Starożytni Egipcjanie stosowali metody obliczania pól różnych figur, podobne do naszych metod.
W moich książkach „Początki” Słynny starożytny grecki matematyk Euklides opisał dość dużą liczbę sposobów obliczania obszarów wielu figur geometrycznych. Pierwsze rękopisy na Rusi zawierające informacje geometryczne powstały w XVI wieku. Opisują zasady znajdowania pól figur o różnych kształtach.
Dziś, korzystając z nowoczesnych metod, można z dużą dokładnością znaleźć obszar dowolnej figury.
Rozważmy jedną z najprostszych figur - prostokąt - i wzór na znalezienie jego powierzchni.
Wzór na pole prostokąta
Rozważmy figurę (ryc. 1), która składa się z kwadratów o boku 1 $ cm o boku 1 $. Pole jednego kwadratu o boku 1 $ cm nazywa się centymetrem kwadratowym i zapisuje się $1\ cm^2. $.
Pole tej figury (ryc. 1) będzie równe 8\cm^2$.
Pole figury, którą można podzielić na kilka kwadratów o boku 1 $\ cm$ (na przykład $p$) będzie równe $p\ cm^2$.
Innymi słowy, pole figury będzie równe tyle $cm^2$, ile kwadratów o boku 1 $\ cm$ można podzielić tą figurą.
Rozważmy prostokąt (ryc. 2), który składa się z pasków o wartości 3 $, z których każdy jest podzielony na kwadraty o długości 5 $ i boku 1 $ cm $. cały prostokąt składa się z $5\cdot 3=15$ takich kwadratów, a jego pole wynosi $15\cm^2$.
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Pole cyfr jest zwykle oznaczane literą $S$.
Aby znaleźć pole prostokąta, należy pomnożyć jego długość przez szerokość.
Jeżeli jego długość oznaczymy literą $a$, a szerokość literą $b$, to wzór na pole prostokąta będzie wyglądał następująco:
Definicja 1
Liczby nazywają się równy jeżeli po nałożeniu na siebie liczby pokrywają się. Równe figury mają równe pola i równe obwody.
Pole figury można obliczyć jako sumę pól jej części.
Przykład 1
Na przykład na rysunku $3$ prostokąt $ABCD$ jest podzielony na dwie części linią $KLMN$. Pole jednej części wynosi 12 $ cm^2 $, a drugiej 9 $ cm^2 $. Wtedy pole prostokąta $ABCD$ będzie równe $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Znajdź obszar prostokąta, korzystając ze wzoru:
Jak widać obszary znalezione obiema metodami są równe.
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Odcinek $AC$ dzieli prostokąt na dwa równe trójkąty: $ABC$ i $ADC$. Oznacza to, że powierzchnia każdego trójkąta jest równa połowie powierzchni całego prostokąta.
Definicja 2
Nazywa się prostokąt o równych bokach kwadrat.
Jeśli oznaczymy bok kwadratu literą $a$, wówczas pole kwadratu zostanie określone według wzoru:
Stąd nazwa kwadratu liczby $a$.
Przykład 2
Na przykład, jeśli bok kwadratu wynosi 5 $ cm, to jego pole wynosi:
Kłęby
Wraz z rozwojem handlu i budownictwa, nawet w czasach starożytnych cywilizacji, pojawiła się potrzeba odnajdywania tomów. W matematyce istnieje dział geometrii zajmujący się badaniem figur przestrzennych, zwany stereometrią. Wzmianki o tej odrębnej gałęzi matematyki znaleziono już w IV wieku p.n.e.
Starożytni matematycy opracowali metodę obliczania objętości prostych figur - sześcianu i równoległościanu. Wszystkie budynki tamtych czasów miały taki kształt. Ale później znaleziono metody obliczania objętości figur o bardziej złożonych kształtach.
Objętość równoległościanu prostokątnego
Jeśli wypełnisz formę mokrym piaskiem, a następnie ją odwrócisz, otrzymasz trójwymiarową figurę charakteryzującą się objętością. Jeśli wykonasz kilka takich figur przy użyciu tej samej formy, otrzymasz figury o tej samej objętości. Jeśli napełnisz formę wodą, objętość wody i objętość figurki piasku również będą równe.
Rysunek 5.
Można porównać objętości dwóch naczyń, napełniając jedno wodą i wlewając ją do drugiego naczynia. Jeśli drugie naczynie jest całkowicie wypełnione, wówczas naczynia mają równe objętości. Jeśli w pierwszym naczyniu pozostaje woda, wówczas objętość pierwszego naczynia jest większa niż objętość drugiego. Jeżeli podczas nalewania wody z pierwszego naczynia nie jest możliwe całkowite napełnienie drugiego naczynia, wówczas objętość pierwszego naczynia jest mniejsza niż objętość drugiego.
Objętość mierzy się za pomocą następujących jednostek:
$mm^3$ -- milimetr sześcienny,
$cm^3$ -- centymetr sześcienny,
$dm^3$ -- decymetr sześcienny,
$m^3$ -- metr sześcienny,
$km^3$ -- kilometr sześcienny.
Przegląd ogólny. Wzory stereometryczne!
Witam, drodzy przyjaciele! W tym artykule postanowiłem dokonać ogólnego przeglądu problemów stereometrii, które będą poruszane Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki e. Trzeba powiedzieć, że zadania z tej grupy są dość zróżnicowane, ale nie trudne. Są to problemy ze znalezieniem wielkości geometrycznych: długości, kątów, pól, objętości.
Rozważane są: sześcian, prostopadłościan, pryzmat, piramida, wielościan złożony, walec, stożek, kula. Smutnym faktem jest, że część absolwentów nawet nie podejmuje się takich zadań na samym egzaminie, choć ponad 50% z nich rozwiązuje się po prostu, niemal ustnie.
Reszta wymaga niewielkiego wysiłku, wiedzy i specjalnych technik. W przyszłych artykułach rozważymy te zadania, nie przegap tego, subskrybuj aktualizacje bloga.
Aby rozwiązać, musisz wiedzieć wzory na pola powierzchni i objętości równoległościan, piramida, pryzmat, walec, stożek i kula. Nie ma trudnych problemów, wszystkie rozwiązuje się w 2-3 krokach, ważne jest, aby „zobaczyć”, jaką formułę należy zastosować.
Wszystkie niezbędne formuły przedstawiono poniżej:
Piłka lub kula. Powierzchnia sferyczna lub sferyczna (czasami po prostu kula) to geometryczne miejsce punktów w przestrzeni w równej odległości od jednego punktu - środka kuli.
Objętość piłki równa objętości piramidy, której podstawa ma takie samo pole jak powierzchnia kuli, a wysokość jest promieniem kuli
Objętość kuli jest półtora razy mniejsza od objętości opisanego wokół niej walca.
Stożek okrągły można uzyskać obracając trójkąt prostokątny wokół jednej z jego nóg, dlatego też stożek okrągły nazywany jest również stożkiem obrotowym. Zobacz także Powierzchnia okrągłego stożka
Objętość okrągłego stożka równa jednej trzeciej iloczynu powierzchni podstawy S i wysokości H:
(H to wysokość krawędzi sześcianu)
Równoległościan to pryzmat, którego podstawą jest równoległobok. Równoległościan ma sześć ścian i wszystkie są równoległobokami. Równoległościan, którego cztery ściany boczne są prostokątami, nazywa się równoległościanem prostym. Prostopadłościan, którego sześć ścian jest prostokątami, nazywa się prostokątem.
Objętość równoległościanu prostokątnego równy iloczynowi pola podstawy i wysokości:
(S to powierzchnia podstawy piramidy, h to wysokość piramidy)
Piramida to wielościan, który ma jedną twarz - podstawę piramidy - dowolny wielokąt, a resztę - ściany boczne - trójkąty o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem piramidy.
Odcinek równoległy do podstawy piramidy dzieli piramidę na dwie części. Część piramidy pomiędzy jej podstawą a tą sekcją jest piramidą ściętą.
Objętość ściętej piramidy równa jednej trzeciej iloczynu wysokości h(system operacyjny) przez sumę pól górnej podstawy S1 (abcde), dolna podstawa ściętej piramidy S2 (ABCDE) i średnią proporcjonalną między nimi.
| 1. | V= |
n - liczba boków wielokąta foremnego - podstawy regularnej piramidy
a - bok wielokąta foremnego - podstawa regularnej piramidy
h - wysokość regularnej piramidy
Regularna trójkątna piramida to wielościan, który ma jedną twarz - podstawę piramidy - regularny trójkąt, a resztę - ściany boczne - równe trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem. Wysokość opada do środka podstawy od góry.
Objętość regularnej piramidy trójkątnej równa jednej trzeciej iloczynu pola regularnego trójkąta, który jest podstawą S (ABC) na wysokość h(system operacyjny)
a - bok regularnego trójkąta - podstawa regularnej trójkątnej piramidy
h - wysokość regularnej trójkątnej piramidy
Wyprowadzenie wzoru na objętość czworościanu
Objętość czworościanu oblicza się za pomocą klasycznego wzoru na objętość piramidy. Konieczne jest podstawienie wysokości czworościanu i obszaru regularnego (równobocznego) trójkąta.
Objętość czworościanu- jest równy ułamkowi w liczniku, którego pierwiastek kwadratowy z dwóch w mianowniku wynosi dwanaście, pomnożonym przez sześcian długości krawędzi czworościanu
(h to długość boku rombu)
Obwód P wynosi w przybliżeniu trzy całe i jedną siódmą długości średnicy koła. Dokładny stosunek obwodu koła do jego średnicy jest oznaczony grecką literą π
W rezultacie obwód koła lub obwodu oblicza się za pomocą wzoru
| π r n |
(r to promień łuku, n to kąt środkowy łuku w stopniach.)
Każde ciało geometryczne można scharakteryzować za pomocą pola powierzchni (S) i objętości (V). Powierzchnia i objętość to wcale nie to samo. Obiekt może mieć stosunkowo małe V i duże S, na przykład tak działa ludzki mózg. Znacznie łatwiej jest obliczyć te wskaźniki dla prostych kształtów geometrycznych.
Równoległościan: definicja, rodzaje i właściwości
Równoległościan to czworokątny pryzmat z równoległobokiem u podstawy. Dlaczego możesz potrzebować wzoru na znalezienie objętości figury? Podobny kształt mają książki, pudełka do pakowania i wiele innych rzeczy z życia codziennego. Pomieszczenia w budynkach mieszkalnych i biurowych są z reguły prostokątnymi równoległościanami. Aby zainstalować wentylację, klimatyzację i określić liczbę elementów grzewczych w pomieszczeniu, należy obliczyć kubaturę pomieszczenia.
Figura ma 6 ścian - równoległoboki i 12 krawędzi; dwie dowolnie wybrane ściany nazywane są podstawami. Równoległościan może być kilku typów. Różnice wynikają z kątów pomiędzy sąsiednimi krawędziami. Wzory na znalezienie Vs różnych wielokątów są nieco inne.
Jeśli 6 ścian figury geometrycznej jest prostokątami, wówczas nazywa się ją również prostokątną. Sześcian jest szczególnym przypadkiem równoległościanu, w którym wszystkie 6 ścian jest równymi kwadratami. W tym przypadku, aby znaleźć V, musisz znaleźć długość tylko jednego boku i podnieść ją do trzeciej potęgi.
Aby rozwiązać problemy, będziesz potrzebować wiedzy nie tylko o gotowych formułach, ale także o właściwościach figury. Lista podstawowych właściwości prostopadłościanu jest niewielka i bardzo łatwa do zrozumienia:
- Przeciwległe boki figury są równe i równoległe. Oznacza to, że żebra znajdujące się naprzeciwko mają tę samą długość i kąt nachylenia.
- Wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami.
- Cztery główne przekątne figury geometrycznej przecinają się w jednym punkcie i są przez niego podzielone na pół.
- Kwadrat przekątnej równoległościanu jest równy sumie kwadratów wymiarów figury (wynika z twierdzenia Pitagorasa).
Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że suma pól kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego jest równa polu trójkąta zbudowanego na przeciwprostokątnej tego samego trójkąta.
Dowód ostatniej właściwości można zobaczyć na obrazku poniżej. Proces rozwiązania problemu jest prosty i nie wymaga szczegółowych wyjaśnień.
Wzór na objętość równoległościanu prostokątnego
Wzór na znalezienie wszystkich typów figur geometrycznych jest taki sam: V=S*h, gdzie V to wymagana objętość, S to powierzchnia podstawy równoległościanu, h to wysokość obniżona z przeciwnego wierzchołka i prostopadle do podstawy. W prostokącie h pokrywa się z jednym z boków figury, więc aby znaleźć objętość prostokątnego pryzmatu, należy pomnożyć trzy wymiary.
Objętość wyraża się zwykle w cm3. Znając wszystkie trzy wartości a, b i c, znalezienie objętości figury wcale nie jest trudne. Najczęstszym typem problemu na egzaminie Unified State Exam jest znalezienie objętości lub przekątnej równoległościanu. Nie da się rozwiązać wielu standardowych zadań Unified State Examination bez wzoru na objętość prostokąta. Przykład zadania i projekt jego rozwiązania pokazano na poniższym rysunku.
Uwaga 1. Pole powierzchni prostopadłościanu można obliczyć, mnożąc przez 2 sumę pól trzech ścian figury: podstawy (ab) i dwóch sąsiednich ścian bocznych (bc + ac).
Uwaga 2. Pole powierzchni ścian bocznych można łatwo określić, mnożąc obwód podstawy przez wysokość równoległościanu.
Bazując na pierwszej właściwości równoległościanów AB = A1B1 i ściany B1D1 = BD. Zgodnie z następstwami twierdzenia Pitagorasa suma wszystkich kątów w trójkącie prostokątnym wynosi 180°, a przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa przeciwprostokątnej. Stosując tę wiedzę do trójkąta, możemy łatwo znaleźć długości boków AB i AD. Następnie mnożymy uzyskane wartości i obliczamy objętość równoległościanu.
Wzór na znalezienie objętości nachylonego równoległościanu
Aby znaleźć objętość nachylonego równoległościanu, należy pomnożyć pole podstawy figury przez wysokość obniżoną do danej podstawy z przeciwległego rogu.
Zatem wymagane V można przedstawić w postaci h - liczby arkuszy o powierzchni podstawowej S, zatem objętość talii składa się z V wszystkich kart.
Przykłady rozwiązywania problemów
Zadania pojedynczego egzaminu muszą zostać zrealizowane w określonym czasie. Typowe problemy z reguły nie zawierają dużej liczby obliczeń i skomplikowanych ułamków. Często student jest pytany, jak znaleźć objętość nieregularnej figury geometrycznej. W takich przypadkach należy pamiętać o prostej zasadzie, że całkowita objętość jest równa sumie Vs części składowych.
Jak widać na przykładzie na powyższym obrazku, nie ma nic trudnego w rozwiązaniu takich problemów. Zadania z bardziej skomplikowanych odcinków wymagają znajomości twierdzenia Pitagorasa i jego konsekwencji oraz wzoru na długość przekątnej figury. Aby pomyślnie rozwiązać zadania testowe, wystarczy wcześniej zapoznać się z przykładami typowych zadań.
Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z egzaminu państwowego Profile Unified z matematyki. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa do rozwiązywania złożonych problemów części 2 jednolitego egzaminu państwowego.