Apabila menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza, pecahan itu mula-mula membawa kepada penyebut biasa. Ini bermakna mereka mencari satu penyebut yang dibahagikan dengan penyebut asal bagi setiap pecahan algebra yang termasuk dalam ungkapan yang diberikan.
Seperti yang anda ketahui, jika pengangka dan penyebut pecahan didarab (atau dibahagikan) dengan nombor yang sama selain sifar, nilai pecahan itu tidak akan berubah. Ini adalah sifat utama pecahan. Oleh itu, apabila pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa, ia pada asasnya mendarabkan penyebut asal setiap pecahan dengan faktor yang hilang untuk mendapatkan penyebut biasa. Dalam kes ini, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan faktor ini (ia adalah berbeza untuk setiap pecahan).
Sebagai contoh, diberi jumlah pecahan algebra berikut:
Ia diperlukan untuk memudahkan ungkapan, iaitu, menambah dua pecahan algebra. Untuk melakukan ini, pertama sekali, anda perlu membawa sebutan pecahan kepada penyebut biasa. Langkah pertama ialah mencari monomial yang boleh dibahagikan dengan 3x dan 2y. Dalam kes ini, adalah wajar ia menjadi yang terkecil, iaitu, cari gandaan sepunya terkecil (LCM) untuk 3x dan 2y.
Untuk pekali berangka dan pembolehubah, LCM dicari secara berasingan. LCM(3, 2) = 6 dan LCM(x, y) = xy. Seterusnya, nilai yang ditemui didarabkan: 6xy.
Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa yang kita perlukan untuk mendarabkan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y
Ini bermakna apabila mengurangkan pecahan algebra pertama kepada penyebut sepunya, pengangkanya mesti didarab dengan 2y (penyebutnya telah pun didarab apabila dikurangkan kepada penyebut sepunya). Pengganda untuk pengangka bagi pecahan kedua dicari dengan cara yang sama. Ia akan sama dengan 3x.
Oleh itu kita mendapat: 
Kemudian anda boleh bertindak seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama: tambahkan pengangka, dan tulis satu penyebut biasa: 
Selepas penjelmaan, ungkapan yang dipermudahkan diperolehi, iaitu satu pecahan algebra, yang merupakan hasil tambah bagi dua pecahan asal: 
Pecahan algebra dalam ungkapan asal mungkin mengandungi penyebut yang merupakan polinomial dan bukannya monomial (seperti dalam contoh di atas). Dalam kes ini, sebelum mencari penyebut biasa, anda harus memfaktorkan penyebut (jika boleh). Seterusnya, penyebut biasa dikumpulkan daripada faktor yang berbeza. Jika pengganda berada dalam beberapa penyebut asal, maka ia diambil sekali. Jika pengganda mempunyai kuasa yang berbeza dalam penyebut asal, maka ia diambil dengan yang lebih besar. Contohnya: 
Di sini polinomial a 2 – b 2 boleh diwakili sebagai hasil darab (a – b)(a + b). Faktor 2a – 2b dikembangkan sebagai 2(a – b). Oleh itu, penyebut sepunya ialah 2(a – b)(a + b).
Saya pada asalnya ingin memasukkan teknik penyebut biasa dalam bahagian Menambah dan Menolak Pecahan. Tetapi ternyata terdapat begitu banyak maklumat, dan kepentingannya sangat besar (lagipun, bukan sahaja pecahan berangka mempunyai penyebut biasa), bahawa adalah lebih baik untuk mengkaji isu ini secara berasingan.
Jadi, katakan kita mempunyai dua pecahan dengan penyebut yang berbeza. Dan kami ingin memastikan bahawa penyebut menjadi sama. Sifat asas pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, biar saya ingatkan anda, berbunyi seperti ini:
Pecahan tidak akan berubah jika pengangka dan penyebutnya didarab dengan nombor yang sama selain daripada sifar.
Oleh itu, jika anda memilih faktor dengan betul, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini dipanggil pengurangan kepada penyebut biasa. Dan nombor yang diperlukan, "petang keluar" penyebut, dipanggil faktor tambahan.
Mengapakah kita perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut yang sama? Berikut adalah beberapa sebab:
- Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Tiada cara lain untuk melaksanakan operasi ini;
- Membandingkan pecahan. Kadangkala pengurangan kepada penyebut biasa sangat memudahkan tugas ini;
- Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan peratusan. Peratusan pada dasarnya adalah ungkapan biasa yang mengandungi pecahan.
Terdapat banyak cara untuk mencari nombor yang, apabila didarab dengannya, akan menjadikan penyebut pecahan sama. Kami akan mempertimbangkan hanya tiga daripada mereka - untuk meningkatkan kerumitan dan, dalam erti kata lain, keberkesanan.
Darab silang silang
Kaedah yang paling mudah dan boleh dipercayai, yang dijamin untuk menyamakan penyebut. Kami akan bertindak "secara terburu-buru": kami mendarabkan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan yang kedua dengan penyebut yang pertama. Akibatnya, penyebut kedua-dua pecahan akan menjadi sama dengan hasil darab penyebut asal. Lihatlah:
Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan jiran. Kami mendapat:
Ya, semudah itu. Jika anda baru mula belajar pecahan, lebih baik bekerja menggunakan kaedah ini - dengan cara ini anda akan menginsuranskan diri anda terhadap banyak kesilapan dan dijamin akan mendapat hasilnya.
Satu-satunya kelemahan kaedah ini ialah anda perlu mengira banyak, kerana penyebutnya didarabkan "sepanjang jalan", dan hasilnya boleh menjadi nombor yang sangat besar. Ini adalah harga yang perlu dibayar untuk kebolehpercayaan.
Kaedah Pembahagi Biasa
Teknik ini membantu mengurangkan pengiraan dengan ketara, tetapi, malangnya, ia digunakan agak jarang. Kaedahnya adalah seperti berikut:
- Sebelum anda terus ke hadapan (iaitu, menggunakan kaedah silang silang), lihat penyebutnya. Mungkin salah satu daripada mereka (yang lebih besar) dibahagikan kepada yang lain.
- Nombor yang terhasil daripada pembahagian ini akan menjadi faktor tambahan bagi pecahan dengan penyebut yang lebih kecil.
- Dalam kes ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu didarab dengan apa-apa sama sekali - di sinilah simpanannya. Pada masa yang sama, kebarangkalian ralat berkurangan dengan ketara.
Tugasan. Cari maksud ungkapan:
Perhatikan bahawa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Oleh kerana dalam kedua-dua kes satu penyebut dibahagikan tanpa baki oleh yang lain, kami menggunakan kaedah faktor sepunya. Kami ada:
Perhatikan bahawa pecahan kedua tidak didarab dengan apa-apa sama sekali. Malah, kami mengurangkan jumlah pengiraan separuh!
Dengan cara ini, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika anda berminat, cuba kira mereka menggunakan kaedah silang silang. Selepas pengurangan, jawapan akan sama, tetapi akan ada lebih banyak kerja.
Ini adalah kuasa kaedah pembahagi biasa, tetapi, sekali lagi, ia hanya boleh digunakan apabila salah satu penyebut dibahagikan dengan yang lain tanpa baki. Yang berlaku agak jarang.
Kaedah berbilang sepunya terkecil
Apabila kita mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita pada asasnya cuba mencari nombor yang boleh dibahagikan dengan setiap penyebut. Kemudian kita bawa penyebut kedua-dua pecahan kepada nombor ini.
Terdapat banyak nombor sedemikian, dan yang terkecil daripada mereka tidak semestinya sama dengan hasil langsung penyebut pecahan asal, seperti yang diandaikan dalam kaedah "silang silang".
Sebagai contoh, untuk penyebut 8 dan 12, nombor 24 agak sesuai, kerana 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nombor ini jauh lebih kecil daripada produk 8 · 12 = 96.
Nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh setiap penyebut dipanggil gandaan sepunya terkecil (LCM).
Notasi: Gandaan sepunya terkecil a dan b dilambangkan dengan LCM(a ; b) . Sebagai contoh, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Jika anda berjaya mencari nombor sedemikian, jumlah pengiraan akan menjadi minimum. Lihat contoh:
Tugasan. Cari maksud ungkapan:
Ambil perhatian bahawa 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktor 2 dan 3 ialah coprime (tidak mempunyai faktor sepunya selain 1), dan faktor 117 adalah lazim. Oleh itu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Begitu juga, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 adalah koprime, dan faktor 5 adalah biasa. Oleh itu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Sekarang mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:
Perhatikan betapa bergunanya untuk memfaktorkan penyebut asal:
- Setelah menemui faktor yang sama, kami serta-merta tiba di gandaan sepunya terkecil, yang, secara amnya, adalah masalah bukan remeh;
- Daripada pengembangan yang terhasil, anda boleh mengetahui faktor yang "hilang" dalam setiap pecahan. Sebagai contoh, 234 · 3 = 702, oleh itu, untuk pecahan pertama faktor tambahan ialah 3.
Untuk menghargai berapa banyak perbezaan yang dihasilkan oleh kaedah berbilang paling sepunya, cuba kira contoh yang sama ini menggunakan kaedah silang silang. Sudah tentu, tanpa kalkulator. Saya rasa selepas ini komen tidak perlu.
Jangan fikir bahawa tidak akan ada pecahan kompleks sedemikian dalam contoh sebenar. Mereka bertemu sepanjang masa, dan tugas di atas bukanlah had!
Satu-satunya masalah ialah bagaimana untuk mencari NOC ini. Kadang-kadang segala-galanya boleh ditemui dalam beberapa saat, secara harfiah "dengan mata," tetapi secara umum ini adalah tugas pengiraan yang kompleks yang memerlukan pertimbangan yang berasingan. Kami tidak akan menyentuh perkara itu di sini.
Penyebut pecahan aritmetik a / b ialah nombor b, yang menunjukkan saiz pecahan unit dari mana pecahan itu tersusun. Penyebut bagi pecahan algebra A / B ialah ungkapan algebra B. Untuk melaksanakan operasi aritmetik dengan pecahan, ia mesti dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah.
Anda akan perlukan
- Untuk bekerja dengan pecahan algebra dan mencari penyebut sepunya terendah, anda perlu tahu cara memfaktorkan polinomial.
Arahan
Mari kita pertimbangkan untuk mengurangkan dua pecahan aritmetik n/m dan s/t kepada penyebut sepunya terkecil, dengan n, m, s, t ialah integer. Jelaslah bahawa kedua-dua pecahan ini boleh dikurangkan kepada sebarang penyebut yang boleh dibahagi dengan m dan t. Tetapi mereka cuba membawa kepada penyebut biasa terendah. Ia sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi penyebut m dan t pecahan yang diberi. Gandaan terkecil (LMK) bagi suatu nombor ialah bilangan terkecil yang boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi pada masa yang sama. Itu. dalam kes kita, kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor m dan t. Ditandakan sebagai LCM (m, t). Seterusnya, pecahan didarab dengan yang sepadan: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Mari cari penyebut sepunya terendah bagi tiga pecahan: 4/5, 7/8, 11/14. Mula-mula, mari kembangkan penyebut 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Seterusnya, hitung LCM (5, 8, 14) dengan mendarab semua nombor dimasukkan ke dalam sekurang-kurangnya satu pengembangan. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Perhatikan bahawa jika faktor berlaku dalam pengembangan beberapa nombor (faktor 2 dalam pengembangan penyebut 8 dan 14), maka kita ambil faktor itu kepada ijazah yang lebih tinggi (2^3 dalam kes kami).
Jadi, yang umum diperolehi. Ia bersamaan dengan 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Di sini kita mendapat nombor yang mana kita mesti mendarab pecahan dengan penyebut yang sepadan untuk membawanya ke penyebut biasa terendah. Kami mendapat 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Pengurangan pecahan algebra kepada penyebut sepunya terendah dilakukan secara analogi dengan pecahan aritmetik. Untuk kejelasan, mari kita lihat masalah menggunakan contoh. Biarkan dua pecahan (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dan (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) diberi. Mari kita memfaktorkan kedua-dua penyebut. Ambil perhatian bahawa penyebut bagi pecahan pertama ialah kuasa dua sempurna: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Untuk
Untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan, anda perlu dapat mencari penyebut sepunya terendah. Di bawah adalah arahan terperinci.
Bagaimana untuk mencari penyebut biasa terendah - konsep
Penyebut sepunya terkecil (LCD), dalam perkataan mudah, ialah nombor minimum yang boleh dibahagi dengan penyebut semua pecahan dalam contoh yang diberikan. Dalam erti kata lain, ia dipanggil Gandaan Sepunya Terkecil (LCM). NOS digunakan hanya jika penyebut pecahan adalah berbeza.
Bagaimana untuk mencari penyebut biasa terendah - contoh
Mari lihat contoh mencari NOC.
Kira: 3/5 + 2/15.
Penyelesaian (Urutan tindakan):
- Kami melihat penyebut pecahan, pastikan ia berbeza dan ungkapan itu dipendekkan yang mungkin.
- Kami mencari nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 5 dan 15. Nombor ini akan menjadi 15. Oleh itu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Kami telah mengetahui penyebutnya. Apa yang akan ada dalam pengangka? Pengganda tambahan akan membantu kami memikirkan perkara ini. Faktor tambahan ialah nombor yang diperoleh dengan membahagikan NZ dengan penyebut pecahan tertentu. Untuk 3/5, faktor tambahan ialah 3, kerana 15/5 = 3. Untuk pecahan kedua, faktor tambahan ialah 1, kerana 15/15 = 1.
- Setelah mengetahui faktor tambahan, kami mendarabkannya dengan pengangka pecahan dan menambah nilai yang terhasil. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Jawapan: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Jika dalam contoh bukan 2, tetapi 3 atau lebih pecahan ditambah atau ditolak, maka NCD mesti dicari seberapa banyak pecahan yang diberikan.
Kira: 1/2 – 5/12 + 3/6
Penyelesaian (urutan tindakan):
- Mencari penyebut biasa terendah. Nombor minimum yang boleh dibahagi dengan 2, 12 dan 6 ialah 12.
- Kami mendapat: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Kami sedang mencari pengganda tambahan. Untuk 1/2 – 6; untuk 5/12 – 1; untuk 3/6 – 2.
- Kami mendarab dengan pengangka dan menetapkan tanda yang sepadan: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Jawapan: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.