Wstecz Naprzód
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Typ lekcji: lekcja uczenia się nowego materiału z wykorzystaniem elementów metody nauczania rozwojowego opartego na problemie.
Cele lekcji:
- edukacyjny:
- zapoznanie się z nowym pojęciem matematycznym;
- utworzenie nowych ośrodków szkoleniowych;
- kształtowanie praktycznych umiejętności rozwiązywania problemów.
- rozwijanie:
- rozwój samodzielnego myślenia uczniów;
- rozwój umiejętności prawidłowej mowy dzieci w wieku szkolnym.
- edukacyjny:
- rozwijanie umiejętności pracy w zespole.
Wyposażenie lekcji: tablica magnetyczna, komputer, ekran, projektor multimedialny, model stożka, prezentacja lekcji, materiały informacyjne.
Cele lekcji (dla uczniów):
- zapoznaj się z nową koncepcją geometryczną - stożkiem;
- wyprowadź wzór na obliczenie pola powierzchni stożka;
- nauczyć się wykorzystywać zdobytą wiedzę przy rozwiązywaniu praktycznych problemów.
Postęp lekcji
Etap I. Organizacyjne.
Wręczenie zeszytów z domowymi pracami testowymi z omawianego tematu.
Uczniowie proszeni są o poznanie tematu nadchodzącej lekcji poprzez rozwiązanie zagadki (slajd 1):
Rysunek 1.
Ogłoszenie uczniom tematu i celów lekcji (slajd 2).
Etap II. Wyjaśnienie nowego materiału.
1) Wykład nauczyciela.
Na tablicy znajduje się tabela z wizerunkiem stożka. Wyjaśnieniu nowego materiału towarzyszy materiał programowy „Stereometria”. Na ekranie pojawia się trójwymiarowy obraz stożka. Nauczyciel podaje definicję stożka i opowiada o jego elementach. (slajd 3). Mówi się, że stożek to bryła utworzona przez obrót trójkąta prostokątnego względem nogi. (slajdy 4, 5). Pojawia się obraz skanu powierzchni bocznej stożka. (slajd 6)
2) Praca praktyczna.
Aktualizacja podstawowej wiedzy: powtórz wzory na obliczenie pola koła, pola sektora, długości koła, długości łuku koła. (slajdy 7–10)
Klasa jest podzielona na grupy. Każda grupa otrzymuje skan powierzchni bocznej wyciętego z papieru stożka (wycinek koła z przypisanym numerem). Studenci dokonują niezbędnych pomiarów i obliczają powierzchnię powstałego sektora. Na ekranie pojawiają się instrukcje dotyczące wykonania pracy, pytania – zestawienia problemów (slajdy 11–14). Przedstawiciel każdej grupy zapisuje wyniki obliczeń w przygotowanej na tablicy tabeli. Uczestnicy w każdej grupie sklejają model stożka według posiadanego wzoru. (slajd 15)
3) Stwierdzenie i rozwiązanie problemu.
Jak obliczyć pole powierzchni bocznej stożka, jeśli znany jest tylko promień podstawy i długość tworzącej stożka? (slajd 16)
Każda grupa dokonuje niezbędnych pomiarów i na podstawie dostępnych danych stara się wyprowadzić wzór na obliczenie wymaganej powierzchni. Wykonując tę pracę, uczniowie powinni zwrócić uwagę, że obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wycinka – rozwinięcia powierzchni bocznej tego stożka. (slajdy 17–21) Korzystając z niezbędnych wzorów, wyprowadza się żądaną formułę. Argumenty uczniów powinny wyglądać mniej więcej tak:
Promień omiatania sektora jest równy ja, stopień miary łuku – φ. Pole sektora oblicza się ze wzoru: długość łuku ograniczającego ten sektor jest równa promieniowi podstawy stożka R. Długość okręgu leżącego u podstawy stożka wynosi C = 2πR . Należy zauważyć, że ponieważ powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest równa powierzchni rozwoju jego powierzchni bocznej, to
Zatem obszar powierzchni bocznej stożka oblicza się ze wzoru S BZT = πRl.
Po obliczeniu pola powierzchni bocznej modelu stożka za pomocą samodzielnie wyprowadzonego wzoru, przedstawiciel każdej grupy zapisuje wynik obliczeń w tabeli na tablicy zgodnie z numerami modeli. Wyniki obliczeń w każdym wierszu muszą być równe. Na tej podstawie nauczyciel określa poprawność wniosków każdej grupy. Tabela wyników powinna wyglądać następująco:
|
Nr modelu |
mam zadanie |
II zadanie |
(125/3) π ~ 41,67 π |
||
(425/9) π ~ 47,22 π |
||
(539/9) π ~ 59,89 π |
Parametry modelu:
- l=12 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=150°
- l=15 cm, φ=120°
- l=10 cm, φ=170°
- l=14 cm, φ=110°
Aproksymacja obliczeń obarczona jest błędami pomiarowymi.
Po sprawdzeniu wyników na ekranie pojawia się wynik wzorów na pola powierzchni bocznej i całkowitej stożka (slajdy 22–26), uczniowie prowadzą notatki w zeszytach.
Etap III. Konsolidacja badanego materiału.
1) Studenci są oferowani zadania do rozwiązania ustnego na gotowych rysunkach.
Znajdź pola pełnych powierzchni stożków pokazanych na rysunkach (slajdy 27–32).
2) Pytanie: Czy pola powierzchni stożków utworzonych przez obrót jednego trójkąta prostokątnego wokół różnych boków są równe? Uczniowie stawiają hipotezę i ją testują. Hipoteza jest sprawdzana poprzez rozwiązywanie problemów i zapisana przez ucznia na tablicy.
Dany:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА”, АВВ” – ciała obrotowe.
Znajdować: S PPK 1, S PPK 2.
Rysunek 5. (slajd 33)
Rozwiązanie:
1) R=BC = za; S PPK 1 = S BZT 1 + S główny 1 = π za do + π za 2 = π za (a + c).
2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S podstawa 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Jeżeli S PPK 1 = S PPK 2, to za 2 +ac = b 2 + bc, za 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Ponieważ a, b, c – liczby dodatnie (długości boków trójkąta), równość jest prawdziwa tylko wtedy, gdy a =B.
Wniosek: Pola powierzchni dwóch stożków są równe tylko wtedy, gdy boki trójkąta są równe. (slajd 34)
3) Rozwiązanie zadania z podręcznika: nr 565.
Etap IV. Podsumowanie lekcji.
Praca domowa: paragrafy 55, 56; Nr 548, Nr 561. (slajd 35)
Ogłoszenie przyznanych ocen.
Wnioski w trakcie lekcji, powtórzenie głównych informacji uzyskanych podczas lekcji.
Literatura (slajd 36)
- Klasy geometryczne 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i in., M., „Prosveshchenie”, 2008.
- „Matematyczne łamigłówki i szarady” – N.V. Udaltsova, biblioteka „Pierwszy września”, seria „MATEMATYKA”, nr 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Dzisiaj powiemy Ci, jak znaleźć tworzącą stożka, co jest często wymagane w szkolnych zadaniach z geometrii.
Pojęcie tworzącej stożka
Stożek prawy to figura uzyskana poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg. Podstawa stożka tworzy okrąg. Przekrój pionowy stożka to trójkąt, przekrój poziomy to okrąg. Wysokość stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem podstawy. Tworząca stożka to odcinek łączący wierzchołek stożka z dowolnym punktem na linii okręgu podstawowego.
Ponieważ stożek powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego, okazuje się, że pierwsza noga takiego trójkąta to wysokość, druga to promień okręgu leżącego u podstawy, a przeciwprostokątna to tworząca stożka. Nietrudno zgadnąć, że twierdzenie Pitagorasa jest przydatne do obliczenia długości generatora. A teraz więcej o tym, jak znaleźć długość tworzącej stożka.
Znalezienie generatora
Najprostszym sposobem, aby zrozumieć, jak znaleźć generator, jest konkretny przykład. Załóżmy, że podane są następujące warunki problemu: wysokość wynosi 9 cm, średnica koła podstawowego wynosi 18 cm. Konieczne jest znalezienie tworzącej.
Tak więc wysokość stożka (9 cm) jest jedną z nóg prawego trójkąta, za pomocą którego uformowano ten stożek. Druga noga będzie promieniem okręgu podstawowego. Promień stanowi połowę średnicy. W ten sposób dzielimy podaną nam średnicę na pół i otrzymujemy długość promienia: 18:2 = 9. Promień wynosi 9.
Teraz bardzo łatwo jest znaleźć tworzącą stożka. Ponieważ jest to przeciwprostokątna, kwadrat jej długości będzie równy sumie kwadratów nóg, czyli sumie kwadratów promienia i wysokości. Zatem kwadrat długości generatora = 64 (kwadrat długości promienia) + 64 (kwadrat długości wysokości) = 64x2 = 128. Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z 128. Jako w rezultacie otrzymujemy osiem pierwiastków z dwóch. To będzie tworząca stożka.
Jak widać, nie ma w tym nic skomplikowanego. Na przykład przyjęliśmy proste warunki problemu, ale na kursie szkolnym mogą być one bardziej złożone. Pamiętaj, że aby obliczyć długość tworzącej, musisz poznać promień okręgu i wysokość stożka. Znając te dane, łatwo jest znaleźć długość tworzącej.
Ciała wirujące badane w szkole to walec, stożek i kula.
Jeśli w zadaniu na egzaminie jednolitym z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub pole kuli, uważaj się za szczęściarza.
Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię walca, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Ucz się na pamięć. Tutaj zaczyna się wiedza o stereometrii.
Czasem dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.
2. Ile razy objętość stożka opisanego na regularnej czworokątnej piramidzie jest większa od objętości stożka wpisanego w tę piramidę?
To proste - narysuj widok od dołu. Widzimy, że promień większego okręgu jest razy większy niż promień mniejszego. Wysokość obu stożków jest taka sama. Dlatego objętość większego stożka będzie dwukrotnie większa.
Kolejny ważny punkt. Pamiętamy, że w zadaniach części B Unified State Examination z matematyki odpowiedź zapisuje się jako liczbę całkowitą lub końcowy ułamek dziesiętny. Dlatego w Twojej odpowiedzi w części B nie powinno być żadnego lub. Nie ma też potrzeby podstawiania przybliżonej wartości liczby! Zdecydowanie musi się skurczyć! W tym celu w niektórych problemach zadanie formułuje się na przykład w następujący sposób: „Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra podzielone przez”.
Gdzie jeszcze stosuje się wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym również opowiemy.