Pochodna funkcji jest jednym z trudnych tematów w programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.
W tym artykule w prosty i jasny sposób wyjaśniono, czym jest instrument pochodny i dlaczego jest potrzebny.. Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.
Przypomnijmy definicję:
Pochodna jest szybkością zmiany funkcji.
Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który rośnie szybciej?
Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmian, czyli największą pochodną.
Oto kolejny przykład.
Kostya, Grisza i Matwiej dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:
Wykres pokazuje wszystko na raz, prawda? Dochody Kostyi wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Matveya spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale szybkość zmiany funkcji, tj pochodna, - różny. Jeśli chodzi o Matveya, jego instrument pochodny dochodowy jest generalnie ujemny.
Intuicyjnie łatwo szacujemy szybkość zmian funkcji. Ale jak to zrobić?
Tak naprawdę patrzymy na to, jak stromo wykres funkcji rośnie (lub maleje). Innymi słowy, jak szybko zmienia się y, gdy zmienia się x? Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różne wartości pochodnych – czyli może zmieniać się szybciej lub wolniej.
Oznacza się pochodną funkcji.
Pokażemy Ci, jak to znaleźć za pomocą wykresu.
Narysowano wykres pewnej funkcji. Weźmy punkt z odciętą. Narysujmy w tym punkcie styczną do wykresu funkcji. Chcemy oszacować, jak stromo rośnie wykres funkcji. Wygodną wartością jest to tangens kąta stycznego.
Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w tym punkcie.
Należy pamiętać, że za kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi.
Czasami uczniowie pytają, czym jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma jeden punkt wspólny z wykresem w tej sekcji, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.
Znajdźmy to. Pamiętamy, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Z trójkąta:
Pochodną znaleźliśmy za pomocą wykresu, nawet nie znając wzoru funkcji. Takie problemy często można znaleźć w jednolitym egzaminie państwowym z matematyki pod numerem.
Jest jeszcze jedna ważna zależność. Przypomnijmy, że linię prostą wyznacza równanie
Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. Jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi.
.
Rozumiemy to
Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.
Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.
Inaczej mówiąc, pochodna jest równa tangensowi kąta stycznego.
Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja może mieć różne pochodne w różnych punktach. Zobaczmy, jak pochodna jest powiązana z zachowaniem funkcji.
Narysujmy wykres jakiejś funkcji. Niech ta funkcja rośnie w niektórych obszarach i maleje w innych, i to w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.
W pewnym momencie funkcja wzrasta. Styczna do wykresu narysowanego w punkcie tworzy kąt ostry; z dodatnim kierunkiem osi. Oznacza to, że pochodna w tym punkcie jest dodatnia.
W tym momencie nasza funkcja maleje. Styczna w tym punkcie tworzy kąt rozwarty; z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w tym punkcie jest ujemna.
Oto, co się dzieje:
Jeśli funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia.
Jeśli maleje, jego pochodna jest ujemna.
Co stanie się w punktach maksymalnych i minimalnych? Widzimy, że w punktach (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. Zatem tangens stycznej w tych punktach wynosi zero i pochodna również wynosi zero.
Punkt - maksymalny punkt. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.
W punkcie - punkcie minimalnym - pochodna również wynosi zero, ale jej znak zmienia się z „minus” na „plus”.
Wniosek: korzystając z pochodnej, możemy dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje na temat zachowania funkcji.
Jeżeli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie.
Jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje.
W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z „plus” na „minus”.
W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z „minus” na „plus”.
Zapiszmy te wnioski w formie tabeli:
| wzrasta | maksymalny punkt | maleje | minimalny punkt | wzrasta | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Będziesz potrzebować jednego z nich podczas rozwiązywania problemu. Kolejny - w pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.
Możliwe jest, że pochodna funkcji w pewnym punkcie jest równa zeru, ale funkcja nie ma w tym punkcie ani maksimum, ani minimum. Jest to tzw :
W pewnym momencie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna wynosi zero. Jednak przed punktem funkcja wzrosła - a po punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej się nie zmienia – pozostaje dodatni tak jak był.
Zdarza się również, że w punkcie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada to ostremu załamaniu, gdy w danym punkcie nie da się narysować stycznej.
Jak znaleźć pochodną, jeśli funkcję podaje nie wykres, ale wzór? W tym przypadku ma to zastosowanie
W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich jest współczynnik kątowy tej prostej. Parametr ten charakteryzuje nachylenie prostej do osi odciętej. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.
Ogólnie rzecz biorąc, dowolną linię można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale a 2 + b 2 ≠ 0.
Za pomocą prostych przekształceń równanie takie można sprowadzić do postaci y=kx+d, gdzie k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego typu nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy zredukować pierwotne równanie do postaci wskazanej powyżej. Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, rozważ konkretny przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej określonej równaniem 36x - 18y = 108
Rozwiązanie: Przekształćmy pierwotne równanie.
Odpowiedź: Wymagane nachylenie tej linii wynosi 2.
Jeśli podczas transformacji równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const i w rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Współczynnik kątowy takiego linia prosta jest równa nieskończoności.
W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi odciętych. Na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rozwiązanie: Doprowadźmy pierwotne równanie do jego ogólnej postaci
24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4
Z powstałego wyrażenia nie można wyrazić y, dlatego współczynnik kątowy tej linii jest równy nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.
Znaczenie geometryczne
Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na zdjęcie:
Na rysunku widzimy wykres funkcji takiej jak y = kx. Dla uproszczenia przyjmijmy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy współczynnikowi kątowemu k. Jednocześnie stosunek BA/AO jest tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym OAB. Okazuje się, że współczynnik kątowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki ta prosta tworzy z osią odciętych siatki współrzędnych.
Rozwiązując problem znalezienia współczynnika kątowego linii prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią X siatki współrzędnych. Przypadki graniczne, gdy rozpatrywana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla prostej opisanej równaniem y=const, kąt pomiędzy nią a osią odciętych wynosi zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero i nachylenie również wynosi zero.
Dla prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią X wynosi 90 stopni. Tangens kąta prostego jest równy nieskończoności, a współczynnik kątowy podobnych prostych jest również równy nieskończoności, co potwierdza to, co napisano powyżej.
Nachylenie styczne
Częstym zadaniem często spotykanym w praktyce jest również znalezienie nachylenia stycznej do wykresu funkcji w określonym punkcie. Styczna jest linią prostą, dlatego też można do niej zastosować pojęcie nachylenia.
Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, będziemy musieli przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodną dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stała liczbowo równa tangensowi kąta utworzonego pomiędzy styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji pierwotnej w tym punkcie k = f”(x 0). Spójrzmy na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xe x przy x = 0,1.
Rozwiązanie: Znajdź pochodną funkcji pierwotnej w postaci ogólnej
y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1, e 0,1 + 2, e 0,1
Odpowiedź: Wymagane nachylenie w punkcie x = 0,1 wynosi 4,831
Temat „Współczynnik kątowy stycznej jako tangens kąta nachylenia” otrzymuje kilka zadań na egzaminie certyfikacyjnym. W zależności od stanu zdrowia absolwent może zostać poproszony o udzielenie pełnej lub krótkiej odpowiedzi. Przygotowując się do zdania Unified State Examation z matematyki, student powinien zdecydowanie powtórzyć zadania wymagające obliczenia nachylenia stycznej.
Pomoże Ci w tym portal edukacyjny Shkolkovo. Nasi specjaliści przygotowali i przedstawili materiał teoretyczny i praktyczny w możliwie najbardziej przystępny sposób. Po zapoznaniu się z nim absolwenci dowolnego poziomu wykształcenia będą w stanie skutecznie rozwiązywać problemy związane z pochodnymi, w których konieczne jest znalezienie tangensa kąta stycznego.
Przegląd najważniejszych wydarzeń
Aby znaleźć prawidłowe i racjonalne rozwiązanie takich zadań na egzaminie Unified State Exam, należy pamiętać o podstawowej definicji: pochodna reprezentuje szybkość zmian funkcji; jest równy tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w pewnym punkcie. Równie ważne jest uzupełnienie rysunku. Pozwoli Ci to znaleźć właściwe rozwiązanie problemów USE na pochodnej, w której trzeba obliczyć tangens kąta stycznego. Dla przejrzystości najlepiej jest wykreślić wykres na płaszczyźnie OXY.
Jeśli zapoznałeś się już z podstawowym materiałem na temat pochodnych i jesteś gotowy, aby rozpocząć rozwiązywanie problemów związanych z obliczaniem tangensa kąta stycznego, podobnie jak w przypadku zadań z egzaminu Unified State Exam, możesz to zrobić online. Do każdego zadania, na przykład problemów na temat „Zależność pochodnej od prędkości i przyspieszenia ciała”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. Jednocześnie studenci mogą ćwiczyć wykonywanie zadań o różnym stopniu złożoności. W razie potrzeby ćwiczenie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby móc później omówić rozwiązanie z nauczycielem.
Kontynuując temat, równanie prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Artykuł ten zawiera ogólne informacje na temat równania prostej z nachyleniem. Rozważmy definicje, uzyskajmy samo równanie i zidentyfikujmy powiązania z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązania problemu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi Ox wraz z ich współczynnikiem kątowym. Załóżmy, że dany jest kartezjański układ współrzędnych O x na płaszczyźnie.
Definicja 1
Kąt nachylenia prostej do osi Ox, znajdujący się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Gdy linia jest równoległa do O x lub pokrywa się z nią, kąt nachylenia wynosi 0. Następnie kąt nachylenia danej prostej α wyznacza się na przedziale [ 0 , π) .
Definicja 2
Bezpośrednie nachylenie jest tangensem kąta nachylenia danej prostej.
Standardowe oznaczenie to k. Z definicji wynika, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówią, że nachylenie nie istnieje, ponieważ zmierza do nieskończoności.
Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i odwrotnie. Na rysunku przedstawiono różne warianty położenia kąta prostego względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.
Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że α = 120°. Z definicji nachylenie należy obliczyć. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3.
Odpowiedź: k = - 3 .
Jeżeli znany jest współczynnik kątowy i konieczne jest znalezienie kąta nachylenia do osi odciętej, należy uwzględnić wartość współczynnika kątowego. Jeżeli k > 0, to kąt prosty jest ostry i można go obliczyć ze wzoru α = a r c t g k. Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Przykład 2
Określ kąt nachylenia danej prostej do O x ze współczynnikiem kątowym 3.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że współczynnik kątowy jest dodatni, co oznacza, że kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r do t g k = a r do t g 3.
Odpowiedź: α = za r do t sol 3 .
Przykład 3
Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3.
Rozwiązanie
Jeżeli za oznaczenie współczynnika kątowego przyjmiemy literę k, wówczas α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim O x. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - za r do t sol - 1 3 = π - za r do t sol 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Odpowiedź: 5 π 6 .
Równanie w postaci y = k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem prostej o nachyleniu. Równanie jest typowe dla dowolnej linii prostej, która nie jest równoległa do osi O y.
Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, która jest określona równaniem ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k x + b. W tym przypadku oznacza to, że równaniu odpowiadają współrzędne dowolnego punktu na prostej. Jeśli podstawiamy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y = k x + b, to w tym przypadku prosta przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do prostej.
Przykład 4
Dana jest linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1. Oblicz, czy punkty M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) należą do podanej prostej.
Rozwiązanie
Należy podstawić współrzędne punktu M 1 (3, 0) do podanego równania, wtedy otrzymamy 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Równość jest prawdziwa, co oznacza, że punkt należy do prostej.
Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), wówczas otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Można stwierdzić, że punkt M 2 nie należy do prostej.
Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.
Wiadomo, że prostą definiuje równanie y = k · x + b, przechodzące przez M 1 (0, b), po podstawieniu otrzymaliśmy równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej ze współczynnikiem kątowym y = k x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, gdzie k = t g α.
Rozważmy jako przykład linię prostą zdefiniowaną za pomocą współczynnika kątowego określonego w postaci y = 3 x - 1. Otrzymujemy, że prosta przejdzie przez punkt o współrzędnych 0, - 1 o nachyleniu α = a r c t g 3 = π 3 radianów w kierunku dodatnim osi O x. To pokazuje, że współczynnik wynosi 3.
Równanie prostej z nachyleniem przechodzącym przez dany punkt
Należy rozwiązać problem polegający na konieczności uzyskania równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1).
Równość y 1 = k · x + b można uznać za obowiązującą, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1). Aby usunąć liczbę b, należy odjąć równanie z nachyleniem od lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1) . Równość tę nazywa się równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1).
Przykład 5
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o współczynniku kątowym równym - 2.
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy, że x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w następujący sposób: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .
Przykład 6
Napisz równanie linii prostej o współczynniku kątowym przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5), równolegle do prostej y = 2 x - 2.
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy, że linie równoległe mają identyczne kąty nachylenia, co oznacza, że współczynniki kątowe są równe. Aby znaleźć nachylenie tego równania, należy pamiętać o jego podstawowym wzorze y = 2 x - 2, z czego wynika, że k = 2. Tworzymy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Odpowiedź: y = 2 x - 1 .
Przejście od równania linii prostej z nachyleniem do innych typów równań linii prostych i odwrotnie
Równanie to nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ nie jest zbyt wygodnie napisane. Aby to zrobić, musisz przedstawić to w innej formie. Na przykład równanie w postaci y = k x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego linii prostej ani współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się reprezentować za pomocą równań innego typu.
Równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie możemy otrzymać, korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kąta. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Konieczne jest przesunięcie terminu b na lewą stronę i podzielenie przez wyrażenie powstałej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Równanie prostej z nachyleniem stało się równaniem kanonicznym tej prostej.
Przykład 7
Doprowadź równanie prostej o współczynniku kątowym y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.
Rozwiązanie
Obliczmy to i przedstawmy w postaci równania kanonicznego prostej. Otrzymujemy równanie postaci:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.
Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k · x + b, ale w tym celu konieczne jest dokonanie przekształceń: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Dokonuje się przejścia od ogólnego równania prostej do równań innego typu.
Przykład 8
Biorąc pod uwagę równanie linii prostej w postaci y = 1 7 x - 2 . Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (- 1, 7) jest normalnym wektorem liniowym?
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, należy przejść do innej formy tego równania, w tym celu piszemy:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego linii. Zapiszmy to tak: n → = 1 7, - 1, stąd 1 7 x - y - 2 = 0. Jasne jest, że wektor a → = (- 1, 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7, - 1, ponieważ mamy relację uczciwą a → = - 7 · n →. Wynika z tego, że pierwotny wektor a → = - 1, 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0, co oznacza, że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 1 7 x - 2.
Odpowiedź: Jest
Rozwiążmy problem odwrotny tego.
Należy przejść od ogólnej postaci równania A x + B y + C = 0, gdzie B ≠ 0, do równania ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .
Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .
Przykład 9
Dane jest równanie linii prostej w postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Uzyskaj równanie danej linii ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Na podstawie warunku należy rozwiązać y, wówczas otrzymujemy równanie postaci:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .
W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b = 1, które nazywa się równaniem prostej w odcinkach lub równaniem kanonicznym postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y. Musimy to rozwiązać dla y, dopiero wtedy otrzymamy równanie o nachyleniu:
x za + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x za ⇔ y = - b za · x + b.
Równanie kanoniczne można sprowadzić do postaci ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić:
x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ za y · (x - x 1) = za x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = za y · x - za y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Przykład 10
Istnieje linia prosta określona równaniem x 2 + y - 3 = 1. Sprowadź do postaci równania ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie.
Na podstawie warunku należy dokonać transformacji i wtedy otrzymamy równanie w postaci _formuły_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby otrzymać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając otrzymujemy:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .
Przykład 11
Sprowadź równanie prostej postaci x - 2 2 = y + 1 5 do postaci ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 jako proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz musisz to całkowicie włączyć, aby to zrobić:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .
Aby rozwiązać takie problemy, równania parametryczne prostej postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ należy sprowadzić do równania kanonicznego prostej, dopiero po tym można przystąpić do równania z współczynnik nachylenia.
Przykład 12
Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest ono dane przez równania parametryczne x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Rozwiązanie
Konieczne jest przejście z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z danego równania parametrycznego:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz należy rozwiązać tę równość względem y, aby otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, napiszmy to w ten sposób:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Wynika z tego, że nachylenie prostej wynosi 2. Jest to zapisane jako k = 2.
Odpowiedź: k = 2.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W poprzednim rozdziale wykazano, że wybierając na płaszczyźnie określony układ współrzędnych, można analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej za pomocą równania pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale przyjrzymy się równaniom linii prostych.
Aby utworzyć równanie prostej we współrzędnych kartezjańskich, należy w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.
Na początek wprowadzimy pojęcie współczynnika kątowego prostej, będącego jedną z wielkości charakteryzujących położenie prostej na płaszczyźnie.
Kąt nachylenia prostej do osi Wół nazwijmy kątem, o który należy obrócić oś Wół, aby pokrywała się z daną linią (lub okazała się do niej równoległa). Jak zwykle, kąt rozważymy biorąc pod uwagę znak (znak zależy od kierunku obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Ox o kąt 180° ponownie zrówna ją z prostą, nie da się jednoznacznie wybrać kąta nachylenia prostej do osi (aż do wyrazu będącego wielokrotnością ) .
Tangens tego kąta jest wyznaczany jednoznacznie (ponieważ zmiana kąta nie zmienia jego tangensu).
Tangens kąta nachylenia prostej do osi Wółu nazywany jest współczynnikiem kątowym prostej.
Współczynnik kątowy charakteryzuje kierunek prostej (nie rozróżniamy tutaj dwóch wzajemnie przeciwnych kierunków prostej). Jeżeli nachylenie linii wynosi zero, to linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim współczynniku kątowym kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszą dodatnią wartość kąta nachylenia) (ryc. 39); Co więcej, im większy współczynnik kątowy, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wołu. Jeżeli współczynnik kątowy będzie ujemny, wówczas kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie rozwarty (ryc. 40). Należy zauważyć, że prosta prostopadła do osi Wółu nie ma współczynnika kątowego (styczna kąta nie istnieje).