Przed znalezieniem pola trapezu należy określić znane elementy trapezu. Trapez to obiekt geometryczny, czyli czworokąt, który ma dwa równoległe boki (dwie podstawy). Pozostałe dwie strony są boczne. Jeśli te dwa boki czworoboku są również równoległe, to nie będzie to już trapez, ale równoległobok. Jeżeli co najmniej jeden kąt trapezu wynosi 90 stopni, wówczas taki trapez nazywa się prostokątnym. Przyjrzymy się później, jak znaleźć pole prostokątnego trapezu. Istnieje również trapez równoramienny, którego nazwa mówi sama za siebie: boki takiego trapezu są równe. Odległość między podstawami trapezu nazywa się wysokością, a wysokość jest bardzo często używana do obliczania pola. Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków.

Podstawowe wzory na znalezienie pola trapezu

• S= h*(a+b)/2
  Gdzie h jest wysokością trapezu, a, b to podstawy. Najczęściej stosowanym wzorem na znalezienie pola trapezu jest połowa sumy podstaw pomnożona przez wysokość.
• S = m*h
  Gdzie m jest linią środkową trapezu, h jest wysokością. Pole trapezu jest również równe iloczynowi linii środkowej trapezu i jego wysokości.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Gdzie d1, d2 to przekątne trapezu, sin(d1^d2) to sinus kąta między przekątnymi trapezu.

Istnieją również różne wzory wywodzące się z podstawowych, a także wzór na obliczenie pola trapezu, gdy znane są wszystkie jego boki. Jednak ten wzór jest dość uciążliwy i rzadko stosowany, ponieważ znając wszystkie boki trapezu, można po prostu określić wysokość lub jego linię środkową. Można także wpisać okrąg w trapez równoramienny. W takim przypadku pole trapezu zostanie obliczone ze wzoru: 8 * promień koła do kwadratu.

Jak znaleźć obszar prostokątnego trapezu

Jak wspomniano wcześniej, trapez nazywa się prostokątnym, jeśli ma co najmniej jeden kąt prosty. Znalezienie pola takiego trapezu jest bardzo proste. Zasadniczo, aby znaleźć pole prostokątnego trapezu, stosuje się te same wzory, co w przypadku zwykłego trapezu. Warto jednak pamiętać, że jednym z boków takiego trapezu będzie wysokość. Również często rozwiązywanie problemów ze znalezieniem pola prostokątnego trapezu sprowadza się do znalezienia pola prostokąta i trójkąta utworzonego przez pominiętą wysokość. Takie zadania są dość proste.

Instrukcje

Aby obie metody były bardziej zrozumiałe, możemy podać kilka przykładów.

Przykład 1: długość linii środkowej trapezu wynosi 10 cm, a jego pole wynosi 100 cm². Aby znaleźć wysokość tego trapezu, musisz wykonać:

h = 100/10 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 10 cm

Przykład 2: pole trapezu wynosi 100 cm², długości podstaw wynoszą 8 cm i 12 cm. Aby znaleźć wysokość tego trapezu, należy wykonać następującą czynność:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Odpowiedź: wysokość tego trapezu wynosi 20 cm

Uwaga

Istnieje kilka rodzajów trapezów:
Trapez równoramienny to trapez, którego boki są sobie równe.
Trapez prostokątny to trapez, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 90 stopni.
Warto zauważyć, że w trapezie prostokątnym wysokość pokrywa się z długością boku pod kątem prostym.
Można narysować okrąg wokół trapezu lub dopasować go do danej figury. W okrąg można wpisać tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego przeciwnych boków. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego.

Przydatne rady

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu, ponieważ definicja trapezu w żaden sposób nie jest sprzeczna z definicją równoległoboku. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są do siebie równoległe. W przypadku trapezu definicja odnosi się tylko do pary jego boków. Dlatego każdy równoległobok jest również trapezem. Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Źródła:

• jak znaleźć obszar wzoru trapezu

Wskazówka 2: Jak znaleźć wysokość trapezu, jeśli znana jest jego powierzchnia

Trapez to czworokąt, w którym dwa z czterech boków są do siebie równoległe. Boki równoległe są podstawami danego, dwa pozostałe są bokami danego. trapezy. Znajdować wysokość trapezy, jeśli jest znany kwadrat, będzie to bardzo łatwe.

Instrukcje

Musisz dowiedzieć się, jak obliczyć kwadrat oryginalny trapezy. Istnieje na to kilka wzorów, w zależności od danych początkowych: S = ((a+b)*h)/2, gdzie a i b są podstawami trapezy, a h to jego wysokość (Height trapezy- prostopadły, obniżony z jednej podstawy trapezy do innego);
S = m*h, gdzie m to linia trapezy(Środkowa linia to odcinek z podstawami trapezy i łącząc środki jego boków).

Aby było to jaśniejsze, można rozważyć podobne problemy: Przykład 1: Biorąc pod uwagę trapez z kwadrat 68 cm², którego środkowa linia wynosi 8 cm, musisz znaleźć wysokość dany trapezy. Aby rozwiązać ten problem, należy skorzystać z wcześniej wyprowadzonego wzoru:
h = 68/8 = 8,5 cm Odpowiedź: wysokość tego trapezy wynosi 8,5 cm. Przykład 2: Niech y trapezy kwadrat wynosi 120 cm², długość jego podstaw trapezy Odpowiednio 8 cm i 12 cm musisz znaleźć wysokość Ten trapezy. Aby to zrobić, musisz zastosować jedną z wyprowadzonych formuł:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmOdpowiedź: podana wysokość trapezy równa 12 cm

Wideo na ten temat

Uwaga

Każdy trapez ma wiele właściwości:

Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw;

Odcinek łączący przekątne trapezu jest równy połowie różnicy jego podstaw;

Jeżeli przez środki podstaw poprowadzono linię prostą, to przetnie ona punkt przecięcia przekątnych trapezu;

W trapez można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie jego boków.

Użyj tych właściwości podczas rozwiązywania problemów.

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar trapezu, jeśli znane są podstawy

Z definicji geometrycznej trapez jest czworokątem mającym tylko jedną parę boków równoległych. Te strony są jej powodów. Odległość pomiędzy powodów zwana wysokością trapezy. Znajdować kwadrat trapezy możliwe za pomocą wzorów geometrycznych.

Instrukcje

Zmierz podstawy i trapezy ABCD. Zwykle podaje się je w zadaniach. Niech w tym przykładzie problem bazowy AD (a) trapezy będzie wynosić 10 cm, podstawa BC (b) - 6 cm, wysokość trapezy BK (h) - 8 cm Użyj geometrii, aby znaleźć pole trapezy, jeśli znane są długości jego podstaw i wysokości - S= 1/2 (a+b)*h, gdzie: - a - wielkość podstawy AD trapezy ABCD, - b - wartość podstawy BC, - h - wartość wysokości BK.

W matematyce znanych jest kilka rodzajów czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok. Wśród nich jest trapez – rodzaj wypukłego czworoboku, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie. Równoległe przeciwległe boki nazywane są podstawami, a pozostałe dwa nazywane są bocznymi bokami trapezu. Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową. Istnieje kilka rodzajów trapezów: równoramienny, prostokątny, zakrzywiony. Dla każdego rodzaju trapezu istnieją wzory na znalezienie pola.

Powierzchnia trapezu

Aby znaleźć pole trapezu, musisz znać długość jego podstaw i wysokość. Wysokość trapezu to odcinek prostopadły do ​​podstaw. Niech górna podstawa będzie wynosić a, dolna podstawa będzie b, a wysokość będzie h. Następnie możesz obliczyć pole S, korzystając ze wzoru:

S = ½ * (a+b) * godz

te. weź połowę sumy podstaw pomnożonej przez wysokość.

Możliwe będzie również obliczenie pola trapezu, jeśli znana będzie wysokość i linia środkowa. Oznaczmy linię środkową - m. Następnie

Rozwiążmy bardziej skomplikowany problem: znane są długości czterech boków trapezu - a, b, c, d. Następnie obszar zostanie znaleziony za pomocą wzoru:

Jeżeli znane są długości przekątnych i kąt między nimi, wówczas obszar przeszukiwany jest w następujący sposób:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

gdzie d z indeksami 1 i 2 są przekątnymi. W tym wzorze w obliczeniach podaje się sinus kąta.

Mając znane długości podstaw a i b oraz dwa kąty przy dolnej podstawie, pole oblicza się w następujący sposób:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Powierzchnia trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny jest szczególnym przypadkiem trapezu. Różnica polega na tym, że taki trapez jest wypukłym czworokątem, którego oś symetrii przechodzi przez środki dwóch przeciwległych boków. Jego boki są równe.

Istnieje kilka sposobów znalezienia obszaru trapezu równoramiennego.

• Przez długości trzech boków. W takim przypadku długości boków będą się pokrywać, dlatego są one oznaczone jedną wartością - c oraz a i b - długości podstaw:

• Jeżeli znana jest długość podstawy górnej, bok i kąt przy podstawie dolnej, wówczas powierzchnię oblicza się w następujący sposób:

S = do * grzech α * (a + c * cos α)

gdzie a jest górną podstawą, c jest bokiem.

• Jeżeli zamiast górnej podstawy znana jest długość dolnej - b, powierzchnię oblicza się ze wzoru:

S = do * sin α * (b – c * cos α)

• Jeżeli znane są dwie podstawy i kąt przy dolnej podstawie, pole oblicza się poprzez tangens kąta:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Pole oblicza się również na podstawie przekątnych i kąta między nimi. W tym przypadku przekątne są równej długości, dlatego każdą oznaczamy literą d bez indeksów dolnych:

S = ½ * d2 * sin α

• Obliczmy pole trapezu, znając długość boku, linię środkową i kąt przy dolnej podstawie.

Niech bok będzie c, linia środkowa m, a kąt a, wtedy:

S = m * do * grzech α

Czasami w trapez równoboczny można wpisać okrąg, którego promień będzie wynosić r.

Wiadomo, że w dowolny trapez można wpisać okrąg, jeśli suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego boków. Następnie obszar można znaleźć poprzez promień okręgu wpisanego i kąt przy dolnej podstawie:

S = 4r2 / sinα

To samo obliczenie przeprowadza się na podstawie średnicy D okręgu wpisanego (nawiasem mówiąc, pokrywa się ona z wysokością trapezu):

Znając podstawę i kąt, pole trapezu równoramiennego oblicza się w następujący sposób:

S = a * b / sin α

(ten i kolejne wzory obowiązują tylko dla trapezów z wpisanym okręgiem).

Korzystając z podstaw i promienia okręgu, pole obliczamy w następujący sposób:

Jeśli znane są tylko podstawy, wówczas pole oblicza się ze wzoru:

Przez podstawy i linię boczną pole trapezu z wpisanym okręgiem oraz przez podstawy i linię środkową - m oblicza się w następujący sposób:

Pole prostokątnego trapezu

Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego boków jest prostopadły do ​​podstawy. W tym przypadku długość boku pokrywa się z wysokością trapezu.

Trapez prostokątny składa się z kwadratu i trójkąta. Po znalezieniu obszaru każdej z figur zsumuj wyniki i uzyskaj całkowitą powierzchnię figury.

Również ogólne wzory do obliczania pola trapezu nadają się do obliczania pola prostokątnego trapezu.

• Jeżeli znane są długości podstaw i wysokość (lub bok prostopadły), to pole obliczamy ze wzoru:

S = (a + b) * godz / 2

Strona boczna c może pełnić funkcję h (wysokość). Wtedy formuła wygląda następująco:

S = (a + b) * do / 2

• Innym sposobem obliczenia powierzchni jest pomnożenie długości linii środkowej przez wysokość:

lub przez długość bocznego prostopadłego boku:

• Następny sposób obliczenia polega na przeliczeniu połowy iloczynu przekątnych i sinusa kąta między nimi:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Jeżeli przekątne są prostopadłe, wzór upraszcza się do postaci:

S = ½ * d1 * d2

• Innym sposobem obliczenia jest półobwód (suma długości dwóch przeciwległych boków) i promień okręgu wpisanego.

Wzór ten obowiązuje dla zasad. Jeśli weźmiemy długości boków, wówczas jeden z nich będzie równy dwukrotności promienia. Formuła będzie wyglądać następująco:

S = (2r + c) * r

• Jeżeli okrąg wpisano w trapez, to jego pole oblicza się w ten sam sposób:

gdzie m jest długością linii środkowej.

Powierzchnia zakrzywionego trapezu

Trapez krzywoliniowy to płaska figura ograniczona wykresem nieujemnej funkcji ciągłej y = f(x), określonej na odcinku, osi x i prostych x = a, x = b. Zasadniczo dwa jego boki są do siebie równoległe (podstawy), trzeci bok jest prostopadły do ​​podstaw, a czwarty jest krzywą odpowiadającą wykresowi funkcji.

Pole trapezu krzywoliniowego wyznacza się poprzez całkę za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

W ten sposób obliczane są pola różnych typów trapezów. Ale oprócz właściwości boków trapezy mają te same właściwości kątów. Podobnie jak wszystkie istniejące czworokąty, suma kątów wewnętrznych trapezu wynosi 360 stopni. A suma kątów przylegających do boku wynosi 180 stopni.

Powierzchnia trapezu. Pozdrowienia! W tej publikacji przyjrzymy się określonej formule. Dlaczego ona taka jest i jak ją zrozumieć. Jeśli istnieje zrozumienie, nie musisz go uczyć. Jeśli chcesz tylko spojrzeć na tę formułę i pilnie, możesz od razu przewinąć stronę w dół))

Teraz szczegółowo i po kolei.

Trapez jest czworokątem, dwa boki tego czworokąta są równoległe, a pozostałe dwa nie. Te, które nie są równoległe, to podstawy trapezu. Pozostałe dwa nazywane są stronami.

Jeśli boki są równe, trapez nazywa się równoramiennym. Jeśli jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw, wówczas taki trapez nazywa się prostokątnym.

W swojej klasycznej formie trapez jest przedstawiony w następujący sposób - większa podstawa znajduje się odpowiednio na dole, mniejsza na górze. Ale nikt nie zabrania przedstawiania jej i odwrotnie. Oto szkice:

Następna ważna koncepcja.

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków. Linia środkowa jest równoległa do podstaw trapezu i równa ich połowie.

Teraz zagłębimy się głębiej. Dlaczego tak jest?

Rozważmy trapez z podstawami a i b i z linią środkową l, i wykonaj dodatkowe konstrukcje: narysuj linie proste przez podstawy i prostopadłe przez końce linii środkowej, aż przetną się z podstawami:

*Oznaczenia literowe wierzchołków i innych punktów nie zostały uwzględnione celowo, aby uniknąć niepotrzebnych oznaczeń.

Spójrz, trójkąty 1 i 2 są równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów, trójkąty 3 i 4 są takie same. Z równości trójkątów wynika równość elementów, a mianowicie nóg (są one oznaczone odpowiednio kolorem niebieskim i czerwonym).

Teraz uwaga! Jeśli mentalnie „odetniemy” niebieskie i czerwone segmenty od dolnej podstawy, pozostanie nam odcinek (jest to bok prostokąta) równy środkowej linii. Następnie, jeśli „przykleimy” wycięte segmenty niebieski i czerwony do górnej podstawy trapezu, to otrzymamy również odcinek (jest to jednocześnie bok prostokąta) równy linii środkowej trapezu.

Rozumiem? Okazuje się, że suma podstaw będzie równa dwóm środkowym liniom trapezu:

Zobacz inne wyjaśnienie

Zróbmy tak - skonstruuj linię prostą przechodzącą przez dolną podstawę trapezu oraz linię prostą, która przejdzie przez punkty A i B:

Otrzymujemy trójkąty 1 i 2, są one równe wzdłuż boku i sąsiednich kątów (drugi znak równości trójkątów). Oznacza to, że powstały odcinek (na szkicu jest zaznaczony na niebiesko) jest równy górnej podstawie trapezu.

Teraz rozważmy trójkąt:

*Środek tego trapezu pokrywa się z linią środkową trójkąta.

Wiadomo, że trójkąt jest równy połowie równoległej do niego podstawy, czyli:

OK, wymyśliliśmy to. Teraz o obszarze trapezu.

Wzór na pole trapezu:

Mówią: pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.

Oznacza to, że jest równy iloczynowi linii środkowej i wysokości:

Pewnie już zauważyłeś, że to oczywiste. Geometrycznie można to wyrazić w ten sposób: jeśli w myślach odetniemy trójkąty 2 i 4 z trapezu i umieścimy je odpowiednio na trójkątach 1 i 3:

Otrzymamy wtedy prostokąt o polu równym polu naszego trapezu. Pole tego prostokąta będzie równe iloczynowi linii środkowej i wysokości, to znaczy możemy napisać:

Ale tu nie chodzi oczywiście o pisanie, ale o zrozumienie.

Pobierz (przejrzyj) materiał artykułu w formacie *pdf

To wszystko. Powodzenia!

Pozdrawiam, Aleksander.

I . Teraz możemy zacząć zastanawiać się, jak znaleźć obszar trapezu. To zadanie pojawia się bardzo rzadko w życiu codziennym, ale czasami okazuje się konieczne, aby na przykład znaleźć powierzchnię pokoju w kształcie trapezu, który jest coraz częściej stosowany przy budowie nowoczesnych mieszkań, lub w projektować projekty renowacji.

Trapez to figura geometryczna utworzona przez cztery przecinające się odcinki, z których dwa są równoległe do siebie i nazywane są podstawami trapezu. Pozostałe dwa odcinki nazywane są bokami trapezu. Ponadto będziemy potrzebować później innej definicji. Jest to środkowa linia trapezu, czyli odcinek łączący środki boków i wysokość trapezu, która jest równa odległości między podstawami.
Podobnie jak trójkąty, trapezy mają specjalne typy w postaci trapezu równoramiennego (równobocznego), w którym długości boków są takie same, oraz trapezu prostokątnego, w którym jeden z boków tworzy kąt prosty z podstawami.

Trapezy mają kilka interesujących właściwości:

1. Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy podstaw i jest do nich równoległa.
   
2. Trapezy równoramienne mają równe boki i kąty, które tworzą z podstawami.
   
3. Środki przekątnych trapezu i punkt przecięcia jego przekątnych leżą na tej samej prostej.
   
4. Jeżeli suma boków trapezu jest równa sumie podstaw, to można w niego wpisać okrąg
   
5. Jeżeli suma kątów utworzonych przez boki trapezu przy którejkolwiek z jego podstaw wynosi 90, to długość odcinka łączącego środki podstaw jest równa ich połowie różnicy.
   
6. Trapez równoramienny można opisać za pomocą okręgu. I odwrotnie. Jeśli trapez mieści się w okręgu, to jest równoramienny.
   
7. Odcinek przechodzący przez środki podstaw trapezu równoramiennego będzie prostopadły do ​​jego podstaw i reprezentuje oś symetrii.
   

Jak znaleźć obszar trapezu.

Pole trapezu będzie równe połowie sumy jego podstaw pomnożonej przez jego wysokość. W formie wzoru zapisuje się to jako wyrażenie:

gdzie S to powierzchnia trapezu, a, b to długość każdej z podstaw trapezu, h to wysokość trapezu.

Możesz zrozumieć i zapamiętać tę formułę w następujący sposób. Jak wynika z poniższego rysunku, za pomocą linii środkowej trapez można przekształcić w prostokąt, którego długość będzie równa połowie sumy podstaw.

Możesz także rozłożyć dowolny trapez na prostsze figury: prostokąt i jeden lub dwa trójkąty, a jeśli jest to dla ciebie łatwiejsze, znajdź obszar trapezu jako sumę pól jego figur składowych.

Istnieje inny prosty wzór na obliczenie jego powierzchni. Zgodnie z nim pole trapezu jest równe iloczynowi jego linii środkowej przez wysokość trapezu i zapisuje się w postaci: S = m*h, gdzie S jest polem, m jest długością trapezu linia środkowa, h jest wysokością trapezu. Ten wzór jest bardziej odpowiedni do problemów matematycznych niż do problemów codziennych, ponieważ w rzeczywistych warunkach nie poznasz długości linii środkowej bez wstępnych obliczeń. I będziesz znać tylko długości podstaw i boków.

W takim przypadku obszar trapezu można znaleźć za pomocą wzoru:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

gdzie S to pole, a, b to podstawy, c, d to boki trapezu.

Istnieje kilka innych sposobów znalezienia obszaru trapezu. Są jednak mniej więcej tak samo niewygodne jak ostatnia formuła, co oznacza, że ​​nie ma sensu się nad nimi rozwodzić. Dlatego zalecamy skorzystanie z pierwszej formuły z artykułu i życzymy, abyś zawsze uzyskiwał dokładne wyniki.