań jest teraz również rozwiązany;
4. Ponieważ zmienne x 3 i x 4 są dowolne, przesuwamy je w prawo, aby wyrazić dozwolone zmienne. To jest odpowiedź.

Zatem układ jest spójny i nieokreślony, gdyż istnieją dwie zmienne dozwolone (x 1 i x 2) oraz dwie wolne (x 3 i x 4).