Nachylenie jest proste. W tym artykule przyjrzymy się problematyce związanej z płaszczyzną współrzędnych zawartej w Unified State Examination z matematyki. Są to zadania dla:
— wyznaczanie współczynnika kątowego prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które ona przechodzi;
— wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.
Czym jest odcięta i rzędna punktu, opisano w tym rozdziale. Rozważaliśmy w nim już kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co musisz zrozumieć, biorąc pod uwagę rodzaj rozważanego problemu? Trochę teorii.
Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:
Gdzie k – to jest nachylenie linii.
Następna chwila! Nachylenie prostej jest równe tangensowi kąta nachylenia prostej. Jest to kąt pomiędzy daną linią a osiąOh.
Zakres wynosi od 0 do 180 stopni.
To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie linii do postaci y = kx + B, wtedy zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).
Ponadto, jeśli na podstawie warunku możemy wyznaczyć tangens kąta nachylenia prostej, to w ten sposób znajdziemy jej współczynnik kątowy.
Kolejny punkt teoretyczny!Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.Formuła wygląda następująco:
Rozważmy zadania (podobnie jak zadania z otwartego banku zadań):
Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6;0) i (0;6).
Najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta pomiędzy osią x a daną prostą. Wiadomo, że jest ona równa nachyleniu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i oy:
Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
*Obie nogi są równe sześć (to są ich długości).
Oczywiście problem ten można rozwiązać wykorzystując wzór na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Ale to będzie dłuższe rozwiązanie.
Odpowiedź 1
Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).
Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Oznacza,
Przeprowadźmy formułę do formy y = kx + B
Stwierdziliśmy, że nachylenie k = – 1.
Odpowiedź 1
Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległy do prostej A B z osią Oh.
W tym zadaniu można znaleźć równanie prostej A, określ dla niego nachylenie. Na linii prostej B nachylenie będzie takie samo, ponieważ są one równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii B. A następnie, podstawiając do niego wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!
W tym przypadku łatwiej jest skorzystać z własności podobieństwa trójkątów.
Trójkąty prostokątne utworzone przez te (równoległe) linie i osie współrzędnych są podobne, co oznacza, że stosunki ich odpowiednich boków są równe.
Wymagana odcięta wynosi 40/3.
Odpowiedź: 40/3
Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; –12) i jest równoległy do prostej A. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej B z osią Oh.
W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania jest skorzystanie z własności podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.
Znamy punkty, przez które przechodzi prosta A. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:
Warunkowo punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Oznacza,
Przypomnijmy sobie to y = kx + B:
Mam ten kącik k = 2/3.
*Współczynnik kątowy można znaleźć poprzez tangens kąta w trójkącie prostokątnym o ramionach 8 i 12.
Wiadomo, że linie równoległe mają równe współczynniki kąta. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:
Znajdź wartość B możemy zastąpić odciętą i rzędną do równania:
Zatem linia prosta wygląda następująco:
Teraz, aby znaleźć żądaną odciętą punktu przecięcia prostej z osią x, należy podstawić y = 0:
Odpowiedź: 18
Znajdź rzędną punktu przecięcia osi Oh oraz linię przechodzącą przez punkt B(10;12) i równoległą do linii przechodzącej przez początek i punkt A(10;24).
Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).
Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:
Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Oznacza,
Przypomnijmy sobie to y = kx + B
Współczynniki kąta prostych równoległych są równe. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez punkt B(10;12) ma postać:
Oznaczający B Znajdźmy, podstawiając współrzędne punktu B(10;12) do tego równania:
Otrzymaliśmy równanie prostej:
Aby znaleźć rzędną punktu przecięcia tej linii z osią Jednostka organizacyjna należy podstawić do znalezionego równania X= 0:
*Najprostsze rozwiązanie. Stosując tłumaczenie równoległe, przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi Jednostka organizacyjna do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przesunięty” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeniesiony” do punktu (0;–12). Oznacza to, że uzyskana linia prosta przetnie oś Jednostka organizacyjna w punkcie (0;–12).
Wymagana rzędna to –12.
Odpowiedź: –12
Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej w równaniu
3x + 2у = 6, z osią Oj.
Współrzędna punktu przecięcia danej linii z osią Jednostka organizacyjna ma postać (0; Na). Podstawmy odciętą do równania X= 0 i znajdź współrzędną:
Współrzędna punktu przecięcia linii z osią Jednostka organizacyjna równa się 3.
*System został rozwiązany:
Odpowiedź: 3
Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych w równaniach
3x + 2 lata = 6 I y = – x.
Gdy dane są dwie proste i pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, rozwiązuje się układ tych równań:
W pierwszym równaniu podstawiamy - X zamiast Na:
Współrzędna jest równa minus sześć.
Odpowiedź: – 6
Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2;0) i (0;2).
Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).
Linia a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Linia b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia linii b z osią Ox.
Znajdź współrzędną punktu przecięcia osi oy i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) i równoległej do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i punkt A (6;8).
1. Należy jasno zrozumieć, że współczynnik kątowy linii prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu problemów tego typu.
2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Za jego pomocą zawsze znajdziesz równanie prostej, jeśli zostaną podane współrzędne jej dwóch punktów.
3. Pamiętaj, że współczynniki nachylenia prostych równoległych są równe.
4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest skorzystać z funkcji podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązuje się praktycznie ustnie.
5. Zadania, w których podane są dwie proste i konieczne jest znalezienie odciętej lub rzędnej punktu ich przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na kartce papieru w kwadracie) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.
6. I na koniec. Jeśli podana jest linia prosta i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, wówczas w takich problemach wygodnie jest znaleźć współczynnik kątowy, znajdując tangens kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak „zobaczyć” ten trójkąt przy różnych położeniach prostych na płaszczyźnie pokazano schematycznie poniżej:
>> Kąt prosty od 0 do 90 stopni<<
>> Kąt prosty od 90 do 180 stopni<<
To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W tym przypadku wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętaj o ogólnych zasadach przyjmowania instrumentów pochodnych i dopiero wtedy przejdź do kolejnego kroku.
- Przeczytaj artykuł.
- Opisano, jak przyjmować najprostsze pochodne, na przykład pochodną równania wykładniczego. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.
Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.
Weź pochodną podanej funkcji. Nie ma tu potrzeby budowania wykresu – wystarczy równanie funkcji. W naszym przykładzie weźmy pochodną funkcji. Weź pochodną zgodnie z metodami opisanymi w artykule wspomnianym powyżej:
- Pochodna:
Zastąp podane współrzędne punktu do znalezionej pochodnej, aby obliczyć nachylenie. Pochodna funkcji jest równa nachyleniu w pewnym punkcie. Innymi słowy, f”(x) jest nachyleniem funkcji w dowolnym punkcie (x,f(x)). W naszym przykładzie:
- Znajdź nachylenie funkcji fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2).
- Pochodna funkcji:
- fa ′ (x) = 4 x + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4x + 6)
- Zastąp wartość współrzędnej „x” tego punktu:
- fa ′ (x) = 4 (4) + 6 (\ displaystyle f" (x) = 4 (4) + 6)
- Znajdź nachylenie:
- Funkcja nachylenia fa (x) = 2 x 2 + 6 x (\ displaystyle f (x) = 2x ^ (2) + 6x) w punkcie A(4,2) jest równe 22.
Jeśli to możliwe, sprawdź swoją odpowiedź na wykresie. Pamiętaj, że nachylenia nie można obliczyć w każdym punkcie. Rachunek różniczkowy zajmuje się złożonymi funkcjami i złożonymi wykresami, gdzie nie można obliczyć nachylenia w każdym punkcie, a w niektórych przypadkach punkty w ogóle nie leżą na wykresach. Jeśli to możliwe, użyj kalkulatora graficznego, aby sprawdzić, czy nachylenie podanej funkcji jest prawidłowe. W przeciwnym razie narysuj styczną do wykresu w podanym punkcie i zastanów się, czy znaleziona wartość nachylenia odpowiada temu, co widzisz na wykresie.
- Styczna będzie miała w pewnym punkcie takie samo nachylenie jak wykres funkcji. Aby narysować styczną w danym punkcie należy przesunąć się w lewo/prawo na osi X (w naszym przykładzie 22 wartości w prawo), a następnie o jedną w górę na osi Y. Zaznacz punkt, a następnie połącz go z dany Ci punkt. W naszym przykładzie połącz punkty o współrzędnych (4,2) i (26,3).
Kontynuując temat, równanie prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Artykuł ten zawiera ogólne informacje na temat równania prostej z nachyleniem. Rozważmy definicje, uzyskajmy samo równanie i zidentyfikujmy powiązania z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązania problemu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi Ox wraz z ich współczynnikiem kątowym. Załóżmy, że dany jest kartezjański układ współrzędnych O x na płaszczyźnie.
Definicja 1
Kąt nachylenia prostej do osi Ox, znajdujący się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Gdy linia jest równoległa do O x lub pokrywa się z nią, kąt nachylenia wynosi 0. Następnie kąt nachylenia danej prostej α definiuje się na przedziale [ 0 , π) .
Definicja 2
Bezpośrednie nachylenie jest tangensem kąta nachylenia danej prostej.
Standardowe oznaczenie to k. Z definicji wynika, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówią, że nachylenie nie istnieje, ponieważ zmierza do nieskończoności.
Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i odwrotnie. Na rysunku przedstawiono różne warianty położenia kąta prostego względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.
Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że α = 120°. Z definicji nachylenie należy obliczyć. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3.
Odpowiedź: k = - 3 .
Jeżeli znany jest współczynnik kątowy i konieczne jest znalezienie kąta nachylenia do osi odciętej, należy uwzględnić wartość współczynnika kątowego. Jeżeli k > 0, to kąt prosty jest ostry i można go obliczyć ze wzoru α = a r c t g k. Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Przykład 2
Określ kąt nachylenia danej prostej do O x ze współczynnikiem kątowym 3.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że współczynnik kątowy jest dodatni, co oznacza, że kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r do t g k = a r do t g 3.
Odpowiedź: α = za r do t sol 3 .
Przykład 3
Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3.
Rozwiązanie
Jeśli za oznaczenie współczynnika kątowego przyjmiemy literę k, to α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - za r do t sol - 1 3 = π - za r do t sol 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Odpowiedź: 5 π 6 .
Równanie w postaci y = k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem prostej o nachyleniu. Równanie jest typowe dla każdej linii prostej, która nie jest równoległa do osi Oy.
Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, która jest określona równaniem ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k x + b. W tym przypadku oznacza to, że równaniu odpowiadają współrzędne dowolnego punktu na prostej. Jeśli podstawiamy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y = k x + b, to w tym przypadku prosta przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do prostej.
Przykład 4
Dana jest linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1. Oblicz, czy punkty M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) należą do podanej prostej.
Rozwiązanie
Należy podstawić współrzędne punktu M 1 (3, 0) do podanego równania, wtedy otrzymamy 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Równość jest prawdziwa, co oznacza, że punkt należy do prostej.
Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), wówczas otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Można stwierdzić, że punkt M 2 nie należy do prostej.
Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.
Wiadomo, że prostą definiuje równanie y = k · x + b, przechodzące przez M 1 (0, b), po podstawieniu otrzymaliśmy równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej ze współczynnikiem kątowym y = k x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, gdzie k = t g α.
Rozważmy jako przykład linię prostą zdefiniowaną za pomocą współczynnika kątowego określonego w postaci y = 3 x - 1. Otrzymujemy, że prosta przejdzie przez punkt o współrzędnych 0, - 1 z nachyleniem α = a r c t g 3 = π 3 radianów w kierunku dodatnim osi O x. To pokazuje, że współczynnik wynosi 3.
Równanie prostej z nachyleniem przechodzącym przez dany punkt
Należy rozwiązać problem polegający na konieczności uzyskania równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1).
Równość y 1 = k · x + b można uznać za obowiązującą, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1). Aby usunąć liczbę b, należy odjąć równanie z nachyleniem od lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1) . Równość tę nazywa się równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1).
Przykład 5
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o współczynniku kątowym równym - 2.
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy, że x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w następujący sposób: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .
Przykład 6
Napisz równanie linii prostej o współczynniku kątowym przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5), równolegle do prostej y = 2 x - 2.
Rozwiązanie
Zgodnie z warunkiem mamy, że proste równoległe mają zbieżne kąty nachylenia, co oznacza, że współczynniki kątowe są równe. Aby znaleźć nachylenie tego równania, należy pamiętać o jego podstawowym wzorze y = 2 x - 2, z czego wynika, że k = 2. Tworzymy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Odpowiedź: y = 2 x - 1 .
Przejście od równania linii prostej z nachyleniem do innych typów równań linii prostych i odwrotnie
Równanie to nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ nie jest zbyt wygodnie napisane. Aby to zrobić, musisz przedstawić to w innej formie. Na przykład równanie w postaci y = k x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego linii prostej ani współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się reprezentować za pomocą równań innego typu.
Równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie możemy otrzymać, korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kąta. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Konieczne jest przesunięcie terminu b na lewą stronę i podzielenie przez wyrażenie powstałej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Równanie prostej z nachyleniem stało się równaniem kanonicznym tej prostej.
Przykład 7
Doprowadź równanie prostej o współczynniku kątowym y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.
Rozwiązanie
Obliczmy to i przedstawmy w postaci równania kanonicznego prostej. Otrzymujemy równanie postaci:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.
Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k · x + b, ale w tym celu konieczne jest dokonanie przekształceń: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Dokonuje się przejścia od ogólnego równania prostej do równań innego typu.
Przykład 8
Biorąc pod uwagę równanie linii prostej w postaci y = 1 7 x - 2 . Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (- 1, 7) jest normalnym wektorem liniowym?
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, należy przejść do innej formy tego równania, w tym celu piszemy:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego linii. Zapiszmy to tak: n → = 1 7, - 1, stąd 1 7 x - y - 2 = 0. Jasne jest, że wektor a → = (- 1, 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7, - 1, ponieważ mamy relację uczciwą a → = - 7 · n →. Wynika z tego, że wektor pierwotny a → = - 1, 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0, co oznacza, że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 1 7 x - 2.
Odpowiedź: Jest
Rozwiążmy problem odwrotny tego.
Należy przejść od ogólnej postaci równania A x + B y + C = 0, gdzie B ≠ 0, do równania ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .
Przykład 9
Dane jest równanie linii prostej w postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Uzyskaj równanie danej linii ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Na podstawie warunku należy rozwiązać y, wówczas otrzymujemy równanie postaci:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .
W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b = 1, które nazywa się równaniem prostej w odcinkach lub równaniem kanonicznym postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musimy to rozwiązać dla y, dopiero wtedy otrzymamy równanie o nachyleniu:
x za + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x za ⇔ y = - b za · x + b.
Równanie kanoniczne można sprowadzić do postaci ze współczynnikiem kątowym. Dla tego:
x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ za y · (x - x 1) = za x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = za y · x - za y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Przykład 10
Istnieje linia prosta określona równaniem x 2 + y - 3 = 1. Sprowadź do postaci równania ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie.
Na podstawie warunku należy dokonać transformacji i wtedy otrzymamy równanie w postaci _formuły_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby otrzymać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając otrzymujemy:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .
Przykład 11
Sprowadź równanie prostej postaci x - 2 2 = y + 1 5 do postaci ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 jako proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz musisz to całkowicie włączyć, aby to zrobić:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .
Aby rozwiązać takie problemy, równania parametryczne prostej postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ należy sprowadzić do równania kanonicznego prostej, dopiero po tym można przystąpić do równania z współczynnik nachylenia.
Przykład 12
Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest ono dane przez równania parametryczne x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Rozwiązanie
Konieczne jest przejście z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z danego równania parametrycznego:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz należy rozwiązać tę równość względem y, aby otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, napiszmy to w ten sposób:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Wynika z tego, że nachylenie prostej wynosi 2. Jest to zapisane jako k = 2.
Odpowiedź: k = 2.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich jest współczynnik kątowy tej prostej. Parametr ten charakteryzuje nachylenie prostej do osi odciętej. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.
Ogólnie rzecz biorąc, dowolną linię prostą można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale a 2 + b 2 ≠ 0.
Za pomocą prostych przekształceń równanie takie można sprowadzić do postaci y=kx+d, gdzie k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego typu nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy zredukować pierwotne równanie do postaci wskazanej powyżej. Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, rozważ konkretny przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 36x - 18y = 108
Rozwiązanie: Przekształćmy pierwotne równanie.
Odpowiedź: Wymagane nachylenie tej linii wynosi 2.
Jeśli podczas transformacji równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const i w rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Współczynnik kątowy takiego linia prosta jest równa nieskończoności.
W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi odciętych. Na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rozwiązanie: Doprowadźmy pierwotne równanie do jego ogólnej postaci
24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4
Z powstałego wyrażenia nie można wyrazić y, dlatego współczynnik kątowy tej linii jest równy nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.
Znaczenie geometryczne
Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na zdjęcie:
Na rysunku widzimy wykres funkcji takiej jak y = kx. Dla uproszczenia przyjmijmy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy współczynnikowi kątowemu k. Jednocześnie stosunek BA/AO jest tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym OAB. Okazuje się, że współczynnik kątowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki ta prosta tworzy z osią odciętych siatki współrzędnych.
Rozwiązując problem znalezienia współczynnika kątowego linii prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią X siatki współrzędnych. Przypadki graniczne, gdy rozpatrywana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla prostej opisanej równaniem y=const, kąt pomiędzy nią a osią odciętych wynosi zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero i nachylenie również wynosi zero.
Dla prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią X wynosi 90 stopni. Tangens kąta prostego jest równy nieskończoności, a współczynnik kątowy podobnych prostych jest również równy nieskończoności, co potwierdza to, co napisano powyżej.
Styczne nachylenie
Częstym zadaniem często spotykanym w praktyce jest również znalezienie nachylenia stycznej do wykresu funkcji w określonym punkcie. Styczna jest linią prostą, dlatego też można do niej zastosować pojęcie nachylenia.
Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, będziemy musieli przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodną dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stała liczbowo równa tangensowi kąta utworzonego pomiędzy styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji pierwotnej w tym punkcie k = f”(x 0). Spójrzmy na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xe x przy x = 0,1.
Rozwiązanie: Znajdź pochodną funkcji pierwotnej w postaci ogólnej
y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1, e 0,1 + 2, e 0,1
Odpowiedź: Wymagane nachylenie w punkcie x = 0,1 wynosi 4,831
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.