Cylinder to bryła geometryczna ograniczona dwiema równoległymi płaszczyznami i powierzchnią cylindryczną. W artykule porozmawiamy o tym, jak znaleźć pole cylindra i korzystając ze wzoru, rozwiążemy na przykład kilka problemów.
Cylinder ma trzy powierzchnie: górę, podstawę i powierzchnię boczną.
Góra i podstawa cylindra mają kształt okręgów i są łatwe do zidentyfikowania.
Wiadomo, że pole koła jest równe πr 2. Dlatego wzór na pole dwóch okręgów (góry i podstawy walca) będzie wynosił πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Trzecia, boczna powierzchnia cylindra, to zakrzywiona ściana cylindra. Aby lepiej wyobrazić sobie tę powierzchnię, spróbujmy ją przekształcić, aby uzyskać rozpoznawalny kształt. Wyobraź sobie, że cylinder to zwykła puszka, która nie ma górnej pokrywy ani dna. Zróbmy pionowe nacięcie na bocznej ścianie od góry do podstawy puszki (Krok 1 na rysunku) i spróbujmy maksymalnie otworzyć (wyprostować) powstałą figurę (Krok 2).
Po całkowitym otwarciu powstałego słoika zobaczymy znajomą figurę (krok 3), jest to prostokąt. Pole prostokąta jest łatwe do obliczenia. Ale zanim to wróćmy na chwilę do oryginalnego cylindra. Wierzchołek pierwotnego walca jest okręgiem, a wiemy, że obwód oblicza się ze wzoru: L = 2πr. Na rysunku jest on zaznaczony na czerwono.
Kiedy ścianka boczna cylindra jest całkowicie otwarta, widzimy, że obwód staje się długością powstałego prostokąta. Bokami tego prostokąta będzie obwód (L = 2πr) i wysokość walca (h). Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego boków - S = długość x szerokość = L x h = 2πr x h = 2πrh. W rezultacie otrzymaliśmy wzór do obliczenia pola powierzchni bocznej cylindra.
Wzór na powierzchnię boczną cylindra
Strona S = 2πrh
Całkowita powierzchnia cylindra
Wreszcie, jeśli dodamy pole wszystkich trzech powierzchni, otrzymamy wzór na całkowitą powierzchnię walca. Pole powierzchni cylindra jest równe powierzchni górnej części cylindra + powierzchni podstawy cylindra + powierzchni bocznej cylindra lub S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Czasami wyrażenie to zapisuje się identycznie jak wzór 2πr (r + h).
Wzór na całkowitą powierzchnię cylindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – promień cylindra, h – wysokość cylindra
Przykłady obliczania pola powierzchni cylindra
Aby zrozumieć powyższe wzory, spróbujmy obliczyć pole powierzchni walca na przykładach.
1. Promień podstawy cylindra wynosi 2, wysokość wynosi 3. Określ pole powierzchni bocznej cylindra.
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: bok S. = 2πrh
Strona S = 2 * 3,14 * 2 * 3
Strona S = 6,28 * 6
Strona S = 37,68
Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 37,68.
2. Jak znaleźć powierzchnię walca, jeśli wysokość wynosi 4, a promień wynosi 6?
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Powierzchnia piramidy. W tym artykule przyjrzymy się problemom związanym ze zwykłymi piramidami. Przypomnę, że regularna piramida to piramida, której podstawą jest foremny wielokąt, wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek tego wielokąta.
Boczna ściana takiej piramidy jest trójkątem równoramiennym.Wysokość tego trójkąta wyciągniętego z wierzchołka regularnej piramidy nazywa się apothem, SF - apothem:
W zadaniu przedstawionym poniżej należy znaleźć pole powierzchni całej piramidy lub pole jej powierzchni bocznej. Na blogu omawialiśmy już kilka problemów ze zwykłymi ostrosłupami, gdzie pytanie dotyczyło znalezienia elementów (wysokość, krawędź podstawy, krawędź boczna).
Zadania Unified State Examination zazwyczaj badają regularne piramidy trójkątne, czworokątne i sześciokątne. Nie widziałem żadnych problemów z regularnymi piramidami pięciokątnymi i siedmiokątnymi.
Wzór na pole całej powierzchni jest prosty - trzeba znaleźć sumę pola podstawy piramidy i pola jej powierzchni bocznej:
Rozważmy zadania:
Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy wynoszą 72, krawędzie boczne wynoszą 164. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.
Pole powierzchni piramidy jest równe sumie pól powierzchni bocznej i podstawy:
*Powierzchnia boczna składa się z czterech trójkątów o równych polach. Podstawą piramidy jest kwadrat.
Pole boku piramidy możemy obliczyć za pomocą:
Zatem powierzchnia piramidy wynosi:
Odpowiedź: 28224
Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy są równe 22, krawędzie boczne są równe 61. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.
Podstawą regularnej piramidy sześciokątnej jest sześciokąt foremny.
Pole powierzchni bocznej tej piramidy składa się z sześciu obszarów równych trójkątów o bokach 61,61 i 22:
Znajdźmy obszar trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:
Zatem pole powierzchni bocznej wynosi:
Odpowiedź: 3240
*W przedstawionych powyżej zadaniach pole powierzchni bocznej można obliczyć za pomocą innego wzoru na trójkąt, ale w tym celu należy obliczyć apotem.
27155. Znajdź pole powierzchni regularnej czworokątnej piramidy, której boki podstawy wynoszą 6 i których wysokość wynosi 4.
Aby znaleźć pole powierzchni piramidy, musimy znać pole podstawy i pole powierzchni bocznej:
Pole podstawy wynosi 36, ponieważ jest to kwadrat o boku 6.
Powierzchnia boczna składa się z czterech ścian, które są równymi trójkątami. Aby znaleźć pole takiego trójkąta, musisz znać jego podstawę i wysokość (apotem):
*Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu podstawy i wysokości narysowanej do tej podstawy.
Podstawa jest znana, jest równa sześć. Znajdźmy wysokość. Rozważmy trójkąt prostokątny (zaznaczony na żółto):
Jedna noga jest równa 4, ponieważ jest to wysokość piramidy, druga jest równa 3, ponieważ jest równa połowie krawędzi podstawy. Przeciwprostokątną możemy znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:
Zatem powierzchnia całej piramidy wynosi:
Odpowiedź: 96
27069. Boki podstawy regularnej czworokątnej piramidy są równe 10, krawędzie boczne są równe 13. Znajdź pole powierzchni tej piramidy.
27070. Boki podstawy regularnej sześciokątnej piramidy są równe 10, krawędzie boczne są równe 13. Znajdź pole powierzchni bocznej tej piramidy.
Istnieją również wzory na pole powierzchni bocznej regularnej piramidy. W regularnej piramidzie podstawa jest rzutem prostopadłym powierzchni bocznej, zatem:
P- obwód podstawy, l- apotem piramidy
*Wzór ten opiera się na wzorze na pole trójkąta.
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym, jak wyprowadzane są te formuły, nie przegap tego i śledź publikację artykułów.To wszystko. Powodzenia!
Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Typowymi problemami geometrycznymi na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej są problemy wyznaczania pól powierzchni różnych figur. W tym artykule przedstawiamy wzór na pole powierzchni bocznej regularnej czworokątnej piramidy.
Co to jest piramida?
Podajmy ścisłą geometryczną definicję piramidy. Załóżmy, że mamy wielokąt mający n boków i n kątów. Wybierzmy dowolny punkt w przestrzeni, który nie będzie leżał w płaszczyźnie określonego n-kąta i połączmy go z każdym wierzchołkiem wielokąta. Otrzymamy figurę o określonej objętości, którą nazywamy piramidą n-gonalną. Na przykład pokażmy na poniższym rysunku, jak wygląda piramida pięciokątna.
Dwa ważne elementy każdej piramidy to jej podstawa (n-gon) i wierzchołek. Elementy te są połączone ze sobą n trójkątami, które na ogół nie są sobie równe. Prostopadłość schodząca od góry do podstawy nazywa się wysokością figury. Jeżeli przecina podstawę w środku geometrycznym (pokrywa się ze środkiem masy wielokąta), wówczas taką piramidę nazywamy linią prostą. Jeżeli oprócz tego warunku podstawą jest wielokąt foremny, wówczas całą piramidę nazywa się foremną. Poniższy obrazek pokazuje, jak wyglądają regularne piramidy o podstawach trójkątnych, czworokątnych, pięciokątnych i sześciokątnych.
Powierzchnia piramidy
Zanim przejdziemy do kwestii powierzchni bocznej regularnej czworokątnej piramidy, powinniśmy bardziej szczegółowo zastanowić się nad koncepcją samej powierzchni.
Jak wspomniano powyżej i pokazano na rysunkach, każda piramida składa się z zestawu ścian lub boków. Jeden bok to podstawa, a n boków to trójkąty. Powierzchnia całej figury jest sumą pól każdego z jej boków.
Wygodnie jest badać powierzchnię na przykładzie rozwoju figury. Rozwój regularnej czworokątnej piramidy pokazano na poniższych rysunkach.
Widzimy, że jego powierzchnia jest równa sumie czterech obszarów identycznych trójkątów równoramiennych i pola kwadratu.
Całkowitą powierzchnię wszystkich trójkątów tworzących boki figury nazywa się zwykle powierzchnią boczną. Następnie pokażemy, jak to obliczyć dla regularnej piramidy czworokątnej.
Powierzchnia boczna czworokątnej regularnej piramidy
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej wskazanej figury, ponownie zwracamy się do powyższego opracowania. Załóżmy, że znamy bok kwadratu. Oznaczmy to symbolem a. Można zauważyć, że każdy z czterech identycznych trójkątów ma podstawę o długości a. Aby obliczyć ich całkowitą powierzchnię, musisz znać tę wartość dla jednego trójkąta. Z kursu geometrii wiemy, że pole S t trójkąta jest równe iloczynowi podstawy i wysokości, który należy podzielić na pół. To jest:
Gdzie h b jest wysokością trójkąta równoramiennego narysowanego do podstawy a. Dla piramidy ta wysokość jest apotemem. Teraz pozostaje pomnożyć powstałe wyrażenie przez 4, aby otrzymać pole S b powierzchni bocznej omawianej piramidy:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Formuła ta zawiera dwa parametry: apotem i bok podstawy. Jeżeli w większości problematycznych warunków znana jest ta druga wartość, pierwszą należy obliczyć znając inne wielkości. Oto wzory na obliczenie apothem h b dla dwóch przypadków:
- gdy znana jest długość żebra bocznego;
- gdy znana jest wysokość piramidy.
Jeśli oznaczymy długość krawędzi bocznej (boku trójkąta równoramiennego) symbolem L, to apothem h b wyznaczamy ze wzoru:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Wyrażenie to jest wynikiem zastosowania twierdzenia Pitagorasa do trójkąta powierzchni bocznej.
Jeśli znana jest wysokość h piramidy, wówczas apotem h b można obliczyć w następujący sposób:
godz. b = √(godz. 2 + za 2 /4).
Uzyskanie tego wyrażenia również nie jest trudne, jeśli weźmiemy pod uwagę wewnątrz piramidy trójkąt prostokątny utworzony przez nogi h i a/2 oraz przeciwprostokątną h b.
Pokażmy, jak zastosować te wzory, rozwiązując dwa interesujące problemy.
Problem ze znaną powierzchnią
Wiadomo, że powierzchnia bocznej powierzchni czworokąta wynosi 108 cm2. Konieczne jest obliczenie długości jego apotemu h b, jeśli wysokość piramidy wynosi 7 cm.
Zapiszmy wzór na pole S b powierzchni bocznej w funkcji wysokości. Mamy:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Tutaj po prostu podstawiliśmy odpowiedni wzór apotemowy do wyrażenia Sb. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:
S b 2 = 4*a 2 *h 2 + za 4.
Aby znaleźć wartość a, dokonujemy zmiany zmiennych:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Teraz zastępujemy znane wartości i rozwiązujemy równanie kwadratowe:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Zapisaliśmy tylko dodatni pierwiastek tego równania. Wtedy boki podstawy piramidy będą równe:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Aby obliczyć długość apotemu, wystarczy skorzystać ze wzoru:
h b = √(h 2 + za 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Boczna powierzchnia piramidy Cheopsa
Wyznaczmy wartość pola powierzchni bocznej największej piramidy egipskiej. Wiadomo, że u jej podstawy leży kwadrat o boku 230,363 m. Wysokość konstrukcji wynosiła początkowo 146,5 metra. Podstawmy te liczby do odpowiedniego wzoru na S b, otrzymamy:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.
Znaleziona wartość jest nieco większa niż powierzchnia 17 boisk piłkarskich.
Piramida- jedna z odmian wielościanu utworzonego z wielokątów i trójkątów leżących u podstawy i stanowiących jego ściany.
Co więcej, na szczycie piramidy (tj. w jednym punkcie) wszystkie twarze są zjednoczone.
Aby obliczyć pole piramidy, warto ustalić, że jej powierzchnia boczna składa się z kilku trójkątów. I możemy łatwo znaleźć ich obszary za pomocą
różne formuły. W zależności od tego, jakie dane znamy o trójkątach, szukamy ich pola.
Podajemy kilka formuł, których można użyć do znalezienia obszaru trójkątów:
- S = (a*h)/2 . W tym przypadku znamy wysokość trójkąta H , który jest obniżony na bok A .
- S = a*b*sinβ . Oto boki trójkąta A , B , a kąt między nimi wynosi β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Oto boki trójkąta a, b, c . Promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi R .
- S = (a*b*c)/4*R . Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Tę formułę należy zastosować tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny.
- S = (a²*√3)/4 . Stosujemy ten wzór do trójkąta równobocznego.
Dopiero po obliczeniu pól wszystkich trójkątów będących ścianami naszej piramidy możemy obliczyć pole jej powierzchni bocznej. W tym celu skorzystamy z powyższych formuł.
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej piramidy, nie ma żadnych trudności: musisz znaleźć sumę pól wszystkich trójkątów. Wyraźmy to za pomocą wzoru:
Sp = ΣSi
Tutaj Si jest obszarem pierwszego trójkąta i S N - obszar bocznej powierzchni piramidy.
Spójrzmy na przykład. Biorąc pod uwagę regularną piramidę, jej boczne ściany są utworzone przez kilka trójkątów równobocznych,
« Geometria jest najpotężniejszym narzędziem wyostrzającym nasze zdolności umysłowe».
Galileo Galilei.
a kwadrat jest podstawą piramidy. Ponadto krawędź piramidy ma długość 17 cm. Znajdźmy pole powierzchni bocznej tej piramidy.
Rozumujemy w ten sposób: wiemy, że ściany piramidy są trójkątami, są równoboczne. Wiemy również, jaka jest długość krawędzi tej piramidy. Wynika z tego, że wszystkie trójkąty mają równe boki i ich długość wynosi 17 cm.
Aby obliczyć powierzchnię każdego z tych trójkątów, możesz skorzystać z następującego wzoru:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Skoro więc wiemy, że kwadrat leży u podstawy piramidy, okazuje się, że mamy cztery trójkąty równoboczne. Oznacza to, że powierzchnię boczną piramidy można łatwo obliczyć za pomocą następującego wzoru: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Nasza odpowiedź jest następująca: 500,548 cm² - jest to powierzchnia bocznej powierzchni tej piramidy.
Przygotowując się do Unified State Exam z matematyki, uczniowie muszą usystematyzować swoją wiedzę z algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, na przykład, jak obliczyć pole piramidy. Co więcej, zaczynając od podstawy i krawędzi bocznych, aż po całą powierzchnię. Jeśli sytuacja ze ścianami bocznymi jest jasna, ponieważ są to trójkąty, wówczas podstawa jest zawsze inna.
Jak znaleźć obszar podstawy piramidy?
Może to być absolutnie dowolna figura: od dowolnego trójkąta po n-gon. A ta podstawa, oprócz różnicy w liczbie kątów, może być figurą regularną lub nieregularną. W zadaniach egzaminu Unified State Exam, które interesują uczniów, znajdują się tylko zadania z prawidłowymi liczbami u podstawy. Dlatego porozmawiamy tylko o nich.
Zwykły trójkąt
Czyli równoboczny. Taki, w którym wszystkie strony są równe i są oznaczone literą „a”. W tym przypadku pole podstawy piramidy oblicza się według wzoru:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kwadrat
Wzór na obliczenie jego powierzchni jest najprostszy, tutaj „a” jest znowu bokiem:
Dowolny regularny n-gon
Bok wielokąta ma takie samo oznaczenie. Do liczby kątów używana jest łacińska litera n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Co zrobić przy obliczaniu powierzchni bocznej i całkowitej?
Ponieważ podstawą jest figura regularna, wszystkie ściany piramidy są równe. Co więcej, każdy z nich jest trójkątem równoramiennym, ponieważ krawędzie boczne są równe. Następnie, aby obliczyć pole boczne piramidy, będziesz potrzebować wzoru składającego się z sumy identycznych jednomianów. Liczbę wyrazów określa liczba boków podstawy.
Pole trójkąta równoramiennego oblicza się ze wzoru, w którym połowa iloczynu podstawy jest mnożona przez wysokość. Ta wysokość w piramidzie nazywa się apothem. Jego oznaczenie to „A”. Ogólny wzór na pole powierzchni bocznej to:
S = ½ P*A, gdzie P jest obwodem podstawy piramidy.
Zdarzają się sytuacje, gdy nie są znane boki podstawy, ale podane są krawędzie boczne (c) i kąt płaski na jej wierzchołku (α). Następnie należy skorzystać z następującego wzoru, aby obliczyć pole boczne piramidy:
S = n/2 * in 2 sin α .
Zadanie nr 1
Stan : schorzenie. Znajdź całkowite pole piramidy, jeśli jej podstawa ma bok 4 cm, a apotem ma wartość √3 cm.
Rozwiązanie. Musisz zacząć od obliczenia obwodu podstawy. Ponieważ jest to regularny trójkąt, to P = 3*4 = 12 cm Ponieważ apotem jest znany, możemy od razu obliczyć pole całej powierzchni bocznej: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Dla trójkąta u podstawy otrzymujemy następującą wartość pola: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Aby wyznaczyć całą powierzchnię, należy dodać dwie otrzymane wartości: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odpowiedź. 10√3 cm 2.
Problem nr 2
Stan. Istnieje regularna czworokątna piramida. Długość boku podstawy wynosi 7 mm, krawędź boku 16 mm. Konieczne jest sprawdzenie jego powierzchni.
Rozwiązanie. Ponieważ wielościan jest czworokątny i regularny, jego podstawą jest kwadrat. Kiedy już poznasz pole podstawy i ścian bocznych, będziesz mógł obliczyć pole piramidy. Wzór na kwadrat podano powyżej. A w przypadku ścian bocznych znane są wszystkie boki trójkąta. Dlatego możesz użyć wzoru Herona do obliczenia ich pól.
Pierwsze obliczenia są proste i prowadzą do następującej liczby: 49 mm 2. Dla drugiej wartości musisz obliczyć półobwód: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Teraz możesz obliczyć pole trójkąta równoramiennego: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Istnieją tylko cztery takie trójkąty, więc przy obliczaniu ostatecznej liczby należy ją pomnożyć przez 4.
Okazuje się: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odpowiedź. Pożądana wartość to 267,576 mm2.
Problem nr 3
Stan. W przypadku regularnej czworokątnej piramidy należy obliczyć powierzchnię. Wiadomo, że bok kwadratu ma długość 6 cm, a wysokość 4 cm.
Rozwiązanie. Najłatwiej jest użyć wzoru na iloczyn obwodu i apotema. Pierwszą wartość łatwo znaleźć. Drugie jest trochę bardziej skomplikowane.
Będziemy musieli pamiętać o twierdzeniu Pitagorasa i rozważyć Jest ono utworzone przez wysokość piramidy i apothem, czyli przeciwprostokątną. Druga noga jest równa połowie boku kwadratu, ponieważ wysokość wielościanu przypada na jego środek.
Wymagany apotem (przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego) jest równy √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Teraz możesz obliczyć wymaganą wartość: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odpowiedź. 96cm2.
Problem nr 4
Stan : schorzenie. Podano prawidłowy bok. Boki podstawy mają długość 22 mm, a krawędzie boczne 61 mm. Jaka jest powierzchnia boczna tego wielościanu?
Rozwiązanie. Rozumowanie w nim jest takie samo jak opisane w zadaniu nr 2. Tylko tam dano piramidę z kwadratem u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.
W pierwszej kolejności pole podstawy obliczamy korzystając z powyższego wzoru: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
Teraz musisz znaleźć półobwód trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną. (22+61*2):2 = 72 cm Pozostaje tylko obliczyć pole każdego takiego trójkąta ze wzoru Herona, a następnie pomnożyć je przez sześć i dodać do otrzymanego dla podstawy.
Obliczenia z wykorzystaniem wzoru Herona: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Obliczenia, które dadzą powierzchnię boczną: 660 * 6 = 3960 cm 2. Pozostaje je dodać, aby znaleźć całą powierzchnię: 5217,47≈5217 cm 2.
Odpowiedź. Podstawa ma wymiary 726√3 cm2, powierzchnia boku wynosi 3960 cm2, a całe pole wynosi 5217 cm2.